Двухчастичные приближения в теории функционалов плотности тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

\м о

2 9 Ш ®

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В.ЛОМОНОСОВА

физический факультет

На правах рукописи УЖ 539.141

Борзилов Владимир Анатольевич

ДВУХЧАСТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ В ТЕОРИИ ФУНКЦИОНАЛОВ ПЛОТНОСТИ.

(01.04.02 - теоретическая физика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995 г.

Работа выполнена в отделе физики атомного ядра Научно-Исследавательского Института Ядерной Физики Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова и в Московском Государственном Техническом Университете им. Н.Э.Баумана.

Научные руководители - доктор физико-математических наук,

профессор Комаров В.В. кандидат физико-математических наук Еркович О.С.

Сфиьщлъные оппоненты. - доктор физико-математических наук

профессор Шаблов В.Л. кандидат физико-математических наук Затекин В.В.

Ведущая организация - Московская Государственная Академия

приборостроения и информатики.

Защита диссертации состоится " (Г" (л ^к'л 199-3" года I

заседании Специализированного Совета К.053.05.18 в Московскс Государственном Университете им. М.В.Ломоносова по адресу :117234 Москва, МГУ, физический факультет, аудитория С 9*А В /Г3" .

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ.

Автореферат разослан /5 ла.^ i39S'r- .

Ученый секретарь Специализированного Совета

К. 053.05.18 , .

доктор физико-математических наук П.А.Поляков.

Общая характеристика работы.

Актуальность тела. К настоящему времени накоплена значительная теоретическая и экспериментальная информация о различных задачах теоретической и математической физики, касающихся описания систем нескольких квантовых частиц в полях. Такие задачи возникают в различных областях физики ядра, атомной физики, физики твердого тела, при изучении элементарных частиц. Анализ подобных систем ,как правило, проводится с помощью сведения задачи к одночастичной. Основным недостатком этого метода является невозможность учета обменно-корреляционных эффектов без введения предположений, выходящих за рамки исходной модели. Для систем, свойства которых в основном определяются обменом и корреляциями, подобный подход приводит к результатам, сильно отличающимся от экспериментальных данных. Для преодоления этих трудностей в литературе рассматриваются различные методы. Среди них наиболее перспективным представляется метод многочастичных функционалов плотности, позволяющий корректно описывать системы с парными силами. В основе метода лежит обобщенная теорема Хоэнберга-Кона. Ее первое положение заключается в том, что функционал многочастичной плотности частиц Пп(п,.. .Гт), определяемой соотношением

Пл(г1,.. .гш)= ¿№(N-1) |ш*(1ч .... ,гм)у(Г1,.. .гн1 —йгы

** J

<ф|1р*> = 1,

однозначно определяет все свойства системы. В этой формуле И - число частиц в системе, п - вектор координат 1-той частицы, ф - произвольная волновая функция системы. Интегрирование производится по пространству размерности ГГ-га. Второе положение обобщенной теоремы Хоэнберга-Кона состоит в том, что минимум функционала энергии равен полной энергии основного состояния Н-частичной Ферми-системы и достигается

на функции, соответствующей истинному распределению частиц в основном состоянии. Использование этого метода позволяет определить основные характеристики системы, не прибегая к исследованию ее точной волновой функции, а ограничившись только определением ее вида и асимптотик. Это уменьшает вычислительные трудности решения задачи, особенно в случае значительного числа частиц или кластеров.

Поскольку обменно-корреляционные эффекты проявляются в полной мере уже в простейшей системе двух квантовых частиц во внешнем поле, основой для дальнейшего развития метода является определение свойств спектра и волновых функций этой задачи.

Цель раОоты. Целью работы являлось исследование решения задачи"' двух частиц во внешнем поле, полученного путем анализа системы интегральных уравнений для функций Грина асимптотических гамильтонианов этой задачи; анализ асимптотического поведения волновых функций и применение результатов этого исследования к описанию многочастичных систем с двухчастичными силами в рамках теории функционала плотности.

Научная новизна. В работе впервые получено точное асимптотическое выражение для волновой функции системы двух квантовых частиц во внешнем поле, показана зависимость асимптотики от спектральных свойств асимптотических гамильтонианов и гамильтонианов отдельных частиц. Проведен анализ асимптотического выражения волновой функции в различных областях координатного шестимерного пространства. Из асимптотического выражения волновой функции получена асимптотика функции плотности в задаче двух частиц во внешнем поле. "

В системе двух тел также изучена природа резонанса и впервые поставлена задача обобщения вариационного метода на случай резонансных многочастичных систем. Для этого был проведен анализ системы двух частиц во внешнем поле, когда одночастичные подсистемы имеют резонансные состояния.

В плане дальнейшего развития теории функционала плотности, доказана обобщенная теорема Хоэнберга-Кона и

развит метод вариационной процедуры для нахождения функции плотности в многочастичных системах.

Научная и практическая ценность работы. Полученные в диссертационной работе результаты позволяют описывать обменно-корреляционные эффекты в системах, характеризующихся парными потенциалами взаимодействия между частицами, без привлечения дополнительных модельных предположений. Предлагаемый метод позволяет также исследовать основные и резонансные состояния широкого класса многочастичных яерелятивистских квантовых систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук" (Москва МГТУ им. Баумана 1991), Ломоносовских чтениях 1993 I 1994 гг. в МГУ им.М.В.Ломоносова и конференции 1СРЕАС (Аархус, Дания 1993).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 научных работ список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объел диссертации. Работа состоит из ведения, пяти глав, заключения и списка литературы.

Содержание работы.

Во введении ' обоснована актуальность проводимых [сследований и сформулирована цель работы. Дается описание шбранных подходов к решению исследуемых проблем и кратко слагается структура и содержание диссертации по главам.

В первой главе изложены основные положения теории ногочастичных функционалов плотности.

В разделе 1.1 сформулирована обобщенная теорема дэнберга-Кона, утвервдащая, что полная энергия основного остояния многочастичной квантовой системы с постоянным ислом частиц N представляет собой однозначный функционал

НОГОЧЭСТИЧНОЙ функции ПЛОТНОСТИ Пга(Г1.....Гт), минимум

оторого достигается на функции Пто(п,... ,Гш), оответствующей истиннЬму расрредёлёншо частиц в основном

состоянии системы, проведено доказательство этой теоремы в случае невырожденных основных основных состояний и исследован вопрос о соотношениях между множествами операторов потенциальной энергии ^-частичных систем, волновых функций основных состояний и многочастичных функций плотности основных состояний. Показано, что между этими множествами в случае невырожденных основных состояний существует взаимно-однозначное соответствие.

В разделе 1.2 исследован вопрос об оптимизации выбора

раЗМерНОСТИ МНОГОЧаСТИЧНОЙ ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ Пт(Г1,...,Гт),

которую желательно использовать в качестве основной характеризующей систему величины. Показано, что размерность пш(п,...гт) определяется структурой гамильтониана :если гамильтониан представляет собой сумму одно-, двух-,..., к-частичных операторов, -то оптимальным будет выбор т=к. При этом, с одной стороны, исключается обработка избыточной информации, с другой стороны, появляется возможность, работая с функцией с минимальным числом независимых переменных, тем не менее дать корректное описание обменно-корреляционных эффектов в системе.

В разделе 1.3 проведено доказательство обобщенной теоремы Хоенберга-Кона для случая чистых вырожденных основных состояний. Исследован вопрос о соотношении между множествами операторов- потенциальной энергии N - частичных систем, волновых функций вырожденных основных состояний и многочастичных функций плотности основных состояний в случае вырождения основного состояния. Показано, что подмножества волновых функций основного состояния, а также многочастичных функций- плотности, соответствующих системам с различными операторами потенциальной энергии, также не пересекаются.

В разделе 1.4 исследован вопрос о применимости дифференциальной формулировки вариационного принципа в методе многочастичных функционалов плотности, составлено уравнение Лагранжа-Эйлера :

5|га ( Е[гь]-Дш Пя(Г1,...,Гт)<1Г1...С1Гп1 ) = О,

уточнен .смысл постоянной Лагранжа для различных значений ш.

Показано, что постоянная Лагранжа удовлетворяет дифференциальному соотношению :

Цш = Ц.1Я) =

ОПш

В разделе 1.5 исследовано соотношение между функциями плотности различной размерности. Показано, что любая многочастичная функция плотности системы Пя(п,...,ГлО однозначно определяет совокупность функций плотности всех допустимых размерностей, относящихся к основному состоянию этой системы. Проведен анализ этого соотношения для чистых невырожденных и выровденных основных состояний.

Вторая глава содержит постановку задачи двух квантовых частиц во внешнем поле и основные свойства объектов этой задачи : оператора Шредингера,' функций Грина, спектра. Также приведено уравнение для волновых функций этой задачи.

В разделе 2.1 описан свободный оператор Щредингера, имеющий в координатном представлении вид :

но= -аА-агА *

1 3

здесь т1 и т2 - массы частиц, - оператор Лапласа по координатам 1-той частицы. В импульсном представлении этот оператор приобретает вид :

и _ 1 „2. 1 „2

V 2Й;р1+2Й;р2 •

Р1 и ра - импульсы частиц. Определен оператор Шредингера двух взаимодействующих частиц ! •

н12= -¿А-йтА^*«) • 1 2

г12= рГга •

Показан способ разделения переменных путем выделения движения центра масс. И в координатном, и в импульсном представлениях исходный гамильтониан двух взаимодействующих частиц представлен в виде суммы двух операторов, каждый из которых независимо действует либо на переменную, соответствующую движению центра масс, либо на переменную, соответствующую относительному движению частиц.

- б -

В разделе 2.2 приведены основные положения формализма стационарной теории рассеяния, необходимые для дальнейшего исследования задачи. Описаны гриновские операторы й0(2) и С12(г), соответствующие гамильтонианам Н0 и Н1а, матричные элементы оператора Со(г) , а также уравнение,

которому эти элементы удовлетворяют. Приведен вид свободного гриновского оператора в импульсной

представлении. Приведено уравнение Липпмана-Швингера, связыващее операторы С0(г) и С1а(2). Определен оператор рассеяния Т(г) и уравнение Липпмана-Швингера для Т1а(г). Также показаны соотношения, связывающие С0> С1а и Т1а-Показан способ нахождения волновых функций с помощью оператор в12. Приведено уравнение Лшшмана-Швингера для волновой функции в координатном представлении.

В разделе 2.3 рассмотрены уравнения для определения матрицы рассеяния задачи двух частиц. Для интегрального уравнения Лшшмана-Швингера

J д2

2Ц

показано, что в случае короткодействующих потенциалов (убывающих на бесконечности как г'2"') его можно преобразовать в интегральное уравнение фредгольмовского типа, т.е. с компактным ядром. В случае, когда дискретный спектр каждого из операторов Н;,

1

ин12 состоит из единственного отрицательного собственного значения, приведены формулы для компонент матрицы рассеяния.

Глава 3 посвящена изучению спектральных свойств двухчастичного оператора Щредингера, и его волновых функций.

В разделе 3.1 рассмотрен оператор Щредингера со сферически симметричными потенциалами, для которого уравнение Щредингера сводится в координатном представлении к одномерному уравнению типа Штурма-Лиувилля на полуоси :

-У"(х)+7(х)у(х)=£1ау(х)

Показано, что собственные функции такого оператора у(х) должны лежать в классе Ьа, а спектр дискретен и не обладает утопленными собственными значениями если потенциал 7(х) вещественен и убывает на бесконечности быстрее чем г~а. В случае одного собственного значения (-Х2) приведено спектральное разложение для оператора Грина С1а(г) и матрицы рассеяния в импульсном представлении т12(Р1а»Р^а»2)•

Раздел 3.2 посвящен изучению вопроса об асимптотическом поведении волновых функций системы двух частиц во внешен поле при различных спектральных свойствах оператора Щредингера. Волновая функция представлена в виде суммы двух слагаемых :

= *СП(2(Г1'Г2'-Е0> + *„аР\'ра'-»о> •

Далее рассматривается система уравнений

Здесь 0,4 и - операторы Грина для асимптотических

(1)(2) (12)

гамильтонианов Н (а)» и Н( = Н0+712- Сначала

предполагаем, что каждый из асимптотических гамильтонианов является самосопряженным, имеет единственное собственное значение (-Е)) и (-Е ) соответственно и непрерывный спектр на полуоси [0,+<о). В этом случае получены асимптотические выражения для компонент волновой функции и в сумме :

Пг^.-Е,) - СЛ(Р1.Ря)4СаРС1Я1(Р1.Ря)+С4Р»11|я^1.Ря)+

С3Рт<а{Г1'Г2> ' г1- - ' га- • *

Здесь С1=С[ (г ) ограниченные функции координат, которые на больших расстояниях могут быть заменены константами,

Ч'х'^ = Т2ГеЧ"во,Х|} ' |Х|=/г1+1>а

( X Ш Г +Ш Г

..1} • «1а—тф

-+Ш2

р!!на(*1'*а> - Т^ТГ^Ь^!} т?ггх ехр{-Ра(Е1-Е0)|х.21} .

ехр(-а9|г_|1 ,

-Ч

Здесь коэффициенты а и функции Д выражаются через

собственные значения Е, и Е, .

1 12

Затем этот результат обобщается на случай нескольких собственных значений. В этом случае окончательный вид асимтотики волновой функции :

Т<Г1'Р2'-ЕО> = СА<*»'*а> + £с",»!У><*1'*а> +

I

+ ¿Л г(1)(а|(Г1'Г2)+1С« <1)(2) 12 ' к1 к2

Р —» со , Г2—» <0 .

Входящие в эту формулу функции определяются аналогично первому случал.

В первом случае проведен анализ убывания слагаемых в асимптотике. Показано, что на плоскости с координатами |г1| и |га| можно выделить области, в которых допустимо в асимптотике опускать некоторые слагаемые. Слагаемое ?0(г1,р2) во всем пространстве за исключением поверхностей

/ Vе! 1г11 = и /ЕГ|р11 = ^ ео~е2 1г21 Убывает

быстрее чем одна из функций : Р„! ,_(г. ,р_) или .. (11(2*12

Р;~: (г ,г ). Следовательно, - при проведении расчетов»

( 1 I ( а ) X в

связанных с использованием плотности распределения частиц в

пространстве, равной произведении tptp*, в асимптотическом

выражении для у можно опустить слагаемое ^o^i'1^*

соответствующее движению свободных частиц т.к. интеграл по

поверхностям равен нулю, а в остальном пространстве оно не

является определяющим. Кроме того, поверхность

IrJÍP^E.j-Ejba.j) = -|га1(«а"'}2(ЕГЕо^ делит пространство

на две части в одной из которых преобладает Р'1'. _ 4, в о»

другой P'^j и, следовательно, в выражении для плотности частиц можно оставлять только большее слагаемое.

В главе 4 исследована возможность применения вариационного метода в теории фукционала плотности.

В параграфе 4.1 рассмотрена задача N фермионов, находящихся в объеме й под воздействием внешнего потенциала V(r) и потенциалов взаимодействия мезду частицами (У(г[ ,г ). В качестве основной характеристики системы выбрана двухчастичная функция распределения р(г1,гг), определяемая соотношением

1 Г я

= >J ITí.- - -Гн) I"dx-j - - -агн-

Использовано выражение для функционала g[p] полученное в главе 1 и выбрана пробная функция в виде

po(rifra) =оа ( vf(x1)p2(x2)+f¡Ua)<p*(zi)+

««wwww }•

f,U) = [ 1 - jjexpl/JjxjJef-x) + ¿expl-^xjecx),

9(x) =

0, x<0

1, xaO.

Здесь и р2 - вариационные параметры. С помощью вариационного метода найдены конкретные значения вариационных параметров для некоторых металлов, результаты

)

приведены в таблице 1.

В разделе 4.2 рассмотрена возможность применения методов теории возмущений в системе двух частиц. В частности, рассмотрен случай, когда потенциал возмущения создается внешним положительным зарядом с плотностью п"*(г).

В главе 5 рассмотрена задача определения свойств резонансных состояний в системе двух частиц. Поскольку для резонансных состояний условия изолированности анергии нарушается, то использование обычных методов теории возмущения становится некорректный. Поэтому необходимо применение новых методов, одним из которых является метод масштабных преобразований.

В разделе 5.1 рассмотрена задача двух частиц, которые описываю&с'я гамильтонианами Н{ (1=1,2) и имеют соответственно п1г1 и паа2 собственных значений. При этом оператор Н12, определенный в предыдущей главе по предположению имеет хотя бы одно значение в непрерывном спектре оператора Н. Показано, что в этом случае при включении взаимодействия между частицами это значение становится резонансом. В случае малого взаимодействия У1а определены приближенно вещественная часть резонанса Ен и его ширина Г.

В разделе 5.2 коротко описан метод масштабных преобразований с помощью которого можно расширить' область применимости методов теории возмущения на случай энергий, утопленных в непрерывном спектре . Метод заключается в том, что к оператору Н12, имеющему утопленное собственное значение, превращающееся при включении взаимодействия между частицами в резонанс, применяется преобразование функционального пространства, которое приводит к новому оператору, ухе не имеющему утопленных собственных значений. К этому новому оператору применима теория возмущений. Теперь можно включить взаимодействие между частицами, которое также подверглось масштабному преобразованию. Получается оператор, свойства которого можно исследовать обычными методами теории возмущений, поскольку все его собственные значения изолированы. Можно построить асимптотику волновой функции

этого оператора для интересующего нас собственного значения. Функция в этом случае комплекснозначна, но тем не менее принадлежит классу Ьа.

В заключение к полученному оператору и волновой функции применяется обратное масштабное преобразование приводящее к оператору исходной системы и соответствующей резонансному состоянию волновой функции.

Основанием для данных рассуждений являются теоремы функционального анализа, известные из литературы, формулировки которых также приведены в этом разделе.

В разделе 5.3 рассмотрена гелиеподобная система в которой операторы частиц Н1 и Н2 обладают бесконечным числом

собственных значений и кулоновским потенциалом

взаимодействия мезду частицами 712= 1Р _Р I • К оператору

' 1 2'

системы, на основании теорем предыдущего раздела, применено масштабное преобразование и определена область нахождения резонансов, которая ограничена отрицательной полуплоскостью и параболой х= -у2 на втором листе комплексной плоскости :

В разделе 5.4 рассмотрена простейшая система, обладающая .резонансом и на основе метода масштабных преобразований и результатов раздела 3.3 построена асимптотика волновой функции резонансного состояния, которая

не лежит в классе Ьа(116) в отличие от волновых функций обычных состояний.

В заключении подведены основные итоги проделанной работы и кратко изложены основные результаты.

Публикации.

1. Борзилов В.Д., Комаров В.В., Попова A.M. Асимптотическое выражение для собственных функций квантовой системы двух частиц во внешнем поле. Вестн. МГУ.сер.физ. Т. 35, N 1i O. 83-90, 1994.

2.Борзилов В.А.,Еркович 0.С..Комаров В.В.,Попова A.M. Обобщенная теорема Хоэнберга-Кона в методе многочастичного функционала плотности. Вестн. МГУ, сер.физ. Т. 35,N 2 с. 33-39, 1994.

3. Еркович С.П., Борзилов В. А. Анализ резонансных состояний гелиеподобных ионов. Сб. докл. международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук", Т. 3, с. 200.

4. Борзилов В.А.,Еркович 0.С.,Комаров В.В., Попова A.M. Основной формализм многочастичных функций • плотности для стационарных нерелятивистских систем. Депонировано в ВИНИТИ N 1158-В94 от 22.06.94.

5. Borzilov V.A., Erkovic O.S., Komarov V.V., Jielsheimer 0., Popova A.M. Multi-partiole density function approach, to the charge particles quantum systems, ICPEAO, Aarchus, Denmark, 1993.