Статистическая теория кристаллизации простых систем тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

РГб од

2 О МАЙ--М?

На правах рукописи РЫЖОВ Валентин Николаевич

Статистическая теория кристаллизации простых систем

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Дубна, 1997

Работа выполнена в Институте Физики Высоких Давлений РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Ю.Л.Климонтович доктор физико-математических наук Н.М.Плакида

доктор физико-математических наук Б.И.Садовников

Ведущая организация: Математический Институт им. В.А.Стеклова РАН.

Защита состоится "К 1997 г.

на заседании специализированного ученого совета Д 047.01.01 в Лаборатории теоретической физики Объединенного института ядерных исследований, г. Дубна.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИЯЙ. Автореферат разослан "30 " 1997 г.

Ученый секретарь совета,

доктор физико-математических наук

В.И.Журавлев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы и состояние вопроса.

Одним из наиболее универсальных свойств различных веществ является способность находиться в газообразном, жидком и кристаллическом состоянии. Все вещества претерпевают переход в кристаллическую или стеклообразную фазу при соответствующих термодинамических условиях, причем система, которая в нормальных условиях замерзает в кристаллическую фазу, при подходящем изменении скорости охлаждения может быть переведена в стеклообразную или квазикристаллическую фазу.

В случае трех измерений для простых (т.е. обладающих сферически симметричным потенциалом) моноатомных жидкостей основные свойства перехода жидкость - твердое тело, которые следуют из эксперимента и компьютерного моделирования, можно сформулировать следующим образом:

(1). Плавление является переходом первого рода, и на кривой равновесия жидкость - твердое тело отсутствует критическая точка.

(2). В окрестности кривой кристаллизации 3(дт) и 2.85 для всех классических жидкостей (правило Верле). (Здесь дт-зпачение д, соответствующее положению первого пика структурного фактора).

(3). Отношение средней амплитуды колебаний атомов к межчастичному расстоянию в твердом теле при температуре пла,-вления есть величина постоянная 7 = у/< (ДД)2 >/В, к с, где с « 0.1 (критерий плавления Линдемана).

(4). Значение изменения энтропии Д61 при плавлении является весьма устойчивой характеристикой плавления и имеет значение, близкое к кв 1п 2 на атом, если вычесть часть (Д5)„, соответствующую изменению энтропии за счет изменения объема при кристаллизации.

Последовательная теория кристаллизации должна описывать все описанные выше свойства перехода и предсказывать термодинамические условия, при которых из неупорядоченной структуры образуется кристалл, характеризуемый неоднородной локальной плотностью р(г), имеющей симметрию

кристаллической решетки. Заметим, что локальная плотность связана с одночастичной функцией распределения .Fi(r) соотношением /э(г) = pFi(r), где р - средняя плотность системы, то есть при кристаллизации нарушается симметрия одночастичной функции распределения.

В последние годы был достигнут существенный прогресс, как качественный, так и количественный, в описании кристаллизации классических систем. Этот прогресс в первую очередь был связан с разработкой метода функционала плотности в теории кристаллизации (density-functional theory of freezing), который был развит в работах Рамакришнана и Юссуффа, автора, а также Хеймета. и Окстоби.

Несмотря на очевидные успехи в качественном и количественном описании кристаллизации различных систем, связанные с разработкой метода функционала плотности, остаются фундаментальные вопросы, на которые до сих пор не получены исчерпывающие ответы. В первую очередь это вопрос, обязательно ли периодическая кристаллическая решетка соответствует основному состоянию системы. В принципе, может существовать анизотропное состояние конденсированной среды, которое не имеет кристаллического порядка. Действительно, в кристаллическом твердом теле по сравнению с изотропной жидкостью нарушены две симметрии - трансляционная и ориентационная. Как уже отмечалось, нарушенная трансляционная симметрия проявляется в нарушении симметрии одночастичной функции распределения, которая приобретает симметрию кристаллической решетки. Нарушенная ориентационная симметрия определяется с помощью выделенных кристаллографических направлений. Эти две симметрии не являются независимыми - нарушенная трансляционная симметрия предполагает наличие дальнего ориентационного порядка. При этом можно представить себе состояние конденсированной среды, в котором существуют дальние корреляции в направлениях локальных кристаллографических осей, но без дальнего трансляционного порядка. Ориентационный порядок связан с дальними корреляциями в направлениях "связей", т. е. векторов, соединяющих выбранный атом с ближайшим

соседом. Этот тип ориентационного порядка называется ори-ентационным упорядочением связей (bond-orientational order) и может быть описан в терминах нарушения симметрии двухчастичной функции распределения.

Безусловные экспериментальные доказательства существования дальнего порядка в ориентациях связей в реальных трехмерных жидкостях отсутствуют но при компьютерном моделировании подобное состояние наблюдалось. Однако в случае двух измерений в ряде экспериментальных систем наблюдается состояние с ориентационным порядком связей, называемое гексатической фазой.

В случае двух измерений переход жидкость-твердое тело может принципиально отличаться от перехода в случае обычных трехмерных систем. Значительный прогресс в понимании плавления в двух измерениях был достигнут после появления феноменологической теории Гальперина, Нельсона и Янга, базирующейся на идеях Костерлица и Таулеса (теория KTHNY). Эта теория предсказывает, что переход между кристаллом и изотропной жидкостью может происходить посредством двух непрерывных переходов, соответствующих диссоциации дислокационных и дисклинационных пар, соответственно. Диссоциация дислокационных пар приводит к появлению промежуточной гексатической фазы, модуль сдвига которой ц равен нулю. В гексатической фазе существуют связанные дисклина-ционные пары (свободные дислокации), диссоциация которых при некоторой более высокой температуре Т, приводит к переходу гексатической фазы в изотропную жидкость. Для описания свойств гексатической фазы Гальперин и Нельсон предложили использовать феноменологический гамильтониан вида НА = 1/2КА{Т) / d2r (Vw(r))2, где КЛ(Т) - модуль Франка.

Вместе с тем, плавление двумерной системы может происходить и посредством одного перехода первого рода, аналогично тому, как это происходит в случае трех измерений.

Совокупность реальных и компьютерных экспериментов позволяет сделать вывод, что тип плавления главным образом определяется видом потенциала, при этом первый род перехода становится менее выраженным при смягчении потен-

циала. Представляется вероятным, что система плавится посредством двух непрерывных переходов для мягких потенциалов вида 1 /г, но для потенциала твердых дисков плавление происходит как переход первого рода.

Таким образом, построение микроскопической теории, позволяющей анализировать свойства перехода жидкость-твердое тело, исходя из статистических свойств жидкой фазы, является актуальной задачей.

Целью работы является

—построение статистической теории, позволяющей исследовать устойчивость жидкого состояния и рассчитывать параметры кристаллизации простых трехмерных жидкостей, исходя из знания статистических свойств жидкой фазы; —разработка микроскопического подхода к описанию ориен-тационного упорядочения связей и локальной структуры простых трехмерных жидкостей;

—исследование зависимости характера плавления двумерных твердых тел от параметров системы, включая зависимость от вида потенциала взаимодействия;

—исследование плавления в конкретных двумерных системах: системе твердых дисков, классическом двумерном электронном газе, системе вихрей в тонкой сверхпроводящей пленке; —разработка статистической теории , описывающей резистив-ный переход в двумерном сверхпроводнике, связанный с диссоциацией пар вихрь-антивихрь (переход типа Костерлица-Та-улеса).

Научная новизна и практическая ценность работы:

—Предложен новый подход в классической статистической механике - метод интегростепенных уравнений для условных функций распределения, который содержит элементы методов функций распределения и вириальных разложений. —Развит новый подход к описанию кристаллизации простых трехмерных жидкостей - метод функционала плотности в теории кристаллизации.

—Впервые предложен микроскопический подход к описанию состояния с ориентационным порядком связей в простых трех-

мерных жидкостях, на основании которого проведен анализ локального упорядочения в системе с потенциалом Леннарда-Джонса.

—Впервые получено микроскопическое выражение для модуля Франка гексатической фазы, что позволило впервые провести вычисления параметров перехода жидкость-твердое тело в двумерном электронном газе, системе твердых дисков, системе вихрей в двумерном сверхпроводнике. —Впервые предложена последовательная статистическая теория перехода типа Костерлица-Таулеса в двумерном сверхпроводнике, позволяющая описать свойства системы во всем интервале температур, включая низкотемпературный "хвост" сопротивления.

В последнее десятилетие метод функционала плотности является самым распространенным методом, позволяющим описывать кристаллизацию в различных трехмерных системах, и широко используется для анализа реальных и компьютерных экспериментов, в которых рассматривается переход жидкость-твердое тело. Развитая в диссертации микроскопическая теория двумерного плавления несомненно окажется полезной при изучении физики двумерных систем. Предложенный подход к описанию перехода типа Костерлица-Таулеса в двумерном сверхпроводнике позволяет объяснить результаты ряда экспериментов в тонких сверхпроводящих плёнках.

На защиту выносятся следующие основные результаты, полученные в диссертации:

1) Предложен новый метод в классической статистической механике - метод интегростепенных формально замкнутых уравнений для условных функций распределения. Показано, что применение этого метода позволяет получить ряд новых результатов при рассмотрении вопросов устойчивости и фазовых переходов в классических жидкостях.

2) Проанализирована устойчивость классической жидкости по отношению к образованию состояния с нарушенной

симметрией одночастичной функции распределения - кристаллической фазы. При этом показано, что в случае твердых сфер неустойчивость возможна только в случае конечного изменения плотности в точке перехода.

3) Развит метод функционала плотности в теории кристаллизации, позволяющий рассчитывать кривые кристаллизации классических систем, исходя из статистических свойств жидкой фазы.

4) Предложен микроскопический подход к описанию состояния с ориентационным упорядочением связей. Проанализирована устойчивость изотропной фазы относительно нарушения изотропии двухчастичной функции распределения, что соответствует образованию состояния с ориентационным упорядочением связей, и показано, что в случае системы твердых сфер это состояние не существует, а в системе с потенциалом Леннарда-Джонса это состояние может существовать только в глубоко переохлажденной жидкости.

5) Исследованы ориентационные флуктуации двухчастичной функции распределения, определяющие локальную структуру плотной жидкости, и показано существование в локальной структуре жидкости с потенциалом Леннар-да-Джонса элементов икосаэдрической симметрии.

6) На основе феноменологической модели проанализированы различные сценарии двумерного плавления и показано, что в зависимости от энергии ядер дефектов и величины ротационной жесткости двумерная решетка может плавиться посредством как одного перехода первого рода, так и двух непрерывных переходов типа Костер-лица-Таулеса.

7) Получены микроскопические выражения для модулей упругости двумерных решеток, а также впервые получено микроскопическое выражение для модуля Франка гекса-1ической фазы. На основе полученных выражений исследовано плавление двумерного Вигнеровского кристалла

и системы твердых дисков, а также исследована зависимость поведения перехода гексатическая фаза - изотропная жидкость от радиуса взаимодействия. Полученные результаты позволяют сделать вывод, что системы с непрерывным потенциалом плавятся посредством двух непрерывных переходов, в то время как в системе с потенциалом твердых дисков плавление происходит как переход первого рода.

8) Используя развитый микроскопический подход к описанию двумерного плавления, рассмотрено плавление ре-щетки вихрей в двумерном сверхпроводнике и показано, что система плавится посредством двух непрерывных переходов.

9) Для случая малых внешних полей построена статистическая теория перехода типа Костерлица-Таулеса в двумерном сверхпроводнике. Теория базируется на использовании кольцевого приближения для дальнодействую-щего потенциала взаимодействия между вихрями, и, в отличие от метода ренормгруппы, позволяет описать поведение системы во всем интервале температур, включая низкотемпературный "хвост" сопротивления.

Достоверность и обоснованность

полученных результатов определяется: адекватностью моделей описываемым физическим процессам, хорошим совпадением полученных результатов с данными реальных и компьютерных экспериментов, совпадением результатов диссертации с результатами других авторов в областях, где может быть проведено сравнение.

Апробация результатов.

Основные результаты докладывались на Верещагинской международной конференции по физике и технике высоких давлений (Москва, 1979), II Международном симпозиуме по избранным проблемам статистической механики (Дубна, 1981), II Советско-Итальянском симпозиуме по математическим проблемам статистической физики (Львов, 1985), IV Международ-

ном симпозиуме по избранным проблемам статистической механики (Дубна, 1987), XI Международном симпозиуме МАРИВД,(Киев, 1987), Международной конференции "Простые молекулярные системы при высоких плотностях" (ЛсЗуш, Франция, 1988), VI Германо-Российско-Украинском семинаре по высокотемпературной сверхпроводимости (Дубна, 1993), Боголюбовских чтениях (Международное Совещание, Дубна, 1993), 30-м совещании по физике низких температур (ОИЯИ, Дубна, 1994), Международной конференции "Настоящее и будущее высоких давлений" (Троицк, 1995), Средне-Европейской конференции по статистической механике (Любляна, Словения, 1996) и неоднократно обсуждались на семинарах в ИФВД РАН, МИ РАН, ЛТФ ОИЯИ.

Публикации: Основные результаты опубликованы в 21 статье, а также в сборниках трудов конференций и семинаров.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. Работа изложена на 270 страницах, содержит 27 рисунков и список литературы, включающий 592 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ГЛАВА 1.

Интегральные уравнения для условных функций распределения в классической статистической механике.

В принципе, равновесные статистико-механические свойства системы полностью описываются распределением Гиббса. Однако непосредственно статистическая сумма может быть вычислена в крайне ограниченном числе случаев, в силу этого

приходится использовать различные формализмы, более приспособленные к решению конкретных задач. В параграфе 1.1 данной главы описан ряд основных методов исследования статистико-механических свойств конденсированной среды (цепочки ББГКИ, Зальцбурга-Кирквуда, Скофилда, метод производящего функционала, вириальные разложения). Все эти формализмы получены из распределения Гиббса и в этом смысле эквивалентны.

В параграфе 1.2 разработан новый формализм - метод нелинейных интегростепенных уравнений для условных функций распределения, который содержит в себе элементы методов функций распределения и вириальных разложений и при применении которого активно используются методы функциональных разложений.

Условная функция распределения ^(г^г®,.. . характеризует вероятность обнаружения частицы в окрестности гх, если в точках ,..., закреплены другие частицы:

(Г1)Г°, ... ,г°) = (П, Г?,. . . , Г?)/Д (г?, ..., г°).

Здесь Жп,...,гэ) -5-частичнаяфункция распределения. Уравнение для функции Fs-fl(r^|r],,..г°) имеет вид:

г

= ехР|-/3£ф(|гх-г2|) + £^ / ^(^..„М X к=1 к> 1 у

X (г2|г?,..., г») • • • (гл+1|г?,..., Г°)с?г2 • • • ¿г*+1)(*)

где Ф(г) - межмолекулярный потенциал, ^-^(гх,..., г^+х) - сумма неприводимых Майеровских диаграмм порядка к + 1. Величина 2 в общем случае может быть определена из условия нормировки: 1 (V / ^+1(г1|г°,..., г°) йх\ ~ 1.

Обе части уравнения (1) зависят от в него не входят высшие корреляционные функции. В этом смысле это уравнение формально является замкнутым нелинейным уравнением. Вместе с тем в правой части уравнения

стоит бесконечная сумма, для работы с которой необходимы дополнительные приближения. С помощью уравнения (1) могут быть получены выражения для термодинамических функций системы как функционалов условной функции распределения Fi+1(ri|rJ,...,r°).

Уравнение (1) эквивалентно другим известным уже методам классической статистической механики, описанным в данной главе. Например, продифференцировав обе части уравнения (1) по ri, можно получить цепочку Н.Н.Боголюбова. Поэтому использование уравнения (1) считаться оправданным, если удастся указать круг конкретных физических задач, при исследовании которых предлагаемый подход оказывается эффективнее, чем другие. В качестве иллюстрации в параграфе 1.3 рассмотрена простая задача об асимптотическом поведении многочастичной функции распределения. В параграфе 1.4 метод производящего функционала, использованный при выводе уравнения (1), применяется для вывода приближенного замкнутого уравнения для радиальной функции распределения. Более сложные задачи, демонстрирующие, на наш взгляд, эффективность предлагаемого подхода, обсуждаются в последующих главах.

ГЛАВА 2.

Статистическая теория кристаллизации простых трехмерных систем.

Как уже упоминалось, прогресс в описании кристаллизации классических систем в первую очередь связан с разработкой метода функционала плотности в теории кристаллизации (density-functional theory of freezing), который был развит в работах Рамакришнана и Юссуффа, автора[1, 2, 3, 4, 5], а также Хеймета и Окстоби. Описанию этой теории посвящена вторая глава диссертации.

В параграфе 2.1 описана теоретическая ситуация, кото-рал сложилась до разработки метода функционала плотности. Первой попыткой построения статистической теории кристаллизации, исходя из первых принципов, являлись классические

работы Кирквуда и Монро, а также Тябликова и Власова, в которых рассматривались нелинейные уравнения для одноча-стичной функции распределения, полученные из первого уравнения цепочки Боголюбова - Борна- Грина - Кирквуда - Ивона с помощью различных приближений для парной функции распределения. Эти уравнения всегда имеют постоянное решение р(т) = р1, соответствующее жидкой фазе, от которого при некоторых значениях входящих в уравнения параметров ответвляются решения, соответствующие кристаллической фазе. Эта теория привлекательна с качественной точки зрения, однако количественные результаты, к которым она приводит, неудовлетворительны. В частности, был обнаружен переход в одномерной системе, что, как известно, невозможно. Кроме того, межмолекулярный потенциал в явном виде входит в уравнения, что не дает возможности объяснить упоминавшийся универсализм кристаллизации в различных системах. Вместе с тем в теории Кирквуда - Монро - Власова - Тябликова содержалась идея, которая была впоследствии заложена в основу современного метода функционала плотности (МФП) в теории кристаллизации - получение термодинамических свойств твердого тела и вычисление кривой кристаллизации, используя только структурные свойства жидкости.

В параграфе 2.2 из уравнения (1) с в = 0 получен критерий устойчивости жидкости по отношению к непрерывному образованию кристаллической фазы. Этот критерий имеет вид: = 0. Этот критерий также был получен из пер-

вого уравнения цепочки Боголюбова. Уравнение 5_1(д) = О представляет собой условие абсолютной устойчивости жидкой фазы (уравнение спинодали). Оказалось, оно не имеет решения для системы твердых сфер, что противоречит результатам компьютерных экспериментов.

В параграфе 2.3 рассмотрена устойчивость однородного распределения по отношению к малому, но конечному изменению плотности в точке перехода. Оказалось, что в этом случае можно обнаружить неустойчивость в системе твердых сфер. Получен критерий, позволяющий определить границу устойчивости жидкой фазы, а также оценить скачок плотно-

сти в точке перехода и описано применение этого критерия к ряду классических систем. В целом рассмотренный в данном параграфе критерий неустойчивости однородной жидкости по отношению к образованию кристаллической структуры поз г. о ляет получать результаты, вполне удовлетворительные как с качественной, так и с количественной точки зрения. Вместе с тем он не может рассматриваться как достаточно последовательная теория кристаллизации, поскольку полученные жидкая и твердая фазы не удовлетворяют основным термодинамическим условиям, накладываемым на находящиеся в равновесии фазы - равенству давлений и химических потенциалов.

Построению последовательной теории кристаллизации - метода функционала плотности (МФП) - посвящен параграф 2.4. Использование уравнения (1) дает возможность определить свободные энергии жидкости и твердого тела, как единых функционалов одночастичной функции распределения. Из условия экстремума функционала свободной энергии можно получить нелинейное уравнение для локальной плотности, которое всегда имеет постоянное решение, соответствующее жидкой фазе. При некоторых значениях термодинамических параметров (температура Т, плотность р) возникает решение, имеющее симметрию заданной кристаллической решетки и соответствующее кристаллической фазе. Полученное таким образом решение характеризует некоторое локально устойчивое состояние. Для того, чтобы определить истинное положение перехода, необходимо привлечь дополнительные условия, которыми в случае фазового перехода первого рода являются условия равенства давлений Р3 = Р\ и химических потенциалов — щ жидкой и кристаллической фаз, соответственно. В результате получается замкнутая система уравнений, позволяющая определить параметры кристаллизации, исходя из знания равновесных структурных свойств жидкости. (Заметим, что межмолекулярный потенциал и температура не входят в явном виде в полученные уравнения, а свойства жидкой фазы включены через структурный фактор жидкости, что указывает на универсальность и "геометрический" характер кристаллизации).

Полученные уравнения применены для расчета параметров кристаллизации в системах с потенциалами твердых сфер и Леннарда-Джонса, при этом получено хорошее согласие с результатами реальных и компьютерных экспериментов. В настоящее время существуют несколько вариантов МФП, которые отличаются деталями используемых приближений (и подробно обсуждаются в параграфе 2.5), однако основные исходные моменты этих теорий совпадают.

ГЛАВА 3.

Ориентационное упорядочение связей и локальная структура простых жидкостей.

В этой главе предложен микроскопический подход к описанию ориентационного упорядочения связей и локальной структуры в простых трехмерных жидкостях [8, 9, 10, 11]. Как уже упоминалось, состояние с ориентационным упорядочением связей представляет собой состояние конденсированной среды, в котором существуют дальние корреляции в направлениях "связей", т. е. векторов, соединяющих выбранный атом с его ближайшим соседом, при этом отсутствует трансляционный порядок в положениях этих атомов.

В параграфе 3.1 приведена физическая постановка задачи и дан обзор компьютерных экспериментов и феноменологических теорий, посвященных рассмотрению ориентационного порядка связей. Безусловные экспериментальные доказательства существования дальнего порядка в ориентациях связей в реальных трехмерных жидкостях отсутствуют, но при компьютерном моделировании жидкости с потенциалом Леннарда-Джонса оказалось, что при переохлаждении примерно на 10% ниже температуры плавления возникают дальние ориентаци-онные корреляции без заметного увеличения трансляционной длины. Симметрия ориентационного порядка оказалась ико-саэдрической.

В параграфе 3.2 выведены уравнения, описывающие неустойчивость изотропной жидкости по отношению к образо-

ванию состояния с ориентационным порядком связей. В отличие от случая кристаллизации, где возникновение дальнего трансляционного порядка приводит к нарушению симметрии одночастичной функции распределения ^(г), в случае ориен-тациокиого упорядочения связей одночастичная функция распределения остаётся постоянной /<\(г) = 1, однако нарушается изотропия двухчастичной функции распределения .Р2(г1 — г2), характеризующей относительное расположение пары частиц Гх и г2, т.е. направление вектора г^ — г2. Для получения критерия устойчивости изотропной фазы используется уравнение (1) при в = 1.

Корреляция ориентационных флуктуации двухчастичной функции распределения, характеризующая локальное упорядочение жидкости выше точки перехода, определяется даль-нодействующим поведением четырехчастичной функции распределения т2, Гз, Г4) при условии |гх — Г21 —» 00;|г1 — Гг| ~ |г3 — Г4| « а, где а - расстояние до ближайшего соседа. В параграфе 3.2 с помощью уравнения (1) с 5 = 3 также получены микроскопические уравнения, определяющие поведение корреляционной длины ориентационных флуктуаций парной функции распределения.

Используя полученные в параграфе 3.2 уравнения, в параграфе 3.3 удалось показать, что для жидкостей с потенциалом Леннарда-Джонса нестабильность возникает в метаста-бильной области, соответствующей переохлажденной жидкости, корреляционная длина ориентационных флуктуаций двухчастичной функций распределения достигает заметной величины лишь в ближайшей окрестности точки неустойчивости, при этом локальная симметрия имеет существенную икоса-эдрическую составляющую.

ГЛАВА 4.

Микроскопическое описание плавления в двух измерениях.

Природа двумерного плавления являлась предметом интенсивного обсуждения в последние 20 лет. В параграфе 4.1 пред-

ставлен подробный обзор экспериментальной и теоретической ситуации в этой области. Совокупность компьютерных и реальных экспериментов, а также современных феноменологических теорий позволяют сделать вывод, что двумерное плавление может происходить как посредством одного перехода первого рода, так и через два непрерывных перехода типа Костерлица-Таулеса. Возможный сценарий плавления, по-видимому, зависит от формы потенциала.

В параграфе 4.2 введены параметры порядка кристаллической и гексатической фаз и рассмотрен феноменологический гамильтониан, описывающий переход жидкость-твердое тело в двух измерениях. Параметры порядка имеют амплитуду и фазу, при этом наиболее сильно в случае двух измерений флуктуирует фаза параметра порядка. Можно определить две характерных температуры: Тт и Тмр- При достижении температуры Тт в системе появляются свободные дислокации, соответствующие сингулярным флуктуациям (вихрям) фазы кристаллического параметра порядка. Появление свободных дислокаций приводит к тому, что система перестает оказывать сопротивление сдвигу {р, = 0), т.е. становится жидкостью. Температура Тт, при которой появляются свободные дислокации, является температурой плавления. Следует подчеркнуть, что при температуре Тт модуль параметра порядка не обращается в нуль. Модуль параметра порядка становится равным нулю при некоторой температуре ТмРч которая может быть определена из условия равенства свободных энергий жидкой и твердой фаз как функционалов параметра порядка (или локальной плотности). Тмр соответствует переходу в приближении среднего поля. Возможны два случая: (1) ТШ7 < Тщ > система плавится посредством перехода первого рода в силу наличия членов 3 порядка в разложении свободной энергии; (2) Тт < Тмр-, система плавится посредством двух непрерывных переходов типа Костерлица-Таулеса при диссоциации дислокационных пар или посредством перехода первого рода при появлении свободных дисклинаций.

Последний сценарий плавления рассмотрен в параграфе 4.3 [12, 13] на основе модели, в которой кроме стандартной упру-

гой энергии рассматривалась ориентационная жесткость решетки а. Было показано, что существует критическое значение ас ротационной жесткости, выше которой система всегда плавится посредством двух непрерывных переходов. При этом при а < ас (включая стандартный случай а = 0) система плавится посредством двух непрерывных переходов, если энергия ядра дисклинации Ed больше критического значения Е%, при Ed < E*à плавление происходит как переход первого рода, при котором в системе возникают свободные дисклинации. Этот результат согласуется с результатами компьютерного моделирования поведения систем дефектов.

В параграфе 4.4 [14, 15] с помощью уравнения (1) получены микроскопические выражения для модулей упругости двумерного кристалла и модуля Франка гексатической фазы Ка(Т). Заметим, что полученные выражения для модулей упругости справедливы не только для непрерывных, но и для сингулярных потенциалов типа потенциала твердых дисков.

В параграфах 4.5 и 4.6 полученные выражения для модулей упругости и модуля Франка применены для рассмотрения плавления двумерного Вигнеровского кристалла и системы твердых дисков [16, 17] и показано, что в Вигнеровском кристалле появление свободных дислокаций, приводящее к обращению в нуль модуля сдвига и плавлению, происходит прежде достижения среднеполевой термодинамической неустойчивости. При этом температура плавления Тт ниже температуры Т; неустойчивости гексатической фазы по отношению к образованию свободных дисклинаций, т.е. плавление двумерной системы с дальнодействукяцим взаимодействием происходит посредством двух непрерывных переходов. В то же время в системе твердых дисков гексатическая фаза неустойчива при всех плотностях и система плавится посредством перехода первого рода, совпадающего с точкой среднеполевой термодинамической неустойчивости. Полученные результаты находятся в хорошем согласии с результатами экспериментов, а также компьютерного моделирования.

ГЛАВА 5.

Статистическая механика системы вихрей в двумерных сверхпроводниках.

Резистивные свойства тонких сверхпроводящих пленок определяются в первую очередь поведением системы вихрей. В ненулевых магнитных полях появление сопротивления в системе совпадает с кривой плавления решетки вихрей. В тонких сверхпроводящих пленках энергия взаимодействия двух вихрей, расположенных в точках г; и V] (гц — |г,- — £)

имеет вид:

где Л(Т) = 2Х2в(Т)/(1 - эффективная глубина проникновения, й - толщина пленки, Ад - объемная глубина проникновения, Фо = /гс/2е - квант потока, Н0(х) - функция Струве, Уо(х) -функция Неймана.

В параграфе 5.1 рассмотрено плавление системы с потенциалом (2) [17, 18]. Потенциал (2) является дальнодействую-щим (он даже "мягче", чем кулоновский потенциал 1/г), поэтому, в соответствии с приведенным выше обсуждением двумерного плавления, оказывается, что решетка вихрей плавится посредством двух непрерывных переходов.

В случае малых полей скачок сопротивления при плавлении вихревой решетки должен быть очень мал в силу малой плотности вихрей (< п >ос Н где Н - внешнее магнитное поле). Реально переходом из сверхпроводящего в нормальное состояние является переход типа Костерлица-Таулеса, связанный с диссоциацией пар вихрь-антивихрь, который подробно обсуждается в параграфе 5.2. Используемый обычно для описания перехода Костерлица-Таулеса метод ренормгруппы, строго говоря, неприменим для рассмотрения системы с потенциалом

¿[ЯоШ-Уо®]

гц < А (2) гц > Л

(2). В параграфе 5.2 предложена статистическая теория рези-стивного перехода в двумерном сверхпроводнике [19, 20, 21], не использующая метод ренормгруппы. Рассмотрение базируется на применении известного в теории плазмы кольцевого приближения к потенциалу (2), что позволило описать поведение системы во всем интервале температур, включая низкотемпературный "хвост" сопротивления. При этом показано, что фазовый переход, связанный с диссоциаций пар вихрь-антивихрь, в системе отсутствует, однако существует плавное, но очень быстрое изменение плотности свободных вихрей (а значит и сопртивления) в окрестности некоторой характерной температуры Ткт-

В Заключении перечислены основные результаты, полученные в диссертации и вынесенные на защиту.

Литература

[1] V. N. Ryzhov and Е. Е. Tareyeva, Towards a statistical theory of freezing. Phys. Lett. A 75, 88-90 (1979).

[2] В. H. Рыжов, E. E. Тареева, К статистической теории кристаллизации в системе твердых сфер. ТМФ 48, 416-423 (1981).

[3] V. N. Ryzhov and Е. Е. Tareyeva, On the liquid phase instability criterion. Physica A 109, 357-363 (1981).

[4] В. H. Рыжов, Статистическая теория кристаллизации в классических системах. ТМФ 55, 128-136 (1983).

[5] В. Н. Рыжов, Е. Е. Тареева, Т. И. Щелкачева, Статистическая теория кривой плавления водорода. ФНТ 12, 530-533 (1986).

[6] В. Н. Рыжов, Е. Е. Тареева, Об одном уравнении для радиальной функции распределения. ДАН СССР 257, 1102-1104 (1981).

[7] В. Н. Рыжов, Е. Е. Тареева, Асимптотическое поведение многочастичных функций распределения. ДАН СССР 295, 90-94 (1987).

8] В. Н. Рыжов, Е. Е. Тареева, Микроскопическое описание ориентациопного упорядочения связей в простых трехмерных жидкостях. ТМФ 73, 463-474 (1987).

9] V. N. Ryzhov and Е. Е. Tareyeva, Bond orientational order in simple liquids. J. Phys. С 21, 819-824 (1988).

10] В. H. Рыжов, Ориентационное упорядочение связей в простых трехмерных жидкостях. ТМФ 80, 107-117 (1989).

11] V. N. Ryzhov, Local structure and bond orientational order in a Lennard-Jones liquid. Л. Phys.: Condens. Matter 2, 58555865 (1990).

12] В. H. Рыжов, Дисклинационное плавление двумерных решеток. ТМФ 88, 449-458 (1991).

13] В. Н. Рыжов, Дислокационно-дисклинационное плавление двумерных решеток. ЖЭТФ 100, 1627-1639 (1991).

14] V. N. Ryzhov and Е. Е. Tareyeva, Hexatic phase: microscopic approach to the Frank constant. Phys. Lett. A 158, 321-324 (1991).

15] В. H. Рыжов, E. E. Тареева, Микроскопический подход к вычислению модулей упругости и модуля Франка в двух измерениях. ТМФ 92, 331-343 (1992).

16] V. N. Ryzhov and Е.Е. Tareyeva, Two-stage melting in two dimensions: first-principles approach. Phys. Rev. В 51, 87898794 (1995).

17] В. H. Рыжов, Е. Е. Тареева, Микроскопическое описание двухстадийного плавления в двух измерениях. ЖЭТФ 108, 2044-2061 (1995).

18] V. N. Ryzhov and Е. Е. Tareyeva, Hexatic phase in thin-film superconductors. Physica С 205, 55-62 (1993).

[19] В. Н. Рыжов, Е. Е. Тареева, Статистическая механика системы вихрей в тонкой сверхпроводящей пленке в кольцевом приближении. ТМФ 96, 425-437 (1993).

[20] V. N. Ryzliov and Е. Е. Tareyeva, Statistical mechanics of vortex systems in thin-film superconductors. Phys. Rev. В 48, 12907-12911 (1993):

[21] V. N. Ryzhov and E. E. Tareyeva, Results for the phase diagram of the vortex system in two-dimensional superconductors. Phys. Rev. В 49, 6162-6173 (1994).