Нелинейная модель Больцмана - Энскога и автокорреляционные функции тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

ФИЗИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

Масленников Илья Игоревич

НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ БОЛЬЦМАНА - ЭНСКОГА И АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика.

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

7 НОЯ 2013

Москва 2013 г.

005537133

005537133

Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и информатики Международного университета природы, общества и человека "Дубна" Иноземцева Н.Г.

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико - математических наук, профессор кафедры теоретической физики Башкирского государственного университета М.Х.Харрасов

доктор физико-математических наук, профессор кафедры общей физики и магнитоупорядоченных сред С.С. Кротов

Лаборатория теоретической физики имени Н. Н. Боголюбова Объединенный Институт Ядерных Исследований, г. Дубна

Защита состоится "5" декабря 2013г. в 16 ч.ЗО мин. на заседании Диссертационного совета Д 501.002.10 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу:

119991, Москва, ГСП-1, Воробьёвы горы, МГУ, д. 1, строение 2, физический факультет, аудитория "СФА"

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М.В Ломоносова.

Автореферат разослан "_" октября 2013г.

Учёный секретарь

Диссертационного совета Д 501.002.10 доктор физико - математических наук,

профессор П. А. Поляков.

Общая характеристика работы.

В диссертации исследованы свойства кинетического уравнения для классических систем частиц с бинарным взаимодействием, содержащим твердый "кор" и дальнодействующую компоненту, и рассмотрены обобщенные линеаризованные гидродинамические уравнения в модели твердых сфер.

Актуальность темы.

Изучение процессов установления равновесия в классической статистической механике имеет важное значение для обоснования кинетических теорий, так как для этих процессов существуют способы сокращения описания микроскопических систем, в той или иной степени использующих идеи Максвелла и Гильберта: кинетические уравнения для приведенных функций распределения, получаемые при том или ином способе расцепления бесконечной цепочки интегро-дифференциальных уравнений Боголюбова, Борна, Грина, Кирквуда, Ивона (ББГКИ). Нелинейные системы с бесконечным числом степеней свободы не могут быть проанализированы с помощью достаточно надежных математических методов, вследствие чего возникает необходимость построения различных моделей. В свою очередь подобные модели, значительно упрощающие картину неравновесных макроскопических процессов, оказываются недоступными для точного математического рассмотрения и требуют разработки приближенных методов. Постановка и решение проблем, касающихся определения области применимости подобных моделей, вплоть до настоящего времени, относятся к классу наиболее трудных задач статистической механики. Другое направление исследований предравновесных состояний связано с методом временных автокорреляционных функций (ВКФ). Интерес к их использованию обусловлен несколькими обстоятельствами. Во-первых, усреднение ВКФ по времени позволяет найти замкнутые представления для коэффициентов переноса. Во-вторых, зависимость ВКФ от времени содержит информацию о степени важности различных механизмов релаксации на том или ином этапе приближения к равновесному состоянию. В-третьих, результаты экспериментальных исследований динамики многочастичных процессов

путем моделирования на ЭВМ допускают удобную формулировку посредством ВКФ токов сдвиговой вязкости и теплопроводности.

Особую актуальность приобрело исследование моделей, обладающих точными решениями и применимых к системам умеренной плотности. В предлагаемой диссертационной работе впервые проведено исследование свойств кинетического уравнения для систем частиц с бинарным взаимодействием, содержащим твердый "кор" и дальнодействуюгцую компоненту - обобщенного уравнения Больцмана-Энскога. На основе приближенного подхода к анализу коллективных взаимодействий рассмотрены обобщенные линеаризованные гидродинамические уравнения в модели твердых сфер, и впервые показано, что обобщенная матрица коэффициентов переноса не является самосопряженной при учете конечных размеров области двухчастичного взаимодействия.

Цель диссертационной работы.

Целью настоящей диссертационной работы является построение решений нелинейного уравнения Больцмана-Энскога в акустическом и гидродинамическом приближениях и их применение к вычислению асимптотики кинетических частей временных автокорреляционных функций токов сдвиговой вязкости и теплопроводности. Изучается также решение обобщённых гидродинамических уравнений, возникающих при анализе свойств решений приближенного кинетического уравнения в модели твердых сфер, учитывающего коллективные взаимодействия.

Научная новизна работы.

Научная новизна диссертации состоит в следующем:

- Получены решения обобщенного нелинейного уравнения Больцмана-Энскога, соответствующие малым периодическим возмущениям функции распределения;

- Впервые найдено замкнутое аналитическое выражение для асимптотики временных автокорреляционных функций токов сдвиговой вязкости и теплопроводности, полученное с учетом дальнодействующий компоненты бинарного взаимодействия;

- Впервые доказана неэрмитовость матрицы коэффициентов

переноса для обобщенного кинетического уравнения для

одночастной функции распределения, учитывающего коллективные взаимодействия.

Научная и практическая значимость.

Полученные в диссертации теоретические результаты вносят весомый вклад в решение проблемы описания процессов релаксации в макроскопических системах с реалистическим бинарным взаимодействием. Полученные решения могут быть использованы для расчета поправок к величинам коэффициентов переноса, рассчитанных на основе классического уравнения Больцмана.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на семинарах теоретического отдела Института Ядерной Физики в Ржеже (Чешская Республика), в Лаборатории теоретической физики имени H.H. Боголюбова Объединённого института ядерных исследований, на физическом факультете Государственного Санкт-Петербургского университета, на Международном конгрессе по математической физике (Прага, Чешская Республика, 2009 год), Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения H.H. Боголюбова (Дубна, 2009 год).

Публикации.

По теме диссертации опубликованы 4 печатных работы, из низ 3 в журналах из списка ВАК и одна монография, ссылки на которые указаны в конце автореферата.

Структура диссертации.

Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 104 страницы. Список литературы включает 68 ссылок.

Содержание диссертации.

Во введении содержится обзор современного состояния исследования проблем кинетической теории, рассматриваемых в диссертации. Сформулированы цели проведенных исследований. Кратко освещается содержание работы.

В первой главе исследованы решения уравнения Больцмана-Энскога с дальнодействием

= па2 | (у2|1<г)|/(/,г„У1*)/(/>г1+а(7,У2*)-/^,г1,У1)/^г1-а<7,У2)|^(7Л2+ (1) ("2.1 ■»)*<>

+ р(,2>Гг), а

т1 сг, ОУ,

где п -равновесная плотность, а - диаметр твердого «кора», /(г, г, у) -одночастичная функция распределения, |а-| = 1,у,\у2 ^,±<7(^2-^)0-), р(/,г2) = |/(/,г2,у2)<Л'2 , дальнодействующая компонента потенциала Ф0(|г, -/-2|) , позволяющая применить уравнение (1) для описания процессов в реальных системах.

В §1 рассмотрены свойства оператора Больцмана-Энскога, возникающего при определении структуры решений уравнения (1), соответствующих малым отклонениям функции распределения /(г,г,у) от равновесных. С этой целью используется представление функции распределения в виде

/ = Я,(1 + Ч0,

где (/,/■, у) = |е'АгхРА,__(у)-е "с/к!к, в - равновесная температура, т - масса

частицы. Построение явного вида решений (2) эквивалентно рассмотрению спектральной задачи

где ф(а) = Ак (у) - оператор Больцмана-Энскога

Ак(у)Х(р) = а2 | [(VV)ст](V*) + ЛГ(V*■)-^Г(V)-^(V•)]Лт, (4)

где |с| = 1, = у±о-((у'-у)(т).

Спектр оператора Больцмана-Энскога Ак (у), не коммутирующего с сопряженным ему (V), вырожден при |а| -> 0.

В §2 определены решения спектральной задачи в первом порядке по параметру однородности £:

где г0 - масштаб убывания Ф0 -гг\),г0 » а.

Собственные функции оператора, стоящего в правой части (3), не являются ортогональными при введении скалярного произведения

(Ч',*) = /¥*;№,(»)*>.

Построен естественный базис для вычисления х¥к: (у), соответствующих гидродинамическим возмущениям г [к) 0 при (А) —> 0, и определены нормированные решения спектральной задачи (3) в первом порядке по параметру однородности.

Гидродинамическая часть спектра проанализирована в §3, где показано, что форма поправок к гидродинамической части спектра определяется тензором

°л = ~1г-Г--(5)

где Ч^ - собственные функции оператора Больцмана, отвечающие ненулевым

собственным значениям Я3, а Ч^ - решения спектральной задачи (3) в

к

первом порядке по параметру однородности, е=щ.

Глава 2 посвящена изучению свойств нелокального кинетического уравнения в модели твёрдых сфер, получающегося при обрыве цепочки уравнений ББГКИ посредством предположения Оэ = 0 в представлении для функции распределения вида

Е,(/;1,2) = 3(/;2)Ц(/;2) + С2(/;1,2),

Р3(/;1,2,3) = Ч(М)Ч(/;2)Ч(/;3)+ X М^^ + Сз^и.З)... (6)

Здесь введено обозначение Р1(/;1) = /(/,г,,у1), Р,(г;2) = /(г,/-2,у2), (/;1,2) -двухчастичная функция распределения. В §1 рассмотрен вывод линеаризованного кинетического уравнения, описывающего состояние системы твердых сфер, близкое к равновесному. Оно получается после исключения *Г2(г;1,2) из линейной системы уравнений

а

+ 4>0)

% (/;1) = «|л2ф0 (у2)г12 (ч>, (/;1)(/;2) + <Р2 (/;1,2))

| (&зФ0 ( ) з (Ч^ (г; 1,2) + Ч'г (?; 2,3)) + Г23 (Ч*2 (/; 1,2) + Ч*2 (/; 1,3)) ^,

где Ч»,, 4*2 - отклонения функций В, (г;1) и в2(г,\,2) от их равновесных значений,

С2(/;1,2) = ф0(у1)ф0(у2)Ч'2(п1,2) Фо("|) " равновесная максвелловская функция распределения, =

(8)

д_ ал'

а-диаметр сферы, <т - единичный вектор, Ъа - оператор замены скоростей , на +<т(у,соответственно. Показано, что искомое

уравнение для функции ¥,(/;!) является нелокальным как по времени, так и по пространственным координатам, что соответствует учету коллективных взаимодействий.

В §2 изучается возможность перехода к гидродинамическому описанию системы твердых сфер. При этом естественно применить метод проекционных операторов, позволяющих явным образом определить эволюцию гидродинамических моментов функций ^.(м-), определенных

соотношением

С этой целью используется представление (г, у) в виде

%{1,у) = РЧ>к{1,г) + Р1Ч'к{1,г), (11)

где Р - оператор проектирования на гидродинамическое подпространство, базисными векторами которого являются 1, V, V2 в гильбертовом пространстве с нормой

и Р± = \-Р. Поскольку уравнение для имеет вид

+ Я,№М = 0, (12)

где Ад (/)- некоторый оператор, то можно представить (12) в виде системы уравнений

(«V)) + (п V))* (Аа,р)(р% М) = о.

Показано, что структура уравнений (13) такова, что влияние начальных условий Р±%(0;у) экспоненциально затухает со временем существенно быстрее, чем вклад величин в области малых к, для которых

определены гидродинамические уравнения. Нелокальные линеаризованные

9

уравнения гидродинамики, связывающие производные по времени от величин Р^Д^у), характеризующие отклонения плотности, макроскопической скорости и температуры от равновесных значений, с линейными комбинациями этих величин в моменты времени 0-и:

(«V))

где £(г) - оригинал оператора

{РАк ^)Р-(РАк (г)Р±)(2 + Р±Ак (г)Р±)"' (Р±Ак (г)Р),

СО

где А,(2) = |е-&А,(/)Й.

о

В §3 построено явное выражение для различных проекций оператора Ак (г) и определена структура соответствующей матрицы коэффициентов переноса. Для этого использовано представление для Ак [г) в виде

А * (г) = /Лу - иЛ0 (V) - ¡апккх (V)+^- А2(у)-Щ,

где Л0, Л,, Л2 - коэффициенты разложения по степеням (ак) оператора Ак (у) , определённого соотношением

ЛА (у)^(у) = а2 | ф0(V')(V'- V)о-£/егхI^^V*^ + ху^-^(V)-(V')е'Ла<г|.

Оператор 1Ук, не имеющий аналога в обычной локальной теории уравнений гидродинамики, приводящей к уравнениям Навье-Стокса, имеет высший порядок по к — . Поэтому допустимо рассмотреть лишь оператор Щ, действие которого определено посредством соотношений

й- (И)

С;ГГМГ М,^. (V),

где представляет собой ортонормированный базис собственных

функций нулевого приближения для оператора (гЛу-пЛ0(у)), -

собственные значения оператора

обращающиеся в нуль при Матрица С„,гмг определяется

соотношением

Сцч",1гг = С(* - ч)Си- (?) СЙ (* - ч) Сг1 (?),

где С,г(?) - коэффициенты разложения собственных функций оператора (у) по ортонормированным базисам функций нулевого приближения для оператора

т=1

При использовании представления

РЧьЫ^Ч*)^)

ы

получена система уравнений для гидродинамических величин

1

— N

г,(*>(г)=о,

(15)

;

Коэффициент при к2 в (15) представляет собой обобщенную матрицу коэффициентов переноса, зависящих от г и волнового вектора к. Показано, что учет конечности области взаимодействия приводит к неэрмитовости этой матрицы.

Третья глава диссертационной работы содержит исследование асимптотики временных автокорреляционных функций ВКФ С^ (г) и (/) вязкости и теплопроводности.

В §1 дано определение кинетических частей ВКФ. Показано, что сингулярная часть начального условия в этом определении для одночастичной функции распределения полностью описывает асимптотическое поведение ВКФ. Анализ свойств ВКФ проводится на основе полученных в главе 1 выражений для собственных функций и собственных значений обобщенного оператора Больцмана - Энскога, задающего структуру решений кинетического уравнения для неравновесной одночастичной функции распределения. В §2 рассмотрена линеаризованная обобщенная модель Больцмана - Энскога. Показано, что в данном приближении асимптотика ВКФ является экспоненциальной, причем характерные масштабы времени полностью определяются равновесными характеристиками системы. Детально исследуется вопрос о применимости теории возмущений для описания нелинейных эффектов. На основе свойств оператора Больцмана - Энскога показано, что способ построения приближенного решения нелинейного кинетического уравнения при

' ^'®й> ~ ("д2) позволяет также рассматривать функции распределения,

обладающие сингулярными особенностями при ; = 0. Вклад в ВКФ, обусловленный нелинейными эффектами модели, исследован путём применения преобразования Лапласа, которое позволяет сформулировать проблему вычисления асимптотики ВКФ в терминах поиска особенностей

в полуплоскости Ле р > 0, и точкой ветвления при р=0, возникающей при интегрировании выражений типа

+00

изображения ф{р)= \ е-р,ф(1)Л в комплексной р-плоскости. Показано,

о

что функции С^\р) обладают изолированными полюсами, расположенными

где А£(1,т) - коэффициенты, появляющиеся при разложении одночастичных токов /^(у), по билинейным комбинациям собственных функций

обобщенного оператора Больцмана-Энскога, 4'' " коэффициенты, определяющие поправки к гидродинамической части спектра этого оператора. Показано, что интегрирование в (16) приводит к

асимптотическому убыванию ВКФ по закону - , причём вся зависимость Се от регулярной части потенциала бинарного взаимодействия определяется коэффициентами А.

В Заключении подведены итоги диссертационной работы и сформулированы основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработан метод исследования гидродинамической части спектра обобщённого оператора Больцмана-Энскога в первом порядке по параметру однородности. Найдена система соответствующих собственных функций; показано, что базис, образуемый ими, не является ортогональным.

2. Построено нелокальное кинетическое уравнение для систем твёрдых сфер, учитывающее дальнодействующие динамические корреляции. Разработан метод определения его решений, отвечающих гидродинамическому этапу релаксации. Дан алгоритм построения нелокальных уравнений гидродинамики.

3. Вычислена асимптотика временных автокорреляционных функций в нелинейной обобщенной модели Больцмана-Энскога с дальнодействующей компонентой потенциала бинарного взаимодействия. Найдено замкнутое выражение для коэффициентов, определяющих асимптотическое разложение ВКФ. Исследована их зависимость от регулярной части бинарного потенциала взаимодействия.

Публикации автора по теме диссертации

1. Иноземцева Н.Г., Масленников И.И., Садовников Б.И., Автокорреляционные функции в обобщенной модели Больцмана-Энскога // Вестник МГУ, сер.З, № 1 (2013) С. 22

N.G. Inozemtseva, I.I. Maslennikov, B.I. Sadovnikov, Autocorrelation Functions in the Generalized Boltzmann-Enskog Model, Moscow University Physics Bulletin, 2013, Vol. 68, № 1, pp. 21-26

2. Иноземцев В.И., Масленников И.И., Обобщенные гидродинамические уравнения в модели твердых сфер // Вестник МГУ, сер.З, № 2 (2013) С. 3

V.I. Inozemtsev, I.I. Maslennikov, Generalized Hydrodynamic Equations in the Hard-Spheres Model, Moscow University Physics Bulletin, 2013, Vol. 68, №2, pp. 97-104

3. Иноземцева Н.Г., Масленников И.И., Обобщенные гидродинамические уравнения в модели твердых сфер // Вестник МГУ, сер.З, № 3 (2013) С. 25

N.G. Inozemtseva, I.I. Maslennikov, Hydrodynamic Solution of the Generalized Boltzmann-Enskog Equation, Moscow University Physics Bulletin, 2013, Vol. 68, № 3, pp. 201-204

4. Б.И. Садовников, Н.Г. Иноземцева, И.И. Масленников, Автокорреляционные функции и нелинейный оператор Больцмана-Энскога, ISBN 978-3-659-48910-5, LAP LAMBERT Academic Publishing 2013, 104 стр.

Подписало к печати 25.iQ.i3 Тта« А00 Закпз

Отпечатано н отделе опертгнвно~1 печати фкзнчесхого факультета МГУ

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи

04201365332

Масленников Илья Игоревич

НЕЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ БОЛЬЦМАНА-ЭНСКОГА И АВТОКОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ

специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических

наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Иноземцева Н.Г.

Москва 2013

Содержание

Введение.................................................................................... 3

Глава 1. Нелинейное уравнение Больцмана- Энскога с дальнодействием и его гидродинамические решения................................................ 17

§ 1. Оператор Больцмана-Энскога...................................................... 19

§2. Учет дальнодействующей компоненты двухчастичного потенциала в первом порядке по параметру однородности................................. 37

§ 3. Гидродинамическое приближение.......................................... 41

Глава 2. Гидродинамические уравнения в линейном приближении модели твердых сфер............................................................ 44

§ 1. Линеаризованное кинетическое уравнение.............................. 45

§2. Структура соответствующих уравнений гидродинамики............ 47

§3. Исследование общих формул..........................................................................................53

Глава 3. Асимптотическое поведение автокорреляционных функций в нелинейной модели Больцмана — Энскога с дальнодействием......... 65

§ 1. Определение автокорреляционных функций......................................................67

§2. Линеаризованная модель............................................................................................................74

§3. Исследование эффектов включения дальнодействия....................................82

Заключение................................................................................................................................................102

Список литературы........................................................................................................................104

Введение.

Исследование эволюции физических систем многих частиц на основе математически корректной динамической теории представляет собой основную задачу неравновесной статистической механики. Особое место в ней занимают вопросы, связанные с изучением поведения системы многих взаимодействующих частиц вблизи состояния равновесия. При отсутствии достаточно надёжных методов анализа нелинейных систем с большим числом степеней свободы особенно важным является построение различных моделей, в той или иной степени использующих идеи Максвелла и Гильберта о сокращении описания при определённых предположениях о свойствах систем в конкретных физических ситуациях. Изучение процесса установления равновесия важно также для обоснования основных принципов кинетической теории. К их числу в первую очередь относится метод функций распределения, сформулированный H.H. Боголюбовым [1,2], развивающийся в ряд направлений классической и квантовой статистики [3-8]. Основной идеей метода является введение, исходя из первых принципов, приведённых функций распределения и построение на основе иерархии зацепляющихся кинетических уравнений, обобщающих уравнения Больцмана. Физические представления о переходе системы к равновесному состоянию связаны с рассмотрением картины малочастичных столкновений. Предполагается, что равновесие устанавливается в два этапа: кинетический, при котором достигается локальное равновесие в пространстве скоростей, и гидродинамический, который приводит к полной релаксации к равновесию. Наиболее полно этим методом могут быть изучены неравновесные процессы в газах в низших порядках по плотности [9-12].

Для разряженных газов в теории имеется естественный безразмерный малый параметр паъ ( п - плотность числа частиц, а - характерный размер области бинарного взаимодействия). В первом порядке по этому параметру, как было показано H.H. Боголюбовым, можно получить уравнение Больцмана, достаточное для описания широкого круга процессов, происходящих в системах малой и средней плотности [13-15].

Важнейшими характеристиками системы многих взаимодействующих частиц при её переходе в состояние равновесия являются коэффициенты переноса. Для их вычисления вблизи состояния равновесия следует изучить поведение функции распределения при больших временах, значительно превышающих времена релаксации: среднее время столкновения tcoll, среднее время между столкновениями tmfp. H.H. Боголюбов предложил

решать эту задачу в два приёма: сначала определяется поведение бинарной функции распределения для времен t»tcoll путём разложения бесконечной

цепочки интегро-дифференциальных уравнений по малому параметру па3; затем для времен t»tmfp может быть найдена одночастичная функция

распределения как функция локальных макроскопических переменных системы: плотности n(r,t), скорости u(r,t) и температуры 6(r,t). Поведение бинарных функций распределения для больших времён, согласно H.H. Боголюбову, определяется для широкого класса начальных условий путём выбора специальных решений иерархии ББГКИ, таких, что бинарная функция распределения и функции распределения высших порядков являются функционалами от одночастичной функции распределения. Используя фундаментальное граничное условие ослабления корреляций можно определить явный вид этих функционалов и получить кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения /(г, v,t).

Задача нахождения f(r,v,t) при больших временах (t^>tmfp) может быть решена [13-15] посредством использования метода Гильберта — Энскога. Он

4

состоит в выборе специальных решений кинетического уравнения, таких, что при г» ^ одночастичная функция распределения зависит от времени только

посредством её первых пяти моментов - локальных макроскопических величин п(г,0, "0,0 и 6>(г,г) доступных непосредственному экспериментальному измерению.

Исторически вывод уравнений гидродинамики для р(г,0, «(/%/), в(г,1) впервые подтвердил справедливость основных принципов кинетической теории и явился первым примером сокращения описания макроскопических систем — перехода от кинетического уравнения для функции /(г,у,/) семи переменных к уравнениям для пяти функций п, и,в четырёх аргументов (г,/) (гипотеза Гильберта) [13]. Подход Гильберта получил дальнейшее развитие в работах Чепмена-Энскога [14,15], реализовавших идеи Гильберта в виде метода построения приближенных решений для /(г,у,г) в форме ряда, первым членом которого является квазиравновесная функция распределения.

ш - масса частицы.

Математические проблемы, которые связаны с методом Чепмена-Энскога для решений уравнения Больцмана, детально описаны в монографиях [6-9] и работах [16-25]. Однако в экспериментах по численному моделированию столкновений в системах твёрдых сфер [26-28,31-32] были получены свидетельства об отсутствии чёткой границы между кинетической и гидродинамической стадиями приближения к равновесию. В них изучалось асимптотическое поведение временных автокорреляционных функций при временах, значительно превышающих время свободного пробега ^. Было

найдено, что для трёхмерных систем закон убывания корреляций является

степенным, а не экспоненциальным, как это раньше предполагалось в статистической механике классических систем. Теоретическому объяснению этих экспериментов посвящено значительное количество работ [29-33,35-56]. Эмпирическая зависимость простейших автокорреляционных функций скорости (va(0)va(t)) при t > 20tmfp имеет вид

(ve(0)va(i))~ const-

Эта зависимость впервые была объяснена на основе феноменологической теории взаимодействующих мод, ранее успешно применявшейся для описания крупномасштабных флуктуаций в жидкостях вблизи критической точки [57]. Аналогичная зависимость корреляционных функций от времени была также найдена при учёте нелинейных эффектов в гидродинамической модели с привлечением специального предположения о локальном равновесии [58-59]. В работах Дорфмана и Коэна [48-49,52], посвященных микроскопическому обоснованию этой теории в случае твёрдых сфер, было

найдено явное выражение для коэффициентов при степени t ^ через коэффициенты сдвиговой вязкости и теплопроводимости Ли//. Было также показано, что корреляционные функции, связанные со сдвиговой вязкостью и теплопроводимостью, спадают по такому же степенному закону. Неэкспоненциальный спад автокорреляционной функции скорости был получен также на основе нелинейного уравнения Больцмана, описывающего систему твёрдых сфер в пределе низкой плотности [60,61]. Для систем твёрдых дисков асимптотический закон имеет видсошм-1 [63-64].Следует отметить, что учёт нелинейности в уравнении Больцмана ранее считался превышением точности, обеспечиваемой самим выбором модели, и использовалось линеаризованное уравнение, дающее стандартную экспоненциальную асимптотику [51,53]. Следует также отметить, что экспериментально исследовались сравнительно плотные системы, для которых объём V превышал в 3-5 раз объём плотной упаковки V0. Все

6

теоретические рассмотрения, указанные выше, относятся к системам низкой плотности. Сам факт, что нелинейное уравнение Больцмана позволяет правильно описать экспериментальный закон, полученный для больших плотностей, оставался в течение ряда лет непонятным. Наилучшее согласие с экспериментом было достигнуто Дорфманом и Коэном [48-52], которые использовали при вычислении асимптотики корреляций полуфеноменологические выражения Энскога для коэффициентов переноса с членами высшего порядка по плотности, хотя обычно учёт этих членов считался превышением точности модели. Новое направление в рассмотрении этой проблемы стало возможным с появлением работы H.H. Боголюбова [34], в которой было доказано, что нелинейное уравнение Больцмана-Энскога, расматривавшееся как приближение низкой плотности, имеет точные микроскопические решения, соответствующие полному динамическому описанию системы твёрдых сфер, и поэтому модель Больцмана-Энскога может быть основой для введения высших приближений по плотности. В

работах [35-37] на основе этой модели были точно вычислены коэффициенты

-з/

при t/г для автокорреляционных функций сдвиговой вязкости и теплопроводности.

В реальных системах бинарные взаимодействия между частицами определяются гладким потенциалом, степенным образом возрастающим на малых расстояниях и убывающим на больших расстояниях, то есть модель твёрдых сфер сама по себе является некоторым приближением. Выход за рамки этого приближения может быть эффективно осуществлен посредством рассмотрения потенциала двухчастичного взаимодействия вида

Методом H.H. Боголюбова можно показать, что точное микроскопические решения вида

N

Д/% V, и Г) = и"1 X £ {г ~ О (', Г))* (V - V,- (/, Г)),

7=1

где 1Ч-число частиц, гу(/,Г) -точное решение уравнений движения для

совокупности начальных условий {Г}, п - плотность, £-стандартная 8-

функция Дирака, удовлетворяют обобщенному уравнению Больцмана-Энскога:

^^»ДАг^у«/о(|г-г'|)/(г'У,0-ы дг дудг* '

-паЦв({у'-у)а)({у'-у)а)\^{г + аоУ,^г{г,у^)- (0.1)

- / (г - а(г,у',() / [Г,У,^С1Г'С1У'(1(Т,

где а -единичный вектор; у = у - а [(V - у') «г]; у" = у' + - у') <т];

л/ ч Г1, х>0 л , е(1)=|о, ,<0-*-Функция.

Следует ожидать, что использование гладких решений этого уравнения для вычисления асимптотического поведения автокорреляционных функций приведёт к выражениям для асимптотических коэффициентов, справедливым для реальных многочастичных систем.

Основной целью настоящей работы является построение решений обобщённого нелинейного уравнения Больцмана-Энскога в акустическом и гидродинамическом приближениях и их применение к вычислению асимптотики кинетических частей временных автокорреляционных функций. Изучаются также решения линеаризованных гидродинамических уравнений, возникающих при анализе свойств приближенного кинетического уравнения в модели твёрдых сфер, учитывающего коллективные взаимодействия.

Диссертация состоит из трёх глав.

Первая глава посвящена исследованию нелинейного обобщенного уравнения Больцмана-Энскога с дальнодействием (0.1). Изучается влияние эффектов дальнодействия на поведение его решений при малых отклонениях функции распределения /О, у,/) от равновесной. С этой целью в §1 рассмотрены свойства обобщенного оператора Больцмана-Энскога. Соответствующий интегральный оператор нелокален по пространственной переменной. Показано, что его собственные функции не являются ортогональным для ненулевых значений волнового вектора к, определяющего степень пространственной неоднородности функции распределения. Это обстоятельство не позволяет использовать стандартные методы вычисления спектральных характеристик в области \к\<^па2. Для

решения этой проблемы в §2 проведён учёт дальнодействующей компоненты двухчастичного потенциала взаимодействия в первом порядке по параметру однородности и построена модифицированная теория возмущений для неэрмитовых операторов с вырожденным спектром нулевого приближения, позволяющая последовательно учесть эффекты нелокальности. Используется представление функции распределения в виде

/ \ ( т \ ту2]

- равновесное Максвелловское распределение,

Ч>( г,у,О = (у) • £Гг'сЫк, (0.2)

в- равновесная температура, ш- масса частицы.

В первом порядке поЧ* построение явного вида решения (0.1) эквивалентно рассмотрению спектральной задачи

(гкг-пЛк (у))^ (у')ф0 (у>у']Ф(*) = {у), (0.3)

9

(0-4)

Разложение решений (0.3) по параметру однородности # = (г0 -характерный масштаб убывания потенциала -г2|), ) связано с

функциональной зависимостью Ф(к) при малых \к\. В §3 исследовано

гидродинамическое приближение и определены поправки второго порядка по параметру однородности для решения спектральной задачи (0.3). Показано, что они вычисляются по решениям неоднородной системы алгебраических уравнений и связаны с коэффициентами сдвиговой вязкости для достаточно быстро убывающих потенциалов Щ>[\г1-г2\). Найдено, что форма поправок к гидродинамической части спектра определяется тензором

где - собственные функции оператора Больцмана, отвечающие ненулевым собственным значениям Лх, а Ч^ - решения спектральной задачи (0.3) в

Во второй главе проведено изучение свойств нелокального кинетического уравнения в модели твёрдых сфер, соответствующего учёту коллективных взаимодействий. Оно возникает при обрыве цепочки уравнений ББГКИ в предположении о малости трёхчастичных корреляций. Именно, при представлении функции распределения в виде

(0.5)

к

первом порядке по параметру однородности е =

1*1'

Т2 (г;1,2) = Ц (г,1)Ъ (п2) + С2 (гл,2), Р3 (г; 1,2,3) = 1) ^ (/; 2) Р3 (/; 3) +

(0.6)

предполагается, что С3(г, 1,2,3) = 0; здесь введено обозначение ц(с,1) = /(г,г1,у1); Ц(/;2 ) = /((,г2,у2); р2(г,1,2) - двухчастичная функция распределения.

Вывод линеаризованного кинетического уравнения, описывающего состояние системы твёрдых сфер, близкое к равновесному, приведён в §1. При этом функции ^(^1) и 02(?;1,2) представляются в виде

и рассматриваются лишь члены, линейные по и •

Искомое линеаризованное кинетическое уравнение получается после исключения Ч^/;!^) из линейной системы

где ^ и Ч*2 - отклонения функций и С2(/;1,2) от их равновесных

значений; ф0(у,)- равновесная максвелловская функция распределения,

е2(/;1,2) = Ф0(^)«р0(у2)Ч'2(/;1,2)

(0.7)

+ А (1) ((; 1) = п| ^2ф0 (у2 ) Т12 (% (*;1) + % (/; 2) +% (Г, 1,2)) А + ¿о (1,2) - Тп Ч12 = ТХ2 (/; 1) + ¥,(/; 2)] +

ш/¿&зФо ()[г,з (Т2 (/; 1,2)+(/; 2,3)) + Т23 (п 1,2) + Ч>2 (п 1,3))]

(0.8)

{Vrvly■¿Q

(0.9)

а-диаметр сферы, а - единичный вектор, Ьа - оператор замены скоростей V,,

V; на -<г(уг- -+ соответственно. Уравнение для Ч1,(/;1)

является нелокальным как по времени, так и по пространственным координатам, что соответствует учёту коллективных взаимодействий. Это уравнение имеет вид:

ЗУ,

I

^ = п\йгйу ф0 (у')7]2 -*')} х

& I { } (0.10)

где введены обозначения

х(/;гУ ) + Ч* ; г - аа, V1*)-¥(/;г,г) - ¥(г;г + шг,V')},

у = у + о-(у'-у)«т; v ' = у'-о,(у'-у)с, £(г,у) = у--«л(у);

Ът

Возможность перехода к гидродинамическому описанию изучается в §2 этой главы методом проекционных операторов. Эволюция гидродинамических моментов функций х¥к(г,у), определённых соотношением

задается системой уравнений

(/^(раЛКА** М) = 0,

д(

где Аа(0 - оператор, позволяющий представить Фурье-образ уравнения (0.10) в виде

Р - оператор проектирования на гидродинамическое подпространство, базисными векторами которого являются 1, у, у2 в гильбертовом пространстве с нормой

Р±=\-Р. Влияние начальных условий затухает со временем

экспоненциально, то есть существенно быстрее, чем вклад величин Р1х¥к (0;у)

в области малых к, для которых определены гидродинамические уравнения. Поэтому решение (0.12) полностью определяется гидродинамическим моментом 7%а(0,у). Показано, что производные по времени,

характеризующие отклонение плотности, макроскопической скорости и температуры от равновесных значений определяется линейными комбинациями этих величин в моменты времени 0-ы. Явное выражение для

различных проекций оператора Ак(г), где Ак{г) = | е 'гАк, получено в §3.

о

Для исследования Фурье образов уравнений (0.12) использованы соотношения А0Р = РА0 = 0; Р±Л0 = Л0РХ = Л0, где Л0 - линеаризованный оператор Больцмана, обращающий в нуль все инварианты столкновений. В ведущем порядке по волново