Исследование интеграла столкновений уравнения Больцмана и новые перспективы моментного метода тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

I НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА

СТОЛКНОВЕНИЙ И а-и-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА

1 Свойства симметрии и больцмановское распределение

1.1 ЛА-теорема и принцип детального баланса.

1.2 Интеграл столкновений в случае упругих столкновений

1.3 Интеграл столкновений в случае неупругих столкновений

1.4 Частный случай частиц с двумя энергетическими состояниями

1.5 Условия, необходимые для равновесности максвелл- больц-мановского распределения двухуровневых частиц

1.6 Условия, необходимые для равновесности максвелл- больц-мановского распределения трехуровневых частиц

Начало развития современной кинетической теории газов относится ко второй половине 19 века. В 1859 году Максвелл открыл закон распределения молекул по скоростям в однородном газе, находящемся в равновесном состоянии. Это распределение получило название макс-велловского.

В 1872 г. Больцман в [1] (см. также [2]) сформулировал свое знаменитое интегро-дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция распределения (ФР) частиц газа по скоростям £(у, г, ^ при произвольных отклонениях от равновесия. Впервые был получен вид столкновительного интеграла, который представляет сои и и с» и и бой нелинейный оператор, действующий в каждой пространственно-временной точке на ФР по скоростям. Первые годы после вывода этого уравнения были посвящены как обсуждению некоторых философских проблем, связанных с гипотезой молекулярного хаоса и принципом детального баланса, так и малоуспешным попыткам построения общих решений уравнения.

В 1912 г. была опубликована известная работа Гильберта [3 см также 4]), посвященная уравнению Больцмана. В этой работе, наряду с расмотрением других вопросов, были заложены основы изучения структуры интеграла столкновений. Гильберт предложил некоторый итерационный процесс, в котором решение уравнения Больцмана сводилось к решению бесконечной последовательности линейных интегральных уравнений второго рода. Для модели жестких сферических молекул им был подробно рассмотрен линейный интегральный столкновительный оператор. После ряда преобразований и упроще

7 !

НИИ было показано, что этот оператор обладает свойством ортогональной инвариантности. Продолжая эти исследования. Хеке доказал известную теорему (теорема Хеке) [5], [6]. Эта теорема гласит, что ортогонально-инвариантный линейный оператор не выводит функцию из подпространства, связанного с определенной сферической гармоникой.

В дальнейшем было показано, что теореме Хеке удовлетворяет любой линейный столкновительный оператор, если сечение рассеяния частиц зависит от двух переменных: величины относительной скорости и угла рассеяния. После того, как была изучена общая структура линейного столкновительного оператора, на основе теоремы Хеке в дальнейшем был разработан метод решения линеаризованного уравнения Больцмана. Он получил название метода Чепмена -|Энскога 7], [8], [9] (см. также [10]). Этот метод используется для описания процессов при малых отклонениях от равновесия. Метод Чепмена -Энскога интенсивно развивался в течение полувека и оказался очень плодотворным при расчетах коэффициентов переноса. В методе Чеп-мена - Энскога ФР разлагается около равновесного распределения и представляется в виде отрезка полиномиального ряда, соответствующего первому приближению по числу Кнудсена. Функции, по которым ведется разложение, представляют собой произведение тензоров первого и второго рангов в трехмерном пространстве скоростей и полиномов Сонина (Лагерра) от модуля скорости.

Коэффициенты переноса выражаются через так называемые интегральные скобки (bracket integrals), которые представляют собой линейные матричные элементы от интеграла столкновений. Для тензоров первого и второго рангов были получены формулы, ;выражающие интегральные скобки через il-интегралы, которые зависят от i сечения взаимодействия частиц. Было проведено много расчетов fi-интегралов для различных моделей межмолекулярного взаимодействия (см., например, [И])- '

Дальнейшее исследование структуры столкновительного оператора (уже в нелинейном случае) связано с именем Барнета. Б 1935 г. им были опубликованы две статьи [12], [13], в которых был усовершенствован метод Чепмена— Энскога. В [13] фактически впервые была выписана система нелинейных моментных уравнений,-и в! качестве базисных функций были выбраны произведения сферических функций на полиномы Сонина. Были рассмотрены нелинейные матричные элементы (МЭ) от интеграла столкновений в этом базисе. Для степенных потенциалов был разработан алгоритм вычисления этих МЭ. Как отмечал сам Барнет, формулы для вычисления нелинейных МЭ получаются слишком громоздкими. Поэтому при конкретных расчетах Барнет и его последователи (см., например, [14]) ограничились вычислениями для максвелловских молекул и модели твердых ;сфер при / < 2, где / - порядок полинома Лежандра. На основе этих расчетов Барнет построил второе приближение для ФР и показал, что в этом приближении следует учитывать как произведения дифференциальных коэффициентов первого порядка, так и дифференциальные коэффициенты второго порядка. Уравнение Барнета вызывало и вызывает оживленные дискуссии - не ясно, в каких задачах его можно применять, а в каких - нет. По-видимому, ответ на этот вопрос можно будет получить при вычислении следующих членов и оценке отбрасываемых членов разложения. Это может быть сделано только при дальнейшем развитии нелинейного моментного метода, что требует вычисления нелинейных МЭ с большими значениями индексов.

Дальнейшее развитие и математическое обоснование моментный метод решения уравнения Больцмана получил в работах Греда [15], 16]. Разработанный им метод получил в литературе название метода Греда. В методе Греда разложение ведется по тензорам различного ранга в декартовых координатах - полиномам Греда-Эрмита. Метод Греда (в основном его 13-ти и 20-ти моментные приближения) широко используется при решении многих задач кинетической теории газов и плазмы. В методе Греда в зависимости от числа моментов в разложении ФР необходимо подключать различные нелинейные МЭ интеграла столкновений.

В 1966г. Кумар [17] проанализировал различные системь! полино-MOB, которые использовались различными авторами при разложении ФР в кинетической теории газов. Он показал, что наиболее экономичной является система, предложенная Барнетом, т.е. система ортогональных с максвелловским весом функций, представляющих собой произведение сферических функций и полиномов Сонина. Кумар продвинулся также в исследовании структуры нелинейного интеграла столкновений. Он предложил использовать при расчете нелинейных МЭ преобразование Талми, которое ранее успешно использовалось в квантовой теории.

Уже из этого краткого исторического обзора очевидно, что исследование структуры интеграла столкновений, в частности, Ьутем изучения его МЭ при полиномиальном разложении представляет собой интереснейшую математическую и физическую проблему. Каждый успешный шаг в решении этой проблемы сопровождался появлением нового или усовершенствованием существовавшего ранее метода решения уравнения Больцмана. Это, в свою очередь, способствовало решению ряда физических и технических вопросов.

Начиная с семидесятых годов для решения задач кинетической теории газов получают большое распространение численные методы, основанные на статистическом моделировании (модификации метода Монте-Карло) [18]. Эти методы успешно применяются при решении многих инженерных задач, связанных, в частности, с исследованием движения космических аппаратов в верхних слоях атмосферы. При решении задач этим методом нет необходимости исследовать более глубоко структуру интеграла столкновений, и развитие теоретических исследований в этом направлении было заторможено. Однако эти численные методы имеют и некоторые серьезные ограничения. Очень трудно, например, рассчитать ФР в области больших скоростей, а знание поведения ФР в этой области существенно при расчете скоростей протекания различных физико-химических процессов. трудно также использовать методы статистического моделирования при малых отклонениях от равновесия, а это вызывает сложности при сквозном расчете течений газа как в области больших, так и малых градиентов.

В связи со всём сказанным выше дальнейшее исследование структуры интеграла столкновений-и развитие моментного метода представляется весьма важной и актуальной задачей. :

В моментном методе [13], [15] ФР представляется в виде отрезка ряда по ортогональным полиномам, и для коэффициентов: разложения составляется система дифференциальных уравнений. Основная проблема здесь связана с вычислением матричных элементов, соответствующих моментам от нелинейного интеграла столкновений. Несмотря на то, что Барнету удалось далеко продвинуться как в формулировке основных положений этого метода, так и в выводе формул для нелинейных матричных элементов, он провел вычисления только для небольших значений индексов. При больших значениях индексов формулы становятся столь громоздкими, что провести с их использованием расчеты практически невозможно даже на современных ЭВМ.

Таким образом, основной сложностью, сдерживающей развитие нелинейного моментного метода, является расчет матрицы взаимодействия, соответствующей моментам от нелинейного интеграла столкновений.

Примечательная особенность полиномиального разложения, которая была замечена на самых начальных этапах разработки метода Чепмена - Энскога, состоит в том, что, несмотря на медленную сходимость при вычислении ФР, выражения для газовых коэффициентов сходятся быстро. Поэтому в основном эти методы использовались для расчета коэффициентов переноса, а вопрос о возможности вычисления ФР оставался открытым. Для исследования сходимости рядов при расчете ФР необходимо знание МЭ интеграла столкновений при больших значениях индексов, что, как уже отмечалось, представляло до последнего времени серьезную проблему.

Вычисление нелинейных матричных элементов оказывается достаточно сложной задачей даже в случае изотропного по скоросц:ям уравнения Больцмана, когда разложение ФР ведется по полиномам Сони-на. Впервые серьезного успеха в этом направлении удалось добиться авторам работы [19]. Они рассчитали матричные элементы для изотропного уравнения Больцмана в случае степенных потенциалов в предположении независимости сечения рассеяния от углов. Представленные там аналитические формулы для матричных элементов содержат 6 вложенных сумм. Им удалось провести вычисления до Д/д = 13, где ЛЬ " это максимальное количество членов в разложении ФР. Дальнейшее увеличение ]Уо осуп];ествить не удалось из-за катастрофического нарастания как времени счета, так и погрешности вычислений. Главным достижением авторов работы [19] явилась демонстрация того факта, что с ростом ]Го удается суш;ественно продвинуться в описании ФР в область больших скоростей. Это поставило на повестку дня задачу расчета нелинейных матричных элементов при больших значениях индексов.

Следуюш;ий шаг в развитии этого направления был сделан в 1994 году [20], когда на основе разработанного ранее метода разложения ФР по максвеллианам [21]-[28] удалось построить аналитические формулы для матричных элементов в случае произвольных степенных потенциалов, в том числе и для кулоновского взаимодействия частиц, причем формулы оказались значительно прош;е, чем в [19], и содержали четыре вложенные суммы. При этом расчеты удалось провести до ЛЬ = 30.

Остановимся теперь на содержании диссертации. Она состоит из двух частей, по четыре главы в каждой части, введения и заключения. Нумерация глав сквозная. Первые три главы посвяп];ены некоторым общим свойствам интеграла столкновений [29]-[31]. Рассматриваются парные столкновения частиц с внутренними степенями 1 свободы. Частицы с разными квановомеханическйми состояниями рассматриваются как частицы разных сортов. В процессе столкновения может происходить изменение состояния (возбуждение или девозбуждение), т.е. изменение сорта частиц. Полное кинетическое уравнение описывает, в частности, скорость такого процесса. т-ч и о

В первой главе анализируются свойства интеграла столкновения и ищутся связи между сечениями рассеяния, необходимые ддя равновесия максвелл-больцмановского распределения. Постановка такой задачи связана с тем, что часто при выводе кинетического уравнения испольуются условия детального баланса. Однако из общей квантовой теории рассеяния эти соотношения не вытекают. Более того мож;но указать примеры, когда они нарушаются. При исследовании интеграла столкновений в первой главе учитываются законы сохранения в акте столкновения, но не делается каких-либо предположений о сечении рассеяния. В результате для каждого канала взаимодействия определяются подпространства в пространстве скоростей, по которым должны выполняться интегрирования при вычислении интеграла столкновений. При подстацовке максвелловского распределения по скоростям интегрирование в приходном (наиболее сложном) члене интеграла столкновений частично выполняется независимо от вида сечения взаимодействия. При подстановке больцмановского распределения по уровням с той же температурой, что и у максвелловского распределения, скорость изменения ФР любого сорта частиц в любой точке пространства скоростей должна обращаться в|ноль. Из этого условия выводятся связи между сечениями рассеяния прямого (возбуждение) и обратного (девозбуждение) процессов. Связанными оказываются полные, а не дифференциальные сечения рассеяния. Показано, что эти связи являются следствием обратимости уравнений движения по времени.

Во второй главе выводятся релаксационные уравнения для газов с внутренними степенями свободы. При подстановке в общие уравнения первой главы неравновесных распределений по уровням находятся выражения для скорости изменений ФР частиц всех сортов. После интегрирования этих выражений с различными молекулярными признаками можно найти вклады от неупругих столкновений в ;скорости изменения числа частиц в заданном возбужденном состоянии, энергии, энтропии и т.д. Предполагается, что ФР по скоростям все время сохраняет максвелловский вид. Обосновывается это большой разницей в сечениях упругого и неупругого взаимодействия. Именно в этом предположении кинетические уравнения сводятся к релаксационным уравнениям для газов с внутренними степенями свободы. Та|кие уравнения замыкаются на уровне описания релаксации числа частиц в различных возбужденных состояниях. Последовательно рассматривая различные предположения о сечениях неупругих взаимодействий, выводятся уравнения вращательной, вращательно-колебательной и колебательной релаксации. '

В третьей главе рассматривается кинетическое уравнение и доказывается Н- теорема для частиц, ориентированных вдоль некоторого направления. Выделенное направление в пространстве возникает при наличии сильного внешнего электрического или магнитного поля. Например, в нейтронных звездах магнитное поле достигает значений 10ЛЛ-10ЛЛ Гаусс. При таких полях ларморовский радиус электрона внутри атома становится меньше радиуса Бора, электронная оболочка сильно сжимается в направлении, перпендикулярном к направлению магнитного поля, и частицы вместо сферической формы приобретают форму веретена. Если частица движется с релятивистской скоростью , то в собственной системе отсчета возникает сильное электрическое поле, которое приводит к дополнительному искажению электронной оболочки, в результате релятивистская частица перестает быть осесимметричной . В газовом облаке в окрестности нейтронной звезды температура близка к ЮЛК, т.е. хар;актерные скорости частиц много меньше скорости света. Однако вследствие исключительно сильного магнитного поля индуцированное! электрическое поле оказывается близким по величине к внутриатомному и сильно искажает оболочку и форму атома [32], [33]. Из-за! ориентации частиц кинетическое уравнение приобретает ряд новых свойств. что существенно влияет на коэффициенты переноса. В частности, эти коэффициенты становятся зависящими от направления и возникают некоторые перекрестные эффекты, которых нет в обычном газе. В дальнейшем, говоря об ориентированных частицах, мы будем подразумевать осесимметричные частицы, т.е. предполагать, что в системе существует только одно поле и релятивистских частиц нет (точнее, магнитное поле и характерные скорости частиц таковы, что электрическое поле не слишком велико). Следует отметить, что эффекты, связанные с влиянием магнитного поля на коэффициенты переноса, наблюдаются при значительно более слабых магнитных прлях, чем в нейтронных звездах. Это эффекты Зенфтлебена и Венакёра, которые регистрируются в лабораторных условиях при магнитном поле порядка 1000 Гаусс [34]-[36]. Объясняются эти явления возникающей после столкновения прецессией молекул вокруг направления магнитного поля. На такие прецессирующие молекулы можно смотреть, как на ориентированные, причем ориентация постепенно ослабевает, т.е мы имеем дело с временно ориентированными частицами.

В случае ориентированных частиц нельзя считать, что угловая часть сечения рассеяния зависит только от одной переменной — угла рассеяния. В третьей главе диссертации показано, что сечение рассеяния зависит от двух переменных— углов между выделенным направлением и относительными скоростями до и после столкновения. При такой зависимости сечения рассеяния от углов не выполняются условия теоремы Хеке, а исследование кинетического уравнения при невыполнении этой теоремы представляет очень интересную математическую и физическую задачу. В частности, если теорема Хеке не выполнена, то выбранная в начальный момент времени неравновесная сферически симметричная ФР в ходе релаксации может перестать быть таковой. Для получения выражения интеграла столкновений в случае ориентированных частиц предлагается угловую часть сечения рассеяния разлагать по сферическим гармоникам. При этЬм исследуются основные свойства коэффициентов разложения. После этого

15 I выписывается интеграл столкновений для произвольной ФР по скоростям и уровням. При доказательстве Я-теоремы использован прием, восходящий, как отмечается в [37], еще к Паули. Разработанный здесь метод может быть использован в случае ориентированных частиц для вычисления производства (скорости изменения за счет столкновений) не только энтропии, но и других молекулярных признаков. В частности, это могут быть моменты от ФР.

Четвертая глава посвящена интегральному преобразованию уравнения Больцмана, при котором ФР разлагается по максвЛлловским распределениям с разными температурами и средними скрростями. Это преобразование мы называем а- и-представлением уравнения Больцмана. Оно является развитием идей, высказынных при расчете структуры ударной волны в работах [38] и [39]. В случаеЛ сферически симметричной ФР разложение проводится только по ра|знотемпе-ратурным максвеллианам — л-представление уравнения Больцмана. Этот метод начался с решения одной задачи, которая явилась естественным развитием результатов, описанных в первой главе. Там при подстановке максвелловского распределения вычисление интеграла столкновений существенно упрощалось. Интересно было посмотреть, что произойдет, если ФР состоит из двух максвеллианов с разными температурами. Оказалось, что можно получить аналитическое выражение для интеграла столкновений от двух максвеллианов. Если этот интеграл столкновений разложить по максвелловским распределениям с разными температурами, то задача сводится к предыдущей. Разложение интеграла столкновений от двух максвеллианов, т.е. построение ядра интеграла столкновений в а-представлениИ', соответствует обратному преобразованию Лапласа. Задача построения ядра была успешно решена сначала для модели твердых шаров, а затем и и т-ч и для произвольного потенциала взаимодействия. В четвертой главе подробно излагаются исследования и расчеты в Q;-г¿-пpeдcтaвлeнии 211—[281.

Особенностью численных методов при работе с а-представлением уравнения Больцмана является необходимость использования обобщенных функций. Так например, максвелловское распределение представляется в виде (5-функции, а в простейпхей численной схеме [21] ФР и и и и д 1 и в одной температурной ячейке аппроксимируется одной -функцией (одним максвеллианом) и выводится уравнение для коэффициентов при этих 8- функциях. Такой метод дал очень хорошие результаты при расчете релаксационных процессов в случае, когда ФР в V-пространстве монотонна.

Для описания немонотонной ФР в каждой температурной ячейке функция ищется в виде суммы 8 -функции и ее производной по температуре с коэффициентами, зависящими от времени [27]. Разработан также метод решения задач с осесимметричной ФР. Здесь главным элементом оказалась аппроксимация интеграла столкновений от двух максвеллианов набором конечного числа максвеллианов - так называемый дипольно-квадрупольный метод аппроксимации. |

В третьем разделе четвертой главы построено выражение для а-ядра в случае произвольных степенных потенциалов. Для; решения этой задачи сечение взаимодействия частиц разлагается по экспонентам ещ>{—(5дл) и для каждого значения Л строится а -отображение ' ядра интеграла столкновений в изотропном случае. Интегрирование по (3 выполняется в последнюю очередь. Для дальнейшего очень важен четвертый раздел четвертой главы, где рассматривается а-и-представление уравнения Больцмана для модели максвеллЛ-л—ювских 1Л молекул. Хорошо известно, что собственными функциями линейного (или линеаризованного) интеграла столкновений для таких молекул являются произведения сферических гармоник на полиномы Сонина. Шы называем такие произведения сферическими полиномами Эрмита. В четвертом разделе показано, как отображаются эти функции в а-и-пространство. Оказывается, что им соответствует биортогональная система функций, причем набор правых функций представляет собой комбинации 6-функций и их производных по Т и по и, а набор левых функций - комбинации биномов Т — То и г/ — разных степеней. Это представление оказывается очень удобным при вычислении коэффициентов разложения по сферическим полиномам Эрмита. В частности, для максвелловских молекул вычислены нелинейные матричные элементы (МЭ) от интеграла столкновений. Эти МЭ являются образом интеграла столкновений при полиномиальном разложении уравнения Больцмана по сферическим полиномам Эрмита. |

В пятом разделе четвертой главы с использованием а - представления сферических полиномов Эрмита для произвольного степенного потенциала взаимодействия получены формулы для нелинейных МЭ в изотропном случае.

Первые работы по а-'и-представлению уравнения Больццана были опубликованы в 1970г. Несколько позднее, а именно в 1975-1977г.г., появился ряд работ, также посвященных интегральным преобразованиям нелинейного уравнения Больцмана [40]-[42]. Здесь использовалось Фурье преобразование от ФР по скоростям. В случае максвеллов-ских молекул для изотропного случая было получено аналитическое решение нелинейного уравнения Больцмана - ВК\¥ -решение [41]. Это событие породило огромный поток исследований изотропного релаксационного процесса (см., например, обзор [43]). Было обнаружено, что при определенных условиях наблюдается немонотонная релаксация хвоста ФР. Мы также отдали дань этому увлечению в [27], где с помощью а-представления провели расчеты релаксационных процессов с немонотонной ФР и смогли описать ФР вплоть до 10 тепловых скоростей.

История развития интегрального преобразования уравнения Больцмана подробно описана в шестом разделе четвертой главы. Там же описаны перспективы развития а — и представления. Пока1зано, что дальнейшее развитие этого метода тесно связано с методом полиномиальных разложений.

Вторая часть диссертации посвящена исследованию структуры столкновительного оператора с использованием метода полиномиальи т-ч и ных разложений. В этом методе интеграл столкновений переходит в

18 , некоторую матрицу взаимодействия и, проводится изученное соотношений между нелинейными матричными элементами (МЭ)Л этой матрицы. Оказалось, что между МЭ суп1;ествует множество соотношений, и эти соотношения имеются всегда независимо от потенциала взаимодействия частиц. Применение этих соотношений существенно упрощает вычисление МЭ при больших значениях индексов|. т-ч и о

В пятой главе исследуется интеграл столкновений в изотропном (сферически симметричном) случае. Даже в этом случае задача вычисления нелинейных матричных элементов столь сложна, что в литературе встречается ряд ошибочных работ. Так, нами в |[44] была доказана ошибочность работы [45]. И, что особенно важно,|в [44] были построены критерии, по которым можно проверять правильность расчета матричных элементов. Эти критерии построены на основе инвариантности интеграла столкновений от максвелловскрй ФР по отношению к выбору базисных функций. В диссертации эта фундаментальная идея инвариантности развивается более глубоко.

В пятой главе для изотропного по скоростям уравнения Брльцмана рассматривается инвариантность интеграла столкновений не только от максвелловской, как в [44], но и от изотропной ФР произвольного вида. В результате показано, что матричные элементы не независимы, а связаны между собой простыми рекуррентными соотнощениями, причем эти связи справедливы для произвольных сечений взаимодействия. В изотропном случае базисные функции представляют собой полиномы Сонина, ортогональные с максвелловской весовой функции гр и и 1 ей. Температура этой весовой функции может выбираться произвольно (обычно ее выбирают равной равновесной температуре газа), однако интеграл столкновений не должен зависеть от этого выбора. Такие системы полиномов Сонина с различными температурами, по-существу, представляют собой различные базисы.

С помощью полученных соотношений между МЭ показано,|как свойства линейных матричных элементов проявляются в нелинейных. На основе полученных рекуррентных соотношений составлена численная схема, с помощью которой определяются нелинейные матричные элементы через линейные. Построенные рекуррентные связи оказались очень простыми. В результате каждый нелинейный МЭ определяется через предыдущие с помощью четырех арифметических операций, при этом по заданным линейным МЭ находятся все нелинейные. Для сечений с произвольной-угловой зависимостью и с зависимостью от скорости, соответствующей степенным потенциалам, имеются простые формулы для линейных МЭ [46]. Новый подход в изотропном случае сократил время расчета матричных элементов на несколько порядков с одновременным увеличением точности. В резуль|тате удалось существенно продвинуться в область больших значений индексов. Так, например, для расчета МЭ на компьютере при ]Уо — 128, по формулам из [19] потребовалось бы фантастическое время 9 • 10'* лет, в то время как с использованием рекуррентной процедуры такой расчет занимает около получаса. I

Проведены расчеты ФР в ходе изотропной релаксации для нескольких моделей взаимодействия и при различных начальных условиях. Показано [47], что переход от ТУо = 15 к АЛо = 128 позволяет продвинуться в точном описании ФР от 2-3-х тепловых скоростей до 8-10-ти.

Шестая и седьмая главы диссертации посвящены исследованию интеграла столкновений для осесимметричного случая.

В первом разделе шестой главы описываются общие полиномиальные разложения для трехмерной функции распределения по скоростям, используемые при решении уравнения Больцмана. Обосновывается использование предложенной Варнетом ортогональной системы так называемых "сферических" полиномов Эрмита, предста1вляющих собой произведение сферических гармоник и полиномов Сонина

А1+1/2 Л весовым максвеллианом, зависящим от температуры и от средней скорости. принцип инвариантности интеграла столкновений относительно выбора базисных функций оказывается весьма эффективным при расчете МЭ в осесимметричном случае. Связи между МЭ в этом случае находятся при переходе к базису с максвелловским распределением не только с другой температурой, но и другой сдвиговой скоростью.

Для конкретных расчетов матрицы перехода от одного базиса к другому очень полезным оказалось a-г¿-пpeдcтaвлeниe уравнения Больцмана. С использованием биортогональной системы I функций, соответствующей а-и представлению полиномов Эрмита, можно легко построить матрицу перехода от одного базиса с фиксированными параметрами (2о, щ) к другому — с параметрами (Тх, щ). \ Выписывается формула, выражающая нелинейные МЭ в базисе (ТхуП]) через нелинейные МЭ в базисе (То, щ).

Дифференцируя эту формулу по Т и по и около точки (То, |ио), получаем два вида связей: при дифференцировании по Т связь между четырьмя МЭ, а при дифференцировании по п — между шестью. Как и в изотропном случае эти связи представляют собой рекуррентные соотношения. Они позволяют построить любой нелинейный МЭ, если заданы линейные МЭ как изотропные, так и неизотропные. |

Далее проводится изучение структуры столкновительного оператора и свойств МЭ, когда потенциал взаимодействия сферически симметричен, и сечение взаимодействия зависит только от модуля скорости и угла рассеяния. В этом случае линейный оператор и линейные МЭ удовлетворяют теореме Хеке. Используя результаты Кума-ра [17], мы доказываем обобщенную теорему Хеке (ОТХ), из которой следует обращение в ноль очень многих нелинейных МЭ. С помощью выведенных рекуррентных соотношений показано, что ОТХ является следствием обычной теоремы Хеке. |

Дополнительные свойства интегрального оператора, основанные на ОТХ, изучаются в седьмой главе диссертации. ОТХ выполнена, если отсутствует выделенное направление в пространстве, т.е. нет сильного внешнего магнитного или электрического поля, которые могут приводить к ориентации частиц. Показано, что при выполнении ОТХ существуют дополнительные соотношения между МЭ.

В первом разделе седьмой главы строится рекуррентная процедура с учетом ОТХ. Рекуррентная схема не зависит от того, стартовать ли с линейных МЭ первого типа (ллллллл^о) л-лл второго типа! (К'лдлл лл). Поэтому основные доказательства проводятся для МЭ первого типа. Показано, что можно построить рекуррентную процедуру для подмножества нелинейных МЭ -ЛСллцЛ с Г2 = 0. Остальные МЭ легко определяются через них. Осуществлен переход от индексов г, /, гх, /1, ¿2 к новым переменнымр, К, Л, г, и. В цепочке рекуррентных соотношений с фиксированными значениями р. К, Л при г = О, 1 и различных значениях ТУ каждый раз существует только один неизвестный к этомлл моменту линейный неизотропный МЭ. Этот МЭ однознатч:но определяется по заданным линейным изотропным МЭ из-за обращения в ноль запрещенного по ОТХ нелинейного МЭ, завершающегЬ цепочку рекуррентных соотношений. Доказано, что таким путем определяются все неизотропные линейные МЭ. При этом определяется также подмножество нелинейных МЭ для т = О, 1. 1

Проведено сравнение расчетов линейных неизотропных МЭ по рекуррентной процедуре с известными результатами. Таких результатов не очень много. Имеются формулы связи неизотропных и изотропных линейных МЭ для максвелловских молекул [37],| [49], [50. Существуют также общие формулы, выражающие парциальные интегральные скобки через л7-интегралы при / < 2 [48] для смеси газов с произвольными массами. После обобщения рекуррентных соотношений на случай разных масс установлено полное совпадение наших расчетов с известными результатами.

Рассмотрены некоторые интересные следствия из рекуррентных соотношений. Часть из этих результатов была известна ранее [49], [51 .

Завершение построения рекуррентной схемы для других г и для отрицательных значений р — К проведено в четвертом разделе седьмой главы. Большая часть этого раздела посвящена компьютерному выводу двух аналитических формул. Первая из них выракает произвольный неизотропный линейньш МЭ через изотропные линейные МЭ. Кроме того, построена аналитически система связей между линейными изотропными МЭ. Показано, что любой недиагональный изотропный линейный МЭ однозначно определяется по заданным диагональным.

В конце седьмой главы проведены результаты для случая произвольных нестепенных потенциалов взаимодействия. В этом случае рекуррентные формулы связывают коэффициенты разложения матричных элементов по Л-интегралам.

В восьмой главе исследуются связи между матричными элементами в трехмерном случае. Эти связи являются следствием! того, что интеграл столкновений при разложении по сферическим полиномам Эрмита не зависит от того, как направлены оси в пространстве скоростей. В данном случае переход от одного базиса к другому соответствует последовательности поворотов в пространстве скоростей, причем достаточно рассмотреть два поворота: вокруг оси г и вокруг оси у. Эти преобразования соответствуют группе вращений. НесмоI тря на то, что группа вращений исследована в литературе 'достаточно подробно, в частности и для уравнения Больцмана, мы проводим подробный анализ соотношений, вытекающих из инвариантности интеграла столкновений при поворотах. В результате удается из единых принципов найти все связи между матричными элементами с различными значениями индексов. Кроме того/) удалось выяснить, чем отличаются эти связи для систем без выделенного и с выделенным направлением в пространстве. При отсутствии выделенного направления связи между МЭ с различными индексами т, т\ и 'тл имеют вид конечного числа алгебраических уравнений. Показано, что выполнение условий ОТХ необходимо для того, чтобы система имела ненулевое решение. Разработана рекуррентная процедура для решения этой системы. Полученные решения выражаются через коэффициенты Клебша -Гордана.

При наличии выделенного направления, т.е. в ансамбле ориентированных частиц, матричные элементы зависят от углов поворота системы координат. В этом случае не выполняется ОТХ. Однако связи между матричными элементами существуют и в этом случае. Теперь это не алгебраические, а дифференциальные уравнения. Путем анализа систем дифференциальных уравнений выявлен ряд закономерностей в зависимости МЭ от углов поворота.

Положения, выносимые на защиту

1) Изучены свойства интеграла столкновений уравнения Больцмана в достаточно общем случае, когда частицы имеют внутреннее степени свободы, а в пространстве имеется выделенное направление.

2) Впервые предложен метод интегрального преобразования нелинейного уравнения Больцмана — а - и -представление уравнения Больцмана и предложены численные методы решения полученного уравнения.

3) В полиномиальном методе решения уравнения Больцмана исследована структура интеграла столкновений, которая отраж:ается в свойствах нелинейных МЭ столкновительного оператора.

4) Впервые показано, что вследствие инвариантности интеграла столкновений относительно выбора базисных функций между МЭ существует множество простых соотношений, которые могут быть использованы как рекуррентные соотношения.

5) В изотропном случае показано, что использование рекуррентных соотношений на много порядков ускоряет процесс вычисления МЭ, а использование в расчетах нелинейных процессов МЭ с большими значениями индексов позволяет продвинуться в описании ФР в область больших скоростей.

6) В осесимметричном случае из полученных простых соотношений между МЭ в случае отсутствия выделенного направления доказана о1 общенная теорема Хеке (ОТХ).

7) В осесимметричном случае показано, что следствием ОТХ являются дополнительные соотношения между МЭ. Эти соотношения позволяют выразить все осесимметричные МЭ через изотропные линейные диагональные МЭ.

24

8) В трехмерном случае из принципа инвариантности относительно выбора базиса получены рекуррентные соотношения, которые при отсутствии выделенного направления являются алгебраическими, а при наличии выделенного направления - дифференциальными уравнениями. Разработан метод решения алгебраических уравнений. Показано, что ОТХ является условием разрешимости этих уравнений, а самые обпЛие МЭ пропорциональны соответствуюш;им осесцмметрич-ным. Коэффициенты пропорциональности выражаются через . коэффициенты Клебша-Гордана, что хорошо согласуется с известными ранее результатами.

Общий объем диссертации 312 страниц, включая 14 рисунков и 33 таблицы на 26 страницах, приложение на 14 страницах, список литературы из 93 наименований, а также список публикаций автора по теме диссертации из 46 наименований.

Часть I

• 1

• 1

НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА СТОЛКНОВЕНИЙ И а-и-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА

Заключение

Итоги исследований, проведенных в первой части диссертации, достаточно подробно сформулированы в самой первой части (см., например, последний раздел четвертой главы). Поэтому здесь я только очень кратко перечислю эти результаты.

Подробно исследованы свойства интеграла столкновений уравнения Больцмана для частиц с внутренними степенями свободы. В частности, выписан интеграл столкновений для ориентированных частиц в системе с выделенным направлением, например, с внешним полем. Доказана Я-теорема для таких ориентированных частиц.

Проведено интегральное преобразование нелинейного уравнения Больцмана. Построено а -и-представление уравнения Больцмана. Эти результаты чрезвычайно важны для второй части и используются для построения матрицы перехода от одного базиса к другому при изменении температуры и средней скорости базиса.

Во второй части диссертации при исследовании структуры больц-мановского интеграла столкновений использовалось полиномиальное разложение. В качестве базисных функций выбирались сферические полиномы Эрмита. При таком разложении интеграл столкновений описывается матрицей взаимодействия. Установлено, что между элементами этой матрицы существует огромное число связей. Большинство связей получается из инвариантности интеграла столкновений относительно выбора базиса. Перечислим все соотношения с указанием, где их можно найти в диссертации.

В пятой главе выведены соотношения между изотропными МЭ (5.42), (5.49), с помощью которых в изотропном случае можно рассчитать нелинейные МЭ по заданным линейным. |

В шестой главе выведены соотношения между МЭ в осесимметрич-ном случае как для степенных потенциалов (6.42), (6.51), так и для произвольных потенциалов взаимодействия (6.42), (6.46). Если в пространстве нет выделенного направления, то интеграл столкновений обладает дополнительной симметрией, и между матричными элементами сушествуют дополнительные соотношения. Впервые на эту дополнительную симметрию в кинетической теории газов обрЛатил внимание Хеке [6]. т-ч и о

В седьмой главе показано, что имеется много дополнительных свойств и соотношений между матричными элементами интеграла столкновений, обусловленных этой дополнительной симметрией. Для этого случая разработана рекуррентная процедура (7.10). С помощью этой процедуры и компьютерного моделирования выведены формулы, вы-ражаюш;ие линейные осесимметричные МЭ через линейные изотропные МЭ (7.126). Волее того, показано, что эти связи приводят к некоторым дополнительным соотношениям между самими изотропными линейными МЭ (7.127).

В восьмой главе выведены соотношения между МЭ с различными индексами т, тх и т2 в самом обш;ем, трехмерном случае. Они являются следствием инвариантности при поворотах относительно оси г и оси у как для для неориентированных, так и для ориентированных частиц (8.15), (8.16), (8.61), (8.65). л

Замечательно то, что все перечисленные результаты удалось получить из простых и достаточно обш;их принципов. Основнью рекуррентные соотношения получены из инвариантности интеграла столкновений относительно выбора базисных функций. Дополнительные

• 1 соотношения являются следствием ортогональной инвариантности линейного интеграла столкновений для неориентированных частиц

5], [6].

Важно и то, что при выводе соотношений мы нигде не пользовались конкретными свойствами интеграла столкновений. Наибол|ее обшие из полученных результатов справедливы для любого билинейного оператора. При этом, конечно, используются свойства сферических полиномов Эрмита. Дополнительные соотношения также справедливы для достаточно широкого класса операторов. Достаточно только, чтобы в системе не было выделенного направления. Это означает, в частности, что линейный оператор, который может быть получен из билинейного оператора, удовлетворяет условиям теоремы Хеке. По! этому можно с уверенностью утверждать, что полученные результаты найдут применение при решении многих нелинейных задач Математики и физики. К ним можно отнести, например, использование полиномиального разложения в теории турбулентности или вычисление сложных матричных элементов в квантовой теории и, в частности, в оболочечной теории ядра. Л

Что касается кинетической теории газов, то, безусловно, главный практический результат — это возможность вычислять нелинейные матричные элементы от интеграла столкновений. Основные соотношения между матричными элементами, вытекаюш;ие из инвариантности интеграла столкновений относительно выбора базиса, всегда представляют собой рекуррентные соотношения. При использовании рекуррентных процедур каждый последующий МЭ вычисляется с помощью всего нескольких арифметических операций. Это открывает новые перспективы в развитии моментного метода, поскольку основной проблемой в этом методе является расчет нелинейных ]У[Э и даже линейных МЭ при больших значениях индексов. На примере изотропной релаксации показано, что подключение МЭ с большими значениями индексов позволяет продвинуться в описании функции ¡распределения в область больших скоростей (до 8-10 тепловых).

Таким образом, из единых принципов показано, что в |стандарт-ной кинетической теории (при отсутствии выделенного направления в пространстве) можно построить все матричные элементь! интеграла столкновений, если известны линейные диагональные изотропные матричные элементы. Следует отметить, что обычно в кинетической

311 1 теории вообще не рассматривались изотропные МЭ, поскольку они не существенны при вычислении коэффициентов переноса. '

Полученные результаты открывают новые возможности для решения нерешенных задач кинетической теории газов и плазмы и для уточнения уже имеющихся решений.

Среди таких задач можно-назвать:

1. Кинетическая теория переноса при числах Кнудсена порядка единицы.

2. Кинетическое описание структуры ударных волн и нестационарного процесса их взаимодействия. Ударные волны должны быть не очень сильными (число Маха М < 2), чтобы не нарушался критерий Грэда.

3. Неоклассическая диффузия в сильно ионизованной плазме. Сильная зависимость кулоновского сечения от углов и энергии'приводит к неравномерной релаксации при разных скоростях. Описание такого I процесса требует привлечения большого числа моментов от функции распределения и, следовательно, большого числа матричных элементов от интеграла столкновений.

Открываются новые возможности для расчета физико-химических процессов, связанных с неупругими столкновениями. Для корректного решения многих таких задач необходимо знание функции распределения в области больших скоростей.

Впервые открывается реальная перспектива для расчета матричных элементов и создания последовательной теории перенрса для несимметричных ориентированных частиц в сильном магнитном поле.

I •

В заключение я хочу выразить глубокую благодарность моему постоянному соавтору Ирине Алексеевне Эндер и сотрудникам лаборатории Физической Газодинамики Виктору Иосифовичу Кузнецову, Валентину Ивановичу Бабанину, Игорю Николаевичу Колышкину, Михаилу Борисовичу Лютенко, которые принимали участие в обсуждении и детальной проработке некоторых положений диссертации.

312 также очень помогли мне в подготовке этой рукописи.

1. Boltzmann L. Further Studies on the Thermal Equilibrium Among Gas-molecules, Wien. Ber., 66, 275 (1872) (Collected Works, 2, 1).

2. Больцман Л. Лекции по теории газов. М., 1956. 554 с.

3. Hilbert D. Begründung der kinetischen Gastheorie. // Math. Ann., 1912. 72. P. 562-577.

4. Hilbert D. Grundzuge einer allgemeinen Theorie der linearen Integralgleichung. 1912. Leipzic und Berlin. 282 p.

5. Hecke E. Uber orthogonalinvariante Integralgleichungen. // Math. Ann. 1917. Vol. 78. F. 398-404.

6. Hecke E. Uber die Integralgleichung der kinetishen Gastheorie. // Math. Zs. 1922. Vol. 12. F. 274-286.

7. Chapman S. On the law of distribution of velocities and on the theory of viscosity and termal conduction in a non-uniform simple monatomic gas. //Phil. Trans. Roy Soc. 1916. A216. P. 279.

8. Чепмеп С, Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. ИЛ., 1960. 510 с.

9. Гиршфелъдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. ИЛ, 1961. 929 с.

10. Burnett D. The distribution of velocities in a slightly non-uniform gas. // Proc. London Math. Soc. 1935. Vol. 39. P. 385-430.

11. Burnett D. The distribution of molecular velocities and the mean motion in a non- uniform gas. // Proc. London Math. Soc. 1935. Vol. 40. P. 382435.

12. Word C.A., Mintzer D. Truncation procedure for the spatiall}A homogeneous Boltzmann equation. // Phys. Fluids. 1971. Vol. 14. N. 3. P. 499-509.

13. Grad H. On the kinetic theory of rarefied gases. // Comm. Pure Appl. Math. 1949. Vol. 2. P. 311.

14. Grad H. Principles of the kinetic theory of gases. // в сб. "Hundbuch der Physik". 1958. Vol. 12. (Имеется перевод в сб. "Термодинамика газов". 1970. М.)

15. Kumar К. Polinomial Expansion in Kinetic Theory of Gases. // Ann. Phys. 1966. Vol. 37. P. 113-141.

16. Берд P. Молекулярная газовая динамика. М., 1981. 319 с.

17. Turchetti О., Paolilli М. The relaxation to equilibrium from a Boltzmann equation with isotropic cross section // Phys. Lett. 1982. Vol. 90A. N. 3. P. 123-126.

18. Эндер А.Я., Эндер И.А. Моментный метод для изотропного уравнения Больцмана // ЖТФ. 1994. Т. 64. Ж 10. С. 38-53.

19. Эндер И.А., Эндер А.Я. Об одном представлении уравнения Больцмана. // Докл. АН СССР. 1970. Т. 193. Ш. 1, С. 61-64.

20. Эндер А.Я., Эндер И.А. Об одном методе решения уравнения Больцмана при сильных отклонениях от максвелловского распределения. // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1971. №. 1. С. 12-22.

21. Эндер А.Я., Эндер И.А. Уравнение Больцмана в а — —и-представлении. // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1972. №. 4. С. 117-123.

22. Колышкин И.Н., Эндер А.Я., Эндер И.А. Вычисление интеграла столкновений уравнения Больцмана и точное решение релаксационной задачи. // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1977. №. 5. С. 132-141.

23. Эндер А.Я., Эндер И.А. Интегральное преобразование уравнения Больцмана для максвелловских молекул, в сб. "Аэродинамика разреженных газов". 1983. Ленинград. С. 197-215.

24. Эндер А.Я., Эндер И.А. Формирование функции распределения в задачах температурной релаксации. // ЖТФ. 1984. Т. 54. №. 9. С. 1671-1679.

25. Колышкин И.Н., Эндер А.Я., Эндер И.А. Численное решение задач изотропной релаксации методом разложения по максвеллианам // ЖВМ и МФ. 1988. Т. 28. №. 6. С. 901 916.

26. Колышкин И.Н., Эндер А.Я., Эндер И.А. Неизотропные решения уравнения Больцмана // Моделирование в механике. Новосибирск, 1990. С. 54-64.

27. Эндер А.Я. Свойства симметрии и больцмановское распределение. // Вести. ЛГУ. 1966. Вып. 4. №. 19. С. 116-128.

28. Эндер А.Я. К выводу релаксационных уравнений для газов с внутренними степенями свободы. // ЖТФ. 1971. Т. 41. №. 2. С. 272-281.

29. Эндер А.Я. Н-теорема для неизотропных частиц при наличии выделенного направления в пространстве. // ЖТФ. 1992. Т. 62. №. 1. С. 20-29.

30. Potekhin A.Y. Structure and radiative transitions of the hydrogen atom moving in a strong magnetic field. / / J . Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1994. Vol. 27. P. 1073-1090.

31. Ventura J., Potekhin A. Y. Neutron star envelopes and thermal radiation from the magnetic surface, //in: C. Kouveliotou, J. van Paradijs, J. Ventura (eds.) "The Neutron Star Black Hole Connection", NATO ASI Ser. 2001. Kluwer, Dordrecht. In press.

32. Senftleben H. Einfluss eines Magnetfieldes auf das Wärmeleitungsvermögen fon paramagnetischen Gasen. // Physik. Z. 1930. Vol. 31. P. 822.

33. Beenakker J.J.M., Scoles G., Knaap H.F.P. and Jonkman R.M. The influence of a magnetic field on the transport properties of diatomic molecules in the gaseous state. // Phys. Letters. 1962. Vol. 2. P. 5-6.

34. Beenakker J.J.M. The influence of electric and magnetic fields on the transport properties of polyatomic dilute gases. // в сб. "Festkörperprobleme". 1969. Vol. 8. F.Vieweg und Sohn, Braunschweig. R 276-311.

35. Waldmann L. Transportercheinungen in Gasen von mittlerem Druck / / в сб. "Handbuch der Physik". 1958. Vol. 12. (Имеется перевод в сб. "Термодинамика газов". 1970. М., С. 169-414.)

36. Mott-Smith Н.М. The solution of the Boltzmann equation for a shock wave.// Physic. Rev. 1951. Vol. 82. P. 885-892.

37. Weitzsch P. Ein neuer Ansatz fur die Behandlung gasdynamischer Probleme bei starken Adweichungen vom thermodynamischen Gleichungewicht. // Ann. Phys. 1961. Bd. 7. Nr 7/8. P. 403-417.

38. Бобылев A.B. 0 некоторых свойствах уравнения Больцмана для максвелловских молекул. // Препринт ИПМ АН СССР. №. 51. М., 1975. 29 с.

39. Бобылев A.B. О точных решениях уравнения Больцмана. // Докл. АН СССР. 1975. Т. 225. №. 6, С. 1296-1299.

40. Krook М. Wu Т. Т. Exact solutions of Boltzmann equation // Phys. Fluids, 1977, Vol. 20. N. 10. pt. 1. P. 1589-1595.

41. Ernst M. H. Nonhnear model-Boltzmann equation and exact Solutions.// Phys. Rep. 1981. Vol. 78. N. 1. P. 1-169.

42. Эндер A.Я., Эндер И.А. Релаксация газа из твердых шаров и критерии правильности расчетов. // ЖТФ. 1998. Т. 68. №. 5. С. 18-26.

43. Schurrer F., Kugerl G. On the relaxation of single hard-sphere gases. // Phys. Fluids. A. 1990. Vol. 2. N. 4. P. 609-618.

44. Эндер А.Я., Эндер И.А. Нелинейный моментный метод для изотропного уравнения Больцмана и инвариантность интеграла столкновений. // ЖТФ. 1999. Т. 69. №. 6. С. 22-29.

45. А7. Ender A.Ya., Ender LA. Polynomial expansions for the isotropic Boltzmann equation and invariance of the collision integral with respect to the choice of basis functions. // Phys. Fluids. 1999. Vol. 9. P. 27202730.

46. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М., 1976. 554 с.

47. Sirovich L. Dispersion relations in rarefied gas dynamics. // Phys. Fluids. 1963. Vol. 6. N. 1. P. 10-20.

48. Hendrics E.M., Nieuwenhuizen T.M. Solution to the nonlinear Boltzmann equation for Maxwell models for nonisotropic initial conditions. // Stat. Phys. 1982. Vol. 29. N. 3. P. 591-615.

49. Mott-Smith H.M. A new approach in the kinetic theory of gases. Lincoln Laboratory MIT Rept. 1954.

50. Блохинцев Д.И. Принцип детального равновесия и квантовая механика // ЖЭТФ. 1947. Т. 17. В. 10. С. 924-936.

51. Боголюбов Е.Н., Ширков Д.В. Введение в теорию кватованных полей. М., 1957. 442 с.

52. Wang-chang C.S., Uhlenbeck Transport phenomena in polyatomic molecules // Univ. Michigan Publication. CM-681. 1951 (ссылка no книге А.К.Гиршфельдер, Ч. Кертисси P. Берд. Молекулярная теория газов и жидкостей, стр. 398. М., 1961. 926 с.)

53. Stueckelberg E.C.G. Theoreme Н et unitarite de S // Helv. Phys. Acta. Vol. 25. N. 5. 1952. P. 577-580.

54. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М., 1965. 716 с.

55. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М., 1963. 702 с.

56. Коган М.Н. Об уравнениях неравновесных течений газа//ПМТФ. 1965. №. 1. С. 32-44.

57. Де Гроот С, Мазур П. Неравновесная термодинамика. М., 1964. 456 С.

58. Лосев СЛ., Осипов Л.И. Исследование неравновесных явлений в ударных волнах //УФН. 1961. Т. 74. В. 3. С. 393-434.

59. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М., 1964. 567 С.

60. Landau L.D., Teller Е. Zur Theorie der Schalldispersion // Phys. Z. Sowjetunion. 1936. V. 10. N. 1. C. 34-43.

61. Alexanian M. Integral representation for non-maxwellian distribution and the approach to equihbrium // Phys. Letts. 1979. V. 74A. N. 1,2. P. 1-5.

62. Tjon L A. On the approach to Maxwellian distribution // Phys. Letts. 1979. V. 70A. N. 5,6. P. 369-371.

63. Deshpande S.M., Narasimha R. The Boltzmann collision integrals for a combination of Maxellians // J. Fluid Mech. 1969. Vol. 36. Ft. 3. P. 545554.

64. Morse Т.Е. II J. Phys. Fluids. 1963. Vol. 6. N. 10. P. 1420-1427.

65. Эндер А.Я., Эндер И.А. Интегральное преобразование уравнения Больцмана для различных законов взаимодействия частиц // Препринт ФТИ АН СССР. №. 605. Л., 1979. 53 с.

66. Ernst М.Н., Hendriks Е.М. An exactly solvable non-linear Boltzmann equation // Phys. Lett. 1979. Vol. 70A. N. 3. P. 183-185.

67. Григорьев Ю.Н., Михалицин A.H. Численное исследование задач изотропной релаксации в газе с максвелловским взаимодействием // ЖВМ и МФ. 1985. Т. 25. №. 5. С. 742-756.

68. Маслова Н.В. О решении уравнения Больцмана для случая пространственно-однородного газа из максвелловских молекул // Вести. Ленингр. ун-та. 1968. вып. 3. №. 13. С. 88-95.

69. Ведепяпин В.В. Анизотропные решения нелинейного уравнения Больцмана для максвелловских молекул // Докл. АН СССР. 1981. Т. 256. №. 2. С. 338-342.

70. Barnsley M. and Turchetti G. // Lett. Nuovo Cimente. 1979. Vol. 26. N. 6. P. 188-192.

71. Barnsley M. and Turchetti G. The relaxation to equilibrium from a Boltzmann equation with isotropic cross section // Lett. Nuovo Cimento. 1982. Vol. 33. N. 11. P. 347-351.

72. Шахов E. M. Метод исследования движений разреженного газа. M. 1974. 204 с.

73. Черемисип Ф.Г. Метод прямого численного интегрирования уравнения Больцмана. В сб. "Численные методы в теории разреженных газов". 1969. М. ВЦ АН СССР.

74. Alexanian M. Field-theoretic formulation of quantum statistical mechanics // J. Math. Phys. 1968. Vol. 9. P. 725-733

75. Alexanian M. Integral representation for system of interacting particles / / J . Math. Phys. 1968. Vol. 9. P. 734-737

76. Alexanian М., Grinstein В. Integral representation for non-maxwell models and the approach to equilibrium // Phys. Letts. 1980. Vol. 78A. N. 3. P. 209-214

77. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., 1963. 1100 с.

78. Potapenko LP., Bobilev А. V., de Azevedo СЛ., de Assis A.S. Relaxation of the distribution function tails for gases with power-low interaction potential. // Phys. Rev. E. 1997. Vol. 56. N. 6. P. 7159-7165.

79. Эндер A.M., Эндер И.A., Лютенко М.Б. Полиномиальное разложение изотропного уравнения Больцмана и независимость интеграла столкновений относительно выбора базисных функций. // Препринт ФТИ РАН. №. 1716. Санкт-Петербург. 1998. 62 с.

80. Колышкин И.Н., Эндер А.Я., Эндер И.А. Нестационарные процессы при установлении ударной волны в разреженном газе. // Тезисы доклада на XI Всесоюзной конференции по ДРГ. 1991. Ленинград. С. 25.

81. Kolyshkin I.N., Ender A.Ya., Ender LA. Transfer processes in highgradient flows. Numerical-analitical solving of the interaction shock waves problems. Euromech Colloquium 285. Abstracts. 1991. Minsk. P. 42-44.

82. Talmi L Nuclear spectroscopy with harmonic oscillator wave-functions. // Helv. Phys. Acta. 1952. Vol. 25. P. 185-234.

83. Smirnov Yu.F. Talmi transformation and particles with different masses // Nucl. Phys. 1961. Vol. 27. R 177-187.

84. Варшалович Д.А., Москалев A.H., Херсонский В.К. Квантовая теория углового момента. Ленинград, 1975. 436 с.

85. Эндер А.Я., Эндер И.А. Структура больцмановского интеграла столкновений. Часть I. Полиномиальное разложение: и общие связи между матричными элементами. // Препринт ФТИ РАН. №. 1747. Санкт-Петербург. 2000. 39 с.335

86. Эндер А.Я., Эндер И.А., Лютенко М.Б. Структура больцмановско-го интеграла столкновений. Часть П. Полиномиальное разложение и общие связи между матричными элементами. // Препринт ФТИ РАН. №. 1748. Санкт-Петербург. 2000. 71 с.

87. Черчинъяни Я. Теория и приложения уравнения Больцмана. М., 1978. 495 с.

88. Pekeris C.L., Alterman Z., Finkelstein L. and Frankoowski K. Propagation of sound in a gas of rigid spheres. // Phys. Fluids. 1962. Vol. 5. N. 12. P. 1608-1616.

89. Матвеев H.M. Дифференциальные уравнения. Минск. 1976. 366 с.

90. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М., 1981. 797 с.

91. Рихтмайер Принципы современной математической физики. М., 1982. 488 с.

92. Публикации автора по теме диссертации

93. Эндер А.Я. Свойства симметрии и больцмановское распределение. // Вестн. ЛГУ. 1966. Вып. 4. №. 19. С. 116-128.

94. Эндер И.А., Эндер А.Я. Об одном методе решения уравнения Больцмана при сильных отклонениях от максвелловского распределения. // (Труды Ш Всесо-юзн. конф. по ДРГ, 1 секция. 1969. Новосибирск). 1971. С. 100-105.

95. Эндер И.А., Эндер А.Я. Об одном представлении уравнения Больцмана. // Докл. АН СССР. 1970. Т. 193. №. 1. С. 61-64.

96. Эндер А.Я., Эндер И.А. Об одном методе решения уравнения Больцмана при сильных отклонениях от максвелловского распределения. // Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1971. №. 1. С. 12-22.

97. Эндер А.Я. К выводу релаксационных уравнений для газов с внутренними степенями свободы. // ЖТФ. 1971. Т. 41. №. 2. С. 272-281.

98. Эндер А.Я., Эндер И.А. Уравнение Больцмана в а-и- представлении. // Изв.

99. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1972. №. 4. С. 117-123.

100. Колышхин И.Н., Эндер А.Я., Эндер И.А. Численное исследование ядра столкно-вительного оператора уравнения Больцмана и решение релаксационной задачи. // Труды IV Всесоюзн. конф. по ДРГ. 1977. Звенигород. С. 422-428.

101. Колышхин И.Н., Эндер А.Я., Эндер И.А. Вычисление интеграла столкновений уравнения Больцмана и точное решение релаксационной задачи.// Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа. 1977. №. 5. С. 132-141.

102. Эндер А.Л., Эндер И. А. Метод интегрального преобразования уравнения Больцмана (аналитическое исследование) // Тезисы V Всесоюзн. конф. по ДРГ. 1978. Долгопрудный. С. 48-49.

103. И. Эндер А.Я., Эндер И.А. Интегральное преобразование уравнения Больцмана для различных законов взаимодействия частиц // Препринт ФТИ АН СССР. Ж 605. Л., 1979. 53 с.

104. Бабанин В.И., Колъьшкин И.Н., Эндер А.Я., Эндер И.А. Некоторые особенности сильно неравновесных граничных задач кинетической теории газов. // Тезисы VI Всесоюзн. конф. по ДРГ. 1980. Новосибирск. С. 5.

105. Эндер А.Я., Эндер И.А. Уравнение Больцмана в а-и-представлении для макс-велловских молекул. // Труды VI Всесоюзн. конф. по ДРГ. 1980. Новосибирск. С. 97-102. I

106. Бабанин В.И., Колъьшкин И.Н., Эндер А.Я., Эндер И.А. О некоторых особенностях граничных задач кинетической теории газов, //в сб." Аэродинамика разреженных газов". 1980. Ленинград. №. 10. С. 24-39.

107. Эндер А.Я., Эндер И.А. Метод интегральных преобразований уравнения Больц-мана. Аналитическое исследование. // В кн. " Молекулярная газодинамика". 1982. Москва. С. 68-73.

108. Эндер А.Я., Эндер И.А. Интегральное преобразование уравнения Больцу1ана для максвелловских молекул. // В сб. "Аэродинамика разреженных газов". 1983. Ленинград. №. 11. С. 197-215.

109. Эндер А.Я., Эндер И.А. Формирование функции распределения в задачах температурной релаксации. // ЖТФ. 1984. Т. 54. №. 9. С. 1671-1679.

110. Ender A.Ya., Ender LA. Application of expansion in Maxwellians to the solution of linear problems of the temperature relaxation. // Rarefied gas Dynamics. Proc. 13rd RGB Symp. 1985. New York, London. V. 1. P. 221-228.

111. Колъьшкин И.Н., Эндер А.Я., Эндер И.А. Численный метод построения функции распределения в а-представлении. // Тезисы докладов на VIII Всесоюзн. конф. по ДРГ. 1985. Москва, т. 1. С. 16-18.

112. Колышкин И.Н., Эндер А.Л., Эндер И.А. Изотропные и неизотропные решения уравнения Больцмана в а-и- представлении. // Сб.научных трудов ин-та ТПМ СО АН СССР, механика, численные методы в кинетической теории газов. 1986. Новосибирск. С. 37-44.

113. Колышхин И.Н., Эндер А.Л., ЭкЛер Я.А. Обобш;ение а-представления уравнения Больцмана на неизотропные задачи и произвольные сечения взаимодействия. Тезисы доклада на IX Всесоюзн. конф. по ДРГ. 1987. Свердловск, т. 1. С. 14.

114. Колышкин И.Н., Эндер А.Л., Эндер И.А. Численное решение задач изотропной релаксации методом разложения по максвеллианам// ЖВМиМФ. 1988. Т. 28. №. 6. С. 901-916.

115. Колышкин И.Н., Эндер А.Я., Эндер И.А. Неизотропные решения уравнения Больцмана. // Тезисы докладов на X Всесоюзн. конф. по ДРГ, 1989. Москва, т. 1. С. 15-16.

116. Колышкин И.Н., Эндер А.Л., Эндер И.А. Неизотропные решения уравнения Больцмана // Моделирование в механике. Новосибирск. 1990. С. 54-64.

117. Колышхин И.Н., Эндер А.Л., Эндер И.А. Нестационарные процессы при установлении ударной волны в разреженном газе. // Тезисы доклада на XI Всесоюзной конференции по ДРГ. 1991. Ленинград. С. 25.

118. Эндер А.Л., Эндер И.А. О некоторых особенностях решения уравнения Больцмана при наличии быстрых сильно неравновесных процессов. // Тезисы доклада на XI Всесоюзн. конф. по ДРГ. 1991. Ленинград. С. 26.

119. Kolyshkin I.N.,. Ender A.Ya., Ender LA. Transfer processes in high-gradient flows. Numerical-anahtical solving of the interaction shock waves problems. Euromech Colloquium 285. Abstracts. 1991. Minsk. P. 42-44.

120. Kolyshkin LN., Ender A.Ya., Ender LA. Expansion in Maxwellians in problems of monotone and nonmonotone isotropic relaxation. // Fluid Mechanics. Sov. Rev. (USA). 1991. Vol. 20. N. 6. P. 221-228.

121. Эндер A.Л. Н-теорема для неизотропных частиц при наличии выделенного направления в пространстве. // ЖТФ. 1992. Т. 62. Ж 1. С. 20-29.

122. Эндер А.Л., Эндер И.А. Моментный метод для изотропного уравнения Больцмана // Журн.техн.физ. 1994. Т. 64. №. 10. С. 38 53.

123. Эндер А.Л., Эндер И.А. Изотропные решения уравнения Больцмана для различных законов взаимодействия частиц. //В сб. Аэродинамика. 1997. С. Петербург. С. 164-177.

124. Эндер А.Л., Эндер И.А. Релаксация газа из твердых шаров и критерии правильности расчетов. // ЖТФ. 1998. Т. 68. №. 5. С. 18-26.

125. Эндер А.Л., Эндер И.А., Лютенко М.Б. Полиномиальное разложение изотропного уравнения Больцмана и независимость интеграла столкновений относительно выбора базисных функций. // Препринт ФТИ РАН. №. 1716. Санкт-Петербург. 1998. 62 с.

126. Ender A.Ya., Ender LA. A new approach in the nonhnear moment method for the Boltzmann equation. // Chech. Journ. of Physics. 1998. Vol. 48. P. 281-289.

127. Эндер A.H., Эндер И.А. Нелинейный моментный метод для изотропного уравнения Больцмана и инвариантность интеграла столкновений. // ЖТФ. 1999. Т. 69. №. 6. С. 22-29.

128. Эндер А.Л., Эндер И. А. Симметрия нелинейной матрицы столкновительного оператора и новые перспективы в моментном методе решения уравнения Больцма-на. // ЖТФ. 1999. Т.69. №. 9., С. 6-11.

129. Эндер А.Л., Эндер И.А. Лютенко М.В. Развитие нелинейного моментного метода для решения релаксационных задач. // Мат. моделирование. 1999. Т. И. №. 69. С. 39-44.

130. Ender A.Ya., Ender LA. Polynomial expansions for the isotropic Boltzmann equation and invariance of the collision integral with respect to the choice of basis functions. // Phys. Fluids. 1999. Vol. 9. P. 2720-2730.

131. Ender A. Ya., Ender L.A. Polynomial Expansions for Isotropic Boltzmann Equation and Invariance of the ColHsion Integral with Respect to the Choice of Basis Functions. // Rarefied gas Dynamics. Proc. 21st RGD Symp. 1999. V. 1. P. 55-62.

132. Эндер A.Л., Эндер И.A. Структура больцмановского интеграла столкновений. Часть I. Полиномиальное разложение и общие связи между матричными элементами. // Препринт ФТИ РАН. №. 1747. Санкт-Петербург. 2000. 39 с.

133. Эндер А.Л., Эндер И.А., Лютенко М.В. Структура больцмановского интеграла столкновений. Часть П. Дополнительные'ААежду матричными элементами для неориентированных частиц. // Препринт ФТИ РАН. №. 1748. Санкт-Петербург. 2000. 71 с.

134. Эндер А.Я., Эндер И.А., Лютенко М.В. Развитие нелинейного моментного метода решения уравнения Больцмана в осесимметричном случае.// III международная конференция по неравновесным процессам в газах и струях. Сборник тезисов. 2000. Москва. С. 94-96.

135. Эндер А.Л., Эндер И.А. Рекуррентные соотношения между матричными элементами нелинейного больцмановского интеграла столкновений в осесимметрич-ном случае.// В сб. Аэродинамика. 2000. С. Петербург. С. 146-166.

136. Ender A.Ya., Ender LA. Polynomial expansion for the axially symmetric Boltzmann equation and relation between matrix elements of collision integral. // Rarefied gas Dynamics. Abstracts. 22nd RGD Symp. 2000. Austraha. Sydney. P. 43.