Методы прямого решения уравнения Больцмана и их применение для изучения течений разреженного газа тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

о

7 РОССИЙСКАЯ ЖАДЕМ1Ш НАУК

^ . ' ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукописи

УДК 533.6.011.8

Аристов Владимир Владимирович

МЕТОДЫ ПРЯМОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЫЩНА И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ИЗУЧЕНИЯ ТЕЧЕНИИ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА'

01.02.05.— механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Вычислительном центре Российской Академии наук ■

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

М.Н.Коган

В.Е.Яницкий

А.В.Бобылев

Ведущая организация: Московский Государственный Авиационный Институт - Технический' Университет (МАИ)

Защита состоится " 1ээ£ г. в

часов на заседании Диссертационного совета Д002.32.01 при Вычислительном центре РАН (117967, Москва, ГСП-Г, ул.Вавилова, ' 40, конференц-зал).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического интитута им. В.А.Стеклова РАН.

Автореферат разослан

1995 Г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д002.32.01 доктор физико-математических наук, профессор

Е.-Д.Терентьев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш

Уравнение Больцмана является основным уравнением кинетической теории газов. Получение достаточно надежных решений для него дает возможность строить базис последующих математических исследований в динамике разреженных газов. С другой стороны, разработка методов прямого интегрирования кинетического уравнения (и некоторых его модельных модификаций) позволяет получить ряд алгоритмов, которые могут служить инструментом для исследования сложных течений.

Необходимость математического моделирования для изучения течений разреженного газа связана со многими теоретическими и прикладными проблемами. Актуальными остаются " уже имеющие традицию задачи, связанные с потребностями высотной авиации, космонавтики. Интенсивно изучаются явления, которые могут иметь приложения в новых химических и вакуумных технологиях. Чисто научный аспект,•связанный с вычислительной механикой, ' заключается в создании эффективных подходов для решения уравнения Больцмана. Консервативные численные схемы и детерминистический метод вычисления интегралов столкновений являются важными вычислительными процедурами, которые исследуются и используются в современных алгоритмах для задач динамики разреженных газов. В этом смысле методы прямого решения являются альтернативой (и дополнением) получившим большое распространение методам статистического моделирования.

Метод решения уравнения Больцмана позволяет уже изучать различные сложные проблемы, в которых ведутся экспериментальные исследования. Он способен не только подтверждать опытные данные, но и приносить новую информацию для таких режимов течений, которые еще затруднены для опытов. Тем самым определяется и перспектива последующих исследований (примером может служить решавшаяся в работе задача о нестационарном отражении ударной волны от клина).

Все больший интерес вызывают, например, внутренние и струйные течения в диапазоне' от свободномолекулярного до сплошносредного. В работе изучались задачи, связанные со свободными струями. Представлены также .двумерные и трехмерные задачи о течении газа в полости криогенного откачивающего устройства, что может служить

основой для дальнейших приложений.

Различные задачи для гиперзвуковых течений стимулируются (помимо традиционных проблем обтекания) изучением движений при сильных выбросах газа, импульсных пучках и экспериментами с инжекцией вещества в верхних слоях атмосферы. Здесь возможны новые постановки задач, основанные на учете сильного различия в скоростях групп молекул между' собой.

В общетеоретическом плане перспективны исследования существенно нелинейных неравновесных структур в открытых системах, что требует новых постановок задач и способов их решения. Уравнение Болыдоана имеет фундаментальный статус, и поэтому решение задач на его основе может пролить свет на ряд сложных неравновесных явлений в механике и термодинамике жидкости- и газа, а также в смежных областях. Цель работы

Состоит в построении эффективных численных алгоритмов в динамике разреженного газа, с помощью которых изучаются течения (от простейших релаксационных задач до трехмерных) для кинетического уравнения Больцмана. Научная новизна

1. Новым является построенный консервативный метод расщепления, на основе которого решалась большая часть задач в диссертационной работе. Данный подход позволил существенно улучшить точность вычислений. Были построены решения одномерных задач с контролем сходимости по численным параметрам, получены решения двумерных" и трехмерных задач, которые носят исследовательский характер.

2. Предложен метод регулярного интегрирования, заключающийся в использовании кусочно-постоянной аппроксимации в пространстве скоростей. Это позволяет провести полезное аналитическое двукратное инте-

■ грирование по углам столкновений. Правая часть уравнения Больцмана при этом приближается квадратичной формой с постоянными коэффициентами, что дает возможность в некоторых задачах ускорить процесс решения.

3. Для задачи о теплопередаче и структуре ударной волны при некоторых параметрах течения получены решения, которые можно считать тестовыми, и которые могут служить опорными при использовании других методов.

4. Впервые поставлена и решена задача о неоднородной' релаксации. В отличие от классической пространственно-однородной релаксационной

задачи здесь аналогичный процесс развивается в пространстве, при этом большой интерес вызывает неоднородное поведение макропараметров. При некоторых условиях было обнаружено немонотонное пространственное поведение энтропии.

5. Были предложены и опробованы асимптотические по числу Кнудсена алгоритмы, позволившие на основе консервативной схемы расщепления аппроксимировать уравнения Эйлера, а также правильно моделировать течения, близкие к газодинамическим.

6. Впервые изучены параллельные схемы для консервативного метода расщепления для двумерной и трехмерной задач, параллельные алгоритмы показали высокую эффективность.

7. На основе точной постановки для уравнения Больцмана решалась задача об отражении ударной волны от клина и изучался переход к маховскому отражению, решения сравнивались с результатами по методу статистического моделирования других авторов. Обнаружено существенное влияние температуры твердой поверхности на характер отражения.

8. Впервые получено решение для уравнения Больцмана в некоторых задачах о свободной струе при малых числах Кнудсена. Наблюдается стабилизация течения вблизи оси струи при изменении параметра разреженности. Проведено сравнение с экспериментальными данными, показавшими качественное и количественное соответствие с решениями по уравнению Больцмана.

9. Впервые построены решения для сложных трехмерных течений в камерах с криогенными панелями .при температуре жидкого гелия и стенками при температуре жидкого азота, при этом получены достаточно сложные картины течения.

10. Предложены и реализованы численные алгоритмы в задачах при очень больших числах Маха, решены задачи о структуре ударной волны до числа Маха 100 (на основе модельного уравнения) и о распаде высокотемпературного слоя. В задачах о распространении частиц и взаимодействии их с фоном неподвижных молекул показан выход на газодинамическое решение о сильном взрыве, получены некоторые точные асимптотические решения.

Достоверность

Результаты, полученные в работе, проверялись в многочисленных расчетах с изменением параметров, а также сравнением с решениями других авторов и с имеющимися экспериментальными данными. Разработанные

численные схемы изучались теоретически с установлением аппроксимации, в процессе счета подтверждалась устойчивость. В некоторых сложных задачах были предложены аналитические подходы, позволившие проверить достоверность численных решений для асимптотик рассматриваемых процессов. Научная и практическая ценность

Разработанные численные методы решения уравнения Больцмана могут быть использованы при изучении неравновесных течений в широком диапазоне параметров. Консервативный метод расщепления был применен и •развит в работах отечественных ученых (в ВЦ РАН, МГУ, ЛГУ, ИТШ СО РАН, МЭИ), и за рубежом (в ФРГ, США, Италии). Детерминистический метод интегрирования представляется весьма перспективным, что показали аналогичные результаты, полученные позже в исследовательских группах в США и во Франции. Некоторые результаты диссертационной работы вошли в монографическую литературу и учебные курсы, например, МЭИ. Консервативный метод расщепления используется на кафедре криогенной техники МЭИ при математическом моделировании течений в камерах с криогенными поверхностями. Апробация работы

Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на ряде всесоюзных (всероссийских) и международных конференций, в том числе на:

Всесоюзных конференциях по динамике разреженного газа (IV — Звенигород, 1975; VI — Новосибирск, — 1979г.; VIII — Москва, 1985г.; X— Москва, 1989г., XI —.Ленинград, 1991г.), Международных симпозиумах по динамике разреженного газа (13-м, Новосибирск, 1982г.; 17-м, Ахен, Германия; 1990г., 19-м, Оксфорд, Англия, 1994г.), VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986г.), XVII Международном конгрессе по теоретической и прикладной механике (Гренобль, Франция, 1988г.), Всесоюзной школе-семинаре по кинетическим методам в механике сплошной среды (Байкальск, 1988), Международной конференции по математическим моделям в биологии и медицине (Калькутта, Индия, 1989), Европейских конференциях по механике жидкости (1-я, Кембридж, Англия, 1991г.; 2-я, Варшава, Польша, 1994), 2-ой Международной конференции го параллельным технологиям (РАСТ-2, Обнинск, 1993), 1-ой Российской национальной конференции по теплообмену (Москва, 1994), 1-ой Международной конференции по неравновесным процессам в струях и

соплах (Москва, 1995),

а также на различных научных семинарах ВЦ РАН, ИПМ им. М.В.Келдыша РАН, Московского Государственного Университета, Санкт-Петербургского Государственного Университета, Варшавского Государственного Университета, НИИ Механики МГУ. Публикации

По теме диссертации опубликовано 52 печатные работы, в том числе одна монография. Основные результаты содержатся в [1-44]. Структура и объем диссертации

Работа состоит из введения, шести глав, заключения, списка цитируемой литературы и приложения. Полный объем диссертации — 322 стр., который содержит 238 стр. текста, приложение включает в себя 3 таблицы и 132 рисунка, в списке литературы — 272 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор численных методов в динамике разреженных газов, здесь описываются основные результаты, полученные автором в диссертации. Особо подчеркивается понятие консервативной схемы для используемых кинетических численных алгоритмов, приводится определение консервативности, основанное на гидродинамическом соответствии. Дается представление о структуре диссертационной работы по главам.

Глава I посвящена изложению основных элементов метода прямого интегрирования уравнения Больцмана. Отчасти она является обзорной, так как в основе этого подхода лежит метод, разработанный Ф.Г.Черемисиным, где используются случайные (монтекарловские) или квазислучайные квадратурные формулы для вычисления интегралов столкновений при равномерной сетке в пространстве скоростей. В дальнейшем этот метод был существенно модифицирован. Были введены конечно-разностные аппроксимации конвективной части, развит метод расщепления по физическим факторам и на его основе построен консервативный метод расщепления. Был предложен регулярный (детерминистический) метод вычисления интегралов столкновений, этот подход полностью принадлежит автору диссертационной работы.

В § Г описывается основная процедура, связанная с методом дискретных скоростей, а также конечно-разностные схемы, аппроксимирующие конвективную часть уравнения Больцмана.

Уравнение Больцмана для простого однокошонентного газа в отсутствие внешних сил в декартовых координатах записывается в виде:

а/ а/

(1.1) -+ 4-= I,

дг ах

где /=/(1;,х,|) — функция распределения, t — время, х=(х,у,г) — вектор в физическом пространстве, ,?в) — вектор в

пространстве скоростей, I — интеграл столкновений, он часто использовался в работе в такой форме

(1.2) КЛ/)=Г(Г/;-//1)1я|о(^|,а)с1зй?1.

Здесь ё — относительная скорость частиц, /' =/(1;,хД'), где штрихами обозначаются скорости после столкновений, о — сечение столкновений, з=( (1-р2) )1/2созе, (1-рг))1/281г1е, р), — единичный вектор, описывающий сферу столкновений, йз = Лрйе , р=соэх, % — угол рассеяния.

В работе применялись в основном схемы метода расщепления по физическим факторам, описанного в Главе 2. При этом для этапа свобо-дномолекулярного переноса используется простая, но обладающая несомненными достоинствами явная схема:

/*3 _ /3-1 /3-1_ /3-1 /3-1_ /3-1

-Чр ¿1р -1.1 л )р -Чр •/(1л -1л2)р

(1.3 )- + £ -2-+ £ --£_ +

Дt ХР Ах ур Лу

/3-1 _ /3-1

* 1в (1 л л -1 )р

+ ^-- = 0> ^ Сур>0 ^

Для других знаков скоростей запись аналогична. Трехмерный индекс 1=(1х,1у112) отмечает ячейки соответственно по х,у,г; р — ячейки по скоростям; 3 — слой по времени. Схема (1.3) устойчива при выполнении соответствующего условия Куранта. Эта схема монотонна, дивергентна и хорошо распараллеливается. В § I также описываются источники ошибок схем и указывается порядок их величины.

В § 2 рассматриваются случайные и квазислучайные квадратуры для вычисления пятикратных интегралов столкновений (1.2). Описываются различные процедуры, позволяющие усовершенствовать вычисления на основе метода Монте-Карло (случайные квадратуры). С учетом специфики задач использовались методы уменьшения дисперсии и повышения равномерности распределения случайной выборки. На основе случайных

квадратурных формул в диссертационной работе решались: задача о релаксации с внутренними степенями свободы, одномерные задачи о теплопередаче и структуре ударной волны, двумерная задача об обтекании пластины, задачи различной размерности, моделирующие движения газа в элементах криовакуумной техники. В этом же параграфе рассматриваются квазислучайные квадратурные формулы на основе так называемых коробовских последовательностей, позволяющие добиться хорошей равномерности распределения. С помощью этих квадратурных формул были решены наиболее сложные задачи в работе: нестационарная ■ задача об отражении ударной волны от клина, двумерные и трехмерные задачи о свободных струйных течениях в широком диапазоне параметров, трехмерные задачи о течениях в криовакуумном модуле.

В § 3,4 изучается регулярный (детерминистический) метод вычисления интегралов столкновений. Он основывается на кусочно-постоянной аппроксимации в пространстве скоростей. Ограниченное пространство скоростей разбивается на кубические ячейки с ребром Функция распределения внутри (3-й ячейки полагается равной своему значению в центре ячейки: /(£)=/(5р). где ^ — центр (3-й ячейки, Р=(Рх.Ру.Р„). Оказывается, что при такой аппроксимации можно не вводить дискретизацию по углам, поскольку в уравнении Больцмана пять переменных интегрирования оператора столкновений фигурируют в подынтегральных выражениях только в трех аргументах функции распределения (в С' ив £').

Аппроксимация правой части (1.1) проводится в два этапа: вначале применяется трехкратное численное интегрирование по скоростям с использованием метода прямоугольников по средней точке. Затем в каждом члене этой суммы проводится двукратное интегрирование по параметрам столкновений. Интеграл прямых столкновений находится здесь сразу. Интеграл обратных столкновений можно представить в виде следующей суммы: 1

(1.4) 1Г№ 2 п /•/; о ар йв ,

п Шр.р,

где р — текущий индекс, р — индекс суммирования при вычислении указанного трехмерного интеграла по пространству скоростей. В (1.4) подразумевается, что вся область изменения параметров столкновений разбита на части Wp.pi, соответствующие р и £ таким, что и

попадают в Р'-ю и р*-ю ячейки скоростного пространства. Так как р'

и (5^ при фиксированных. р и р1 зависят, как следует из формул для выражения "штрихованных" скоростей, от одного параметра п, то можно писать суммирование по п (поэтому обозначения ш^.р. и шп идентичны).

При проведении первого этапа приближения фактически использовалась введенная кусочно-постоянная аппроксимация; применим ее еще раз в (1.4), где произведение /*/* для области Up.p. можно приближенно

положить равным /р»/р <» вынести из под знака интеграла и получить

" I >

тг

где Wpp п = Арр р-р'/р'/р- • В случае модели упругих шаров

= «рр

шп

С помощью двух параметров р и е описывается сфера с центром в точке 0.5(S+S1) и радиусом g^ /2. Из трехмерного шожества всех

возможных значений п должно быть отобрано некоторое двумерное множество, задающее систему кубических ячеек, через которую проходит указанная сфера. Попадание этой сферы в ячейку с номерами р' и (3j (с номером п) описывается следующей системой неравенств: (1.5) (л-1Щ < gpp s < (n+1)Ag,

Рассмотрим неотрицательные 1 величины пж, пу, nz. То есть будем изучать только 1/8 скоростной сферы (в силу симметрии,оставшиеся части будут давать такой же вклад в искомый интеграл). На рис. 2 показана эта часть для 0<е<тс/2, 0<р<1. Вклад в искомый интеграл Лрр равен площади общей части трех полос, каждая из которых

соответствует неравенствам из (1.5). Полосы определяются линиями

1,2; 3,4; 5,6. Оказывается, что искомый интеграл можно вычислить

аналитически. Из неравенств (1.5) следует, что необходимо знать

величины следующих интегралов, для которых есть квадратуры: а а

Г arceos -_ ./9 ф и Г arcsin-. ф.

(1-р2) /г (1-рг)1/г

В результате проведения обоих этапов приближения получаем следующую аппроксимацию для уравнения Больцмана: «Va

"•6> 1

Здесь индекс р1 определяется однозначно через 7 и б.

Преимущества аппроксимации (1.6) связаны с тем, что коэффициенты ^(376 не зависят от функции распределения, а также от временной и пространственных переменных. Эти коэффициенты могут быть вычислены один раз и занесены в память компьютера или в таблицы. При этом не нужно на каждом временном шаге вычислять довольно сложные формулы для скоростей после столкновений.

Но необходимость запоминать матрицу предъявляет повышенные требования к оперативной памяти, поэтому первоначально расчеты велись на грубых сетках (применение консервативных алгоритмов позволяет и в этом случае получить приемлемые результаты). Оптимизация алгоритма лежит на пути использования свойств симметрии коэффициентов, а также того, что в данной матрице много нулевых членов. Удается уменьшить объем необходимой памяти от М3 до 1/8 М5/3, где М — число ячеек в пространстве скоростей.

С помощью регулярного способа вычисления интегралов столкновений решались задачи об однородной релаксации, а также одномерные задачи о неоднородной релаксации и о структуре ударной волны.

Глава 2 посвящена построению основного теоретического инструмента работы — консервативного метода расщепления.

В § I дается определение консервативности, связанное с гидродинамическим соответствием численной кинетической схемы моментным разностным уравнениям.

Свойство консервативности для непрерывного уравнения Больцмана заключается в том, что интеграл столкновений, проинтегрированный по скоростям с соответствующими весами, равен нулю, тогда из уравнения (1.1), получаем

д/ д/

(2.1) ДО (- + ?-)<15 = /ф 1й£ = О,

дХ дх

где ф=1, £2 — сумматорные инварианты. Левая часть (2.1) дает уравнения гидродинамики (незамкнутые), записанные на уровне моментов от функции распределения.

Будем называть кинетическую численную схему консервативной, если она при суммировании по пространству скоростей с весами сумматорных инвариантов дает дивергентную схему для уравнений сохранения. В согласии с традиционным определением дивергентности схемы при суммировании ее по точкам счетной области физического пространства

остаются лишь значения потоков макропараметров на границе. Потребуем также, чтобы краевые условия для кинетической схемы точно соответствовали краевым условиям для гидродинамических уравнений.

Наиболее простым и естественным способом так определенная консервативность реализуется с помощью схемы расщепления по физическим факторам. В § 2 строится такая схема. Здесь на первом этапе (для шага времени Д1;) рассматривается свободно-молекулярный разлет , а на втором — пространственно-однородная релаксация. Для первого этапа используются конечно-разностные схемы вида (1.3) (они дивергентны), для второго — предложен ряд схем, например, одна из них (явно-неявная) имеет вид

- Г*3 -г

(2.2) ^_=-1>*; / 3 + Я*1

Индекс 1 отмечает ячейку по пространству, индекс 3 — слой по времени, индекс (3 — ячейки по скорости, — значение функции распределения после первого этапа, — значение функции

распределения после второго этапа.

В § 3 вводится коррекция функции распределения после этапа релаксации, позволяющая согласно определению сделать данную схему консервативной. Используется тот факт, что для непрерывного уравнения однородной релаксации плотность, скорость и температура остаются постоянными. Для компенсации численной ошибки при решении дискретного уравнения (2.2) вводятся специальные поправки. Необходимым условием является сохранение аппроксимации исходного уравнения Болыдаана, желательно также, чтобы порядок аппроксимации численной схемы в результате введения этих коррекций не понижался.

Пусть — решение уравнения (1.3), — решение уравнения

(2.2). Определим консервативное решение после этапа релаксации

(2.3) *

Корректирующий полином возьмем в виде

Р1(Г ао + + аг^|3 + аз^(3 + ад^3 •

где — компоненты вектора в скоростном узле |3. Коэф-

фициенты полинома найдем, потребовав выполнение законов сохранения

• р Р

Подстановка (2.4) в (2.3), а затем б (2.5; дает условия для определения коэффициентов а1.....а , а именно:

(2-6) 2 $ р^ fiß«2 ej 1 «J /<J' = -<a). «=0,1.2 . ß ß ß

В правой части (2.6) стоит ошибка неконсервативности -SR^(Ct) на шаге At, которая определяется по известным численным значениям соответствующих моментов до и после этапа релаксации. Коэффициенты полинома P;L находятся из (2.6) в результате решения ситемы линейных уравнений. Показывается, что ошибка, вносимая за счет коррекции, не понижает порядок аппроксимации численной схемы.

Отметим, что в отличие от многих схем динамики разреженных газов здесь не требуется, чтобы дискретные аналоги правой части (2.1), где все члены берутся с одного временного слоя, давали строгий нуль. Это позволяет использовать схемы типа (2.2), которые обладают хорошим запасом устойчивости.

В § 4 на многочисленных примерах демонстрируются преимущества данных консервативных схем по сравнению с неконсервативными: схемы становятся более точными (ошибка неконсервативности, накапливаясь, может сильно отклонять численное решение от истинного).

На рис. 2 показаны профили плотности для различных моментов времени в нестационарной задачи о поршне. Здесь молекулы предполагались упругими шарами. Отражение газа от поверхности стенки (поршня) было полностью зеркальным. Для проверки возможностей консервативного метода использовались следующие сетки в пространстве скоростей: "подробная" (п.с.) с шагом 0.29 и "грубая" (г.с.) с шагом 0.87 (за единицу принята тепловая скорость с температурой невозмущенного газа). Представлены решения, полученные с помощью консервативного метода расщепления (к.м.) и неконсервативного метода расщепления (н.к.м.), т.е. с выключением коррекции. Использованы следующие обозначения: сплошная линия — к.м., п.е., 100 розыгрышей в методе Монте-Карло при вычислении интегралов столкновений; штриховая линия с крестиками — к.м., г.е., 10 розыгрышей; штриховая линия с кружочками — н.к.м., т.е., 10 розыгрышей. Отличие предельных значений за скачком от газодинамических для к.м., п.с. составило 0.5%. Видно, что расчет по к.м., г.с. дает близкий к точному результат.

На рис. 3 приведен пример решения двумерной стационарной задачи о разлете плоской струи в вакуум. Показана зависимость температуры от продольной координаты на лиши симметрии струи для числа Кнудсена 0.33 и числа Маха 2 (для модели упругих шаров). Сплошной линией

показано решение для к.м., п.с. (16,16,8 ячеек в трехмерном пространстве скоростей, 200 случайных розыгрышей), штриховой линией обозначено, решение для к.м., г.с. (6,6,3 ячеек и 4 розыгрыша соответственно). Видно, что при всей грубости второго расчета в среднем поведение температуры передано верно. Время решения по второму варианту уменьшилось примерно в 500 раз.

В Главе 3 построенные методы применяются к релаксационным и одномерным задачам. Целью здесь было не только оттестировать алгоритмы и проверить их возможности на известных задачах, но и получить фактически опорные решения для ряда классических задач кинетической теории газов, поскольку схемы позволяют проверить сходимость по численным параметрам.

В § I изучаются особенности и возможности регулярного метода вычисления интегралов (в сочетании с консервативной коррекцией) для изотропных и неизотропных в пространстве скоростей однородных в физическом пространстве релаксационных задач. На рис. 4 показано сравнение результатов для модели твердых шаров по регулярному методу (кружочки 2) с известным достаточно точным решением В.А.Рыкова (линии I) в задача об изотропной релаксации. Отличие не превышает 1%. Аналогичное отличие решения по регулярному методу от точного решения Бобылева-Крука-Ву отмечалось и для максвелловских молекул-шаров. Характерно, что время решения задачи с использованием вычисленной один раз матрицы коэффициентов на порядок меньше времени решения, если интегралы определялись на каждом шаге. Оно также существенно меньше требуемого времени решения, когда интегралы столнове-ний оцениваются методом Монте-Карло (на такой же скоростной сетке).

В этом же параграфе рассматриваются другие изотропные задачи, где показана, в частности, возможность немонотонного поведения по времени функции распределения при некоторых начальных условиях. Изучалась также неизотропная релаксация в так называемой задаче о псевдоскачке, решения показали хорошее совпадение с известными результатами. Здесь же приведен пример решения задачи для смеси газов с внутренними степенями свободы, где использовалась довольно простая модель неупругих столкновений (в этом примере, где не требовалась большая точность, консервативная коррекция не применялась).

В § 2 рассматривается задача о протекании процесса релаксации в пространстве — задача о неоднородной релаксации. Здесь моделируется простейшая одномерная открытая система, для которой интересно

изучать течения с условиями неравновесности на границе. Постановка задачи предполагает сверхзвуковое течение газа. Задача' ставится на полупространстве хХ), на границе х=0 задается неравновесная функция распределения. Средняя скорость здесь достаточно велика, так что влиянием встречных молекул (с отрицательными скоростями) можно пренебречь. По мере продвижения в область больших х функция распределения релаксирует к равновесной. В результате численного решения этой стационарной задачи (использовался регулярный метод интегрирования) были получены неоднородные пространственные профили макровеличин. Изменения, например для температуры, достигало десятков процентов. Возможность стационарной постановки проверялась включением части для отрицательных знаков скоростей, при этом задача решалась как нестационарная. Оказалось, что на масштабе 100 характерных времен решения стационарной и нестационарной задачи совпадают.

При численном решении был обнаружен интересный факт: для некоторых граничных условий профиль энтропии был немонотонным ^аналог Н-теоремы в этом стационарной ситуации утверждает лишь, что вниз по течению возрастает поток энтропии). Вначале энтропия возрастала, достигала максимума и приближалась к равновесному решению сверху, правда, этот "горбик" был невелик и составлял несколько процентов. Для подтверждения данного факта был предложен аналитический подход, основанный на разложении уравнения по малому параметру (порядка обратного числа Маха), зависящему от скорости. Было выяснено при каких условиях возможна указанная немонотонность.

В § 3 рассматривается хорошо известная в кинетической теории газов одномерная задача о теплопередаче. Для консервативного метода расщепления проверялась сходимость по счетным параметрам: числу розыгрышей в методе Монте-Карло вычисления интегралов столкновений, шагу по пространству скоростей, шагу по физической координате. На рис. 5-7 представлены некоторые расчеты для модели твердых шаров в диапазоне числа Кнудсена для отношений температур стенок

Тг/Т1=4.

На рис. 5, 6 представлены профили плотности и температуры соответственно для различных значений Кп. Результаты сравниваются с решением М.С.Иванова по методу статистического моделирования. При Кд=1 и Кп=0.1 отличие небольшое (при Кп=1 оно составило менее 0.5%), поэтому здесь графики решений по статистическому моделированию

специально не отмечены. На рис. 6 для сравнения приведены: решение по другой версии подхода статистического моделирования В.Е.Яницкого, и результат прямого решения по методу Е.Ф.Лимара. Максимальное отличие этих результатов от наших решений составило несколько процентов. Изображенное на рис.5 решение нашим методом для предельно малого числа розыгрышей показывает, что даже такой расчет приводит к удовлетворительному результату.

Одной из целей решения являлось получение достаточно точных значений приграничных скачков температуры. На рис. 7 приведены в зависимости от числа Кнудсена значения скачков температуры на холодной (а) и горячей (0) поверхностях. Эти скачки определены по температурам поверхностей Т1 и Т£, температурам газа у холодной и горячей стенок Т(0) и Т(1) и температуре, соответствующей свободномолекулярному режиму Тоо=(Т1Тг)1/2> следующим образом: а=-(Т(0)-Т, )/(!,-!„), |3=-(Т(1 )-Тг)/(Тг-Тю). На рис. 7 кривая зависимости а изображена сплошной линией, кривая зависимости р — пунктиром. Показаны также посчитанные по профилям температуры (из решения по методу расщепления) значения "фиктивных скачков" Оф (светлые кружки) и рф (черные кружки). Эти значения определены по температурам газа у стенок, полученным в результате линейной экстраполяции профиля температуры. Видно, что фиктивные скачки, рассчитанные по уравнению Больцмана, довольно близки к "истинным", т.е. определенным по приведенным выше формулам. На этом же рисунке изображены кривые скачков температуры а^ (штрихпунктир) и PM(штриховая) вычисленные по асимптотической теории с использованием модельного уравнения Крука. Заметные отличия начинаются для Кп>0.1.

В § 4 представлены решения для классической задачи о структуре ударной волны. Проводилась проверка сходимости по всем численным параметрам схемы.

Хорошее согласие различных решений получается для числа Маха М=2.5. На рис. 8 даны результаты сравнения по нескольким методам прямого решения уравнения Больцмана для приведенных значений плотности, скорости и температуры. Подробней всего точность метода и сходимость по численным параметрам изучена для М=3 и модели упругих шаров. На рис. 9 показано сравнение наших решений для приведенной плотности и температуры. Сопоставление показывает очень хорошее согласие (отличия порядка \%) наших решений с результатом Х.Овады (в работе данного автора проводилось сравнение с решением по методу

статистического моделирования Берда,показавшее хорошее совпадение). Результат для этого числа Маха может, по-видимому, рассматриваться как тестовый.

Сравнение с различными методами для зависимости обратной толщины ударной волны от числа Маха показали совпадение вплоть до числа Маха М=8. Сопоставление с экспериментальными данными и Х.Алсмейера, и Б.Шмидта для плотности в аргоне (при этом рассматривался степенной потенциал) показали хорошее соответствие результатов. Числа Маха равнялись соответственно М=3.8 и 8.

Глава 4 посвящена усовершенствованию численных алгоритмов, что особенно важно при переходе к решению сложных многомерных задач, где надо стремиться максимально использовать достоинства данных методов.

В § I рассматриваются возможности ускорения сходимости итераций, основанные на изучении особенностей конечно-разностных схем используемого метода расщепления. Учитывалось то, что время расчета одного этапа разлета значительно меньше времени расчета одного этапа релаксации. Можно проводить последовательно п этапов разлета с величиной шага № каждый (так, чтобы выполнялось условие Куранта на каждом таком шаге) и затем один этап релаксации с шагом п А^ При такой последовательности действий порядок суммарной аппроксимации сохраняется, хотя в оценке появляются старшие производные. При большом п эта дополнительная ошибка может сказаться, поэтому применимость данной процедуры проверялась в расчетах. Использовалось число таких подслоев разлета в пределах 2 ^ п $ 20.

Анализ разностных схем позволяет искать итерационные подходы, которые не имели бы прямых физических аналогий, но позволяли бы существенно ускорить процесс сходимости к стационарным решениям (метод установления является частным случаем таких подходов с итерационным параметром, равным временному шагу). Была предложена явно-неявная (полунеявная) схема на этапе разлета. Данная схема абсолютно устойчива, поэтому можно использовать большой шаг А^ что способствует быстрому достижению решения. Эта схема переходит в обычно применяющуюся явную схему (1.3) при сходимости стационарного процесса. Кроме того эта схема на каждом итерационном шаге сохраняет свойства явной в том смысле, что для вычисления значения после разлета нужно знать только значения функции распределения на предыдущем слое в ближайших ячейках. Тем самым можно обойтись минимальными изменениями в программе, и указанное свойство сохраняет

все преимущества явной схемы при распараллеливании алгоритма.

В § 2 исследовались возможности параллельных вычислений на основе применяемых алгоритмов. Хорошему распараллеливанию способствуют постоянный шаг в дискретном пространстве скоростей, вычисление интегралов столкновений на одинаковом числе квадратурных точек для каждого узла в фазовом пространстве, применение метода расщепления.

Табл.1

1D 2 2.0 1.0 1

7 6.95 0.99 I

2D 2 1.97 0.987

4 3.84 0.959

7 6.44 0.92

3D 2 1.92 0.96 I

4 3.76 . 0.94 |

Использовались 7 транспьютеров системы 20 Wnz Irnos Т800. Были рассмотрены одномерная (1D) задача о структуре ударной волны, двумерная (2D) задача об отражении ударной волны от клина и трехмерная (3D) задача о свободной струе для квазислучайных квадратурных формул. Некоторые результаты собраны в таблице I. Здесь ускорение з=Г(1 )/Т(р) и эффективность е=з/р, где Т(1) — время работы программы на одном процессоре, Г(р) — время работы программы на р параллельных процессорах. Параллельные вычисления в одномерной задаче для регулярного метода также показали высокую эффективность.

В § 3, 4 рассматриваются возможности консервативных схем расщепления для течений, близких к сплошносредным.

Было обращено внимание на желательные асимптотические свойства для схемы расщепления при стремлении параметра разреженности к нулю. Анализ алгоритма расщепления позволил построить разностные кинетические схемы, аппроксимирующие уравнения Эйлера и Навье-Стокса. Известно, что после подстановки локально-максвел-ловской функции в уравнение свободаомолекулярного переноса, можно получить уравнения газовой динамики (при аналогичной подстановке функции первого приближения по • методу Чепмена-Энскога получаются уравнения Навье-Стокса). Вместо этапа релаксации подставим в решение функцию распределения в асимптотической форме (4.D ?ц3 = /м(/д>.

(4-2) = S^iílp.

Здесь подразумевается, что сеточная функция после этапа разлета превращается в соответствующие функции' нулевого и первого приближения по методу Чепмена-Энскога. Если разлет и коррекцию в схеме расщепления оставить без изменения, то оказывается, что данные численные схемы приближают соответствующие сплошносредные уравнения.

На ряде примеров показана принципиальная возможность расчетов для уравнений газовой динамики и вязкого теплопроводного газа на основе асимптотических кинетических схем. (Отметим, что независимо рядом авторов были предложены аналогичные кинетические схемы, приближающие уравнения газовой динамики). Для классических задач о распаде разрыва, об истечении в вакуум, об отражении от стенки потока газа выявлены свойства данных газодинамических схем. Оказалось, что по некоторым основным свойствам они похожи на известную схему Годунова. Были обнаружены и полезные отличия. Схемы для аппроксимации уравнений Навье-Стокса изучались на примере задачи об ударной волне.

Для использования сквозного метода на основе схемы расщепления кинетическое уравнение решается во всей области течения, особенности пристеночных слоев учитываются выбором шагов по времени и пространству. Для подробного описания в кнудсеновских слоях размер ячейки должен выбираться меньше длины свободного пробега, и при требовании выполнения условия Куранта, в этих слоях необходимо делать несколько шагов по времени при том, что в основной области течения делается один большой шаг по времени.

На этапе релаксации нерационально использовать явную схему, поскольку она требует уменьшения шага ЬХ с уменьшением числа Кп. Неявная схема имеет вид

Видно, что в предельном случае числа Кнудсена, равного нулю, эта функция равна (Лия каждой дискретной скорости), что

фактически и дает аналог максвеллиана. Здесь максвелповская функция уже не "навязывается" решению после проведения этапа разлета, но является решением самой схемы на этапе релаксации при стремлении числа Кнудсена к нулю. Для использования схемы (4.3) надо знать величины интегралов столкновения и Я^р с верхнего слоя. Так как схема (4.3) нелинейна относительно то для разрешения этого

(4.3)

Кп

1

(-^(э Не+

сеточного уравнения использовались итерации, по сути, совпадающие с видом явно-неявной схемы (2.2).

Оказалось, что в стационарных задачах можно проводить итерации только в конце процесса сходимости. То есть использовалась обычная явно-неявная схема (2.2), и затем при достижении установившегося решения включались итерации (проводились 10 таких итераций). Более того, решение, полученное по явно-неявной схеме (2.2) практически совпало с решением, когда итерации вообще не применялись. Это можно объяснить тем, что в стационарных случаях при сходимости решение определяется при малых числах Кнудсена главным членом, близким к сеточной максвелловской функции. На основе подобных схем были решены задача о теплопередаче, об обтекании пластины, расположенной параллельно потоку, и ряд задач о струйных течениях, описываемых в Главе 5.

В некоторых задачах при малых числах Кнудсена достаточно требовать приемлемого описания для величин порядка 1 (часто это бывают плотность, скорость, температура). Замазывание диссипативных членов (порядка малого числа Кп) величинами порядка ошибок вычислений не является существенным недостатком, если эти ощибки соответствуют требуемой точности вычислений, например, величине 1%. Приближение кинетической схемой сплошносредных уравнений справедливо вне приграничных слоев. В приграничных слоях, где градиенты основных величин могут быть большими,. необходимо уменьшать численные параметры для точного приближения. Однако в центральной зоне течения (например, для затопленной струи имеется существенная область изэнтропического течения) такое приближение справедливо. Конкретные расчеты показали правильность этих предположений.

Глава 5 посвящена исследованию многомерных течений на основе схем консервативного метода расщепления.

Одной из проблем, для которой есть много экспериментальных данных при достаточно низких давлениях, является нестационарная задача об отражении ударной волны от наклонной плоскости. При изучении этого процесса было обнаружено, что переход от регулярного отражения ударной волны к нерегулярному (маховскому), допускающему конфигурацию трех пересекающихся ударных волн, происходит на •расстоянии многих длин свободного пробега от носика клина. Данная нестационарная задача изучается в § I с целью определения влияния различных условий на указанный переход. На начальном этапе развития

процесса расчеты были выполнены с достаточно подробной сеткой по физическому пространству. Было обнаружено существенное влияние на переход граничных условий на поверхности клина. На рис. 10 показаны линии уровня приведенной плотности для отражения ударной волны с начальным числом Маха М=2.75 от клина с углом 7=25° при зеркальном законе отражения. Видно, что на расстояниях порядка длины свободного пробега уже зарождается тройная точка и ножка Маха. Этот результат совпадает с аналогичными расчетами по методу статистического моделирования (В.В.Сериков и В.Е.Яницкий).

На рис. II а), б) представлены соответственно экспериментальные и наши расчетные данные для М=3.9, угол клина 7=30° (принимается коэффициент аккомодации а=0.5 по рекомендации автора эксперимента Б.Шмидта). Видно, что к данному моменту времени начинается постепенный переход к маховскому отражению. При увеличений коэффициента аккомодации процесс затягивается и может составить десятки длин свободного пробега. На рис. 12 для а=1 и 7=25° видно, что до расстояния порядка шестидесяти длин пробега отражение еще регулярное. Интересным и важным результатом является обнаруженное существенное влияние температуры поверхности на процесс перехода. На рис. 13 при тех же условиях, что и для рис. 12, но для удвоенной температуры клина демонстрируется, что тройная точка (обозначенная здесь кружком) зарождается уже при 30 длинах пробега.

В § 2, 3 изучается класс важных задач, связанных со свободными струйными течениями. Проблема осложняется здесь очень сильным возможным перепадом давлений при разлете в вакуум, а также наличием сложной структуры течения для затопленной струи. Использовался консервативный метод расщепления с некоторыми модификацими, описанными в Главе 4 для течений с малыми числами Кнудсена. Удалось рассмотреть задачи в достаточно широком диапазоне параметров.

Для двумерной плоской задачи об истечении сверхзвуковой струи в вакуум проводились различные методические расчеты, проверялась сходимость по счетным параметрам, результаты сравнивались с решениям других авторов (Ж.-К.Лангран и М.С.Иванов) по методу статистического моделирования.

Изучались и трехмерные течения, возникающие при истечении через прямоугольное отверстие. На рис. 14, 15 показаны изолинии плотности в поперечном сечении для числа Маха М=2, для числа Кнудсена по отверстию Кп=0.005 (отверстие представляло собой квадрат). Степень

нерасчетности пр=100 (отношение давления в сопле к давлению газа в окружающем пространстве). Эти условия приближены к эксперименту К.Тешима, где рассматривались такие течения. Данные вычислений качественно соответствуют опыту.

Ряд расчетов был проведен для истечения в вакуум с условием, близким к сплошносредному на срезе сопла. На рис. 16 показано сравнение с опытами в струе аргона и расчетом по статистическому моделированию при Кп=2.2 • 10-3 для звукового сопла. На рис. 17 для этой же задачи показано поведение продольной и поперечной температуры. Видно, что при большой плотности эти компоненты близки, по мере разрежения поведение их становится различным.

На рис. 18 показано сравнение наших расчетов с экспериментом в аргоне для задачи о затопленной осесимметричной струе (звуковое сопло, Кп=Э.09 • 1СГ5). Отличия в поведении можно объяснить, в частности, близостью поперечных счетных границ. На рис. 19 для этой задачи показаны изолинии плотности в продольном сечении, видна достаточно сложная структура, где можно отметить диск Маха и висячий скачок уплотнения. Отметим, что две последние задачи были осесимметричными, но расчет велся, как и превде, по единой трехмерной схеме, поскольку алгоритм весьма прост. Круглое отверстие при этом приближалось частями квадратиков, на примере свободномолеку-лярной задачи и сравнения его с аналитическим решением было показано, что это позволяет достаточно точно проводить вычисления.

В § 4 изучаются течения, которые моделируют движения газа в элементах криовакуумной техники.

В начальном исследовании рассматривалось истечение сверхзвуковой плоской струи (М=2) в объем с криопанелыо (где конденсируется газ), расположенной против щели. При низкой температуре охлаждения на криоповерхности в процессе откачивания газа формируется слой твердого осадка. Увеличение толщины осадка повышает температуру поверхности твердой фазы, что вызывает испарение молекул. В результате возникает встречный поток испарившихся молекул, который может существенно воздействовать на основное течение. Влиянием боковых стенок камеры во многих случаях пренебрегается, однако при сильном испарении с криоповерхности, т.е. в условиях, близких к "запиранию" вакуумного устройства, обнаруживается влияние отразившихся молекул от боковых поверхностей на течение в струе откачиваемого газа. Параметры газа в сечении щели предполагаются

заданными и не подверженными возмущению за счет встречного потока, что контролируется в процессе решения методом установления.

Принималась молекулярная модель упругих шаров постоянного диаметра. Приводятся-даяные^расчета при таких значениях параметров, что суммарный поток испаряющегося газа Js-císnsT'[s/г/(2%)иг составляет 0.26 от потока, втекающего через щель (здесь а — ширина криопанели, па — плотность, Тз — температура испарившегося газа соответственно). Удается получить достаточно точные расчеты, чтобы получить и функцию распределения. На рис. 20 показана в сечении ?2=0 и в точке, близкой к криоповерхности функция распределения •

Она имеет два локальных максимума, и ее вид вблизи этих максимумов напоминает максвелловские распределения в падающей невозмущенной струе и в потоке испаряющегося с криопанели газа, однако результирующее распределение не является суперпозицией указанных. Был проведен ряд расчетов, в которых нулевое граничное условие на боковых стенках камеры заменено условием полностью диффузного отражения при температуре жидкого азота (77.4К). При этом обнаружилось, что при значениях ,/з<0.1 указанная замена не влияет существенным образом на течение в камере, но при больших величинах потока газа с криопанели его характер может качественно измениться, возникает вихревое течение. На рис. 21 показано поле скоростей течения в вакуумной камере с диффузно отражающими стенками при ,/з=0.52.

Аналогичная задача решалась также в трехмерном варианте, когда отверстие имеет конечные размеры по обеим координатам и представляет собой прямоугольник. Рассматривалась сверхзвуковая струя при тех же параметрах, что и для плоского случая, отношение сторон прямоугольника было 1:2. На криопанели ставились условия, аналогичные описанным выше. Размеры камеры были равны: (8,12,12) в длинах свободного пробега в отверстии. На боковых гранях камеры ставились нулевые граничные условия (т.е. контрольный объем, моделирующий размеры камеры, был выбран в данном случае достаточно далеко от реальных стенок, так что разлет в-стороны рассматривался свободным). Данный трехмерный расчет также демонстрирует рост плотности и температуры вблизи криогенной поверхности. На рис. 22, 23 приведены соответственно изолинии плотности и температуры в плоскости (х,у) при z=0 (координата х направлена вдоль струи и перпендикулярна плоскости отверстия).

Рассматривалась также более сложная постановка задачи с двумя

- полостями.Здесь ставилась цель изучить условия моделирования течения газа внутри криовакуумного модуля, состоящего из двух камер, сообщающихся через отверстие.

Глава 6 посвящена некоторым течениям разреженного газа при очень больших числах Маха.

Рассматривались метода, в основе которых лежит тот же подход дискретных скоростей, что и в предыдущих главах, но решения ищутся для Б-модельного уравнения Е.М.Шахова и его модификаций.

На примере задачи об ударной волны очень большой интенсивности в § I изучались возможности сеток с сильно изменяющейся геометрией границ и переменными шагами в пространстве скоростей, зависящими от физической координаты. Не уменьшая точности, можно перейти в областях ниже по течению к большему шагу (он постепенно удваивался) в пространстве скоростей по сравнению с областями выше по течению, при этом счетная область по скоростям также увеличивается.

С помощью данной численной схемы получены решения для ударной волны для чисел Маха вплоть до М=100 при разных молекулярных моделях. Проводится сранение с решениями по методам статистического моделирования и моментным методам. Обнаружена довольно быстрая стабилизация (начиная с числа Маха М=8) профилей первых макропараметров для модели упругих шаров. Однако некоторые высшие моменты, например тепловой поток, не стабилизируется. Влияние начинают оказывать большие по абсолютной величине и отрицательные по знаку скорости, что приводит к далекому залету молекул в область вверх по потоку. То есть даже в этом случае область по х вверх по течению надо растягивать с ростом числа Маха,

В § 2 численный алгоритм с величиной скоростной области, зависящей от физической координаты, применяется для изучения нестационарного течения, вызванного распадом высокотемпературного слоя.

В данной одномерной задаче температура фона отлична от нуля. По мере задания все большей начальной температуры в слое будут проявляться некоторые черты газодинамической задачи о сильном взрыве. На больших временах выявлены особенности, характерные для задачи о сильном взрыве с учетом противодавления. При 1=0 в области х$х0 задана.равновесная функция с плотностью п0, температурой Т0 и скоростью ио=0. Вне указанного слоя газ находится в равновесии с параметрами соответственно 11^=1, Тда=1, ида=0.

На рис. 24 представлены профили температуры при То=4000 (п0=6.25,

xq=0.8). В реальных течениях большие градиенты температуры приводят к интенсивному переносу тепла. Можно выделить три области по температуре: сильно прогретая зона вблизи плоскости симметрии, зона примерно постоянной температуры за скачком уплотнения и скачок уплотнения. С течением времени прогретая зона увеличивается, однако относительно всей возмущенной области ее размер уменьшается.

Некоторые гиперзвуковые течения взрывного типа могут быть изучены с помощью специальных постановок задач (такого рода процессы мало исследовались на основе кинетических уравнений). В § 3, 4 рассмотрены соответственно задачи с плоской и сферической симметрией о выбросе конечной массы в разреженном газе. Большие скорости учитываются заданием дельтовидных особенностей в пространстве скоростей. Применяется метод Е.М.Шахова построения модельных кинетических уравнений.

В задаче о плоском взрыве предполагается, что в начальный момент t=0 на плоскости х=0 появилось молекул с одинаковыми скоростями U, направленными в положительном направлении оси х. Окружающий газ состоит из неподвижных молекул с плотностью п°, температура его равна нулю. Начальное условие для /(t,x,g) при хЮ задается так

ЛО.х,£) = S(|-U)S(x)+n° 0(g), где вектор U=(U,0,0), 6(х), е(£) — дельта-функции Дирака. Исходя из физической картины взаимодействия, будем искать решение в виде (6.1) /(t,x,£)=iioCt,x)S(|-U)8(x-Ut)+n00(t,x)S(g )+J(t,x,£).

Здесь функция распределения F описывает образовавшиеся после столкновений частицы. Для нахождения искомых величин NQ(t,x), n^(t,х), F(t,x,£) подставим выражение (6.1) в уравнение Больцмана. В точке х=0 ставится условие зеркального отражения молекул. Решение трактуется в обобщенном смысле, вводится соответствующий формализм. Рассматриваются операторы взаимодействия отдельных груш молекул между собой. Явно выписывается член столкновений частиц со скоростями и и О, остальные операторы приближаются модельным образом.

Дельтовидные особенности в скоростном пространстве разрешались разбиением исходного уравнения на систему уравнений для отдельных функций. После введения редуцированных функций фр(х,lx)=J/dCyd|z, df,,, удается перейти к такой системе относительно n^, WQ, <рр, фр. В дискретном пространстве выполняется соотношение для шагов Ax=UAt (тогда линия x=tit проходит через центры соответствующих ячеек). Функция S(x-Ut) заменяется выражением б-'/Дх,

где о^ — символ Кронекера, индекс 1 обозначает номер ячейки по х,

индекс 3 — по 1;. Получим разностную схему для искомых функций ^^^ = - "

Ло^Ло^ \ = _ 3 ]] \ > дг дх 001 01 дх

<р-! - ф*!:1 ц4 - -, е 3 1

Р1

Для функции фр и для случая £х<0 имеем аналогичные разностные схемы. В правых частях уравнений слагаемые соответствуют операторам взаимодействия различных групп молекул между собой.

Помимо численного решения для лучшего понимания процессов важно было выявить некоторые характерные детали течений. Аналитическое решение определяется в асимптотической ситуации при 1;-0, когда выделившихся молекул Р мало. Получаем усеченную систему относительно На и п^. Оказывается, что для п^ есть значения перед разрывом (фронтом х=1Л;), на разрыве и за разрывом: соответственно поо(х/и-0,х)=п^, п^х/и.х), п^х/и+О.х). Решение для 1У0(г) имеет вид

ЛГ0(г)=1/о1п[1 + (ехр(оЯ^)-1 )ехр(-оп^)].

Отсюда находятся величины п^х/и+О.х) и п^х/и.х).

Для точечного выброса конечной массы со сферической симметрией имеем аналогичную постановку задачи и метод решения. На рис. 25 представлены профили плотности в этой задачи для различных моментов времени. Одной из целей изучения данной задачи было стремление определить особенности начального кинетического этапа процесса и затем проследить выход со временем на газодинамическое решение о сильном взрыве, что ожидается, поскольку отсутствует противодавление фона с нулевой температурой. Из рис. 25 видно, что вначале основная масса газа сосредоточена вблизи фронта, с течением времени начинается замедление и отход газа от фронта.

Ощутимее всего переход к газодинамическому поведению течения газа проявляется в том, как изменяется скорость, с которой движется максимум профиля плотности п. Траектория этого максимума на плоскости показана на рис. 26. Видно, как траектория максимума

плотности решения (штриховая линия) отходит от линии движения фронта г=г (в безразмерных переменных) и при г>10 постепенно приближается к параболе газодинамического сильного взрыва г~Хг/5 (сплошная линия). При сопоставлении данной задачи с некоторыми экспериментами по изучению верхних слоев атмосферы с помощью кумулятивной инжекции бария обнаруживалось качественное и количественное согласие. Численные результаты можно соотнести также с некоторыми расчетами по газодинамическим моделям (штрихпунктир на рис. 26), которые использовались при больших временах. В данных моделях связь между временем и размером разлетающегося облака также удовлетворяет соотношению г~1г/5.

В § 5 изучалась задача о нелинейном рассеянии импульсного пучка, примыкающая по постановке к задачам предыдущих параграфов. Расматривается однородный покоящийся газ, занимающий полупространство х>0. Плотность газа п10. В начальный момент г=0 в этот фоновый газ начинает проникать молекулярный пучок. Он имеет вид кругового цилиндра радиуса г0 и длины Ь, расположенного вдоль оси Ох. Пучок однородный, плотность его первоначально равна п20, скорости всех частиц, составляющих пучок, одинаковы и равны и, температура в пучке равна нулю. Пучок будем считать тонким по сравнению с характерной длиной пробега X, т.е. г0<<А,. Это означает, что после столкновения молекула покидает область, занятую пучком, выходит за его пределы. Движение молекул после столкновений рассматривается как свободное, так как потоки рассеявшихся частиц полагаются регистрирующимися на расстояниях, много меньших Л..

Численное решение полученной системы уравнений относительно плотности фона п1 и пучка п2 не представляет труда. Интересен случай рассеяния полубесконечного пучка. Здесь вначале численно был выявлен квазистационарный режим при больших временах. Этот несколько неожиданный результат был подтвержден и аналитически. На рис. 27 представлены профили плотности п1 и п2 в различные моменты времени (п20=3). Видно, что по прошествии нескольких времен столкновений профили приобретают форму, соответствующую бегущей волне.

Аналитическое решение имеет вид

п^п^, (7}), о, =п20у2 (-г)),

где =1 /2 (1 +Ш(т)/2)),/2 (1 -Ш(т)/2)), т)=х-Ог-х0, скорость бегущей волны С=ип20/(п20+п10).

Получение решения, описывающего автоволновой процесс, для системы кинетических уравнений, важно, поскольку традиционно такие процессы исследуются на основе нелинейных уравнений диффузии.

Изучается также функция распределения для рассеявшихся частиц. Получены значения макропараметров и их потоков, в том числе в случае различных масс молекул пучка и фона.

В Заключении приведены основные результаты, полученные в работе.

Сформулируем положения, выносимые на защиту:

1. Построены кинетические схемы расщепления, удовлетворяющие определению консервативности, связанному с гидродинамической соответствием. На многочисленных примерах показана эффективность такого подхода. На основе данного консервативного метода расщепления решаются задачи от релаксационных до трехмерных, имеющих исследовательский характер.

2. Разработан детерминистический метод интегрирования уравнения Больцмана, позволяющий выявить нелинейную структуру уравнения и дающий возможность в некоторых случаях ускорить вычисления. Этот подход совместим с консервативной схемой расщепления.

3. Созданы численные схемы (в частности, параллельные алгоритмы), способствующие быстрому решению, что особенно важно для многомерных задач. Получен метод, учитывающий асимптотики решения при малых числах Кнудсена,

4. Поставлена и решена одномерная стационарная задача о неоднородной релаксации. Для ряда классических одномерных задач проверена сходимость по схемным параметрам и проведено сравнение решений с вычислениями других авторов и с экспериментом. Для ряда значений внешних параметрах в задачах о теплопередече и о структуре ударной волны получены решения, которые можно считать тестовыми.

5. Изучены некоторые достаточно сложные течения разреженного газа: свободные струи, нестационарное отражение ударной волны от клина, движения газа в полостях с сильным различием температур стенок.

6. Развиты численные алгоритмы для модельных уравнений в сложных ситуациях гиперзвуковых течений с сильным перепадом температур и различием в скоростях групп молекул. Проведено сравнение с экспериментом по изучению атмосферы с помощью инжекции бария на большой высоте. Построены аналитические решения для асимптотических ситуаций, выявлен автоволновой режим в задаче об импульсном пучке.

Список публикаций по теме диссертации

1. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Прямое численное решение кинетического уравнения Больцмана. - М: Вычислительный центр РАН. - 1992.

- 192 с.

2. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Расщепление неоднородного кинетического оператора уравнения Больцмана // ДАН СССР.- 1976. -Т.231, * I. - С.49-52.

3. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Метод расщепления для решения уравнения Больцмана//Труды 17 Всесоюзной конференции по динамике разреженного газа и молекулярной газовой динамике. М.: Изд. ЦАГИ.

- 1977. - С.429-432.

4. Аристов В.В. Метод переменных сеток в скоростном пространстве в задаче о сильной ударной волне // Ж. вычисл. матем. и матем. физ.

- 1977. - Т.17. N4. - С.261-267.

5. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Решение нестационарной и стационарной краевых задач методом расщепления для уравнения Больцмана // Числ. методы в динамике разреж.газов / Тр.ВЦ АН СССР. - 1977.

- вып.З - C.I64-I7I.

6. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Консервативная разностная схема дискретных ординат для решения кинетических уравнений методом расщепления // Прямое численное моделирование течений газа / Тр. ВЦ АН СССР. - 1978. - C.I64-I7I.

7. Аристов В.В., Шахов Е.М. Задача о сильном взрыве в разреженном газе // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1979. - Т.19, N5. -C.I276-I287.

8. Aristov Y.Y., ShaMiov Е.М. Intense explosion In rarefied, gas // Proceed, of 11-th. Symp. on Raref. Gas Dynam. Commissariat a l'energie atomic. Paris. 1979. Y.1. P.65-72.

9. Аристов B.B..Черемисин Ф.Г. Консервативный метод расщепления для решения уравнения Больцмана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1980. - Т.20, J6 I. - С.191-207.

10. Аристов V.V., Махмудов A.A., Попов С.П. Решение нестационарной задачи эволюции разрыва в вязком теплопроводном газе /У Ж. вычисл. матем. и матем. физ.- 1980. - Т.20, N4.- С.269-273.

11. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Структура ударной волны в одноатомном газе при степенных потенцииалах взаимодействия // Изв. АН СССР. Механ. жидкости и газа. - 1982. № 6 - С.179-183.

12. Arlstov V.V., Tcheremlsslne P.G. The kinetic numerical method for rarefied and continuum gas flows // Proceed, of 13-th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. N. Y. 1985. V.1. P.269-276.

13. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Решение уравнений Эйлера и Навье-Стокса на основе операторного расщепления кинетического уравнения // ДАН СССР. - 1983. - Т.272, ЯЗ.- С.555-559.

14. Arlstov V.V. A conservative method for the Boltzmann equation with the Integration over parameters In the collision operator with fixed discrete velocities //Book of abstracts of the 14-th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. Tsukuba. 1984. P.230-232.

15. Аристов В.В. О решении уравнения Больцмана для дискретных скоростей // ДАН СССР. -1985. - Т.283, № 4. - С.831-834.

16. Arlstov V.V., Shakhov Е.М. The problem of point Intense explosion In rarefied gas. Proceed, of 13-th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. N.Y. Plenum Press. 1985. P.261-268.

17. Аристов В.В., Шахов Е.М. Течение разреженного газа, вызванное сильным точечным выбросом конечной массы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. - 1985.- Т.25.Ы7. С.1066-1077.

18. Аристов В.В.,Черемисин Ф.Г. Численное решение уравнения Больцмана для смеси газов с колебательными степенями свободы // Сообщ. по прикл.матем. ВЦ АН СССР. - 1985. - 12 с.

19. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Метод решения уравнения Болыдоана при умеренных и малых числах Кнудсена // Тр. 8-й Всес. конф. по динам, разреж. газов. М.: Изд-во МАИ. - 1986. - с.66-70.

20. Arlstov V.V., Е.М.Shakhov. Scattering of Impulsive molecular beam In a rarefied gas. Proc. of 15-th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. B.G.Teubner Stuttgart. 1986. V.I. P.266-275.

21. Аристов В.В., Шахов В.В. Рассеяние интенсивного молекулярного или кластерного пучка при входе в разреженный газ //Сб. Кластеры в газовой среде, Новосибирск.: ИТПМ СО АН СССР, 1987, С.78-83.

22. Аристов В.В..Черемисин Ф.Г. Решение одномерных и двумерных задач

для уравнения Больцмана // Сообщ. по прикл. матем. ВЦ АН СССР.-1987.-47 с.

23. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Численное решение уравнения Больцмана /./Проблемы прикладной математики и информатики.- М.: Наука. - I987.-C.I04-II5.

24. Аристов В.В., Шахов В.В. Нелинейное рассеяние импульсного молекулярного пучка в разреженном газе // Ж. вычисл.матем. и

матем. физ. - 1987. - V.27, N2. - С.159-164.

25. Аристов В.В.Решение уравнения Больцмана с интегрированием по углам столкновений//Сообщ. по прикл. матем. ВЦ АН СССР. 1988. 22с.

26. Аристов В.В., Иванов М.С., Черемисин Ф.Г. Решение задачи об одномерной теплопередаче в разреженном газе двумя методами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. .- 1990. - Т.30, Л 4.- С.623-626.

27. Aristov V.V., Tcheremlsslne F.G., Numerical analysis ol transition from regular to Mach reflection of shock wave in rarefied gas. 1st European Fluid Mech. Coni. Cambridge. Book of Abstr. 1991. P.7.

28. Aristov V.V. Development of the regular method of solution of the Boltzmann equation and nonuniform relaxation problems // Proc.17-th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. A.Beylich ed. Weinhelm. 1991. P.879-885.

29. Аристов В.В. Изучение неоднородных релаксационных течений с помощью регулярного метода интегрирования уравнения Больцмана // Тр. 10-й Всес. конф. по Динам, разреж. газа. - М. :Изд. МАИ.-1991.- T.I. - C.I09-II4.

30. Аристов В.В., Крюков А.П., Черемисин Ф.Г., Шишкова И.Н. Решение уравнения Больцмана для плоского струйного течения с конденсацией на криопаненли // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. -1991.-T.3I, № 7. - С.I093-1099.

31. Aristov V.V., Kryukov А.P., Shlshkova I.N., Tcheremissine F.G., Voronln A.V. The study of flows inside some models of cryovacuum devices on the basis of the Boltzmann equation solution // Book of Abstr. Euromech Colloquium 235 on Kinetic theory of transfer processes with evapor. and condens. Minsk. 1991. P.21-23.

32. Aristov V.V. Method of solving the Boltzmann equation by integration over collision parameters in piecewise-constant approximation // Modem problems in computational aerodynamics. - M.: Mir. - A.Dorodnlcyn and P Chushkln ed.-1992.- P.357-375.

33. Aristov V.V. Dissipative structures describing by the Boltzmann and the relaxation model kinetic equations. In: Topics in bio-mathematics. Proceed, of 2nd Intern. Conf. on Blomathematlcs. World Scientific. Singapore, 1993. P.109-112.

34. Aristov V.V., Mamedova I.G. Parallel implementation of numerical algorithms for solving the Boltzmann equation // Proceed, of 2nd Intern. Conf. on Parallel Computing Technologies, ed. V.E.Maly-

shkin. Novosibirsk. 1993. P.103-108.

35. Aristov V.V.Rarefied gas flows with, nonclassical transfer properties /7 2nd European Gonf. on Fluid Mechanics. Book of Abstracts. 1994. Warsaw.

36. Аристов В.В. Исследование некоторых течений газа на основе уравнения Больцмана // Сообщения по прикладной математике. - М.: Вычислительный центр РАН. - 1994. - 22с.

37. Аристов В.В. Возможность аномальной теплопроводности в течениях разреженного газа // Труды 1-ой Российской национальной конференции по теплообмену. 1994. Москва, Т.10, 4.2, С.36-41.

38. Aristov V.V., Mamedova I.G. Investigation of parallel algorithms for solving the Boltzmann equation and their efficiency. Proceed, of 2nd Intern. Conf. on Software for multiprocessors and supercomputers: theory, practice, experience (SMS 94 PPE) M. 1994. P.417- 425.

39. Aristov V.V., Shishkova I.N., Tcheremissine F.G. Solution of the Boltzmann equation for study of reflection of shock wave from a wedge//Proceed. of the 18th Internat. Symp. on Raref. Gas Dynam., AIAA, Progr. In Astronaut, and Aeronaut., V.158, 1994, P.448-457.

40. Aristov V.V. Spatial relaxation processes and the possible decreasing of entropy // Proceed. 19th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. Oxford University Press. 1995. V.1. P.43-49.

41. Aristov V.V., Mamedova I.G. Parallel algorithms based on the direct approaches of solving the Boltzmann equation // Proceed. 19th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. Oxford University Press. 1995. V.2. P.871-877.

42. Aristov V.V. Numerical analysis of freejets at small Knudsen numbers //Proceed. 19th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam.Oxford University Press. 1995. V.2. P.1293-1299.

43. Aristov V.V. Stable and unstable freejet flows described by the Boltzmann equation // 1st Intern. Conf. on Nonequilibrium Processes in Nozzles and Jets. Book of Abstracts. 1995. Moscow Aviation Intsitute. P.14-15.

44. Aristov V.V., Shishkova I.N., Tcheremissine F.G. Kinetic analysis of the origin of the triple point configuration // Proceed, of the 19th Inter. Symp. on shock waves. Springer. V.IV, 1995, P.57-62.

о ц

Рис. 1

—о- ч

— V > \ 25 ч ч N.

\ ^ \ MS ч N *

О Н 8 X

Рис. 3

Рис. 5

-решение т> хсмер&ггюяхь&щемриця

Г о о » решение па DSfaC ¿M.Û.Ub4H°g)

РИС. 6

Рис. 7

ÍÍ Т s™* у

-решения но растея-ления реш-ения ШММена ufo. » » * peu*""!! З.Ттня и g,а. . « • решения •С. OêffM X

Рис. 9

0 5 (о cmmj

1 1 11 *1 ' • i 11

ю го зо к

Ф

Рис. 11

Рис. 13

I, Хп = О OOS, , =

I, Kn = o.oo», « =

ч \\ч?>-

n n

//

-l -HS о C.t 1 1

Рис. 15

т i

0.2 ОЛ CA-0.2 ■

О

П.

iß

fit

iö

22

do

20

S

I_р£1м<шг1юD$M¿) Е.Мунгц

Г 5 Г эксперимент j и др.

<> л л решение №

xt>ucep€(r7.s<eroà>4 рссеи&енления '

---решенигал?

fcoên. Эил&ра.

2 4 Рис. 16

са

Тс

-4-- + TL

Х--*. - X

era;

Vt

-v „ _

^ --Хг - *

-V--

-----+

п i

0.6

ооо эксперимент ирр.)

+ + + ремемие но нсисер &t7. Aeroty paCitietvi-Ctftß '

о

L 0 +

0.25 0.75 1.25 1.75 2.25 2.75 3.25 J.75 4.25 4.75 5.25

Ф »

Рис. 20

У

Рис..21

гь

X

Т

>- О

Рис. 24

г

5.9

3.8 1

t U.8 - ПЛ t

РИС. 26

п.

Рис. 27