Изучение и применение параллельных алгоритмов для решения уравнения Больцмана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. СХЕМЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА.

1.1. Постановка задач для уравнения Больцмана.

1.2. Консервативная схема расщепления

1.3. Описание детерминистического метода

1.3.1 Использование в алгоритмах матриц коэффициентов квадратичных форм детерминистического метода.

1.4. Модификация детерминистического метода для задачи об изотропной релаксации.

1.5. Консервативная коррекция.

ГЛАВА 2. СТРУКТУРА, СПОСОБЫ РЕАЛИЗАЦИИ И СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ

2.1. Основные положения.

2.2. Параллельные алгоритмы для метода прямого численного решения уравнения Больцмана.

2.2.1. Распараллеливание по точкам физического пространства

2.2.2. Распараллеливание по точкам скоростного пространства

2.3. Реализация алгоритмов на машине РАЕЗУТЕС

2.4. Количественные характеристики алгоритмов.

ГЛАВА 3. ПОЛУЧЕНИЕ ТЕСТОВОГО РЕШЕНИЯ С ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТЬЮ

3.1. Постановка задачи.

3.2. Исследование порядка аппроксимации численного метода.

3.2.1. Аппроксимация в скоростном пространстве.

3.2.2. Аппроксимация по времени и консервативная коррекция

3.3. Построение тестового решения с фиксированной точностью и изучение сходимости численной схемы

ГЛАВА 4. ПРИМЕНЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ ЗАДАЧ РАЗЛИЧНОЙ РАЗМЕРНОСТИ.

4.1. Решение релаксационных задач детерминистическим методом

4.2. Решение пространственно неоднородных задач детерминистическим методом

4.3. Решения, полученные методом Монте-Карло.

Основным уравнением, описывающим течения разреженного газа, является кинетическое уравнение Больцмана [1-3]. Важность решения этого уравнения стала ясна в последние десятилетия в связи с развитием авиации, космонавтики, с исследованиями в области различных новых (в том числе вакуумных) технологий на микроскопических масштабах, в связи с моделированием процессов в средах, находящихся в неравновесных состояниях. Уравнение Больцмана занимает промежуточное положение между молекулярным и сплошносредным описанием и может служить базисом для рассмотрения математических и физических проблем на макромасштабах.

При решении этого сложного интегро-дифференциального уравнения с 7 независимыми переменными (в общем случае) возникают серьезные трудности. Несмотря на развитие методов статистического моделирования [5-6, 27-30] и прямого интегрирования [4, 9-18, 31-52, 56-59] проблема создания эффективных численных схем весьма актуальна. В связи с развитием многопроцессорной техники с параллельной обработкой информации разработка параллельных алгоритмов для решения уравнения Больцмана является одним из важнейших направлений исследований по данной проблеме. Метод прямого интегрирования изначально предполагался нацеленным на возможность параллельных вычислений, поскольку используются однородные схемы. Однако до настоящего времени предложенные параллельные алгоритмы исследовались лишь на малом количестве процессоров и для простейших задач [74-75]. Поэтому создание и исследование 5 параллельных алгоритмов, принципиально пригодных для решения задач любой размерности на компьютерах с большим числом процессоров, является актуальным.

Важность построения численных решений для уравнения Больцмана связана с тем, что в настоящее время известны только основные два аналитических решения: равновесное максвелловское, и решение, полученное Бобылевым [7] и независимо Круком и Ву [8] для релаксации газа максвелловских молекул.

Среди так называемых приближенных аналитических методов решения уравнения Больцмана можно выделить методы разложения в ряд по числу Кнудсена как по малому параметру [2-3], в которых функция распределения определяется после решения некоторой замкнутой системы уравнений для моментов. Наиболее важными являются метод моментов Грэда с разложением функции распределения по полиномам Эрмита, а также методы разложения по малому параметру Гильберта и Чепмена-Энскога.

Для общего случая описания течений разреженного газа с помощью уравнения Больцмана илй упрощенных кинетических уравнений численные методы представляются чрезвычайно важным и практически единственным подходом. Традиционно численные методы в динамике разреженных газов делят на три группы: методы прямого численного интегрирования уравнения Больцмана, методы статистического моделирования и подход релаксационных кинетических модельных уравнений.

Большое количество работ по численным методам в динамике разреженных газов опубликовано в сборниках [9-11], результаты последних лет отражены в ряде обзоров [12-17], а также в монографии [18]. 6

В подходе релаксационных модельных уравнений оператор столкновений в правой части уравнения Больцмана заменяется релаксационным приближением, удовлетворяющим некоторым существенным свойствам исходного уравнения. Впервые такой подход был предложен в [19], и далее развивался в [20-21]. Способ исправить число Прандтля, равное 1 для уравнения Крука вместо 2/3 для одноатомного газа, которое дает уравнение Больцмана, предложен в [22-25]. Наиболее последовательный подход к построению и решению модельных уравнений был развит Е.М.Шаховым (см. монографию [26]).

Среди подходов статистического моделирования в первую очередь необходимо отметить метод Берда [5-6]. Различные схемы по-разному моделируют этап столкновений в модельном газе. Наиболее известны схемы Коуры [27], Белоцерковского и Яницкого [28], Дешпанде [29], Иванова и Рогазинского [30].

В настоящее время методы прямого статистического моделирования типа схемы Берда являются наиболее популярным подходом к решению задач динамики разреженного газа. На его основе получены решения многих сложных задач. Однако обоснование таких схем, особенно при реальных параметрах счета, требует уточнений, и наряду с достоинствами этих подходов имеются и недостатки (в сравнении с методами прямого интегрирования), отмеченные, в частности в [18].

Методы прямого численного решения уравнения Больцмана берут начало со схемы Нордсика, где интегралы столкновений вычислялись на основе процедуры Монте-Карло [31].

В методе прямого решения, развитого Лимаром [32-33], пространство скоростей разбивалось на подобласти, в каждой из которых интегралы столкновений приближались полиномами (в 7 качестве весовой функции использовалась локально-максвелловская). Неизвестные коэффициенты полиномов определялись из соответствующих равенств после вычисления восьмикратных интегралов методом Монте-Карло. Был построен алгоритм, консервативный в пределе сходимости функции распределения к решению. Этим методом был решен ряд задач, в том числе двумерная задача обтекания пластины, поперечной потоку [34-35].

В методе Ф.Г.Черемисина для вычисления интегралов столкновений применялась процедура Монте-Карло, однако в отличие от схемы Нордсика применялась более гибкая реализация алгоритма. По этому методу были получены первые в нашей стране результаты по решению уравнения Больцмана [36-40].

В последнее время определенное развитие получили схемы с регулярным вычислением интегралов столкновений. Один из немногих таких примеров в [41] показал, что решать уравнение Больцмана с приемлемой точностью с помощью обычных квадратурных формул на не очень подробных сетках можно только с помощью консервативных методов.

В настоящей работе подробно рассматривается и развивается с конечно-элементных позиций метод решения уравнения Больцмана с аналитическим интегрированием по параметрам столкновений, впервые предложенный В.В.Аристовым [83-85] (позже и независимо были предложены сходные алгоритмы в США и Франции [42-43]). Недавно в Японии были получены достаточно точные решения для стационарных задач о структуре ударной волны и теплопередачи [44-47] (здесь ведется разложение по полиномам Лагерра, но важно, что так же как и в указанных выше методах, интеграл столкновений аппроксимируется квадратичной формой с 8 постоянными коэффициентами, которые вычисляются один раз и запоминаются в виде постоянной таблицы значений). Разложение функции распределения по полиномам Лагерра, возможно, является приемлемым подходом для задач с цилиндрической симметрией в пространстве скоростей.

В последнее время часто используются схемы, в которых требование консервативности выполняется на уровне оператора столкновений. Это означает, что численные аналоги моментов от интеграла столкновений, которые равны нулю для уравнения Больцмана, равны нулю и для численной аппроксимации. Среди таких подходов можно выделить методы Бюэ [48] и Ф.Г. Черемисина [49-50].

Целью настоящей работы является разработка и исследование параллельных алгоритмов, пригодных для различных способов вычисления интеграла столкновений, использование этих алгоритмов на многопроцессорных компьютерах с большим числом процессоров и получение на их основе решений задач различной размерности. Рассматриваются детерминистический и монте-карловский способы вычисления интеграла столкновений, поскольку они принципиально различаются по потребностям в вычислительных ресурсах.

Поставленная цель потребовала решения следующих задач: -формализация и уточнение формул детерминистического метода;

- выработка подхода к построению параллельных алгоритмов для консервативного метода расщепления с использованием разбиения расчетной области в физическом и скоростном пространствах; 9

- разработка способов сокращения размеров массива квадратичных форм, аппроксимирующих интеграл столкновений при детерминистическом интегрировании;

-реализация алгоритмов с различными способами распараллеливания в виде комплекса программ для машин с распределенной памятью;

- исследование ускорения и эффективности построенных параллельных алгоритмов;

- построение решений изотропных и трехмерных релаксационных задач, а также для одномерных, двумерных и трехмерных в физическом пространстве задач с использованием детерминистического метода;

-построение решений трехмерных струйных задач с использованием метода Монте-Карло.

Научная новизна настоящей работы состоит в следующем:

1. Детерминистический метод развивается с позиций метода конечных элементов. Для процедуры консервативной коррекции (функции распределения), которая обеспечивает выполнение численных аналогов законов сохранения (эта процедура была ранее предложена В.В.Аристовым и Ф.Г.Черемисиным), показаны существование, единственность, а также то, что данная процедура коррекции сохраняет порядок аппроксимации, обеспечиваемый численной схемой.

2. Для детерминистического метода и метода Монте-Карло построены параллельные алгоритмы, для которых проведено исследование эффективности на различных многопроцессорных машинах для числа процессоров р<в4. Предложена формула, описывающая зависимость эффективности от числа процессоров и

10 количества ячеек в скоростном пространстве для детерминистического интегрирования.

3. С помощью детерминистического метода построено тестовое решение для задачи об однородной изотропной релаксации, в которой в качестве модели столкновений выбраны твердые сферы. Анализ численного решения позволяет сделать вывод, что относительная ошибка не превосходит 0.1%.

4. На основе детерминистического метода решены неоднородные в физическом пространстве задачи. Рассмотрены одномерная задача о теплопередаче, для которой получено количественное соответствие с результатами других авторов (Т.Овада; В.В.Аристов, М.С.Иванов, Ф.Г.Черемисин), двумерная задача об истечении недорасширенной струи из щели в вакуум и в затопленное пространство, трехмерная задача об истечении струи из квадратного отверстия.

5. Для метода Монте-Карло использование данных параллельных алгоритмов позволило получить более подробные решения трехмерных струйных задач при различных числах Кнудсена в областях физического пространства, превосходящих по размерам использовавшиеся ранее.

Практическая значимость работы. Результаты работы позволяют сделать вывод об эффективности построенных параллельных алгоритмов и возможности их применения для расчетов задач динамики разреженных газов на различных многопроцессорных вычислительных машинах. Построенное тестовое решение позволяет исследовать точность различных методов решения уравнения Больцмана. Развиваемый в работе

11

Больцмана позволяет сократить количество счетных параметров и, вследствие этого, упростить процедуру получения решений.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на следующих научных конференциях: 16-я Международная конференция по численным методам в динамике жидкостей, 1998 г. Аркашон, Франция; 21-й Международный симпозиум по динамике разреженных газов, 1998 г., Марсель, Франция; 3-я Международная конференция по неравновесным процессам в соплах и струях,

2000 г., Истра; 9-я Международная конференция по вычислительной механике и современным прикладным программным системам,

2001 г., Москва-Истра; а также на научных семинарах в Вычислительном центре им. A.A. Дородницына РАН и Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН. Результаты диссертации изложены в работах [80,90-95].

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы (95 наименований). Работа изложена на 128 страницах и содержит 33 рисунка и 20 таблиц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В качестве итога кратко сформулируем основные результаты настоящей работы.

1.В работе проведено исследование возможностей применения различных параллельных алгоритмов для решения уравнения Больцмана. Рассмотрены алгоритмы с распараллеливанием по точкам физического и скоростного пространства. Алгоритмы реализованы в виде комплекса программ, пригодного для решения задач различной размерности на параллельных компьютерах с распределенной памятью.

2. Для разработанных программных комплексов решения уравнения Больцмана исследована их эффективность на многопроцессорных машинах при количестве процессоров до 64 и получены высокие значения эффективности (свыше 90%), в результате чего сделан вывод о существенном ускорении вычислений за счет использования многопроцессорной техники.

3. Разработанный детерминистический алгоритм использует метод конечных элементов, что позволяет строить широкий класс численных схем без применения процедуры Монте-Карло для вычисления интеграла столкновений. Для формул метода получены уточненные выражения, исследован массив коэффициентов квадратичных форм, изучены возможности сокращения размеров массива, исследована процедура консервативной коррекции.

4. При помощи детерминистического метода построено тестовое решение с фиксированной точностью для задачи об однородной изотропной релаксации. Исследование этого решения позволило заключить, что относительная погрешность по функции

1. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967, 440 с.

2. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978,495 с.

3. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Прямое численное решение кинетического уравнения Больцмана. М.:ВЦ РАН, 1992.

4. Bird G. Molecular gas dynamics and the direct simulation of gas flows. 1994, Oxford: Clarendon press.

5. Берд Г. Молекулярная газовая дйнамика. М.:Мир, 1981, 320 с.

6. Бобылев A.B. О точных решениях уравнения Больцмана // Докл. АН СССР. 1975. Т. 225. № 6. С. 1296-1299.

7. Krook М. Wu Т. Т. Exact solutions of the Boltzmann equation // Phys. Fluids. 1977. V. 20. P. 1589-1595.

8. Численные методы в теории разреженных газов, М.: ВЦ АН СССР, 1969.

9. Численные методы в динамике разреженных газов, М.: ВЦ АН СССР, вып. 1 1973, вып. 2 -1975, вып. 3 - 1977, вып. 4 -1979.

10. Вычислительная динамика разреженного газа, М.: ВЦ РАН, 2000.

11. Белоцерковский О.М., Яницкий В.Е. Численные методы в динамике разреженного газа // Тр. 4-й Всесоюзн. конф. по динам, разреж. газов / Тр. НАГИ. 1977. С. 101-183.

12. Черемисин Ф.Г. Численные методы прямого решения кинетического уравнения Больцмана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1985. Т. 25. № 12. С. 1840-1855.

13. Аристов В.В. Черемисин Ф.Г. Численное решение уравнения Больцмана // Проблемы прикл. матем. и информатики. М.:Наука. 1987. С. 104-115.

14. Шахов Е.М. Численные методы в динамике разреженных газов // Динамика разреженных газов и молекулярная газовая динамика. Тр.МАИ. 1988. С. 185-209.

15. Cercignani С. Mathematics and the Boltzmann equation Harold Grad Lecture // Procs. 17-th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. Weinheim. 1991. P. 2-14.

16. Bellomo N. LeTallec P. Pertham B. On the solution of the nonlinear Boltzmann equation // Procs. 19-th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. Oxford Univ. Press. 1995. P. 23-34.

17. Aristov V. V. Direct methods for solving the Boltzmann equation and study of nonequilibrium flows. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 2001.

18. Bhatnagar P.L. Gross E.P. Krook M. A model for collision processes in gases // Phys. Rev. 1954. V. 94. P. 511-525.

19. Krook M. Continuum equations in the dynamics of rarefied gases // J. Fluid Mech. 1959. V.2. No. 1. P. 523.

20. Gross E., Jackson E. Kinetic models and the linearized Boltzmann equation // Phys. Fluids. 1959. V. 2. No. 4. P. 432.

21. Holway L. New statistical models in kinetic theory: methods of construction // Phys. Fluids. 1965. V. 8. P. 1905.

22. Шахов Е.М. О приближении кинетических уравнений в теории разреженных газов // Изв. АН СССР, Механ. Жидкости и газа. 1968. Вып. 1.С. 156-161.

23. Шахов Е.М. Об обобщении кинетического релаксационного уравнения Крука // Изв. АН СССР, Механ. Жидкости и газа. 1968. Вып. 5. С. 156-161.

24. Шахов Е.М. Метод аппроксимации кинетического уравнения Больцмана // Численные методы в теории разреженных газов. М.:ВЦ АН СССР. 1969. С. 84-118.

25. Шахов Е.М. Метод исследования движений разреженного газа. М.:Наука. 1974. 216 с.

26. Коига К. Null-collision technique in the direct simulation Monte-Carlo method//Phys. Fluids. 1986. V. 29.No. 11.P. 3509-3511.

27. Белоцерковский O.M., Яницкий B.E. Статистический метод частиц в ячейках // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1. 1975. Т. 15. №5. С. 1195-1208; 2. 1975 Т. 15. №6. С. 1553-1567.

28. Nordsieck A Hicks BL. Monte-Carlo evaluation of the Boltzmann collision integral // Procs. 5-th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. N.Y. 1967. V. 1. P. 675-710.

29. Лимар E. Ф. О численном решении уравнения Больцмана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1973. Т. 13. № 6. С. 1573-1580.

30. Лимар E. Ф. Численный метод решения уравнения Больцмана// Тр. VIII Всес. конф. по динам, разреж. газа. 1986. М.:МАИ. С. 43-47.

31. Черемисин Ф.Г. Решение на ЭВМ кинетического уравнения Больцмана // Тр. III Всес. конф. по динам, разреж. газа. 1969. Новосибирск.

32. Черемисин Ф.Г. Развитие метода прямого решения уравнения Больцмана // Численные методы в динамике разреженных газов. М.:ВЦ АН СССР. 1973. С. 74-101.

33. Черемисин Ф.Г. Метод прямого численного интегрирования уравнения Больцмана // Численные методы в теории разреженных газов. М.:ВЦ АН СССР. 1969. С. 45-64.

34. Черемисин Ф.Г. Структура ударной волны в газе идеально упругих жестких сферических молекул // Численные методы в теории разреженных газов. М.:ВЦ АН СССР. 1969. С. 65-78.

35. Черемисин Ф.Г. Численное решение уравнения Больцмана для одномерных стационарных движений газа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1970. Т. 10. № 3. С. 654-665.

36. Wachmann М., Hamel B.B. A discrete ordinate technique for nonlinear Boltzmann equation with application to pseudo-shockrelaxation // Procs. 5-th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. Weinheim. 1967. V. 1 P. 675-694.

37. Tan Z., Chen Y.-K., Varghese P.L., Howell J.R, A new numerical strategy to evaluate the collision integral of the Boltzmann equation // Procs. 16-th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. Progr. in Aeronaut, and Astronaut. 1989. P. 359-373.

38. Rogier F., Schneider J.A. A deterministic method for solving the Boltzmann equation // Procs. 18-th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. Progr. in Aeronaut, and Astronaut. Washington. V.159. 1994. P. 359-373.

39. Ohwada T. Structure of normal shock wave: direct numerical analysis of the Boltzmann equation for hard-sphere molecules // Phys. of Fluids A. 1993. V. 5. P. 217-234.

40. Ohwada T. Numerical analysis of normal shock wave on the basis of the Boltzmann equation for hard-sphere molecules // Procs. 18th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. Progr. in Aeronaut, and Astronaut. Washington. V.159. 1994. P. 482-488.

41. Ohwada T. Heat flow and density distributions in a rarefied gas between parallel plates with different temperatures. Finite-difference analysis of the nonlinear Boltzmann equation for hard-sphere molecules // Phys. of Fluids A. 1996. V. 8. P. 2153-2160.

42. Ohwada T. Investigation of heat transfer problem of a rarefied gas between parallel plates with different temperatures // Procs. 20-th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. Peking Univ. Press. 1996. P. 327-332.

43. Buet С. A discrete-velocity scheme for the Boltzmann operator of rarefied gas dynamics // Procs. 19,-th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. Weinheim. Oxford Univ. Press. 1991. P. 878-884.

44. Черемисин Ф.Г. Структура разреженной сверхзвуковой газовой струи при различных молекулярных потенциалах // Матем. моделирование. 1999. Т 11. № 3. С. 59-68.

45. Черемисин Ф.Г. Консервативный метод вычисления интеграла столкновений Больцмана // Доклады РАН. 1997. Т. 357. № 1. С. 1-4.

46. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Консервативный метод расщепления для решения уравнения Больцмана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1980. № 1. С. 191-207.

47. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Расщепление неоднородного кинетического оператора уравнения Больцмана // Докл. АН СССР. 1976. Т. 231. № 1. С. 49-52.

48. Богомолов C.B. Сходимость метода суммарной аппроксимации для уравнения Больцмана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1988. Т. 28. № 1.С. 119-126.

49. Ohwada Т. Higher order approximation methods for the Boltzmann equation // Journ. of Comp. Phys. 1998. V. 139. P. 1-14.

50. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.:Наука. 1977. 656 с.

51. Аристов В.В., Черемисин Ф.Г. Консервативная разностная схема дискретных ординат для решения кинетических уравнений методом расщепления // Прямое численное моделирование течений газа. М.:ВЦ АН СССР. С. 164-171.

52. Ларина КН. Рыков В.А. Метод численного решения уравнения Больцмана с линеаризованным интегралом столкновений // Вычислительная динамика разреженного газа. М.: ВЦ РАН, 2000, С. 3-26.

53. Черемисин Ф.Г. Дискретная аппроксимация и примеры решения уравнения Больцмана // Вычислительная динамика разреженного газа. М.: ВЦ РАН, 2000, С. 37-74.

54. Рыков В.А. Релаксация газа, описываемого кинетическим уравнением Больцмана // Прикл. матем. и механика. 1967. Т. 36. №2. С. 138-146.

55. Ортега Дж. Введение в параллельные и векторные методы решения линейных систем. М.: Мир. 1991. 365 с.

56. Смирнов А.Д. Архитектура вычислительных систем. М.:Наука. 1990.319 с.

57. Parallel Computational Fluid Dynamics: new algoritms and applications, N.Satofuka et al. eds., Elsevier, Amsterdam, 1995.

58. Parallel Computational Fluid Dynamics: Algorithms and Results Using Advanced Computers, P.Schiano et al. eds., Elsevier Science, 1997.

59. Parallel Computational Fluid Dynamics Recent Developments and Advances Using Parallel Computers, D.R.Emerson et al. eds., Elsevier Science B.V., 1998.

60. Parallel Computational Fluid Dynamics: Development and Application of Parallel Technology, C.-A. Lin et al. eds., Elsevier Science В.V., 1999.

61. Parallel Computational Fluid Dynamics: Towards Teraflops, Optimization and Novel Formulations, D.Keyes et al. eds., Elsevier Science B.V., 2000.

62. Parallel Computational Fluid Dynamics' 2000 Trends and Applications, C.B. Jenssen et al. eds., Elsevier Science B.V., 2001.

63. Молчанов И.Н. Введение в алгоритмы параллельных вычислений. Киев: Наук, думка. 1990. 127 с.

64. Borisch Т., Chen J.D., Ecer A., Chien Y.P., Akay H.U. Dynamic load balancing in international heterogeneous workstation clusters // Parallel Computational Fluid Dynamics: Trends and Applications, C.B. Jenssen et al. eds., Elsevier Science B.V., 2001.

65. PVM 3 user's guide and reference manual, Oak Ridge National Laboratory, TM-12187.

66. MPI: Message Passing Interface Forum, A Message-Passing Interface Standard, University of Tennessee, Knoxville, Tennessee, USA, 1995.

67. Frezzotti A., Pavani R. Direct numerical solution of theBoltzmann equation on a parallel computer // Computers and Fluids. 1993. V. 22. P. 1-8.

68. Аристов B.B., Мамедова И.Г. Параллельные алгоритмы для решения кинетического уравнения Больцмана // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1996. № 2. С. 138-146.

69. Карлеман Т. Математические задачи кинетической теории газов. М.: Издательство иностранной литературы, 1960,120 с.

70. Аристов B.B., Забелок C.A. Параллельные вычисления для уравнения Больцмана при детерминистическом интегрировании // Сообщения по прикладной математике. М.:ВЦ РАН. 1998.

71. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во МФТИ. 1994. 528 с.

72. Аристов В.В., Иванов М.С., Черемисин Ф.Г. Решение задачи об одномерной теплопередаче в разреженном газе двумя методами // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31. № 7. С. 623-626.

73. Аристов В.В. О решении уравнения Больцмана для дискретных скоростей // Докл. АН СССР. 1985. Т. 283. № 4. С. 831-834.

74. Aristov V. V. Development of the regular method of solution of the Boltzmann equation and nonuniform relaxation problems // Rarefied Gas Dynamics, ed. A.Beylich. VCH, Weinheim. 1991. P. 879-885.

75. Aristov V.V. Method of solving the Boltzmann equation by integration over collision parameters in piecewise-constant approximation // Modern problems in computational aerodynamics, AJDorodnicyn and P Chushkin eds. Moscow. Mir. P. 357-375.

76. Аристов В.В. Исследование некоторых течений газа на основе уравнения Больцмана // Сообщения по прикладной матем. М.: ВЦ РАН.

77. Годунов С.К., Забродин А.В., Иванов М.Я., КрайкоА.Н., Прокопов Г.П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.:Наука, 1976,400 с.

78. Teshima К. Three-dimensional characteristics of supersonic jets // Procs. 17-th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. Weinheim. 1991. P. 1042-1048.

79. Teshima К., Us ami M. An experimental study and DSMC simulation of rarefied supersonic jets // Procs. 20-th Intern. Symp. on Raref. Gas Dynam. Peking Univ. Press. 1996. P. 327-332.

80. Aristov V. V., Zabelok S.A. Parallel algorithms in the conservative splitting method for the Boltzmann equation // Lecture Notes in Physics. 1998. V. 515. P. 361-366.

81. Аристов B.B., Забелок C.A. Получение решений для уравнения Больцмана с помощью детерминистического метода // Вычислительная динамика разреженного газа. М.: ВЦ РАН,2000, С. 120-142.

82. Забелок С.А. Параллельные вычисления для уравнения Больцмана // Вычислительная динамика разреженного газа. М.: ВЦ РАН, 2000, С. 143-160.

83. Aristov V. V., Lukshin А. V., Zabelok S.A. Deterministic method for the Boltzmann equation with parallel computing // 21-st Intern. Symposium on Rarefied Gas Dynamics. Book of Abstracts, Marseille.

84. Аристов В.В., Забелок С.А. Детерминистический метод решения уравнения Больцмана с параллельными вычислениями // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2002. Т. 42. №3. С. 151-163.