Дискретные модели кинетических уравнений для смесей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

На правах рукописи

'"•"5 0,1

! 3 ноя'

АМОСОВ Степан Александрович

г

ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ СМЕСЕЙ

01.01.03 - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва, 2000 гад

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской Акдемии Наук.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук В.В. Веденяпин. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук А.А. Пярнпуу, кандидат физико-математических наук Ю.А. Волков. Ведущая организация: Вычислительный центр Российской Академии Наук.

Защита состоится "_"_2000 г. в_час. на

заседании Диссертационного совета Д 002.40.03 в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН по адресу: 125047, Москва, Миусская пл., 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН.

Автореферат разослан "_"_2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.-мат. наук Г.В. Устюгова.

$ 3 б Г. Гс 3/03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Развитие вычислительной техники и расширение границ применимости методов численного моделирования сделали весьма актуальной задачу создания адекватных методов построения математических моделей различных физических процессов.

Для изучения поведения макроскопических систем с парным взаимодействием, каковыми, в частности, являются разреженные газы и нереагирующие газовые смеси, активно используются кинетические уравнения и их дискретные модели. Наиболее часто применяемым для описания классических систем уравнением является уравнение Больцмана. За свою более чем вековую историю уравнение Больцмана успешно применялось для описания поведения физических, биологических, социальных и экономических систем.

Во второй половине XX века во многом благодаря развитию электронной вычислительной техники и методов проведения численного эксперимента особую актуальность приобрели дискретные модели уравнения Больцмана, которые активно изучались в последние три десятилетия. Несмотря на значительный рост возможностей современных вычислительных технологий, решение уравнения Больцмана по-прежнему остаётся сложной задачей ввиду большой размерности кинетического описания, что предъявляет высокие требования к обоснованности приближенных (численных и аналитических) методов в кинетической теории.

Дискретные модели, являющиеся основным предметом исследования в настоящей диссертации, наследуют многие важнейшие свойства уравнения Больцмана. Дискретные модели по скоростям (ДМС) для смесей широко обсуждаются в современных публикациях и очень актуальны. Однако, очень часто при переходе от уравнения Больцмана к дискретной модели возникают артефакты дискретизации, отсутствовавшие в изначальной континуальной постановке. Например, в модели газа возникают несколько групп частиц, для каждой из которых сохраняется суммарная энергия. Таким образом, мы имеем дело с сохраняющимися величинами, не имеющими физического смысла.

Цель и задачи исследования. Целью данной работы является построение дискретных моделей для классических и релятивистских химически нереагирующих смесей, обладающих правильным количеством инвариантов (такие модели называются нормальными), а также систематизация и формализация методов построения таких моделей. Для наиболее часто рассматриваемого классического случая эта задача нашла удовлетворительное решение в настоящей работе.

Научная новизна и практическая ценность. В известном смысле все предлагавшиеся ранее модели для смесей были тривиальны. Читаем в работе A.B. Бобылева и К. Черчиньяни [2]': «нет моделей для смесей, кроме тривиальных». «Простейшие модели предложены Монако и Прециози в их

книге [40]. Они не удовлетворительны (как указывают авторы [40] на стр. 74), поскольку нет обмена энергией между различными сортами частиц. Это мы и имеем в виду, говоря, что они тривиальны». В работе К. Черчиньяни [6]_ читаем: «Я не знаю никаких ДМС для смесей, кроме тех, в которых все импульсы имеют одинаковую величину, и поэтому закон сохранения энергии следует из закона сохранения числа частиц».

Попытки построить нетривиальные модели для смесей предпринимались A.B. Бобылевым и К. Черчиньяни в работе [5]. Однако, как было указано авторами опубликованной позднее работы [7], предложенные Бобылевым и Черчиньяни модели обладали большим числом инвариантов.

Эти замечания, процитированные по [5], показывают сложившуюся ситуацию: некоторые «лишние» (spurious) инварианты, такие как энергия каждой компоненты или энергия отдельной группы частиц, мешают построению хороших моделей. Это обстоятельство успешно преодолевается в данной диссертации.

В представляемой к защите диссертации предложены нормальные дискретные модели для упруго взаимодействующих смесей с классическим и релятивистским законами рассеяния. Фактически решена задача построения нормальных дискретных моделей при произвольном отношении масс компонент (в классическом случае — для произвольного числа компонент с

1 Здесь и далее нумерация ссылок соответствует перечню из библиографии основного текста диссертации.

соизмеримыми массами, в релятивистском случае - для двухкомпонентнон смеси).

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на Десятой юбилейной международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (Переславль-Залесский, 7-12 июня 1999 года) [29], на семинаре Института прикладной математики им. Келдыша РАН (руководитель — член-корр. РАН Ю.П. Попов), на семинаре Вычислительного центра РАН (руководитель - д.ф.-м.н. Ф.Г. Черемисин), на семинаре Механико-математического факультета Московского государственного университета им. Ломоносова (руководители - д.ф.-м.н. Б.М. Гуревич, д.ф.-м.н. В.И. Оселедец), на семинаре по математической физике Института прикладной математики им. Келдыша (руководители - д.ф.-м.н. М.В. Масленников, д.ф.-м.н. В.В. Веденяпин, д.ф.-м.н. В.А. Дородницын).

По материалам диссертации опубликовано 5 работ.

Материалы настоящей диссертации и некоторые процитированные в ней труды можно найти в глобальной информационной сети Internet по адресу http: // kinetic.boom.ru.

ОПИСАНИЕ РАБОТЫ

Структура н объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, заключения и списка цитированной литературы из 50 наименований. Нумерация глав, параграфов, определений, лемм, теорем, утверждений, замечаний и уравнений — сквозная. Например, теорема 1.6.2 - это вторая теорема шестого параграфа первой главы. Нумерация рисунков несколько отличается от принятой: так, например, рисунки § 1.9 обозначены литерой «А» перед номером, равно как и приведённые в этом параграфе модели. Все номера имеющихся рисунков таковы: 1.1 - 1.5, А2 — А14, 2.1 - 2.9, РЗ. Объём диссертации 58 страниц, включая оглавление и список литературы.

Содержание работы. Во введении дан краткий обзор основных достижений и трудностей в исследуемой области, обсуждаются актуальность темы диссертационной работы и описывается распределение материала по главам.

В первой главе «Дискретные модели уравнения Больцмана для смесей с классическим законом рассеяния» приведены основные понятия теории дискретных моделей, изложены основные процедуры и предложены нормальные модели.

В § 1.1 даны известные определения уравнения Больцмана и его дискретной модели, а также введено понятие нормальности модели.

В § 1.2 сформулированы критерии инвариантности функционалов и изложена индуктивная процедура построения нормальных дискретных моделей.

В §§ 1.3 - 1.5 приведены нормальные модели для классической двухкомпонентной смеси с отношением масс М/т=3. Для некоторых из них выписана система уравнений (дискретная модель) и дано доказательство нормальности. Приведено доказательство минимальности двух предложенных моделей в некоторых соответствующих классах.

В § 1.6 предложено семейство моделей некоторой простейшей конфигурации - семейство квадратных моделей (СКМ). Сформулировано и доказано достаточное условие нормальности моделей из СКМ в случае нечётного отношения масс.

§§ 1.7 и 1.9 посвящены перечислению конкретных нормальных моделей с некоторыми интересными свойствами (малые модели и модель, нормальная по каждой компоненте).

В § 1.8 указаны семейства решений в целых числах уравнений для классических законов сохранения импульса и энергии. Эти семейства чрезвычайно полезны при построении нормальных дискретных моделей для произвольного рационального соотношения масс компонент.

Глава 2 «Дискретные модели для упругого рассеяния излучения» посвящена распространению полученных ранее результатов на релятивистский случай. В этой главе, помимо формулирования основных

понятий и определений, также приведены нормальные дискретные модели для упругого рассеяния излучения на массивных частицах, а также для рассеяния массивных частиц друг на друге.

В § 2.1 приведено однородное уравнение типа Больцмана, применяемое для описания релятивистских кинетических систем.

В § 2.2 приведены известные формулы для упругих релятивистских столкновений.

В § 2.3 приведены нормальные модели для мёллеровского рассеяния и приведено доказательство их нормальности.

В § 2.4 приведены нормальные модели для комптоновского рассеяния и приведено доказательство их нормальности.

§ 2.5 содержит обобщение некоторых результатов предыдущего параграфа на случай упругих столкновений релятивистских массивных частиц. Предложена двумерная нормальная модель для двухкомпонентной смеси релятивистских частиц. Сформулирована теорема о минимальности предложенной модели в некотором классе.

В § 2.6 предложена нормальная модель для двухкомпонентной смеси релятивистских частиц в трёхмерном пространстве, обобщающая модель предыдущего параграфа. Сформулирована теорема о минимальности предложенной модели в некотором классе.

В заключении кратко сформулированы основные полученные в диссертации результаты.

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертации:

1. Построены нормальные полностью симметричные дискретные модели для классических двухкомпонентных смесей с различным целым отношением масс. Доказана их нормальность. Доказана минимальность семи- и тринадцатиточечной моделей в соответствующих классах.

2. Сформулировано достаточное условие нормальности моделей из семейства квадратных моделей д ля нечётного отношения масс.

3. Приведены некоторые семейства решений в целых числах уравнений для классических законов сохранения импульса и энергии. Эти соотношения решают задачу построения нормальной модели для смеси с произвольным количеством компонент при условии соизмеримости масс (т.е. если отношение масс компонент представимо в виде отношения натуральных чисел).

4. Построены нормальные полностью симметричные модели для мёллеровского рассеяния и комптоновского рассеяния. Доказана минимальность нескольких предложенных моделей в некоторых классах.

Материал и результаты настоящей диссертации опубликованы в следующих работах:

I]: В.В. Веденяпин, С.А. Амосов, JI. Тоскано. Инварианты гамильтонианов и кинетических уравнений. // УМН, 1999, том 54, вып. 5, стр. 153 - 154. Английский перевод: V.V. Vedenyapin, S.A. Amosov, L. Toscano. Invariants for Hamiltonians and kinetic equations. // Russian Math. Survey, vol. 54, № 5, pp. 1056-1057.

I]: С.А. Амосов. Дискретные модели уравнения Больцмана для упругого рассеяния излучения. // Препринт Института прикладной математики им. М. В. Келдыша РАН, 1999, № 19.

II]: V. Vedenyapin, S. Amosov,- L. Toscano. Discrete velocity models for nixtures. // X Anniversary International Conference «Computational Mechanics tnd Modern Applied Software Systems«. Pereslavl-Zalessky, June 7-12, 1999. Collected abstracts. - Москва, МГИУ, 1999, стр. 247.

/]: В.В. Веденяпин, С.А. Амосов. О дискретных моделях уравнения юльцмана для смесей. // Дифференциальные уравнения, 2000, том 36, №7, тр. 15 - 20.

/

]: В.В. Веденяпин, С.А. Амосов, Л. Тоскано. Дискретные модели равнения Больцмана для смесей. // Математическое моделирование, 2000, эм 12, №7, стр. 18-22.

Введение.

Глава 1. ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА ДЛЯ СМЕСЕЙ С КЛАССИЧЕСКИМ ЗАКОНОМ РАССЕЯНИЯ.

1.1. Уравнение Больцмана для смесей. Дискретные модели.

1.2. Инварианты и индуктивная процедура для дискретных моделей.

1.3. Одномерная симметричная модель (М/т=3). '

1.4. Двумерная симметричная модель (М/т=3).

1.5. Модель с малым количеством импульсов (М/т=3).

1.6. Семейство квадратных моделей.

1.7. Малая модет^, нормальная до каждой компоненте.

1.8. Некоторые семейства решений в целых числах уравнений для классических законов сохранения импульса и энергии. Общий метод построения нормальных моделей.

1.9. Нормальные модели с малым количеством импульсов.

Глава 2. ДИСКРЕТНЫЕ МОДЕЛИ УРАВНЕНИЯ ТИПА БОЛЬЦМАНА ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКИХ СМЕСЕЙ И УПРУГОГО РАССЕЯНИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ.

2.1. Дискретные модели релятивистского уравнения типа Больцмана."

2.2. Столкновения при комптоновском рассеянии.

2.3. Нормальные модели для мёллеровского рассеяния.

Для изучения поведения макроскопических систем с парным взаимодействием, каковыми, в частности, являются разреженные газы и нереагирующие газовые смеси, активно используются кинетические уравнения и их дискретные модели. Наиболее часто применяемым для описания классических систем уравнением является уравнение Больцмана [21, 24, 33]. Это уравнение было предложено австрийским физиком Людвигом Больцманом в 1872 году. За свою более чем вековую историю уравнение Больцмана успешно применялось для описания поведения физических, биологических, социальных и экономических систем. ' •

Во второй половине XX века во многом благодаря развитию электронной вычислительной техники и методов проведения численного эксперимента < особую актуальность приобрели дискретные модели уравнения Больцмана, киюрые активно изучались в последние три десятилетия [1-4]. Несмотря на значительный рост возможностей современных вычислительных технологий, решение уравнения Больцмана по-прежнему остаётся сложной задачей ввиду большой размерности кинетического описания, что предъявляет высокие требования к обоснованности приближенных (численных и аналитических) методов в кинетической теории.

Дискретные модели, являющиеся основным предметом исследования в настоящей диссертации, наследуют многие важнейшие свойства уравнения Больцмана. В частности, для дискретных моделей, равно как и для уравнения Больцмана, имеет место Я-теорема [1-4]. /У-теорема явилась в своё время математическим обоснованием Второго начала термодинамики. Важность этой 5 теоремы состоит в том, что она показывает необратимость (по параметру эволюции - времени) уравнения Болыдмана. В работе [34] доказана единственность //-функции для уравнения Больцмана.

Теорема об аппроксимации интеграла столкновений уравнения Больцмана дискретной моделью в трёхмерном случае получена Бобылевым, Шнайдером и Пальчевским [26-27]. Её доказательство существенно опирается на теоретико-числовой результат Иванца [28]. Фактически теорема Бобылева - Шнайдера -Пальчевского обосновывает применимость дискретных моделей при получении приближенных результатов для уравнения Больцмана.

Дискретные модели по скоростям (ДМС) для смесей широко обсуждаются в современных публикациях и очень актуальны. Однако, очень часто при" переходе от уравнения Больцмана к дискретной модели возникают артефакты I дискретизации, отсутствовавшие в изначальной континуальной постановке.

В известном смысле все предлагавшиеся ранее модели для смесей были тривиальны. Читаем в работе A.B. Бобылева и К. Черчиньяни [2]: «нет моделей для смесей, кроме тривиальных». «Простейшие модели предложены Монако и Прециози в их книге [40]. Они не удовлетворительны (как указывают авторы [40] на стр. 74), поскольку нет обмена энергией между различными сортами частиц. Это мы и имеем в виду, говоря, что они тривиальны». В работе К. Черчиньяни [6] читаем: «Я не знаю никаких ДМС для смесей, кроме тех, в которых все импульсы имеют одинаковую величину, и поэтому закон сохранения энергии следует из закона сохранения числа частиц».

Эти замечания, процитированные по [5], показывают сложившуюся ситуацию: некоторые «лишние» (spurious) инварианты, такие как энергия каждой компоненты или энергия отдельной группы частиц, мешают построению хороших моделей. Следуя К. Черчиньяни [5, 6], мы будем называть модели с правильным числом инвариантов нормальными моделями.

В диссертационной работе рассматриваются дискретные модели, описывающие эволюцию функций распределения для смеси частиц нескольких сортов с массами /и/, ., тг в пространственно-временном континууме К'/+1. Здесь г есть число сортов (компонент смеси). Размерность пространства импульсов частиц равна с/. Допустимые импульсы частиц расположены в узлах некоторой целочисленной решётки, так что импульсы частиц д -ой компоненты (с = 1,.,г) могут принадлежать дискретному набору р'е Ъё . Полное количество I дискретных импульсов модели равно ^ N, = N.

Определение. Будем говорить, что имеет место столкновение частиц вида р?, pf pi, jof , если их импульсы удовлетворяют следующим условия: сохранения: p'+p^pl+pf

Е\рГ,та)+Е\р^\\тр}=Е\рГ,та}+Е

Р) \ >тр

Здесь а,/? - из множества 1,., г \i,k - из множества 1,2, N ;j, 1 - из множества 1,2. ., N^. Каждому имеющему место столкновению поставим в соответствие некоторое положительное число сГр'{'//] > 0, называемое сечением столкновения. В дальнейшем запятые в подстрочных и надстрочных индексах сечений будем опускать, если это не вызовет разночтений. Сечения столкновений удовлетворяют следующим условиям симметрии: а,Л) a(ki) B(jl\ Q °/'(.//) ~ °(ШГ) ~ a(ik) ^

В работе изучаются дискретные модели для классического и релятивистского уравнений типа Больцмана. В классическом случае функция

I I" \р\~ энергии определяется как Е(\р\ ,т) =-. Для релятивистского случая функция

2т энергии Е определяется как Е(\р\ ,т) = с^\р\~ +т с , где с - скорость света.

А'-импульсной дискретной моделью уравнения типа Больцмана для г-компонентной смеси будем называть следующую систему N уравнений: 1 1 где £ = 1 I = 1, 2, ., А^; время />0. Здесь (?) > 0 есть функции распределения частиц, описывающие эволюцию числа частиц ¿г-ого сорта с импульсом р]. Суммирование в правой части системы проводится по все столкновениям, как смешанным, так и между частицами одного сорта, удовлетворяющим условиям сохранения.

Обзор результатов о существовании и единственности решения для дискретных моделей дан, например, в работе [4]. Там же перечислены различные свойства решений, включая сохранение положительности решения.

Определение. Линейный функционал вида / = ^ ^^ где ьГ} £ К. будем называть инвариантом дискретной модели, если он сохраняется в сил}1 рассматриваемой системы.

Постановка задачи построения дискретных моделей без лишних инвариантов восходит к работам С.К. Годунова и У. М. Султангазина. В работе [1] на стр. 15 С.К. Годунов и У.М. Султангазин делают следующее замечание: 8

Следует заметить, что способ выбора дискретных скоростей, обеспечивающих описание течения газа с законами сохранения трёх компонент импульса и с сохранением энергии, в общем случае не разработан. Эта разработка связана с трудностями комбинаторно-геометрического характера».

Одним из наиболее распространённых способов борьбы с «лишними» инвариантами дискретных моделей до недавнего времени было введение множественных (не только бинарных, но и более высоких порядков) столкновений. Преимущества и недостатки этого подхода обсуждаются, например, в работе [62].

В вычислительных алгоритмах для уменьшения ошибок, связанных с лишними инвариантами, используется также метод консервативной коррекции, подробно изложенный в работе [71].

Попытки построить нетривиальные дискретные модели для смесе$ исключительно с бинарными столкновениями предпринимались A.B. Бобылевым и К. Черчиньяни в работе [5]. Однако, как было указано авторами опубликованной позднее работы [7]. предложенные Бобылевым и Черчиньяни модели обладали большим числом инвариантов.

Вопрос о количестве инвариантов уравнения Больцмана изучен самим Больцманом и Карлеманом. В случае трёхмерного пространства для газа из одного вещества оно равно пяти [25, 76].

Общие инварианты уравнения Больцмана и модели Бродуэлла исследовались в работе [20]. Необходимые и достаточные условия существования независимых линейных первых интегралов дискретной модели в пространственно-однородном случае приведены в [23]. 9

В ситуациях, близких к локально-максвелловским, активно применяется метод Чепмена - Энскога, позволяющий находить коэффициенты переноса в уравнениях гидродинамики [30-32]. Метод Чепмена - Энскога «запрещает» существование лишних инвариантов, так как в противном случае получающаяся гидродинамика имеет лишние гидродинамические функции.

Подход, связанный с стремлением к построению дискретных моделей без лишних инвариантов (нормальных моделей), идеологически продолжает собою выдвинутый A.A. Самарским и Ю.П. Поповым принцип полной консервативности, развиваемый в теории разностных схем [8, 9, 41]. Схемы, наследующие законы сохранения исходной континуальной задачи, называются консервативными (полностью консервативными). В русле этой терминологии В.В. Веденяпин предложил называть дискретные модели с правильным числом инвариантов точно консервативными. Таким образом, понятие точно| консервативности, предложенное В.В. Веденяпиным, равносильно понятию нормальности, предложенному К. Черчиньяни.

Групповые свойства разностных схем для различных уравнений изучаются в работе В.А. Дородницына [39]. Групповой анализ континуального уравнения Больцмана проведён в работах Ю.Н. Григорьева и C.B. Мелешко [63, 64].

Дискретные модели уравнения Больцмана и его аналогов успешно используются в современных исследованиях. С.К. Годуновым и У.М. Султангазиным в работе [1] при помощи предложенных ими моделей изучены различные физические явления в газах, в частности, описана структура фронта ударной волны. Дальнейшее изучение ударных волн в газах и газовых смесях при помощи дискретных моделей проведено в работах [45, 46, 50].

10

Некоторые аспекты численных вычислений решений уравнения Больцмана можно найти в работах [71, 73-75].

Кинетическое описание химически реагирующих газовых смесей было дано в работе В.А. Рыкова [17]. В указанной работе автором доказана Я-теорема и изучены равновесные состояния системы. Из зарубежной литературы по этой проблематике следует упомянуть работу [61]. Дискретные модели для химически реагирующих смесей были предложены в работе [18].

Дискретные модели, описывающие взаимодействие излучения с веществом, использовались для исследования проблемы Милна - Чандрасекара [19]. Следует заметить, что в указанной работе помимо упругих I рассматриваются и неупругие взаимодействия, в результате которых возможны, в частности, испускание и поглощение фотонов.

Релятивистский аналог уравнения Больцмана изучается в работах [13, 5^, 65-67]. Инварианты непрерывного уравнения подробно изучены в работе [57]. Гидродинамические функции и коэффициенты для релятивистской максвелловской смеси получены в [66].

Для квантового случая кинетическое описание системы даётся уравнением Юлинга - Уленбека. Дискретные модели для квантового случая предложены В.В. Веденяпиным. О.В. Мингалевым и И.В. Мингалевым в работе [16]. Там же доказана глобальная теорема существования для фермионов и вычислены гидродинамические функции системы.

Идеология дискретных моделей уравнения Больцмана применена для изучения вязко-упругих течений и релаксации звуковых волн [22]. Отметим, что в этой работе используются изотропные (в терминологии настоящей диссертации полностью симметричные) модели, в том числе двумерная 13и точечная модель из семейства квадратных моделей для однокомпонентного случая.

В настоящей диссертации предложены нормальные модели для упруго взаимодействующих смесей с классическим и релятивистским законами рассеяния. Работа состоит из двух глав, разбитых на параграфы. Нумерация глав, параграфов, определений, лемм, теорем, утверждений, замечаний и уравнений - сквозная. Например, теорема 1.6.2 - это вторая теорема шестого параграфа первой главы. Нумерация рисунков несколько отличается от принятой: так. например, рисунки § 1.9 обозначены литерой «А» перед номером, равно как и приведённые в этом параграфе модели. Все номера имеющихся рисунков таковы: 1.1-1.5. А2 - А14, 2.1 - 2.9, РЗ.

В первой главе «Дискретные модели уравнения Больцмана для смесей с классическим законом рассеяния» приведены основные понятия теори^ дискретных . моделей, изложены основные процедуры и предложены нормальные модели.

В § 1.1 даны известные определения уравнения Больцмана и его дискретной модели, а также введено понятие нормальности модели.

В § 1.2 сформулированы критерии инвариантности функционалов и изложена индуктивная процедура построения нормальных дискретных моделей.

В §§ 1.3 - 1.5 приведены нормальные модели для классической двухкомпонентной смеси с отношением масс М/т=Ъ. Для некоторых из них выписана система уравнений (дискретная модель) и дано доказательство нормальности. Приведено доказательство минимальности двух предложенных моделей в некоторых соответствующих классах.

12

В § 1.6 предложено семейство моделей некоторой простейшей конфигурации - семейство квадратных моделей (СКМ). Сформулировано и доказано достаточное условие нормальности моделей из СКМ в случае нечётного отношения масс.

§§ 1.7 и 1.9 посвящены перечислению конкретных нормальных моделей с некоторыми интересными свойствами (малые модели и модель, нормальная по каждой компоненте).

В § 1.8 указаны семейства решений в целых числах уравнений для классических законов сохранения импульса и энергии. Эти семейства чрезвычайно полезны при построении нормальных дискретных моделей для произвольного рационального соотношения масс компонент. На их основе предложен общий метод построения дискретных моделей уравнения больцмана для классической смеси с произвольным рациональным соотношением мас^ компонент.

Глава 2 «Дискретные модели уравнения типа Больцмана для релятивистских смесей и упругого рассеяния излучения» посвящена распространению полученных ранее результатов на релятивистский случай. В этой главе, помимо формулирования основных понятий и определений, также приведены нормальные дискретные модели для упругого рассеяния излучения на массивных частицах, а также для рассеяния массивных частиц друг на друге.

Заметим, что в релятивистском случае уравнения, выражающие собой условия сохранения импульса и энергии, не являются диофантовыми. Это обстоятельство делает задачу поиска параметрических семейств их решений существенно более сложной, чем и объясняются трудности в индуктивном расширении получаемых моделей. Кроме того, для релятивистского случая не

13 доказан аналог теоремы Бобылева - Шнайдера - Пальчевского об аппроксимации интеграла столкновений, что также ограничивает возможную область применения дискретных моделей.

В § 2.1 приведён общий вид однородных дискретных моделей уравнения типа Больцмана. применяемого для описания релятивистских кинетических систем.

В § 2.2 приведены известные формулы для упругих релятивистских столкновений.

В § 2.3 приведены нормальные модели для мёллеровского рассеяния (модели однородного релятивисткого газа) и приведено доказательство их нормальности.

В § 2.4 приведены нормальные модели для комптоновского рассеяния (модели для бинарной смеси) и приведено доказательство их нормальности. |

§ 2.5 содержит обобщение некоторых результатов предыдущего параграфа на случай упругих столкновений релятивистских массивных частиц. Предложена двумерная нормальная модель для двухкомпонентной смеси релятивистских частиц. Сформулирована теорема о минимальности предложенной модели в некотором классе.

В § 2.6 предложена нормальная модель для двухкомпонентной смеси релятивистских частиц в трёхмерном пространстве, обобщающая модель предыдущего параграфа. Указана также одномерная модель для двухкомпонентной релятивисткой смеси.

В заключении кратко сформулированы основные полученные в диссертации результаты.

14

Отдельные результаты настоящей диссертации опубликованы в работах [10], [12], [42], [43], [59], [60], [72]. Часть результатов доложена на Десятой юбилейной международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным средствам (Переславль-Залесский. 712 июня 1999 года) [29], на XLIV-ой юбилейной научной конференции МФТИ (Москва - Долгопрудный, 23-30 ноября 2001 года) [69], на семинаре Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН (руководитель - член-корр. РАН Ю.П. Попов), на семинаре сектора кинетической теории газов Вычислительного центра им. A.A. Дородницына РАН (руководитель - д.ф.-м.н. Ф.Г. Черемисин), на семинаре механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководители - д.ф.-м.н. Б.М. Гуревич. д.ф.-м.н. В.И. Оселедец), на семинаре по математической физике Института прикладной математики им. М.Е|. , Келдыша РАН (руководители - д.ф.-м.н. М.В. Масленников, д.ф.-м.н. В.В. Веденяпин. д.ф.-м.н. В.А. Дородницын).

Материалы настоящей диссертации и некоторые процитированные в ней труды, а также другие публикации автора можно найти в глобальной информационной сети Интернет по адресу http: // kt. dr. ag.

Постановка всех задач главы 1 принадлежит В.В. Веденяпину. Постановка задач главы 2 предложена автором. Во введении к диссертации, в параграфах 1.1. 1.2. 2.1 и 2.2 изложены главным образом уже известные ранее определения, утверждения и методы. Результаты параграфов 1.3 и 1.4 получены в соавторстве с В.В. Веденяпиным. Результаты всех остальных параграфов диссертации получены самостоятельно. Две из тринадцати моделей параграфа 1.9 получены приблизительно одновременно с К. Черчиньяни и А. Корнилем независимо от

16

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Построены нормальные полностью симметричные дискретные модели для классических двухкомпонентных смесей с отношением масс 3 (одномерная семиточечная модель, двумерные модели из 13. 16 и 17 точек). Доказана их нормальность. Доказана минимальность семи- и тринадцатиточечной моделей в соответствующих классах.

2. Построены нормальные плоские двухуровневые полностью симметричные модели со следующим числом импульсов: N=13, М/т=3; N=16, М/т=3, 4, 7; N=17, М/т=2, 3, 5; N=20, М/т=2. 3, 6. 8, 11 (множество моделей для М/т=Ъ пересекается с множеством моделей, упомянутых в предыдущем пункте, но не совпадает с ним).

3. Сформулировано достаточное условие нормальности моделей из семейства квадратных моделей для нечётного отношения масс.

4. Приведены некоторые семейства решений в целых числах уравнений для классических законов сохранения импульса и энергии. Фактически это решает задачу построения нормальных моделей для смесей с любым количеством компонент с соизмеримыми массами (т.е. если отношение масс представимо в виде отношения натуральных чисел).

Построены нормальные полностью симметричные модели для мёллеровского рассеяния (N=5, 8, 12).

Построены нормальные полностью симметричные модели для комптоновского рассеяния (//=13, 20, 24).

Построена двумерная 13-точечная нормальная модель для релятивистской упруго взаимодействующей двухкомпонентной смеси массивных частиц с произвольным вещественным отношением масс, имеющая прямое обобщение на случай пространств большей размерности. Сформулирована теорема о её нормальности. Доказана минимальность предложенной дискретной модели в некотором классе моделей.

Построена трёхмерная 21-точечная нормальная модель для релятивистской упруго взаимодействующей двухкомпонентной смеси массивных частиц с произвольным вещественным отношением масс. Сформулирована теорема о нормальности предложенной дискретной модели.