Задачи скольжения для квантовых газов с переменной частотой столкновений

Квашнин, Александр Юрьевич

Задачи скольжения для квантовых газов с переменной частотой столкновений тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Квашнин, Александр Юрьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2011 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Задачи скольжения для квантовых газов с переменной частотой столкновений»

Автореферат диссертации на тему "Задачи скольжения для квантовых газов с переменной частотой столкновений"

005007635

Квашнин Александр Юрьевич

Задачи скольжения для квантовых газов с переменной частотой столкновений

Специальность 01.04.02 — Теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 2 ЯН В 2012

Москва — 2011

005007635

Работа выполнена на кафедре математического анализа и геометрии Московского государственного областного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Латышев Анатолий Васильевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Гурченков Анатолий Андреевич доктор физико-математических наук, Завитаев Эдуард Валерьевич

Ведущая организация: Московский государственный технический университет «Станкин»

Защита диссертации состоится «/5» 2011г. в часов

на заседании диссертационного совета Д.212.155.07 в Московском государственном областном университете по адресу: 105005, Москва, ул. Радио, д. 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского государственного областного университета.

Автореферат разослан « Оя^д^л, Д 2011 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.155.07

кандидат физ.-мат. наук, доцент fäfei/ " Барабанова H.H.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы. Кинетические явления в разреженных газах являются предметом исследования со времен Максвелла и Больцмана. При этом большая часть работ по данной тематике посвящена изучению поведения классических газов. Квантовые газы изучались, главным образом, в рамках рассмотрения кинетики электронов в полупроводниках и металлах, а, также кинетики фононо» в конденсированных средах.

Работа посвящена аналитическому решению граничных задач для случая изотермического скольжения квантовых ферми- и бозе- газов, заполняющих полупространство над плоской стенкой.

Задача о нахождении решений уравнения для квантовых газов имеет теоретическую значимость и актуальность в связи с возросшим практическим значением микроэлектроники, требующей, в частности, умения решать граничные задачи для электронного газа. Постановка и точное решение граничной задачи для кинетического уравнения представляет практическую важность, поскольку может быть применено к решению реальных физических задач.

Цель диссертационной работы заключается в постановке граничных задач для кинетических уравнений, описывающих квантовые фермии бозе-газы для случая, когда частота столкновений молекул пропорциональна модулю скорости молекул, и аналитическом решении задач об изотермическом скольжении с использованием модельного уравнения Больцмана в релаксационном приближении.

мичес-ком скольжении квантовых бозе- и ферми-газов вдоль плоской твердой поверхности. В качестве граничных условий используется сначала диффузное, а затем и более общее зеркально-диффузное отражение молекул газа от поверхности. Решение позволило в явном виде определить физически важные параметры: коэффициент скольжения, массовую скорость газа и функцию распределения газовых молекул.

Научная и практическая ценность. Результаты работы относятся к теории аналитических решений кинетических уравнений. Отметим, по крайней мере, два направления проведенного исследования, имеющих прикладное значение:

1. Решение кинетических уравнений в слое Кнудсена позволяют корректно поставить граничные условия для уравнений сплошной среды (уравнений Навье — Стокса).

2. Использование полученных результатов в динамике аэрозолей при изучении сил, действующих на аэрозольную частицу.

Личное участие автора заключается в выводе уравнений, решении граничных задач, обработке и анализе полученных данных, участии в постановке задач.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях:

1. Ежегодная научная конференция профессорско-преподавательского состава МГОУ (Москва, 2007 - 2010 гг.);

2. XII научная конференции МГТУ "Станкин" и "Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ Станкин - ИММ РАН" по математическому моделированию и информатике. (Москва, 2009 г.)

3. Международная конференция "Актуальные проблемы современной науки" Российской молодёжной академии наук (Самара, 2009 г.);

4. ХЬУ1 Всероссийская конференция по проблемам математики, ин-

форматики, физики и химии. Секция физики. (Москва, РУДН 2010

г-)

5. Международная научно-практическая конференция Поморского государственного университета им. М.В. Ломоносова (Коряжма, 2010

г-)

Публикации. По теме диссертации опубликованы 10 работ, из них 5 статей опубликованы в изданиях, входящих в перечень ВАК.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии. Объем работы составляет 116 страниц текста, в том числе 15 рисунков. Библиография включает в себя 107 наименований, в том числе и публикации диссертанта по теме исследования. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении проводится обоснование актуальности темы диссертации, содержится постановка целей исследования, формулируются основные результаты работы, а также дается краткий обзор литературы по теме диссертационного исследования.

В первой главе проводится постановка и вывод кинетического уравнения. В параграфе 1.1 выписывается квантовое уравнение Больцмана для ферми-газа (уравнение Юлинга — Уленбека).

В параграфе 1.2 приводятся виды граничных условий. Для решения различных граничных задач уравнение Больцмана нужно дополнить соответствующими граничными условиями, налагаемыми на функцию распределения на стенках объема, содержащего газ.

В параграфе 1.3 излагается физика скольжения простого газа вдоль плоской поверхности. Рассмотрен случай изотермического скольжения.

В параграфе 1.4 вводится нелинейное уравнение для квантовых ферми-газов в форме релаксационного приближения для случая, когда

частота столкновений молекул газа пропорциональна модулю скорости молекул:

% + <?Ч)/ = "(у)(Ге-Л- (1)

Здесь / = /(г, V, £) - функция распределения газовых молекул, V(у) -частота столкновений, зависящая от модуля скорости молекул, 1/(у) = ¡V — и(г,£) - массовая скорость газа в лабораторной системе отсчета,

п - числовая плотность (концентрация) молекул газа, |у — и| - модуль скорости молекулы в системе отсчета, относительно которой газ в данной точке г покоится, т. е. имеет массовую скорость, равную нулю, V -молекулярная скорость газа в лабораторной системе отсчета, I - средняя длина свободного пробега молекул, т - масса молекулы, I = тут, т - время релаксации, т. е. время между двумя последовательными столкновениями молекул газа, ут = - тепловая скорость молекул газа, /3. = тп/2кТ, к - постоянная Больцмана, /£(г,у,4) - аналог локально равновесной функции распределения Ферми — Дирака,

1 + ехр

-1

—оо < д < +оо,

кТ

ц и Т - химический потенциал газа и температура, считающиеся посто-

771

янными, Е„ = — (V - и,)2, и» = и*(г, £) - параметр уравнения.

В параграфе 1.5 проводится линеаризация кинетического уравнения (1) по малому параметру и». Функция распределения ищется в виде:

/ = /г(С)+с,»№(*,,,), <2>

где С = у/ру - безразмерная скорость молекул, /х = Сх/С, = х/1 - безразмерная координата, а = ц/кТ - безразмерный (приведенный) химический потенциал, /г(С) = [1 + ехр(С2 - а)]-1 - абсолютный фер-миан.

Линеаризация с помощью (2) приводит к следующему уравнению:

^ + /г(хь/х) = I /(1" /х'2)л(®1.м,)Ф'- (3) -1

В параграфе 1.6 производится постановка задачи Крамерса с диффузными граничными условиями. Пусть ферми-газ движется вдоль оси у с массовой скоростью иу(х) в полупространстве х > 0. Вдали от стенки задан градиент массовой скорости

= Ыиу(х)\ V ¿X 11-Ц-00

Задание градиента массовой скорости ду означает, что вдали от стенки распределение массовой скорости в полупространстве имеет линейный рост иу(х) — и31 + ЯуХ, х -> +оо, где и31 - неизвестная скорость скольжения.

Диффузное отражение ферми-частиц от поверхности означает, что последние отражаются от стенки, имея фермиевское распределение, т.е.

/(я = 0, V) = /*■(«), ух > 0. (4)

Учитывая, что функцию распределения для ферми-газов мы ищем в виде (2), из условия (4) получаем граничное условие на стенке:

Л(0, /х) = 0, /л > 0. (5)

Вторым граничным условием является граничное условие "вдали от стенки". Это условие означает, что вдали от стенки функция Н(хх, ц) переходит в распределение Чепмена — Энскога каз(хх, ц) = гС/^+гСЦц -ц), и$1 безразмерная скорость скольжения и градиент. Таким об-

разом, вторым граничным условием является условие:

Н{хх ->■ +оо,,и) = Ка{х1,ц), х +оо. (6)

Теперь задача Крамерса при условии диффузного отражения ферми-частиц от стенки сформулирована полностью и состоит в решении уравнения (3) с граничными условиями (5) и (6). При этом требуется определить безразмерную скорость скольжения С/*|(а), величина градиента

считается заданной. Кроме того, требуется построить функцию распределения в полупространстве х\ > 0, требуется построить профиль массовой скорости иу(х1) и найти значение массовой скорости газов непосре-ственно у стенки иу(0). В конце параграфа с помощью закона сохранения импульса показано, что в линейном приближении массовая скорость и совпадает с параметром и», а удвоенная безразмерная массовая скорость совпадает с правой частью уравнения (3):

и*у{х{) = иу{хх) = | у (1 - 1?)Ь.{хиц)Ац. (7)

-1

Во второй главе получено точное решение задачи Крамерса для квантовых ферми-газов для случая диффузного отражения частиц от поверхности.

В параграфе 2.1 в общем виде получены собственные решения уравнений непрерывного и дискретного спектров, а также рассматриваются основные свойства дисперсионной функции.

В параграфе 2.2 представлена однородная краевая задача Римана, которая лежит в основе решения граничных задач кинетической теории.

В параграфе 2.3 доказывается, что граничная задача имеет единственное решение, представимое в виде разложения по собственным функциям характеристического уравнения. После этого вычисляется коэффициент вязкости г] квантового ферми-газа:

77 = 15ТшаУ ГДе Ца) = / 1п(1+ехР(а-св))^. п = о, 1,2, . .

Данный коэффициент позволяет получить макропараметры задачи, а именно, скорость скольжения газа и5; и массовую скорость газа в размерном виде.

В параграфе 2.4 найдена искомая скорость изотермического скольже-

ния ферми-газа

иа1{а) = Ку{а)1д„, где = VI и 0.5819, (8)

оу7г гца)

а) - коэффициент изотермического скольжения, отыскивается значение массовой скорости непосредственно у стенки:

, , 15г0(а)

Далее находятся профиль массовой скорости:

иу{х)

Ш0(а)

8 у/ък(а)

И + у + \ I ехр ( - ^ - 1/(7?)) зтф)^

(9)

(Ю)

где

А(.г) - дисперсионная функция задачи,

. . 1 Зг М-т2

¿т.

Распределение функции распределения в полупространстве определяется равенством (2), в котором

= к + хх - (X + у.созС(/х) ехр ( - ^ - &+(М)+

(И)

где 9+{ц) - характеристическая функция интервала (0,1), т.е.

1, 0</х<1,

Ш =

0, /х^(0,1).

При а -4 —оо, когда квантовый газ переходит в классический, формулы (8)—(11) переходят в соответствующие формулы для классических газов.

В третьей главе получено аналитическое решение задачи Крамерса для квантовых ферми-газов в случае зеркально-диффузного отражения молекул от стенки. Эта задача состоит в решении уравнения (3) с граничными условиями:

Л(+0, ц) = (1 - q)h{+0, -ц), 0 < ц < 1,

h{x,n) = has(x,fj.) + о(1), х оо,

где q - коэффициент диффузности, 0 ^ q < 1.

В основе решения лежит идея включить граничное условие на функцию распределения в виде источника в кинетическое уравнение.

Для того, чтобы включить граничные условия в уравнение, продолжим функцию h(x,Li) на область а; < 0 симметричным образом: h(x,fi) — h(—x,—fi). Тем самым рассматривается еще одна задача (в области х < 0). Полагая далее h = has + hc, объединим граничные условия обеих задач следующим образом:

hc{±Q,ii)^hUn) + {l-q)hc{TO,fi), ±fi> 0 (Ы<1), hc(±оо, ц) = 0, ±ц< 0 (|/i| < 1). Вводится уравнение, содержащее оба граничные условия:

+ he(x)fi) = 2Ue(x) + H[ftJ(/i) - qhc{T0,ii)]6{x), (12)

где ¿(a;) - дельта-функция Дирака,

В результате решения уравнения (12) находим решение задачи Крамерса. Выпишем выражение для скорости скольжения ферми-газа:

Usl{a, q) = Kv(a, q)lgv. (13)

Рис. 1.

Рис. 2.

В формуле (13) Ку - коэффициент скольжения, вычисляемый в виде ряда:

где

У0 » 0.5333, и 0.0518, У2 га -0.0031,

Значение скорости скольжения в случае диффузного рассеяния таково: и5;(1) = 1.09Ш<7„. Нетрудно проверить, что в нулевом (максвеллов-ском) приближении = 11ду> т.е. нулевое приближение дает ошиб-

ку 8.34%. В первом приближении получаем = + —

1.0969это значит, что первое приближение дает ошибку 0.58%. Во втором приближении = (У0 + У + У2)1д„ = 1.091267«, т.е. второе

приближение дает ошибку 0.01%.

Далее строятся профили массовой скорости'при различных значениях коэффициента диффузности (рис. 1 и 2).

На рис. 1 (д = 0.5) и рис. 2 (д = 0.25) представлен профиль массовой скорости ферми-газа в полупространстве, кривая 1 отвечает профилю массовой скорости, а кривая 2 - ее асимптотическому распределению.

В четвертой главе получено аналитическое решение задач изотермического скольжения для квантовых бозе-газов для случаев диффузного и зеркально-диффузного отражения молекул.

В параграфе 4.1 кинетическое уравнение для квантовых бозе-газов % + = (14)

Здесь рв = [-1 + ехр I"1, ц < 0, остальные обозначения те же,

что и ранее. Функция распределения ищется в виде

1 = }в{С) + Су9в{С)Н{х ъм), дв(С)

ехр (С2 - а)

-1 + ехр(С2 — а)]2'

где /в(С') = [—1+ехр(С2 —а)]-1. Линеаризация уравнения (14) приводит к уравнению (3).

В параграфе 4.2 приведено аналитическое решение задачи Крамерса для квантового бозе-газа с диффузными граничными условиями. Получены скорость изотермического скольжения, массовая скорость, ее значение непосредственно у стенки и функция распределения. Приведем формулу для вычисления скорости скольжения: и$[ = К^(а)1ду, где

К°(а) = Ц

'»(«) = -/ С1" 1п[1-ехр(а-С2)]с(С|, п = 0,1.

При а -> -оо, когда квантовый газ переходит в классический, отсюда получаем известный результат для классического газа: оо) = 1.0911.

Если заменить 1п(а) на Ьп(а) в формулах (9) и (10), то получим значение массовой скорости бозе-газа непосредственно у стенки и профиль этой скореоти в полупространстве. Функция ¡г(хъц) и для бозе-газов вычисляется согласно (11). Рассмотрим отношение у (а) = Эта функция является монотонно возрастающей, причем у(0) = 1.588. Это означает, что коэффициент изотермического скольжения бозе-газа при изменении химического потенциала а от -оо до 0 возрастает на 58.8%. На рис. 3 проводится сравнение коэффициентов изотермического скольжения; кривые 1 и 2 (3 и 4) отвечают бозе-газам (ферми-газам) с переменной и постоянной частотой столкновений.

1.6 -.

К»

1.2 -

-4

-2

Рис. 3.

В параграфе 4.3 представлено решение задачи Крамерса, для квантового бозе-газа с зеркально-диффузным отражением молекул. Решение задачи ищется аналогично задаче для квантовых ферми-газов. Приведем скорость скольжения в размерном виде:

/ - длина свободного пробега молекул, (а, <7) - коэффициент изотермического скольжения бозе-газа вдоль плоской поверхности. Коэффициенты 14 (гг = 0,1,2, •■•) те же самые, что и в случае ферми-газа. Это обстоятельство приводит к тому, что точность последовательных приближений скорости скольжения для бозе-газов та же самая, что и в случае ферми-газов.

При д = 1 коэффициент изотермического скольжения равен:

где

'Ч — дудв^У' КогАа ПРИ этом величина химпотенциала а -> -сю, т.е. когда квантовый газ становится классическим, коэффициент К„{а, 1) переходит в значение коэффициента скольжения классического газа оо, 1) = 1.0911. Численные расчеты для второго приближения показывают, что это значение коэффициента достигается при а = -7: К» (-7,1) = 1.091.

На рис. 4 представлена зависимость коэффициента изотермического скольжения от величины относительного химического потенциала а, кривые 1,2,3 отвечают значениям коэффициента аккомодации q = 1,0.5,0.1. Логарифмический масштаб по по вертикальной оси. Зависимость коэффициента изотермического скольжения от коэффициента Диффузности 7 изображена на рис. 5, кривые 1,2,3 отвечают значениям величины относительного химического потенциала а = -0.001, -0.1, -5. Логарифмический масштаб по по вертикальной оси.

Анализ графиков на рис. 4 показывает, что с уменьшением величины относительного химического потенциала а величина коэффициента скольжения уменьшается во всем диапазоне изменения коэффициента диффузности д. При а < -2 значение коэффициентов скольжения фактически является постоянным, их величина начинает возрастать при -2 < а < 0.

Графики на рис. 5 показывают, что с уменьшением коэффициента диффузности <1 величина коэффициента скольжения растет во всем диапазоне изменения относительного химического потенциала. При этом наибольшее изменение коэффициента скольжения происходит в диапазоне изменения а от —1 до 0.

На рис. С и 7 рассматривается зависимость коэффициента изотермического скольжения от величины коэффициента диффузности q ферми-газов (кривые 1) и бозе-газов (кривые 2). На рис. 6 и 7 рассматриваются случаи а = -0.0001 и а = -1 соответственно. Если сравнить поведение коэффициентов скольжения ферми- и бозе-газов, то замечаем, что

Рис. 4.

Рис. 5.

эти коэффициенты тем сильнее различаются по величине, чем больше значение относительного химического потенциала. Уже при а = -1 эти коэффициенты практически совпадают (рис. 7), а при а < -5 различие между коэффициентами скольжения ферми- и бозе-газов несущественно.

Рис. 6. _ Рис. 7.

В заключение приводятся основные результаты работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА

ЗАЩИТУ

1. Решение задачи об изотермическом скольжении для квантовых ферми-газов с диффузными граничными условиями вдоль плоской поверхности . Нахождение скорости изотермического скольжения.

2. Решение задачи об изотермическом скольжении для квантовых ферми-газов с зеркально-диффузными граничными условиями вдоль плоской поверхности. Нахождение скорости изотермического скольжения.

3. Построение профиля массовой скорости квантового ферми-газа в полупространстве. Нахождение массовой скорости ферми-газа непосредственно у поверхности.

4. Решение задачи об изотермическом для квантовых бозе-газов вдоль с диффузными граничными условиями плоской поверхности. Нахождение скорости изотермического скольжения.

5. Решение задачи об изотермическом скольжении для квантовых бозе^-газов с зеркально-диффузными граничными условиями вдоль плоской поверхности. Нахождение скорости изотермического скольжения.

6. Построение профиля массовой скорости квантового бозе-газа в полупространстве. Нахождение массовой скорости непосредственно у поверхности.

Автор искренне благодарен своему научному руководителю проф.

A.B. Латышеву и проф. A.A. Юшканову за постоянную поддержку.

Список работ по теме диссертации

1. Хаашнин А.Ю., Латышев A.B., Юшканое A.A. Задача Крамерса в квантовых ферми - газах с частотой столкновений, пропорциональной модулю скорости молекул. // Труды института Системного анализа РАН. Сборник трудов "Динамика линейных и нелинейных систем". 2006. Том 25 (2). С. 69 - 73.

2. Квашнин А.Ю., Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача Крамерса в квантовых бозе - газах с частотой столкновений, пропорциональной модулю скорости молекул// Сборник трудов "Фундаментальные физико - математические проблемы и моделирование технико-технологических систем". Издательство МГТУ "Станкин". 2008. Вып. 11. С. 74 - 79.

3. Квашнин А.Ю., Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача Крамерса для ферми -газа с зеркально-диффузным граничным условием. // Труды института Системного анализа РАН. Сборник трудов "Динамика неоднородных систем". 2008. Том 32 (3). С. 101- 105.

4. Квашнин А.Ю., Латышев A.B., Юшканов A.A. Изотермическое скольжение ферми-газа с зеркально-диффузным отражением от границы // Известия высших учебных заведений. Физика. 200Э. Т. 52. № 12. С. 3-7.

5. йеашнгш А.Ю. Изотерическое скольжение квантового бозе-газа с диффузным отражением от границы// Вестник Московского государственного областного университета. Серия "Физика-математика". 2009. №3. С. 14-25.

6. Квашнин А.Ю., Латышев A.B., Юшканов A.A. Изотерическое скольжение квантового бозе-газа с зеркально-диффузным отражением от границы // Физика низких температур. 2010. Т. 36. No. 4. С. 413-417.

7. Квашнин А.Ю. Изотермическое скольжение ферми-газов с частотой столкновений, пропорциональной модулю скорости молекул, и с диффузным отражением от поверхности.// Материалы XII научной конференции МГТУ "Станкин" и "Учебно-научного центра математического моделирования МГТУ Станкин -ИММ РАН" по математическому моделированию и информатике, 2009. С. 5455.

8. Квашнин А.Ю. Изотермическое скольжение бозе-газа с зеркально-диффузиым отражением от границы. // Актуальные проблемы современной науки. Естественные науки. Части 4-6. Физика, астрономия, науки о земле. Труды 10-й Международной конференции Самара, 2009.

9. Квашнин А.Ю. Задача Крамерса для квантового бозе-газа с зеркально-диффузным отражение от границы. // XLVI Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии: Тезисы докладов. Секция физики. - М.: РУДН, 2010. - С. 31.

10. Квашнин А.Ю., Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача Крамерса для бозе-газа с зеркально-диффузным отражением от границы// Материалы международной научно-практической конференции Поморский государственный университет им. М.В. Ломоносова, Коряжма, 21-22 октября 2010 г. С. 431-437.

Подписано в печать: 08.12.2011 г. Бумага офсетная. Гарнитура «Times New Roman». Печать офсетная. Формат бумаги 60/84 i/ie. Усл. п.л. 1,25. _Тираж 100 экз. Заказ № 477._

Изготовлено с готового оригинал-макета в Издательстве МГОУ 105005, г.Москва, ул.Радио,д.Ю а.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Квашнин, Александр Юрьевич

Введение

1 Постановка задачи и вывод кинетического уравнения

1.1 Уравнение Больцмана и его модели.

1.2 Граничные условия.

1.2.1 Зеркальное (упругое) отражение.

1.2.2 Диффузное отражение.

1.2.3 Максвелловские граничные условия.

1.3 Изотермическое скольжение газа вдоль плоской поверхности

1.4 Нелинейное уравнение для квантовых ферми-газов

1.5 Линеаризованное уравнение для квантовых ферми-газов

1.6 Постановка задачи Крамерса с диффузными граничными условиями.

2 Задача Крамерса для квантовых ферми-газов с диффузным отражением

2.1 Собственные решения и дисперсионная функция задачи

2.1.1 Разделение переменных.

2.1.2 Собственные функции и собственные значения

2.1.3 Дисперсионная функция и ее свойства

2.2 Однородная краевая задача Римана.

2.3 Разложение решения но собственным функциям. Скорость изотермического скольжения.

2.4 Профиль массовой скорости и функция распределения в полупространстве.

3 Задача Крамерса для квантовых ферми—газов с зеркально — диффузным отражением

3.1 Формулировка граничных условий и постановка задачи

3.2 Неоднородное кинетическое уравнение.

3.3 Характеристическая система и интегральное уравнение Фредгольма

3.4 Решение задачи.

3.4.1 Нулевое приближение.

3.4.2 Первое приближение.

3.4.3 Второе приближение.

3.4.4 Высшие приближения.

3.5 Сравнение с точным решением и профиль массовой скорости.

3.5.1 Сравнение с точным решением.

3.5.2 Профиль скорости газа в полупространстве и ее значение у стенки.

4 Задачи скольжения для квантовых бозе-газов

4.1 Вывод кинетического уравнения для бозе-газов

4.2 Решение задачи Крамерса с диффузными граничными условиями.

4.2.1 Постановка задачи.

4.2.2 Аналитическое решение.

4.2.3 Функция распределения и массовая скорость

4.3 Задача Крамерса для квантового бозе-газа с зеркальнодиффузным отражением.

4.3.1 Сведение к неоднородному кинетическому уравнению

4.3.2 Интегральное уравнение Фредгольма.

4.3.3 Скорость скольжения и обсуждение результатов

Введение диссертация по физике, на тему "Задачи скольжения для квантовых газов с переменной частотой столкновений"

Объект исследования и актуальность темы. Кинетические явления в разреженных газах являются предметом исследования со времен Максвелла и Больцмана. При этом большая часть работ по данной тематике посвящена изучению поведения классических газов. Квантовые газы изучались, главным образом, в рамках рассмотрения кинетики электронов в полупроводниках и металлах, а также кинетики фононов в конденсированных средах.

Цель диссертационной работы заключается в постановке граничных задач для кинетических уравнений, описывающих квантовые ферми- и бозе-газы для случая, когда частота столкновений молекул пропорциональна модулю скорости молекул, и аналитическом решении задач об изотермическом скольжении с использованием модельного уравнения Больцмана в релаксационном приближении.

Научная новизна работы. Результаты работы относятся к теории аналитических решений граничных задач для кинетических уравнений. В диссертации получены новые результаты, связанные с аналитическим решением кинетических уравнений, описывающих поведение квантовых бозе- и ферми-газов в полупространстве. Как основной результат, в диссертации получены точные решения линеаризованных задач об изотермическом скольжении квантовых бозе-и ферми-газов вдоль плоской твердой поверхности. В качестве граничных условий используется сначала диффузное, а затем и более общее зеркально-диффузное отражение молекул газа от поверхности. Решение позволило в явном виде определить физически важные параметры: коэффициент скольжения, массовую скорость газа и функцию распределения газовых молекул.

Научная и практическая ценность работы. Проведенное исследование имеет два аспекта: методологический и прикладной. Методологическая ценность работы состоит в переносе методики решения граничной задачи для классического кинетического уравнения Больцмана в БГК — приближении, когда равновесное распределение отлично от максвелловского, на квантовый случай. Эта методика может быть полезна для решения модельных задач кинетической теории квантовых газов и жидкостей при низких температурах, теории электронного газа в металлах, теории переноса нейтронов в плотных средах (нейтронных звездах), а также в задачах теоретической астрофизики.

Отметим, но крайней мере, два направления проведенного исследования, имеющих прикладное значение:

Обзор предшествующих результатов. Рассматриваемые в диссертации задачи возникают при решении физических проблем. Динамика разреженного газа, большинство ранних исследований которой в начале прошлого века касались, в основном, либо течений с очень малой скоростью [68], либо различного рода "внутренних" течений (в трубах, соплах, насадках и т.д.), связанных с проблемами получения глубокого вакуума, претерпела в середине прошлого столетия свое второе рождение, что обусловлено было в первую очередь развитием сверхзвуковой высотной авиацией, созданием ракетно-космической техники, разработкой новых химических технологий. Этим объясняется и то пристальное внимание, которое привлекает к себе в настоящее время классическая кинетическая теория, созданная в XIX веке выдающимся австрийским физиком Людвигом Больцманом [67].

Но исторической датой возникновения кинетической теории газов следует считать 1859 год, когда Максвелл на заседании Британской ассоциации содействия развитию науки прочитал свой доклад, в котором был впервые использован статистический подход к проблеме. В 1860 году в серии из двух работ [100] Максвелл опубликовал результаты исследований, в которых установил закон распределения скоростей молекул в смеси газов (так называемое максвелловское распределение по скоростям) и закон равнораспределения средней энергии молекул в смеси газов. Эти результаты были впоследствии (в 1867 г.) уточнены и улучшены Максвеллом в работе [99], посвященной кинетической теории неоднородных газов. В ней Максвелл вывел уравнения переноса, определяющие полную скорость изменения любой средней величины, характеризующей то или иное молекулярное свойство.

В 1875 году Кундт и Варбург экспериментально доказали, что в достаточно разреженном газе молекулы "скользят" вдоль стенок. Скорость скольжения пропорциональна градиенту массовой скорости вне слоя Кнудсена. Коэффициент пропорциональности при этом называется коэффициентом изотермического скольжения. Кундт и Варбург нашли, что коэффициент изотермического скольжения оказался порядка длины свободного пробега молекул и обратно пропорционален давлению. Анализ, проведенный Максвеллом, основывался на предположении, что распределение падающих молекул вблизи стенки не отличается от распределения в прилегающем объеме газа. В действительности же молекулы газа перед тем, как удариться о поверхность, испытывают в среднем не менее одного соударения с молекулами, покидающими поверхность и имеющими (при полной аккомодации) нормальное максвелловское распределение скоростей, в отличие от того модифицированного распределения скоростей, которое характерно для объема газа при наличии градиента температуры.

Кинетическое уравнение, выведенное в 1872 году [5] австрийским физиком Людвигом Больцманом и носящее его имя, обладает громадным физическим содержанием. Для решения кинетического уравнения Больцмана в первой половине прошлого века было предложено несколько различных методов и большое число их различных вариаций.

В 1912 году Гильберт предложил метод последовательных приближений (обычный метод малого параметра), который позволил свести решение кинетического уравнения к решению рекуррентной системы линейных неоднородных интегральных уравнений. Он показал, что уравнение Больцмана эквивалентно интегральному уравнению Фредгольма второго рода, для которого оказалось возможным построить строгую математическую теорию. Таким образом, Гильберт смог доказать существование и единственность решения и установить некоторые из его свойств.

Затем в 1917 году Энског в своей докторской диссертации [89] и независимо от него Чепмен в работе [85] предложили другой метод решения уравнения Больцмана, который является некоторой модификацией метода Гильберта и который позволяет вывести как уравнение Эйлера, так и уравнение Навье-Стокса. В методе Чепмена — Энскога [25] малый параметр, но которому ведется разложение, входит в решение более сложным, вообще говоря, не аналитическим образом, поэтому при одинаковом числе членов разложения полученное решение может оказаться более точным, чем то, что было получено с использованием метода Гильберта. Хотя имеются примеры и того [25], что уравнения, полученные по методу Чепмена — Энскога, могут не иметь решения, в то время как метод Гильберта позволяет построить решение в любом приближении. Следует отметить [68], что метод, предложенный Чепменом и Энскогом, не только позволил обоснованно вывести уравнения Эйлера и Навье — Сток-са и их аналоги для релаксирующих сред, но и дал возможность установить область их применимости, снабдив их правильными начальными и граничными условиями и коэффициентами переноса.

Основная трудность, возникающая при решении задач аэродинамики разреженных газов с использованием кинетического уравнения Больцмана, заключается в сложности интеграла столкновений, стоящего в его правой части

Поэтому [9], начиная с 60-х годов XX века стал развиваться новый подход к исследованию уравнения Больцмана, суть которого состоит в следующем: используя определенные закономерности стол кновений молекул, проводят упрощение правой, интегральной части уравнения Больцмана, а полученное таким образом уравнение рассматривается как его "модель" , которая, сохраняя основные качественные особенности исходного уравнения, является в тоже время значительно более простым выражением.

Первая из статистических моделей уравнения Больцмана была предложена независимо друг от друга в работах [77], [108]. Соображения, которые привели к этой модели весьма просты [73].

А именно, поскольку больцмановский оператор столкновений представляет собой скорость стремления функции распределения к равновесной максвелловской, то можно попытаться в общих чертах представить эту скорость в виде отношения разности действительной функции и равновесной к некоторому характерному времени затухания начальных возмущений. В результате получается следующее модельное кинетическое уравнение: где /е9 - локально равновесная максвелловская функция распределения. В литературе его называют моделью БГК (Бхатнагар, Гросс, Крук), БГК - уравнением или просто релаксационным кинетическим уравнением.

История точных решений модельных кинетических уравнений начинается с 1960 года, когда Кейз в работе [78] ввел в рассмотрение метод решения уравнений переноса, состоящий в разложении решения по дискретным и сингулярным обобщенным собственным функциям соответствующего оператора переноса и нахождении коэффициентов этого разложения с помощью техники сингулярных интегральных уравнений. Этот метод стал источником точных решений, получаемых аналитически в замкнутой форме.

В 1962 году Черчиньяни в работе [79] разработал метод Кейза применительно к задачам кинетической теории, в частности, к задаче о сдвиговом течении разреженного газа при постоянной температуре (задача Крамерса). При этом, на основе аналитического решения уравнения Больцмана с оператором столкновений в форме БГК модели, была получена точная формула для вычисления коэффициента изотермического скольжения газа вдоль плоской твердой поверхности.

В работе [79] Черчиньяни решил задачу Крамерса с учетом аккомодации молекул, в [81] рассмотрел нестационарный случай и в [80] выяснил зависимость коэффициента скольжения от частоты столкновений.

Значительный вклад в метод Кейза внесли A.B. Латышев и A.A. Юшканов, в работе [29] был предложен принципиально новый математический подход, который позволяет получить точные решения линеаризованных уравнений Больцмана с оператором столкновений БГК- или эллипсоидально-статистической модели путем сведения их к интегро-дифференциальным уравнениям типа свертки. Полученные таким образом уравнения преобразованием Фурье сводятся к краевым задачам Римана — Гильберта и решаются затем методами теории функций комплексного переменного ([10],[11], [65]).

В работе A.B. Латышева и A.A. Юшканова [94] впервые был применен метод разложения решения по сингулярным собственным функциям для решения системы двух интегро-дифференциальных уравнений переноса. Значительное число аналитических решений граничных задач для различных модельных кинетических уравнений было получено в работах ([30]-[57]).

Кинетическое уравнение Больцмана было обощено на случай квантовых газов в работе [107] в 1933г. До недавнего времени квантовые ферми-газы в рамках рассмотрения кинетики электронов в полупроводниках и металлах (см., например, [14], [24]).Квантовые бозе-газы рассматривались при исследовании кинетики фононов, маг-нонов и экситонов в конденсированных средах [24]. За последнее десятилетие Латышев A.B. и Юшканов A.A. разработали методы решения классических задач кинетической теории для квантовых газов([44]-[48]). Эти методы были использованы Любимовой H.H. ([58] и [62]) и Костиковым A.A.([27] и [28]) при решении задач для квантовых газов с постоянной частотой столкновений.

Настоящая работа посвящена изучению изотермического скольжения для квантовых ферми- и бозе-газов для случая переменной частоты столкновений.

Положения, выносимые на защиту:

5. Решение задачи об изотермическом скольжении для квантовых бозе-газов с зеркально-диффузными граничными условиями вдоль плоской поверхности. Нахождение скорости изотермического скольжения.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях, таких как:

1. ежегодная научная конференция профессорско - преподавательского состава МГОУ (Москва, 2007 - 2010 гг.);

4. ХЬУ1 Всероссийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Секция физики. (Москва, РУДН 2010 г.)

5. Международная научно-практическая конференция Поморского государственного университета им. М.В. Ломоносова (Ко-ряжма, 2010 г.)

Публикации. Все представленные в диссертации результаты являются новыми. 5 статей опубликованы в изданиях, входящих в утвержденный ВАК перечень ведущих рецензируемых научных изданий, в которых должны быть размещены основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени кандидата наук.

В указанных публикациях содержатся все основные результаты диссертации.

Вклад автора в совместных работах. Результаты диссертационного исследования, касающиеся постановки задач, получены совместно с A.B. Латышевым и A.A. Юшкановым. Аналитическое решение задач, анализ полученных результатов и теоретические выводы проведены автором самостоятельно.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии. Объем работы составляет 117 страниц текста, в том числе 15 рисунков. Библиография включает в себя 110 наименований, в том числе и публикации диссертанта по теме исследования. Каждая глава разбита на параграфы, имеющие двойную нумерацию с указанием на соответствующую главу. Формулы внутри каждого параграфа также имеют двойную нумерацию, с указанием на параграф; при ссылке на формулы из другой главы используется тройная нумерация, где первым идет номер главы. Рисунки имеют двойную нумерацию с указанием на главу.

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Заключение

Настоящая диссертация посвящена аналитическому решению задачи Крамерса для квантовых ферми- и бозе-газов для случая, когда частота столкновений пропорциональна модулю скорости молекул газа.

В первой главе производится постановка задачи и вывод кинетического уравнения для квантовых ферми- и бозе- газов.

Во второй и третьей главах решены задачи для квантовых ферми-газов, при этом рассматриваются два вида граничных условий: случай чисто диффузного отражения молекул и, более общий, случай зеркально-диффузного отражения. В ходе решения получены основные макропараметры задачи, а именно массовая скорость, скорость скольжения и функция распределения газовых молекул в явном виде. При этом построены графики скоростей и функции распределения. Для случая зеркально-диффузного отражения молекул от стенки построены профили массовой скорости при различных значений химического потенциала молекул. В четвертой главе получены решения задач для квантовых бозе-газов.

Отдельно стоит отметить, что в диссертации предлагаются два подхода для решения задач в зависимости от вида граничных условий: Первый основан на разложении решения задачи по собственным решениям дискретного и непрерывного спектра. Решение, отвечающее дискретному спектру, есть сумма убывающих частных решений, которые определяются нулями дисперсионной функции, а решение, отвечающее непрерывному спектру, представляет собой интеграл по этому спектру.

Второй метод - развиваемый здесь обобщенный метод источника.

В основе предлагаемого метода лежит идея включить граничное условие на функцию распределения в виде источника в кинетическое уравнение. Сначала формулируется в полупространстве х > 0 классическая задача Крамерса об изотермическом скольжении с зеркально - диффузными граничными условиями. Затем функция распределения продолжается в сопряженное полупространство х < 0 четным образом по пространственной и но скоростной переменным. В полупространстве х < 0 также формулируется задача Крамерса.

После того как получено линеаризованное кинетическое уравнение разобьем искомую функцию (которую также будем называть функцией распределения) на два слагаемых: чеимен — энскоговскую функцию распределения На8(х,р) и вторую часть функции распределения hc(x,{i), отвечающей непрерывному спектру: h(x,ii) = ha8(x,y) + hc(x,p), as = asymptotic^ с = continuous).

В силу того, что чеимен - энскоговская функция распределения есть линейная комбинация дискретных решений исходного уравнения, функция /гс(х,ц) также является решением кинетического уравнения. Функция hc(x, р) обращается в нуль вдали от стенки. На стенке эта функция удовлетворяет зеркально - диффузному граничному условию.

Далее мы преобразуем кинетическое уравнение для функции hc(x,/i): включив в это уравнение в виде члена типа источника, лежащего в плоскости х = 0, граничное условие на стенке для функции hc(x,p). Подчеркнем, что функция hc(x,p) удовлетворяет полученному кинетическому уравнению в обеих сопряженных иолупространствах х < 0 и х > 0.

Это кинетическое уравнение мы решаем во втором и четвертом квадрантах фазовой плоскости (х, /и) как линейное дифференциальное уравнение первого порядка, считая известным массовую скорость газа ис(х). Из полученных решений находим граничные значения неизвестной функции Л-±(х, /2) при х = ±0, входящие в кинетическое уравнение.

Теперь мы разлагаем в интегралы Фурье неизвестную функцию Нс(х,/л), неизвестную массовую скорость ис{х) и дельта - функцию Дирака. Граничные значения неизвестной функции /г*(0,/л) при этом выражаются одним и тем же интегралом от спектральную плотности Е(к) массовой скорости.

Подстановка интегралов Фурье в кинетическое уравнение и выражение массовой скорости приводит к характеристической системе уравнений. Если исключить из этой системы спектральную плотность Ф(к, ¡1) функции кс(х, д), мы получим интегральное уравнение Фредгольма второго рода.

Считая градиент массовой скорости заданным, разложим неизвестную скорость скольжения, а также спектральные плотности массовой скорости и функции распределения в ряды по степеням коэффициента диффузности ц (это ряды Неймана). На этом пути мы получаем счетную систему зацепленных уравнений на коэффициенты рядов для спектральных плотностей. При этом все уравнения на коэффициенты спектральной плотности для массовой скорости имеют особенность (полюс второго порядка в нуле). Исключая эти особенности последовательно, мы построим все члены ряда для скорости скольжения, а также ряды для спектральных плотностей массовой скорости и функции распределения.

Также стоит заметить, что в явном виде построены профили маесовой скоростей газа в полупространстве и скорости скольжения газа у стенки. Впервые построены графики зависимостей коэффициента изотермического скольжения квантовых ферми-газа и бозе-газа от коэффициента диффузности q.

В заключение выражаю благодарность A.B. Латышеву и A.A. Юшканову за постановку задачи, постоянную поддержку и участие в обсуждении работы.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Квашнин, Александр Юрьевич, Москва

1. Арсенъев A.A. Лекции по кинетической теории.// A4.: Наука. 1992.

2. Баранцев Р.Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями.// М.: Наука. 1975.

3. Бобылев A.B. Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау. // М.:ИПМ им. М.В.Келдыша. 1987. 253 с.

4. Больцман Л. Лекции по теории газов. // М.: Гостехиздат. 1956.

5. Больцман Л. Избранные труды. М.: Наука, 1984. - 590с

6. Ван Кампен. Дисперсионное уравнение для волн в плазме. //Сб. статей под ред. Бернашевского Г.А. и Чернова З.С. 1961. М.: ИИЛ.360 с. (с. 57-70).

7. Веденяпин В.В. Кинетические уравнения Больцмана и Ландау. //М.:Физматлит. 2001. 111 с.

8. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики. //М.:Физматлит. 2000. 399 с.

9. Галкин B.C. О пределах применимости релаксационной модели уравнения Больцмана// Инж. журнал, 1961. Т.1. вып. 3.

10. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.// М.:Наука. 1977. 640 с.

11. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки.// М.: Наука. 1978. 296 с.

12. Гермогенова Т.А. О полноте системы собственных функций характеристического уравнения теории переноса// ИПМатем. АН СССР. Препринт №103. 1976. 55 с.

13. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Использование кинетических моделей для расчета газодинамических течений// В сб.: Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. М.:Наука. 1985.

14. Займан Дж. Электроны и фотоны.// ИЛ, 1962. 488с

15. Карлеман Т. Математические вопросы теории газов. //М.:ИЛ. 1960.

16. Кейз K.M., Цвайфель П.Ф. Линейная теория переноса.// М.:Мир. 1972. 384 с.

17. Квашнин А.Ю., Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача Крамер-са для ферми газа с зеркально-диффузным граничным условием. //Труды ин-та Системного анализа РАН "Динамика неоднородных систем". 2008. Том 32(3). С. 101- 105.

18. Квашнин А.Ю., Латышев A.B., Юшканов A.A. Изотермическое скольжение ферми-газа с зеркально-диффузным отражением от границы // Известия высших учебных заведений. Физика. 2009. Т. 52. № 12. С. 3-7.

19. Квашнин А.Ю. Изотерическое скольжение квантового бозе-газа с диффузным отражением от границы// Вестник Московского государственного областного университат Серия "Физика-математика". 2009. №3. С. 14-25.

20. Квашнин А.Ю., Латышев A.B., Юшканов A.A. Изотерическое скольжение квантового бозе-газа с зеркально-диффузным отражением от границы // Физика низких температур, 2010. Т.Зб, N 4. С. 413-417.

21. Киттель Ч. Квантовая теория твердых тел.//М.:Наука,1967.-792с

22. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. Кинетическая теория. //М.:Наука. 1967. 440 с.

23. Козырев А. В., Ситников А. Г. Испарение сферической капли в газе среднего давления // УФН. 2001. Т. 171. № 7. С. 765-774.

24. Костиков А.А, Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача Крамер-са с аккомодационными граничными условиями для квантовых ферми газов// Физика низких температур. 2008. №34 С. 914941

25. Костиков А.А, Латышев A.B., Юшканов A.A. Скачок химического потенциала при испарении ферми-газа// ЖТФ. 2009. Т. 79 С. 1-8

26. Латышев Л.Б.Применение метода Кейза к решению линеаризованного кинетического БГК уравнения в задаче о тепловом скачке// ПММ. 1990. т.54. выпуск 4. С. 581-586

27. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитические аспекты решения модельных кинетических уравнений// Теор. и матем. физика. 1990. Т.85. № (декабрь). С. 428 442.

28. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задач скольжения бинарного газа// Теор. и матем. физика. 1991. Т. 86. №3 (март). С. 402 419.

29. Латышев A.B., Юшканов A.A. Теория и точные решения задач скольжения бинарного газа вдоль плоской поверхности// Ж. выч. матем. и матем. физ. 1991. Т.31. №8. С. 1201-1210.

30. Латышев A.B., Юшканов A.A. Уравнения свертки в задаче о диффузионном скольжении бинарного газа с аккомодацией// Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 1991. №1. С. 31-37.

31. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение граничных задач для нестационарных модельных кинетических уравнений// Теор. и матем. физика. 1992. Т. 92. №1 (июль). С. 127-138.

32. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение одномерной задачи об умеренно сильном испарении (конденсации) в полупространстве// Ж. прикл. мех. и техн. физики. 1993. Т. 34. №1. С. 102-106.

33. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о сильном испарении (конденсации)// Известия РАН. Сер. МЖГ. 1993. №6. С.143-155.

34. Латышев A.B., Юшканов A.A. Тепловое и изотермическое скольжение в новом модельном кинетическом уравнении Лиу// Письма в журнал техн. физики. 1997. Т. 23. № 14. С. 13 16.

35. Латышев A.B., Юшканов A.A. Тепловое скольжение для газа с частотой столкновений, пропорциональной скорости молекул// Инженерно физический журнал. 1998. Т. 71. № 2. Март - Апрель. С. 353 - 359.

36. Латышев A.B., Юшканов A.A. Слабое испарение (конденсация) с произвольным коэффициентом испарения в газах с постоянной частотой столкновений молекул// Инженерно физический ж. 2000, март-апрель. Т. 73. №3. С. 542-549.

37. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задач скольжения с использованием нового кинетического уравнения// Письма в ЖТФ. 2000. Т. 26, вып. 23. С. 16-23.

38. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аккомодационные двухмомент-ные граничные условия в задачах о тепловом и изотермическом скольжениях// Инженерно физический журнал. 2001. Т. 74. №3. С. 63-69.

39. Латышев A.B., Юшканов A.A. Влияние свойств поверхности на скольжение газа с переменной частотой столкновений молекул// Поверхность. Рентгеновские, синхротронные и нейтронные исследования. 2001. №7. С. 79-87.

40. Латышев A.B., Юшканов A.A. Граничные задачи для квантового ферми газа// Теор. и матем. физика. 2001. Т. 129. №3. С. 491-502.

41. Латышев A.B., Юшканов A.A. Граничные задачи для квантового бозе газа// Известия вузов. Сер. Физика. 2002. № 6. С. 51-56.

42. Латышев A.B., Юшканов A.A. Моделирование кинетических процессов в квантовых бозе газах и аналитическое решение граничных задач// Матем. моделирование. 2003. №5. С. 80-94.

43. Латышев A.B., Юшканов A.A. Кинетическое уравнение для квантовых ферми газов и аналитическое решение граничных задач// Теор. м матем. физика. Т. 134. №2, февраль, 2003. С. 310-324.

44. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о скачке температуры в металле// Ж. техн. физики. 2003. Т. 73. Вып. 7. С. 37-45.

45. Латышев A.B., Юшканов A.A. Моментные граничные условия в задачах скольжения разреженного газа// Изв. РАН. Сер. МЖГ. 2004. №2. С. 193-208.

46. Латышев A.B., Юшканов A.A. Метод решения граничных задач для кинетических уравнений// Ж. выч. матем. и матем. физики. 2004. Т. 44. № 6. с. 1107-1118.

47. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение граничных задач кинетической теории. Монография. М.: Изд-во МГОУ. 2004. 286 с.

48. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о скачке концентрации при испарении бинарной газовой смеси// Письма в ЖТФ. 2004. Т. 30. Вып. 24. С. 12-19.

49. Латышев A.B., Юшканов A.A. Кинетические уравнения типа Вильямса и их точные решения. Монография. М.: Изд-во МГОУ. 2004. 271 с.

50. Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача Смолуховского для электронов в металле// Теор. и матем. физика. 2005, январь, Т. 142. № 1. С. 92-111.

51. Латышев A.B., Юшканов A.A. Метод сингулярных интегральных уравнений в граничных задачах кинетической теории// Теор. и матем. физика. 2005. Т. 143(4). № 3. 855-870. (437-454).

52. Латышев A.B., Юшканов A.A. Влияние коэффициента испарения на параметры газа вблизи поверхности// Инженерно физический журнал. 2007. Т. 80. № 1. С. 121-126.

53. Латышев A.B., Юшканов A.A. Задача Смолуховского для вырожденных Бозе газов// Теор. и матем. физика. 2008. Т. 154. № 7. С. 1- 14.

54. Латышев A.B., Любимова H.H., Юшканов A.A. Тепловое скольжение ферми-газа//Известия вузов. Серия "Физика". 2006. №7, С. 11-17.

55. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент (в математической физике, аэродинамике, теории упругости и дифракции волн). //М.: ТОО "Янус". 1995. 520 с.

56. Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Физическая кинетика. //М.: Наука, 1979.

57. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. //М.: Наука, 1973. 497 с.

58. Любимова H.H. Точное решение граничной задачи о тепловом скольжение для квантового ферми-газа. //Доклады Академии наук. 2008. Т.422 №4, С. 463-465.

59. Макашев Н. К. Кнудсеновский слой на телах с химическими реакциями на поверхности при наличии компонентов газовой смеси, не участвующих в реакции// Уч. записки ЦАГИ. 1972. Т. III. С. 56-67.

60. Марущенко Н.Б. Решение граничной задачи для кинетического уравнения БГК с несимметричными потоками// Ж. техн. физики. Т. 57. №10. С. 1887-1892.

61. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. //М.: Наука, 1968.

62. Силин В.П. Введение в кинетическую теорию. // М.:Наука, 1971.

63. Стру минский В. В. Единая кинетическая теория неоднородных газов. // Докл. АН СССР. 1993. т. 330. №5

64. Ферцигер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах.// М.: Мир, 1976.

65. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. //М.:ИЛ, 1960.

66. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. //М. : Мир, 1973.

67. Черчиньяни К. О методах решения уравнения Больцмана// Неравновесные явления: Уравнение Больцмана. М. Мир. 1986. С. 132-204.

68. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана.// М.: Мир, 1978.

69. Шахов Е.М. Метод исследования движений разреженного газа. //U.: Наука, 1974.

70. Халатников И. М. Введение в теорию сверхтекучести.// М.: Наука, 1965. 160 с.

71. Хирс Д., Паунд Г. Испарение и конденсация.// М.: Металлургия, 1966. 196 С.

72. Bardos С., Caflish R.; Nikolaenko В. The Milne and Kramers problems for the Boltzmann equation of a hard sphere gas// Comm. Pure Appl. Math. 1986. V. 39. P. 323-352.

73. Bhatnagar P.L. Gross E.M. Krook M. Model for collision processes in gases. I. Small amplitude processes in charged and neutral one component systems// Phys. Rev. 1954. V. 94. P. 511-525.

74. Case K.M. Elementary solutions of the transport equations and their applications// Ann. Phys. V.9. №1. 1960. P. 1-23.

75. Cercignani C. Elementary solutions of the linearized gas dynamics Boltzmann equation and their applications to the slip - flow problem// Ann. Phys.(USA) 1962. V. 20. №2. P. 219-233.

76. Cercignani C. The method of elementary solutions for kinetic models with velocity-dependent collision frequency// Ann. Phys. 1966. V. 40. P. 469-481.

77. Cercignani C. Sernagiotto F. The method of elementary solutions for time-dependent problems in linearized kinetic theory// Ann. Phys. 1964. V. 30. P.154-167.

78. Cercignani C. The Kramers problem for a not completely diffusing wall// J. Math. Phys. Appl. 1965. V.10. P. 568-586.

79. Cercignani CForesti P., Sernagiotto F. Dependence of the slip coefficient on the form of the collision frequency// Part 2. Nuovo Cimento. 1968. V. LV11. B. No.2. P. 297-306.

80. Cercignani C., Lampis M. Kinetic model for gas-surface ineraction// Transport Theory and Statist. Physics. 1971. V.l. P. 101-109.

81. Chapman S. On the kinetic theory of a gas; Part 2, A composite monatomic gas, diffusion viscosity and thermal conduction// Phil. Trans. Roy. Sos. London, 1917. v.217. p. 118

82. Diallo S. O. Condensate fraction and atomic kinetic energy of liquid 3He-4He mixtures // Archiv: cond-mat/0609529.

83. Frisch Н. Analytic solution of the velocity slip and diffusion - slip problems by a Cauchy integral method// Transport Theory and Statist. Physics. 1988. V. 11. №2. P. 615-633.

84. Greenberg W., Zweifel P. F. The Case eigenfunction expansion for a conservative medium// J. Math. Phys. 1976. V. 17. №2. 163-167.

85. Enskog D. Kinetische Theorie der Vorgunge in massing verdünnten Gasen. Diss. Uppsala, 1917.

86. Kvashnin A.Yu.,Latyshev A.V., Yushkanov A.A. Isothermal slip of a Fermi gas with specular-diffuse reflection from the boundary// Russian Physics Journal. Springer New York. Volume 52, Number 12 / Декабрь 2009 г., С. 1251-1257.

87. Kundt A., Warburg E. Uber Reibung und Wärmeleitung Verdünner Gase// Annalen der Physik. 1875. V. 232 (10), 177-211.

88. Kuscer /., McCormick N.J., Summerfteld G.C. Orthogonality of Case's eigenfunctions in one-speed transport theory// Ann. Phys. V.30. №4. 1964. 411-421.

89. Latyshev A. V., Yushkanov A.A. Boundary value problems for a model Boltzmann equation with frequency proportional to the molecule velocity// Fluid Dynamics.- 1996.-V.31.-№ 3. -p.454-466

90. Levin K., Qijin Chen. Finite Temperature Effects in Ultracold Fermi Gases // Archiv: cond-mat/0610006.

91. Loyalka S.K. Slip in the thermal creep flow// Phys. Fluids. 1971. V. 14. No. 1. P. 21-24.

92. Loyalka S.K. Approximative method in the kinetic theory// Phys. Fluids. 1971. V. 14. Ml. P. 2291-2294.

93. Loyalka S.K., Cipolla J.W., Jr. Thermal creep sleep with arbitrary accomodation at the surface// Phys. Fluids. 1971. V. 14. №8. P. 1656-1661.

94. Maxwell J.C. On the dynamical theory of gases// Phil. Trans. Roy. Soc. London, 1867

95. Modugno G. Fermi — Bose mixture with tunable interactions // Archiv: cond-mat/0702277.

96. Pao Y.-P. Some boundary value problems in the kinetic theory of gases// Phys. Fluids. V. 14. Ml. 1971. P. 2285-2290.

97. Siewert C.E. Kramers' problem for a variable collision frequency model// Eur. J. Appl. Math. 2000. V. 12. C. 179 189.

98. Siewert C.E., Sharipov F. Model equations in rarefied gas dynamics: Viscous-slip and thermal-slip coefficiens// Phys. Fluids. 2002. V. 14. M2. P. 4123-4129.

99. Slawny J., Zweifel P.F. A note on the singular eigenfunction method in transport theory// Transport Theory and Statist. Physics. 1988. V. 17(2&3). 283-294.

100. Sone Y. Thermal creep in rarefied gas// J. Phys. Soc. J&pan. 1966. V. 21. №9 P. 1836-1837.

101. Uehling E.A., Uhlenbeck G.E. Transport Phenomena in Einstein — Bose and Fermi — Dirac Gases// Physical Review. 1933, April, Vol. 43. P. 552 561.

102. Welander P. On the temperature jump in rarefied gas// Arkiv for Fysik. 1954. Bd. 7. № 44. P. 507-564.

103. Williams M. M. R. Boundary-value problems in the kinetic theory of gases. Part 1. Slip flows// J. Fluid. Mech. 1969. V. 36. Pt.l. P. 145-159.

104. Zweifel P.F. Completeness theorems in transport theory// Transport Theory and Statist. Physics. 1984. V. 13 (1& 2). 57-67.