Скольжение разреженного газа вдоль неподвижных и колеблющихся поверхностей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОБЛАСТНОЙ УНИВЕРСИТЕТ

И0460

ДУДКО ВЛАДИМИР ВЛАДИМИРОВИЧ

На правах рукописи

753

СКОЛЬЖЕНИЕ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА ВДОЛЬ НЕПОДВИЖНЫХ И КОЛЕБЛЮЩИХСЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Специальность: 01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 3

Москва-2010

004601753

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Московского государственного областного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Юшканов Александр Алексеевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор

Кузнецова Ирина Александровна

доктор физико-математических наук, профессор Щукин Евгений Романович

Ведущая организация: Московский государственный университет леса

Защита состоится " 13 " мая 2010 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.155.07 в Московском государственном областном университете по адресу: 105005, Москва, ул. Радио, д. 10-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного областного университета.

Электронная версия автореферата размещена на официальном сайте института: www.mgou.ru

Автореферат разослан " 12 " апреля 2010 года.

Учёный секретарь диссертационного совета . кандидат физ.- мат. наук, доцент

БарабановаН.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

В последние годы появился ряд публикаций о поведении газового потока около плоской пластины, совершающей колебания в собственной плоскости (т.н. вторая задача Стокса). Подобные потоки имеют место в микроакселерометрах, инерционных и резонансных датчиках, других микроэлектромеханических устройствах. Общим существенным недостатком этих работ является отсутствие учёта характера взаимодействия газа с поверхностью пластины, т.е. рассматривается только случай полной аккомодации тангенциального импульса молекул. Коэффициент аккомодации тангенциального импульса является величиной, зависящей от состояния поверхности. И если в «естественном» состоянии значение этой величины, как правило, близко к единице, то при специальной обработке поверхности её значение можно уменьшить многократно, а значит и существенно изменить характер взаимодействия поверхности с прилегающим газом. В условиях стремительного развития вакуумных технологий и нанотехнологий, совершенствования авиационной и космической техники весьма актуальным и целесообразным является развитие направления исследований, связанного с определением влияния характера взаимодействия молекул с поверхностью на перенос импульса в системе «газ - твёрдое тело» при произвольном разрежении газа и установлением связи физических свойств межфазной границы с макроскопическими газодинамическими параметрами.

В данной диссертации предлагаются два решения второй задачи Стокса, учитывающие весь возможный диапазон коэффициента аккомодации тангенциального импульса. Кроме того, в работе решены задачи о нахождении коэффициентов изотермического и теплового

скольжения с использованием недавно предложенного кинетического уравнения Больцмана - Алексеева.

Цель работы

Работа посвящена решению различными методами граничных задач с учётом эффекта скольжения. Ставятся следующие цели:

• описание средствами гидродинамики взаимодействия колеблющейся в собственной плоскости бесконечной поверхности с прилегающим идеальным газом с учётом явления изотермического скольжения

• описание средствами молекулярно-кинетической теории взаимодействия колеблющейся в собственной плоскости бесконечной поверхности с прилегающим идеальным газом с учётом явления изотермического скольжения

• решение задач об изотермическом и тепловом скольжении газа с использованием класса кинетических уравнений Больцмана -Алексеева.

• оценка области применимости и точности использованных методов решения

Научная новизна работы

1. Впервые получено гидродинамическое решение задачи о поведении газа вблизи поверхности, колеблющейся в собственной плоскости, в режиме со скольжением.

2. Впервые получено кинетическое решение задачи о поведении газа вблизи поверхности, колеблющейся в собственной плоскости, в режиме со скольжением.

3. Впервые рассмотрено влияние коэффициента аккомодации тангенциального импульса на поведение газа вблизи колеблющейся в своей плоскости поверхности.

4. Впервые получено решение задач об изотермическом и тепловом ■ скольжении с использованием уравнения Больцмана - Алексеева. Практическая значимость

В работе рассматривается поведение газового потока около плоской пластины, совершающей колебания в собственной плоскости в режиме со скольжением. Подобное возникающему при таком движении взаимодействие поверхности с прилегающим газом имеет место в микроакселерометрах, инерционных и резонансных датчиках, других микроэлектромеханических устройствах.

Проводится исследование влияния на взаимодействие газа с поверхностью коэффициента изотермического скольжения. От этой величины зависит сопротивление при обтекании тел, износостойкость материалов, она влияет на технико-эксплуатационные характеристики изделий, приборов и аппаратов.

Особо значимое влияние явление скольжения оказывает в случае разреженных газов, что делает его расчёт особенно важным в таких областях как проектирование авиационной и ракетно-космической техники, вакуумные технологии и нанотехнологии.

Полученные в данной работе результаты показывают диапазон применимости и результативность использования различных методов решения граничных задач. Они могут быть использованы при решении граничных задач газовой динамики, задач математического моделирования. Кроме того, в работе предложен новый подход к экспериментальному измерению коэффициента аккомодации тангенциального импульса.

Достоверность полученных результатов обеспечена использованием в работе апробированных ранее методик исследования и подтверждается совпадением результатов, полученных в диссертации при использовании различных подходов в решении одной задачи, соответствием результатов

результатам других авторов; а также их согласованностью на качественном уровне с результатами близкого по содержанию эксперимента. На защиту выносятся:

■ гидродинамическое описание поведения газа над колеблющейся поверхностью в режиме со скольжением;

■ кинематическое описание поведения газа над колеблющейся поверхностью;

■расчёт теплового и изотермического скольжение газа на основе модели Больцмана - Алексеева.

Апробация работы

По теме диссертации опубликовано 9 работ, список которых приведён в конце автореферата.

Материалы диссертации докладывались на XX международной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 2002 г), XXI международной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 2004 г.), ХХП международной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса, 2006 г.). Основные результаты диссертации обсуждались на научных конференциях и семинарах кафедры теоретической физики Московского государственного областного университета.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, списка обозначений, трёх глав, заключения, списка литературы и приложений. Диссертация содержит 20 рисунков и 5 таблиц. Общий объём диссертации 107 страниц.

. Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, приведен обзор литературы и описана структура диссертации.

В первой главе решается задача гидродинамического описания поведения газа, находящегося над бесконечной пластиной, колеблющейся в собственной плоскости.

Рассматривается задача: газ заполняет полупространство х>0 над неограниченной плоской поверхностью. Поверхность совершает гармонические колебания вдоль оси У (т. е. в своей плоскости) с частотой со. Процесс изотермический. Требуется описать поведение газа и силу, действующую на поверхность. Скорость движения поверхности описывается выражением и=м0ехр(-1аЛ).

Рис.1 Поведение газа над колеблющейся поверхностью. Для случая малых частот возможно рассмотрение задачи в гидродинамическом приближении. При этом удается получить аналитическое решение.

Используем граничное условие для скорости газа у поверхности (х=0):

и = + Ц>«Р(-«® 0 (1

где ст - коэффициент изотермического скольжения, X - средняя длина

свободного пробега молекул, определяемая равенством Л- = п|———• Здесь

У2 кТ р

Г) - динамическая вязкость газа, р - плотность газа, т - масса молекул газа, Г - температура, к- постоянная Больцмана.

Движение газа будет описываться уравнением Навье - Стокса: 55

—+ (иУ)и =—Ур+уДи, т р

где р - давление газа, V =т]/р - кинематическая вязкость.

Очевидно, что скорость газа и направлена вдоль оси У и не зависит от

у, потому (0у)5 = 0, а так как её проекция на ось X 5Х=0, то ф/&с = 0, а

значит¿э=сопй. Процесс изотермический, т.е. Т^сопЛ.

Обозначим проекцию скорости газа на ось У 5у=м. Тогда уравнение

Навье - Стокса примет вид

8и= с?и (2)

ей У дхг

Решение этого уравнения будем искать в виде:

и = и0-ехр(-кх-1О)1). (3)

Подставляя (3) в (2) получим:

. . (4)

Подставляем решение (3) в граничное условие (1): и0 = -спЯки0 +ио

и находим величину и0 =———, или, учитывая соотношение (4),

1+стЛк

и,

приходим к следующему результату: щ =-

Введём обозначения: 8 = Л|— (глубина проникновения возмущений,

V со

вызванных колебанием пластины, вглубь газа), 1=стХ!8. Амплитуду щ можно представить как и0 = ———- = и„ —

1+1(1-0 1+21+21* Из этого выражения можно найти разность фаз колебаний поверхности

и поверхностного слоя газа: ш^(и) = •

Скорость движения газа определяется выражением: ц(х,/)=-у =-ехр|--—-•*-»• »•/ч-Лвгсв/ | 1

-Л+2£+2г2 I и+Ш

Сила трения, действующая со стороны газа на единицу площади поверхности и направленная вдоль оси У, будет равна V-р-и0 1-; ___( .. м ,, .___,/ ь

5Уу ах

• ехр|^-1 • ш • Г + г • огс(£|

VI+21+ 212 V М + £

I

и 4

аг^) = агс/£|

1 у * Происходящее изотермическое скольжение вносит вклад в сдвиг фазы между скоростью поверхности и силой, действующей на неё со стороны газа. Этот эффект позволяет при проведении соответствующих экспериментов определить величины коэффициента изотермического скольжения для различных газов и поверхностей.

Коэффициент с„ зависит от характера рассеяния молекул газа на поверхности твёрдого тела, т.е. от кинетических граничных условий. Наиболее часто используются аккомодационные и зеркально-диффузные кинетические граничные условия. Дня аккомодационных граничных условий имеется аналитическое решение задачи об изотермическом скольжении для БПС-модели интеграла столкновений

_ 2 - 0.8534 <? (5)

Сп ~ >

Я

здесь д - коэффициент аккомодации тангенциального импульса.

Для коэффициента изотермического скольжения использовано выражение (5), полученное для случая аккомодационных граничных условий.

В случае когда Х«1, выражение для силы трения преобразуется к

виду: ^ = л/2^«0(1-1)-ехрН(®/+^-1)]. о 4

Поскольку данное решение получено на основе уравнения Навье -Стокса, оно будет справедливо лишь в гидродинамическом приближении, т.е. при X«8.

Во второй главе та же задача решена кинетически, что позволяет снять ограничение на частоту колебаний пластины.

Взаимодействие газа с поверхностью описывается зеркально-диффузными (максвелловскими) граничными условиями. Используем

БГК-модель уравнения Больцмана: -+(уУ/) = -(/„-/), где - - частота

3/ х т

столкновений (т - среднее время между столкновениями молекул); /„локально-равновесная максвелловская функция распределения: , 1 т 1

= и1 —— ex.pl —*— 4 " , где п - объемная концентрация молекул

\л.7ГКл у I АК1 \

газа, т - молекулярная масса, Т -температура. В линейном приближении / можно представить в виде: / = /0(1+рехр(-/й*)), где /0- распределение Максвелла.

Дальнейшей нашей задачей будет нахождение <р. Линеаризованное

уравнение БГК в скалярном виде: - гахрт + = ~гр'

В это уравнение подставляем определение массовой скорости частиц. Учтём, что весь поток частиц направлен вдоль оси У:

С учётом этого уравнение БГК принимает вид:

Введём следующие безразмерные переменные:

Тогда линеаризованное обезразмеренное уравнение БГК будет иметь вид: ~1а'<р + сх-—<р = -^~ 11 |ехр(-с12 —су-сгх)су<р<1сх(ку-(1 -а>Ч)<р где сх, су, с,- проекции скорости с молекулы на оси X, У, Ъ\

(6)

В дальнейшем штрихи усоих будем опускать: (д ^ 2с

—<р(х,сх,су) ) = -~ 11 |ехр(-с' -с*-сгх)су<р(х,сх,су)(1с^су<1с1 -(1-а>Г)<р(х,сх,су) У0* ' я'1

Это уравнение решается моментным методом. Представим функцию

распределения в виде суммы моментов:

Ф = а1(х)су + а2(х)су51&тт(сх) + а}(х)схсу + (х)схс^пит (сх)

Подставим это представление функции распределения в БГК. Получим:

= Су =а4 (х) - аг {хущпит{сх )~а3 (»с, - а4 (х)сх51^ит(сх ) + + т а, (У)1 + (Ус2 (х)и'^ит(сх )г + ю д3 + »а4 (х)схя1£?шт(сх){) Решение этого уравнения ищется в виде:

а1(х) = й,ехр(-6х), а2(х) = агехр(-Ьх), аг(х) = а}ехр(-Ьх), а4(х) = а, ехр(~&с). Уравнение (7) преобразуется в систему: 2 агЬ + -1яагЬ = -24я ¡а а1 - 2 ша4

•1яауЪ + 2 а4Ь = 2(1 -¡(о)аг+-у/я (1 - /о)а3 яа2Ь + 2*[ла$Ь = -2л/я7га а, + (я- - 2 - тг ш)а4

(7)

(8)

Будем искать ограниченные при т.е. будем предполагать, что

Ые(6)>0. Из (8) получаем уравнение четвёртой степени относительно Ь. Графики зависимости действительной части решений этого уравнения и от частоты колебаний приведёны на рис.2.

Яе(Ь) 21

_О

" 1 2

Рис.2 Значения величин Ъ для различных частот колебания стенки

Решение БГК уравнения будет иметь вид Ф=Ф;+Ф2, где Ф; и Ф^ - решения,

соответствующие ветвям этого графика.

Из системы (8) выразим а1~а3 через

2(62 +озг+Ш)

а. = —----—а. ;

4л ф1 + 2тг +Иео)

¡Ь(я- 4)

а --ь-1—а.:

2 2(^-2)(й)+0

¡Ь(Аа>2 +АЬ2 +Аш-лЬ2) — -а..

3 4к(2а? +Ь2 + Исс)(я - 2)(ш+/) Эти величины, соответствующие одному значению Ъ (ЬД назовём ац, ац, <*31\ соответствующие Ъ2-а12, а22, а32. Обозначим также аи/а41 = иц, а]/а42 = и]2, а2!/а4] = и21, а22/а42 ~ и22, а3,/а41 = щи а32/а42 = и32. Подставляя эти уравнения в нашу функцию распределения, получим: 2(Ь2+&1+ш) ¡Ь(я-4)

<Р =

4гг(Ь2 + 2азг +Ию) " 2{я-2)(<»+/) ¡'Ь(4й)2+461 + 41й>-я&2)

+ 2)(*+{)С^Пит(-С')+

схс+схсуХ1^и/п(сх) а4.

4я(2а2 +Ь2 +2/а>)(я--2)(®+/) Решением БГК будет являться линейная комбинация двух таких выражений (01 и Ф2, соответствующих ¿1 и Ы). Т.е., с учётом оговоренных обозначений: <Р = ["пс, + и21с^1^ит(сх)+и31схсу + схс^ит(сх)]а(1 + +[ипсу + и22с^пит(сх) + и12схсу + схс^пит{сх)]ап

Зеркально-диффузные граничные условия имеют вид: <р* =(1-д)<р"(-с,)+2<7ису, где <р*- функция распределения молекул, летящих от поверхности, <р'~ функция распределения молекул, летящих к поверхности, д- коэффициент аккомодации тангенциального импульса (^=1 соответствует диффузному отражению), и - безразмерная амплитуда

скорости колебаний поверхности, и = £/„

Подставляя представление функции распределения <р в плоскости х=0 в граничные условия, находим:

_ 2дII (д-дип + 2ип) Л -2дЩд-дщ,+2и}л) %

"41- ^-) "42~-^ НДС

2 ~ (дн„ +2ип-дип )(д + 2ип - дып) - (дип +2ип-дип)(д + 2и31 -ди}1) = = д2(ип - «л -ип+ип -ипип +и11и1, + «,2«31 -ип«3,) +

+ 2д(ии -ип +«з2«и -2«32«21 +2«22Из1 -«12"31) + 4«32"21 ~4ипип.

Таким образом, найдена функция распределения при заданных параметрах задачи - частоте и амплитуде колебаний поверхности, а также коэффициенте аккомодации.

Вычисление скорости газа. Очевидно, что слои газа над поверхностью совершают колебания вдоль оси У. Безразмерная скорость газа на расстоянии

х от поверхности, определяемая как а*(*)=-^-|с>рехр(-с2)^3с, после

подстановки представления функции распределения и интегрирования по

пространству скоростей, имеет вид: «*(*) = + а-*1,

2 2л/я-

где а, (ж) = а„ ехр(-й,ж)+о,2 ехр(-Ь2х), а4(х) = а4| ехр(-й,х)+ап ехр(-Ь2х).

Значения этой функции (отнесённые к амплитуде скорости колебаний стенки) для безразмерной частоты со =1 представлены на рис. 3.

Рис3. Зависимость амплитуды скорости колеблющегося газа от расстояния до поверхности при частоте ш=1 и различных значениях коэффициента аккомодации.

Из рисунка 3 видно как происходит затухание амплитуды колебаний скорости газа с увеличением расстояния от поверхности.

Из полученных результатов в пределе, когда частота колебаний со стремится к нулю, можно получить следующий результат для скорости изотермического скольжения для случая чисто диффузного граничного условия: ст=1.1518. Для уравнения Больцмана для молекул - твердых сфер коэффициент изотермического скольжения равен ет= 1.1141. Аналитическое решение модели БГК дает при этом ст=1.1466. Отсюда можно сделать вывод, что погрешность моментного метода не превышает одного процента, а погрешность БГК - модели для данного класса задач менее трех процентов.

Вычисление силы трения. При рассматриваемом колебательном движении стенки на стенку со стороны газа действует сила сопротивления,

которую в безразмерном виде можно представить как ^с.,с,рехр(-сг)^3с

Эта сила направлена вдоль оси У. Подстановка функции распределения и

„ аг (0) а3(0)

интегрирование по пространству скоростей дают:

2 л/я- 4

•0.12

0.2

0.?

Ь04

0 5

Рис.4 Зависимость модуля силы трения от частоты колебания стенки.

Рис.5 Зависимость аргумента силы трения от частоты колебания стенки.

На рис. 4 и 5 представлены зависимости модуля (отнесённого к амплитуде скорости колебаний стенки) и аргумента вычисленной таким образом силы от частоты для различных коэффициентов аккомодации. Из этих графиков видно, что при больших частотах сила выходит на константу, что совпадает с экспериментальными данными. И

Рис.6 Зависимость модуля силы трения, действующей на поверхность, от коэффициента аккомодации для различных частот колебаний, вычисленная двумя методами.

Рис.7 Зависимость аргумента силы трения, действующей на поверхность, от коэффициента аккомодации для различных частот колебаний, вычисленная двумя Методами.

Рис. 6 и 7 позволяют сравнить результаты, полученные гидродинамическим и кинетическим методами. На этих рисунках представлены графики зависимости модуля и аргумента силы от коэффициента аккомодации тангенциального импульса для трёх значений частоты колебания поверхности (обозначения см. табл.).

гидродинамическое кинетическое Кп со

решение решение

1 1' 0.05 0.0032

2 2' 0.2 0.0509

3 3' 1 1.273

Как видно из графиков, оба способа решения для низкочастотных колебаний дают одинаковый результат. С увеличением частоты колебаний погрешность аналитического решения на основе уравнений гидродинамики нарастает. Зависимость силы сопротивления от коэффициента аккомодации тангенциального импульса с ростом частоты становится ярче выражена.

В третьей главе классические задачи об изотермическом и тепловом скольжении решены с использованием класса кинетических уравнений типа Больцмана - Алексеева.

Б. В. Алексеевым предложен вариант обобщенного уравнения Больцмана, где в известное уравнение вносится поправочное слагаемое. При этом из анализа обобщенного уравнения следует, что поправка к уравнению Больцмана существенна, когда времена изменения функций распределения сравнимы со временем свободного пробега молекул, или, что аналогично, пространственный масштаб изменения функции распределения сравним с длиной свободного пробега молекул.

Автор обобщенного уравнения Больцмана ограничивается в своих работах объемными эффектами. Однако наиболее ярко отличие нового кинетического уравнения, как следует из выше сказанного, должно проявляться в граничных задачах. В диссертации рассмотрены решения классических задач об изотермическом и тепловом скольжениях с использованием уравнения типа Больцмана - Алексеева и проведен анализ зависимости результата от коэффициента П при поправочном слагаемом уравнения.

Уравнение Больцмана-Алексеева имеет вид:

& ЦХВ£\= Г' (9)

т а) о

где х - параметр уравнения, описывающий отклонение уравнения Больцмана - Алексеева от уравнения Больцмана; - больцмановский интеграл столкновений;

й 3.3 5а

— =———

Ш Ы дг ду. В работах Б.В. Алексеева предполагается, что величина/ имеет вид:

= где

Р

П = 0.8, (10)

/2- динамическая вязкость, р - давление.

В работе рассматриваются уравнения типа Б-А уравнения (9), когда параметр П (и х) может принимать произвольные значения, не обязательно совпадающие с (10).

1. Рассматриваемый газ заполняет пространство х>0, ограниченное стенкой, расположенной в плоскости х = 0. Газ неоднороден из-за градиента массовой скорости ¡Зу вдоль оси х, причем градиент стремится к константе В при *-»<», т.е. вдали от стенки профиль скорости имеет вид:

и = Вх + и,|

Здесь и 51 — скорость скольжения. Ее можно представить в виде

X - длина свободного пробега молекул газа,

с„- коэффициент изотермического скольжения, его нахождение является целью задачи.

Рассматривается стационарная задача в отсутствие поля сил. Для интеграла столкновений использована БПС-модель. Уравнение Б-А решено моментным методом, аналогичным рассмотренному в п. 2. Функция распределения представлена в виде (6). Использованы максвелловские граничные условия на функцию распределения и аналогичные им условия на производную функции распределения.

Найденная зависимость коэффициента изотермического скольжения от параметра П приведена на рис. 8.

При значении параметра П=0 получаем коэффициент изотермического скольжения, соответствующий уравнению Больцмана с„(0) = 1.0208, что практически совпадает с точным аналитическим решением ст = 1.0162.

Из рис.2 видно, что с увеличением значения параметра П функция ет(П) монотонно убывает.

Экспериментальные значения коэффициента изотермического скольжения лежат в области с„>0.9, это соответствует ограничению на параметр П<0.04.

2. Рассматриваемый газ заполняет полупространство дс > 0, ограниченное стенкой, расположенной в плоскости х = 0. Градиент температуры в направлен вдоль поверхности стенки (по оси у). Влияние стенки на распределение скоростей молекул имеет конечный радиус, поэтому на больших расстояниях от стенки функция распределения переходит в объемное распределение Чепмена - Энскога.

Тангенциальная скорость, приобретаемая потоком газа у поверхности в результате теплового скольжения:

= Кув,

где К- коэффициент скорости теплового скольжения, V- кинематическая вязкость.

Рассматривается стационарная задача в отсутствие поля сил. В качестве кинетического уравнения использовано уравнение Больцмана — Алексеева с БГК-моделью интеграла столкновений.

Уравнение Больцмана - Алексеева решено моментным методом аналогично решению, рассмотренному в гл. 2. Использована функция распределения в виде:

<Р = с,а,(*)+сузщп{сх)а2(х)+(|-с2)- суаг(*)+ (§- с2 )• «у «)' аА(х).

Значения найденного коэффициента теплового скольжения К в зависимости от параметра П приведены на рис. 9.

к

-28 /

А

/ -10

i /

О,'0001 0.001 0.01 0.1 1 Ш 100 п

Рис. 9. Зависимость коэффициента теплового скольжения от параметра П.

При значении параметра П=0 мы получаем коэффициент изотермического скольжения, соответствующий уравнению Больцмана с интегралом столкновений в форме БГК К(0)=1.17, что совпадает с известным значением. С увеличением значения параметра П функция К(П) монотонно стремится к величине 21.27.

Имеющиеся экспериментальные данные ограничивают диапазон возможных значений величины К диапазоном К<2. Это соответствует ограничению возможных значений величины П<0.01

В приложениях приводятся программы, позволяющие проводить расчёты и строить графики к решенным в диссертации задачам для других значений параметров задачи.

Основные результаты и выводы 1. Гидродинамически решена задача описания поведения газа, находящегося над бесконечной пластиной, колеблющейся в собственной плоскости с учётом изотермического скольжения. Получены аналитические выражения для скорости газа над поверхностью пластины и для силы трения, действующей на поверхность со стороны газа.

2. Предложен новый подход экспериментального измерения коэффициента аккомодации тангенциального импульса посредством нахождения характеристик силы трения.

3. Кинетически с использованием метода моментов решена задача описания поведения газа, находящегося над бесконечной пластиной, колеблющейся в собственной плоскости. Найдены зависимости скорости потоков газа от расстояния до поверхности; скорости газа и силы трения от коэффициента аккомодации тангенциального импульса поверхности и частоты её колебаний.

4. Проведено сравнение результатов, полученных двумя упомянутыми способами, между собой, а также с результатами других авторов. Показано, что при малых частотах колебания поверхности оба метода решений приводят к одинаковым результатам. С увеличением частот колебаний погрешность гидродинамического расчёта нарастает. Дана оценка точности кинетического решения.

5. Решены задачи об изотермическом и тепловом скольжении с использованием уравнения Больцмана - Алексеева, сделаны выводы о возможных значениях поправочного коэффициента в уравнении Больцмана - Алексеева для граничных задач.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Дудко В.В., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Вычисление скорости изотермического скольжения с использованием кинетического уравнения типа Больцмана - Алексеева Деп. в ВИНИТИ, Ks 566-В2002.

2. Дудко В.В., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Вычисление скорости теплового скольжения с использованием кинетического уравнения типа Больцмана - Алексеева. Деп. в ВИНИТИ, № 2162-В2002.

3. Дудко В.В., Яламов Ю.И. Вычисление скорости изотермического скольжения с использованием кинетического уравнения типа Больцмана - Алексеева. // Дисперсные системы. XX конференция стран СНГ. Тезисы докладов. Одесса. 2002. С. 99-100.

4. Дудко В.В., Яламов ЮЛ Вычисление скорости теплового скольжения с использованием кинетического уравнения типа Больцмана-Алексеева. // Кинетическая теория и динамика разреженных газов. Материалы Всероссийского семинара. Новосибирск. 2002. С. 54-55.

5. Дудко В.В., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Колебания поверхности в вязком газе в режиме со скольжением. // Д исперсные системы. XXI конференция стран СНГ. Тезисы докладов. Одесса. 2004. С. 106-107.

6. Дудко В.В., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Генерация сдвиговых волн под воздействием колеблющейся поверхности. // Материалы четырнадцатой международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2005). Алушта. 2005. С. 169.

7. Дудко В.В., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Колебания поверхности в газе в режиме со скольжением. // Дисперсные системы. XXII конференция стран СНГ. Тезисы докладов. Одесса. 2006. С. 129130.

8. Дудко В.В., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Влияние свойств поверхности на характеристики сдвиговых волн, // ЖТФ. 2005. Т. 75. Вып. 4. С. 134-135.

9. Дудко В.В., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Генерация колеблющейся поверхностью сдвиговых волн в газе. // ТВТ. 2009. Т. 47. №2. С. 262-268.

Подписано в печать: 08.04. 2010 г. Бумага офсетная. Гарнитура «Times New Roman». Печать офсетная. Формат бумаги 60/84 те. Усл. п.л. 1,5.

_Тираж 100 экз. Заказ № 32.__

Изготовлено с готового оригинал-макета в Издательстве МГОУ. 105005, г. Москва, ул. Радио, д. 10-а

Введение

Список обозначений

Глава 1. Поведение газа над поверхностью, колеблющейся в собственной плоскости. Гидродинамическое описание

§1.1. Постановка задачи ^

§1.2. Об изотермическом скольжении

§1.3. Аналитическое решение

Глава 2. Поведение газа над поверхностью, колеблющейся в собственной плоскости. Кинетическое описание (решение методом моментов)

§2.1. Нахождение функции распределения

§2.2. Вычисление скорости газа

§2.3. Вычисление силы трения при колебательном движении поверхности

§2.4. Сопоставление и анализ результатов

Глава 3. Граничные задачи в газе с использованием уравнения Больцмана — Алексеева

§3.1. Об уравнении Больцмана — Алексеева

§3.2. Вычисление скорости изотермического скольжения с использованием кинетического уравнения типа Больцмана — Алексеева

§3.3. Вычисление скорости теплового скольжения с использованием кинетического уравнения типа Больцмана - Алексеева

Актуальность диссертации

Создание летающих и плавающих аппаратов, прочих устройств с колеблющимися рабочими органами имеет уже более чем столетнюю историю. Несмотря на существующие в этой области достижения потенциал развития в этом направлении огромен.

Для исследования колебаний в жидкости и воздухе применяются уравнения Навье — Стокса или Эйлера. Они дают хорошо совпадающие с экспериментом результаты для многих задач. Однако их диапазон применимости ограничен: они не дают даже качественных решений для описания динамики полета и плавания, совпадающих с динамическими характеристиками реальных животных, не дают решений (совпадающих с наблюдаемыми при эксперименте) для течений при изменении амплитуд колебаний в широком диапазоне.

Одной из причин, ограничивающих применимость существующих методов динамики жидкости и газа, является недостаточный учёт характера взаимодействия среды с поверхностью. Также развитие в решении подобных задач, особенно методами кинетической теории, сдерживалось сложностью математических расчётов.

Большое значение имеет изучение поверхностных явлений на границе «газ — твёрдое тело». Физические процессы на границе «газ - твёрдое тело» в случае разреженного газа оказывают существенное влияние на поток протекающей вдоль поверхности массы. И чем более разрежен газ, тем существенней влияние этих процессов на газодинамические характеристики системы (проводимость каналов, сопротивление при обтекании тел).

Важнейшей экспериментально измеряемой величиной, описывающей обмен импульсом между поверхностью твёрдого тела и газом, является коэффициент аккомодации тангенциального импульса. Использование этой величины в граничных условиях для функции распределения позволяет достаточно полно учесть особенности взаимодействия в такой системе [1].

Первое качественное наблюдение влияния взаимодействия молекул с поверхностью при течении газов в каналах было проведено еще в XIX веке. В 1875 г. немецкие физики А. Кундт и Э. Варбург заметили, что поток газов через трубу при очень низком давлении существенно выше, чем предсказывает формула Пуазейля (которая описывает течение вязкой жидкости в канале при условии равенства нулю скорости на стенке). Они определили этот эффект как «скольжение» на границе газ — твердое тело [2— 4]. В начале XX века русский физик А.К. Тимирязев установил, что величина этого скольжения прямо пропорциональна длине свободного пробега молекул газа.

Теоретический анализ явления скольжения, возникающего при течении газа вдоль твёрдой поверхности, впервые был проведён английским физиком Дж. Максвеллом [5]. Максвелл в 1879 г. предположил, что это скольжение могло быть результатом того, что имеется некоторая доля молекул q, которые падают на поверхность, приходят в тепловое равновесие с ней и испаряются с поверхности диффузно, в то время, как доля молекул (1 —q) отражается от поверхности зеркально с "перевёрнутой" нормальной составляющей импульса. Более детальное рассмотрение ситуации показывает, что даже в случае полностью диффузного отражения молекул от стенки профиль скорости газа в канале не соответствует решению уравнения Навье — Стокса. Поэтому для описания подобных явлений требуется решение уравнения Больцмана с заданными истинными кинетическими условиями на стенке [6]. Максвелл исходил из предположения о том, что функция распределения движущихся к стенке молекул газа вблизи поверхности не отличается от распределения газа вдали от стенки.

Предположение Максвелла огрубляет истинную картину распределения молекул газа по скоростям вблизи стенки, что приводит к большой погрешности в вычислении скорости скольжения. В действительности на расстоянии от поверхности порядка длины свободного пробега молекул газа (в слое Кнудсена) функция распределения падающих на стенку молекул будет отличаться от функции распределения в объёме газа вследствие столкновения с отраженными от стенки молекулами.

Корректное описание течения газа вблизи поверхности должно опираться на решение кинетического уравнения Больцмана. Решения кинетического уравнения Больцмана и его моделей были глубоко изучены в течение последних десятилетий (напр. [7—24]). При этом наибольшее внимание уделялось стационарным граничным задачам с неподвижной поверхностью. Задачи о периодических процессах оказались менее изучены. Некоторые аналитические решения для одномерных, зависящих от времени потоков в предположении, что взаимодействие газа с поверхностью носит чисто диффузный характер, были получены К. Черчиньяни [7, 25]. Задача Куэтта была изучена в численной форме [26, 27] прямым моделированием с использованием метода Монте-Карло.

Точные решения задачи по описанию течения газа вблизи поверхности [7, 22—24, 28-38] известны только для модельных форм интеграла столкновений. В качестве основного приближенного метода вычисления скорости скольжения газа используется метод полупространственных моментов [8, 39—56].

Метод полупространственных моментов состоит в том, что отклонение функции распределения в слое Кнудсена от функции распределения в объёме раскладывается в ряд по полупространственным полиномам скорости. Коэффициенты разложения являются функциями расстояния от поверхности, которые определяются из решения моментных уравнений. Для составления последних уравнение Больцмана умножают на соответствующие полиномы скорости и интегрируют по всему пространству скоростей. В качестве граничных кинетических условий используется закон отражения молекул газа от поверхности. Традиционная процедура метода полупространственных моментов допускает использование только максвелловских условий зеркально-диффузного отражения молекул газа от поверхности.

Впервые задача о поведении газа над стенкой, колеблющейся в своей плоскости, была рассмотрена английским физиком и математиком Дж. Г. Стоксом [57]. Задача решалась гидродинамическим методом без учёта эффекта скольжения. Обычно такую задачу называют второй задачей Стокса [58-64].

В последние годы на тему этой задачи появился ряд публикаций. В работе [58] рассматривается бесконечная колеблющаяся поверхность. Задача рассматривается для любых частот колебания поверхности. Из кинетического уравнения Бхатнагара — Гросса - Крука (БГК) получено уравнение типа гидродинамического. Рассматриваются гидродинамические граничные условия. Вводится коэффициент, связывающий скорость газа на поверхности со скоростью поверхности. Изотермическое скольжение не учитывается. Получен вид графика зависимости силы трения на поверхности от частоты колебаний поверхности. Показано, что в случае высокочастотных колебаний сила трения, действующая на поверхность, не зависит от частоты.

В работе [65] получены коэффициенты вязкостного и теплового скольжения с использованием различных модельных уравнений. Использованы как максвелловские граничные условия, так и граничные условия Черчиньяни — Ламписа

Наиболее близкая к решенной в первой и второй главах данной диссертации задача решена в статье [66]: рассматривается газовый поток над бесконечной пластиной, совершающей гармонические колебания в собственной плоскости. Найдена скорость газа над поверхностью и сила, действующая на поверхность со стороны газа. Для случая низких частот задача решена на основе уравнения Навье — Стокса. Изотермическое скольжение не учитывалось. Для произвольных скоростей колебаний поверхности задача решена численными методами на основе кинетического уравнения Больцмана с интегралом столкновений в форме БГК. При этом рассматривался только случай чисто диффузного отражения молекул от поверхности. Дано аналитическое решение для случая колебаний высокой частоты. И в этом случае рассматривается только чисто диффузное отражение молекул от поверхности. В конце второй главы будет проведено сопоставление результатов, полученных в статье [66] с результатами, полученными в данной диссертации.

Работа [67] является экспериментальным исследованием. Изучается поток газа, создаваемый механическим резонатором при различных частотах колебания резонатора. Эксперименты показывают, что при низких частотах колебаний резонатора, действующая на него со стороны газа сила трения прямо пропорциональна частоте колебания резонатора. При высоких частотах колебания резонатора (~108 Гц) действующая на него сила трения от частоты колебаний не зависит.

В последнее время задача о колебаниях плоской поверхности в собственной плоскости изучается и для случая неньютоновских жидкостей [62, 63].

В статье [68] рассматривается пример практического применения колебательной системы, подобной рассматриваемой во второй задаче Стокса, в области нанотехнологий.

Общим существенным недостатком всех упомянутых теоретических работ по решению второй задачи Стокса является отсутствие учёта характера взаимодействия с поверхностью, т.е. рассматривается только случай полной аккомодации тангенциального импульса. Коэффициент аккомодации тангенциального импульса является величиной, зависящей от состояния поверхности. И если в «естественном» состоянии значение этой величины как правило близко к единице, то при специальной обработке поверхности её значение можно уменьшить многократно [69], а значит и существенно изменить характер взаимодействия поверхности с прилегающим газом. В условиях стремительного развития вакуумных технологий и нанотехнологий, совершенствования авиационной и космической техники весьма актуальным и целесообразным является развитие направления исследований, связанного с определением влияния взаимодействия молекул с поверхностью на перенос импульса в системе «газ — твёрдое тело» при произвольном разрежении газа и установлением связи физических свойств межфазной границы с макроскопическими газодинамическими параметрами.

В данной диссертации предлагаются два решения второй задачи Стокса, учитывающие весь возможный диапазон коэффициента аккомодации тангенциального импульса.

В работах [70—77] выдвинута и развивается гипотеза о необходимости внесения в уравнение Больцмана поправки, отвечающей за изменения функции распределения на малых масштабах времени. В третьей главе диссертации будет рассмотрена возможность использования подобных уравнений к решению задач скольжения.

Актуальность выбранной темы подчёркивают появившиеся в последнее время научные публикации, как теоретические [58, 65, 66, 70-81], так и экспериментальные исследования [67, 82], а также технические разработки [83].

Цель работы

Работа посвящена решению граничных задач скольжения различными методами и анализу эффективности применения этих методов к задачам данного рода. Ставятся следующие цели:

• описание средствами гидродинамики взаимодействия колеблющейся в собственной плоскости бесконечной поверхности с прилегающим идеальным газом с учётом явления изотермического скольжения

• описание средствами молекулярно-кинетической теории взаимодействия колеблющейся в собственной плоскости бесконечной поверхности с прилегающим идеальным газом с учётом явления изотермического скольжения

• решение задач об изотермическом и тепловом скольжении газа с использованием класса кинетических уравнений типа Больцмана — Алексеева

• анализ области применимости и точности использованных методов решения

Научная новизна работы

1. Впервые получено гидродинамическое решение задачи о поведении газа вблизи поверхности, колеблющейся в собственной плоскости, в режиме со скольжением.

2. Впервые получено кинетическое решение задачи о поведении газа вблизи поверхности, колеблющейся в собственной плоскости, в режиме со скольжением.

3. Впервые рассмотрено влияние коэффициента аккомодации тангенциального импульса на поведение газа вблизи колеблющейся в своей плоскости поверхности.

4. Впервые получено решение задач об изотермическом и тепловом скольжении с использованием уравнения Больцмана — Алексеева.

Практическая значимость В работе рассматривается поведение газового потока около плоской пластины, совершающей колебания в собственной плоскости в режиме со скольжением. Подобное возникающему при таком движении взаимодействие поверхности с прилегающим газом имеет место в микроакселерометрах, инерционных и резонансных датчиках, других микроэлектромеханических устройствах.

Проводится исследование влияния на взаимодействие газа с поверхностью коэффициента изотермического скольжения. От этой величины зависит сопротивление при обтекании тел, износостойкость материалов, она влияет на технико-эксплуатационные характеристики изделий, приборов и аппаратов.

Особо значимое влияние явление скольжения оказывает в случае разреженных газов, что делает его расчёт особенно важным в таких областях как проектирование авиационной и ракетно-космической техники, вакуумных технологий и нанотехнологий.

Полученные в данной работе результаты показывают диапазон применимости и результативность использования различных методов решения граничных задач. Они могут быть использованы при решении граничных задач газовой динамики, задач математического моделирования. А с учётом того, что коэффициент изотермического скольжения является экспериментально определяемой величиной — при проведении экспериментальных исследований взаимодействия колеблющейся поверхности с прилегающим газом.

Достоверность

Достоверность полученных результатов обеспечена использованием в работе апробированных ранее методик исследования и подтверждается совпадением результатов, полученных в диссертации при использовании различных подходов в решении одной задачи, соответствием результатов результатам других авторов, а также их согласованностью на качественном уровне с результатами близкого по содержанию эксперимента.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Гидродинамическое описание поведения газа над колеблющейся поверхностью в режиме со скольжением.

2. Кинетическое описание поведения газа над колеблющейся поверхностью.

3. Тепловое и изотермическое скольжение газа в модели Больцмана —

Алексеева.

Апробация работы

По теме диссертации опубликованы работы [84—92].

Материалы диссертации докладывались на международной конференции стран СНГ «Дисперсные системы» (Одесса 2002г., 2004г., 2006г.), Всероссийском семинаре «Кинетическая теория и динамика разреженных газов» (Новосибирск, 2002г.), Международной конференции по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС-2005). Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры теоретической физики Московского государственного областного университета.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, списка обозначений, трёх глав, заключения, списка литературы и приложений. Диссертация содержит 20 рисунков и 5 таблиц. Общий объём диссертации 107 страниц.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первой главе на основе гидродинамики решена задача описания поведения газа, находящегося над бесконечной пластиной, колеблющейся в собственной плоскости. Учтено изотермическое скольжение газа.

Получены аналитические выражения для скорости движения газа вдоль поверхности, для разности фаз колебаний поверхности и поверхностного слоя газа, а также для модуля и аргумента силы трения, действующей на единицу площади поверхности.

Предложен новый подход экспериментального измерения коэффициента аккомодации тангенциального импульса посредством нахождения характеристик силы.

Во второй главе та же задача решена кинетически. Кинетический подход позволил снять ограничение на рассматриваемую частоту колебаний пластины. Использованы максвелловские зеркально-диффузные граничные условия. В качестве кинетического уравнения использована БГК-модель уравнения Больцмана. Уравнение решено методом полупространственных моментов.

Найдены зависимости скорости движения газа вдоль поверхности, разности фаз колебаний поверхности и поверхностного слоя газа,, а также модуля и аргумента силы трения, действующей на единицу площади поверхности от частоты колебания поверхности и коэффициента аккомодации тангенциального импульса; зависимость скорости колебания газа от расстояния до поверхности. Построены соответствующие графики.

Проведено сравнение результатов, полученных в гл. 1 и гл. 2., а также с результатами, полученными в работе [66]. Показано, что оба полученных решения задачи в случае низкочастотных колебаний дают одинаковый результат. С увеличением частоты колебаний погрешность аналитического решения на основе уравнений гидродинамики нарастает. Зависимость силы сопротивления от коэффициента аккомодации тангенциального импульса с ростом частоты возрастает.

В третьей главе классические задачи об изотермическом и тепловом скольжении решены с использованием кинетического уравнения типа Больцмана — Алексеева. Кинетическое уравнение решено методом моментов. Использованы максвелловские зеркально-диффузные граничные условия на функцию распределения и аналогичные им условия на производную функции распределения.

Найдена зависимость коэффициентов теплового и изотермического скольжения от параметра в поправочном слагаемом кинетического уравнения. Проведено сравнение с экспериментальными данными. Найдена величина допустимых значений коэффициента при поправочном слагаемом.

Автор диссертации выражает огромную благодарность своему научному руководителю — доктору физико-математических наук, профессору Александру Алексеевичу Юшканову.

1. Борисов С.Ф., Балахонов Н.Ф., Губанов В.А. Взаимодействие газов с поверхностью твёрдых тел. М: Наука, 1988, 200 с.

2. Kundt A.D., Warburg Е. Veber Reibung und Warmeleitung verdunnerter Gase // Pogg. Ann. Der phys. Chem. B. 1875. Bd. 155. S. 525-550.

3. Борисов В.П. Вакуум: от натурфилософии до диффузионного насоса. М: НПК "Интелвак", 2001, 144 с.

4. Борисов С.Ф., Герасимова О.Е. Межфазная граница газ-твердое тело: структура, модели, методы исследования. Учебное пособие. Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. ун-та, 2006, 153 с.

5. The scientific papers of J. С. Maxwell, New York, Dover, 1965.

6. Коган M.H. Динамика разреженного газа. М.: Наука, 1967, 440 стр.

7. Черчинъяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана М.: Мир, 1978, 495 с.

8. Дерягин Б.В., Ивченко И.Н., Яламов Ю.И. О построении решений кинетического уравнения Больцмана в слое Кнудсена. // Изв. АН СССР МЖГ, 1968, № 4, с. 167-172.

9. Боголюбов Н.Н. Микроскопические решения уравнения Больцмана-Энскога в кинетической теории для упругих шаров. ТМФ, 1975, т.24, №2, с. 242-247.

10. Бобылев А.В. Асимптотические свойства решений уравнения Больцмана. ДАН СССР, 1981, т.261, №5, с. 1099-1104.

11. Веденяпин В.В. Анизотропные решения нелинейного уравнения Больцмана для максвелловских молекул. — ДАН СССР, 1981, т. 256, № 2, с. 338-342.

12. Бобылев А.В. Точные решения нелинейного уравнения Больцмана и теория релаксации максвелловского газа. — ТМФ, 1984, т. 60, № 2, с. 280-310.

13. Маслова Н.Б. О решении уравнения Больцмана для случая пространственно-однородного газа из максвелловских молекул. — Вестник ЛГУ, 1968, №13, с. 88-95.

14. Маслова Н.Б. Стационарные решения линеаризованного уравнения Больцмана. Труды МИАН им. В.А. Стеклова, 1983, т. 159, с. 41-59.

15. Grunbaum F.A. Linearization for the Boltzmann Equation. — Trans. Amer. Math. Soc., 1972, v. 165, p. 425-449.

16. Cornille H, Gervois A., Protopopescu V. Closed Similarity Solutions for a Class of Stationary Nonlinear Boltzmann-like Equation. — J. Phys. A.: Math. Gen., 1983, v.16, L343-L350.

17. Ernst M.H. Exact Solutions of the Nonlinear Boltzmann Equation. J. Stat. Phys., 1984, v.34, № 5/6, 1001-1017.

18. Веденяпин B.B. Кинетические уравнения Больцмана и Власова. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 112 с.

19. Черемисин Ф.Г. Решение кинетического уравнения Больцмана для высокоскоростных течений // ЖВМ и МФ. Т. 46 № 2, с.329-343. 2006.

20. В.В.Веденяпин, И.В.Мингалев, О.В.Мингалев. О дискретных моделях квантового уравнения Больцмана // Математ. сборник. 1993. Т. 186. № 8. С. 31-43.

21. А. В. Латышев, А. А. Юшканов, Аналитическое решение модельного БГК-уравнения Больцмана в задаче о температурном скачке с учетом аккомодации энергии // Математическое моделирование, Т. 4, №10, 1992, с. 41—46.

22. А.В.Латышев, А. А. Юшканов, Аналитическое решение граничных задач кинетической теории. М.: МГОУ, 2004,286с.

23. Попов В.Н. Аналитическое решение модельного кинетического уравнения с переменной частотой столкновений на примере обтекания цилиндрической поверхности. // Письма в ЖТФ, 2003, Т.29, вып. 3, С. 33-39.

24. Cercignani, С., and Sernagiotto, F., The method of elementary solution for time-dependent problems in linearized kinetic theory. Annals of Physics, 30, 154—167 (1964).

25. J.H. Park, P. Bahukudumbi and A. Beskok, Rarefaction effects on shear driven oscillatory gas flows: a direct simulation Monte Carlo study in the entire Knudsen regime, Phys Fluids 16 (2004), pp. 317—330.

26. Baker, L.L., Hadjiconstantinou, N.G. Variance Reduction for Monte Carlo Solutions of the Boltzmann Equation. Physics of Fluids, 17, 051703, 1-4, 2005.

27. Sone Y. Kinetic theory analysis of Linearized Rayleigh Problem // J. Phys. Soc. Japan, 1964, V. 19, № 8 P.1463-1473.

28. SoneY. Effect of Sudden Change of Wall Temperature in Rarefied Gas // J. Phys. Soc. Japan, 1965, V. 20, № 2 P. 222-229.

29. Tamada K. Sone Y. Some Studies on Rarefied Gas Flows // J. Phys. Soc. Japan, 1966, V. 21, № 7 P. 1439-1445.

30. Sone Y. Some Remarks on Knudsen Layer // J. Phys. Soc. Japan, 1966, V. 21, №9 P. 1620-1621.

31. Sone Y. Thermal Creep in Rarefied Gas I I J. Phys. Soc. Japan, 1966, V. 21, №9 P. 1836-1837.

32. Sone Y. A note on Thermal Creep in Rarefied Gas // J. Phys. Soc. Japan; 1970, V. 29, №6 P. 1655.

33. Sone Y. Yamamoto K. Flow of Rarefied Gas through a circular Pipe // Phys. Fluids. 1968, V. 11, № 8, P. 1672-1678.

34. Яламов Ю.И., Ивченко И.Н. Дерягин Б.В. Расчет скорости диффузионного скольжения бинарной газовой смеси // ДАН СССР, 1968, Т. 180, № 2, С. 330-333.

35. Абрамов Ю.Ю. Гладуги Г.Г. Течение разреженного газа вблизи неоднородной нагретой поверхности. // Изв. АН СССР МЖГ, 1970, №2, С. 20-29.

36. Ивченко И.Н., Яламов Ю.И. Тепловое скольжение неоднородно нагретого газа вдоль твёрдой плоской поверхности // Изв. АН СССР МЖГ, 1969, № 6, С. 59-66.

37. Шень Цин. О скорости диффузионного скольжения бинарной газовой смеси //ЖТФ, 1986, Т. 56, В. 8, С. 1508-1512.

38. Ивченко И.Н., Яламов Ю.И. Кинетическая теория течения газа, находящегося над твёрдой стенкой в поле градиента скорости // Изв. АН СССР МЖГ, 1968, № 6, С. 139-143.

39. Gross Е.Р., Jackson Е.А., Ziering S. Boundary value problems in kinetic theory of gases. // Ann. Phys., 1957, v. 1, № 2, 141 167.

40. Gross E.P., Ziering S. Kinetic theory of linear shear flow. // Phys. Fluids, 1958, v. 1,№ 3,215 -224.

41. Ивченко И.Н. Применение методов математической теории неоднородных газов к явлениям термо- и диффузиофореза аэрозольных частиц: Дис.канд. физ-мат наук, М., 1969, 129 с.

42. Баканов С.П., Дерягин Б.В. К вопросу о состоянии газа, движущегося вблизи твёрдой поверхности // ДАН СССР, 1961, Т.139, №1, С.71-74.

43. Дерягин Б.В., Яламов Ю.И, Ивченко И.Н. Применение метода Бхатнагара Гросса и Крука для определения скорости теплового скольжения вблизи твёрдой поверхности // ДАН СССР, 1967, Т. 173, №6, С. 1287-1290:

44. Яламов Ю.И, Ивченко И.Н., Дерягин Б.В. Функция распределения газовых молекул по скоростям вблизи твёрдой стенки // ДАН СССР, 1967, Т. 175, № 3, С. 549-552.

45. Яламов Ю.И, Барсегян О.А., Юшканов А.А. К вопросу о зависимости от числа Кнудсена скорости термофореза умеренно крупных нелетучих частиц // Журн.Физ.Хим., 1974, Т.48, № 9, С. 2393.

46. Яламов Ю.И., Барсегян О.А., Юшканов А.А. Вычисление скорости теплового скольжения газа вдоль сферической поверхности газа и ее влияние на скорости термофореза // Физика аэродисперсных систем и физическая кинетика. Калинин, 1975, С. 11—36.

47. Yalamov Yu.I., Yushkanov А.А. Theory of Thermal Slip Along the Spherical Surface of a Binaiy Mixture of Gases // Phys. Fluids, 1977, V.20, № 11, P. 1805-1809.

48. Пастернак B.E., Сенкевич A.A., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Изотермическое скольжение газа умеренной плотности вдоль плоской поверхности // ИФЖ, Т.48, № 11, С. 2412-2415.

49. Пастернак В.Е., Сенкевич А.А., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Тепловое скольжение умеренно плотного газа вдоль плоской поверхности // ИФЖ, Т.38, № 2, С. 273-277.

50. Яламов Ю.И, Поддоскин А.Б., Юшканов А.А. О Граничных условиях при обтекании неоднородно нагретым газом сферической поверхности малой кривизны // ДАН СССР, 1980, Т. 254, № 2, С. 343-346.

51. Поддоскин А.Б., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. К вопросу о термофорезе умеренно крупных аэрозольных частиц // ЖТФ, 1980, Т. 50, № 1, С. 158161.

52. Поддоскин А.Б., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Теория термофореза умеренно крупных аэрозольных частиц. // ЖТФ, 1982, Т. 52, № 11, С. 2253-2261.

53. Поддоскин А.Б. Газокинетические методы в динамике умеренно крупных аэрозольный частиц // Дисс. канд. Физ-мат. Наук М., 1982, 120 с.

54. Поддоскин А.Б., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. К теории термофореза жидких нелетучих аэрозольных частиц // Письма в ЖТФ, 1982, Т. 8, № 23, С. 1438-1442.

55. Soga Т. A. Kinetic analysis of thermal force on a spherical particle of high thermal conductivity in a monoatomic gas // Phys. Fluids, 1986, V.29, №4, P. 976-985.

56. Stokes G. G., On the effect of internal friction of fluids on the motion of pendulums. Trans. Cambr. Phil. IX, 8 A851), Math, and Phys. Papers Ш, 1— 141, Cambridge, 1901.

57. Yakhot V., Colosqui C. Viscoelastic-Elastic Transition in the "Stokes' Second Problem" in a High Frequency Limit. // arXiv:nlin.CD/0609061

58. Абрашкин А.А., Якубович E. И. Вихревая динамика в лагранжевом описании. ФИЗМАТЛИТ; 2006 г.; 175 стр

59. ШлихтингГ. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974, 712с.

60. S. Asghar, S. Nadeem, К. Hanif, Т. Hayat, Analytic solution of Stokes second problem for second grade fluid, Math. Probl. Eng. V. 2006, Article ID 72468, 8 p.

61. Ai L., Vafai K. An Investigation of Stokes' Second Problem for Non-Newtonian Fluids //Numerical Heat Transfer, Part A: Applications, V. 47, 2005, P. 955 980

62. M Khan, Asia Anjum, C. Fetecau. On exact solutions of Stokes second problem for a Burgers' fluid, I. The case у < Я2/4 // J. Appl. Math, and Phys. (ZAMP). Published online: 26 August 2009.

63. Graebel W.P. Engineering Fluid Mechanics. New York, Taylor & Francis, 2001,676 p.

64. Siewert C.E., Sharipov F. Model equations in rarefied gas dynamics: viscous-slip and thermal-slip coefficients. // Phys. Fluids. 2002. V.14, №12, 41234129

65. Karabacak D. M, Yakhot V., and K. L. Ekinci K. L., High-Frequency Nanofluidics: An Experimental Study using Nanomechanical Resonators, Phys. Rev. Lett. 98, 254505, 2007.

66. Cleland A. N., Roukes M. L. Ananometre-scale mechanical electrometer // Nature, vol. 392, 1998, p. 160-162.

67. Алексеев Б.В. Обобщенная больцмановская физическая кинетика М.: МИТХТ им. М.В. Ломоносова, 1997.

68. Алексеев Б.В. К теории обобщенного кинетического уравнения Больцмана. Теплофизика высоких температур, 1993. Т. 31, №4 с. 626635

69. Алексеев Б.В. Обобщенная больцмановская физическая кинетика. Обзор // ТВТ. 1997. Т.35. №1. С. 129.

70. Алексеев Б.В. Физические основы обобщенной больцмановской кинетической теории газов. Успехи физических наук, 2000. Т. 170, №6 с. 649-679.

71. Boris V. Alexeev Generalized Theory of Landau Damping // arXiv: 0807.5007v 1 cond-mat.stat-mech.

72. Alexeev В. V. Generalized Boltzmann Physical Kinetics. Elsevier, 2004.

73. Alexeev B.V. Generalized Boltzmann Physical Kinetics. // arXiv: 0709.0033 1 Sep. 2007.

74. Алексеев Б.В., Рубинов A.E., Дубинова И.Д. Аналитические и численные решения обобщенных дисперсных уравнений для одномерных затухающих колебаний плазмы.//ТВТ. 2005. Т. 43. № 4. С. 485-491.

75. Sharipov, F., andSeleznev, V., J. Phys. Chem. Ref. Data, 27, 657-706 (1998).

76. C.E. Siewert Viscous- Slip, Thermal- Slip and Temperature-Jump Coefficients as Defined by the Linearized Boltzmann Equation and the

77. Cercignani-Lampis Boundary Condition. // Phys. Fluids. 2003. V.15, 16961701.

78. С. E. Siewert, On Computing the Thermal- Slip Coefficient from Kramers' Problem// Phys. Fluids. 2004. V.16, 2132-2135.

79. R. D. M. Garcia and С. E. Siewert, The Viscous- Slip, Diffusion- Slip, and Thermal-Creep Problems for a Binary Mixture of Rigid Spheres Described by the Linearized Boltzmann Equation, European Journal of Mechanics B/Fluids, 26 (2007) 749-778.

80. Ekinci K.L., Karabacak D. Resonant Operation of Nanoelectromechanical Systems in a Viscous Fluid. // American Physical Society, APS March Meeting, March 13-17, 2006.

81. Дудко B.B., Юшканов A.A., Яламов Ю.И. Вычисление скорости изотермического скольжения с использованием кинетического уравнения типа Больцмана — Алексеева. Деп. в ВИНИТИ, № 566-В2002.

82. Дудко В.В., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Вычисление скорости теплового скольжения с использованием кинетического уравнения типа Больцмана-Алексеева. Деп. в ВИНИТИ, № 2162-В2002.

83. Дудко В.В., Яламов Ю.И Вычисление скорости изотермического скольжения с использованием кинетического уравнения типа Больцмана Алексеева. // Дисперсные системы. XX конференция стран СНГ. Тезисы докладов. Одесса. 2002. С. 99-100.

84. Дудко В.В., Яламов Ю.И. Вычисление скорости теплового скольжения с использованием кинетического уравнения типа Больцмана — Алексеева. // Кинетическая теория и динамика разреженных газов. Материалы Всероссийского семинара. Новосибирск. 2002. С. 54—55.

85. Дудко В.В., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Колебания поверхности в вязком газе в режиме со скольжением. // Дисперсные системы. XXI конференция стран СНГ. Тезисы докладов. Одесса. 2004. С. 106-107.

86. Дудко В.В., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Влияние свойств поверхности на характеристики сдвиговых волн. // ЖТФ. 2005. Т. 75. Вып. 4. С. 134135.

87. Дудко В.В., Юшканов АА., Яламов Ю.И. Колебания поверхности в газе в режиме со скольжением. // Дисперсные системы. XXII конференция стран СНГ. Тезисы докладов. Одесса. 2006. С. 129-130.

88. Дудко В.В., Юшканов А.А., Яламов Ю.И. Генерация колеблющейся поверхностью сдвиговых волн в газе. // ТВТ. 2009. Т. 47. № 2. С. 262268.

89. Черчинъяни. К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир, 1973. 248с.

90. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи Крамерса для плотного газа // Поверхность. 1994. № 6, С. 45-51.

91. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитическое решение задачи о скольжении газа с использованием модельного уравнения Больцмана с частотой, пропорциональной скорости молекул // Поверхность. 1997. № 1, С. 92-99.

92. Латышев А.В., Юшканов А.А. Задача Крамерса для эллипсоидально-статистического уравнения Больцмана с частотой, пропорциональной скорости молекул. //ЖВММФ. 1997. Т. 37. №4. С. 483^93.

93. Латышев А.В., Юшканов А.А. Тепловое и изотермическое скольжение в новом модельном кинетическом уравнении Лиу // Письма в ЖТФ. 1997. Т.23. №14. С.13-16.

94. Латышев А.В., Юшканов А.А. Аналитические решения задач скольжения с использованием нового кинетического уравнения. // Письма в ЖТФ. 2000. Т.26. Вып. 23. № 1. С. 16-23.

95. Латышев А.В., Юшканов А.А. Граничные задачи для квантового ферми-газа // ТМФ. 2001. Т. 129. № 3. С. 491-502.

96. Латышев А.В., Юшканов А.А. Граничные задачи для квантового бозе-газа // Известия вузов. Сер. Физика. 2002. № 6. С. 51—56.

97. Ферцнгер Дж., Капер Г. Математическая теория процессов переноса в газах. М.: Мир, 1976. 554 с.

98. Bardos С., Caflish R., Nikolaenko В. The Milne and Kramers problems for the Boltzmann equation of a hard sphere gas // Comm. Pure Appl. Math. 1986. V. 39. P. 323-352.

99. Pao Y. P. Some boundary value problems in the kinetic theory of gases // Phys. Fluids. V. 14. № 11. P. 2285-2290.

100. В. И. Кляцкин, Т. Элъперин Диффузия малоинерционных частиц в поле случайных сил и задача Крамерса, Известия АН, Физика атм. и океана, 38(6), 2002, стр. 817-823.

101. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т.6. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

102. Латышев А.В., Юшканов А.А. Метод решения граничных задач для кинетических уравнений. // ЖВМ и МФ, 2004, т.44, №6, 1107-1118.

103. Латышев А.В., Юшканов А.А. Моментные граничные условия в задачах скольжения разреженного газа.// Изв. РАН, серия МЖГ, 2004. №2, С. 193-208.

104. Ohwada Т., Sone Y., Aoki К. Numerical analysis of the shear and thermal creep flows of a rarefied gas over a plane wall on the basis of the linearized

105. Boltzmann equation for hard — sphere molecules. Phys. Fluids A, 1989, v.l, N 9, 1588-1599

106. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИЛ, 1960,512 стр.

107. Гиршфелъдер Дж., Кертис Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: ИЛ, 1961, 932 стр.

108. Латышев А.В., Юшканов А.А. Тепловое скольжение для газа с частотой столкновений, пропорциональной скорости молекул // Инж.-физ. журн. 1998. Т. 71. №2. Март-Апрель. С. 353-359.

109. Латышев А.В., Юшканов А.А. Влияние свойств поверхности на скольжение газа с переменной частотой столкновений молекул // Поверхность. 2001. № 7. С. 79-87.

110. Loyalka S.K. Slip in the thermal creep flow//Phys. Fluids. 1971. V. 14. № 1. P. 21-24.

111. Loyalka S.K., Cipolla J.W., Jr. Thermal creep sleep with arbitrary accommodation at the surface//Phys. Fluids. 1971. V. 14. №8. P. 1656-1661.

112. Loyalka S.K. Slip and jump coefficients for rarefied gas flows: variational results for Lennard-Jones and n( r )-6 potentials/ZPhysica A. 1990. V. 163. P. 813-821.

113. Derjaguin B.V., Yalamov Yu.I. The theory of thermophoresis and diffusiophoresis of aerosol particles and their experimental testing // In: Topics of Current Aerosol Research, Oxford c.a.,1972, v.3, part2, P. 1-200.