Вывод граничных условий второго порядка для макропараметров путем строгого решения модельных кинетических уравнений тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

На правах рукописи

Попов Василий Николаевич

ВЫВОД ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ МАКРОПАРАМЕТРОВ ПУТЕМ СТРОГОГО РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНЫХ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.

специальность 01.04.14 - "Теплофизика и молекулярная физика"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996 г.

Работа выполнена в Московском педагогическом университете на кафедре теоретической физики

Н аучный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор М.Н.Гайдуков

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор

A.К.Дадиванян

—----доктор физико-математических наук, профессор

B.М.Кузнедов --

Ведущая организация - Государственная Академия тонкой химической технологии

Защита состоится" 23" мал 1996 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д. 113.11.07 в Московском педагогическом университете по адресу; 107005. Москва, уд. Радио, дЛС-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического университета ( Москва, ул.Радно, д. 10-а ).

Автореферат раз ослан ".хУ" 1996 г.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук доцент

Д,Л,Богданов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

В последние десятилетия все больший интерес и актуальность приобретают исследования в области физики аэродисперсных систем. Это связано в первую оч&-редь с возрастанием значимости проблем, связанных с охраной окружающей среды, с исследованиями в области медицины, с проблемами физики атмосферы, физики гетерогенных систем, с созданием тонких химических технологий.

Отличительной особенностью аэродисперсных систем является наличие мелких взвешенных в них частиц, физические свойства, которых могут существенно отличаться от свойств несущей фазы. При этом круг явлений, рассматриваемых физикой аэродисперсных систем, весьма широк. Он включает в себя как чисто механические процессы, такие, например, как осаждение аэрозолей в поле силы тяжести, так и более сложные процессы, протекающие в неравновесных газовых средах, такие, например, как движение частиц в области интенсивного лазерного излучения (фотофорез) или, например, в поле градиента температуры или концентрации (термо- и диффузиофорез).

И елью настоящего диссертационного исследования является рассмотрение вопросов, связанных с постановкой макроскопических граничных условий на поверхности умеренно крупной аэрозольной частицы.

Согласно существующей классификации, в основу которой положено число Кнуд-сена (Кп), равное отношению длины свободного пробега молекул газа Л к характерному размеру обтекаемого газом тела Ь (в данном случае к радиусу частицы Я), умеренно крупными называются аэрозольные частицы для которых число Кнуд-сена лежит в интервале примерно от 0.01 до 0.3.

Течение разреженного газа при этом достаточно хорошо описывается уравнениями механики сплошной среды с так называемыми граничными условиями со скольжением, которые учитывают тепловое и изотермическое скольжение газа вдоль поверхности частипы,"скачок температуры на границе раздела фаз, влияние искривленности межфазго'й поверхности на значение коэффициента теплового скольжения, наличие объемных барнетговских напряжений, неравномерность распределения температуры в слое Кнудсена, а также растекание части потоков тепла и массы в слое Кнудсена.

Впервые эта задача была решена в начале восьмидесятых годов в целой серии работ, выполненных Ю.И!Йпамовым, А.АЛОшкановым и А.Б.Поддоскиным, в которых путем решения моментным методом в слое Кнудсена эллипсоидально-статистической модели кинетического уравнения Волышана была получена полная система

граничных условий, необходимых для построения законченной теории термофореза умеренно крупных сферических аэрозолных частиц, и найдены численные значения входящих в них газокинетических коэффициентов скольжения. Позднее, в 1988 году, сформулированная выше задача была решена Е.Г.Маасовым, А.А.Юшканоьым и Ю.И.Яламовьш с использованием моментного метода на основе кинетического уравнения Больпмана с оператором столкновений в форме Болышана.

Научная новизазГ представленного к рассмотрению диссертационного исслеаова-ния состоит в том, что в нем впервые с использованием метода элементарных решений (метода Кейза) получена полная система граничных условий, использующихся при описании взаимодействия потока разреженного газа с поверхностью умеренно крупной сферической аэрозольной частины в режиме "течения со скольжение^.

Несомненно, самостоятельный интерес представляют собой также развитые в работе точные аналитические методы решения неоднородных модельных кинетических уравнений.

Практическая ценность работы заключается в том, что полученные автором результаты могут быть использованы для решения разнообразных задач газовой дин намики, связанных с постановкой граничных условий при обтекании погоном разреженного газа сферической поверхности, а также для опенки степени точности использующихся в кинетической теории газов приближенных методе®.

На защиту выносится:

1. Процедура построения поправок к скорости скольжения простого одноатомного газа вдоль поверхности умеренно крупной аэрозольной частицы, обусловленных наличием искривленности поверхности, объемных барнеттовских напряжений, а также неравномерностью распределения температуры в слое Кнудсена.

2. Аналитические выражения для газокинетических коэффициентов /?д, /?в, учитывающих, соответственно, зависимость коэффициента теплового скольжения от искривленности поверхности, неравномерность распределения температуры в слое Кнудсена и наличие объемных барнеттовских напряжений.

3. Численные значения упомянутых выше газокинетических коэффициентов Рп, /?в, а также коэффициентов с„ и с„ учитывающих растекание части потоков массы и тепла в слое Кнудсена.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на ежегодных научных конференциях в МПУ (Москва, 1994-1996) и на третьей научно-практической конференции "Педагогический процесс в условиях пережща к новому состоянию общества" в Биробиджанском государственном педагогическом институте (Биробиджан, 1994). По теме диссертации опубликовано 5 работ, список которых

приведен в кшие автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трет глав, восьми приложений, основных выводов, заключения и списка литературы. Матера ал изложен на 138 страницах машинописного текста, включая приложения и библиографию из 127 названий.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обоснована актуальность темы диссерталионной работы, сформулирована цель исследования, отражены научная новизна и практическая значимость полученных результатов, а также изложены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации представлен обзор теоретических работ по теме исследования, рассмотрены различные модели и математические методы, применяемых ранее различными авторами при решении этой проблемы.

Во второй главе рассмотрена задача о постановке граничных условий на поверхности умеренно крупной сферической аэрозольной частицы, обтекаемой потоком неоднородного по температуре разреженного газа. Состояние газа при этом описывается кинетическим уравнением Больлмаяа с оператором столкновений в форме ЭС-модели, записанным в сферической системе координат, пентр которой совпадает с центром частицы, а полярная которой совпадает с направлением градиентов температуры и массовой скорости вдали от частицы.

В качестве граничного условия на поверхности аэрозольной частицы выбрана модель диффузного отражения. На основе линеаризованного модельного кинетического уравнения с использованием метода асимптотического срашиваиия статистической функции распределения в объеме газа, с функцией распределения в слое Кнуд-сена, выведено шиегро-лифференпиальное уравнение дФ &8Ф

= (1)

+ - |)гк» - -ф,

и граничные условия

. Я./ ЯЬТ А я,пГ\+

для функции Фучитывающей отклонение фуншии распределения в слое Кнудсена от функции распределения в объеме газа.

Здесь г(3/х/2р)(2£У/т)1''2 - радиус-вектор в физических координатах, <р и т -возмущения давления и температуры; и;(2кТ/т)1^2 и £¡(2£Г/т)1/2 - компоненты среднем&ссовой скорости потока и собственной скорости молекул газа; ри - тш-зор вязких напряжений; р - статическое давление; Пг9 и Тг0 соответственно тензор скорости деформации и тензор температурных напряжений; ел и £т ~ скачки концентрации и температуры на поверхности частицы;

=иКа+тКй, (4)

^ =г-з/2 т ЦгМ1)Ы-е)<РЬ> (5)

тка ^2^-3/2 аI^ _ (6)

«г Щъъш^-ет» (7)

е ^ [[[ы, - к^тты-е)^- (8)

(Надстрочное Кп в дальнейшем будам опускать)

С использованием метода асимптотического разложения

на основе уравнения (1) получена система одномерных интегрсьдифференциальных уравнений

=^ яе-^-1/,?^ (ю)

- (И)

В.д6

с граничными условиями:

+

=-%<№), (Н)

lim ф(2>(г,б,&)=0, (15)

Г-4 00

определяющая вид двух первых; членов разложения (9).

Далее, путем представления фуикнии в ви® разложения по ортого-

нальным многочленам

++(й+е* -ц^м.а

(iß)

получена система уравнений

= ^ / (i-e^^^^e.WH'i)^, (п)

— оо

+ = (18) ir^- +Ф« = ±J (Г - + (19)

— ОО

— СО

с граничными условиями:

ПтС>(гЛ)=0, (21)

(22)

Ф<ЛВД = - 241'(ЯЖ£ -

ШпФ^г.^О, (23)

*№>£) = Ж' ir>0, (24)

ИтфС1)(г,0,$г) = (С-|)£т, (25)

г-4 оо i

=-^ > о, (2б)

Шп Ф^О-А^^т, (27)

Г—г ОО

^>0, (28)

первые два уравнения шторой описывают сдвиговое течение, а два последних учитывают процессы, связанные со скачками температуры и концентрации на границе

твердой плосюй поверхности.____

^;ш(.:'птм, что ортогональность понимается здесь в смысле скалярного произведения

(/,9)= I /М,ЗдМ,йехрК2К6- (29)

— ОО

Решение урашешш (21) ищется в следующем виде:

^лео^сч^+ЕЧб.Ш^ла (зо)

где в совокупности с Ь*(&>£»>) образует полную систему ортогональных (в смысле скалярного произведения) многочленов.

Подставляя разложение (30) в уравнение (11) и граничные условия (14) - (15), а также учитывая разложение (16), получим следующее уравнение для нахождения функции Ф(а2) (г, £>,£.):

/2) 00 00 — ОО — ОО

«^тит <и>

4

л

с граничными условиями:

11тФ£>М,М=0, (32)

Г-» ОО

Ф?)(Я,в,(г) = -2«?>(«)> (33)

которое позволяет учесть влияние кривизны поверхности и неравномерность распределения температуры в слое Кнудсена на скорость скольжения простого одноатомного газа вдоль поверхности сферической аэрозольной частицы малого радиуса кривизны.

Учитывая далее, что уравнение (31) является линейным неоднородным интегро-дифферешшальным уравнением, вклад каждой го неоднородностей в скорость скольжения можно определить в отдельности, т.е. можно рассмотреть сначала уравнение

а /2\ СО 00

"СО — со

с граничными условиями:

гИт = (35)

(36)

которое позволяет учесть зависимость коэффициента теплового скольжения от искривленности поверхности, а затем рассмотреть уравнение а 00 00

-+Ф20 I

с граничными условиями:

гШпФ?)(г,^г) = 0, (38)

которое учитывает поправку к скорости скольжения, обусловленную неравномерностью распределения температуры в слое Кнудсена

Таким образом поставленная задача свелась к рассмотрению уравнений (17)-(20), (34) и (37) с граничными условиями (21)-(28), (35)-(36) и (38)-(39).

Для нахождения скорости скольжения простого одноатомного газа вдоль твердой плоской поверхности, которое описывается уравнением (17) с граничными условиями (21)-(22), была использована следующая нропедура:

1. Обозначим для удобства зашей /л = £г, х = г;

2. Используя анзад Кейза

Ф<17>(*, р) = /(?,/<) «р(-*/ч), (40)

сведем уравнение (18) к характеристическому уравнению

оо оо

/(,,„)=! у /(»?,ц)ехр(-^2)ф- I (41)

— 00 —00

3. Помножая (41) на ехр(-/х2) и интегрируя по ох -оо до оо, можно покаг

зать5 что ----

00

I (42)

— ОО

4. Ввоая далее нормировочный интеграл

00

/ Пг1,1>)<Щ>(-Ц2)с1р=1, (43)

— ОО

запишем характеристическое уравнение (41) в виде

И)^^- (44)

5. Из характеристического уравнения (44) находим собственные векторы непрерывного спектра:

/(,, л) = -^Р^ + ехр 0^0,)%- я). (45)

Здесь Р(1/х) означает распределение в смысле главного значения; 5(х) - дельта функция Дирака, а Ас(»у) - дисперсионная функция Черчиныши

г)

Хс(т}) = 1 - 2>;ехр(-^) | ехр(«2) ¿и. (46)

о

6. С учетом полученных результатов, запишем решение уравнения (18) в ввде разложения по собственным векторам непрерывного и дискретного спектров:

оо

тх,ц) = Ао +1 (47)

о

7. Подставляя в (47) собственные фупкпии непрерывного спектра (45) и учтивая вид граничных условий (21)-(22), получим относительно а(ц) сингулярное интегральное уравнение с ядром типа Копи:

оо

/М =а00«р(^)АсЫ+ (48)

где

№ = -2и<ЛЯ) + + ^Пг9 - ^ - ^ (49)

I. - ЙЬТ /см

8. Введением кусочно голоморфной функпии с разрезом вдаль М+

оо о

уравнение (48) сводится к полупространствешой краевой задаче Римана-Гильберта:

А+(м)АЗ'(л)-^-0»)АГ(р) = /1вф(-/г1)/И /<> 0 (52)

9. Путем решения задачи факторизации коэффициента полученной краевой задаг-чи, задача (52) сводится к задаче по скачку

= (53)

решение которой (если оно существует) имеет вид:

10. Используя условие существования исчезающего па бесконечности решения полупространствешой краевой задачи (53), получаем точное, в замкнутой форме аналитическое выражение для скорости скольжения простого одноатомного газа вдоль твердой плоской поверхности:

«№) = ¿(ф - 5 0°).*+ - (<Ээ -1СЬ)Щ ■ (55)

Здесь символ Qn используется для обозначения лоялковских интегралов, имеющих следующий вид:

^¡Ш**-^1*- {56)

Подставляя в (55) значения лоялковских интеграле®, получим следующее выражение для скорости скольжения простого олноатомного газа вдоль плоской поверхности:

«(/'(Я) = 0.383 |^ + 0.677Пг8 -0.9738^. (57)

Заметим далее, что решение уравнения (18) с граничными условиями (23}-(24) не представляет никакие затруднений. Непосредственной подстановкой легко проверить, что его решением при указанных граничных условиях является функшш

оо

Ф<1'(х,ц)=к{ ехр(-*/7Жч-(58)

о

Решение же системы зацепленных уравнений (19)-(20) с граничными условиями (25)-(28) иолучеш А.В.Латышевым1-.

Применяя описанную выше процедуру к уравнению (34) с граничными условиями (35)-(36), автор получил следующее аналитическое, в замкнутой форме выражение для поправки к скорости скольжения простого олноатомного газа вдоль плоской поверхности, учитывающей влияние наличия искривленности поверхности аэрозольной частииы на значение коэффициента теплового скольжения

оо

1 7 t2exp(t2) 7x-(v)u(u2 + Q2)du Ж J f*(t) + *P J

ж №

о 0

Особенность решаемой здесь задачи состояла в том, что в данном случае нам пришлось иметь дело с решением неоднородного модельного кинетического уравнения, что привнесло некоторые дополнительные трудности. Необходимо отметить, что подобные неоднородные кинетические уравнения (с использованием БГК-модели

1Латышев A.B. Анишшчесвэе решение »ллшсондально-статастяческого уравнения Больц-мана. // Изв. АН СССР, сер. МЖГ, 1992, N 6, с.Ш-164

кинетического уравнения Вольцмана) рассматривались ранее в работах Д.Н.Акимова, М.Н.Гайдукова, А.В.Лаиышева и А.А.Юшканова

Провеленвый в работе численный анализ позволил получить следующее выражение для вышеупомянутой лоправхи к скорости скольжения:

(а), рч 0525 ÖlnT

(60)

Следующим этапом работы было нахождение поправки к скорости скольжения, связанной с неравномерностью распределения температуры в слое Кнудсена. Для этого уравнение (37) предварительно было записано в векторном виде

+ Ф= j Ф ехр(-/12) (iß~ J fi<& ехр(-р2) ¿ц - JbiKY,

где Ф (г, ii) - неизвестный вектор-столбеп,

ф?>М о

к =

1 1 о о

, _ 1 дЧпт 1 ~ R дгдд '

00

Y(r)f») = I ехр(-0 F(w)dV,

д(„) =

1 fx2 -1/2 -1/2 1/2

оо

, п(г])= J ехр(-/42 )F(г), fi) d/it

(61)

Здесь аналитические выражения для F(t],ß), A(p), n(rj) и Л (г) взяты из вышеупомянутой работы A.B.Латышева

На основе полученного векторного неоднородного кинетического уравнения с использованием описанной выше процедуры, было получено аналитическое выражение,

опредашющзе поправку к скорости скольжения, обусловленную неравномерностью распределения температуры в слое Кнудсена

со

о

- ехр(12)К^Л'(<) - -1) + ^Щ) * ,1(г)]

После перехеша в выражении (62) от векторной формы зашей к скалярной и проведения численного анализа окончательно было получет

р,,« 0.279 ОТиТ

«&(*)=тпщ--

Объединяя полученные результаты и переходя от безразмерных величин к размерным, получим следующее выражение для скорости скольжения простого одноатомного газа вдоль поверхности умеренно крупной сферической аэрозольной частицы

чв(Щ (1 - 2.32Кп) ~ + 1.14&АП^-

Таким образом в работе с ислользов анисм ЭС-модели кинетического уравнения Больцдапа получены следующие значения газокинетических коэффициентов скольжения

Щ =1.149, ф = 1.146, 4 = -2.32, = 1.23, рв =4.297.

Здесь Ст\ -соответственно коэффициенты вязкостного, теплового и бар-

иеттовского скольжений, /?я-коэффициент, учитывающий неравномерность распределения температуры в слое Кнудсена, -поправка к коэффициенту теплового сколь-женин, связанная с учетом кривизны поверхности, а в качестве связи между кинематической вязкостью газа V и длиной свободного пробега А принято следующее соотношение V = Х(2кТ/тт)112.

Необходимо отметить, что проведенный в работе анализ показал, что используемая в работе ЭС-модель кинетического уравнения Больпмана дает завышенное значение коэффициента барнеттовсюго скольжения. Подбирая свободные параметры в

операторе столкновений в форме ЭС-шдели таким образом, чтобы получившемуся модельному уравнению удовлетворяла функпия распределения, найденная Н.К.Ше-валиевым для максвелловских молекул на основе кинетического уравнения Больп-мана с оператором столкновений в форме Еолымана, и используя описанную выше пропедуру, автором было получвно значение /?в равное 3.742.

Далее в работе, исхсш из определений полного потока массы, полного потока тепла, и найденного вида функшш распределения мояекул по скоростям и координатам в слое Кнудсена, выведены граничные условия для нормальной составляющей потока массы и нормальной составляющей потока тепла на поверхности сферической аэрозольной частицы малого радиуса кривизны

0TW 9TV) А 1 д ( . адТ\ ....

и найдены значения коэффициентов с, ис„ учитывающих растекание части потоков массы и тепла в слое Кнудсена:

с, =0.851, с, = 0.347.

Заметим, что полученные в работе граничные условия (64)-(66) вместе с гралич-ным условием для скачка температуры на поверхности частицы

Z<«)_TW = C!rA^ (67)

образуют полную систему граничных условий, учитывающую все линейные по числу Кнудсена поправки к скорости термофореза умеренно крупной сферической аэрозольной частицы, помещенной в неоднородную но температуре газовую среду •

В третьей главе диссертационной работы проведено сравнение результатов, полученных во второй главе, с аналогичными результатами, имеющимися в литературных источниках. В частности, показано:

1. Найденные в предложенной к рассмотрению диссертационной работе результаты хорошо согласуются с соответствующими результатами, полученными ранее Ма-ясовым E.r.j Юшкановым A.A., Яламсвым Ю.И. в работе "О термофорезе нелетучей сферической частипы в разреженном газе при малых числах Кнудсена" (Письма в ЖТФ, 1988, т.14, N6, с.498-502). Имеющиеся отличия в найденных значениях 0r и /?в обусловлены в первую очередь зависимостью упомянутых выше коэффициентов от принятых в данных работах моделей интеграла столкновений и от

выбранных моделей потенциала, взаимодействия сталкивающихся газовых молекул. Разброс в численных значениях коэффициентов ¡3'Rt сч и с„ не превышает 10%, что является вполне допустимым при решении пюрошэго круга задач газовой динамики в режиме течения со скольжением, и обусловлен погрешностью, привносимой в полученный результат используемыми приближенными методами. Различие же в численных значениях коэффициентов Cm\ , Ст не превышают 1.5%.

2. Численное значение коэффициента §'R) учитывающего влияние искривленности поверхности на скорость теплового скольжения, полученное в настоящем диссертационном исследовании, хорошо согласуется с экспериментальными данными, имеющимися в работе Роядугина В.И. "К теории тепловой поляризации тел в потоке разреженного газа" (Коллоид, журн., 1987, т.49, с.45).

3. Найденные значения коэффициентов От, Ря и /?в подтверждают возможность отрицательного термэфореза для высоготеплощювсшвых частиц при малых значениях числа Кнудсена.

В заключении приведены некоторые итоговые замечания, касающиеся выбора используемой в работе модели кинетического уравнения Больпмана.

В приложениях приведены основные интегральные соотношения, необходимые для решения поставленных задач.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

Из решения в слое Кнудсена линеаризованного кинетического уравнения Больн-мана с оператором столкновений в форме ЭС-иодели методом элементарных решений (методом Ксйза):

1. Получено аналитическое выражение для скорости скольжения простого одноатомного газа вдоль сферической поверхности малого радиуса кривизны, учитывающее все поправки, связанные с наличием искривленности межфазной поверхности, неравномерностью распределения температуры в слое Кнудсена, а также с наличием объемных барнеттовских напряжений.

2. Получены аналитические в замкнутой форме выражения для коэффициентов f}'R> Дд и учитывающих влияние наличия искривленности межфазной поверхности на значение коэффициента теплового скольжения, а также влияние неравномерности распределения температуры в слое Кнудсена и наличие объемных барнеттовских напряжений.

3. Путем численного интегрирования результирующих выражений найдены численные значения коэффициентов 0п и /?в-

4. Получены граничные условия, учитывающие разрывность нормальных состав-

ляюших потоков массы и тепла на поверхности умеренно крупной сферической аэрозольной частицы.

5. Путем численного интегрирования найдены численные значения коэффициентов с„ и с„, учитывающие растекание части потоков массы и тепла в слое Кнудсена.

6. Проведен численный анализ аналитических выражений, полученных в работе Латышева A.B. "Аналитическое решение эллипсошильпо-статистического уравнения Болымана" (Изв. АН СССР, сер. МЖГ, 1992, N б, с.151-164). На основе проведенного анализа найдены численные значения коэффициента скачка температуры и коэффициента скачка концентрации простого одлоатомного газа на границе твердой плоской поверхности.

7. Найденные в предложенной к рассмотрению диссертационной работе результаты хорошо согласуются с соответствующими результатами, полученными ранее Маисовым Е.Г., Юшкановьм A.A., Яламовым Ю.И. в работе "О термофорезе нелетучей сферической частицы в разреженном газе при малых числах Кнудсена" (Письма в ЖТФ, 1988, т. 14, N6, с.498-502).

8. Численное значение коэффициента ß'R, учишвакмшго влияние искривленности поверхности на значение коэффициента теплового скольжения, полученное в наг стоящем диссертапиошом исследовании, хорошо согласуется с экспериментальными данными, имеющимися в работе Ролдупша В.И. "К теории тепловой поляризации тел в потоке разреженного газа" (Коллоид, журн., 1987, т.49, с.45).

9. Найденные значения коэффициентов СГ) /?д и /?Б подтверждают возможность отрицательного термофореза для высоихгеплопроводпых частиц при малых значениях числа Кнудсена.

10. Проведенный анализ теоретически подтверждает справедливость используемых ранее приближенных методов решения подобного рода задач в режиме течения со скольжением.

11. Несомненно самостоятельный интерес представляют собой также развитые в работе точные аналитические методы решения неоднородных модельных кинетических уравнений.

Основные результаты опубликованы в следующих работах:

1. Гайдуков М.Н., Попов В.Н. Вычисление скорости скольжения простого одноатомного газа вдоль поверхности сферической аэрозольной частицы. / / 3-я научно-

практическая межвузовская конференция: Тез. докл. Часть 1. - Биробиджан,

1995 - С.78.

2. Попов В.Б., Гайдуков М.Н. Об условии существования исчезающего на беско-

нечности решения одной краевой задачи Римана-Гильберта.// 3-я научно-практическая межвузовская конференция Тез. докл. Часть 1. - Биробиджан, 1995

3. Попов В.Н., Гайдуков М.Н. Течение потока разреженного газа вблизи сферической поверхности. Ц МПУ. - М., 1995. - 27 с. - Библиогр.: 116 назв. - Дел. в ВИНИТИ N 3280-В95.

4. Попов В.Н., Гайдуков М.Н. Исследование граничных условий второго порядка для неизотермических потоков вблизи искривленной поверхности. // МПУ. - М., 1996. - 34 с. - Библиогр.: 14 назв. - Дел в ВИНИТИ N 1027-В96.

5. Попов В.Н., Гайдуков М.Н. Аналитическое решение ЭС-модели кинетического уравнения Болышата, в задача о тепловом скольжении второго порядка. // МПУ.

- М., 1996. - 27 с. - Библиогр.: 16 назв. - Деп. в ВИНИТИ N 1026-В96.

С. 79-81.