Аналитические решения модельных кинетических уравнений тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

Г Б Л Л

) «?

9 О ИЦ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РФ

^ МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО

ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 533.72

АКИМОВ ДМИТРИЙ НИКОЛАЕВИЧ

АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

МОДЕЛЬНЫХ КИНЕТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Специальность 01.04.14 — теплофизика и молекулярная физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1995

■5

I.

Работа выполнена на кафедре теоретической физики Московского ордена Трудового Красного Знамени педагогического университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических науч

профессор Гайдуков М. Н.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, в(

дущий научней сотрудник Галкин В. С кандидат физико-математических на)ч старший научный сотрудник Трайтак С. Д.

Ведущая организация: Московский авиационный институт.

Защита состоится « о » К И И 1995 г. в часов н

заседании специализированного совета К 113.11.10 в Московско: педагогическом университете по адресу: 107005, Москва, ул. Р£ дио, д. 10а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПУ.

Автореферат разослан « 4 » __1995 г0дс

Ученый секретарь специализированного совета 0 БОГДАНОВ Д. Л.

I г

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Как известно, течение разреженного газа при малых, но конечных, числах Кнудсена достаточно хорошо описывается уравнениями газовой динамики с граничными условиями скольжения й скачка температуры. При этом возникает вопрос о корректной постановке граничных условий скольжения на межфазовой поверхности, то есть в ряде задач необходимо учитывать влияние кривизны поверхности и барнеттовских эффектов. Граничные условия в которых отражены эти факторы относят к макроскопическим граничным условиям второго порядка.

В настоящее время имеет место дискуссия по поводу справедливости таких граничных условий, которые были получены приближенными методами двумя различными группами исследователей. Эти методы, по существу, являются моментными методами, которые применялись к кинетическому уравнению Больцмана с модельными операторами столкновений. Поэтому анализ различия существующих макроскопических граничных условий второго порядка является актуальной задачей.

В связи с тем, что по данной проблеме до сих пор не получено ни одного точного аналитического результата, большой интерес вызывает задача точных аналитических решений модельных уравнений Больцмана, которые позволяют найти точные (в замкнутой форме) формулы для скоростей скольжения и выявить справедливость существующих макроскопических граничных условий второго порядка.

Целью настоящей работы является газокинетический вывод и исследование точных граничных условий второго порядка в аэродинамике штока со скольжением. .

Научная новизна. Методом Кейза получены аналитические решения кинетического уравнения Больцмана с оператором столкновений в форме БГК модели, которые позволили найти точные выражения некоторых газокинетических коэффициентов, входящих в макроскопические граничные условия второго порядка.

При исследовании влияния искривленности поверхности на скорости скольжения впервые развит метод аналитического решения не-

1 J

однородных модельных кинетических уравнений.

Научная и практическая ценность заключается в том, что полученные в работе макроскопические граничные условия второго порядка могут быть использованы в прикладных задачах газовой динамики и физики аэродисперсных систем.

Апробация работы и публикации. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на ежегодных научных конференциях и теоретических семинарах в МОПИ им. Н.К.Крупской (г. Москва 19881991 г.г.), наиболее существенные вывода выполненных исследований были посланы как тезисы доклада на конференцию: Rarefied Gas Dynamics (г. Ванкувер, Канада 1992 г.).

По результатам диссертации опубликовано 4 работы, список" которых приведен в конце автореферата.

Структура и обьем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, приложений и основных выводов. Материал изложен на 75 листах машинописного текста, включая 2 таблицы. I рисунок и библиографии из 66 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, описан применяемый метод решения кинетического уравнения Больцмана в форме БГК модели и сформулирована цель работы.

В первой главе диссертации получено точное аналитическое решение задачи о барнеттовском скольжении газа. Для решения этой проблемы необходимо знать функцию распределения Чепмена-Энскога в барнеттовском приближении. Кроме того, вычисление барнеттовской функции распределения, которое проводится в данной главе, представляет самостоятельный физический интерес, так как, в последнее время подучен ряд доводов в пользу барнеттовского приближения, например, предсказание термо- и концентрационно стрессовых конвенций.

Барнеттовская функция распределения строится методом Чепмена-Энскога решения кинетического уравнения Больцмана с оператором столкновений в форме БГК модели:

/<0>- /

J(/,/> - -, (I)

8

где 9 - независящая от скорости постоянная, по порядку величины

равная времени столкновения между молекулами, /<0>- локально-

максвелловская функция распределения.

В результате разложения Чепмена-Энскога, получена система

алгебраических уравнений, которая решается последовательно

/ - /<0> } о '

/1 = -е (Б/)0

/2 = -8(Б/)^ (2)

да 'о дои ^ >а 3 и где (Б/Ь = -^.....+- + V-— + 5»-—• 1

й <Э t д t д V д V • '' • ■

В нулевом приближении: /° = /<0>- локально - максвелловская

функция распределения , а тензор напряжения и вектор теплового

потока равны :

т><0> « „<о> п

р » р о^, = о,

где р = п к т , б - символ Кронекера.

В первом приближении:

т г- 5 .

[ 2 к Т 2

/, - - в/<0>

у2 „ 3 1п Т

д г

д и

-<У У >-

" 1 ^ а Г

(4)

1 4

где <А1А > - АА^ - —А симметричный неприводимый тензор

второго ранга, а поправки Р*1>и а*15, имеют вид

Р<1> - - 2 Т] I. (5)

ч 1 ц,

д з?

-• " (6)

Э г . .

I

где т] = 9 р - коэффициент вязкости , а и а и ,

- - + —--I——-симметричная бездиверген-

д и

I

тная часть тензора - (тензор скоростей сдвига),

Э г

? 1

5 0пГ I

Л. = —--- — коэффициент теплопроводности.

1

1

л

Заметим, что число Прандтля в данном случае Рг = Ср-- 1,

то есть невозможно получить истинные значения коэффициентов вязкости и теплопроводности одновременно. Однако, если в первый член

функции распределения первого порядка, ввести поправочный множи-з

тель сI ш ——, то число Прандтля принимает истинное значение Рг = г ^

—а сама функция /1 будет идентична соответствующей функции, полученной в теории Чепмена-Энскога для максвелловских молекул.

Во втором приближении полученная функция.распределения представляет суперпозицию неприводимых тензорных полей нулевого, первого, второго, третьего и четвертого ранга, свернутых с соответствующими градиентами макроскопических величин. Аналогичное выражение барнеттовской функции распределения было получено методом Чепмена-Энскога решения кинетического уравнения Больцмана для максвелловских молекул. Оно содержит теже неприводимые тензоры, но с несколько отличающимися коэффициентами. Так же заметим, что приведенное в основополагающей работе Барнетта выражение функции распределения второго порядка содержит группы членов в виде тензоров первого и второго ранга, которыми определяются барнеттов-ские вклады в тензор напряжения и вектор теплового потока.

С помощью построенной функции распределения , вычислены вклады второго порядка в тензор напряжения и вектор теплового

потока. При этом, если в выражении для функции распределения в

з

первом приближении (4) ввебти поправочный множитель с( - , то •полученшш поправки Р^ и будут идентичны соответствующим барнеттовским поправкам, которые вычислены в теории Чепмена-Энскога для максвелловских молекул.

Явлением барнеттовского скольжения называется движение газа вдоль поверхности, вызванное неоднородностями тепловых потоков. Барнеттовская функция распределения содержит члены на один порядок выше по числу Кнудсена, чем функция распределения Чепмена-Энскога в навье-стоксовском приближении, которая линейна по градиенту температуры. Учет этих членов в функции распределения автоматически приводит к появлению в скорости теплового скольжения газа членов, линейных по числу Кнудсена. Поэтому влиянием кривизны поверхности в этой задаче можно пренебречь.

Постановка задачи заключается в решении уравнения Больцмана

- 7 -

с оператором столновений в форме БГК модели:

д / д / с

"ЭХ у Э у /гкГ в с граничными условиями:

. р и

^ / = /Б = /у<0> [ 1 *■ ас в (<») «■ е /-^5- 3<}> ( С2 ) *

х-»® „ г

8 Т , г к Т ... , д^гп Т -,

* С--9 -Ш- Зз/ ( 0 > - СА ' (8)

у а у т г ах ау х у Л

/(0.3) = /<0> . сх> о . (9)

Граничное условие (8) означает, что на больших расстояниях от стенки функция распределения переходит в объемную барнеттовскую ■ функцию , где мы ограничились членами с температурными неоднород-ностями. Граничное условие на стенке (9) представляет диффузное отражение без изменения температуры.

Решение уравнения (7) ищется в виде

/ - /Б+ /у<0> Ф( х.З ) , (Ю)

где возмущение Ф(х,3) проектируется по двум ортогональным направлениям

Ф( х,3 ) - суУ1 ( х.ск) + Су (с2+ с2- г)Уг( х,сх ) . (II) Функции У1 и Уг принадлежат соответственно двум ортогональным подпространствам гильбертова пространства функций со скалярным произведением

-с2

( /.8 ) - Щ е с2 ( с2+ (¡1- г) /(х.Сх)е(х,Сх)с13С. (12)

В результате получаем систему двух незацепленных интегро-дифференциальных уравнений, которые записаны в безразмерном виде. Одно из них имеет экспоненциально затухающее вдали от стенки решение и не дает вклада в скорость скольжения, а другое с соответствующими граничными условиями имеет вид

1 * - с'2 .

у + С - - - I е * У <1С (13) '

X с* /" — ч I х 9

д х /% _

а гп I г ? 1 , , , 1. у (о,сх) = - г ау(оо) + --- Гс2- ]- с, (с* - — ] .

8 у

дг гп т

.С > О , (14)

д х д у

Пт У (х , Су) - 0 . (15)

Х-х»

Далее после краткого обзора наиболее значительных работ, относящихся к методу Кейза решения модельных уравнений Больцмана в граничных задачах кинетической теории, построено точное аналитическое решение задачи (13), (14), (15).

Метод элементарных решений Кейза состоит в разложении решения уравнения Больцмана в слое Кнудсена по дискретным и сингулярным собственным функциям соответствующего модельного оператора и нахождении коэффициентов этого разложения техникой сингулярных интегральных уравнений. Используя формализм Кейза, общее решение

уравнения (13) можно записать в виде 2

® ___

г V

У ( х , Сх) = А0+ А,( х - Сх) + | А(и) /у(Сх)е М , (16)

У

где /и(Сх) - ^ _ с— + р(у)0(и - сх) - собственные функции

X

уравнения (13), Р(и) - дисперсионная функция. Последовательное применение граничных условий (14) и (15), позволяет свести уравнение (16) к сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши 00

г А(и) V

/(*>-Р +Р(ЮА(1;) , 4 > (17)

о

Уравнение (17) решается стандартной техникой, которая сводит его к краевой задаче Римана-Гильберта

/(Юг ■= ( рШ + -т )ы+(1;) - ( рш - эгГш , I > о, (18)

с решением: т

1 1 г ¿1 t

Я(г) -----, ' (19)

Х(и) г % I ■> P(t) - ШЬ t - ъ

о

где «> *

1 Г 1 г г + ъа <П 1

Х(г) - -г- ехр - га -1 т-^ . (20)

2 [г % I 1 <• P(t) - ■> г ъ \

о

При этом выполняется условие

X (1;)/(1;П

РШ -

^ = о

из которого находим

Су( 00 ) а -

а^пт

Эх ду

где интегралы О =

°2 г~

о д гпТ

а у

Я

J р

P(t) - тси

dt

(22)

вычислены численно.

Подставляя их значения, получаем точное аналитическое выражение

скорости барнеттовского теплового скольжения газа

Э ¿п 3? ,7662 -- 1 ,3098

Оу( со ) а

4- (о,ч

а2 ¿п т

(23)

а у а х а у

Во второй главе диссертации получено точное аналитическое решение задачи о скольжении простого газа вдоль сферической поверхности. До настоящего времени, данная проблема исследовалась различными приближенными методами. Все эти методы приводят к граничным условиям одинаковой структуры, которые отличаются между собой значениями постоянных коэффициентов. Если учесть все основные эффекты, выявленные в этих работах, касательную компоненту скорости скольжения газа вдоль сферической поверхности можно представить в следующем безразмерном виде а ¿п I

ая( » )

= С П„ + К,

т тЭ и

И Э в

+ с( Кп

дг гп Т и а г а ©

+ Р Кп Тгв ,(24)

Здесь С

<о>

Кп С'- коэффициент изотермического скольжения

газа вдоль сферической поверхности, К = К

клк; -

тэ

коэффициент

теплового скольжения газа вдоль сферической поверхности, С

<о>

коэффициенты изотермического и теплового скольжения газа вдоль плоской поверхности, (У и поправки, вызванные искрив-

ленностью поверхности- Кроме того, наличие искривленности поверхности приводит к возникновению неоднородности градиента температуры в слое Кнудсена, которая в плоском случае отсутствует. В формуле (24) эта неоднородность учитывается членом с коэффициен-

том й , а член с коэффициентом |3 представляет собой барнеттовское скольжение. Здесь также Пг0 и 1\е~ тензоры сдвиговых й температурных напряжений в сферической системе координат.

В таблице I. приведены значения коэффициентов скольжения первого порядка : С*0>, К^и скачка температуры Сь простого газа для плоской поверхности при и <ц.-1, где а и с^- коэффициенты аккомодации тангенциального импульса и энергии.

Таблица I.

Автор! с<о> т

Сегс1ёпап1 С., ЬоуаИса Б.К., Латышев А.В. 1,016 0,383 1,276

Бопе У. 1,016 0,383 1,302

Яламов Ю.И.. Поддоскин А.В., Пжанов А.А. 1,002 0,380 1,288

В таблице 2. приведены значения коэффициентов скольжения второго порядка : Ст , Кта , с!и р, при а ■ 1 и <ц. - 1.

Таблица 2 .

Авторы С ' т кТ; а Р

Бопе У. -0,499 -0,267 0 -0,279

Яламов Ю.И, Поддоскин А.Б, Юшканов А.А. -1.528 -0,266 0,832 -0,814

В первой главе методом Кейза было получено точное значение коэффициента барнеттовского скольжения = - 0,655, которому, как видно из таб.2., более соответствует значение (3, полученное Яла-мовым Ю.И. с сотрудниками. Это связано с тем, что в отличие от Соуна, который в объеме газа применяет гильбертовское решение уравнения Больцмана с БГК моделью, авторы в качестве барнеттов-ской функции распределения заданной вдали от стенки, используют чепменовское решение уравнения Больцмана с точным интегралом столкновений, полученное для максвелловских молекул.

Постановка задачи о скольжении газа вдоль сферической поверхности заключается в решении уравнения

а/ /

С.--/-Л I / I , (25)

1 д X / 2 к Т

/—— л Г /<°>- , 1 .

/ 2 к Т I. \

с граничными условиями

2 к т '2 к Т 3 (п т

/„ Г 1 + 2 с. а (оо) + 2 /-- х с П

4- ^^ ] •

д X

(26)

- 2

/ ( О.С ) - /<0> ^ 0л> 0 # (27)

где мы ввели следующие обозначения : X - постоянная в модельном

операторе БГК, /ч функция распределения Чепмена-Энскога,

абсолютно-максвелловская функция распределения,

аи, а <п т т -

пи - "т^-« ■ V * ■ \ - —г— " скачок

1 1

температуры, /*0>-локальный максвеллиан с параметрами, заданными на стенке, п- направляющий косинус нормального вектора к поверхности.

Решение уравнения (25) ищется в виде

/ - /Чт3* /<0>Ф( * . с ) . (28)

После обезразмеривания переменных, вводится система криволинейных координат, в которой

X,- п^т] + 8п ( 8,<р )) , (29)

где т} = г - И , И - радиус сферы, г, 6, ф - сферические координа -

ты, п - единичный вектор нормали.

Для разделения эффектов первого и второго порядков, функция Ф раскладывается в ряд по числу Кяудсена, которое предполагается малым, и ограничиваемся при этом двумя первыми членами разложения

Ф = Ф<1>+ Кп Ф<2;>+ .... (30)

В результате получаем систему зацепленных уравнений с соответствующими граничными условиями:

3 Ф<1 > з

с-= - Ф<1>+ У<1>+ г с„о<1>+ -г<1>( с2 - -5- ) , (31)

г д л в е 2

От Ф<1> - 0 , (32)

^ 5 ' 5

Ф<1>( 0.Й ) - - 2 С^1* ( 00 ) _ с2 - -2- ) ♦ ( С2 - -2- ) *

, д 1п 5 св а ¿пТ .

* I ^ + ~ ~~Гв -I + 2 °гСвПге • V 0 (33>

аФ<2> _ _ _ ■ _ „ „ з

_ _ ф<2> + v<2>+ g Се<3<г>+ %<г> J с2 _ _ j _

(34)

3 Т!

се а Ф<1> сф д Ф<1>

Rae r sin е а <р íim Ф<2> = о , (35)

Т}-»00

Ф<2>( о,0 ) = - г Сеа<2> с > о . (36)

Г ф

Однородное интегро-дифференциальное уравнение (31) с граничными условиями (32), (33) представляет задачу о макроскопических граничных условиях первого порядка, точные аналитические решения которой хорошо известны }. 0) -с еФд1 > (т)

+ Фр1 > (Т},3 ) , (37)

где

JL г)

г v a ín i —-

Ф.<1> = А.(и)/„(С ) в dv , Ф<л> = - е сг

j v г в в д е

о

Ввиду сложности задачи о скачке температуры простого газа над плоской твердой поверхностью вычисление вклада, обусловленного функцией Ф<1>(Т},6), проводится отдельно.

фа>( Т}, 0) -С еФд1>(Т),Сг) + се(с| + С2 - 2)Фр1:>(Т},Сг) +

Неоднородное интегро-диЭДеренциальное уравнение (34) с граничными условиями (35), (36) описывает скольжение второго порядка вдоль сферической поверхности. Учитывая (37), решение уравнения (34) ищется в виде

Ф<2>(т).3) = с& Ф<2>(т},с.). (38)

Тогда имеем уравнение

9 фл<2> 1 " -С2

Г____ и ^ _' лч<1>

г 9 Ч

1 г —Р — |е - ♦

—— И А

г 5фл1> г

-"5--+ —5— ®в--в--• (39)

И ее кв кас

Г Г

с граничными условиями

гш Ф.<2>(т],с ) = о , (40)

Т^оо А г

Ф<2>(0,Сг)= -20<2>(оо) , Сг> О . (41)

Применяя формализм Кейза, получаем общее решение в виде

оо Т)

Фдг>(т),сг) = В0 + В1(^сг) + | В(и)Ф^1>(Сг)е и аи +

со Т] ~т

* | ф£г>(Сг) е и Ы , (42)

-оо-

где ®<у>(Сг) н Ф<2у(Сг) - собственные функции неоднородного ин-тегро-дифференциального уравнения (39).

В силу граничных условий (40) и (41), выражение (42) переходит в сингулярное интегральное уравнение

гаег>(00) - Р |_й_з~сг Vег" Ф<°,> =

оо 0 г В(и) V

= Р] ц _ С Ли + В(Сг)Р(Сг) , Сг> О. (43)

о

Здесь мы обозначили: ф(Сг) - дисперсионная функция, ?и(Сг) - неоднородная часть соответствущего (39) характеристического уравнения.

После вычисления дисперсионной функции и интеграла в левой части, уравнение (43) решается стандартной техникой. В результате

приходим к условию, аналогичному (21), из которого получаем точную в квадратурах формулу касательной состовляицей скорости скольжения второго порядка, которая содержит поправки на кривизну к скорости изотермического и теплового скольжения газа.

В заключении вычислена поправка второго порядка к скорости скольжения газа, обусловленная скачком температуры. Задача сводится к решению неоднородного интегро-дифференциального уравнения с соответствующими граничными условиями, которые представлены в векторном виде

д Ф 1

К 2 , (44)

д т]

=-ф +

Лш ф а

Т)-кх>

®(0,С! )

I г -С'2 Э2<Гп Т

— е г Ф ас>

% -оо О ,

-гОд2>(оо)

и дг ее

, с > о

(45)

(46)

Здесь мы ввели следующие обозначения: Ф - неизвестный вектор-

1

/т

V/ 3

столбец, матрица К

■ о о

Для вектора 2. используется выражение, полученное методом Кейза в задаче о скачке температуры

оо Т}

Т.

I + е" П(и)д(и-с )

4(«>аи

(47)

Применяя формализм Кейза, запишем общее решбние уравнения (44) в виде

оо Т)

Ф(т?,С.) - В0 «- В^тт-С.) + | В(и) Фц151^) е

<1и

]Чг>

(С. ) в

л

V

ау

(48)

где Фу1>(сг) и ®у2>(Сг) - собственные векторы уравнения (44). В силу граничных условий (45) и (46), имеем векторное сингулярное интегральное уравнение

-2G<2>(oo)

О

-pJlTTCr Fu(Cr)dU - <P(Cr)

o 4.

B(u) v

r OKU! и

1 v - cr

di) + B(C )P(C ) , С > O . (49)

O

Здесь мы обозначили: !p(Cr) - дисперсионная вектор-функция, Fy(Cr) - вектор, выражающий неоднородную часть соответствующего (44) характеристического уравнения.

После вычисления дисперсионной вектор-функции и интеграла в левой части уравнения (49), последнее решается стандартно. В результате получаем

1 , 1 . аггП т

G02><«» " [— СЛ> - Сс°г + 2Q3 - «J НЭгае • (50>

Подставляя точное значение коэффициента скачка температуры ct и значения лойалковских интегралов, имеем

дггп т

GÍ (ю) = d - , (51)

в R аг дв

где d = 0.821.

Полученное выражение представляет точное значение поправки на неоднородность градиента температуры в слое Кнудсена, которая хорошо согласуется с соответствующим результатом, полученным Яла-мовым Ю.И. с сотрудниками.

ВЫВОДЫ

1. В процессе работы методом Кейза были получены аналитические решения кинетического уравнения Вольцмана в форме БГК модели, которые позволили наити точные ( в замкнутой форме ) выражения некоторых газокинетических коэффициентов второго порядка.

2. Эти коэффициенты удовлетворительно согласуются с соответствующими результатами, полученными различными приближенными методами, что подтверждает справедливость этих методов, а также, справедливость существующих граничных условий второго порядка.

3. При исследовании влияния искривленности поверхности на скорость скольжения в работе впервые развит метод аналитического решения неоднородного модельного кинетического уравнения БГК.

4. Результаты диссертации могут быть использованы в различных прикладных задачах газовой динамики и физики аэродисперсных сис-

t

тем.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Гайдуков М.Н., Акимов Д.Н. Чепменовское решение модельного уравнения БГК.// В сб." Современные проблемы физики аэродисперсных систем". М., МОПИ им. Н.К.Крупской, 1990. Деп. в ВИНИТИ, J6 4I25-B90.

2. Акимов Д.Н., Гайдуков М.Н. ■ Точное вычисление барнеттовской поправки к скорости теплового скольжения газа.// В сб. "Современные проблемы физики аэродисперсных систем". М., МОПИ им. Н.К. Крупской, 1990. Деп. В ВИНИТИ, Л 4I25-B90.

3. Акимов Д.Н., Гайдуков М.Н. Точное вычисление скорости скольжения простого газа вдоль сферической поверхности.// В сб."Современные проблемы физики аэродисперсных систем". М., МОПИ им. ■Н.К.Крупской, 1991. Деп. в ВИНИТИ, Ш 4900-B9I.

4. Gayducov M.N., Akimov D.N. Analitic solution of non-uniform BGK eqvaition.// Rarefied Gas Dynamics. Vancuver, Canada, 1992.