Спектральные разложения гельдеровских функций и краевые задачи Римана-Гильберта для ЭС-уравнения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Спектральные разложения и краевые задачи на отрезке и на действительной оси.

1.1. Скалярное ЭС-уравнение.

1.2. Собственные значения и собственные функции характеристического уравнения.

1.3. Дисперсионная функция и её свойства.

1.4. Разложение гёльдеровской функции по системе собственных функций на отрезке

1.5. Разложение функций из некоторых классов на действительной оси

1.6. Свойства собственных функций характеристического уравнения на отрезке и на действительной оси.

Глава 2. Спектральное разложение на полуоси и его приложение к решению граничных задач.*.

2.1. Однородная краевая задача Римана-Гильберта и ее применение к спектральному разложению на полуоси

2.2. Свойства собственных функций характеристического уравнения на действительной полуоси.

2.3. Граничные задачи и разложение их решений по системе собственных решений.

2.4. Непрерывная зависимость решений от граничных данных

Актуальность темы. Многие задачи кинетической теории газов, физики плазмы, другие проблемы естествознания моделируются при помощи интегро-дифференциальных уравнений. К этому классу принадлежит уравнение

Здесь хе(0,+оо), це(-оо,+со), р(|1,ц') - ядро уравнения, \|/(х,ц) - неизвестная функция.

Предметом исследования диссертации являются системы собственных функций некоторого класса интегральных операторов, возникающих в связи с изучением уравнения (0.1). В основе настоящей работы лежат разложения гёльдеровских функций по системе собственных функций характеристического уравнения для уравнения (0.1). Центральное место при вычислении коэффициентов этих разложений занимает решение краевой задачи Римана-Гильберта.

Получение явных аналитических представлений для решений уравнения (0.1) основано на классическом методе Фурье разделения переменных, когда общее решение линейного интегрального уравнения ищется в виде разложения по системе собственных функций соответствующего оператора. При этом оказалось, что у рассматриваемого уравнения (0.1) имеется как конечный набор собственных функций, отвечающий дискретной части спектра, так и континуальное множество собственных функций, отвечающих непрерывной части спектра. В отличие от классической ситуации, собственные функции, отвечающие непрерывному спектру, являются сингулярными обобщенными функциями, и соответствующее разложение по ним задается некоторым сингулярным интегральным оператором с ядром Коши.

0.1)

Развиваемый аппарат применяется к решению различных граничных задач для уравнения (0.1), в частности, задач вида lim \j/(x,|i)=\]/o(l4 (0.2) х-м-0 lim — н/(х,ц)=ао, М-<0, (0.3)

Х->+СО Ох или, что то же, v|/(x,jx)=:yas(x,|i)+o(l), х—>+оо, ji<0. Здесь уо(ц) произвольная функция, удовлетворяющая условию Гёльде-ра на положительной полуоси, ао - заданная постоянная, \j/as(x,jLi) есть линейная комбинация частных решений уравнения (0.1). В основе решения таких задач лежит метод разложения решения граничной задачи по системе частных (собственных) решений уравнения (0.1), который, в свою очередь, основан на возможности разложения произвольной гельдеров-ской функции по системе собственных функций характеристического уравнения.

Хотя различным конкретным граничным задачам для уравнения (0.1) посвящено большое число работ, общий случай граничных условий изучен не был. Данное диссертационное исследование ставит целью обобщить как уже существующие методы качественной теории интегральных уравнений, так и предложить новые приемы для построения законченной теории решений краевых задач (0.1)—(0.3) общего вида, включающей в себя условия существования и единственности решений краевых задач, описание свойств этих решений и получения для них точных аналитических представлений.

В литературе уравнение (0.1) с ядром

1 2 р(|д,ц')=-7=[ехр(-и ll-wO yjll получило название эллипсоидально-статистического уравнения (ЭС-уравнения). Это уравнение возникает при описании сдвигового течения газа вдоль плоской поверхности.

Цель работы — Изучение спектральных свойств интегральных операторов, возникающих при исследовании уравнения (0.1) методом Фурье разделения переменных. Разложение произвольных гельдеровских функций одного переменного по системе собственных функций. Развитие аппарата для решения граничных задач для ЭС-уравнения, исследование свойств решений таких задач на основе развиваемой в диссертации методики построения точных аналитических решений; исследование вопросов существования и единственности решений, принадлежащих различным функциональным классам.

В ходе работы решались следующие научные задачи:

1. Применение классического метода Фурье разделения переменных для решения линейного однородного уравнения (0.1). Исследование спектра и системы собственных функций возникающего с связи с этим линейного оператора (характеристического уравнения).

2. Разложение произвольных гельдеровских функций одного переменного по собственным функциям характеристического уравнения для уравнения (0.1), то есть их представление в виде сингулярного интегрального оператора с ядром Коши с заданными аналитическими свойствами.

3. Решение однородной и неоднородной краевых задач Римана-Гильберта.

4. Получение аналитических представлений для решений различных граничных задач с заданной асимптотикой на бесконечности для ЭС-уравнения.

5. Исследование вопросов существования, единственности и аналитических свойств решений ЭС-уравнения.

Научная и практическая ценность работы. Работа носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы при качественном исследовании ряда важных с прикладной точки зрения задач кинетической теории газов, теории переноса нейтронов, физики плазмы, теоретической астрофизики. Развиваемый математический аппарат может быть использован в спектральной теории линейных операторов, в теории интегральных, интегро-дифференциальных уравнений и уравнений математической физики. Доказанные теоремы могут быть обобщены, в частности, на случай произвольного n-мерного ЭС-уравнения, а также для других кинетических уравнений.

Научная новизна работы. Все результаты данной работы получены автором впервые. Основные результаты автора, выносимые на защиту:

1. Для уравнения (0.1) были найдены семейства сингулярных собственных функций - решений характеристического уравнения и исследованы их свойства. Были найдены интегральные представления общего решения ЭС-уравнения в виде разложения по собственным функциям дискретного и непрерывного спектров.

2. Доказаны теоремы о разложениях произвольных гёльдеровских функций по собственным функциям характеристического уравнения на произвольном отрезке, на действительной оси, на положительной действительной полуоси.

3. Приводится решение однородной и неоднородной краевых задач Римана-Гильберта, возникающее в процессе вычисления ядра соответствующего интегрального оператора Коши. Разработанная процедура обобщает метод A.B. Латышева, однако для данного класса уравнений не была известна.

4. Найдены формулы для решений ЭС-уравнения с граничными условиями общего вида.

5. Исследованы свойства собственных функций характеристического уравнения.

Предшествующие результаты. Интерес к кинетическим уравнениям, в частности, к уравнению (0.1), возник сразу вслед за появлением статьи

Кейза [Case K.M., 1960], в которой был заложен метод нахождения решений уравнений переноса нейтронов, родственных к уравнению (0.1), в виде разложения по собственным сингулярным обобщенным функциям характеристического уравнения. Это разложение является аналогом формулы Грина для определения фундаментальных решений смешанных линейных уравнений с частными производными. Такого рода разложения лежат в основе метода Фурье разделения переменных и для своей реализации требуют, чтобы изучаемому уравнению соответствовала бы полная (в смысле метрики подходящего функционального пространства) система собственных функций одного из операторов, входящих в задачу. Заслуга Кейза состояла в том, что наряду с классическими (регулярными) функциями он включил в такую систему и систему собственных сингулярных обобщенных функций, получив тем самым полный набор собственных функций исходного уравнения.

В работах [34]-[36], [26] этот метод был применен к решению одно-скоростного уравнения Больцмана с изотропным рассеянием нейтронов. Однако никаких формул для вычисления коэффициентов разложений решений представлено не было, было лишь описано сведение разложения к системе интегральных уравнений Фредгольма.

Значительное продвижение в исследовании кинетических уравнений и их приложений были получены Полем Цвайфелем и Чарльзом Сивер-том (см., например, [38]-[39], [47]). Они показали, что задачу определения температурного распределения во внешних слоях звезды можно при определенных условиях свести к решению уравнения, эквивалентного односкоростному уравнению переноса нейтронов. В работах [35]-[39] были доказаны теорема о полноте собственных векторов в интервале — 1<ц<1 - т.н. "полнопространственная" теорема о полноте, и теорема об ортогональности собственных векторов в интервале -1<|и<1, вычисляются нормировочные интегралы для собственных векторов, строятся функции Грина для бесконечной неразмножающейся среды и выясняется чисс ло нулей дисперсионной функции в зависимости от матрицы переноса и матрицы рассеяния.

Различные частные случаи уравнения (0.1) изучались в работах [34], [36], [37]-[44], [48]. Хотя число частных примеров уравнений, для которых удалось получить аналитическое решение, росло, методики, которая бы позволила решать общие уравнения вида (0.1) вместе с произвольными граничными условиями, не было.

В последние годы в работах А.В.Латышева на примере решения конкретных проблем была построена теория решения граничных задач для основных классов модельных уравнений Больцмана из кинетической теории газов. При этом были получены точные решения классических задач кинетической теории, длительное время исследовавшихся лишь численными или приближенными методами. Также была разработана методика сведения соответствующего интегрального уравнения к краевой задаче Римана-Гильберта (скалярной или векторной), включающая методы диагонализации и факторизации коэффициента краевой задачи. В работах [12]-[15] была построена теория аналитических решений ряда граничных задач для модельных уравнений Больцмана и построены точные решения ряда граничных задач из теоретической астрофизики и кинетической теории газа и плазмы. Доказаны теоремы о существовании и единственности разложения граничных значений решения по собственным векторам. Это доказательство сводится к решению краевой задачи Римана-Гильберта с матричным коэффициентом.

Что касается общих уравнений переноса, то здесь выделим основополагающий труд B.C. Владимирова [4] по обоснованию разрешимости и исследованию свойств стационарного уравнения переноса.

Содержание диссертации по главам. Диссертация состоит из введения и двух глав.

1. Ахиезер Н.И. О некоторых формулах обращения сингулярных интегралов/ И АН СССР. Сер. матем., т.9, №4, 1945, с. 275-290.

2. Бобылев A.B. Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау,- М.: ИПМ им. М. В. Келдыша, 1987, 253 с.

3. Бхатнагар П.Л., Гросс Е.П., Крук М. Модель процессов столкновений в газах// Проблемы современной физики, М.: Иностр. лит., №2, 1956, с.82.

4. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса нейтронов. Труды МИАН СССР, т.61, изд-во АН СССР, 1961, №59, 158 с.

5. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. -М.: Наука, 1976, 280 с.

6. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988, 512 с

7. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука. 1977. 640 с.

8. Гермогенова Т.А. О полноте системы собственных функций характеристического уравнения теории переноса. ИПМ им. М. В. Келдыша. Препринт № 103, 1976, 55 с.

9. Евграфов М.А. Асимптотические оценки и целые функции. М.: Наука, 1979, 320 с.

10. Ершов Ю.И., Шихов С.Б. Математические основы теории переноса. т.1. Основы теории. -М.: Энергоатомиздат, 1985, 232 с.

11. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972. 384 с.

12. Латышев A.B. Аналитические аспекты решения модельных кинетических уравнений // Теорет. и мат. физика. 1990, т. 85, № 3, с. 428442.

13. Латышев A.B. Введение в кейсологию. Аналитические методы и граничные задачи для модельных кинетических уравнений. Монография. Отдел теоретических проблем РАН. Деп в ВИНИТИ 16.09.1996. №2823-В96, 237 с.

14. Латышев A.B., Шистеркина С.Н. Модельное эллипсоидально-статистическое уравнение Больцмана и свойства его собственных функций// Труды III международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения». Саранск, 1998, с. 236.

15. Латышев A.B., Шистеркина С.Н. О полноте системы собственных функций модельного эллипсоидально-статистического уравнения Больцмана// V международная конференция «Математика, компьютер, образование». Тезисы докладов. Москва, 1998, с.95

16. Микусинский Я., Сикорский Р. Элементарная теория обобщенных функций. -- М.: Иностр. Лит., 1959, 79 с.

17. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. М.: Наука, 1968. 512 с.

18. Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции. М.: Наука, 1978, 325 с.

19. Фельдман И.А. О конечности дискретного спектра характеристического уравнения теории переноса излучения// ДАН СССР, 1974, т.214, №6, 1974, с. 1280- 1283.

20. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Наука, 1973. 245 с.

21. Черчиньяни К. О методах решения уравнения Больцмана/ Неравновесные явления: уравнение Больцмана. М.: Мир, 1986, с.132-203.-9525. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978. 495 с.

22. Шистеркина С.Н. Векторная краевая задача Римана-Гильберта для ЭС-уравнения и ее приложения// Депонировано в ВИНИТИ Мордовским государственным университетом им. Н.П.Огарева, 29 июня 1999 г. Номер депонента 2130-В99, с. 1-30.

23. Шистеркина С.Н. Свойства собственных функций скалярного ЭС-уравнения// Сборник трудов Мордовского государственного университета им. Н.П.Огарева. Саранск, 1999, с. 150-154.

24. Шистеркина С.Н. Спектральные разложения гельдеровских функций и граничная задача для ЭС-уравнения// Депонировано в ВИНИТИ Мордовским государственным университетом им. PI.П.Огарева, 29 июня 1999 г. Номер депонента 2129-В99, с. 1-30.

25. Bouderi R.L. On the zeros of the dispersion function in partial transport theory// J. Math. Phys., 1986, v.27, n.6, p. 1624.-1632.

26. Burniston E.E., Siewert C.E., Zweifel P.F., Silvelnoinnen P. Matrix Riemann-Hilbert Problems Related to Neutron Transport Theory// Nucl. Sci. Eng. 1971. V.45, 331-332.

27. Case K.M. Elementary solutions of the transport equation and their applications// Annals of physics (N.Y.), 1960, v.9, n.l, p. 1-23.

28. Cerciniani C., Siewert C.E. On the partial indices for a matrix RiemannHilbert problem// J. Appl. Mat. Phys. 1982. V.33, 297-299.

29. Cerciniani C. Elementary solutions of the linearized Boltzman equation and their application to the slip-flow problem// Ann.Phys. (N.Y.), 1962, V.20, p.219-233.

30. Frisch H., Frisch U. A method of Cauchy integral equation for noncoherent transfer in half-space// J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1982, v.28, n.5, p.361-375.

31. Greenberg W., Van der Mee C.V.M., Protopopescu V. Boundary value problems in abstract kinetic theory. Birkhauser Verlag Basel-Boston-Stutgart, 1987, 526 p.

32. Greenberg W., Zweifel P.F. The Case eigenfunction expansion for a conservative medium//J. Math. Phys., 1976, v.17, n.2, p. 163-167.

33. Kriese J.T., Chang T.S., Siewert C.E. Elementary solutions in the kinetic theory of gases// Int. J. Engng. Sei. 1974. V.12, 441-470.

34. Kuscer I., McCormick N.J., Summerneid G.C. Orthogonality of Cace's eigenfunmctions in one-speed transport theory// Annals of Physics. (N.Y.), 1964, v.30,p.411-421.

35. Larsen E.W., Habetier G.J. A functional analytic derivation of Case's full- and half-range formulas// Commun. Pure and Appl. Math. 1973, v.26, p.525-537.

36. Larsen E.W., Sancaktar S., Zweifel P.F. Extension of the Case formulas to Lp. Application to half and full space problems// J. Math. Phys., 1975, v. 16, n.5, p. 1117-1121.

37. Lekkerkerker C.G. Spectral properties of operators in linear transport theory// J. Integral equations and Operator theory, 1979, v.2, p.365.

38. Slawny J., Zweifel P.F. A note on the singular eigenfunction method in transport theory// Transport Theory and Statistical Physics, 1988, v.17, n.2&3, p.283-294.

39. Van der Mee C.V.M., Zweifel P.F. Applications of orthogonality relations to singular integral equations// J. Integral equations and appl., 1990, v.2, n.2, p. 185-203.

40. Zweifel P.F. Completeness theorems in transport theory// Transport Theory and Statistical Physics. 1984, v.13, n.l&2, p.57-67.

41. Case K.M. Singular integral equations// J. Math. Phys., 1966, v.7, n. 12.