Представление решений одного класса релаксационных кинетических уравнений интегралами типа Коши тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Введение

Глава 1 Решение модельных кинетических уравнений в пространствах Лебега

1.1 Кинетическое уравнение. Собственные функции и собственные значения соответствующего характеристического уравнения

1.2 Свойства собственных функций характеристического уравнения

1.3 Каноническая факторизующая функция

1.4 С-преобразования и их свойства

1.5 Разложение единицы для оператора переноса. Резольвента и её свойства

1.6 Граничные задачи

1.7 Случай неограниченного оператора переноса

1.8 Разложение решения в случае БКВ-уравнения 56 За кл юч ител ьн ые за меч ан ия

Глава 2 Нестационарное модельное уравнение

2.1 Постановка задачи. Сведение к стационарному уравнению

2.2 Индекс краевой задачи Римана

2.3 Связь собственных функций непрерывного и дискретного спектров

2.4 Граничная задача

2.5 Предельные случаи

2.6 Представление решения граничной задачи интегралами типа Коши 84 Заключительные замечания

Глава 3 Решение общей граничной задачи

3.1 Постановка задачи.

3.2 Характеристическое уравнение. Дисперсионная матрица. Дисперсионная функция и их свойства

3.3 Факторизация матричного коэффициента

3.4 Теорема о разложении решения по собственным векторам 104 Заключительные замечания

Актуальность темы. Значительное число физических процессов описывается с помощью интегро-дифференциальных уравнений. Линейные интегро-дифференииальные уравнения переноса применяются в нейтронной физике, в задачах изучения стационарных, многоэнергетических и изотропных процессов переноса, а также в кинетической теории. Точные решения можно получить для тех граничных задач, которые сводятся к одномерным и односкоростным уравнениям, либо скалярным, либо векторным с полиномиальными ядрами.

Предметом исследования диссертации является линейное интегро-дифференциальное кинетическое уравнение, выведенное Вильямсом М.М.Р. в 1971 году + (cV,)A + c-/j(r,c./) = —с Uc-')^(c,c')/;(r,c'.Oi/V, (0.1 ) et 2 J i i где р(с) = л-312сс"', А(с,с') = 1 + ^сс' + -(с2 - 2){сг - 2).

Вильяме М.М.Р. получил уравнение (0.1) на основании релаксационного кинетического уравнения с частотой столкновений молекул пропорциональной модулю молекулярной скорости.

При моделировании различных физических процессов возникает целый ряд уравнений вида (0.1), для которых поставлены граничные задачи, с заданными начальным условием и асимптотикой на бесконечности.

Общие приемы, использованные при исследовании моделей уравнения (0.1), - это применение метода Фурье для разделения переменных в рассматриваемой модели уравнения, сведение кинетического уравнения к характеристическому, с последующим решением его в пространстве обобщенных функций. Решение вспомогательной однородной краевой задачи Римана (возникающей при решении полупространственных граничных задач), соответствующей полученному характеристическому уравнению, в классе мероморфных функций.

При исследовании скалярных моделей уравнения (0.1): л I

-Ç-H-v,//) + И-v,//) = ^ J(1 , (0.2) с* 4 J, здесь х € (0,+со), // е (-1,1), с е IV (с* 1), у(х,ц) д 3 1 xv л j

-1 здесь х е(0,+со), // е(-1,1), г/(х,ц)е/7,(р>1), использовалась спектральная теория. Был выработан математический аппарат, основанный на теории линейных операторов, позволивший впервые получить явные решения полупространственных граничных задач для уравнений (0.2)-(0.2а) в пространствах Лебега (р>1).

Через 9? обозначено множество функций f(x,n) непрерывных по х на полуоси хе[0,+со] при всех це(-1,1); удовлетворяющих условию Гельдера по на промежутке [0,1] при всех 0<х<+оо; непрерывно дифференцируемых по х на полуоси хе(0,+со) при всех [ле(-1,1) и интегрируемых по ц на (-1,1) при всех хе(0,+со) с весом р(ц)=1-ц2.

Впервые получено точное решение полупространственной граничной задачи для нестационарной модели уравнения (0.1):

JMxju) (0.3) at ох 4 J, здесь лг б (0,+со), // € (-1,1), / е (0,+со).

Впервые проведено полное исследование общей граничной задачи для линеаризованного уравнения Вильямса

4а 0 ) dh(x,/.i) 1

И Т + Hx.fi) = - /А'(/Л[i')h(x,/t')d;t', A'(//,//') = ох 2 •

6«////' 3////' За////' О а 1 ,

0.4) здесь х е (0,+оо), // е (-1.1), а е И, при различных значениях параметра а. Граничное условие при ,г=0 принимается равным вектор-функции Ь0(ц), являющейся гельдеровской по переменной )и на (0,1).

Цель работы. Цель работы заключается в исследовании поставленных граничных задач и получении аналитических представлений для их решений. В ходе работы решались следующие задачи:

1. Доказана возможность применения С-преобразований на интервалах (-1,1) и (0,1) в пространствах Лебега (р>1) для получения аналитических представлений решений граничных задач, поставленных для уравнений (0.2)-(0.2а).

С-преобразованиями (прямым и обратным) назовем формулы 1 = |«(/7)Ф(/7.//)<///, 0<с<2/3,

-I

I < где «(//) = —— Г//(1 - //2)/(//)Ф(7,//)ф,

ЛЧ'/)., I и /(//) = и(т]0)Фп (//) + «(-/7„)Ф.,Л,(//) + |п(//)Ф(//,//>//7, О2/3,

-I 3 где ЛЧ±//0) = - слп1К(±По)

7 о) = т^— ГМ1 - •

Здесь Ф(г|,|1) - собственные функции непрерывного спектра г|е(-1,1)

Ф(ал//) = ^с-;7/'— + (1-/гГ,Л((/7Ж/7-//), |ле(-1,1), 4 I;-//

Ф (//) - собственные функции дискретного спектра {±г10}(если он существует)

0еС\[-1,1], це(-1,1), с>2/3.

4 ±/70-//

Впервые С-преобразования были получены Кейзом К. для решения конкретных задач теории переноса в пространстве гельдеровских функций.

2. Приведение нестационарного скалярного уравнения (0.3) к стационарному. Исследование возникающего при этом спектра комплексного параметра и и его влияния на количество решений стационарного уравнения. Решение полупространственной граничной задачи, поставленной для уравнения (0.3).

3. Получение аналитического решения полупространственной граничной задачи с заданной функцией распределения И при л-0 и заданной асимптотикой на бесконечности для интегро-дифференциального уравнения (0.4) с ядром, являющимся вектор-функцией, при различных значениях параметра а.

Научная и практическая ценность работы. Результаты работы относятся к теории аналитических решений кинетических уравнений. Отметим, но крайней мере, два направления проведенного исследования, имеющих прикладное значение: применение методов функционального анализа (спектральной теории линейных операторов) для получения решений граничных задач в пространствах Лебега и использование полученных результатов при решении уравнений математической физики, в частности при исследовании модельных задач кинетической теории газа и плазмы, теории переноса нейтронов и теоретической астрофизики.

Научная новизна работы. Все результаты данной работы получены автором впервые.

Основные результаты автора, выносимые на защиту: 1. Для оператора переноса обратного к оператору К, возникающему при записи уравнения (0.2) в операторной форме, найдена область определения и показано, что коэффициент непрерывного спектра осуществляет непрерывное отображение одного нормированного пространства:

А'-'Жл-,//) = мГ(х.ц) + Г//'(1 -//'2)/(*,/''Ж,

4 1 -с ^ це(-1,1), х>0, с>0, с

-I

ХР = {/(/')://(! -V)/(//) 6 АД-1,1)} с нормой в другое: ={«(//)://«(//) е ¿г(-1,1)} с нормой р со, р> 1.

Показано, что оператор переноса А"' порождает аналог разложения единицы Е(-1,(о) - его спектральную меру. Получено интегральное представление оператора переноса. Показано, что оператор переноса коммутирует с «разложением единицы». Развитый аппарат применён для решения однородной граничной задачи, поставленной для уравнения (0.2), и неоднородного линейного уравнения.

2. При записи уравнения (0.2а) в операторной форме возникает оператор К, который является замкнутым, неограниченным и необратимым на всей области определения. Показывается, что область определения оператора К разлагается в прямую сумму двух пространств, в одном из которых этот оператор обратим, поэтому рассматривается сужение оператора К на это пространство. Находится оператор переноса К'х - обратный к оператору К. Выводится интегральное представление для резольвенты и показывается, что С-преобразования на (-1,1) применимы в области определения оператора переноса. Развиваемая теория позволяет получить разложение решения граничной задачи по собственным функциям в пространствах Лебега.

3. Исследован спектр, возникающий при сведении нестационарного уравнения (0.3) к стационарному уравнению с комплексным параметром. Решена полупространственная граничная задача, задаваемая нестационарным уравнением (0.3) и граничными условиями

- задача Рэлея - задача нахождения отклика газа (функции распределения у/(л\//,0) на движение пластины, ограничивающей этот газ.

Найдено представление функции у>(0,цд), являющейся решением граничной задачи, при отрицательных значениях переменной |л. у/(0,//,/) = 2и0е', 0 < // < 1, / > 0, л- е С, у/( со,//,/) = о,

-!<//< 0, / > 0,

4. Найдено решение полупространственной граничной задачи для уравнения (0.4) при различных значениях параметра а.

Предшествующие результаты. Рассматриваемые в диссертации задачи возникают при решении физических проблем. Уравнение Больцмана, выведенное им в 1872 году [3] является одним из самых фундаментальных уравнений естествознания. Сравнительно недавно удалось получить точные решения уравнения Больцмана, но лишь для ограниченного числа случаев. Традиционно вместо уравнения Больцмана рассматривают его модель, в которой сложный, нелинейный пятимерный интеграл столкновений, заменён линейным трехмерным (модельным). От модельного интеграла требуется выполнение законов сохранения массы, импульса и энергии.

Кейз К. [18, 58] предложил метод, позволяющий в явном виде построить искомую функцию распределения. Этот метод состоит в разложении функции распределения по собственным обобщенным сингулярным функциям характеристического уравнения, соответствующего исходному кинетическому уравнению. Система собственных функций, отвечающая уравнению, должна быть полной в смысле метрики некоторого функционального пространства, но до Кейза в нее включали только регулярные собственные функции. Черчиньяни К. [61] в 1962 году использовал метод Кейза для получения аналитического решения БКВ-модели (Больцман, Крук, Веландер) уравнения Больцмана. Эта модель часто называется также БГК-моделью (Бхатнагар, Гросс, Крук). Модельный интеграл в форме БКВ является наиболее употребительным модельным интегралом столкновений. Для вывода уравнения (0.1) Вильяме использовал интеграл столкновений типа БКВ.

Значительный вклад в метод Кейза внесли Латышев A.B. и Юшканов A.A. ([24], [31]), разработавшие методику сведения интегрального уравнения к краевой задаче Римана-Гильберта, что позволило подключить к решению задач мощный аппарат ТФКП (см. работы Ф.Д. Гахова [10], [11] и Мусхелишвили

41]).

В работе Латышева A.B. и Юшканова A.A. [69] впервые был применён метод разложения решения по сингулярным собственным функциям для решения системы двух интегро-дифференциальных уравнений переноса. Значительное число аналитических решений граничных задач для различных модельных кинетических уравнений было получено в работах [24]-[38]. В [26] модифицирован метод Винера-Хонфа для решения уравнений типа свертки, к которым можно свести уравнения переноса. Результаты, полученные этим методом, совпадают с найденными при использовании метода Кейза.

Доказательство теоремы о полноте системы собственных векторов в интервале -1<//<1 и теоремы об ортогональности собственных векторов в интервале -1<//<1, вычисление нормировочных интегралов для собственных векторов, нахождение числа нулей дисперсионной функции в зависимости от матрицы переноса и матрицы рассеяния содержатся в работах Case K.M. [59], Cercignani С., Siewert С.Е. [60], Cercignani С. [61], Cercignani С., Sernagioto F. [62], Greenberg W., Van der Mee C.V.M., Protopopescu V. [63].

Круг вопросов рассматриваемых в диссертации связан с построением аналитических решений граничных задач, поставленных к моделям уравнения (1). В первой главе рассматривается проблема построения точного решения в функциональных пространствах (пространствах Лебега). Функциональный подход в теории переноса разрабатывался многими учеными, в частности вопросам существования следов (граничных значений) у функций с сохранением свойств гладкости, существования решений уравнений переноса, а также исследованию свойств гладкости решений посвящены работы Владимирова B.C. [5], [6], Гермогеновой Т.А. [12], [16], Агошкова В.И. [1], Шутяева В.П. [55]. Значительные результаты, касающиеся разрешимости задач, поставленных для уравнения переноса, в пространствах Лебега, получены В.И. Агошковым [1]. Современное развитие вычислительной техники позволяет при рассмотрении прикладных задач (в частности задач о переносе частиц) использовать алгоритмы нахождения приближенного решения. Построение точного решения -другой метод рассмотрения тех же задач. Этот метод позволяет получить решение в явном виде. Отметим, что в первой главе диссертации основной целью является построение аналитического решения исследуемой задачи в пространствах Лебега. Этот вопрос для простых классов кинетических уравнений впервые был рассмотрен в работах Ларсена Е., Гринберга Б., Цвайфеля Г1. [64], [68], которые получили их аналитические решения в пространствах Lp (р>1).

Нестационарная задача для модельного кинетического уравнения с интегралом столкновений в форме БКВ, так называемая задача Рэлея, впервые была решена в работах [60J, [62]. В дальнейшем Латышевым A.B. и Юшкановым A.A. [30] было получено приложение к задаче Рэлея. Теми же авторами получено нестационарное решение модельного кинетического уравнения при критических значениях параметров движения стенки, ограничивающей занятое газом полупространство [37]. Методом Кейза в работе [46] получено решение нестационарного векторного уравнения Больцмана с БКВ-моделью интеграла столкновений.

Рассматриваемая в диссертации векторная задача обобщает результаты работ [24], [32], [69], и ряда других на случай произвольного значения параметра а.

Интегро-дифференциальные уравнения, являясь математическими объектами, используются для решения физических задач, поэтому отметим работы Г.Я. Румянцева [45] по теории переноса нейтронов в плоских решетках, М.В. Масленникова [39] по проблеме Милна с анизотропным рассеянием, Ю.И. Ершова, С.Б. Шихова и A.B. Крянева [17], [21] по вопросам математической теории реакторов. А также работу Гермогеновой Т.А. [13], в которой рассматривается полнота системы собственных функций характеристического уравнения, и работу Фельдмана И.А. [50], содержащую обоснование конечности дискретного спектра.

Содержание работы по главам. Диссертация состоит из введения и трёх

1. Агошков В.И. Обобщенные решения уравнения переноса и свойства их гладкости. - М.: Наука, 1988. - 240с.

2. Антосик П., Минусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций. Секвенциальный подход. М.: Мир, 1976. - 31 1 с.

3. Больцман Л. Избранные труды. М.: Наука, 1984. - 590 с.

4. Бобылев A.B. Точные и приближенные методы в теории нелинейных кинетических уравнений Больцмана и Ландау. М.: ИПМ им. М. В. Келдыша, 1987.-253 с.

5. Владимиров B.C. Математические задачи односкоростной теории переноса частиц. // Труды МИЛН СССР. -1961.- №61. 158 с.

6. Владимиров B.C. Особенности решения уравнения переноса // ЖВМ и МФ -1968. Т. 8. - № 4,. - С. 842-857.

7. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. -512с.

8. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976.-280 с.

9. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1977. - 640 с.

10. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1968. - 640 с.

11. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. - 269 с.

12. Гермогенова Т.А. Краевые задачи для уравнения переноса: Автореф. дис. . д-ра физ.-мат. наук. М., 1971.

13. Гермогенова Т.А. О полноте системы собственных функций характеристического уравнения теории переноса //. Препринт. 1976. - №103 - 55 с.

14. Гермогенова Т.А. Локальные свойства решений уравнений переноса. -М.: Наука, 1986.- 231 с.

15. Гермогенова Т.А. Спектр характеристического уравнения теории переноса// Препринт. 1978. - №62. - 53 с.

16. Гермогенова Т.А. Обобщенные решения краевых задач для уравнения переноса // ЖВМ и МФ. 1969. - Т. 9. - № 3. - С. 605-625.

17. Гршов Ю.И., Шихов C.B. Математические основы теории переноса: в 2т. М.: Энергоатомиздат, 1985.

18. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972. - 384 с.

19. Колмогоров Л.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989. - 624 с.

20. Крылов Н.В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гель дера. Новосибирск: Научная книга, пер. с англ., 1988. -178 с.

21. Крянев A.B., Шихов С.Б. Вопросы математической теории реакторов: Нелинейный анализ. М.: Энергоатомиздат, 1983. - 280с.

22. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. T. 2.-М.: Высш. шк., 1988. -576 с.

23. Лаврентьев М.А., Шабат В.В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1973. - 736 с.

24. Латышев A.B. Применение метода Кейза к решению линеаризованного кинетического БГК уравнения в задаче о температурном скачке// Г1ММ. 1990. -Т. 54.-Вып. 4.- С. 581-586.

25. Латышев A.B. Аналитические методы решения модельных кинетических уравнений и их приложения. .Диссертация на соискание учёной степени доктора физ.-мат. наук. - М.: ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 1993. - 249 с.

26. Латышев A.B. Введение в кейсолопно. Аналитические методы и граничные задачи для модельных кинетических уравнений. Монография. Отдел теоретических проблем РАН. Деп. в ВИНИТИ 16.09.1996, №2823-В96. 237 с.

27. Латышев A.B. Аналитическое решение векторных модельных кинетических уравнений с постоянным ядром и их приложения// ТМФ. 1993, т. 97, №2, с. 283-303.

28. Латышев A.B. Аналитическое решение эллипсоидально-статистического модельного уравнения Больцмана// НАМ СССР. Сер. МЖГ. 1992. - №2,. -С. 151-164.

29. Латышев A.B. Векторная краевая задача Римана-Гильберта в граничных задачах рассеяния поляризованного света// ЖВМ и МФ. 1995. - Т. 35. - №7. -С. 1108-1127.

30. Латышев A.B. Юшканов A.A. Аналитическое решение граничных задач для нестационарных кинетических уравнений// ТМФ. 1992. - Т. 92. - №1. - С. 127-138.

31. Латышев A.B. Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о сильном испарении (конденсации)// Известия РАИ, серия МЖГ. 1993. - №6. - С. 143-155.

32. Латышев A.B., Юшкаиов A.A. Аналитическое решение модельного БГК-уравнения Больцмана в задаче о температурном скачке с учетом аккомодации энергии. // Матем. моделирование. 1992. - 'Г. 4. - Выи. 10. - С. 41-46.

33. Латышев A.B., Юшканов A.A. Точное решение уравнения Больцмана с оператором столкновений БГК в задаче о слабом испарении// Матем. моделирование. 1990. - Т. 2. - №6. - С. 55-63.

34. Латышев A.B., Юшканов A.A. Точные решения граничных задач для модельных уравнений Больцмана с переменной частотой столкновений. Монография. Деи. в ВИНИТИ от 25.04.96, №1360-В96.

35. Лагышев A.B. Юшканов A.A. Аналитическое решение граничных задач для нестационарных кинетических уравнений// ТМФ. 1992. - Т. 92. - №1. - С. 127-138.

36. Латышев A.B. Юшканов A.A. Аналитическое решение задачи о поведении столкновительной плазмы в полупространстве во внешнем переменном электрическом поле // ТМФ. 1995. - Т. 103. - №2. - С. 299-311.

37. Латышев A.B. Юшканов A.A. Нестационарная граничная задача для модельных кинетических уравнений при критических параметрах // ТМФ. -1998. Т. 116. - №2. - С. 305-320.

38. Латышев A.B., Юшканов A.A. Аналитическое решение граничных задач для нестационарных кинетических уравнений в слое с зеркальными граничными условиями. Дсп. в ВИНИТИ от 25.04.96, №1359-В96.

39. Масленников М.В. Проблема Милна с анизотропным рассеянием. М.: Наука, 1968.- 134с.

40. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М.: Физ-матлит, 1993. - 224с.

41. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. Граничные задачи теории функций и некоторые их приложения к математической физике. -М.: Наука, 1968.- 512 с.

42. Плеснер А.И. Спектральная теория линейных операторов. М.: Наука, 1965. - 624 с.

43. Пугачев B.C. Лекции но функциональному анализу. М.: Изд-во МАИ, 1996.- 744с.

44. Пыхтеев Т.Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши. Новосибирск: Наука, 1980. - 79 с.

45. Румянцев Г.Я. Линейно-алгебраическая теория переноса нейтронов в плоских решетках. М.: Атомиздат, 1979. - 224с.

46. Савков С.А., Юшканов А.А. Аналитическое решение БГК-модели нестационарного уравнения Больцмана// ТМФ. 1997. - Т. 113. - №1. - С. 139-148.

47. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: 11аука, 1976. - 408 с.

48. Солдатов А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. М.: Высш. шк., 1991. - 207 с.

49. Титчмарш Е.К. Введение в теорию интегралов Фурье. iM.: ГИТТЛ, 1948.

50. Фельдман И.А. О конечности дискретного спектра характеристического уравнения теории переноса излучения//ДАМ СССР. 1974. - Т. 214. - №6. -С. 1280-1283.

51. Черчиньяни К. Математические методы в кинетической теории газов. М.: Мир. 1973.-245 с.

52. Черчиньяни К. Теория и приложения уравнения Больцмана. М.: Мир, 1978. 495 с.

53. Черчиньяни К. О методах решения уравнения Больцмана// Неравновесные явления: Уравнение Больцмана. Под ред. Дж. Либовица и Е.У. Монтролла. -М.: Мир, 1986. С. 132-203.

54. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальный курс. М.: Изд-во МГУ, 1984.-208с.

55. Шутяев В.П. Свойства гладкости решения нестационарной задачи переноса в плоском слое // Проблемы теории и численного решения задач переноса частиц. М.: Отдел вычислит, мат. АН СССР. 1983 . - С. 148-159.

56. Bhatnagar P.L., Gross Е.Р., Krook М. Model for collision processes in gases. I. Small amplitude processes in charged and neutral one component systems// Phys. Rev. 94. P. 511-525.

57. Burniston E.E., Sieuert C.E., Zweifel P.P., Siivelnoinnen P. Matrix RiemannHilbert Problems Related to Neutron Transport Theory // Nucl. Sci. Eng. 1971, v. 45, p. 331-332.

58. Case K.M. Elementary solutions of the transport equation and their applications// Ann. Phys. (N.Y.).- 1960. V. 9. - N. 1. - P. 1-23.

59. Case K.M. Singular Integral Equations//J. Math. Phys. 1966. - V. 7. - N. 12. -P. 2121-2124.

60. Cercignani C., Sievvert C.E. On the partial indices for a matrix Riemann-Hilbert problem// J. Appl. Mat. Phys. 1982/ - V. 33. - P. 297-299.

61. Cereignani С. Elementary solutions of the linearized gas dynamics Boltzmann equation andtheir application tj the sliptlovv// Ann. Phys. 1962. - V. 20. - N. 3. -P.219-233.

62. Cereignani C., Sernagioto F. The method of elementary solutions for time-dependet problems in linearized kinetic theory// Ann. Phys. 1964. - V. 30. - P. 154-167.

63. Greenberg W., Van der Mee C.V.M., Protopopescu V. Boundary value problems in abstract kinetic theory. Birkhauser Verlag Basel-Boston-Stutgart, 1987. 526 p.

64. Greenberg W., Zweifel P.P. The Case eigenfunction expansion for a conservative medium//J. Math. Phys. 1976. - V. 17. - N. 2. - P. 163-167.

65. HangeIbroek R.J. A functional analytic approach to the linear transport equation// Transport Theory and Statistical Physics. -1976. V. 5. - N. 1. - P. 1-85.

66. Kriese J.T., Chang T.S., Siewert C.E. Elementary solutions in the kinetic theory of gases//Int. J. Engng. Sci.- 1974. V. 12.- P. 441-470.

67. Larsen E.W., Mabetler G.J. A functional analvtic derivation of Case's full- and half-range formulas// Commun. Pure and Appl. Math. 1973. - V. 26. - P. 525537.

68. Larsen E.W., Sancaktar S., Zweifel P.P. Extension of the Case formulas to Lr.Application to half and full space problems// J. Math. Phys. 1975. - V. 16. - N. 5.- P. 1117-1121.

69. Latyshev A.V., Yushkanov A.A. Boundary value problems for a model Boltzmann equation with frequency proportional to the molecule velocity// Fluid Dynamics. 1996. - V.31.-N. 3.

70. Smoluchowski M. Uber Warmeleitung in verdunnerter Gases. // Ann. Phys. -1898. Bd.64. - S. 101-130.

71. Williams M.M.R. Mathematical methods in particle transport theory. London, Butterworth. 1971.Список работ по теме диссертации

72. Рындина С.В., Луканкин ГЛ., Латышев А.В. Аналитическое решение общей граничной задачи для НКВ-уравнения // Владикавказский математический журнал 2002. - Т. 4. - Вып. 4. - С. 4-33 - 4-46.

73. Рындина C.B., Луканкин ГЛ., Латышей A.B. Граничная задача для одного класса линейных релаксационных нестационарных уравнений // Известия МАН ВШ.-2001.-№2(16)-С. 94-102.

74. Рындина C.B., Латышев A.B. Общая граничная задача для БКВ-уравнения // Сборник научных трудов, посвященный 100-летию со дня рождения проф. Темлякова «Комплексный анализ и математическая физика» М.: МГОУ, 2003.-С. 154-161.

75. Рындина C.B. Граничная задача для Э.-С. уравнения с переменной частотой// VII международная конференция «Математика, компьютер, образование»: Тезисы докладов. Дубна, 2000. - С. 172.

76. Рындина C.B. Операторный подход к решению модельных кинетических уравнений// Сборник научных трудов «Актуальные проблемы науки в исследованиях российских и зарубежных ученых». М., сентябрь 2000. Зс.

77. Рындина C.B. Решение одного класса модельных кинетических уравнений в пространствах Lp .- Ден. в ВИНИТИ от 19.10.00, №2657-1300.

78. Рындина C.B. Решение граничной задачи для линеаризованного БКВ- уравнения// Межвузовский сборник научных трудов « Вестник математического факультета». Архангельск: Изд-во Поморского государственного университета, 2001. - Вып. 5.- Зс.

79. Рындина C.B. Нестационарное уравнение для одного класса линейных, релаксационных, кинетических уравнений. Ден. в ВИНИТИ ог 19.10.00, №2655-В00.

80. Рындина C.B. Граничная задача для одного класса векторных модельных уравнений Больцмана.-Деп. в ВИНИТИ от 19.10.00, №2656-В00.

81. Рындина C.B. Граничная задача для одного класса кинетических нестационарных уравнений// VIII международная конференция «Математика, компьютер, образование»: Тезисы докладов. М., 2001. - С. 179.