Исследование свойств некоторых интегралов в пространствах C и C2 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

УДК 517.55

Быкова Ольга Николаевна

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛОВ В ПРОСТРАНСТВАХ С И С2

Специальность 01.01.01-математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа Московского педагогического государственного университета

кандидат физико-математических наук, доцент Колягин Сергей Юрьевич

доктор физико-математических наук, профессор Аксентьев Леонид Александрович; доктор физико-математических наук, профессор Кац Борис Александрович

Московский государственный областной университет

Защита диссертации состоится 2004 года в часов на

заседании Диссертационного Совета К 212.081.07 по защите диссертаций на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01-математический анализ при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18, корп. 2, ауд. 217.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного

униве1эситета.

Автореферат разослан

2004 года.

Учёный секретарь

Диссертационного Совета К 212.081.07 кандидат

физико-математических наук, доцент

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Агачев Ю.Р.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория интегральных представлений аналитических функций одного и многих комплексных переменных является быстро развивающейся ветвью одномерного и многомерного комплексного анализа в связи с широким применением результатов исследований при решении прикладных задач в гидроаэродинамике, квантовой теории поля, математической физике и математической статистике. Указанные задачи приводятся к пространственным краевым задачам, теория решения которых формировалась в работах Ф.Д. Гахова, Н.И. Мусхелишвили и др.

Значительную роль в этой теории сыграли установленные АА. Темляковым интегральные представления для функций двух комплексных переменных, аналитических в ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областях, которые известны как интегральные представления Темлякова I и II рода.

Позднее И.И. Бавриным с помощью разработанного им операторного метода был установлен ряд интегральных представлений для аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных. В случае одного комплексного переменного им были получены общие интегральные представления, являющиеся обобщением классической интегральной формулы Коши, в частности, интегральные представления для звёздных и выпуклых областей. На основе этих интегральных представлений А.В. Нелаевым были построены обобщённые операторные аналоги интеграла типа Коши и в ходе исследований выявлен ряд свойств, существенно отличающий рассматриваемые интегралы от интеграла типа Коши.

Теория интегральных представлений многомерного комплексного анализа включает ряд аналогов формулы Коши одного комплексного переменного (формулы Мартинелли - Бохнера, Бергмана - Вейля и др., а также наиболее общее интегральное представление М. Лере). В этом ряду выделяются интегральные представления Темлякова I и II рода, обладающие аналитическим ядром подынтегрального выражения, что позволяет при их изучении использовать хорошо разработанную теорию интеграла Коши одного комплексного переменного.

Значительный вклад в теорию интегральных представлений Темлякова внёс Л.А. Айзенберг, который на основе интегральных представлений Темлякова ввёл понятие интегралов типа Темлякова и сделал первые успешные шаги в их изучении. Так, для

интегралов типа Темлякова им были получены первые формулы перехода от кратного интегрирования к повторному.

Исследования Л.А. Айзенберга получили своё дальнейшее развитие в работах В.И. Боганова, Г.Л. Луканкина и других авторов. В.И. Богановым была выяснена структура множеств разбиения отрезка интегрирования, получен конструктивный способ их нахождения, начаты исследования предельных значений интеграла типа Темлякова I рода, а, кроме того, доказано существование так называемых «подвижных» областей аналитичности указанного интеграла. Г.Л. Луканкиным было введено более широкое понятие интегралов типа Темлякова, проведено их исследование в точках остова области D типа А, решён целый ряд краевых задач типа задач линейного сопряжения, а также найдены условия представимости функции вне области аналитичности интегралом типа Темлякова.

При исследовании интегралов типа Темлякова вне области аналитичности наиболее эффективным оказался метод линейных дифференциальных операторов, впервые применённый А.Т. Хвостовым. Этот метод получил ряд уточнений и дальнейшее развитие в работах А.В. Нелаева, который распространил метод линейных дифференциальных операторов на общий случай комплексных переменных,

что позволило провести эффективное исследование нескольких классов функций одного и многих переменных.

Теория интегральных представлений Темлякова и интегралов типа Темлякова получила своё дальнейшее развитие в работах В.А. Русакова, И.Н. Виноградовой, А.В. Гуляева, В.Т. Уляшева, ВА Литвинюка, А.В. Латышева, О.Д. Алгазина, СБ. Лисицына и др.

В течение последних десятилетий многие математики проводили исследования по выявлению новых свойств функций, определяемых интегралами типа Темлякова. Так, С.Ю. Колягин получил «подвижные» области аналитичности интеграла типа Темлякова при определённых условиях, налагаемых на его плотность.

Цель работы.

1. Исследование аналитических свойств функций, представимых обобщённым интегралом типа Коши;

2. Выявление квазианалитических свойств обобщённого интеграла типа Коши и квазигармонических свойств его действительной и мнимой частей;

3. Установление аналитических и квазианалитических в смысле Темлякова свойств обобщённого аналога интеграла типа Темлякова I рода и обобщённого интеграла типа Темлякова I рода;

4. Вывод формул для вычисления предельных значений обобщённого аналога интеграла типа Темлякова I рода и обобщенного интеграла типа Темлякова I рода в точках остова единичного бикруга при подходе к ним из различных областей пространства С2, а также получение формул, выражающих скачок функций, представимых этими интегралами, в точке остова бикруга.

Методы исследования.

1. Аппарат интеграла типа Коши и его многомерных аналогов;

2. Метод линейных дифференциальных операторов.

Научная новизна.

Все результаты, включённые в диссертацию, являются новыми, опубликованы, представляют научный интерес в силу того, что обобщают имеющиеся в научной литературе исследования аналогов интеграла типа Коши в одномерном случае и интегралов типа Темлякова в случае многомерном, и заключаются в следующем:

1. Выявлены области аналитичности обобщённого интеграла типа Коши, а также «подвижные» области аналитичности этого интеграла при дополнительных условиях, налагаемых на его плотность;

2. В области неаналитичности для обобщённого интеграла типа Коши выведена формула обобщённой производной, найдено обобщённое уравнение Коши -Римана, установлена формула дифференциальной связи исследуемого интеграла с классическим интегралом типа Коши, а также для его действительной и мнимой частей получено обобщённое уравнение Лапласа;

3. Для обобщённого аналога интеграла типа Темлякова I рода и обобщённого интеграла типа Темлякова I рода установлены формулы кратного и повторного интегрирования, получены области аналитичности и, вообще говоря, неаналитичности, а также «подвижные» области аналитичности этих интегралов при дополнительных условиях, налагаемых на их плотности; доказано, что в областях неаналитичности функции, определяемые исследуемыми интегралами, представимы соответствующими равномерно и

абсолютно сходящимися функциональными радами, выведены формулы, позволяющие «дифференцировать» рассматриваемые интегралы в областях неаналитичности;

4. Получены формулы для вычисления предельных значений обобщённого аналога интеграла типа Темлякова I рода, а также для обобщённого интеграла типа Темлякова I рода в точках остова единичного бикруга при подходе к ним из различных областей пространства и установлены формулы, выражающие скачок функций, представимых каждым из этих интегралов, наблюдаемый в точке остова бикруга.

Теоретическая и практическая значимость.

Диссертация носит теоретический характер. Установленные результаты являются важными в теории интегральных представлений аналитических функций одного и многих комплексных переменных, а также в теории квазианалитических функций. Результаты работы могут служить теоретической основой для новых исследований.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [7], список которых приложен в конце автореферата.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались:

• на ежегодных научных конференциях по итогам НИР Московского педагогического государственного университета;

• на научных семинарах кафедры математического анализа МПГУ;

• на объединённом научном семинаре по геометрической теории функций при Казанском государственном университете.

Структура я объём работы.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, включающих в себя 12 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 78 наименований. Общий объём работы 105 страниц.

Основное содержание работы

Во введении представлен обзор полученных ранее результатов по данной тематике, обосновываются актуальность, цели, новизна, теоретическая и практическая значимость исследования.

В главе I (§§ 1, 2) введен в рассмотрение обобщённый операторный аналог интеграла типа Коши

2т

где плотность

г =

£ еС: + = 1

произвольная функция, определённая на контуре и удовлетворяющая на нём условию Гёльдера, т -

а- Ъг

вещественный параметр, произвольные действительные константы с условиями0< а<Р< I, у^ 1.

Здесь исследованы свойства функций, определяемых рассматриваемым обобщённым операторным аналогом интеграла типа Коши, а также выявлена формула

дифференциальной связи интеграла с классическим интегралом типа Коши.

Материалы §1 показывают, что функции, определяемые обобщённым

интегралом, являются аналитическими в областях и

интегралом, являются аналитическими в областях и

а

, _ Ие2 г 1т2г

непрерывными,

но, вообще говоря,

неаналитическими в области

при при

дополнительных условиях, налагаемых на плотность исследуемого интеграла, для определяемых им функций получены так называемые «подвижные» области аналитичности.

В §2 при помощи метода линейных дифференциальных операторов вскрываются квазианалитические свойства обобщённого интеграла типа Коши, а также исследуются квазигармонические свойства его действительной и мнимой частей.

Вначале параграфа дано краткое описание основных положений используемого метода для случая одного комплексного переменного. Затем доказано, что в области

Г)3 интеграл ^ (г) можно любое число раз «дифференцировать» обобщённой производной

Эта операция равносильна дифференцированию по г соответствующее число раз ядра интеграла, причём в областях аналитичности Д и £>2 обобщенная производная вырождается в обычную производную

оо.

Далее, исходя из того, что в области аналитичности тождественно выполняется уравнение Коши - Римана, рассмотрен вопрос об установлении соответствующей аналогии для исследуемого интеграла /^(г) и найдено такое дифференциальное уравнение второго порядка с частными производными, которому удовлетворяют функции, определяемые интегралом

ад

дгдг Ш1 к ' Зг

В ходе доказательства выявлена формула дифференциальной связи интеграла с классическим интегралом типа Коши

Далее в ходе исследования квазигармонических свойств действительной и мнимой частей обобщённого интеграла типа Коши в области доказана теорема:

Действительная и мнимая части интеграла удовлетворяют

дифференциальным уравнениям третьего порядка с частными производными

я я л л

х—(Ди) + у—(Ди) + (У + 2)-Ди = 0, х—(Ду) + у—(Ду)+(т' + 2)-Ду = 0. дх ду ах оу

Таким образом, действителшая и мнимая части интеграла в области Д

удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению третьего порядка с частными производными. Это уравнение целесообразно назвать обобщённым уравнением Лапласа, а удовлетворяющие ему функции и и V - квазигармоническими функциями.

Во второй главе (§§ 3-7) в случае единичного бикруга исследуется обобщённый аналог интеграла типа Темлякова I рода

где плотностью является суммируемая по Лебегу функция, заданная на

топологическом произведении

Г,(х,) - линейная функция, определяемая условиями /,(д,) = 0, /,(£,)-1, а функция

возрастающая, непрерывная, периодическая со смещением Ь {*г + Ю = Ь (х2)+2л , причём /2(а2) = 0, 12(Ь2)-2л.

В §3 для исследуемого интеграла выведена формула, выражающая его в виде кратных интегралов, а в §4 - формулы повторного интегрирования для различных областей пространства Сг. Причём получение формул перехода от кратного интегрирования к повторному проведено при различных условиях, налагаемых на функцию а именно, в первом случае 12(х2) - строго возрастающая на отрезке

функция, во втором - возрастающая, но имеющая один промежуток постоянства В последнем случае в точках остова единичного

бикруга для рассматриваемого интеграла получено представление, свидетельствующее о нарушении непрерывности определяемых им функций.

В связи с этим §5 найдены предельные значения исследуемого интеграла в точках остова единичного бикруга, а также установлены формулы, характеризующие скачок функции, представимой этим интегралом, в точке при подходе к ней

из областей по двухпараметрической

поверхности

В §6 сначала доказана теорема о том, что функции, представимые изучаемым интегралом, являются аналитическими в бикруге и, вообще говоря, неаналитическими в замыкании дополнения бикруга до всего пространства С2, а далее при

причём Р(х„х2+А2,£) = Р(х1,х2,£), йг = Ьг-а2,

дополнительных условиях, налагаемых на плотность интеграла, пайдены «подвижные» области его аналитичности, а именно, доказано, что если плотность интеграла тождественно равна нулю при всех - произвольное число

отрезка , то функция представимая этим интегралом, аналитична в

областях О, ={(*,*)€(*: ^(¿,)>0, &(*)«>} =

а также получены

Ь, -я, о,-а,

представления исследуемого интеграла в этих областях:

| а ь1

если (и',г)еС,,то /(\у,г) = — ГсЬс, [ф*(х,,*,,!;)^ ;

2л • •

о, а1

если (и<,г)е03) то /(н>,г) = —|ф"(*„х1,и)<&2;

о, о,

если плотность интеграла тождественно равна нулю при всех , то

функция представимая этим интегралом, аналитична в областях

={(*-,*) е С»: й(в)<0} и г) б С2: ^,(а)>0}

= причем

о, а^ <3,

I А, ^

если (и-,г)е<72,то /(и\г) = —|ф*(х„:с2,и)&2;

" "1

если (\¥,г)еСА,то /(н-,г) =—|ф"(х,,дс2,и)£йсг;

а также доказано, что если плотность интеграла тождественно равна нулю

при всех - произвольные числа отрезка то функция

представимая этим интегралом, аналитична в областях С, ={(и>,г)еС2: г3(«)<0, £,(Ь)>0}, = {(^,г)еС2: й(а)<0. й (»)<<>} и б, ={(>*,г)еС2: &(а)<0, а(&)>о},причём

если (м-, г) е , то /(IV, г) = — (ж,, лтг, и) Л2 + —1<&, |ф" (х,, х2, и) с1х2;

в| в) А в]

если

1 "г г 1

(и-,г)еОь,то /(>с,г)=— \(к. +— ;

если

В полученных для областей С„ |п = 1,7) представлениях

^"^'^.если |»|<1, Ф"(*,,*,,«) = — Г , если |и| > 1.

если |и|< 1,

,если |ы|>1.

В §7 выявлены квазианалитические в смысле Темлякова свойства исследуемого интеграла, а именно доказано, что в областях неаналитичности функция, определяемая исследуемым интегралом, представима равномерно и абсолютно сходящимся функциональным рядом, а также для областей неаналитичности с помощью метода линейных дифференциальных операторов получены формулы обобщенных частных производных исследуемого интеграла*

где Я = Я(и',г,'ус.г) и = - произвольные функции, заданные в С2

в областях неаналитичности на функцию представимую исследуемым

интегралом, равносильно дифференцированию соответственно по и по ядра данного интеграла.

Основные результаты диссертации, относящиеся к многомерному случаю, содержит третья глава (§§ 8-12), в которой также в случае единичного бикруга

К =

(х, -д,)г И2-{Ь,-X,)2 ]*|2 +(*>, -а,)2

и доказано, что действие данных операторов

исследуется (

щ.

где - суммируемая по Лебегу функция, заданная на топологическом

произведении Х = {х„х1,х3 е Л, £еС: а1<.х1<.Ь7, а3 <.хг 5б3> |#| = 1},

6,-а, 6,-а,

рб[0;2;т], а функция /3(х3) - возрастающая, непрерывная, периодическая со смещением и выявляется

ряд аналитических и квазианалитических в смысле Темлякова свойств функций, определяемых этим интегралом.

Исследование обобщённого интеграла типа Темлякова проводилось в той же последовательности, что и в случае интеграла, рассмотренного во второй главе.

В §8 выведена формула, выражающая обобщённый интеграл типа Темлякова в виде кратных интегралов.

В §9 установлено следующее:

Теорема. Пусть функция строго возрастает. Тогда в точках пространства

для функций, представимых обобщённым интегралом, справедливы следующие формулы

Далее получена формула, выражающая обобщённый интеграл типа Темлякова в точках остова единичного бикруга, в случае, когда функция /3 ) имеет единственный промежуток постоянства, а в § 10 найдены предельные значения исследуемого интеграла в этих точках при подходе к ним из множеств М, М0, Мх и М2, а также получены формулы для вычисления скачка функции, представимой обобщённым интегралом типа Темлякова, в точке

В §11 по аналогии с исследованиями, проведёнными в §6, определяются «подвижные» области аналитичности обобщённого интеграла типа Темлякова.

Выявлению квазианалитических в смысле Темлякова свойств обобщённого интеграла типа Темлякова посвящён §12 работы. Здесь получено разложение исследуемого интеграла в обобщённый функциональный ряд, о чём свидетельствует следующая теорема:

Если при любых ,х2е[а2,Ь2] и х3 е[а3,Ь3] плотность ^'(дс1,х2,.хз,^)

обобщённого интеграла типа Темлякова является аналитической в замкнутом единичном круге функцией, то в областях

представима равномерно и абсолютно сходящимся функциональным рядом

где его коэффициенты Отп определяются по формуле

Далее для областей неаналитичности найдены формулы обобщённых частных производных исследуемого интеграла.

Работы автора по теме диссертации

1. Генжебаева О.Н. (Быкова О.Н.). Некоторые свойства обобщённого интеграла типа Коши / О.Н. Генжебаева (О.Н. Быкова) // Научные труды математического факультета МПГУ (юбилейный сборник 100 лет). - М.: изд-во «Прометей». -2000. - С. 138-140. - 0.2 п.л.

2. Генжебаева О.Н. (Быкова О.Н.). Обобщённое уравнение Коши - Римана для интегралов одного класса / О.Н. Генжебаева (О.Н. Быкова), С.Ю. Колягин // Научные труды математического факультета МПГУ (юбилейный сборник 100 лет). - М.: изд-во «Прометей». - 2000. - С. 41-43. - 0.2 п.л. (авт. вклад - 50%).

3. Генжебаева О.Н. (Быкова О.Н.). Формула обращения обобщённого интеграла типа Коши / О.Н. Генжебаева (О.Н. Быкова) // Научные труды МПГУ. Серия: Естественные науки. - М.: изд-во «Прометей». - 2002. - С. 9-11. - 0.2 п.л.

4. Генжебаева О.Н. (Быкова О.Н.). Квазигармонические свойства илтегралов одного класса / О.Н. Генжебаева (О.Н. Быкова) // Юбилейный сборник научных трудов, посвященный 130-летию МШУ. - М.: изд-во «Прометей». - 2003. - С. 57-58.-0.1 п.л.

5. Генжебаева О.Н. (Быкова О.Н.). О функциях, представимых кратными интегралами в пространстве Сг / О.Н. Генжебаева (О.Н. Быкова) // Юбилейный сборник научных трудов, посвященный 130-летию МПГУ. - М.: изд-во «Прометей». - 2003. - С. 54-56. - 0.2 п.л.

6. Генжебаева О.Н. (Быкова О.Н.). Формулы перехода к повторному интегралу для функций одного класса в пространстве / О.Н. Генжебаева (О.Н. Быкова) // Научные труды МПГУ. Серия: Естественные науки. - М.: изд-во «Прометей». -2003.-С. 52-55.-0.2 п.л.

7. Быкова О.Н. Аналитические и квазианалитические свойства интегралов одного класса в случае единичного бикруга / О.Н. Быкова // Сборник научных трудов МПГУ. Серия: Естественные науки. - М.: изд-во «Прометей». - 2004. - С. 36-48. - 0.8 п.л.

Подписано в печать 21.062004 г. Формат 60x90,1/16. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 246

Отпечатано в ООО "Фирма Блок" 107140, г. Москва, ул. Русаковская, д.1. т. 264-30-73 www.blok.01centre.narod.ni Изготовление брошюр, авторефератов, переплет диссертаций.

04" 14056

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОБОБЩЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ.

§1. Один операторный аналог интеграла типа Коши. Свойства его аналитичности и непрерывности.

§2. Квазианалитические свойства обобщённого интеграла типа Коши и квазигармонические свойства его действительной и мнимой частей.

ГЛАВА 2. ИССЛЕДОВАНИЕ ОБОБЩЁННОГО АНАЛОГА ИНТЕГРАЛА ТИПА

ТЕМЛЖОВА В ПРОСТРАНСТВЕ С2.

§3. Обобщённый аналог интеграла типа Темлякова и его представление в виде кратных интегралов в случае единичного бикруга.

§4. Формулы перехода от кратного интегрирования к повторному для обобщённого аналога интеграла типа Темлякова в случае единичного бикруга.

§5. Предельные значения обобщённого аналога интеграла типа Темлякова в точках остова единичного бикруга.

§6. Области аналитичности обобщённого аналога интеграла типа Темлякова в случае единичного бикруга.

§7. Исследование квазианалитических свойств обобщённого аналога интеграла типа

Темлякова.

ГЛАВА 3. ОБОБЩЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ ТИПА ТЕМЛЯКОВА.

§8. Формулы кратного интегрирования обобщённого интеграла типа Темлякова.

§9. Выражение обобщённого интеграла типа Темлякова через повторные интегралы в различных областях пространства С2.

§10. Предельные значения обобщённого интеграла типа Темлякова в точках остова единичного бикруга.

§11. «Подвижные» области аналитичности обобщённого интеграла типа Темлякова.

§12. Некоторые квазианалитические свойства обобщённого интеграла типа

Темлякова.

Теория интегральных представлений аналитических функций одного и многих комплексных переменных является быстро развивающейся ветвью одномерного и многомерного комплексного анализа в связи с широким применением результатов исследований при решении прикладных задач в гидроаэродинамике, квантовой теории поля, математической физике и математической статистике. Указанные задачи приводятся к пространственным краевым задачам, теория решения которых формировалась в работах Ф.Д. Гахова, Н.И. Мусхелишвили и др.

Теория интегральных представлений многомерного комплексного анализа включает ряд аналогов формулы Коши одного комплексного переменного (формулы Мартинелли - Бохнера, Бергмана - Вейля и др., а также наиболее общее интегральное представление M.JIepe).

Значительную роль в этой теории сыграли установленные в 1954 году А.А. Темляковым (см. [1]-[8]) интегральные представления для функций двух комплексных переменных, аналитических в классе параметрически задаваемых ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей, которые впоследствии были названы интегральными представлениями Темлякова I и II родов (см., например, [65]). От других интегральных представлений функций двух комплексных переменных интегральные представления Темлякова I и II родов отличает целый ряд замечательных свойств:

1) знаменатель ядра относительно переменных w и z в интегральном представлении Темлякова I рода есть многочлен первой степени;

2) последний внутренний интеграл этих представлений есть либо интеграл Коши одного комплексного переменного (интегральное представление Темлякова I рода), либо некоторый линейный дифференциальный оператор этого интеграла (интегральное представление Темлякова II рода).

Позднее И.И. Бавриным был установлен ряд интегральных представлений для аналитических функций одного и нескольких комплексных переменных (см. [67]). В случае одного комплексного переменного были получены общие интегральные представления, являющиеся обобщением классической интегральной формулы Коши, в частности интегральные представления для звёздных и выпуклых областей. На основе этих интегральных представлений А.В. Нелаевым (см., например, [50]) были построены обобщённые операторные аналоги интеграла типа Коши и в ходе исследований выявлен ряд свойств, существенно отличающий рассматриваемые интегралы от интеграла типа Коши (см., например, [52]). В работе [61] Х.Ц. Дзебисов рассмотрел операторный аналог интеграла типа Коши специального вида, исследования которого продолжались и в дальнейшем (см., например, [68], [69]).

Значительный вклад в теорию интегральных представлений Темлякова внёс Л.А. Айзенберг (см [9]-[16]), который, рассмотрев в качестве плотности в интегралах Темлякова произвольную функцию, суммируемую по Лебегу на границе определяющей области, на основе интегральных представлений Темлякова ввёл понятие интегралов типа Темлякова и сделал первые успешные шаги в их изучении. Так, например, для интегралов типа Темлякова им была получена первая формула перехода от кратного интегрирования к повторному, изучались граничные свойства интегралов типа Темлякова и поведение этих интегралов вне области аналитичности и ряд других вопросов.

Исследования Л.А. Айзенберга положили начало теории интегралов типа Темлякова, которая получила своё дальнейшее развитие в работах В.И. Боганова (см., например [17]-[24]), Г.Л. Луканкина (см., например [20], [54], [55]) и других авторов. В.И. Богановым была выяснена структура множеств разбиения отрезка интегрирования, получен конструктивный способ их нахождения (см. [19], [21]), начаты исследования предельных значений в точках окружностей особенностей интеграла типа Темлякова I рода (см., например, [18], [20]), найдены достаточные условия существования так называемых «подвижных» областей аналитичности указанного интеграла (см. [22]), а, кроме того, получено интегральное представление, которое включило в себя интегральные представления Темлякова обоих родов (см. [23]). Г.Л. Луканкиным было введено более широкое понятие интегралов типа Темлякова, проведено их исследование в точках остова области D типа А (см. [54]), решён целый ряд краевых задач типа задач линейного сопряжения, а также найдены условия представимости функции вне области аналитичности интегралом типа Темлякова.

На протяжении последних десятилетий продолжались исследования интеграла типа Темлякова. Так, например, С.Ю. Колягиным были выявлены «подвижные» области аналитичности интеграла типа Темлякова при определённых условиях, налагаемых на его плотность (см., например, [35], [43], [44]) и получены формулы для вычисления предельных значений интеграла типа Темлякова ([32]-[34], [39], [42]).

При исследовании интегралов типа Темлякова вне области аналитичности наиболее эффективным оказался метод линейных дифференциальных операторов, впервые применённый А.Т. Хвостовым (см., например, [26], [27]). Этот метод получил ряд уточнений и дальнейшее развитие в работах А.В. Нелаева (см., [45]-[47], [49], [51], [52]). Кроме того, А.В. Нелаев распространил метод линейных дифференциальных операторов на общий случай п (я > l) комплексных переменных, что позволило провести эффективное исследование нескольких классов функций одного и многих переменных (см., например, [48]-[50],[52]).

В настоящей диссертации впервые исследуются некоторые интегралы, которые обобщают имеющиеся в научной литературе исследования обобщённых интегралов типа Коши в одномерном случае и интеграла типа Темлякова I рода в случае многомерном, то есть являются обобщениями известных операторного аналога интеграла типа Коши и интеграла типа Темлякова I рода, а также изучается обобщённый аналог интеграла типа Темлякова I рода.

Целью работы являются:

1. Исследование свойств функций, представимых обобщённым интегралом типа Коши;

2. Изучение обобщённого аналога интеграла типа Темлякова I рода, а также обобщённого интеграла типа Темлякова I рода.

В первой главе объектом исследования выступает обобщённый интеграл типа Коши, в последующих двух главах - обобщённые интегралы типа Темлякова I рода.

Предметом исследования являются функции, представимые вышеуказанными интегралами и обладающие некоторыми выявленными в работе свойствами. Методами исследований являются:

1. Аппарат интеграла типа Коши и его многомерных аналогов;

2. Метод линейных дифференциальных операторов.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, включающих в себя 12 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 78 наименований. Общий объём работы 105 страниц.

Заключение

Результаты, изложенные в первой главе, показывают, что интеграл (2) определяет новый класс функций Fa^z), являющихся:

1) аналитическими в областях Д и D2;

2) непрерывными в области D3;

3) неаналитическими, вообще говоря, в области D3, но любое число раз дифференцируемыми в этой области обобщённой производной;

4) удовлетворяющими в области D3 обобщённому уравнению Коши - Римана; вещественная и мнимая части интеграла Fa£z) удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению третьего порядка с частными производными.

Во второй главе исследован обобщённый аналог интеграла типа Темлякова I рода (26), а в третьей - рассмотрен общий случай, включающий в себя и интеграл типа Темлякова, и его обобщённый аналог.

Для исследуемых интегралов в случае единичного бикруга получены формулы кратного интегрирования в пространстве С , а также их представления в виде повторных интегралов в различных областях этого пространства.

Доказано, что функции, определяемые данными интегралами, являются аналитическими в единичном бикруге и, вообще говоря, неаналитическими в его замыкании до всего пространства С2.

При определённых условиях, налагаемых на плотности исследуемых интегралов, получены так называемые «подвижные» области аналитичности определяемых ими функций.

Рассмотрен случай, в котором в точках остова единичного бикруга наблюдается нарушение непрерывности изучаемых функций, и получены формулы вычисления их предельных значений при приближении к остову из различных областей пространства С .

Выявлен ряд квазианалитических в смысле Темлякова свойств, которыми обладают изучаемые интегралы в областях неаналитичности:

1) получены формулы обобщённых частных производных;

2) доказано, что данные интегралы могут быть представимы равномерно и абсолютно сходящимися функциональными рядами.

1. Темляков А.А. Интегральное представление аналитических функций двух комплексных переменных / А.А. Темляков // Учёные записки Моск. Обл. пед. ин-та. - М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1954. - Том XX1. - С.7-22

2. Темляков А.А. Интегральное представление функций двух комплексных переменных / А.А. Темляков // Изв. АН СССР, сер. матем. 1957. - Том XXI. — С.89-92

3. Темляков А.А. Интегральное представление функций двух комплексных переменных / А.А. Темляков // Учёные записки Моск. Обл. пед. ин-та. М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1957. - Том LV. - С.3-9

4. Темляков А.А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных / А.А. Темляков // ДАН СССР. 1958. - Том 120. - Выпуск 5. - С.976-979

5. Темляков А.А. Интегральные представления функций двух комплексных переменных / А.А. Темляков // Учёные записки Моск. Обл. пед. ин-та. М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. -1959. - Том LXXVII. - С.3-12

6. Темляков А.А. Интегральные представления / А.А. Темляков // ДАН СССР. 1959.- Том 129. Выпуск 5. - С.986-988

7. Темляков А.А. Интегральные представления / А.А. Темляков // Учёные записки Моск. Обл. пед. ин-та. М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1960. - Том 96. - Выпуск 6. -С.3-14

8. Темляков А.А. Интегральные представления / А.А. Темляков // ДАН СССР. 1960.- Том 131.- Выпуск 2. С.263-264

9. Айзенберг JI.A. Об интегралах Темлякова и граничных свойствах аналитических функций двух комплексных переменных / Л.А. Айзенберг // ДАН СССР. 1958. - Том 120. - Выпуск 5. - С.935-938

10. Айзенберг Л.А. Об интегралах Темлякова и граничных свойствах аналитических функций многих комплексных переменных / Л.А. Айзенберг // Учёные записки Моск. Обл. пед. ин-та. М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1959. - Том LXXVII - Выпуск 5. -С.13-35

11. Айзенберг Л.А. О граничных свойствах функций, аналитических в двоякокруговых областях / Л.А. Айзенберг // ДАН СССР. 1959. - Том 125. - Выпуск 5. - С.959-962

12. Айзенберг Л.А. О плюригармонических функциях / Л.А. Айзенберг // ДАН СССР. — 1959. Том 124. - Выпуск 5. - С.967-969

13. Айзенберг Л.А. О граничных свойствах функций, аналитических в двоякокруговых областях / Л.А. Айзенберг // Учёные записки Моск. Обл. пед. ин-та. — М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. 1960. - Том 96. - Выпуск 6. - С. 15-37

14. Айзенберг Л.А. О плюригармонических функциях / Л.А. Айзенберг // Учёные записки Моск. Обл. пед. ин-та. М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. — 1960. - Том 96. — Выпуск 6. - С.39-60

15. Айзенберг Л.А. Интегральные представления голоморфных функций многих комплексных переменных / Л.А. Айзенберг // ДАН СССР. 1964. - Том 155. - Выпуск 1. — С.9-12

16. Боганов В.И. О поведении интеграла типа Темлякова I рода вне области аналитичности / В.И. Боганов // Учёные записки Моск. Обл. пед. ин-та. М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1966. - Том 166. - Выпуск 10. - С.61-80

17. Боганов В.И. О поведении интеграла типа Темлякова I рода в точках остова области D типа А / В.И. Боганов // Учёные записки Моск. Обл. пед. ин-та. М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1966. - Том 166. - Выпуск 10. - С.81-86

18. Боганов В.И. Некоторые свойства интегралов типа Темлякова / В.И. Боганов // Учёные записки Моск. Обл. пед. ин-та. М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1967. -Том 188. - Выпуск 11.- С.29-56

19. Боганов В.И. Интеграл типа Темлякова и его предельные значения / В.И. Боганов, Г.Л. Луканкин // ДАН СССР. 1967. - Том 176. - Выпуск 1. - С. 16-19

20. Боганов В.И. Некоторые свойства интегралов типа Темлякова / В.И. Боганов // Кандидатская диссертация. Москва. - 1967

21. Боганов В.И. Об интегралах типа Темлякова и «подвижных» областях голоморфности / В.И. Боганов // Учёные записки Моск. Обл. пед. ин-та. М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. -1969. - Том 225. - Выпуск 12. - С.59-71

22. Боганов В.И. Об интегральных представлениях Темлякова / В.И. Боганов // Сборник трудов «Математический анализ и теория функций». М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1973. - Выпуск 1. - С.25-37

23. Боганов В.И. К интегральным представлениям Темлякова / В.И. Боганов // Сборник трудов «Математический анализ и теория функций». М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1975. - Выпуск 5. - С.37-41

24. Хвостов А.Т. Исследование поведения интегралов типа Темлякова методом линейных однородных дифференциальных операторов первого порядка / А.Т. Хвостов // ДАН СССР. 1959. - Том 185. - Выпуск 3. - С.522-525

25. Хвостов А.Т. Исследование поведения интегралов типа Темлякова вне области аналитичности / А.Т. Хвостов // Учёные записки Моск. Обл. пед. ин-та. — М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. 1967. - Том 188. - Выпуск 11.- С.113-136

26. Хвостов А.Т. Обобщённые условия Коши-Римана интегралов типа Темлякова / А.Т. Хвостов // Учёные записки Моск. Обл. пед. ин-та. М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. -1967.-Том 188.-Выпуск 11.-С.137-172

27. Хвостов А.Т. Поведение интегралов типа Темлякова в области неаналитичности / А.Т. Хвостов // Кандидатская диссертация. Москва. - 1968

28. Хвостов А.Т. Исследование некоторых интегральных представлений аналитических функций двух комплексных переменных / А.Т. Хвостов // Учёные записки Моск. Обл. пед. ин-та. М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1970. - Том 269. - С.54-64

29. Колягин С.Ю. Некоторые свойства интегралов одного класса / С.Ю. Колягин // Респ. сб. тр. «Математический анализ и теория функций». М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1974. - Выпуск 4. - С. 129-136

30. Колягин С.Ю. Поведение интегралов одного класса вне области аналитичности / С.Ю. Колягин // Респ. сб. тр. «Математический анализ и теория функций». М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. 1976. - Выпуск 5. - С.119-129

31. Колягин С.Ю. Предельные значения некоторых интегралов с ядром Коши в случае двух комплексных переменных / С.Ю. Колягин // Сб. научн. тр. «Аппроксимационные задачи комплексного анализа». Деп. в ВИНИТИ 05.12.86. -№8295-В86 - С.51-66

32. Колягин С.Ю. Поведение интегралов типа Темлякова в точках остова единичного бикруга / С.Ю. Колягин // Сб. научн. тр. «Современные проблемы математического анализа». Деп. в ВИНИТИ 22.06.87. -№4489-В87. - С.91-102

33. Колягин С.Ю. Характер непрерывности предельных значений интегралов одного класса / С.Ю. Колягин // Сб. научн. тр. «Современные проблемы комплексного анализа и его приложения». Деп. в ВИНИТИ 24.11.88. - №8308-В88. - С.72-79

34. Колягин С.Ю. Об областях аналитичности интегралов одного класса / С.Ю. Колягин // Сб. научн. тр. «Многомерный комплексный анализ». Деп. в ВИНИТИ 28.12.89. -Ж7714-В89. - С. 105-112

35. Колягин С.Ю. О поведении вне области аналитичности интегралов одного класса / С.Ю. Колягин // Сб. научн. тр. «Многомерный комплексный анализ и его приложения». — Деп. в ВИНИТИ 29.12.91. -№4899-В91. С.54-63

36. Колягин С.Ю. О разложении некоторых интегралов в обобщённо-степенные ряды / С.Ю. Колягин // Сб. научн. тр. «Избранные проблемы многомерного комплексного анализа». Деп. в ВИНИТИ 15.12.92. -№3544-В92. - С.74-80

37. Колягин С.Ю. Исследование свойств интегралов одного класса вне области аналитичности / С.Ю. Колягин // Сб. научн. тр. «Многомерный комплексный анализ и приложения». Деп. в ВИНИТИ 31.03.95. -№885-В95. - С.49-58

38. Колягин С.Ю. О предельных значениях интеграла одного класса с ядром Коши / С.Ю. Колягин // Межвуз. сб. научн. тр. «Комплексный анализ и его приложения». — М.: «Прометей». 1996. - С.38-49

39. Колягин С.Ю. Исследование свойств некоторых интегралов методом линейных дифференциальных операторов / С.Ю. Колягин // Сб. научн. тр. МПГУ. Серия: Естественные науки. М.: «Прометей». - 1996. - С. 15-18

40. Колягин С.Ю. Представление интегралов одного класса обобщённо степенными рядами / С.Ю. Колягин // Сб. научн. тр. МПГУ. Серия: Естественные науки. М.: «Прометей». - 1997. - С.219-221

41. Колягин С.Ю. О предельных значениях функций, представимых интегралом типа Темлякова / С.Ю. Колягин // Сб. научн. тр. МПГУ. Серия: Естественные науки. М.: «Прометей». - 1998. - С.61-64

42. Колягин С.Ю. Об аналитичности интеграла типа Темлякова / С.Ю. Колягин // Сб. научн. тр. МПГУ. Серия: Естественные науки. -М.: «Прометей». 1999. - С. 12-13

43. Колягин С.Ю. Об областях аналитичности интеграла типа Темлякова I рода в случае бикруга / С.Ю. Колягин // Сб. научн. тр. «Многомерный комплексный анализ». -Деп. в ВИНИТИ 27.12.99. №3850-В99. - С.66-73

44. Нелаев А.В. Операторная связь между некоторыми интегралами / А.В. Нелаев // Сборник трудов «Математический анализ и теория функций». М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1973. - Выпуск 1. - С. 169-178

45. Нелаев А.В. Об одном операторном методе / А.В. Нелаев // Респ. сб. тр. «Математический анализ и теория функций». М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. — 1973. - Выпуск 2. - С.99-106

46. Нелаев А.В. Разложение интегралов типа Темлякова в обобщённо-степенные ряды / А.В. Нелаев // Респ. сб. тр. «Математический анализ и теория функций». М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1974. - Выпуск 3. - С.95-116

47. Нелаев А.В. Об одном классе квазианалитических функций / А.В. Нелаев // Респ. сб. тр. «Математический анализ и теория функций». М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1974. - Выпуск 3. - С. 117-124

48. Нелаев А.В. К теории квазианалитических функций / А.В. Нелаев // Респ. сб. тр. «Математический анализ и теория функций». М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. -1974. - Выпуск 4. - С.49-55

49. Нелаев А.В. О применении метода линейных дифференциальных операторов в теории функций комплексных переменных / А.В. Нелаев // Респ. сб. тр. «Математический анализ и теория функций». М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1974. - Выпуск 4. -С.56-64

50. Нелаев А.В. Об обобщённом операторном аналоге интеграла типа Коши / А.В. Нелаев // Сб. научн. тр. «Современные проблемы математического анализа». Деп. в ВИНИТИ 22.06.87. - №4489-В87. - С.28-72

51. Нелаев А.В. К теории операторных аналогов интеграла типа Коши / А.В. Нелаев // Сб. научн. тр. «Комплексный анализ и его приложения». Деп. в ВИНИТИ 29.12.88. -№3728-В88. - С.53-93

52. Луканкин Г.Л. О поведении интеграла типа Темлякова I рода в точках остова области D типа А / Г.Л. Луканкин // ДАН СССР. 1965. - Том 161.- Выпуск 1. - С.39-42

53. Луканкин Г.Л. Об интегралах типа Темлякова / Г.Л. Луканкин // Учёные записки Моск. Обл. пед. ин-та. М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1967. - Том 188. -Выпуск 11.-С.81-88

54. Гуляев А.В. Поведение некоторых интегралов в области неаналитичности / А.В. Гуляев // Кандидатская диссертация. Москва. - 1970

55. Уляшев В.И. Интегралы типа Темлякова. Формулы обращения интегралов Темлякова в случае бесконечного «гипершара» / В.И. Уляшев // Сб. тр. «Теория функций,функциональный анализ и их приложения». М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. -1972. - Выпуск 15

56. Литвинюк В.А. Исследование свойств некоторых интегралов в пространстве С2 двух комплексных переменных / В.А. Литвинюк // Кандидатская диссертация. Москва. — 1973

57. Латышев А.В. Характеристические свойства одного класса интегралов в пространстве двух комплексных переменных / А.В. Латышев // Кандидатская диссертация. — Москва. — 1967

58. Виноградова И.Н. О решении некоторых краевых задач / И.Н. Виноградова // Сб. тр. «Теория функций, функциональный анализ и их приложения». М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. - 1973. - Выпуск 15. - С.198-2161 'У

59. Дзебисов Х.П. Свойства функций в пространствах С и С, определённых некоторыми интегралами / Х.П. Дзебисов // В Республиканском сборнике трудов «Математический анализ и теория функций». М.: изд-во МОПИ им. Н.К. Крупской. -1975. -Выпуск 5. -С.102-118

60. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов // М.: физматгиз. 1963. - 543 с.

61. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат // М.: Наука. 1973. - 736 с.

62. Привалов И.И. Введение в теорию функции комплексного переменного / И.И. Привалов // М.: Наука. 1967. - 444 с.

63. Фукс Б.А. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных / Б.А. Фукс // М.: физматгиз. 1962

64. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной / И.П. Натансон // М.: Наука. 1974. - 552с.

65. Баврин И.И. Операторный метод в комплексном анализе / И.И. Баврин // М.: изд-во МПГУ им. В.И. Ленина «Прометей». 1991. - 200с

66. Попова Ю.Н. О квазианалитических свойствах операторного аналога интеграла типа Коши специального вида / Ю.Н. Попова // Сб. научн. тр. «Современные проблемы комплексного анализа и его приложения». Деп. в ВИНИТИ 24.11.88. - №8308-В88. -С.110-123

67. Полевая Л.А. Об одном классе квазигармонических функций / Л.А. Полевая // Сб. научн. тр. «Современные проблемы математического анализа». Деп. в ВИНИТИ 22.06.87. -№4489-В88. - С. 144-152

68. Ли Чэ Гон. Интегральное представление функций комплексных переменных / Ли Чэ Гон // Сухакки мулли. 1959 - Том 3. - Выпуск 1. - С.27-30

69. Opial Z. Integral formulas for functions holomophicin convex n-circular domains / Z. Opial, I. Siciak // Zesz.nauk. Univ. Iagiell. 1963 - №77 - P. 67-75

70. Генжебаева O.H. (Быкова O.H.). Некоторые свойства обобщённого интеграла типа Коши / О.Н. Генжебаева (О.Н. Быкова) // Научные труды математического факультета МПГУ (юбилейный сборник 100 лет). М.: изд-во «Прометей». - 2000. - С. 138-140

71. Генжебаева О.Н. (Быкова О.Н.). Формула обращения обобщённого интеграла типа Коши / О.Н. Генжебаева (О.Н. Быкова) // Научные труды МПГУ. Серия: Естественные науки. М.: изд-во «Прометей». - 2002. - С. 9-11

72. Генжебаева О.Н. (Быкова О.Н.). Квазигармонические свойства интегралов одного класса / О.Н. Генжебаева (О.Н. Быкова) // Юбилейный сборник научных трудов, посвящённый 130-летию МПГУ. М.: изд-во «Прометей». - 2003. - С. 57-58

73. Генжебаева О.Н. (Быкова О.Н.). О функциях, представимых кратными интегралами в пространстве С2 / О.Н. Генжебаева (О.Н. Быкова) // Юбилейный сборник научных трудов, посвящённый 130-летию МПГУ. М.: изд-во «Прометей». - 2003. - С. 54-56

74. Генжебаева О.Н. (Быкова О.Н.). Формулы перехода к повторному интегралу для функций одного класса в пространстве С2 / О.Н. Генжебаева (О.Н. Быкова) // Научные труды МПГУ. Серия: Естественные науки. М.: изд-во «Прометей». — 2003. - С. 52-55

75. Быкова О.Н. Аналитические и квазианалитические свойства интегралов одного класса в случае единичного бикруга / О.Н. Быкова // Сборник научных трудов МПГУ. Серия: Естественные науки. М.: изд-во «Прометей». - 2004. - С. 36-48