Обобщенное интегрирование банаховозначных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

1 Классы непрерывных вектор-функций

1.1 Определения и вспомогательные результаты.

1.2 Обобщения теоремы Банаха-Зарецкого.

1.3 Дифференцирование функций

2 Обобщенные интегралы

2.1 Определения и вспомогательные результаты.

2.2 Интегралы Данжуа и вариационный.

2.3 О лемме Сакса-Хенстока.

Эта работа посвящена проблемам теории интегрирования и дифференцирования банаховозначных функций, то есть функций, определенных на отрезке прямой и принимающих значения в некотором банаховом пространстве. В основном рассматриваются процессы интегрирования, обобщающие интеграл Лебега и его банаховозначный аналог — интеграл Бохнера.

На протяжении работы мы будем придерживаться следующих обозначений: Ж — множество всех действительных чисел, [а, 6] или А — отрезок действительной прямой, 0 — пустое множество, Р — замыкание множества Р, \Р\ — мера Лебега множества Р, АР — множество {Аж, х е Р}, Р(Д) — приращение функции F на отрезке A, uj(F, Р) — колебание функции F на множестве Р, V^ F — вариация функции F на отрезке [а, Ь], Хр — индикатор множества Р, X — банахово пространство, X* — сопряженное к X (пространство линейных непрерывных функционалов над X), X** — второе сопряженное к X.

Необходимость обобщения интеграла Лебега возникла в связи с задачей объединения двух фундаментальных концепций интегрирования. Автором одной из этих концепций, соответствующей идее неопределенного интеграла как первообразной функции, является И. Ньютон. Согласно его определению функция / интегрируема (в смысле Ньютона) на отрезке [а, Ъ], если существует функция F, имеющая всюду на [а,Ь] конечную производную, равную /. При этом функция F называется первообразной или неопределенным интегралом функции /, а приращение F на отрезке [а, 6] называется определенным интегралом функции / по отрезку [а,Ь]. Определения такого характера, то есть основанные на дифференциальных свойствах неопределенного интеграла, будем называть дескриптивными. Г. Лейбниц предложил рассматривать определенный интеграл как предел приближающих его интегральных сумм. Впоследствии идеи Г. Лейбница развил О. Коши, который построил теорию интегрирования для всех непрерывных функций (см. [8]). О. Коши вычислял определенный интеграл функции / как предел интегральных сумм Ylk=1 f{xk-i){%k — %k-i)- Определения, основанные на приближении определенного интеграла конечными суммами, будем называть конструктивными.

Выяснилось, что в классе непрерывных функций определения Ньютона и Лейбница-Коши эквивалентны. Однако после того как Б. Риман распространил процесс интегрирования Лейбница-Коши на разрывные функции (см. [12]), стало ясно, что эта эквивалентность нарушается. Более того, оказалось, что интегралы Ньютона и Римана не покрывают друг друга. Другими словами, существуют функции, интегрируемые по Риману, но не имеющие первообразной в смысле Ньютона, и наоборот, функции, которые являются точными производными, но не интегрируемые по Риману. Последнее было установлено в работах В. Вольтерра и А. Лебега (см. [87] и [9]). В связи с этим возник вопрос, можно ли построить интеграл, включающий в себя интегралы Римана и Ньютона, и, таким образом, объединить конструктивную и дескриптивную теорию интеграла.

А. Лебег в своей диссертации (см. [9]) определил процесс интегрирования для измеримых функций как предел интегральных сумм разбивая ось у вместо оси х. Этот интеграл, также определенный конструктивно, оказался существенно шире интеграла Римана. Тем не менее интеграл Лебега не решил задачу объединения интегралов Ньютона и Лейбница-Коши. Рассмотрим, например, функцию

Легко заметить, что F{x) дифференцируема всюду на отрезке [0,1]. Следовательно, ее производная F'(x) интегрируема в смысле Ньютона. На любом отрезке [е, 1], где е > 0, функция F(x) абсолютно непрерывна, и значит, является неопределенным интегралом Лебега от своей производной. Таким образом, если функция F'{x) интегрируема по Лебегу, то ее п е [a, b] : yk-i < f(x) < yk} k=1 ж2sin—, если х 6 (0,1], х1

О, если х = 0. 1 неопределенный интеграл отличается от F(x) на аддитивную постоянную. С другой стороны, jF(x) не является функцией ограниченной вариации. Поэтому функция, отличающаяся от F(x) на аддитивную постоянную, не может быть неопределенным интегралом Лебега какой-либо функции. Это означает, что F'(x) не интегрируема по Лебегу.

Приведенный пример, в частности, показывает, что если существует процесс интегрирования, включающий в себя интегралы Ньютона и Лебега, то он должен быть "неабсолютным". Другими словами, необходимо отказаться от свойства функции быть интегрируемой тогда, и только тогда, когда ее модуль интегрируем, что справедливо для интеграла Лебега.

Начало развития теории "неабсолютных" интегралов, обобщающих интеграл Лебега, было положено А. Данжуа. В 1912 году в заметке [33] А. Данжуа, опираясь на идеи А. Гарнака (см. [52]), дал основанное на трансфинитном процессе конструктивное определение интеграла, назвав процесс интегрирования тотализацией. Не вдаваясь в подробности этого определения, упомянем, что интеграл Данжуа есть, по существу, несобственный интеграл Лебега, правда, переход к пределу осуществляется не один, а счетное число раз, что и приводит к трансфинитному процессу. Функция, приведенная выше, интегрируема по Данжуа, так как существует Нт^+о (L) J1 F'(x) dx, то есть она интегрируема по Лебегу в несобственном смысле, причем переход к пределу осуществляется один раз. А. Данжуа доказал (см. [34]), что любая точная производная интегрируема в смысле его определения, показав тем самым, что его интеграл включает в себя как интеграл Лебега, так и Ньютона.

Ознакомившись с заметкой А. Данжуа, Н. Н. Лузин дал дескриптивное определение интеграла Данжуа (см. [69]), взяв за основу следующее определение интеграла Лебега.

Определение 1. Функция / : [а,Ъ] —> Ж называется интегрируемой по Лебегу, если существует такая абсолютно непрерывная функция F : [а, 6] —у R, что F' = f почти всюду на [а, Ь]. При этом функция F называется неопределенным интегралом Лебега функции / на [а, 6], а приращение F(b) — F(a) — определенным интегралом Лебега функции / по отрезку [а, 6], который обозначается через (£) f^ f(t)dt.

С одной стороны, это определение интеграла является более общим, чем определение Ньютона, так как оно содержит более слабые требования на дифференциальные свойства неопределенного интеграла (его диффе-ренцируемость и равенство F' — f предполагаются только почти всюду). С другой стороны, приведенное определение, в сравнении с интегралом Ньютона, включает более сильные требования на непрерывность неопределенного интеграла, предполагая его абсолютную непрерывность. Ясно, что при таких предположениях на дифференциальные свойства неопределенного интеграла, как в определении 1, необходимо рассматривать более узкий класс первообразных, чем непрерывные функции, для того чтобы сохранить свойство единственности неопредленного интеграла с точностью до аддитивной постоянной. Чтобы увидеть это, достаточно взять непрерывную сингулярную функцию, не равную константе. Однако условие абсолютной непрерывности первообразной все же можно ослабить, что и сделал Н. Н. Лузин, заменив его на обобщенную абсолютную непрерывность.

Определение 2. Сильной вариацией функции F : [а, 6] —> М. на множестве Е С [а, Ь], обозначаемой через V*(F,E), назовем точную верхнюю грань сумм — F(ak) , где Ък]}пк=1 — семейство неперекрывающихся отрезков, имеющих непустое пересечение с Е. Если V*(F,E) < +оо, то функция F называется функцией ограниченной вариации в узком смысле (VВ*-функцией) на множестве Е.

Определение 3. Функция F : [а, Ь] —> Ш называется функцией обобщенной ограниченной вариации в узком смысле (VBG* -функцией) на множестве Е С [а,Ъ], если F непрерывна и Е представимо в виде счетного объединения множеств, на каждом из которых F является УБ*-функци-ей.

Определение 4. Функция F : [а, 6] —> R называется абсолютно непрерывной в узком смысле (АС*-функцией) на множестве Е С [а, &], если для любого е > 0 существует такое S > 0, что для любого набора неперекрывающихся отрезков имеющих непустое пересечение с Е и удовлетворяющих условию ^2к=1{Ьк — ак) < S, выполняется неравенство Znk=1\F(bk)-F(ak)\<e.

Определение 5. Функция F : [a,b] —> R называется обобщенно абсолютно непрерывной в узком смысле (AC G* -функцией) на множестве Е С [а, Ь], если F непрерывна и Е представимо в виде счетного объединения множеств, на каждом из которых F является АС*-функцией.

Н. Н. Лузин и А. Данжуа независимо друг от друга показали, что любая УВ(7*-функция, а значит и ЛС(?*-функция, дифференцируема почти всюду. Более того, две АСС*-функции, производные которых совпадают почти всюду, отличаются друг от друга на аддитивную постоянную.

Определение 6. Функция / : [а, Ъ] —у Ж называется интегрируемой по Данжуа в узком смысле (V^-интегрируемой), если существует такая ■ACG^-функция F : [а,Ъ] —> Ж, что F'(t) = f(t) почти всюду на [а, 6]. При этом функция F называется неопределенным Т>^-интегралом функции / на [a, b], а приращение F(b) — F(a) — определенным V^-интегралом функции / по отрезку [а, Ь], который обозначается через (£>*) J^ f(t)dt.

Доказательство эквивалентности дескриптивного и конструктивного определений -интеграла изложено Н. Н. Лузиным в работе [10]. Заметим, что у самого Лузина было несколько другое определение Р*-ин-теграла, не содержащее в явном виде понятия обобщенной абсолютной непрерывности. Приведенные здесь определения, основанные на идее А. Я. Хинчина (см. [63]), можно найти в монографии С. Сакса (см. [13, гл. VII-VIII]). Определения 2 и 4 приводятся в более современном виде (см. [67]).

В 1916 году А. Я. Хинчин и А. Данжуа независимо друг от друга определили процесс интегрирования, обобщающий 2)*-интеграл, посредством дальнейшего расширения класса первообразных (см. [62] и [35]). При этом неопределенный интеграл восстанавливается при помощи аппроксимативной производной (см. [13, гл. IV]).

Определение 7. Слабой вариацией функции F : [а, 6] Ш. на множестве Е С [а,6], обозначаемой через V(F,E), назовем точную верхнюю грань сумм Y™=1\F(ak) - F(bk)|, где — семейство неперекрывающихся отрезков с концами из Е. Если V(F,E) < +оо, то функция F называется функцией ограниченной вариации в широком смысле (VВ-функцией) на множестве Е.

Определение 8. Функция F : [а, Ь] —У Ж называется функцией обобщенной ограниченной вариации в широком смысле (VBG-функцией) на множестве Е С [а, 6], если F непрерывна и Е представимо в виде счетного объединения множеств, на каждом из которых F является VB-функцией.

Определение 9. Функция F : [а, Ъ] —у Ж называется абсолютно непрерывной в широком смысле (АС-функцией) на множестве Е С [а, Ь], если для любого е > 0 существует такое S > 0, что для любого набора неперекрывающихся отрезков {[а&, bk\}^=1 с концами из Е, удовлетворяющих условию Y!k=i(bk — ak) < д, выполняется неравенство Ylk=i\F(bk) —

Определение 10. Функция F : [а, Ь] —У М называется обобщенно абсолютно непрерывной в широком смысле (ACG-функцией) на множестве Е С [а, 6], если F непрерывна и Е представимо в виде счетного объединения множеств, на каждом из которых F является АС-функцией.

А. Я. Хинчин и А. Данжуа независимо друг от друга показали, что любая ^ВС-функция, а значит и ACG-функция, аппроксимативно дифференцируема почти всюду. Более того, две ЛС(7-функции, аппроксимативные производные которых совпадают почти всюду, отличаются друг от друга на аддитивную постоянную.

Определение 11. Функция / : [а, Ь] —У М. называется интегрируемой по Данжуа в широком смысле (V-интегрируемой), если существует такая ACG-функция F : [а, 6] —У R, что F'ap{t) = fit) почти всюду на [а, Ъ]. При этом функция F называется неопределенным V-интегралом функции / на [а, Ъ], а приращение F(b) — F(a) — определенным V-интегралом функции / по отрезку [а, 6], который обозначается через (V) J^ f(t)dt.

Определенный выше интеграл также называют интегралом Данжуа-Хинчина. Определения 7 — 11, а также основные свойства Р-интеграла, включая его сравнение с Р*-интегралом, подробно изложены А. Я. Хин-чиным в [17]. Эти результаты можно также найти в [13, гл. VII-VIII].

Другое решение задачи объединения концепций интегрирования Ньютона и Лейбница-Коши было предложено О. Перроном. В 1914 году в работе [77] он дал определение интеграла с помощью так называемых мажорантных и минорантных функций, которые были введены независимо Ш. Валле-Пуссеном и О. Перроном (см. [1] и [77]). Обозначим через DF{t) и DF(t) соответственно нижнее и верхнее производные числа функции F в точке t.

Определение 12. Функция U : [а,Ь] —Ш называется мажорантной функцией для функции / : [а, 6] —у R, если выполняется следующее условие: DU(t) ^ fit) для всех t G [а,Ь].

Определение 13. Функция V : [а,Ь] —> К называется минорантной функцией для функции / : [а, Ъ] —> R, если выполняется следующее условие: DV(t) ^ f(t) для всех t € [а, Ь].

Определение 14. Функция / : [а, 6] —> Е называется интегрируемой по Перрону (Р-интегрируемой), если

1. она имеет хотя бы одну мажорантную функцию U(t) и хотя бы одну минорантную функцию V(t)\

2. точная нижняя грань множества {U(b) — U(a)} приращений всех мажорантных функций на отрезке [а, Ъ] совпадает с точной верхней гранью множества (V(b) — F(a)} приращений всех минорантных функций на этом отрезке.

Общее значение этих граней называется определенным интегралом Перрона (V-интегралом) функции / по отрезку [а,Ь].

Как видно из определений 12 — 14, интеграл Перрона представляет собой синтез конструктивного и дескриптивного подхода к определению интеграла. В 1915 году О. Бауэр показал (см. [23]), что интеграл Перрона включает в себя интеграл Лебега. С другой стороны, любая точная производная F' интегрируема по Перрону, так как в качестве ее мажорантной и минорантной функции может быть выбрана сама функция F. Следовательно, интеграл Перрона, так же как интеграл Данжуа, является объединением конструктивной и дескриптивной теории интеграла. Более того, в 1921 году Г. Хаке было доказано (см. [51]), что интеграл Перрона более общий, чем узкий интеграл Данжуа, то есть любая D*-интегрируемая на отрезке функция является также Р-интегрируемой, и при этом значения определенных интегралов совпадают. В 1924 году П. С. Александров, а в 1925 году Г. Луман независимо друг от друга доказали обратное утверждение: любая Р-интегрируемая функция является Х>*-интегрируемой (см. [19], [20] и [68]). Тем самым, конструктивный подход Данжуа и метод Перрона привели к одному и тому же процессу интегрирования. Поэтому узкий интеграл Данжуа часто называют интегралом Данжуа-Перрона. Интересно, что определение пер-роновского типа применимо к целому ряду других интегралов. В частности, Г. П. Толстов в 1939 году использовал перроновский подход для интеграла Данжуа-Хинчина (см. [15]).

Наконец, третий вариант объединения интегралов Ньютона и Лейбница-Коши был предложен Р. Хенстоком и Я. Курцвейлем. В 1955 году Р. Хенсток (см. [53]), а в 1957 году Я. Курцвейль (см. [64]) независимо друг от друга предложили идею определения интеграла, основанную на обобщении сумм Римана. Промежуточным шагом к строгому определению интеграла типа Римана оказалось понятие вариационного интеграла, введенное в 1960 году Р. Хенстоком (см. [54]).

Обозначим через X множество всех отрезков, содержащихся в [а,Ь]. Разбиением Т отрезка [а, Ь] назовем такой набор неперекрывающихся отрезков {Afe Е Х}%=1, что = [а, 6]. Размеченным разбиением отрезка [а, Ь] назовем такое семейство пар {(£&, Д&) G [a, b] х X}™ , что набор Т = {Afcj-j—i образует разбиение отрезка [а, 6]. В тех случаях, когда разночтение отсутствует, слово "размеченное" мы будем опускать. Подмножество разбиения (размеченного разбиения) отрезка [а, Ъ] будем называть подразбиением.

Определение 15. Функция Ф : [а, 6] —> К. называется аддитивной (супераддитивной:/, если для любого отрезка А С [а,Ь] и для любого его разбиения Т

Ф(Д) = ]ГФ(Д*) (Ф(Д)^£Ф(Д*)). т т

Определение 16. Функции Фх, Ф2 : Хх [а, 6] —У Ш называются вариационно эквивалентными в смысле Хенстока, если для любого е > 0 найдутся такая функция 8 : [а, Ъ] —> (0, оо) и такая супераддитивная функция Q, : [а, 6] —> М, что &]) < s и для каждой пары (£, Д) £ [a,b] х X, удовлетворяющей условию

Дс + выполняется неравенство

Ф1К,д)-Ф2К,д)|

Определение 17. Функция / : [а, 6] —у R называется вариационно интегрируемой по Хенстоку (V-интегрируемой) на отрезке [а, 6], если существует такая аддитивная функция интервала F : X —> Ж, что функции интервала и точки f(t)|Д| и F(Д) вариационно эквивалентны в смысле Хенстока. При этом функция F(Д) называется неопределенным V-интегралом функции /.

Здесь имеется в виду, что функция F фиктивно зависит от точки t, то есть F(t, А) = F(А).)

Р. Хенсток доказал, что вариационный интеграл эквивалентен интегралу Варда (см. [88]), который в свою очередь равносилен интегралу Данжуа-Перрона.

В 1961 году Р. Хенсток дал новое определение интеграла Данжуа-Перрона через обобщенные суммы Римана, взяв за основу определение вариационного интеграла (см. [55]).

Определение 18. Пусть 6 ■— некоторая положительная функция, определенная на отрезке [а, Ь]. Разбиение отрезка [a, b] называется 5-согласованным в смысле Хенстока-Курцвейля, если каждая пара (£, А) е удовлетворяет условию ее Ас +

В [55] Р. Хенсток доказал, что для любой положительной функции <5 класс таких разбиений не пуст.

Определение 19. Функция / : [a, b] —У Ж называется интегрируемой по Хенстоку-Курцвейлю (НК -интегрируемой), если существует число I со следующим свойством: для любого е > 0 найдется функция ^ : [а, Ъ] —у (О, оо) такая, что для любого «^-согласованного в смысле Хенстока-Курцвейля разбиения Т^ отрезка [а, Ь] выполняется неравенство £.

Число I будем называть определенным интегралом Хенстока-Курцвейля функции / по отрезку [а, Ъ] и обозначать через I = (НК) J^ fit) dt.

В [55] Р. Хенсток сформулировал следующие утверждения, справедливые для ЯЯ"-интегрируемых функций.

Лемма А. Пусть функция f : [а, Ъ] —у Ш является НК-интегрируемой на отрезке [а,Ь], и пусть F : [а, Ь] —у Ж — неопредленный интеграл /. Тогда для любого е > 0 найдется функция 6 : [а, 6] —У (0, оо) такая, что для любого 8-согласованного в смысле Хенстока-Курцвейля подразбиения Т,£ отрезка [а, Ь] выполняется неравенство г.

Лемма В. Если функция f : [а, 6] —у X является Н К-интегрируемой и F : [а, 6] —у X ее неопределенный интеграл, то для любого е > О найдется такая функция 5 : [а,Ь] —> (О,оо); что для любого 8-согласованного в смысле Хенстоку-Курцвейля разбиения Т{\ отрезка [а, Ъ] выполняется неравенство £.

Легко заметить, что лемма В является усилением леммы А.

Оказалось, что приведенные выше утверждения играют фундаментальную роль в теории обобщенного интеграла Римана. А именно, справедливость леммы А гарантирует непрерывность неопределенного интеграла. На лемме В основан целый ряд важнейших свойств интеграла Хенстока-Курцвейля: измеримость ЯТ^-интегрируемой функции, дифференцируемость почти всюду неопределенного интеграла, эквивалентность iJiT-интеграла и К-интеграла. Другими словами, эквивалентность интегралов Данжуа-Перрона и Хенстока-Курцвейля базируется как раз на лемме В, которая в виду своей важности получила название леммы Сакса-Хенстока. Упомянем также, что леммы А и В существенно используются при доказательстве некоторых предельных теорем. Отметим, что утверждения, подобные леммам А и В, встречались и ранее. В 1927 году С. Сакс, изучая интеграл Беркилля, доказал результат, схожий с леммой А (см. [81]). А в 1930 году А. Н. Колмогоров в работе [7] положил начало вариационному подходу к теории интеграла, предложив идею леммы В. В связи с этим Р. Хенсток предложил называть леммы А и В леммами Сакса-Хенстока и Колмогорова-Хенстока, соответственно. Мы будем придерживаться старых названий. На протяжении работы будем называть утверждения, подобные лемме В, леммой Сакса-Хенстока, а утверждения, подобные лемме А, ослабленным вариантом леммы Сакса-Хенстока.

Применяя результаты Р. Хенстока и Я. Курцвейля, можно изменить понятие вариационной эквивалентности, а значит, и определение вариационного интеграла (см. [76] и [86]).

Определение 20. Вариацией в смысле Хенстока функции интервала и точки Ф : X х [а, Ь] —> Ж будем называть число

Уя(Ф) = ш£вир£;|Ф(£*,Д*)|, те Те где супремум берется по всем ^-согласованным в смысле Хенстока-Курц-вейля разбиениям Т^ отрезка [а, 6], а инфимум — по всем функциям <5 : [а,Ъ] —(0, оо).

Определение 21. Функции ФьФг : 1 х [а, Ъ] —> Ш называются вариационно эквивалентными в смысле Хенстока, если — Фг) = 0.

В 1968 году Р. Хенсток привел прямое доказательство того, что любая интегрируемая по Лебегу функция является и Я^-интегрируемой (см. [57]), а в 1987 году Р. Гордон доказал напрямую эквивалентность Р*-интеграл а и Я^-интеграла (см. [45]).

Позднее выяснилось, что определение процесса интегрирования посредством обобщения сумм Римана применимо к довольно широкому классу интегралов. Огромный интерес представляет собой следующий факт: небольшим изменением определения Хенстока-Курцвейля можно определить интеграл, эквивалентный интегралу Лебега. В 1969 году это определение сформулировал Э. Мак-Шейн (см. [72]).

Определение 22. Пусть <5 — некоторая положительная функция, определенная на отрезке [а, 6]. Разбиение отрезка [а, 6] называется 5-согласованным в смысле Мак-Шейна, если каждая пара (£, А) £ удовлетворяет условию

АС + <%))•

Определение 23. Функция / : [a, b] —У Ж называется интегрируемой по Мак-Шейну (М-интегрируемой): если существует число I со следующим свойством: для любого е > 0 найдется функция S : [а, Ъ] —у (0, оо) такая, что для любого ^-согласованного в смысле Мак-Шейна разбиения Т,t отрезка [а, Ъ] выполняется неравенство £.

Число I будем называть определенным интегралом Мак-Шейна функции / по отрезку [а, Ь] и обозначать через I = (М) J* f(t) dt.

В [73] Э. Мак-Шейн перенес на М-интеграл утверждения лемм А и

В.

Лемма С. Пусть функция f : [а, Ъ] —У М является М-интегрируемой на отрезке [а,Ь], и пусть F : [а, Ь] —У Ж — неопредленный интеграл /. Тогда для любого е > 0 найдется функция 6 : [а, Ъ] —у (О, оо) такая, что для любого 5-согласованного в смысле Мак-Шейна подразбиения Т^ отрезка [а, Ь] выполняется неравенство шы-пы) £.

Лемма D. Если функция f : [а, Ь] —У X является М-интегрируемой и F : [а, 6] —у X ее неопределенный интеграл, то для любого е > О найдется такая функция 8 : [а, 6] —у (О, оо); что для любого 5-согласованного в смысле Мак-Шейна разбиения Т^ отрезка [а, Ь] выполняется неравенство £.

В теории интеграла Мак-Шейна эти утверждения имеют такое же значения, как леммы А и В для интеграла Хенстока-Курцвейля. Из леммы С вытекает непрерывность неопределенного М-интеграла. Из леммы D выводится ряд важных свойств М-интеграла, в частности, эквивалентность интегралов Мак-Шейна и Лебега.

Теория обобщенных интегралов, приведенных выше, подробно изложена в следующих монографиях: интегралы Данжуа и Перрона — в работах А. Данжуа [36], С. Сакса [13], И. П. Натансона [11]; обобщения интеграла Римана рассматриваются Р. Хенстоком [56], [58], [60] и [61], Р. Мак-Леодом [71], Я. Курцвейлем [65], Э. Мак-Шейном [74], П. Ли [66], Б. Том-соном [85], В. Пфеффером [80], Р. Гордоном [49], В. Ином [41]. Кроме того, К. Осташевским [76], Б. Томсоном [86], В. Пфеффером [80] разобраны различные многомерные интегралы и вариационный интеграл. Обзор основных результатов в теории интеграла был сделан И. А. Виноградовой и В. А. Скворцовым в [2] и В. А. Скворцовым в [14].

Приложения обобщенных интегралов в теории ортогональных рядов рассматриваются А. Зигмундом [4], В. Г. Челидзе и А. Г. Джваршейшвили [18], в теории вероятности — Э. Мак-Шейном [74].

В данной работе нас будут интересовать обобщения рассмотренных интегралов на случай вектор-функций. Вопрос интегрирования вектор-функций, то есть функций, определенных на отрезке прямой и принимающих значения в некотором банаховом пространстве, впервые был рассмотрен JI. Грейвсом. В 1927 году в работе [50] он обобщил интеграл Римана на случай вектор-функций следующим образом.

Определение 24. Функция / : [а, Ь] —У X называется интегрируемой по Риману, если существует вектор I 6 X со следующим свойством: для любого е > 0 найдется такое S > 0, что для любого разбиения отрезка [а, Ъ] с диаметром, меньшим S, выполняется неравенство

Вектор I будем называть определенным интегралом Римана функции / по отрезку [а, 6].

JI. Грейвс сформулировал и доказал основные свойства интеграла Римана для вектор-функций, а также с помощью этого интеграла вывел формулу Тейлора для вектор-функций. В то же время JI. Грейвс отметил, что некоторые важные свойства интеграла Римана, справедливые для функций, принимающих действительные значения, могут, вообще говоря, не выполняться для вектор-функций. Например, существуют такие пространства, что критерий Лебега интегрируемости по Риману для функций, принимающих значения в этих пространствах, перестает быть справедливым. Л. Грейвс привел пример интегрируемой по Риману, но всюду разрывной вектор-функции со значениями в пространстве В[0,1] ограниченных на [0,1] функций.

Что касается интеграла Лебега, первое обобщение этого интеграла для вектор-функций привел в 1933 году С. Бохнер (см. [25]). В 1935 году Н. Данфорд дал эквивалентное определение интеграла Бохнера, использовав метод фундаментальных последовательностей (см. [37]).

Определение 25. Функция / : [a, b] —У X называется простой, если она имеет вид f(t) = Y!/k=i XkXBk(t), где Вк — измеримые подмножества отрезка [а, Ь]. Интеграл Бохнера функции / по отрезку [а, Ь] определяется следующим образом

Определение 26. Функция / : [а, Ъ] —у X называется интегрируемой по Бохнеру (В-интегрируемой) на отрезке [а, Ь], если существует последовательность простых функций , сходящаяся к / почти всюду и удовлетворяющая условию

Hm [b\\f(t)-fn(t)\\dt = 0.

J а

При этом для любого измеримого множества В С [а, 6] интеграл Бохнера функции / по множеству В полагается равным

В) [

J В

Интеграл Бохнера является самым узким из всех обобщений интеграла Лебега на случай вектор-функций. Он обладает практически всеми основными свойствами интеграла Лебега. Например, функция, принимающая значения в банаховом пространстве, ^-интегрируема тогда, и только тогда, когда она измерима и ее норма интегрируема по Лебегу (см. [25]). Из других обобщений интеграла Лебега наиболее известны интегралы, введенные в 1938 году Н. Данфордом и Б. Петтисом (см. [38] и [78]).

Определение 27. Функция / : [а, Ъ] —у X называется интегрируемой по Данфорду (D-интегрируемой), если для любого х* G X* функция ж*/ интегрируема по Лебегу. Для каждого измеримого множества Е С [а, 6] будем называть интегралом Данфорда функции / по множеству Е такой вектор £ X**, обозначаемый через (D) JE f(t) dt, что для любого х* G X* [ x*(f(t))dt. J Е

Определение 28. Функция / : [а, Ъ] —у X называется интегрируемой по Петтису (Р-интегрируемой), если для любого х* е X* функция x*f интегрируема по Лебегу и для каждого измеримого множества Е С [а, Ъ] найдется такой вектор 1е 6 X, что для любого х* е X* х*(1Е)= [ x*(f(t))dt.

JE

Вектор Ie называется интегралом Петтиса функции / по множеству Е и обозначается через (Р) JE f(t) dt. f(t)dt= lim(B) / XB(t)fn(t)dt. n—>oo / J a

Из определений 27 и 28 видно, что для рефлексивных пространств интегралы Данфорда и Петтиса эквивалентны, хотя в общем случае интеграл Данфорда несколько шире. В отличии от интеграла Бохнера, интеграл Петтиса уже не является "абсолютным", то есть норма Р-интегрируемой функции может оказаться неинтегрируемой по Лебегу. Более того, интегрируемая по Петтису функция может быть даже неизмеримой. Теория интегралов Бохнера, Петтиса и Данфорда подробно изложена в книгах Н. Данфорда и Дж. Шварца [3], Е. Хилле и Р. С. Фил-липса [16], К. Иосида [5] и в монографии М. Талагранда [84].

Еще одно интересное обобщение интеграла Лебега — интеграл Мак-Шейна. Его определение аналогично одномерному случаю (см. определение 23). Этот интеграл оказался очень близок к интегралу Петтиса, что видно из следующих работ. В 1990 году Р. Гордон доказал (см. [47]), что в классе измеримых функций интегралы Мак-Шейна и Петтиса эквивалентны. В 1994 году Д. Фремлин и Ж. Мендоза в работе [43] показали, что любая М-интегрируемая функция Р-интегрируема, а также построили пример функции со значениями в несепарабельном пространстве, интегрируемой по Петтису, но неинтегрируемой по Мак-Шейну.

Наряду с различными обобщениями интеграла Лебега на случай вектор-функций в последнее время часто рассматриваются обобщения интегралов, более общих, чем интеграл Лебега. Например, интеграл Хенс-тока-Курцвейля рассматривал Р. Хенсток (см. [59]), различные обобщения интегралов Данжуа — А. Алексевич [21], Д. Соломон [83], Р. Гордон [46]. В 1994 году Д. Фремлин показал (см. [42]), что для того чтобы ба-наховозначная функция была интегрируема по Мак-Шейну, необходимо и достаточно, чтобы она была одновременно интегрируема по Петтису и по Хенстоку.

Первая глава настоящей работы посвящена изучению классов вектор-функций обобщенной ограниченной вариации и обобщенно абсолютно непрерывных вектор-функций. Определения этих классов для функций, принимающих действительные значения, приведены выше (см. определения 2 — 5 и 7 — 10). Определения для банаховозначных функций совершенно аналогичны (см. определения 32 — 39). Первый параграф содержит необходимые определения и ранее известные результаты.

Во втором параграфе рассматривается вопрос о взаимоотношении вышеупомянутых классов функций. Для функций, принимающих действительные значения, эта задача решена следующим образом. В 1925 году С. Банах и М. А. Зарецкий (см. [22] и [11, гл. IX]) независимо друг от друга получили необходимое и достаточное условие абсолютной непрерывности функции ограниченной вариации через понятие (Д^)-свойства Лузина.

Определение 29. Функция F : [а, Ь] —У Е удовлетворяет (ЛГ)-свойству Лузина на множестве,Е С [а,Ь], если образ каждого подмножества Е нулевой меры имеет меру нуль.

Теорема А (Банах-Зарецкий). Для того чтобы непрерывная функция F : [а, 6] —у R, являющаяся VВ-функцией на замкнутом множестве Е С [а, Ь], была АС-функцией на Е, необходимо и достаточно, чтобы функция F удовлетворяла на этом множестве (N) -свойству Лузина.

В монографии С. Сакса (см. [13]) приводится критерий абсолютной непрерывности в узком смысле функции обобщенной ограниченной вариации в узком смысле.

Теорема В (Сакс). Для того чтобы непрерывная функция F : [а, 6] —у Ж, была АС*-функцией (ACG* -функцией) на замкнутом множестве Е С [а, Ъ], необходимо и достаточно, чтобы функция F была одновременно V В*-функцией и АС-функцией (V В G*-функцией и AC G -функцией) на Е.

В 1957 году Е. Хилле и Р. С. Филлипсом (см. [16]) установлено необходимое и достаточное условие абсолютной непрерывности банаховознач-ной функции ограниченной вариации на отрезке.

Теорема С (Хилле—Филлипс). Для того чтобы непрерывная функция F : [а, 6] —У X, слабо дифференцируемая почти всюду и являющаяся функцией ограниченной вариации, была абсолютно непрерывной, необходимо и достаточно, чтобы функция F была абсолютно непрерывной в слабом смысле.

Определение слабой дифференцируемости см. в §1.1, определение 42.) В данной работе этот результат будет распространен на более общие классы функций. А именно, будут доказаны следующие теоремы, обобщающие теорему Банаха-Зарецкого.

Определение 30. Будем говорить, что функция F : [а, Ъ] —у X удовлетворяет (wN)-свойству на множестве Е С [а,Ь], если для каждого х* G X* функция x*F удовлетворяет (N)-свойству Лузина на множестве Е.

Теорема 1. Для того чтобы непрерывная функция F : [<а, Ь] —У X, слабо аппроксимативно дифференцируемая почти всюду на замкнутом множестве Е С [а,Ь] и являющаяся VB-функцией (VВG-функцией) на Е, была АС-функцией (AC G-функцией) на Е, необходимо и достаточно, чтобы функция F удовлетворяла на этом множестве (wN)-свойству.

Теорема 2. Для того чтобы непрерывная функция F : [а, 6] —> X, слабо дифференцируемая почти всюду на замкнутом множестве Е С [а, Ъ] и являющаяся VВ*-функцией (V В G*-функцией) на Е, была АС*-функцией (ACG*-функцией) на Е, необходимо и достаточно, чтобы функция F удовлетворяла на этом множестве (wN) -свойству.

В качестве следствий из теорем 1 и 2 будут получены обобщения теоремы В.

Третий параграф посвящен изучению дифференциальных свойств ба-наховозначных функций. Хорошо известно, что для функций, принимающих действительные значения, справедлива теорема Лебега о дифференцируемое™, которая утверждает, что функция, имеющая на отрезке ограниченную вариацию, дифференцируема почти всюду на этом отрезке. Оказалось, что для вектор-функций эта теорема верна не во всех пространствах. В 1933 году С. Бохнер привел пример абсолютно непрерывной функции, принимающей значения в пространстве L[c, d] интегрируемых на [с, d] функций, не дифференцируемой ни в одной точке (см. [26]). В 1936 году Дж. Кларксон показал, что для некоторого класса пространств теорема Лебега о дифференцируемости остается справедливой. Он доказал (см. [31]), что функция ограниченной вариации со значениями в равномерно выпуклом пространстве дифференцируема почти всюду. Ознакомившись с этой работой, Н. Данфорд и А. Морс, изучая пространства с базисом, установили следующий результат.

Теорема D (Данфорд-Морс, [39]). Пусть X — банахово пространство, которое обладает базисом {e-n}™=i, удовлетворяющим следующему условию: любой ряд ^пLi частные суммы которого ограничены, сходится. Тогда любая функция ограниченной вариации со значениями в X дифференцируема почти всюду.

Из работ Дж. Кларксона, Н. Данфорда и А. Морса следует, что теорема Лебега о дифференцируемости справедлива в пространствах 1Р,

1 ^ р < оо, и Lp[c, d\, 1 < р < оо. Вопросами дифференцирования функций занимались также И. М. Гельфанд [44], Н. Данфорд [38], Б. Петтис [79], Д. Соломон [83], С. Бохнер и А. Е. Тейлор [27].

Здесь мы ограничимся изучением дифференциальных свойств абсолютно непрерывных функций. В третьем параграфе мы предложим другое доказательство хорошо известного представления вариации почти всюду дифференцируемой абсолютно непрерывной функции через интеграл от нормы производной, применяя теорию обобщенного интеграла Римана. С помощью этого представления мы докажем следующий критерий дифференцируемости почти всюду абсолютно непрерывной функции.

Определение 31. Последовательность вектор-функций {Gn)™=l называется сходящейся по вариации к вектор-функции F, если ь lim V(jF - Gn) = 0. п—»оо а

Теорема 3. Для того чтобы абсолютно непрерывная вектор-функция F : [а,Ъ] —> X была почти всюду дифференцируемой на отрезке [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы существовала последовательность абсолютно непрерывных функций, принимающих значения в конечномерных подпространствах X, которая сходится к F по вариации.

В качестве следствия из этой теоремы будет получено условие на пространство, в котором справедлива теорема Лебега о дифференцируемости (см. следствие 3). Это условие охватывает несколько меньший класс пространств, чем в теореме D.

Как уже было сказано выше, для функций, принимающих действительные значения справедливы следующие теоремы (см. [13, гл. VII]).

Теорема Е (Данжуа-Лузин). Пусть F : [a, b] —> М является VBG*-функцией на множестве Е С [а,Ь]. Тогда F дифференцируема почти всюду на Е.

Теорема F (Данжуа-Хинчин). Пусть F : [а, Ь] —> Ж. есть VBG-функция на множестве Е С [а, 6]. Тогда F аппроксимативно дифференцируема почти всюду на Е.

В конце третьего параграфа эти теоремы будут обобщены в том смысле, что если пространство X таково, что для функций, принимающих значения в X, справедлива теорема Лебега о дифференцируемости, то для пространства X остаются верными теоремы Данжуа-Лузина и Данжуа-Хинчина (см. теоремы 4 и 5).

Во второй главе речь пойдет о взаимоотношениях между различными процессами интегрирования банаховозначных функций. Мы подробно рассмотрим интегралы Мак-Шейна, Хенстока-Курцвейля, вариационный интеграл и узкий интеграл Данжуа. Эти интегралы уже были введены нами для случая функций, принимающих действительные значения (см. определения 23, 19, 17 и 6). Точные определения для банаховозначных функций, а также необходимые свойства этих интегралов будут приведены в первом параграфе.

Второй параграф посвящен изучению связи вариационного интеграла и узкого интеграла Данжуа. Как уже отмечалось, для функций, принимающих действительные значения, интеграл Мак-Шейна эквивалентен интегралу Лебега, а интеграл Хенстока-Курцвейля — узкому интегралу Данжуа. Доказательства этих результатов принадлежат Э. Мак-Шейну (см. [73]) и Р. Гордону (см. [45]). Возникает вопрос, можно ли дать определения через обобщенные суммы Римана или с помощью понятия вариационной эквивалентности для интеграла Бохнера и узкого интеграла Данжуа в случае функций, принимающих векторные значения. Что касается интеграла Бохнера, ответ на этот вопрос был получен в 1994 году Wu Congxin и Yao Xiaobo (см. [89]).

Теорема G (Wu Congxin, Yao Xiaobo). Функция f : [a,b] —У X является В-интегрируемой тогда, и только тогда, когда она VM -интегрируема, причем в случае интегрируемости неопределенные интегралы совпадают.

Заметим, что FM-интеграл или вариационный интеграл Мак-Шейна в действительном случае эквивалентен М-интегралу. Точное определение, подобное определению К-интеграла, приведено в первом параграфе первой главы.

В связи с этим узкий интеграл Данжуа оказалось естественным сравнивать с У-интегралом, что и было сделано в 1995 году С. Каной и М. На-варро (см. [28]). Однако, доказательство, приведенное в этой работе, содержит ошибку. В доказательстве основной теоремы авторы не учли, что разбиение на множества, на которых функция должна быть абсолютно непрерывной в узком смысле, зависит от произвольного е > 0. Здесь мы устраним эту ошибку и докажем следующую теорему.

Теорема 6. Функция f : [а, 6] —У X является интегрируемой по Данжуа в узком смысле тогда, и только тогда, когда она V-интегрируема, причем в случае интегрируемости неопределенные интегралы совпадают.

Третий параграф посвящен обсуждению справедливости леммы Сак-са-Хенстока (см. леммы В и D) для вектор-функций. Значение этой леммы в теории интеграла уже было указано выше. В 1992 году С. Као отметил, что для некоторых пространств значений лемма Сакса-Хенстока перестает выполняться (см. [29] и [30]). В первом параграфе мы приведем предложенный им пример функции со значениями в 12[0,1] (гильбертово пространство континуальной размерности). В 1994 году Ш. На-каниши был рассмотрен класс топологических пространств, в которых лемма Сакса-Хенстока все же остается справедливой (см. [75]). Ввиду важности леммы Сакса-Хентсока С. Као ввел ЯХ-интеграл — сужение интеграла Хенстока-Курцвейля, в определение которого вошло требование справедливости леммы Сакса-Хенстока (см. [29]). .ЙХ-интеграл есть по-существу вариационный интеграл. Для интеграла Мак-Шейна такое сужение назовем ML-интегралом. В данной работе полность решен вопрос, для каких банаховых пространств справедливо утверждение леммы Сакса-Хенстока или для каких банаховых пространств ЯЬ-интеграл эквивалентен интегралу Хенстока-Курцвейля, а ML-интеграл — интегралу Мак-Шейна. А именно, будет доказана следующая теорема.

Теорема 7. Следующие утверждения эквивалентны:

1.Х — конечномерное пространство.

2. Функция f : [а, Ъ] —у X интегрируема по Хенстоку-Курцвейлю тогда, и только тогда, когда она НL-интегрируема.

3. Функция / : [а, Ъ] —у X интегрируема по Мак-Шейну тогда, и только тогда, когда она ML-интегрируема.

Интересно, что для интеграла Римана ответ на вопрос о справедливости леммы Сакса-Хенстока, то есть о выполнении для интеграла Римана критерия интегрируемости Лебега, до сих пор не получен и уже не имеет такого простого вида, как для интегралов Хенстока-Курцвейля и Мак-Шейна. В [48] Р. Гордон показал, что для большинства банаховых пространств лемма Сакса-Хенстока для интеграла Римана не выполняется,

ВВЕДЕНИЕ 23 однако существуют отдельные пространства (например, Zi), для которых лемма Сакса-Хенстока все же остается справедливой.

Заметим, что ослабленный вариант леммы Сакса-Хенстока (леммы А и С) остается верным для любого пространства значений (см. [70]). Благодаря этому отдельные свойства интегралов Хенстока-Курцвейля и Мак-Шейна, например, непрерывность неопределенного интеграла, сохраняются в любых простанствах. В связи с этим представляет интерес рассматривать не только их сужения — HL- и MZ-интегралы, но и сами интегралы Хенстока-Курцвейля и Мак-Шейна.

Из теоремы 7 мы выведем следствие, полностью отвечающее на вопрос о взаимоотношении интегралов Бохнера, Данжуа в узком смысле, Мак-Шейна и Хенстока-Курцвейля в случае произвольного банахова пространства значений.

1. Зигмунд А., Тригонометрические ряды, т. 2, М., 1965, 1-534.

2. Иосида К., Функциональный анализ, М., 1967, 1-624.

3. Кашин Б. С., Саакян А. А., Ортогональные ряды, М., 1984, 1-495.

4. Колмогоров А. Н., Исследование понятия интеграла, Избранные труды, Математика и механика, М., 1985, 96-136.

5. Коши О., Краткое изложение лекций об дифференциальном и интегральном исчислении, Санкт-Петербург, 1832.

6. Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, М.-Л., 1934.

7. Лузин Н. Н., Интеграл и тригонометрический ряд, М., 1951, 1-550.

8. Натансон И. П., Теория функций вещественной переменной, М., 1974, 1-479.

9. Риман В., Сочинения, М., 1948, 1-543.

10. Сакс С., Теория интеграла, М., 1949, 1-494.

11. Скворцов В. А., Вариации и вариационные меры в теории интегрирования и некоторые приложения, Итоги науки и техники, сер. Современная математика и ее приложения, 38 (1996), 1-42.

12. Толстов Г. П., Метод Реггоп'а в интеграле Denjoy, ДАН СССР 25(6) (1939), 470-472.

13. Хилле Е., Филлипс Р. С., Функциональный анализ и полугруппы, М., 1962, 1-829.

14. Хинчин А. Я., О процессе интегрирования Данжуа, Матем. сборник 30 (1918), 543-557.

15. Челидзе В. Г., Джваршейшвили А. Г., Теория интеграла Данжуа и некоторые ее приложения, Тбилиси, 1978, 1-363.

16. Alexandroff P., Uber die Aquivalenz des Perronschen und des Denjoy-schen Integralbegriffes, Math. Zeitschr. 20 (1924), 213-222.

17. Alexandroff P., L'integration au sens de M. Denjoy consideree comme recherche des fonctions primitives, Матем. сборн. 31 (1924), 465-476.

18. Alexiewicz A., On Denjoy integrals of abstract functions, C. R. Soc. Sci. Lett. CI. Ill, Sci. Math. Phys. 41 (1948), 97-129.

19. Banach S., Sur les lignes rectifiables et les surfaces dont I'aire fini, Fundam. Math. 7 (1925), 225-236.

20. Bauer H., Der Perronsche Integralbegriff und seine Beziehung Zum Le-besgueschen, Monatshefte Math. Phys. 26 (1915), 153-198.

21. Birkhoff G., Integration of functions with values in a Banach space, Trans. Amer. Math. Soc. 38 (1935), 357-378.

22. Bochner S., Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind, Fundam. Math. 20 (1933), 262-276.

23. Bochner S., Absolut-additive abstrakte Mengenfunktionen, Fund. Math. 21 (1933), 211-213.

24. Bochner S., Taylor A. E., Linear functionals on certain spaces of abstractly-valued functions, Annals of Math. 39 (1938), 913-944.

25. Canoy S. R., Navarro М. P., A Denjoy-type integral for Banach-valued functions, Rend. Circ. Mat. Palermo 44(2) (1995), 330-336.

26. Cao S., The Henstock integral for Banach-valued functions, SEA Bull. Math. 16(1) (1992), 35-40.

27. Cao S., Banach-valued Henstock integration, Real Analysis Exchange 19(1) (1993-94), 34.

28. Clarkson J. A., Uniformly convex spaces, Trans. Amer. Math. Sos. 40(3) (1936), 396-414.

29. Darboux J. G., Memoire sur les fonctions discontinues, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. (2) 4 (1875), 57-112.

30. Denjoy A., Une extension de Vintegrale de M. Lebesgue, C. R. Acad. Sci. Paris 154 (1912), 859-862.

31. Denjoy A., Calcul de la primitive de la fonction derivee la plus generale, C. R. Acad. Sci. Paris 154 (1912), 1075-1078.

32. Denjoy A., Sur la derivation et son calcul inverse, C. R. Acad. Sci. Paris 162 (1916), 377-380.

33. Denjoy A., Memoire sur la totalisation des nombres derives non-sommables, Ann. Ecole Norm. 33 (1916), 127-222; 34 (1917), 181-238.

34. Dunford N., Integration in general analysis, Trans. Amer. Math. Soc. 37 (1935), 441-453.

35. Dunford N., Uniformity in linear spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 44 (1938), 305-356.

36. Dunford N., Morse A. P., Remarks on the preceding paper of James A. Clarkson, Trans. Amer. Math. Soc. 1936. 40 (3) 415-420.

37. Dvoretzky A., Rogers C. A., Absolute and unconditional convergence in normed linear spaces, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 36(3) (1950), 192-197.

38. Ene V., Real functions — current topics, Lecture Notes in Math. 1603 (1995), Springer-Verlag, 1-310.

39. Fremlin D. Н., The Henstock and McShane integrals of vector-valued functions, Illinois J. Math. 38(3) (1994), 471-479.

40. Fremlin D. H., Mendoza J., On the integration of vector-valued functions, Illinois J. Math. 38(1) (1994), 127-147.

41. Gelfand I. M., Abstrakte Functionen und lineare Operatoren, Матем. сборник 4 (1938), 235-285.

42. Gordon R., Equivalence of the generalized Riemann and restricted Denjoy integral, Real Analysis Exchange 12(2) (1986-87), 551-574.

43. Gordon R., The Denjoy extension of the Bochner, Pettis and Dunford integrals, Studia Math. 92 (1989), 73-91.

44. Gordon R., The McShane integration of Banach-valued functions, Illinois J. Math. 34 (1990), 557-567.

45. Gordon R., Riemann integration in Banach spaces, Rocky Mountain J. Math. 21(3) (1991), 923-949.

46. Gordon R., The integrals of Lebegue, Denjoy, Perron, and Henstock, American Mathematical Society, Providence, 1994, 1-395.

47. Graves L. M., Riemann integration and Taylor's theorem in general analysis, Trans. Amer. Math. Soc. 29 (1927), 163-177.

48. Hake H., Ueber de la Vallee Poussins Ober- und Unterfunktionen rinfacher Integrale und die Integraldefinition von Perron, Math. Ann. 83 (1921), 119-142.

49. Harnack A., Die allgemeinen Satze den Zusammenhang der Functionen einerreellen Variabeln mit ihren, Ableitungen, II, Math. Ann. 24 (1884), 217-252.

50. Henstock R., The efficiency of convergence factors for functions real variable, J. London Math. Soc. (2) 30 (1955), 273-286.

51. Henstock R., A new descriptive definition of the Ward integral, J. London Math. Soc. 35 (I960), 43-48.

52. Henstock R., Definitions of Riemann type of the variational integrals, Proc. London Math. Soc. (3) 11(43) (1961), 402-418.

53. Henstock R., Theory of integration, Butterworths, London, 1963, 1-168.

54. Henstock R., A Riemann-type integral of Lebesgue power, Canadian J. Math. 20 (1968), 79-87.

55. Henstock R., Linear analysis, Butterworths, London, 1968.

56. Henstock R., Generalized integrals of vector-valued functions, Proc. London Math. Soc. (3) 19 (1969), 509-536.

57. Henstock R., Lectures in the theory of integration, World Scientific Publishing Co., Singapore, 1988, 1-206.

58. Henstock R., General theory of integration, The Clarendon Press, Oxford University Press, N. Y., 1991, 1-262.

59. Khintchine A., Sur une extension de I'integrale de M. Denjoy, C. R. Acad. Sci. Paris 162 (1916), 287-291.

60. Khintchine A., Sur la derivation asymptotique, C. R. Acad. Sci. Paris 164 (1917), 142-144.

61. Kurzweil J., Generalized ordinary differential equations and continuous dependence on a parameter, Чехословацкий математический журнал 7(82) (1957), 418-446.

62. Kurzweil J., Nichtabsolut konvergente Integrale, Teubner Verlagsgesells-chaft, Leipzig, 1980, 1-184.

63. Lee P. Y., Lanzhou Lectures on Henstock Integration, World Scientific, 1989.

64. Lee P. Y., On ACG* functions, Real Analysis Exchange 15(2) (1989-90), 754-759.

65. Looman H., Ueber die Perronsche Integraldefinition, Math. Ann. 93 (1925), 153-156.

66. Lusin N., Sur les proprietes de I'integrale de M. Denjoy, C. R. Acad. Sci. Paris 155 (1912), 1475-1478.

67. Mawhin J., Generalized multiple Perron integrals and the Green-Goursat theorem for differentiable vector fields, Czech. Math. J. 31(4) (1981), 614-632.

68. McLeod R., The generalized Riemann integral, Mathematical Association of America, Washington, D. C., 1980, 1-275.

69. McShane E. J., A Riemann-type integral that includes Lebesgue Stieltjes, Bochner and stochastic integrals, Mem. Amer. Math. Soc. 88 (1969).

70. McShane E. J., A unified theory of integration, American Math. Monthly 80 (1973), 349-359.

71. McShane E. J., Unified Integration, Academic Press, New York-London, 1983, 1-607.

72. Nakanishi S., The Henstock integral for functions with values in nuclear spaces, Mathematica Japonica 39(2) (1994), 309-335.

73. Ostaszewski К. M., Henstock integral in the plane, Mem. Amer. Math. Soc. 63(353) (1986), 1-106.

74. Perron O., Ueber den Integralbegriff, S.-B. Heidelberg. Acad. Wiss. 16 (1914).

75. Pettis B. J., On integtation in vector spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 44 (1938), 277-304.

76. Pettis B. J., Differentiation in Banach spaces, Duke Math. J. 5 (1939), 254-269.

77. Pfeffer W., The Riemann approach to integration, Cambridge University Press, Cambridge, 1993, 1-302.

78. Saks S., Sur les fonctions d'intervalle, Fundamenta Math. 10 (1927), 211-216.

79. Solomon D. W., On differentiability of vector-valued functions of a real variable, Studia Math. 29 (1967), 1-4.

80. Solomon D. W., Denjoy integration in abstract spaces, Mem. Amer. Math. Soc. 85 (1969), 1-69.

81. Talagrand М., Pettis integral and measure theory, Mem. Amer. Math. Soc. 51(307) (1984), 1-224.

82. Thomson B. S., Real functions, Lecture Notes in Math. 1170 (1985), Springer-Verlag.

83. Thomson B. S., Derivates of interval functions, Mem. Amer. Math. Soc. 93(452) (1991), 1-96.

84. Volterra V., Sui principii del calcolo integral, Giorn. Mat. Battaglini 19 (1881), 333-372.

85. Ward A. J., The Perron-Stieltjes integral, Math. Zeitschr. 41 (1936), 578-604.

86. Wu Congxin, Yao Xiaobo, A Riemann-type definition of the Bochner integral, J. Math. Study 27(1) (1994), 32-36.

87. Солодов А. П., Интегрирование банаховозначных функций, Алгебра и анализ: Тезисы докладов школы-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б. М. Гагаева, Казань, КГУ, 1997, 203-204.

88. Солодов А. П., Дифференциальные свойства абсолютно непрерывных банаховозначных функций, Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 9-й Саратовской зимней школы, Саратов, Изд-во Сарат. ун-та, 1997, 148.

89. Солодов А. П., О взаимоотношениях между интегралами банаховозначных функций, Теория приближений и гармонический анализ: Тезисы докладов международной конференции, Тула, ТулГУ, 1998, 241243.

90. Солодов А. П., Интегралы типа Римана для банаховозначных функций, Материалы международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов", выпуск 2, 1998, 110113.

91. Солодов А. П., Безусловная интегрируемость банаховозначных функций, Современные методы теории функций и смежные проблемы: Тезисы докладов, Воронеж, ВГУ, 1999, 180.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 71

92. Солодов А. П., Интегралы Хенстока и Мак-Шейна для банаховозначных функций, Матем. заметки 65(6) (1999), 860-870.

93. Солодов А. П., Об условиях дифференцируемости почти всюду абсолютно непрерывных банаховозначных функций, Вестн. Моск. Ун-та, сер. 1, Математика. Механика 4 (1999), 50-53.