Закон больших чисел в банаховом пространстве тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

Введение.

ГЛАВА I

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ГЕОМЕТРИЯ БАНАХОВЫХ ПРОСТРАНСТВ.

§1. Тип ( р , I , о^ ) и другие классы пространств.

§2. Основные свойства пространств типа ( р , <^.

§3. Характеризация типа ( р , ъ » ^ j неравенствами для сумм независимых 1В -с.в.

ГЛАВА II

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ В БАНАХОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ.

§1. Слабый закон больших чисел.

§2. Закон больших чисел относительно квазинорм.

§3. Закон больших чисел для разнораспределенных слагаемых.

ГЛАВА III

СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ В ЗАКОНЕ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

§1. Скорость сходимости для одинаково распределенных слагаемых.

§2. Скорость сходимости для разнораспределенных слагаемых.

Одним из важнейших утверждений в теории вероятностей и, в частности, в теории вероятностных распределений в банаховых пространствах является закон больших чисел. Наряду с законом повторного логарифма и центральной предельной теоремой, закон больших чисел (з.б.ч.) в банаховых пространствах находит свое применение как в математической статистике так и в математической физике.

Первым утверждением такого рода является результат Я.Еер-нулли^опубликованный в »i Ars Conjectanoii 11 1713 r.j и относится к последовательности независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события одинакова. Следующим отметим результат Ф.Хаусдорфа (1913, [75]j сближающий з.б.ч. с другими предельными теоремами теории вероятностей в смысле нормировки: пусть Х^ » XÄ - независимые случайные величины (с.в.) имеющие распределение P{Xj = 11] = -i/Z , тогда

P{ Um n'l? ZLXl » o) - i, (o.i) для любого 0< p < Z . В случае p - 1 соотношение (o.i) доказал Э.Борель (1909, [49]). Законченный вид этот результат получил в работе Марцинкевича и Зигмунда

1937, [ЮО]). А именно соотношение (o.i) для независимых одинаково распределенных с. в. и некоторого 0 < р < Z выполняется тогда и только тогда когда конечен момент E|XJ^h ЕX± = О при ¿£р< Z . В случае р= 4 этот результат получен А.Н.Колмогоровым (1930,[93]|.

Более слабым чем соотношение (o.i) является утверждение

Р{|11 X; I >еп'И = 0,У£>о. (о.2) оО = 1 1 >

Об этом соотношении и лига речь в выше упомянутой книге Я.Бер-нулли. В случае р - 4 А.Н.Колмогоровым (1929, [91] , ¡92^, а в более общем случае В.Келлером ^1937, доказано, что выражение (0.2] имеет место для независимых одинаково распределенных с.в. и некоторого 0 < р < 2, тогда и только тогда когда

От аР[|Х<|>п'/рЬ* т п. при и р<2.(0.з) п-»«» -а'Р

Необходимые и достаточные условия для (0.2) выраженные через характеристическую функцию с.в. X \ содержатся в работах [б1| и [58] .

Другим направлением исследования з.б.ч. можно считать нахождение условий сходимости к нулю нормированной суммы относительно метрик. Так например в монографии Ревеса [П7], наряду с выше упомянутами видами сходимости, исследуется сходимость в среднем, т.е. сходимость средних арифметических значений в пространстве • Хорошо известно (см. например стр. 32 в [117]], что вообще говоря сходимость в среднем несравнима со сходимостью с вероятностью единица. В этом смысле интересным является результат Пайка и Бута [пб], утверждающий, что соотношение (ол) выполняется тогда и только тогда когда имеет место равенство

Ьт Е а-^г: X; | Р = о . (0.4)

Я-*

Здесь уместно привести аналогичную характеризацию соотношения (о.?) полученную в работе А именно, равенство (0.2] эквивалентно таму, что т 5Ир РПгС'/Р21 X; М

Л^оо * > О I 1 т.е. имеем сходимость в, так называемом, »слабом 1-р" пространстве.

Известно (см. [23] и [ю]^, что в случае разнораспределейных с.в. необходимые и достаточные условия для соотношения (о.^ немогут быть выражены только через моментные условия. Нахождению необходимых и достаточных условий в этом случае посвящены работы С.В.Нагаева [ю] и А.И.Мартикайнена |У|. Хорошо известным достаточным условием для соотношения (ол]при р = Л. является сходимость ряда

- Е|х.|гг

1= 1 ' для некоторого г > ± и Е X ^ = 0 для всех ¿>1 . Этот результат получен Ю.В.Прохоровым [22 ] , а в частных случаях А.Н.Колмогоровым [9з] ^для I- и Брунком [52] (для целых г) .

Следующим этапом в исследовании з.б.ч. является установление скорости сходимости, естественной мерой которого считается оценка скорости сходимости к нулю величины

Существуют и другие методы измерения скорости сходимости ( см. например работы [бо] ,[94], ¡72], [бз] ,[2] , [18]^ . Классическими в - этой области сейчас стали результаты Баума и Каца, а также Хейди и Рохатги:

Теорема 0.1 [4б] , [77]. Пусть 0 < .Для последовательности независимых одинаково распределенных с.в. (Х;);е следующие утверждения эквивалентны:

1) &т а11 Р(|Х4|>а4/Р]=0 и выполняется соотношение (0.3) ;

2) Ьп^РЦЕХ.иел^ио.Уех».

Если г > 4 »то каждое из этих утверждений эквивалентно следующему g

3) £im |HPz:Xi >е]=0 V£>0.

П-»"00 1 К ^ п ' l=i J }

Теорема 0.2 [4б]. Пусть 0 < р< £ , г ^ 1 . Для последовательности независимых одинаково распределенных с.в. (XjieifV следующие утверждения эквивалентны:

1) E|Xd|p*< и ЕХ4 = о пРи1йр<г;

2) £ a*-* P(|z: XL i > <оо v6> о .

П.— 4. 1 1 J

Если г > 4 » т0 каждое из этих утверждений эквивалентно следующему ^ ß

3) П a*-zpSsap np2lXi >е]<^, Ve>0 . arl ЦъЛ

Теорема 0.3 [4б]. Пусть 0 < р < 2, . Для последовательности независимых одинаково распределенных с.в. (Xi)ielN сле~ дующие утверждения эквивалентны:

1) EIXJP^+IX.I и ЕХ4 = О при р<г ;

2) Р [\2Z Xil > гЛ} <<*> , V е>0 ; at д

В случае р = 1 и ^ кг Бриллинджером [öl] доказана справедливость утверждения 2) в теореме 0.1 при условиях

E|XJl<°° и

ЕХ 4 = 0 . Сюй и Роббинс [84] доказали импликацию I) 2) в теореме 0.2 для р - i и г - Z , Зрдё-шем [б2],[бз] доказана эквивалентность этих утверждений, а Спицером [120] получен случай р = г 1 . Обобщения изложенных результатов содержатся, начиная с той же статьи Хейди и Рохатги £77], в работах Гренка и Хэнсона [бб], Хянсона и Райта [73], Рохатги [lI8j , Чэна [бб] , В.В.Петрова [l9] , [20], И.В.Широковой-Хрущевы [37], [зв] , [зз] , С.Х.Сираждинова и М.У.

Гафурова [б?], Хатори, Маима и Мори [7^ , А.Гута £б5|, Л.В.Розовского - [2в]. Отметим также статью £ю] в которой содержится результат объединяющий теоремы 0.1 и 0.2 (см. также теорему 3.1.5 - первое число указывает главу, второе - параграф третье - номер утверждения в параграфе; в ссылках в пределах той же главы первое число отсутствует; аналогично нумеруются и формулы^.

В случае существования производящих функций моментов с.в. в невыраяденном интервале, скорость сходимости в з.б.ч. является экспоненциальной. Более точно следующий результат Баума, Каца и Рида, дополняющий теоремы 0.1 - 0.3, гласит:

Теорема 0.4 [45]. Для последовательности независимых одинаково распределенных с.в. следующие утверждения эквивалентны:

1) О 3 С и Т такие, что

Л Ее**' 4 Се"-*1*1 , \/<е[-Т,Т];

2) V е, > О 3 с и такие, что

Одним из этапов исследования з.б.ч. является рассмотрение с.в. со значениями в пространстве Банаха. Такая постановка задачи не является только теоретическим обобщением. Обоснованием этого направления является работа Ю.В.Прохорова [21]. Примеры отдельных задач, решения которых следуют из результатов з.б.ч. и скорости сходимости в з.б.ч. для банаховозначных с.в., можно найти в работах Лая [98] и А.Кожэниовского [эб].

Для обсуждения известных результатов: и изложения содержания диссертации введем некоторые обозначения и понятия.

Всюду в дальнейшем (1В , II • II) - вещественное сепарабель-ное пространство Банаха, , ? , Р) - вероятностное пространство, 10(1В ) - множество сильно измеримых отображений X *. 521В * называемых банаховозначными с.в. (|В -с.в.). В круге вопросов затрагиваемых в диссертации требование сепарабельности пространства и сильной измеримости 1В -с.в. не являются излишиш (по этому вопросу ом. например работу [и]). Распределением |В -с.в. X называется мера «£(Х/ на борелевс-кой б" -алгебре , определенная равенством

Х)(А) = рох-'(А) = Р(Х'ЧА))

Как обычно, 5 п обозначает сумму первых г\ членов последовательности независимых 1Е> -с.в. СX ^) се 1Ы • Если дополнительно выполняется равенство (X) = (У.^) для всех I ъ 1 , то используется обозначение 5а(Х) . Срезку 1В -с.в. X на уровне а будем обозначать через

X м = X • 1 I. ИХ II 6 а } и ХЬа^Х-ХГа! , здесь и в дальнейшем Ц р - индикатор множества Р . Е X означает среднее по Бохнеру. Предел

А) ЕХ = «¿т 5 ХМ Р(Лсо)

-Ь^ ьо ^ будем называть А -интегралом. Если среднее по Бохнеру существует, то

А)ЕХ = ЕХ . На протяжении всей работы будем рассматривать следующие множества 18 -с.в.:

00

Lp*(B) = {x«L.(IB): «XII f [MIyt)fj¿¡ lp(-.íib)s{x4,(b): ujfp{m>t)-o,

L^(B)"fX«LM(B):.(A)EX-0 при для p £ ^ ^ esa . Заметим, что Lpfp(lB>) = Lp(lB)- множеству классов 18-с.в., норма которых интегрируема в р-той степени. Это легко следует применяя интегрирование по частям. Введенные множества изоморфны соответственно подпространствам пространств Лоренца и Марцинкевича. Квазинормы в этих пространствах обычно определяются с помощью невозрастающей перестановки измеримой функции X

Пространства Лоренца и Марцинкевича состоят из классов функций

X для которых соответственно конечны величины 4

ЬЩ

0<-Ь где 0 < р, с^ < съо • В доказательстве леммы 2.1.9 мы пользуемся равенством квазинормы НХЦроо величине ^0.6 ^ ^см. например стр. 17 монографии [з]^. Более исчерпывающую информацию об этих пространствах можно найти в работах [4в] и . Для упрощения формулирован утверждений введем еще следующие множества |В-с.в.:

А/|1-1Мр(|В") = {(Х-1)16м6Ц(1Вв>) : Р-Ьп ИР 6а-о] ; б шмр(в~) =((х;)ии£и(1в1: пм,и ; имг (в" 1мд-={0Уи1 нч.[ъ~Ь и* о] •

Здесь ив^ип^Т^Пв^ЗОМ М и В^ 1В для всех 1^-4 . Пределы Р- и п.н.-&па понимаются в смысле соотношений (0.2) и (ол) соответственно, только абсолютная величина заменена на норму пространства 1В .

1т означает сходимость в пространстве . Если дополнительно выполняются равенства о^(Х)-об(Х^) для всех I ^ 1 , то будем использовать введенные обозначения заменив 1В>°° на 1Е> .

Перейдем к изложению результатов о з.б.ч. в пространствах Банаха. Первый результат в этом направлении получила Э. Мурье в [109]. А именно она доказала справедливость з.б.ч. А.Н.Колмогорова, т.е. равенство

ЗИГМв) = !: (1Ь) в произвольном (сепарабельном) банаховом пространстве 1В . В дальнейшем оказалось, что справедливость тех или иных фактов теории вероятностей тесно связано с геометрией бесконечномерного пространства. Впервые в связи с вопросами теории вероятностей для |В-с.в. условие на геометрию пространства Банаха наложено 8.%рье и Р.Форте [бб] . Позднее это условие было обобщено В.А.Войчинским [128] , выделением пространств класса ( 0<с* ^ 1) . А.Беком [47] получена полная характеризация банаховых пространств в которых выполняется «классический" з.б.ч. для разнораспределенных 1В-с.в. Впоследствии доказано [бз], что этот класс ( В - выпуклых пространств) совпадает с классом иравномерно не пространств изученного Джеймсом. И.Хоф|>-манн-Йоргенсеном [?в] было введено понятие (радемахеровского ) типа и котипа, которое вместе с устойчивым типом и котипом (введенным в изучалось Ж.Пизье и Б.Морей в [108]. Одним из результатов этой работы является вывод, что устойчивый тип I эквивалентен 6-выпуклости. И.Хоффманн-Йоргенсеном также доказано [79], что класс пространств совпадает с классом (Л* <х) -равномерно гладких пространств, которые характеризуют з.б.ч. для мартингалов (см. [п4] и £[3^ |. Большое развитие получила также теория классов банаховых пространств связанных с устойчивыми мерами (см. работы [9] , [шз] , ^104^ , [ю^ .

Появление столь большого числа разных классов пространств связанных с вероятностными распределениями в бесконечномерных пространствах, а также существование в функциональном анализе других классов (см. например обзорную статью [127]^, объясняет целесообразность используемого в названии первой главы словосочетания »вероятностная геометрия", В §1 этой главы введено понятие типа (р , £ которое является естественным обобщением многих нам известных геометрических типов ^см. определение 1.1.2 и замечания 1.1.3^. Основным результатом этого параграфа можно считать теорему 1.1.6, в которой получена характеризация пространств устойчивого типа в терминах радемахеровских с.в. Упомянутый результат позволяет сравнить пространства устойчивого типа с другими классами. Во втором параграфе доказаны геометрические свойства показывающие »внутреннее единство" класса пространств типа(р,£. Эти результаты совпадают с некоторыми из утверждений доказанных Д.П.Дкиси в [бв] для В -выпуклых пространств и А.Г.Шангуа в [Зб] для В^-выпуклых пространств. В последнем параграфе первой главы содержится характеризация пространств типа (р,ъ через неравенства для сумм независимых НЗ-с.в. (см. теорему 1.3.4^. Эти неравенства являются основным средством установления связи геометрии банахова пространства с з.б.ч., а также скоростью сходимости в з.б.ч. и используются в последующих главах.

1.Азларов Т.А.»Володин H.A. Законы'больших чисел для одинаково распределенных банаховозначных случайных величин,- Теория вероятн. и ее примен.,1981,т.ХХУ1,вып.3,с.584-590.

2. Бенткус В.Ю.,Паулаускас В.й. О скорости сходимости в центральной предельной теореме для гауссовских смесей в бесконечномерных пространствах.-Лит.матем.сб. ,1983,т.XXIII,№ I,с. 17-29.

3. Берг Й.»Лёфстрём Й. Интерполяционные пространства.Введение.-Москва:Мир,1980.

4. Лоэв М. Теория вероятностей.-Москва:ЙЛ,1962.

5. Норвайша Р. О законе больших чисел, для одинаково распределенных банаховозначных случайных величин.-Лит.матем.сб.,1983, т.XXIII,№ 3,с.100-109.

6. Норвайша Р. О скорости сходимости в слабом законе больших чисел в банаховом пространстве.-Лит.матем.сб.,1984,т.ХХ1У,№ I, с.131-139.

7. Норвайша Р. Закон больших чисел в банаховых пространствах.-В сб.:ХХ1У Конференция Литовского Математического Общества, Вильнюс,22-23 июня 1983,Тезисы докладов,ИМК АН Лит.ССР,1983, с.143-144.

8. Норвайша Р. Закон больших чисел для независимых случайных величин.-В сб.:ХХУ Конференция Литовского Математического Общества,Шяуляй,14-15 июня 1984,Тезисы докладов,Вильнюс, 1984,с.208-209.

9. Норвайша Р. Закон больших "чисел для одинаково распределенных банаховозначных случайных величин.-Лит.матем.сб.,1984,т.ХХ1У № 4,сЛ33-150.

10. Норвайша Р.,Рачкаускас А. Закон больших чисел относительно квазинорм.-Лит,матем.сб.,1984,т.ХХ1У,Р 2,с.130-144.

11. Норвайша Р.,Рачкаускас А. Закон больших чисел относительно квазинорм.II.-Лит.матем.сб.,1984,т.ХХ1У3,с.162-176.

12. Петров В.В. Оценки в слабом законе больших чисел.-Мат.заметки,1972,т.12,Р 5,с.639-642.

13. Петров В.В. Одна предельная теорема для сумм независимых неодинаково распределенных случайных величин.-Зап.науч.семинаров Ленингр.отд.Мат.ин-та АН СССР,1979,т.85,с.188-192.

14. Прохоров Ю.В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей.-Теория вероятн.и ее примен.,1956,т Л,вып. 2,с.П7-238.

15. Прохоров Ю.В. Об усиленном законе больших чисел.-Изв.АН СССР 1950,т.14,с.523-536.

16. Прохоров Ю.В. Несколько замечаний к усиленному закону больших чисел.-Теория вероятн.и ее примен.,1959,т.1У,вып.2,с.215-220.

17. Рачкаускас А.Ю. Операторный идеал типа (р , ) .-Лит.матем. сб.,1984,т.ХХ1У,Р 4,с. 151-166.

18. Розовский Л.В. Оценки скорости сходимости в слабом законе больших чисел.-Лит.матем.сб.,1980,т.XX,Р 4,с.147-163.

19. Розовский Л.В. О соотношении скорости сходимости в слабом и усиленном законах больших чисел.-Лит.матем.сб.,1981,т.XXI, № 1,с.155-167.

20. Розовский Л.В. О скорости сходимости в усиленном законе больших чисел.-Теория вероятн.и ее примен.,1981,т.ХХУ1,вып.I, с.138-143.

21. Розовский Л.В. Оценки скорости сходимости в усиленном законе больших чисел.-Мат.заметки,1983,т.34,Р 6,с.883-896.

22. Рудин У. функциональный анализ.-Москва:Мир,1975.

23. Сковорода Скорость сходимости в законе больших чисел в • '.банаховых пространствах. -Изв. ВУЗов, сер. матем. ,1982, № I,с.64-67.

24. Келлер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.Т2. -Москва:Мир,1967.

25. Хеннекен П.Л.,Тортра А. Теория вероятностей и некоторые ее приложения.-Москва:Наука,1974.

26. Хрущева И.В. О скорости сходимости в законах больших чисел для взвешенных сумм независимых одинаково распределенных случайных в еличин.-Теор.вероятн.и мат ем.стат.,1977,Р 17, с.141-153.

27. Шангуа А.Г. 0 законах больших чисел в банаховом пространстве. -Сообщ.АН ГССР,1978,т.92,Р 2,с.297-300.

28. Шангуа А.Г. О В^-выпуклых пространствах.-Сообщ.АН ГССР, 1979 т.94,Р 3,с.553-556.

29. Шангуа А.Г. Законы больших чисел в банаховом пространстве.-Канд.дисс.,Тбилиси,198I.

30. Широкова И.В. О скорости сходимости в слабом законе больших чисел.-Теор.вероятн.и матем.стат.,1973,т.8

31. Широкова И.В. О скорости сходимости в законе больших чисел при моментных ограничениях.-Лит.матем.сб.,1974,т.Х1У,Р I, с.195-206.

32. Acosta de A. Existence and convergence of probability measures in Banach spaces.-Trans.Amer.Math.Soc.,1970,v.152,p.273-298.

33. Acosta de A. Inequalities for B-valued random vectors with, applications to the strong law of large numbers.-Ann. Probab-I98I,v.9,Ho I,p.I57-I6I.

34. Acosta de A.,Araujo A.,Gine E. On Poisson measures, Gaussian measures and the central limit theorem in Banach spaces.-Adv.in Probab.,Dekker,New York,1978,v.4,p.1-68.

35. Alf G. Rates of convergence for the laws of large numbers for independent Banach valued random variables.-J.Multiv. Anal.,1975,v.5,p.322-329.

36. Araujo A.,Gine E. The central limit theorem for real and Banach valued random variables.-Wiley,New York,1980.

37. Araujo A.,Gine E.,Mandrekar Y.,Zinn J. On the accompanying laws theorem in Banach spaces.-Ann.Probab.,1981,v.9,Ho 2, p.202-210.

38. Baum L.E.,Katz M.,Read R.R., Exponential convergence rates for the law of large numbers.-Trans.Amer.Math.Soc.,1962, v. 102,ITo 2,p. 187-199. .

39. Baum L.E.,Katz M. Convergence rates in the law of large numbers.-Trans.Amer.Math.Soc.,1965,v.120,No I,p.108-123.

40. Beck A. A convexity condition in Banach spaces and the strong law of large numbers.-Proc.Amer.Math.Soc.,1962, v.13,p.329-334.

41. Bennet G.,Rudnick K. On Lorentz Zygmund spaces.-Rozprawy , Matematyczne, 1980, v. 135, p. 1-72.

42. Borel E. Sur les probabilités denombrables et leurs apli-cations arithmétiques.-Rendeconti del Circolo Mat.di Palermo, 1909,26,247-271.

43. Bozorgnia A.,Rao B.M. Limit theorems for weighted sums of random elements in separable Banach spaces.-J.Multivar. Anal.,1979,v.9,No 3,p.428-433.

44. Brilinger D.R. A note on the rate of convergence of a mean.-Biometrika,1962,v.49,No 3-4,P.574-576.

45. Brunk H.D. The strong law of great numbers.-Duke Math.J., 1948,p.I8I-I89.

46. Butzer P.L.,Hàhn L. General theorems on rates of convergence in distribution of.random variables.I,II.-J.Multivar. Anal.,1978,v.8,No 2,p.181-220.

47. Chatterji S.D. Vector valued martingales and their applications. -Lect.Notes Math.,1976,v.526

48. Chen R. A remark on the tail probability of a distribution.-J.Multivar.Anal.,1978,v.8,No 2,p.328-333.

49. Daffer P. Z.,Taylor R.L. Laws of large numbers forSfC^d. Ann.Probab.,1979,v.7,No I,p.85-95.

50. Daffer P.Z.,Taylor R.L. Convergence of weighted sums of random elements in $0fi. .-J.Multivar.Anal., 1980, v. 10, No I,p.95-106.

51. Deo C.M.,Truax D.R. A note on the weak law.-Ann.Math. Statist.,1968,v.39,No 6,p.2159-2160.

52. Dharmadhikari S.W.,Sreehari M. On convergence in z -mean of normalized partial suns .-Ann.Probab.,1975,v.5,No 6, p.1023-1024.

53. Dudley R.M. Speeds of metric probability convergence.-Z.Wahrsch.verw.Geb.,1972,v.22,p.323-332.

54. Ehrenfeucht A.,Fisz M. A necessary and sufficient condition for the validity of the weak law of large numbers.-Bull.de 1'Acad.Polonaise des Sci.Ser.Math.,I960,8,583-585.

55. Erdos P. On a theorem of Hsu and Robbins.-Ann.Math.Statist., 1949,v.20,No 2,p.286-291.

56. Erdos P. Remark on my paper «On a theorem of Hsu and Robbins -Ann.Math.Statist.,1950,v.21,No I,p.138.

57. Peller ?/. Uber das Gesetz der grossen Zahlen.-Acta Scient. Math.,Szeged,1937,v.8,No 4,p.I9I-20I.

58. Fortet R.,Mourier E. Les fonctions aleatoires comme elements aleatoires dans les espaces de Banach.-Stud.Math.,1955,v.15, p.62-79.

59. Prank W.E.,Hanson D.L. Some results giving rates of convergence in the law of large numbers for weighted sums of independent random variables.-Trans.Amer.Math.Soc.,1966,v.124, No 2,p.347-359.

60. Gafurov M.U.,Siragdinov S.H. Some generalizations of results Erdos Katz related with the law of large numbers and its applications.-Kibernetica,1979,v.15,No 4,p.272-292.

61. Giesy D.P. On a convexity condition in normed linear spaces -Trans.Amer.Math.Soc.,1966,v,125,No I,p.II4-I46.

62. Giesy D.P.,James R.C. Uniformly non and B -convex Ba-nach spaces.-Stud.Math.(PRL),1973,v.48,No I,p.61-69.

63. Giesy D.P. Strong laws of large numbers for independent sequences of Banach space valued random variables.-Lect. Notes Math.,1976,v.526,p.89-99.

64. Gut A. Marcinkiewicz laws and convergence rates in the law of large numbers for random variables with multidimensional indices.-Ann.Probab.,1978,v.6,No 3,p.469-482.

65. Hall P. On the rate of convergence in the weak law of large numbers.-Ann.Probab.,1982,v.10,No 2,p.374-381.

66. Hanson D.L.,Wright P.T. Some more results on rates of convergence in the law of large numbers for weighted sums of independent random variables.-Trans.Amer.Math.Soc.,1969, v.141,p.443-464.

67. Hatori H.,Maxima M.,Mori T. Convergence rates in the lawof large numbers when extreme: terms are excluded.-Z.Wahrsch. verw.Geb.,I979>v.47,No I,p.I-I2.

68. Hausdorff P. Grundzuge der Mengenlehre.-Leipzig,1913.

69. Heinkel B. On the law of large numbers in 2-uniformly smooth Banach spaces.-Ann.Probab.,1984,v.12,No 3»p.851-857.

70. Heyde C.C.,Rohatgi V.K. A pair of complementary theorems on convergence rates in the law of large numbers.-Proc. Camb.Phil.Soc.,I967,v.63,No I,p.73-82.

71. Hoffmann-Jorgensen J. Sums of independent Banach space valued random variables.-Aarhus Universitet,Maternatisk Institut, Preprint Series,1972/1973,No 15,p.1-89.

72. Hoffmann-Jorgensen J. On the modulus of smoothness and the ^^ -conditions in Banach spaces.-Aarhus Universitet,Mate-matisk Institut,Preprint series,.1974.

73. Hoffmann-Jorgensen J. Sums of independent Banach space valued random variables.-Stud.Math.,IS74,v.52,No 3»p.159-186.

74. Hoffmann-Jorgensen J. Probability in B-spaces.-Aarhus Univ., Lect.Notes Series,1977,No 48.

75. Hoffmann-Jorgensen J.,Pisier G. The laws of large numbers and the central limit theorem in Banach spaces.-Ann.Probab., I976,v.4,NO 4,p.587-599.

76. Howell J.,Taylor R.L.»Woyczynski W.A. Stability of linear forms in independent random variables in Banach spaces.-Lect.Notes Math.,I980,v.860,p.32I-345.

77. Hsu P.L.,Robbins H. Complete convergence and the law of large numbers.-Proc.Nat.Acad.Sci.(USA),1947,v.33,No 2, p.25-31.

78. Hunt R. A. On spaces.-L'Ens. Math. ,1966, v. 12, p.249-275.

79. Ito K.,Nisio M. On the convergence of sums of independent Banach space valued random variables.-Osaka J.Math.,1968, v.5,p.35-48.

80. Jain N.C. Tail probabilities for sums of independent Banach space valued random variables.-Z.Wahrsch.verw.Geb.,1975, v.33,No 2,p.155-166.

81. Jain N.C.,Marcus M.B. Central limit theorems for -valued random variables.-J.Funct.Anal.,1975,v.I9,p.216-231.

82. James R.C. Nonreflexive spaces of type 2.-Israel J.Math., 1978,v.30,No 1-2,p.I-I3.

83. Jurek Z.,Urbanik K. Remarks on stable measures on Banach spaces.-Colloq.Math.,1978,v.38,No 2,p.269-276.

84. Kolmogoroff A. Uber die Summen durch den Zufall bestimmterunabhängiger Grossen.-Math.Ann.,1928,v.99,p.309-319.i

85. Kolmogoroff A. Bemerkungen zu meiner Arbeit Uber die Summen Zufalliger Grossen".-Math.Ann.,1929,v.102,p.484-488.

86. Kolmogoroff A. Sur la loi forte des grands nombres.-C.r. Acad.Sei.,1930,v.191,Ho 20,p.9I0-9I2.

87. Koopmans L.H.,Martin N., Pathak P.K.,Quails C. On the divergence of certain random series.^Ann.Probab.,1974,v.2, No 3,p.546-550.

88. Korzeniowski A. On Marcinkiewicz strong law of large numbers in Banach spaces.-Ann.Probab.,1984,v.12,Nol,p.279-280.

89. Korzeniowski A. Bound state problem for random potentials.-Stoch.Analysis and applicat.,I984,v.2,No 2,p.I2I-I29.

90. Kuelbs J.,Zinn J. Some stability results for vector valued random variables.-Ann.Probab.,1979,v.7,No I,p.75-84.

91. Lai T.L. Convergence rates in the strong law of large numbers for random variables taking values in Banach spaces.-Bull.Inst.Math.Acad.Sinica,1974,v.2,No I,p.67-85.

92. Lindenstrauss J.,Tzafriri L. Classical Banach spaces.-Lect.Notes Math.,I973,v.338,pp.243.

93. Marcinkiewicz J.,Zygmund A. Sur les fonctions independan-tes.-Fund.Math.,I937yv.29,p.60-90.

94. Marcus M.B.»Woyczynski A.W. Stable measures and the central limit theorem in spaces of stable type p.-Trans.Amer. Math.Soc.,1979,v.251,p.71-102.

95. Marcus M.B.,Pisier G. Characterizations of almost surely continuos p -stable random Fourier series and strongly stationary processes.-Acta Math.,1984,v.152,No 3-4,p.245-301.

96. Mandrekar V.,Zinn J. Central limit problem for symmetric case; convergence to non Gaussian law.-Stud.Math.,1980, v.67,p.279-296.

97. Mandrekar V.,Weron A. oC stable characterizations of Banach spaces ( 4 < OC < 2»).-J.Multivar.Anal. ,1982,v. II,p.572-580.

98. Mathe P. A note on classes of Banach spaces related to stable measures. -Math.Iiachr., 1984, v. 115,p. 189-200.

99. Maurey B. Espaces de cotype p , 0< p ^ 2, .-Seminaire Maurey Schwartz,1972-73,Exp.VII.

100. Maurey B. Theoremes de factorisation pour les Operateurs lineaires a valeurs dans un espace L^ .-Asterisque,Soc. Math.Prance,1974,v.II,pp.163.

101. Maurey B.,Pisier G. Series de variables aléatoires vectorielles indépendantes et propriétés geometriques des espaces de Banach.-Stud.Math.,1976,v.58,p.45-90.

102. Mourier E. Elements aléatoires dans un espace de Banach.-Ann.Inst.H.Poincare,1953,v.13,p.159-244.

103. Neveu J. Discrete parameter martingales.-Amsterdam:North Holand Publishing Co.,1975.

104. Padgett V/.J.,Taylor R.L. Laws of large numbers for normed linear spaces and certain Frechet spaces.-Lect.Notes Math.,1973,v.360,pp.III.

105. Pisier G. Le theoreme de la limite centrale et la loi du logarithme itéré dans les espaces de Banach.-Seminaire Maurey-Schwartz,1975-76,Exp.III.

106. Pisier G. "Type" des espaces normes.-Seminaire Maurey-Schwartz, 1973-74.

107. Pisier G. Martingales with values in uniformly convex spaces.-Israel J.Math.,1975,v.20,p.326-350.

108. Pisier G. On the dimension of the ££ subspaces of Banach spaces, for p < 2, .-Trans.Amer.Math.Soc. ,I9Q3,v.276,Ho I,p.20I-2II.

109. Pyke R.,Root D. Convergence in % -mean of normalized partial sums.-Ann.Math.Statist.,1968,v.39,No 2,p.379-381.

110. Revesz P. The laws of large numbers.-Academic Press,1968.

111. Rohatgi V.K. On convergence rates in the law of large numbers for weighted sums of independent random variables.-Proc.Amer.Math.Soc.,1969,v.20,No 2,p.570-574.

112. Rosinski J. Remarks on Banach spaces of stable type.-Prob.and Math.Statst.,1980,v.I,No I,p.67-71.

113. Spitzer P. A combinatorial lemma and its application to probability theQry.-Trans.Amer.Math.Soc.,1956,v.82,No 2, p.323-339.

114. I.Sztencel R. On baundendness and convergence of some Banach space valued random series.-Prob.and Math.Statist.,1981, v.2,No I,p.83-88.

115. Taylor R.L. Stochastic convergence of weighted sums of random elements in linear spaces.-Lect.Notes Math.,1978, v.672,pp.216.

116. Taylor R.L.,Wei D. Laws of large numbers for tight random elements in normed linear spaces.-Ann.Probab.,1979, v.7,No I,p.150-155.

117. Taylor R.L.,Calhoun C.A. On the almost sure convergence of weighted sums of random elements in S) 0f l. .-Inter-nat.J.Math.,I98I,v.4,No 4,p.745-752.

118. Tien N.Z.,Weron A. Banach spaces related to <X -stable measures. -Lect. Notes Math.,1980,v.828,p.309-317.

119. Tzafriri L. On the type and cotype of Banach spaces.-Israel. J.Math.,1979,v.32, No I,p.32-38.

120. Tzafriri L. Some directions of research in Banach space theory.-Proc.2nd Conf.»Paderborn,1979,Amsterdam,1980, p. I-I8.

121. Woyczynski W.A, Random series and laws of large numbers in some Banach spaces.-Theory Probab.and Apl.,I973»v.18,Ho 2, p.361-367.

122. Woyczynski W.A. On Marcinkiewicz-Zygmund laws of large numbers in Banach spaces and related rates of convergence. -Prob. and Math.Statist.,1980,v.I,Uo 2,p.II7-I3I.

123. Woyczynski W.A. Tail probabilities of sums of random vectors in Banach spaces and related rates of convergence.-Lect.Notes Math.,I980,v.794,p.455-469.

124. Woyczynski W.A. Survey of asymptotic behavior of sums of independent random vectors and general martingales in Banach spaces.-Lect.Notes Math.,1983,v.990,p.215-220.

125. Yurinskii V.V. Exponential inequalities for sums of random vectors.-J.Multivar.Anal.,1976,v.6,No 4,p.473-499.'

126. Zinn J. A note on the central limit theorem in Banach spaces.-Ann.Probab.,1977,v.5,No 2,p.283-286.