О некоторых финитных свойствах банаховых пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

§1. Общий обзор.

§2. Обозначения и предварительные сведения.

Глава I. Два результата из теории суперрефлексивных пространств.

§1. Двумерная универсальность пространств Банаха.

§2. Устойчивость суперрефлексивности.

Глава 2. Комплексно равномерно выпуклые пространства.Lv.

§1. Общие результаты. Комплексная равномерная выпуклость пространств Лебега - Бохнера.

§2. Комплексная равномерная выпуклость и котип.

§3. Комплексные деревья.

Глава 3. (^-выпуклые пространства Банаха.

§1. Условно сходящиеся ряды в 2)-выпуклом пространстве.

§2. Об условиях выпуклости множества пределов римановых сумм векторнозначной функции.

Одна из самых важных задач, возникающих при изучении банахова пространства - это задача описания его подпространств. Такие классические результаты, как теорема об универсальности пространства С [0, 1 ] (см. стр.25б), как критерий

Р.К.Джеймса рефлексивности пространства с безусловным базисом (см. [зз], стр. 23^), как теорема о выделении базисной последовательности (см. [ЗЗ], стр. являются теоремами о множестве подпространств банахова пространства. От того, каковы подпространства данного банахова пространства, зависят многие свойства этого пространства.

Самыми простыми банаховыми пространствами являются конечномерные нормированные пространства. Поэтому задача описания конечномерных подпространств банахова пространства возникает как естественный шаг при изучении свойств банахова пространства, и свойства, определяемые набором конечномерных подпространств банахова пространства, являются интересным объектом для изучения.

Теория финитных свойств банаховых пространств, то есть, свойств, определяемых конечномерными подпространствами,- это относительно новая область современного функционального анализа. Хотя эпизодически финитные свойства рассматривались ещё основоположниками теории банаховых пространств, в отдельную область функционального анализа теория финитных свойств выделилась лишь в начале семидесятых годов.

Наиболее известным финитным свойством является, пожалуй, введённая Дж.А.Кларксоном [14"] в 1936 году равномерная выпуклость. Равномерно выпуклые пространства с различных точек зрения исследовались в работах М.М.Дэя [15], [16], \17], М.И.Ка-деца [4], [б], Р.К.Джеймса [25], В.И.Гурария [I], Б.Дд.Петти-са [36] и многих других авторов. Понятие равномерной выпуклости активно применяется в теории наилучших приближений, теории безусловно сходящихся рядов и в теории базисов в пространствах Банаха.

Дальнейшее развитие теории банаховых пространств привело к активному изучению таких финитных свойств, как суперрефлексивность, 3-выпуклость, наличие типа и котипа, [^-выпуклость. Большая часть этих свойств ещё недостаточно исследована, и вся теория финитных свойств далека от завершения. В этой области работают такие известные математики, как Ж.Бургейн, Р.К.Джеймс, С.В.Кисляков, И.Линденштраусс, Б.М.Макаров, А.Пелчинский, Ж.Пизье, С Л.Троянски, П.Энфло. Особый интерес к финитным свойствам банаховых пространств вызывает обнаружившаяся в последнее десятилетие близость методов теории финитных свойств к методам теории вероятностей и теории функций комплексного переменного .

Перейдём к обзору содержания диссертации. Диссертация состоит из трёх глав. В каждой главе изучается какое-то финитное свойство. В первой главе изучается суперрефлексивность, во второй - комплексная равномерная выпуклость, в третьей - 5~ выпуклость банахова пространства.

Понятие суперрефлексивности, которое является основным для первой главы настоящей диссертации, было введено и подробно исследовано Р.К.Джеймсом в работах [26^, [28], а немного позднее П.Энфло доказал, что каждое суперрефлексивное пространство изоморфно равномерно выпуклому пространству Банаха. Кроме того известно, что все равномерно выпуклые, равномерно гладкие и равномерно неквадратные пространства суперрефлексивны.

Первый параграф первой главы ("Двумерная универсальность пространств Банаха") посвящён исследованию вопроса, любое ли "существенное" ограничение на множество двумерных подпространств банахова пространства влечёт оупэррефлексивность пространства. Этот вопрос решается положительно. А именно, доказана следующая теорема:

Теорема I.I.I. Пусть банахово пространство X не суперрефлексивно. Тогда оно является универсальным для класса всех двумерных нормированных пространств.

Теорему можно переформулировать следующим образом: пусть пространство Е обладает свойством, из которого следует, что все двумерные подпространства пространства Е равномерно (в смысле дистанции Банаха - Мазура") удалены от некоторого фиксированного двумерного нормированного пространства (примерами таких свойств являются равномерная выпуклость, равномерная гладкость, равномерная неквадратность). Тогда Е - суперрефлексивное пространство.

Второй параграф называется"^стойчивость суперрефлексивности". Здесь мы вводим числа 2) (Vb? X ; У) как некоторую меру удалённости yi -мерных подпространств пространства \/ от yl-мерных подпространств пространства X • Установлен такой результат:

Теорема I.2.I. Пусть X и V ~ банаховы пространства, X ~ суперрефлексивное пространство. Пусть также выполняется следующее ограничение: для любого положительного oi

U = 0 (i)

VI -^оа

Тогда Y также суперрефлексивно.

Эта теорема является усилением аналогичного результата Р.К.Джеймса, в котором вместо требования (i) фигурировало более жёсткое условие ым §ЬЫ,У) < — п

Основное понятие второй главы - введённое И.Глобевником [23][ понятие комплексной равномерной выпуклости - является естественным обобщением обычной равномерной выпуклости.

В первом параграфе второй главы ("Общие результаты. Комплексная равномерная выпуклость пространств Лебега - Бохнера") изучаются свойства функции {£) - модуля комплексной выл пуклости, исследуется связь между двумя различными определениями комплексной равномерной выпуклости. Доказана следующая теорема:

Теорема 2.I.I. Если X - комплексно равномерно выпуклое пространство, то пространство Lj-Е;уМ > X ] также комплексно равномерно выпукло. Более того, если модуль комплексной выпуклости § (£) допускает степенную оценку снизу при малых то модуль комплексной выпуклости пространства Ll L El, уЧ,Х 1 допускает оценку с тем же показателем.

Второй параграф ("Комплексная равномерная выпуклость и котип") посвящен оценкам котипа комплексно равномерно выпуклого пространства X через модуль комплексной выпуклости этого пространства.

Доказало, что для комплексно равномерно выпуклого пространства X с данным модулем комплексной выпуклости §х (i) можно пдобрать отрезок ^Q., d 1 О, i L так, что если на этом отрезке выполняется неравенство то X обладает котипом р .

Результаты этого параграфа тесно связаны с теорией безусловно сходящихся рядов в банаховом пространстве, а точнее, с результатами типа теоремы Орлича [35] о безусловно сходящихся рядах в l [0 i] при i < р < ^ .

В третьем параграфе ("Комплексные деревья") исследуется поведения комплексных деревьев - мартингалов специального вида сс значениями в комплексном банаховом пространстве. Вводится в рассмотрение некоторое условие - S-ограничение на рост комплексных деревьев. Доказано, что пространство X имеет эквивалентную комплексно равномерно выпуклую норму тогда и только тогда, когда в X выполняется §-ограничение на рост комплексных деревьев. Этот результат является аналогом теорем П.Энфло ^18] и Ж.Пизье [ЗЙ о перенормировке суперрефлексивных пространств.

Класс 5-выпуклых пространств , с которым связаны основные результаты третьей, последней главы настоящей диссертации, был введён А.Беком [l3] как класс пространств, удобных для изучения случайных величин со значениями в этих пространствах. В частности, в В-выпуклых пространствах выполняется усиленный закон больших чисел. В дальнейшем теория В-выпуклых пространств развивалась Р.К.Джеймсом, Д.П.Гизи, И.Линденштрауссом, и особенно большой вклад был внесён работами Ж.Пизье ([34], [37yj и Б.Море \34], создавшими теорию пространств с типом р > 1 .

Довольно долго был открытым вопрос о том, не является ли каждое -выпуклое пространство рефлексивным. Отрицательный ответ на этот вопрос был дан Р.К.Джеймсом в очень красивой работе [29].

Первый параграф третьей главы ("Условно сходящиеся ряды в £У-выпуклом пространстве") посвящён изучению связи между выпуклостью и аналогом известной леммы Штейнипа (см. [39], [2], и о вектрных ломаных. Получены следующие результаты:

Теорема 3.I.I. В банаховом пространстве X выполняется аналог леммы Штейница с показателем р > i тогда и только тогда, когда X обладает инфратипом р .

Следствие 3.I.I. Пусть банахово пространство X имеет иноо фратип р > 1 . Пусть 21 - условно сходящийся ряд в пространстве X . Тогда если

Схэ

ZZ \\ ^ < 00 >

СО то область сумм ряда X к есть замкнутое линейное множество.

Эти утверждения являются усилением результатов работ \3] и [12].

В основу второго, последнего параграфа третьей главы ("Об условиях выпуклости множества пределов римановых сумм векторно-значной функции") положены результаты совместной работы автора с М.И.Кадетом. Доказана следующая теорема:

Теорема 3.2.1. Пусть У - ^-выпуклое пространство Банаха, а функция ^ \ L 0 11 —> У ограничена сверху константой К .

Тогда множество Cl (-^Л пределов интегральных сумм Вшана функции - выпуклое множество.

Кроме того, приведён пример ограниченной функции L0 ; 1] —* tL так°й» что ^ ( - не выпуклое множество.

Результаты этого параграфа в равной степени принадлежат соавтору - М.И.Кадецу.

Основные результаты диссертации изложены в работах автора [40] - 144].

Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Н.С.Ландкофу.

Результаты, включённые в диссертацию, докладывались на конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" в Ногинском научном центре АН СССР, на Харьковском городском семинаре по геометрии нормированных пространств, на семинаре по функциональному анализу РГУ и на семинаре по геометрии банаховых пространств кафедры математического анализа ЛГУ.