Кросснормы на тензорных произведениях банаховых пространств, определяемые некоторыми классами линейных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение.

Предварительные сведения.

1 Кросснормы на тензорных произведениях, связанные с порядком

1.1 Кросснормы, зависящие от порядка в одном из пространств-сомножителей тензорного произведения.

1.2 Об одном классе линейных операторов.

1.3 О свойствах тевэоршжявдусов в теязорн^ ях с кросснормами п к к. . .• • •.

1.4 Непрерывность операторов, действующих между тензорными произведениями.

2 Об ассоциативности тензорных произведений банаховых пространств

2.1 Описание сопряженного пространства к

2.2 Новая характеристика кросснормы кв

2.3 Об ассоциативности тензорных произведений с кросснормой к

3 О кросснорме а на тензорном произведении банаховых пространств

3.1 Определение и свойства кросснормы а.

3.2 Об ассоциативности тензорных произведений банаховых пространстве кросснормой а.

3.3 Функтор, порожденный тензорным произведением банаховых пространств с кросснормой а

Теория нормированных пространств с конусом (иначе, упорядоченных нормированных пространств) и теория тензорных произведений банаховых пространств являются актуальными разделами функционального анализа. Представляется интересным и важным также совместное развитие этих теорий, то есть рассмотрение ситуаций, когда один или оба из сомножителей в тензорном произведении являются банаховым пространством с конусом.

Следует отметить, что ситуация, когда одно пространство в тензорном произведении является банаховым пространством с конусом, второе - произвольное банахово пространство, исследовалась в разной степени общности в ряде работ. В работах В.Л.Левина ([9], [10], [13]), A.B. Бухвалова ([2]), X. Шефера ([27]), Г. Виттстока ([53]) и ряда других авторов такая ситуация исследовалась в том частном случае, когда пространство с конусом является банаховой решеткой. Однако, хорошо известно, что общая теория банаховых пространств с конусами и теория банаховых решеток требуют привлечения различных идей и разной техники. Существенной трудностью здесь является, например, невозможность использования теорем реализации, которые являются эффективным инструментом в случае, когда пространство с конусом - банахова решетка.

В.Т. Худалов в работах [16]-[18], [25] рассмотрел более общую ситуацию - тензорное произведение E<g>X упорядоченного банахова пространства Е из некоторого достаточно широкого класса (71) и произвольного банахова пространства X. Оказалось, что на эту более общую ситуацию переносится ряд результатов, известных для случая, когда Е - банахова решетка. Для справедливости многих других результатов наличие решеточной структуры оказалось существенным, что было продемонстрировано рядом контрпримеров.

Тензорные произведения двух упорядоченных банаховых пространств рассматривались также в ряде работ, среди которых следует отметить работы Д. Фремлина ([41],[42]), Г. Виттстока ([53]), Г.Н. Шотаева ([30], [31]), В.Т. Худалова ([25]). Здесь в основном получены результаты для тензорного произведения двух банаховых решеток.

Следует также подчеркнуть, что, поскольку многие банаховы пространства и тензорные произведения не удается сделать банаховыми решетками, в то время, как в них можно ввести порядки, хорошо согласованные с нормой, то представляется актуальным исследование именно общих (нерешеточных) конусов в тензорных произведениях, а также кросснорм, связанных с порядком в одном или обоих пространствах -сомножителях тензорного произведения.

При изучении тензорных произведений банаховых пространств возникает ряд конкретных интересных вопросов, например:

1. Построение новых норм на тензорных произведениях банаховых пространств и выяснение условий, при которых эти нормы являются кросснормами;

2. Изучение соотношений между различными кросснормами, исследование случаев совпадения построенных кросснорм с известными кросснормами и характеризация структурных свойств пространств с конусом в терминах совпадения кросснорм;

3. Изучение различных тензорных конусов в тензорных произведениях упорядоченных банаховых пространств с различными кросснормами. Изучению подлежат такие свойства тензорных конусов, как нормальность, несплющенность, телесность, инфрателесность, оштукатуриваемость, правильность, полная правильность.

Интересными и важными являются также приложения теории тензорных произведений в теории операторов (к исследованию свойств конусов в пространствах операторов и к продолжению операторов) и в теории функторов (к исследованию двойственности функторов в категориях банаховых пространств и в категориях банаховых пространств с конусом).

В диссертации впервые решены следующие задачи:

1. Построены новые кросснормы кип, зависящие от порядка в обоих пространствах-сомножителях тензорного произведения, и исследован вопрос об их отношении. Структурные свойства пространств с конусом охарактеризованы в терминах совпадения введенных кросснорм с основными кросснормами 7Г и е (теоремы 1.2.2, 1.2.3, 1.2.4, 1.2.5). Введен новый класс линейных операторов Сегт(Е, при помощи которого описано сопряженное пространство к Е®^ (теорема 1.2.1).

2. Построены примеры, показывающие, что: а) введенная кросснор-ма к не дает, вообще говоря, нормальности произвольного тензорного конуса, б) правильность (полная правильность) конусов в пространствах-сомножителях тензорного произведения не влечет, вообще говоря, наличие такого же свойства и у произвольного тензорного конуса в тензорном произведении с кросснормами пик (примеры 1.3.1 -1.3.3).

3. Исследованы условия непрерывности операторов, действующих между тензорными произведениями нормированных пространств, рассматриваемыми с кросснормами к, п (теоремы 1.4.1 - 1.4.7).

4. Получена новая характеристика кросснормы кв (теорема 2.2.1).

5. Установлены изометрии ряда классов операторов, в качестве естественных следствий которых получена ассоциативность тензорных произведений нормированных пространств с кросснормами пе, к, п, а (теоремы 2.2.2, 2.3.1, 3.2.1 со следствиями).

6. Изучен функтор Ре, порожденный тензорным произведением банаховых пространств с кросснормой а и описан двойственный к нему функтор в категориях банаховых пространств (теорема 3.3.1).

Диссертация состоит введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Приведем кратко (»держание каждой из глав.

Большинство предварительных, хорошо известных сведений объединено в главу 0.

Заключение

В работе получены следующие результаты:

1) На тензорном произведении Е ®Р упорядоченных банаховых пространств (УБП) Е и Р построены новые нормы кип, зависящие от порядка в обоих пространствах-сомножителях тензорного произведения

Изучены условия совпадения этих кросснорм с основными нормами е и 7г, при этом получено описание структурных свойств пространств-сомножителей тензорного произведения в терминах совпадения кросснорм (теоремы 1.2.2,1.2.3,1.2.4,1.2.5). Исследованы условия совпадения этих кросснорм между собой (предложение 1.2.4).

Введен новый класс (£, га)-операторов, то есть линейных операторов Т : Е -»• Р*, для которых операторы Т : Е Р* и Т* : Р -» Е* являются одновременно т-операторами. Описано сопряженное пространство к тензорному произведению двух УБП с регулярными конусами с кросс-нормой к, а именно, доказана теорема

Теорема 1 (теорема 1.2.1). Пусть Е и Р - УБП с регулярными конусами Е+ и Р+ соответственно. Сопряженное пространство к кросснормы такого типа рассматриваются впервые): для любого г € Е® Р тензорному произведению ^ .Р1 изометрично С(>т(Е, Р") - банахову пространству (¿,т) -операторов из Е в Р*.

2) Исследованы свойства тензорных конусов в тензорных произведениях двух УБП с кросснормами кип. Показано, что произвольный тензорный конус нормален в тензорном произведении с кросснормой п (теорема 1.3.1) и несплющен в тензорном произведении с кросснормой к (теорема 1.3.2). Построены также примеры, показывающие, что: а) кросснорма к не дает нормальности произвольного тензорного конуса, б) из правильности (полной правильности) конусов в пространствах-сомножителях тензорного произведения не следует, вообще говоря, наличия такого же свойства и у произвольного тензорного конуса в тензорном произведении с кросснормами пик (примеры 1.3.1 - 1.3.3).

3) Исследованы условия непрерывности операторов, действующих между тензорными произведениями нормированных пространств, рассматриваемыми с кросснормами к, ». Приведем один из таких результатов:

Теорема 2 (теорема 1.4.3). Пусть Б : Е Р - т-оператор, а Г : X У - предрегулярный оператор (в частности, регулярный оператор). Тогда оператор непрерывен и

5®Т||<№р{||5|Ы|Г||,||Т||г||5||}.

4) Получена новая характеристика кросснормы кв (теорема 2.2.1). Пусть Е - УБП с регулярным конусом Е+, Р - УБП с регулярным конусом Р+у таким, что норма аддитивна на конусе Р+, (7 ~ произвольное БП, С{Р, С?) - пространство всех непрерывных линейных операторов, действующих из^вСс операторной нормой. Всякий непрерывный линейный оператор и : Е ® Р -» О порождает оператор и : Е £(Р, С?), действующий по формуле и(е)(х)> $) = (и(е ® х), д), Уе 6 Е, х е Р, д е С.

Справедлива теорема

Теорема 3 (теорема 2.2.1). Пусть а - норма на Е® F. Следующие утверждения эквивалентны:

1. а = кв;

2. для любого БП С линейный оператор и : Е ®а Р б? является I-оператором тогда и только тогда, когда оператор и-.Е-+£(Р,С) является ¿-оператором и =

Этот результат существенно используется при доказательстве изо-метрии банаховых пространств операторов Сг(Е®кв^ С*) и £г(Е, £е(Р, О*)) и ассоциативности тензорных произведений банаховых пространств с кросснормой кв

Пусть конус Е+ в БП Е удовлетворяет условию 2) регулярности конуса, а вместо условия 1) регулярности выполнено условие

1') из 0 < х < у следует ||ж|| <

Справедлива

Теорема 4 (теорема 2.2.2, следствие 1 теоремы 2.2.2). Пусть конус Е+ в УБПЕ удовлетворяет условиям 1') и 2), регулярный конус в УБП F таков, что норма в Р аддитивна на конусе , - произвольное БП. Тогда а) имеет место изометрия пространств операторов МЕ&ъЪ СГ) £ Се(Е, С*)); б) изометричны тензорные произведения банаховых пространств (Е®кЕР)®кв§кЕРС и Е®кв(Е®крС).

При дополнительных условиях - выполнении интерполяционного свойства Рисса в УБП JSиF- получена также ассоциативность тензорных произведений банаховых пространств с кросснормой пе (следствие 2 теоремы 2.2.2).

6) доказаны изометрии пространств (£, т)- и абсолютно суммирующих операторов, в качестве следствий которых получена ассоциативность тензорных банаховых пространств с кросснормами к, п и а (теоремы 2.3.1. и 3.2.1 со следствиями).

7) Построен функтор РЕ, порожденный тензорным произведением банаховых пространств с кросснормой а, и описан двойственный к нему функтор Т>Ре в категория* БП (теорема 3.3.1).

Пусть Е - БП. Рассмотрим функтор РЕ, определяемый следующим образом:

РЕ(Х) = Е®аХ для любого БП X,

Ре (а) = 1 е® а для всякого а £ £(Х, У).

Ре - функтор типа Е во всякой категории К банаховых пространств. Для БП X положим оЬ8,е(Х) = СаЬв(Е,Х) и [А»&8,в(а)](/?) = а@ для любых а £ £(Х,У), (3 £ СаьЛЕ>х)

Тогда СаЬа,Е ~ функтор в любой категории БП. Теорема 5 (теорема 3.3.1). Пусть К - категория БП, удовлетворяющая одному из условий:

1. К регулярна, то есть если X £ К, то X* £ /С;

2. существуют Хп £ К (п — 1,2,.), такие, что £\ изометрически, вкладываются в Хп, и существуют проекторы Рп : Хп 1п£\ с нормой, равной 1.

Тогда функтор Т>Ре изометричен функтору £аы,Е в категории К.

1. Бахтин И. А. Конусы линейных положительных операторов. Воронеж. Воронежский государственный педагогический институт. 1978.88 с.

2. Вухвалов A.B. О двойственности функторов, порождаемых пространствами вектор- функций. Известия АН. Серия математическая. 1975. Том 39, №6. С. 1285-1309.

3. Вулих В.З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств. М.: Физматгиз. 1961. 407с.

4. Вулих Б.З., Даниленко И.Ф. Об одном способе частичного упорядочения нормированного пространства // Вест. Ленинг. унта. 1970. №19. С. 19-22.

5. Вулих В.З. Введение в теорию конусов в нормированных пространствах. Калинин. Изд-во КРУ. 1977. 84с.

6. Вулих В.З. Специальные вопросы геометрии конусов в нормированных пространствах. Калинин. Изд-во КГУ. 1978. 84с.

7. Гейлер В.А. Характеристика топологии В. Л. Левина на тензорных произведениях. Материалы межвузовской конференции. Саранск, 1972. С.39-40.

8. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир. 1971. 392 с.

9. Левин В.Л. Тензорные произведения и функторы в категориях банаховых пространств, определяемые К В-линеалами // Докл. АН СССР. 1965. Т.163, №5. С.1058-1060.

10. Левин В.Л. Тензорные произведения и функторы в категориях банаховых пространств, определяемые К В-линеалами // Труды Московского математического общества. 1969. Т. 20. С. 43-82.

11. Левин В.Л. О двух классах линейных отображений, действующих между банаховыми пространствами и банаховыми решетками Ц Сиб. мат. журнал. 1969. Т. 10, №4. С. 903-909.

12. Левин В.Л. К двойственности некоторых классов линейных операторов, действующих между банаховыми пространствами и банаховыми решетками // Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14, №3. С. 599-608.

13. Левин В.Л. Выпуклый анализ в пространствах измеримых функций и его применение в математике и экономике // М.: Наука. 1985. 352 с.

14. Митягин B.C., Шварц A.C. Функторы в категориях банаховых пространств // Успехи мат. наук. 1964. Т. 19. Вып. 2(116). С. 65130.

15. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. М., 1967. 266 с

16. Худалов В.Т. О тензорном произведении упорядоченного и произвольного банаховых пространств // Вестник Ленингр.ун-та. 1979.Ж9. С.114-116.

17. Худалов В.Т. О совпадении двух кросснорм, связанных с порядком // Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. 1979. Т.92. С.307-312.

18. Худалов В.Т. Некоторые контрпримеры в теории тензорных произведений упорядоченных банаховых пространств // Рукопись депонирована в ВИНИТИ. №726-80 от 27 февраля 1980 г. 11 с.

19. Худалов В.Т. Кросснормы на тензорном произведении, связанные с порядком / / Качественные и приближенные методы исследования операторных уравнений. Ярославль. 1980. С. 145-156.

20. Худалов В.Т. Тензорные произведения банаховых пространств с конусами. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Ленинград. 1980. 140 с.

21. Худалов В.Т., Энеева Л.М. Ассоциативность нормированных тензорных произведений. Проблемы математического анализа. Владикавказ. Издательство Северо-Осетинсткого гос. ун-та. 1997. С. 29.

22. Худалов В.Т., Энеева Лейла М. Ассоциативность тензорных произведений нормированных пространств. Докл. Адыгской меж-дунар. АН, 1998. Т. 3, №2. С. 31-34.

23. Худалов В.Т. О функторах в категориях банаховых пространств. // Структурные свойства групп. Орджоникидзе (Владикавказ). 1982. С. 67-73.

24. Худалов В.Т. Упорядоченные банаховы пространства и их приложения. Владикавказ. Иристон. 1999. 200 с.

25. Чу чаев И.И. Некоторые примеры конусов в нормированных пространствах // Вопросы современной математики и ее преподавания в высшей школе. Саранск. 1974. №108. С. 24-30.

26. Шефер X. Топологические векторные пространства. М.: Мир. 1971. 359 с.

27. Шварц А.С. Двойственность функторов // Докл. АН СССР. 1963. Т. 148, №2. С. 288-291.

28. Шварц A.C. Функторы в категориях банаховых пространств // Докл. АН СССР. 1963. Т. 149, №1. С. 44-47.

29. Шотаев Г.Н. О тензорном произведении банаховых пространств со смешанной нормой // Оптимизация. 1989. Вып. 45(62). С. 117-129.

30. Шотаев Г.Н. О тензорном произведении решеточно нормированных пространств // Сиб. мат. журн. 1988. Т. 29, №4. С. 195201.

31. Энеева JI.M. О двойственности функтора, порожденного тензорным произведением // Математика и ее прикладные аспекты. Тезисы докладов XXXV3I(II) региональной научной конференции молодых ученых и студентов. Нальчик. 1997. С.9.

32. Энеева JI.M. О некоторых кросснормах на тензорных произведениях нормированных пространств. Докл. Адыгской междунар. АН. 1999. Т. 4, №1. С. 45-49.

33. Энеева JI.M. О кросснорме о на тензорном произведении банаховых пространств. Вестник СОГУ. Естественные науки. 1999г. Т.1, №1. Стр. 65-69.

34. Birnbaum D. Cones in the tensor product of loccaly convex lattices // Amer. J. Math. 1976. V. 98, №4. P. 1049-1058.

35. Chaney J. Banach lattices of compact maps // Math. Z.1972. V.129, №1. P. 1-19.

36. Chevet S. Sur certaines produits tensoriels topologiques d'espaces de Banach. C. R. Acad. Se. Paris. T. 266. 1968.

37. Cohen J.S. Absolutely p-summing, p-nuclear operatops and their conjugates // Math. Ann. 1973. V. 201. P. 177-200.

38. Davies E.B. The structure and ideal theory of ihe predual of a Banach lattice // Tfcans. Amer. Math. Soc. 1968. V. 131. P. 544-555.

39. Fremlin D.H. Tensor product of Archimedean vector lattices // Amer. J. Math. 1972. V. 94. P. 777-778.

40. Fremlin D.H. Tensor products of Banach lattices // Math. Ann. 1974. V. 211. P. 87-106.

41. Grothendieck A. Sur certaines classes de suites dans les espaces de Banach et le théorème de Dvoretzky-Rogers. Boletim Soc. Mat. Sâo Paulo №8. 1956. P. 81-110.

42. Holub J. Tensor products mappings // Math. Ann. 1970. V. 188. P. 1-12.

43. Jameson G. Ordered linear spaces. Lecture Notes in Math. 1970. V. 141.

44. Lots H. Extensions and liftings of positive linear mappings on Banach lattices. Trans. Amer. Math. Soc. 1975. V. 211. P. 85-100.

45. Mangold J., Nagel R. J. Duality of cones in locally convex spaces // Lecture Notes in Physics. 1974. V. 29. P. 11-22.

46. Saphar P. Produits tensoriels d'espaces de Banach et classes d'applications linéaires // Studia Math. 1970. V.38. P.71-100.

47. Schaefer H.H. Banach lattices and positive operators. Berlin.: Springer-Verlag. 1974. 376p.

48. Schatten R. A theory of cross-spaces. Princeton. 1950. 152p.

49. Schlotterbeck U. Uber Klassen majorisierbarer Operatoren auf Banachverbänden. Diss. 1969.

50. Walsh B. Odered vector sequence spaces and related classes of linear operators. Math. Ann. 1974. V.206, №4. P. 89-138.

51. Wittstock G. Ordered normed tensor products. Lecture Notes in Physics. 1974. №29. P.67-84.

52. Wong, Ng Partially ordered topological vector spaces. Oxford. 1973.