Тензорные произведения решеточно нормированных пространств тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Л К Л Д ЕM И Я И Л У К СССР

сибирское отделение Институт иатвнаткю»

На правая рукописи

Шзтаев Георгий Наурузовнч

УДК 517.93

тензорные: произведения

РЕ2ЕТ0ЧШ НОШИРОВАНШХ ПРОСТРАНСТВ

Спзциалыюсть 01.01.01 - цатеиатичоскнЯ анализ

Авторзфера? дассортацпи на сожзкашэ ученоЯ степени каццвдата физигсо-магека'гкчэсхяге наук

Новосибирск - 1989

Диссертация выполнена в отделе анализа и геометрии Института матештики СО АН СССР

НаучнкЯ руководитель - доктор физико-математических наук

АЛ'.Кусразв.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор А.В.Бухвалов, кандидат физико-математических наук А.Н.Долгушев.

Еэдущзе учреждение - Ленинградский государственный университет.

Завргев состоится "_" __________ 1989 г. в 16°° часов

на заседании специализированного совета К 002.23.02 в Институте катетагики СО АН СССР по адресу: 630090, Новосибирск, 90, Университетский проспект, 4.

С дессоргациой кокно ознакомиться в библиотеке Ш СО АН СССР

Автотаферат разослан "_"__ 1989 г.

Ученый секретарь совета / / л?

к.ф.-ы.н. / У!/*—^-^ В. В, Иванов

\г

обшая характеристика работы

Актуальность темы. 1"ешзточно нортрованны'З ..рос^ран-ства и мажорируемые операторы в общей виде были введены в работах Л.В.Канторовича з середине 1930-х годов как сочетание идеи векторного порядка о получившей к этому времени бурное развитие теории банаховых пространств.

Теория решеточно нормированных пространств позволяет в абстрактной форде охватить некоторые аспекты, являющ:.зся существенными для исследования конкретных, функциональных пространств и операторных уравнений, которые не иогли найти отражение в банаховой теории. Это, во-первых, использование в качестве значений нормы Еместо вещественных чисел элементов К-пространства, что приводит к новым возможностям в изучении функциональных уравнений и неравенств и существенному уточнению некоторых оценок; во-вторых, идея ^ажорации одного оператора друг®.!, благодаря которой исследование мажорируемого оператора во многом сводится к изучению более просто устроенной его мажоранты. Первый пример мажорируемого оператора представляет собой интеграл Еохнэра, стазикй важнейшим инструментом в анализе. Специальный класс к&тори-руеыых операторов - дсмкшрованшга операторы - интенсиЕ э изучал Н.Динкуляну. Другие пример^ мажорируемых операторов {суммирующие операторы, правильные операторы) изучал В.Л. Лелин. В ; гботах А.Б.Бухвалова жслздуются конкретные пространства с обобщенной нормой: пространства вектор-функций, мажорируемых операторов и оператсроп с абстрактной нормой. Новый этап в изучении решеточно нормированных пространств

начинается с работ А.Г.Куср",ева, в которых сим рассматриваемся как естественные объекты векторной двойственности. В »?их работах были установлена иногие ватные свойства реие-4'очно нормированных пространств в общем виде и исследована катере ныо конкретные случаи. В частности, та было установлено, что з соотштстзук^ей булевозлачной моде-'-, пространства Банаха-Канторовича реализуются как банаховы пространства; а специальной югасс мажорируемых операторов оказываются ограниченными линейными операторами.

Одно кз моптх ерэдетв изучения структурных СГОЙСТВ пространства операторов поставляем аппарат тензорнык произведений. Известно, что тензорное произведение позволяет рассматривать пространство билинейных отображений как пространство линейных отображений и, наоборот. Категорий п ц-ход к поучения тензорных произведений фун- тдионалышх пространств был развит в работах А.Гротзндика, где введен и изучен рдд функторов в категориях банаховых и локально выпуклых пространств. В частности, А.Гротевдиком, а также Р.Шат-током било введено понятие тензорного произведения банаховых пространств. Алгебраические аспекты тензорных произведений нормированных пространств и свойства хросснорм наиболее полно изложены в монографии Р.Шаттена.

Шчиная с середины 1960-х годов интенсивно изучаются изалмосвяэи тензорных произведений и векторных порядков. Первый значительный иаг сделан в работах В.Я.Гевина. В 1965 году он ввел норму на алгебраическом тензорном произведении банаховой решетки и банахова пространства и показал, что она является кроссноркой. Км же были исследованы случаи совпадения г>той кросснормы с сильнейшей кроленорыой и со слабой кроссяорыой. В работах Х.Шефера на тензорном произведении банаховых К -пространств вводятся дае норны и доказывается, что пополненные по отиа нормам пространсуза. являются еанаховызг решетка»!. Рассмотрены условия совпадения этих норц с нормалга В.Л.Левша. В своих работах ДЛтътт исследует сиымотрэтннй случай тензорных произведений, й у^шс, к гда оба сомножителя - векторные решетки шш бана-

хоэы рзпетют. В обокх случаях им установяекн бпзкцип кеглу бклкнейнгаи операторами и соответствушадг лтзйвкгя опзрд-горами, Исслодованда тензорных прспзтденкй упорядочзгг-пэ: банаховых пространств проводилось тат~з в работах Д.Внркбз,-уяа, Г.Шттстока, Д.Ц-гза, Н.Нильсена, Г.Ольсэна, ИЛопа, С.Хвнряха, В.ТДудалова, Н.Чани, {С.ИЬтга а др.

Таким образом, в послэдниэ два десятка лзт интенспшо стучались связи тэкзоряых ¡трсязЕэдзикй и ггор.тдкоз а гоггс. Нэяболоз пояззкю подходи быяп прздяогош! В.Л.Лзшпаг я Д.Фрзнлнтги, вокруг гогорзх таге пги гшачз группярдвгся оо-тальныэ нвследоваггая но этой тока. 3 саяаи с развитием рзпзз-точка норкированкнзс прзстргиата и построен;?©« БзкгориоЗ двойственности функцндкэлыазс пространств оззяивяа копг-з способы взакиодейстшя тапзоржас врэпззздсшй а пгетор-г-ж порядков, а икзнко кота» гопороть о гзязорнкх прокзвздзгшях з категории ргпзгочггэ нэрягоэЕчпис прэстраистз. Тот стает г что порядковэ полная ргязточно норккрозашоо пространство с разложимой нормой з соответствуя,^зй буяввознатой кодзля рз-алнзузтся как банахова пространство, слузит достаточна вза-кш обоскоззкязм екедувцэго полспзнля: пссполь:^ йсслодоза-кяа по текзорнни произведениям з ратзгоргя? банахошгх пространств оказались иззыа пяодотворгшя, со сяэдуст ожидать, что теязоряаз пронзБ-здзппз рзпгзгочзо норетроватоес пространств окажзтея полззшзд инструментов, Однако, туп?:, чап-зоркыз произвадэгшн э катогорми рогаточка корягоаваш-шх пространств а общем вццэ т удаотся только о помогаю будззозка-чиых нодолв:!, тал: вай лппь узкий класс ишариружкх операторов рэализуетоя кап оррзгагезнгагз оператора а булзразкаплой :содзяк.

Цзяь пасгояггзй работа - построить а кзуч?гть тагкгорггсс пропзазд-згсго рзвзгочка кзриароаакпйх пространств т прост-рзксгз со снзяашюЯ норгсЯ, зедолигь соотззтствуггфгз ¡тягсаг? пансрпрутагсс операторов, последовать взаимосвязи с пзгэе?га>

ил конструкциями,

Кз.учгеш новизна, Осноижгш рззуя&гаташ явлшэтся.

1. Вводэно пространство игнорируемые билинейных операторов и изучены ого основные структурные свойства.

2. Построено те?;эорное произведение решеточно нормированных пространств и установленэ, что оно порождается классом порад-.овс непрерывных билишйных операторов,

3. Построено тензорное пргчзведение пространств со смешинкой кормой и наделены соответствующие классы билинейных

и линейных оператором. Разобраны конк!*етнке примеры тензорных произведений для пространств вектор-функци...

4. Лолучеио анажтичоское описание некоторых классов билиней].01х операторов и функционалов.

Без основные ревультаты, выносимые на защиту, являются козыки и получеш самостоятельно.

Теоретическая и практическая ценность. ,' хсертационная работа косит теоретический характер. Полученные результата имеют применение в теории линейных и полилинейных операторов.

Методы наследования. В работе используются методы теории векторных и банаховых решеток, порядково ограниченных операторов, теории гекторной двойственности, выпуклого анализа и общей топологии.

Апробация работы» Все основные результаты обсувдались по коре их получения на семинаре лаборатории функционального елализа Института математики СО АН СССР, на семинаре кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений Северо-Осотшского государственного университета им. К.Л.Хетагурова, яондадавались на X и XI Школах по теории операторов.в функциональных пространствах Новосибирск, 1585 г.; Челябинск, 2986 г. . •

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трох глав и списка литературы. Объем работы 109 страниц иашиношкшого текста. Библиография включает 82 наименования.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликопани з работах [I - 5] .

СОДьЕлЛНЕ ДИССЕРТАЦИИ

Первая глава носит вспомогательный характер. Напоминаются основные классы г-гнейных операторов в векторных реяот-ках, Вводятся аналэгктне классы билинейных опер,?. того л. Доказано, что если Q - К-пространство, a i; яг векторные решетки, то пространство 53,, (h.,r ;G) - регулярных билинейных операторов кз Е*Ь в Q является

К-пространством. Установлено, что из раздельной О-^прерывности билинейного оператора следуем его 0 ••нспрзрыгассть по совокупности перэнешлд:. Доказано несколько ¿эквивалентны:: условий порядковой непрерывности дяк регулярного бидкнгйкога оператора. Здесь гэ описана бужевн длгзбрч осколков попя?!" тельного билинейного опзраз^ра. Приводятся нзобходаше от~ двния о тензорного произведении аокторннх решеток. г^учзнн?« Д.Фремлинны. Дается уто»ийнт:о i эякечанко L£»i ) операторов, поднимающихся на тензорное произведешь банаховых решеток. Здесь не собрат необходимые сгэденж п результата из теории решеточко нормированных пространств и ыажош-руемнх операторов. Пусть V - Ёществеижс вгкторноо пространство, г. - некоторое К -пространство. Отображения р : V —* Е*" называется нормо.п, е?лк дпг. р выпал» нены обычные акснокы нормы. Be стопное пространств V • снабженное нормой р будем на»ызать рзшеточн^ нормирован-и простр^-ютвоы и обозтачать (\,р,Е) I проще (Y,p) или V , если ясно о какой нормирующем пространства вдет речь .

ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Говорят, что нориа р:V —»• £ разложима, если для любых е., ,£г £ Е." и ire\r из представления p(V)вытекает еуп^ствованкэ также V,, v^a V , что V-Y^v^ и р(тг{) = ег , ¿-аг. .

Цветочно нормированное пространство (V, р> наг.нза-отся -полным, если для лэбсЯ сети (Vu) cV из

ptKi-y 'а> *0 следует существование такого "VeV , что

Просяранстьса Банаха-Канторовича называемся о-полное ргае^очно нормированное просгргшотЕО с рагяоязшсй норной.

Но второй гл&ео сгроыся проективное тензорное произве-деннз рзшеточно нормированных пространств. Б первоы параграфа предварительно изучался пространство мажорируемых билинейных ошрагоров. Пусть (V,p,E) , ("W, c.,F) u (\J,cj,Q) - произвольные рошеточко нормированные пространства. Билинейный оператор с •• E- F —' G называется иажорантой для билинейного оператора &: V*V/ —v U если t положителен и

g ( élv, w)> fe с ipiv),^(vr» (veV, trcV).

В;шшейшй оператор называется каторируеыщ, если он имеет хотя бы одну ыааоранту. Дня всякого мажорируемого бйлянейно-го оператора í существует наименьшая мажоранта, Которая называется иоралой i и обозначается S 1 f .. Бэктсрноо пространство мажорируемых билинейных операторов обозначаем чз-рз (V,\J; U) . Если (V, р, Е) и - рзше-

50ЧН0 нормированные пространства с разложимыми нарйами, а

Ш, q,G) - пространство Банаха-Канторовича, то доказано, что H SbJ^M; Ш, II, fóx(E,F-,G)) являет пространством Ба наха - Кз; гг о ро б и ча ( теорема П. i, 2 ) .

Срэда билинейных операторов важньй гласо составляют билинейные операторы с порядково непрерывной мажйраМтой, которой обозначаэы JÍ>mK(V,V; U) . Пусть Ш-»'^ - пространство Банаха-Канторовича, IV,р, Е) , (V/, - рзшо-гочно нормированные пространства с разлоацшыйй корйами, а

IV, р,Е) , - их 0-пополненйя Соответствен-

но.

TSOFELíA 1 ( ПЛ.4). Всякий шдорируешй билинейный оператор S е (V, U) однозначно распространяемой до игшорируеиого билинейного оператора fe И) >

причзы опэратор til сдунп? продолжением § £ § .

V Во второй параграф предполагаем, что í - Иро-

ргранство Еагщха-1£анторовича, а IV, р, Е) С IV, -

р52гз™очно норпгроЕШпшэ пространства с разлолимшн норками, при-.лд нормирузкциэ К -пространства рефлепсивни по Накано. Известно, что тензорное произведение ЕЗГ рефлексивных по Накано К -пространств* совпадает с порядково сопряженным я пространству порядково непрерывных билинейных функционалов па Е*Р . Векторная норма V- •, Уо\/—+ называется кросснормой, если ^ (ъаы) =■ р(т содъя для всех

V е V и Ы<г\/ . Рассмотрим отображение ^У оУ-*

—» задаваемое на алгебраическом тензорном произведения УоУ в К-пространство Е о Г по правилу

£(а> := гп.^ [ Т. (З.е'УвУ),

где нижняя грань берется в К-пространстве по все-

гг.

еозыояиш представлениям элемента а. - ^ Хоъг. , Отсбра^е-

кие является кросснормом на алгебраическом тензорном произведении. Тем самки ( VЕ 3 Е) - рзшеточно нормированное пространство.

й третьем параграфе формулируются и доказываются основные теоремы об операторах действующи на тензорном произведении решеточно норшрованных пространств.

СПРВДЗЛЕШЕ. Проективным тензорным произведением решеточно нормирован: шх пространств V и V называется о-пополнение решеточно нории* ванного пространства V®V и обозначается (V® V, ^, Е оР) или короче \/о\7 .

Доказано, что \/о V/ единственное с точностью до линейной изоыетрии пространство Банаха-Калторовича такое, что

билинейный оператор о: \Мл/ -лццуцнрует шгьвк-

тивнов О-плотное вложение У©\/ в .

ТБ0Е2МЛ 2 (П.3.4). Для всякого 0-полного реиеточно нормированного пространства (11,^,0 и иагорируемого билинейного оператора У*\л/—"11 с порядково непре-равной маяораитой 1 Е*Р —-> С существует единственный'

тюрируемый линейный оператор 6 : "V о\7 ->11 с пордц-.

ково непрерывной маяорантей 1 $ 11 Е О Г -—* С такой, что

f\ /ч

о « - о ; i 'ы,Ъ s b' . 3 гротьзй главе строится телзорное произведение прост-¿кс73 со смешанной нормой и приводятся некоториз приложения. ».од пространством со смешанной ношо/1 понимается решэ-5очно нормированное пространство с разложимой

злачной нормой, при отоы, еоет: £ - нормированная решетка» ч:о на V могнэ оцрздзяить uopaj

!,; г- С! li i v, I... Lv с " ).

называемую см8иаш-:ой.. Сокр.«тпокь'ог i: пр^слзанзтв,- (V, £; обозначаем четлс ». \ ,-u.'/ . Le;.;:; '5 , •» пространство с? с:лз£атаон нэйыоП, г. , *о i.V £') ~ o'îj-..:-

хобо пространство со сиаишодЗ ноyxii-.i, цр., ;jvo.\: векторло:; uop^o/i щункцколдо.'х v\~ ' ^ fia^yiiuu.'i УГО ьзл'орзчт:!

Пространства V/* R,« ~ p;:pye£'ic: О/улшойше $vr.-

кциошш»* К- У - eoii врал toaoovso со сиасашой ног>-

К& аягеираичеекш тензорной произведший V &V рассмотрим функционал р V© V--Г". . задаваемый равекет-

ECU , „

: ve fty'Y,V;R), Ш VB't } UeVeV),

где V - линейный функционал на. VeV такой, что V© --- V

TS0FEJA3 1ШЛ.4 - ELÎ.7). 5ун*ционатг P:V©V—^ —является кросснориой и ды mfiorc £€ YeV иыеес

VSSX'O l ¿Б2НСТЕ0

^UV-Ûi«^ in.-f (iXlv^etvJ г - ] .

СШЭДЕЛЕНИЕ. Тензорным произведением V ® W банаховых пространств со смешанной коркой ÎV, Е) к (\ r, F) на-

зызается пополнение алгебраического тензорного произведения V© V относительно кросснормы о ( или, что то :т.о сшое. относительно .¡I • '¡I ^") .

Частными случаями введенного понятия язляются три разных тгага. тензорного произведения. Если £ = V" 3 , то

- проективное тензорное произведение банахов!": пространств V и '-V . Ее. а: V = Ь , "У = р л в обоих пространствах секторная норма совпадает с ::о,нулем, то \/<й> V/ -тензорное произведение банаховых решеток по Фреилкну. Если Р - 1гч и V- Е . псичем вектогиая нотаа на "V совпадаот

■/Л!";

с х дулзм, то V гз '-л/ совпадает с тензорным произведением Е V з смысле Левина.

Ез втором параграфе вводится и изучается класс квазима-порируешпе операторов. Потребуем чтобы нормирующая рехетка & пространства со смешанной нормой Ш,0 была порядхово полной.

СПРЗДОЕНИЗ. Оператор ~Т'У®\/-V называется

квазимажорируекым, если существует положительный билинейный оператор р Ь*Г С такой, что выполняется

! Та I 4• ги| { X. £(1 Кг, I)} <д. = Х^Ч^

Среди билинейных операторов 8 существует наимекышй, который будем называть квазрмажорантой и обозначать :=1к.| , IIЦ Т I I! '■= IIIТ !!1 - смешанная норма оператора Т ,

^ о (V® V, Ш - пространство кваоимеж>рируемых операторов.

/ТЕЮгеМА 4 (Ш.2.2). Сопоставление | г-

осуществляет линэйнун изоютрюо з смысле векторных норд банаховой пространств со сметанной нормой ос« (У®\«7, Ш

п Я^УД^и). 1

ТЕОРЕМ 5 (Ш.2.3). Отображение С —^ С® - есть линейная иьомзтрия мезду банаховым пространствами

н Ю.

ОПНдаЕШЕ. Оператор Т '• V —->\/ называется суи-ггирукщин, если существует число ! > О такоо, что .

Б 1 ITvJI 4 A!! 1 ivjll

для любого конечного набора i^eV , где точку» нн-

ек»:о грань указанного вида констант d>0 обозначает чотгзз 6ЧТ). Пусть £>(V,W) - пространство всех су^жирующшс операторов. Оказывается, что - это иор.гл, a S(V,W) -банахово пространство относительно 6~ .

TEQFEMA б (3.2.7)„ Пусчъ F -ото AU-простран-птсо. Тогда сопрткенноз пространство (V© W)' лигаiuro i;ao-узгрично банахову пространству ¡S iV, W) суьзагрувщгас опэра-фрраз из V в V . При этой изоиетрии функционалу ¡¿(\J$W) отвечает онзратор Т(£) G S(V,W ) опрздзляа-равенство:.;

< ъГ, Т (Ь V > = < V © и J > tveV, tJeV).

Аналогичное утверждение справздлппо и для пространства П (W,V') правильных операторов нз \/ в V ( тасрэ-ка Ш.2.9),

Дгл пространств кзпрзрыв!сшс п с^уыкрумщчк Езггор-фунг:-цкй введенное тешорюз пропзшдз^а иолучагигея с по:.:о1цъ:э привычных конструкций. То'-огзз, кмезд: шсто лшзйггнз нзокзу-рш ( творзш Ш.2.£5 и Ш.2.17 )

гдз Р u Q компактна топологически;) пространства, X и Y - банаховы пространства, X 5Y - прооктивпоа тензорное прокзвздзниз.

В трзтьем параграфа трзтьей глава рассмотрены нэкоторез прилокзяпя. Череп йд(ХД;Е) обозначено пространство

билинзйкых операторов с абстрактной норлой. Пусть X к Y - норыированшз пространства, Е •• идеальное пресгранстш на пространстве с шрой (Q,H,ju) , Тогда дли лдбого ¡:зг.о-рируеыого билинейного оператора 6: X,*Y ~—Е суиоству-ст слабо измеримая взктор-функцпя з.: Q -Ю

талая, что множество !Ы1<-1,9^5^=1) ограничено ;

с н !>(сс,грШ = <-ссоц,г> для почти ссех , кр?

мв того выполняется 2 ьа = I а 3 . При этом, сопоставление

Ь >-Кг осуществляет липе Иную изокетрш) мэзглу пгх стран-

стваии билинейнм операторов с абстрактной кормой 53Д{Х,Ч{;Е) ¡1 слабо измерила век?ор~4ужций Е. ^ Ш(Х,7> (теорема П.3,3,К Здесь же приводятся утверждения об интегральном представлении некоторых классов маяорируемых билинейкхх футгци-оналов (теоремы И.3.6 и Ш.3.8).

Автор выражает благодарность А.Г.Кусраеву за постоянно» внимание к работе.

Работы автора по теме диссертации:

1. Шотаев Г.Н. О тензорной произведении рекеточно нормированию: проотранств//Х1 Всесоюзная Школа по теории оператороз в функциональных пространствах, Челябинск, май 1936 г.: Тез.Докл. - Челябинск,1986. - Часть I. -0.104.

2. Шотаев Г.Н. О билинейных операторах в рзшзточно нормированных пространствах//Оптимизпция.?р.Ил-та математики/АН ССОР Сиб.отд-нпе. - 1986. -Выл,37. - С.33-50.

3. Шотаев Г.Н. О некоторых классах операторов в прост-ранстзах со смешанной нормой/Вед. .«дан. "Кзв.Сев.-^вк. научн.центра высш. школы.Естеств.науки" - Росто.'з н/Д, 1988. - 9 с. - Деп. в ВИНИТИ 12.04.88, 1Г2785.

4. ПГотаез Г.Н. О тензорном произведении решеточно нормированных пространств//Сиб.мат.лурн. - 195В. -•.•Т'.29,

34. - С. 195-202.

5. Шотаов Г.Н. О тензорном произведении банахогнх пространств со смеиакной ¿горюй//Оптн: ¡нзация. Тр. йг- та г -.та-иатшш/АН СССР Сиб.отд-1ие. - 1989. - Енл.4-5. - С Л17-130.