Билинейные операторы в векторных решетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

ТАБУЕВ СОСЛАН НАПОЛЕОНОВИЧ

Билинейные операторы в векторных решетках

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

/ 9

4 О.:-,

Ростов-на-Дону, 2009

003461739

Работа выполнена в лаборатории теории операторов Института прикладной математики и информатики Владикавказского научного центра Российской академии наук и Правительства Республики Северная Осетия-Алания.

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, профессор

Кусраев Анатолий Георгиевич

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Гутман Александр Ефимович; доктор физ.-мат. наук, профессор Драгилев Михаил Михайлович

Ведущая организация: Московский государственный

университет имени М.В. Ломоносова

Защита состоится « 2009 г. в 15.00 на заседании

диссертационного совета Д212.208.29 в Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова 8а, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Южного федерального университета по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « ^ » 2009 г.

Ученый секретарь к^У /

диссертационного совета Д212.208.29 Ог/^ Кряквин В.Д.

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория векторных решеток и положительных операторов зародилась в 1930-х годах в работах Л. В. Канторовича, Ф. Рисса, X. Фрейденталя, Г. Биркгофа и др. В настоящее время она представляет собой одно из основных направлений функционального анализа и имеет широкий круг приложений.

Несмотря на продолжающееся по сей день интенсивное развитие исследований порядковых свойств линейных операторов, билинейные операторы изучены мало с этой точки зрения. Началом изучения билинейных операторов в векторных решетках принято считать работу японского математика X. Накано. Однако дальнейшее продвижение относится уже к 1970-м годам.

В 1972 году Д. Фремлин построил тензорное произведение Е (У) Г двух архимедовых векторных решеток, а позже тензорное произведение банаховых решеток. Другие результаты о билинейных операторах в векторных решетках получили Г. Виттсток (1974), Р. Кристеску (1976), А. Г. Ку-сраев (1977), X. Шеффер (1984).

В частности, А. Г. Кусраев показал возможность одновременного продолжения регулярных билинейных операторов с декартова произведения массивных подрешеток на всю решетку, а для порядково непрерывного регулярного оператора возможность порядково непрерывного продолжения на порядковое пополнение.

В начале 2000-х годов появилась серия работ голландских математиков Г. Бускеса и А. ван Роя и др., в которых исследуются различные классы билинейных операторов, в частности, был введен класс ор-тосимметричных билинейных операторов. Изучение порядковых свойств билинейных операторов тесно связано также с исследованием структурных свойств различных видов упорядоченных алгебр: /-алгебр, почти /алгебр, псевдо /-алгебр и ¿-алгебр, поскольку умножение в этих алгебрах — билинейный оператор специального вида.

А. Г. Кусраевым (2005) установлено, что с каждой архимедовой векторной решеткой можно связать лишь один ортосимметричный оператор — канонический ортосимметричный биморфизм, аналогичный операции умножения в почти /-алгебре; все остальные ортосимметричные

операторы представимы как суперпозиции линейных регулярных операторов с каноническим биморфизмом.

В 2004 году А. Г. Кусраев и Г. Н. Шотаев опубликовали первый обзор по билинейным операторам в векторных решетках. В этой работе сформулированы, имеющиеся па тот момент результаты, а также поставлено 15 нерешенных задач.

Изучение и развитие порядковых свойств линейных операторов, началось с теоремы Рисса-Канторовича, в ходе доказательства которой были получены явные выражения для вычисления конечных и бесконечных решеточных операций, а также для модуля, положительной и отрицательной частей порядково ограниченного оператора. Эти формулы, вместе взятые, составляют содержание так называемого порядкового исчисления. Несмотря на существенный интерес к регулярным билинейным операторам в векторных решетках, до недавних пор была известна только формула для вычисления модуля регулярного билинейного оператора. В этой связи возникла актуальная задача: развить порядковое исчисление для регулярных билинейных операторов в векторных решетках.

Важным классом линейных операторов в векторных решетках являются операторы, сохраняющие дизъюпктность. Этот класс операторов ввел и начал исследовать Б. 3. Вулих. Позже операторы, сохраняющие дизъюнктность, изучали Ю. А. Абрамович, Е. Л. Аренсон, А. И. Векслер, Э. Викстед, А. К. Китовер, А. В. Колдунов, А. Г. Кусраев, С. С. Кута-теладзе, В. Люксембург, Б. де Пахте, А. С. Цаанен и др. Простейшим представителями класса операторов, сохраняющих дизъюнктность, являются нерасширяющие операторы или операторы, сохраняющие полосы. Известно, что положительный оператор, сохраняющий дизъюнктность, является решеточным гомоморфизмом. М. Мейером установлено, что порядково ограниченный оператор, сохраняющий дизъюнктность, имеет положительную, отрицательную части и модуль являющиеся решеточными гомоморфизмами, которые вычисляются поточечно.

Несколько более общий класс составляют полидизъюнктные операторы, составляющие идеал порожденный решеточными гомоморфизмами. Понятие п-дизъюнктного оператора в векторных решетках введено С. Дж. Верно, С. В. Гюсмансом и Б. де Пахте. Различные характериза-

ции и-дизъюнктных операторов получил В. А. Раднаев.

Аналогичные вопросы для билинейных операторов оставались неисследованными. В частности, желательно было получить вариант теоремы Мейера и характеризацию класса полидизъюнктных билинейных операторов.

Два класса линейных операторов — атомических и размазанных — составляют дизъюнктные друг к другу полосы. Исследование этих классов операторов восходит к теории меры. Атомические операторы составляют в точности полосу, порожденную решеточными гомоморфизмами и являются абстрактными аналогами атомических мер. А. Г. Кусраев и С. С. Кутателадзе, используя методы нестандартного анализа, установили разложение атомического оператора по специальному базису попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов.

Характеризация размазанных операторов и проекция на полосу атомических операторов были получены С. Б. Гюсмапсом и Б. де Пахте, другая характеризация размазанных операторов установлена А. Г. Ку-сраевым и С. С. Кутателадзе.

Понятно, что аналогичные результаты важно было бы получить для регулярных билинейных операторов.

Сохраняющие дизъюнктность линейные операторы впервые появились в литературе в 1940-х годах, но объектом систематического изучения они стали только в последние двадцать лет прошлого века. Одной из важных причин нынешнего интереса к этим операторам является тот факт, что регулярные, сохраняющие дизъюнктность, операторы допускают мультипликативное представление в виде оператора подстановки с весом (оператора взвешенного сдвига), и тем самым составляют абстрактный каркас для очень важного класса операторов в анализе.

С помощью теории лифтинга А. и К. Ионеску-Тулча получили представление решеточных гомоморфизмов в идеальных пространствах в виде операторов взвешенного сдвига.

Вопросы мультипликативного представления сохраняющих дизъюнктность операторов изучались Ю. А. Абрамовичем, и им же совместно с Е. Л. Аренсоном и А. К. Китовером. Для операторов, действующих в пространствах вектор-функций теоремы о мультипликативном представ-

лении были установлены А. Г. Кусраевым.

А. Е. Гутманом было установлено представление ограниченного, сохраняющего дизъюнктность оператора в виде сильно дизъюнктной суммы операторов взвешенного сдвига. Под оператором сдвига подразумевается абстрактный аналог оператора замены переменной. Общепринятое понятие взвешенного сдвига не содержит внутреннего веса. Однако именно введение внутреннего веса позволило получить А. Е. Гутману соответствующее представление.

Таким образом возникает естественный вопрос: какой класс билинейных операторов допускает мультипликативное представление.

Целью диссертации является решение следующей актуальной задачи современного функционального анализа: исследовать порядковые свойства билинейных операторов в векторных решетках, в частности:

(1) построить порядковое исчисление регулярных билинейных операторов;

(2) изучить структуру сохраняющих дизъюнктность билинейных операторов;

(3) получить мультипликативное представление билинейных операторов.

Методы исследования. В работе были использованы теория векторных решеток и положительных операторов, теория мажорируемых операторов, общей топологии и векторных мер. Ряд результатов получен методом переноса с использовании теоремы Фремлина о тензорном произведении. Разработанный в диссертации метод представления биморфизма в виде произведения решеточных гомоморфизмов позволяет получить ряд результатов, известных в линейном случае для билинейных операторов.

Научная новизна и основные результаты, выносимые на защиту. В работе получены следующие новые результаты:

(1) Получены формулы порядкового исчисления для регулярных билинейных операторов, а также в качестве частного случая для ортосим-метричных билинейных операторов.

(2) Получены формулы проектирования положительного билинейного регулярного оператора на полосу порожденную направленным вверх множеством таких операторов, а также на полосу порядково непрерыв-

ных билинейных операторов.

(3) Получен аналог теоремы Мейера для сохраняющих дизъюнктность билинейных операторов.

(4) Получена характсризация полидизъюиктиого билинейного оператора, показано что п-дизъюнктпый билинейный оператор представим в виде суммы п сохраняющих дизъюнктность билинейных операторов.

(5) Получено разложение атомического билинейного оператора по специальному базису однородных решеточных биморфизмов.

(6) Получена характсризация орторегуляриых билинейных размазанных операторов.

(7) Установлено, что решеточный биморфизм представляется в виде произведения двух решеточных гомоморфизмов, а сохраняющий дизъюнктность билинейный оператор в виде произведения решеточного гомоморфизма и билинейного оператора, сохраняющего дизъюнктность.

(8) Получено представление билинейного оператора, сохраняющего дизъюнктность, в виде строго дизъюнктной суммы операторов взвешенного сдвига.

(9) Дано мультипликативное представление билинейных операторов, сохраняющих дизъюнктность.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы могут быть использованы специалистами в области теории положительных операторов, а также в теории упорядоченных алгебр.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались по мере получения на семинаре «Алгебра и анализ» в Институте прикладной математики и информатики ВИД РАН; на семинаре Кафедры теории функций и функционального анализа Южного федерального университета; на международной конференции «РовШу^у-П» (Наймеген, Нидерланды, 2001); на международных конференциях «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования I, II, IV (Владикавказ 2003, 2004, 2008) и III, V (Волгодонск 2005, 2007)».

Результаты диссертации опубликованы в работах [1-6].

Вклад соавторов. В работах [1, 2, 3] постановка задачи и общее руководство работой принадлежит А. Г. Кусраеву. Все результаты, получен-

ные в работе [1] и оформление статьи принадлежат С.Н. Табуеву. В работе [2] нестандартное доказательство теоремы 3.2. принадлежит А. Г. Кусра-еву, доказательство теоремы 3.2 для функционалов, следствие 3.3, теоремы 4.5, 4.6, 4.8 принадлежат С. Н. Табуеву. В работе [3], теоремы 2.1, 3.3 (со следствиями), 4.2, 4.3, 4.4, 4.7, 4.9, 4.11 принадлежат А. Г. Кусраеву, утверждения 1.4 и 3.2, лемма 2.3 принадлежат С. Н. Табуеву. В работе [4] лемма 3.1 и следствие 3.2 принадлежат М. А. Плиеву, теоремы 2.2, 3.2, следствие 2.3 принадлежат С. Н. Табуеву. Таким образом, результаты из совместных работ [1-4], выносимые на защиту, получены лично автором диссертации.

2. Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения и трех глав. Во введении обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, дается литературный обзор по изучаемому вопросу, приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе строится порядковое исчисление регулярных билинейных операторов и приводятся формулы проектирования положительных билинейных операторов на различные полосы.

Во вводном первом параграфе определяются различные классы билинейных операторов и приводятся их простейшие свойства. Кроме того, формулируются необходимые в дальнейшем теоремы из теории регулярных линейных операторов. Излагаемые в этом параграфе факты не являются новыми и включены для полноты изложения.

Второй параграф посвящен порядковому исчислению регулярных билинейных операторов.

Пусть Е, Р и б — архимедовы векторные решетки. Всюду далее под векторными решетками будем иметь ввиду архимедовы векторные решетки. Оператор именуют билинейным, если он линеен по каждому из аргументов, т. е. выполняется:

аЬ{хг,у) + /ЗЬ(х2,у) = Ь(ах1 + (Зх2,у), аЬ(х,ух) + /3 Ь(х,у2) = Ъ(х,ау\ + (Зу2)

для всех а,р е К; х, х\,х2 £ Е; у, у\,у2 Е Р.

Билинейный оператор Ь : Ех Р —> С? называют положительным, если Ь(х,у) ^ 0 для всех х € Е+ и у € Р+. Разность двух билинейных положительных операторов, именуют регулярным билинейным оператором. Билинейный оператор назовем порядково ограниченным, если он каждое порядково ограниченное множество в£х? переводит в порядково ограниченное множество в С7.

Как известно, в случае если решетка С? является пространством Канторовича, таким же будет множество регулярных билинейных операторов из Е х Р —» С?. Этот факт позволяет проводить с операторами и функционалами многие операции, аналогичные операциям над измеримыми функциями, — переходить к модулю, срсзкам, использовать дизъюпкт-ность. Кроме того в любом /Г-пространствс существует аналог операции умножения на характеристическую функцию множества — проектор на полосу. Эта операция позволяет проецировать на полосу порожденную любым оператором, а также на полосы, которые образуют различные важные классы операторов.

Для пространства регулярных билинейных операторов ВЬГ{Е,Р-,С) изВх^вС были получены формулы порядкового исчисления, имеющие следующий вид:

Теорема 1 (предложения 1.2.3-1.2.6). Для любых элементов х £ Е+, у € Р+, операторов Ь,Ьх,... ,Ь1 6 ВЬГ(Е, Р\ (?) и порядково ограниченного множества В С ВЬГ(Е, Р; С) имеют место следующие формулы:

п тп

(£>1 V ■•■УЬ1)(х,у) =йир<

Iг=13=1

!п т п

¿=г j=l г=1

т.

\у,\ = у; п, т € N > (х 6 Е+, у € -Р+), 7 = 1 J

( ™ ™ )

(вир В) (X, у) = вир < 2222Ьф!Л(Хг,у^

I 1=1 7=1 J

{п т

1=13=1 )

где точные границы берутся по всем п. т £ М, к : {1,..., п} х {1,..., т} —> {1,...,/}, г : {1,... ,тг} х {1,... ,тп} —> {0,1} и наборам

Х\,..., ь

РЛ(ж), у1,...,ут 6 Рг%). Здесь Рг^ж) := {(хь...,хп) : х1 € п £

^ ЕГ=1 =

Набор этих формул в совокупности образует порядковое исчисление регулярных билинейных операторов. Следует отметить, что формулы порядкового исчисления для регулярных полилинейных операторов имеют аналогичный вид.

Ю. Абрамовичем был развит вариант исчисления для порядково ограниченных линейных операторов, в котором при некоторых ограничениях, супремумы и инфимумы берутся не по всем, а только по дизъюнктным разбиениям аргумента (предложение 1.2.7). Этот набор формул принято назвать исчислением Абрамовича. Аналогичное исчисление, имеющее место для регулярных билинейных операторов, установлено во втором параграфе первой главы (предложение 1.2.8).

Билинейный оператор Ъ : Е х Е О называют ортпосимметричнъш, если х Л у = 0 влечет Ь(х, у) = 0, каковы бы ни были х, у € Е.

Исчисление Абрамовича позволяет существенно упростить формулы порядкового исчисления для полосы регулярных ортосимметричных билинейных операторов, которые приводятся в качестве частного случая (предложение 1.2.10).

В третьем параграфе установлены формулы проектирования положительного оператора на полосу, порожденную направленным вверх множе-

ством билинейных операторов, а также на полосу порядково непрерывных билинейных операторов.

Семейство проекторов (тта) £ ^t(G) называется разбиением единицы, если -ка Л 7Г/з = 0, а ф /3 и supQ 7Г« = 1. Напомним, что через 7Г2 обозначается проектор на полосу 2"LJ", где 2 € G+.

Билинейный оператор b : ExF —> G именуют порядково непрерывным (о-непрерывным), если сеть (b(xa,yp)) о-сходится к Ь(х,у) в G при (ха) о-сходящимся к ж в Е и (у^) о-сходягцимся к у в F.

Теорема 2 (теоремы 1.3.1 и 1.3.2). (1) Пусть А С B+(E,F\G) - направленное вверх множество. Тогда для любого b € В+(Е, F; G) и любых х € Е+ и у £ F+ верно равенство

s m 7i

{раЬ){х,у) = e>inf sup i j)b(xi,yj) :

^ i=1 j=1

m n n

i=l j = l

где супремум берется по всем тг G ^t(G), (жх,... ,a;m) S Prt(x), (:У1,---,Уп) 6 Prt(y) я / : {l,...,m} x {l,...,n} {0,1}.

(2) Пусть b : E x F —» G положительный билинейный оператор. Свяжем с ним операторы bn и bcn, определяемые по формулам:

Ьп{х,у) := inf { supb(xa,y/j) : 0 si xa î x, 0 < yp î y}, ban(x,y) ■■= inf {sup b(xk,ym) ■ 0 ^ xk î x, 0 ^ ym î y}

k,m

{x £E+,ye F+).

Эти операторы bn и bon являются проекциями на полосы порядково непрерывных и порядково о-непрерывных регулярных операторов соответственно.

Сформулированная теорема 2 содержит решение задач 2 и 3 из упомянутого выше обзора А. Г. Кусраева и Г. Н. Шотаева. Также получены формулы проектирования для билинейных ортосимметричных операторов (1.3.2). Следует отметить, что формулы верны и в случае полилинейных операторов.

Вторая глава посвящена изучению билинейных операторов, сохраняющих дизъюнктность. В первом параграфе рассматриваются структурные свойства сохраняющих дизъюнктность билинейных операторов. Второй параграф посвящен более широкому классу полидизъюнктных операторов образующих идеал порожденный билинейными операторами, сохраняющими дизъюнктность. В третьем параграфе изучается порожденная ими полоса атомических операторов, и наконец, в четвертом параграфе — полоса размазанных операторов, дизъюнктных всем билинейным операторам, сохраняющим дизъюнктность.

Оператор Ь называют решеточным биморфизмом, если частичные операторы Ь(х, •) : у Ь(х,у) (у £ и Ь(-,у) : х Ъ(х,у) (х € Е) являются решеточными гомоморфизмами при 0^х£Еи0^у£Е.

Говорят, что билинейный оператор 6 : Е х Г —> С? сохраняет дизъюнктность, если для произвольных х е Е и у € Р выполняется:

XI 1 Х2 Ь(х1,у) 1 Ь(х2,у), У\ 1 У2 Ь(х,ух) 1 Ь(х,у2).

Известно, что положительный билинейный оператор, сохраняющий дизъюнктность, является решеточным биморфизмом. Следующий результат — обобщение известной теоремы Мейера для линейных операторов.

Теорема 3 (теорема 2.1.2). Пусть Е, Р ив — векторные решетки, а Ь : Ех Е —> С порядково ограниченный билинейный оператор, сохраняющий дизъюнктность. Тогда Ь имеет положительную часть Ь+, отрицательную часть Ь" и модуль |Ь|, являющиеся решеточными биморфизмами. Более того, Ь+(х,у) = Ь(х,у)+ и Ь~(х,у) = Ь(х,у)~ при 0^хеЕ,0^уеЕ, и |Ь|(И, |?/|) = у)| для произвольных х£Еиу£Р.В частности, Ъ регулярен.

Помимо сформулированной теоремы, доказывается ряд свойств сохраняющих дизъюнктность билинейных операторов, которые являются непосредственным следствием из вышеуказанной теоремы (предложения 2.1.2-2.1.6).

Второй параграф второй главы посвящен полидизъюнктным билинейным' операторам. Полидизъюнктные операторы формируют полосу,

порожденную решеточными биморфизмами. Результаты этого параграфа распространяют на билинейный случай исследования С. Дж. Верно, С. Б. Гюсманса, Б. де Пахте и В. А. Раднаева, получивших характериза-ции п-дизъюнктного линейного оператора.

Скажем, что наборы элементов {хо,Х1,..., хп} С Е и {уо,у\,уп} С F бидизъюпктны, если для любых номеров 0 ^ г,] п, г ф ], либо ж» Ху, либо у1 ± у у Билинейный оператор Ь 6 ВЬГ(Е, .Р; С) назовем п-дизъюнктным, если для любых бидизъюнктных наборов {хц, ..., хп} С Е и {уо, Уь • • •, Уп} С .Р1 выполняется соотношение

|Ь(хо,Уо)| А |6(жь у0| Л • • • Л |6(х„, уп)| = 0.

Установлены характеризации полидизъюнктных билинейных операторов (теорема 2.2.2), из которых, в частности, выводится следующая теорема, линейный вариант которой установлили С. Дж. Верно, С. В. Гюсманса, Б. де Пахте.

Теорема 4 (теорема 2.2.4). Билинейный регулярный оператор будет п-дизъюнктным в том и только в том случае, если он представим в виде суммы п билинейных регулярных операторов, сохраняющих дизъюнкт-ность.

Кроме того, установлено, что полидизъюпктиые билинейные операторы образуют в точности идеал порожденный сохраняющими дизъюнкт-ность билинейными операторами (теорема 2.2.4).

В третьем параграфе изучаются атомические операторы — операторы попадающие в полосу, порожденную решеточными биморфизмами. Доказана теорема о том, что всякий линейный атомический оператор разлагается по специальному базису (7, ¿^-однородных попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов (теорема 2.3.1). Аналогичный результат установлен для билинейных атомических операторов (теорема 2.3.2). Также установлено, что один такой базис из другого можно получить путем перестановки и «перемешивания» (предложение 2.3.6).

В четвертом параграфе второй главы рассматриваются свойства специального класса билинейных операторов — размазанных операторов, которые определяются как операторы дизьюнктные всем решеточным би-морфизмам.

Эти операторы изучались С. Б. Гюсмансом и Б. де Пахте, ими получены характеризации размазанных операторов и формула проектирования на полосу атомических операторов. Автором были получены новая характеризация размазанных операторов (теорема 2.4.3) и формула проектирования на полосу атомических операторов (предложение 2.4.8), при помощи которых были выведены аналогичные результаты для орторегу-лярных билинейных операторов (теорема 2.4.4).

Третья глава диссертации посвящена строению решеточных бимор-физмов и сохраняющих дизъюнктность билинейных операторов. Доказанная в первом параграфе теорема позволяет свести задачу к линейному случаю и получить новые результаты о представлении билинейных по-рядково ограниченных операторов, сохраняющих дизъюнктность, в виде сильно дизъюнктной суммы операторов взвешенного сдвига или мультипликативных операторов.

В первом параграфе третьей главы устанавливается, что решеточный биморфизм, действующий из декартова произведения векторных решеток в расширенное пространство Канторовича, представим в виде произведения двух решеточных гомоморфизмов, определенных па решетках-сомножителях.

Теорема 5 (теорема 3.1.1). Для произвольного решет очного бимор-физма Ь : Е х Р —» С? существуют два решеточных гомоморфизма 5 : Е —> гпС такие, что

Ъ(х,у) = Б(х)Пу) (х£Е,уеГ).

Если, сверх сказанного Е = Г л биморфизм Ь симметричен, то в этом представлении можно взять Б = Т.

Во втором параграфе устанавливается результат о представлении билинейных операторов, сохраняющих дизъюнктность в виде строго дизъюнктной суммы операторов взвешенного сдвига.

Для линейных операторов аналогичный результат был установлен А. Е. Гутманом. Теорема 5 позволяет свести задачу для билинейных операторов к линейному случаю. Таким образом, сочетание теоремы 5 с результатами А. Е. Гутмана приводит к полному аналитическому описанию

билинейных операторов, сохраняющих дизъюнктность, представленному ниже в теоремах 6 и 7.

Оператором сдвига из Е' в Р1' назовем сохраняющий дизъюнктность регулярный оператор о : Е' —* F', широкий на элементе и переводящий осколки 1с (входящие в Е') в осколки

Будем говорить, что билинейный оператор Ь : Е х Е —» С допускает \VS\V-факторизацию, если существуют фундаменты Е' С 8, Е' С Т и С, С С д, ортоморфизмы ю : Е Е', v : Е -> Е' и IV : С ■ С С и операторы сдвига <7 : -» С и т : Г' С такие, что

6 = И/о(а0т)о(шхк), т. е. коммутативна диаграмма

£ х £---

МV

Е' х Р" ——^ С ■ С,

стОт '

где (аОт)(х,у) = а{х)т{у) (х € Е', у е (шху)(х,у) = (ю(х),х(у)) (х е Е, у £ Е). Оператор И7, называют внешним весом, а г; и № — внутренними весами. Билинейный оператор, допускающий И^И^-факторизацию, называют также билинейным оператором взвешенного сдвига.

Теорема 6 (теорема 3.2.3). Пусть Ь : Е х Е —> б — порядково ограниченный билинейный оператор, сохраняющий дизъюнктность. Тогда существует разбиение единицы (р^)^ен в булевой алгебре ф(С?) и семейства положительных элементов в Е и (Д в £ такие, что для каждо-

го £ € Е композиция допускает \УБIV-факторизацию с внутренними весами 1/е^ и 1/Д, и оператор Ь разлагается в сильно дизъюнктную сумму

6 = 0^0 (Р(а © р(т) о (1£/е£ х

£ен

где ант— операторы сдвига, а И7 — оператор умножения на

В третьем параграфе получено аналитическое представление билинейных операторов, сохраняющих дизъюнктность.

Обозначим £ = СЖ{Р), Т = C^Q) и Q = C^R), где Р, Q и R -экстремально несвязные компакты. Пусть Е, F и G — фундаменты в расширенных ^-пространств £, Т и Q соответственно.

Обозначим символом Co{R,Q) множество всех непрерывных функций s : Rq := dorn (s) —» Q определенных на открыто-замкнутых подмножествах i?0 С R.

Для произвольных s £ C0(R,Q) и е £ CrXj{Q) определим функцию s*е : i? —> R формулой:

t * м \ /Ф(г))' если г £ dorn (s), (s e)(r) := (

10, если г £ it\dom (s).

Функция s*e непрерывна, но не принадлежит, вообще говоря, пространству Соо(Л), поскольку она может принимать бесконечные значения па множестве с непустой внутренностью.

Теорема 7 (теорема 3.3.4). Пусть Е, F и G - фундаменты в С00(Р), Coo(Q) и C00(R) соответственно, a b : Е х F G — порядково ограниченный билинейный оператор, сохраняющий дизъюнктность. Тогда существуют отображения s £ Cq(R,P) и t £ Co(R,Q), семейства и (/i)fes положительных функций из Е и F, соответственно, и семейство OVfOceH попарно дизъюнктных функций из Coc(R) такие, что справедливо представление

ien

3. Аннотация

Диссертация посвящена развитию теории билинейных операторов в векторных решетках. В работе используются методы теории пространств Канторовича, теории мажорируемых операторов, общей топологии и векторных мер.

Получены формулы порядкового исчисления для регулярных билинейных операторов, аналог теоремы Мейера для билинейных операторов, сохраняющих дизъюнктность, характеризация полидизъюнктных билинейных операторов, разложение билинейных атомических операторов, характеризация орторегулярных размазанных билинейных операторов, по-

строено полное аналитическое описание билинейных операторов, сохраняющих дизъюнктность.

Диссертация носит теоретический характер, полученные в ней результаты могут быть использованы специалистами в области теории положительных операторов, а также в теории упорядоченных алгебр.

4. Публикации по теме диссертации

1. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О билинейных операторах, сохраняющих дизъюнктность // Владикавказский математический журнал.— 2004,—Т. 6, № 1.-С 58-70.

2. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О мультипликативном представлении билинейных операторов // Сиб. мат. журн.—2008.—Т. 49, № 2,— С. 357-366.

3. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О некоторых свойствах ортосиммет-ричных билинейных операторов / В кн. Исследования по математическому анализу. Том 1.—Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2008.— С. 104-124.

4. Плиев М. А., Табуев С. Н. О проекциях положительного билинейного оператора / В кн. Исследования по математическому анализу. Том 1.—Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2008.-С. 166-176.

5. Табуев С. Н. О характеризации размазанных операторов в векторных решетках // Владикавказский математический журнал.— 2000.—Т. 2, № 4.-С 18-16.

6. Табуев С. Н. Разложение атомического оператора // Владикавказский математический журнал.—2003.—Т. 5, № 1.—С 53-56.

Подписано в печать 12.01.2009. Усл.п.л. 1,0 Формат бумаги С0х841/1б- Тираж 100 экз.

Владикавказский научный центр РАН 362025, г. Владикавказ, пр. Коста, 93.

Введение

0.1. Обзор литературы.

0.2. Актуальность темы исследования.

0.3. Краткое содержание работы.

0.4. Основные положения, выносимые на защиту.

0.5. Методы исследования.

0.6. Апробация работы.

0.7. Вклад соавторов.

Глава 1. Билинейные операторы в векторных решетках

1.1. Предварительные сведения.

1.2. Порядковое исчисление регулярных билинейных операторов

1.3. Формулы проектирования на некоторые полосы.

Глава 2. Билинейные операторы, сохраняющие дизъюнктность

2.1. Операторы, сохраняющие дизъюнкт!юсть.

2.2. Полидизъюнктные операторы.

2.3. Разложение атомического оператора.

2.4. Характеризация размазанных операторов.

Глава 3. Мультипликативное представление билинейных операторов

3.1. Строение решеточных биморфизмов

3.2. Операторы взвешенного сдвига.

3.3. Мультипликативное представление.

0.1. Обзор литературы

Основы теории регулярных операторов в Х-пространствах были заложены в докладе Ф. Рисса на Международном математическом конгрессе в Болонье в 1928 [74] и в работе JI.B. Канторовича 1936 года, см. |8|. В этих же работах была сформулирована и доказана — сначала для функционалов (Рисс), а затем для общих регулярных операторов (Канторович) — фундаментальная теорема Рисса — Канторовича (1.1.1).

Теории линейных операторов в векторных решетках с приложениями к разным разделам математики хорошо представлена в монографической литературе, см., например, [2, 4, 7, 13, 33, 34, 64, 67, 75, 81, 86].

Первая фундаментальная монография по теории полуупорядочеиных пространств (векторных решеток), написанная в 1950 г. JI.B. Канторовичем, Б.З. Вулихом и А.Г. Пинскером [7|, до сих пор является энциклопедическим изложением основ теории линейных операторов. Более поздняя (1961 г.) и более краткая монография Б.З. Вулиха [4] содержит изложение основных фактов о теории линейных операторов в векторных решеток, но в идейном и тематическом плане примыкает к предыдущей монографии.

Монография В. Люксембурга и А. Цаанепа [64] посвящена подробному изложению алгебраической теории векторных решеток почти без рассмотрения нормы, функционалов и операторов. Монография А. Цаанена [86], являющаяся продолжением предыдущей монографии содержит разнообразный и интересный материал по теории операторов и функционалов в векторных решетках и банаховых решетках. Среди которых: общая теория порядково ограниченных операторов, интегральное представление операторов, теоремы о структуре сопряженных пространств, проблемы мажора-ции для компактных операторов, ортоморфизмы и /-алгебры.

Монография Шефера [75| содержит разнообразный материал по теории векторных решеток и банаховых решеток.

В монографии 1978 г. Г.П. Акилова и С.С. Кутателадзе [2] изучается выпуклый анализ в if-пространствах, в которых вводится много новых понятий для множеств порядково ограниченных операторов.

В небольшой монографии Х.-У. Шварца [81] изложены основные факты о порядково ограниченных операторах, а также нетрадиционный материал о (р, д)-выпуклых и вогнутых операторах.

Значительным вкладом в теорию является монография К. Алипраптиса и О. Буркиншо [33], изданная в 1985 г., которая содержит в основном результаты, полученные после 1978 г., по проблеме мажорации операторов. При этом излагается техника, связанная с ортоморфизмами, приближе-" нием операторов суммами «осколков» других операторов, факторизации операторов. Многие результаты монографии принадлежат авторам.

В монографии А.Г. Кусраева [13], которая является расширенным и переработанным вариантом опубликованной на три года раньше монографии [56], представлены важнейшие результаты о мажорируемых операторах, полученные после 1980 года. Изложение сосредоточено на строении мажорируемых операторов, подробно освещены вопросы разложения, продолжения и аналитического представления. Предметом особого внимания монографии являются различные классы мажорируемых операторов: интегральные и псевдоинтегральные операторы, сохраняющие дизъюнктнбеть и разложимые операторы, суммирующие и циклически компактные операторы.

Несмотря на продолжающееся по сей день интенсивное развитие исследований порядковых свойств линейных операторов, билинейные операторы изучены мало с этой точки зрения. Началом изучения билинейных операторов в векторных решетках принято считать работу японского математика X. Накано [68], опубликованную в 1953 году. Однако эта работа не привлекла внимания специалистов и новые труды появились лишь после двадцатилетнего перерыва.

В начале 70-х Д. Фремлин опубликовал две статьи [51, 52], в ко торых изучал тензорное произведение на векторных и банаховых решетках. Д. Фремлин построил тензорное произведение E&F двух архимедовых векторных решеток Е и F, и установил важное свойство этого объекта: если Е, F и G — векторные решетки, при чем G — полно относительно сходимости с регулятором, то для любого положительного билинейного оператора b : Е х F G существует единственный линейный положительный оператор Т : Е (§ F G такой, что T<g> = Ъ. Используя тензорное произведение векторных решеток, в [51] Д. Фремлин построил также тензорное произведение банаховых решеток.

В 1977 г. А.Г. Кусраев в работе [11] показал возможность продолжения регулярного билинейного оператора с массивных подрешеток на всю решетку. Более того, была установлена возможность одновременного продолжения. Для порядково непрерывного регулярного оператора b : ExF —> G, где G — порядково полная векторная решетка, построено порядково непрерывное продолжение на порядковые пополнения решеток Е и F. В этой же работе впервые в явном виде было определено А'-пространство регулярных билинейных операторов.

Кроме этих работ билинейные операторы встречались в работах Г. Витт-стока [84, 85] и Р. Кристеску [50]. В 1984 г. X. Шефер в [76] получил представление ограниченного оператора путем перехода к билинейным формам.

После этого, в течение пятнадцати лет билинейные операторы как самостоятельный объект исследования вновь выпали из круга активно разрабатываемых разделов теории операторов в векторных решетках. Хотя некоторые частные случаи: билинейные функционалы, умножение в ре-шеточно упорядоченных алгебрах, тензорные произведения периодически изучались разными авторами.

С начала 2000-х годов наблюдается возрастающий интерес к порядковым свойствам билинейных операторов. В этот период появились новые мотивации, новые объекты и методы исследования, новые взаимосвязи с другими разделами теории векторных решеток и положительных операторов. Начался он с серии работ голландских математиков X. Баскеса и А. ван Ройя [44, 45, 46, 47, 48, 49].

Особняком стоит работа [44J, в которой введен класс билинейных операторов ограниченной вариации и установлено, что в случае порядковой полноты векторной решетки G, векторное пространство Bj)V{E, F; G) является if-пространством и устанавливается изоморфизм между указанным пространством и пространством линейных ограниченных операторов на фремлиновском тензорном произведении. Там же получена формула вычисления модуля билинейного оператора ограниченной вариации.

Различные свойства билинейных операторов ограниченной вариации изложены К. Булабия, X. Баскесом и Р. Пейджем в работе [37]. Установлено, что введенная Аренсом операция трисопряжения, примененная к билинейным операторам ограниченной вариации, сохраняет свойства исходных операторов. Операцией трисопряжения Аренса также занимался Е. Шеффолд [77, 78, 79].

В работе [45] введен важный класс ортосимметричных билинейных операторов, свойства которых интенсивно изучались в последующие годы [14, 15, 35, 38, 43, 47, 53, 57, 60]. Одной из мотиваций этих работ явилось интенсивное исследование структурных свойств различных видов упорядоченных алгебр: /-алгебр, почти /-алгебр, псевдо /-алгебр и d-алгебр. Подробная история этого вопроса изложена в диссертации Б. де Пахте [71], обзорах К. Булабия, X. Басксса и А. Трики [41, 42|. По сути дела здесь речь идет о различных классах билинейных операторов, так как умножение в этих алгебрах — билинейный оператор, принадлежащий тому или иному классу. Наиболее интересным случаем оказались ортосимметричные операторы, обобщающие умножение в почти /-алгебрах.

С билинейными ортосимметричными операторами неразрывно связана концепция квадрата векторной решетки, осуществляющая биекцию между положительными билинейными ортосимметричными операторами и множеством положительных линейных операторов, определенных на квадрате векторной решетки. В этом смысле квадрат векторной решетки, введенный в [47| X. Баскесом и А. ван Ройем, играет в теории ортосимметричных билинейных операторов такую же важную роль, как и фремлиновскос тензорное произведение в теории положительных билинейных операторов. Кроме того, линеаризация посредством квадрата, в отличие от линеаризации посредством тензорного произведения, сохраняет порядковую непрерывность оператора.

А.Г. Кусраевым в [15] установлено, что с каждой архимедовой векторной решеткой можно связать лишь один ортосимметричный оператор — канонический ортосимметричпый биморфизм, аналогичный операции умножения в почти /-алгебре; все остальные ортосимметричные операторы представлены как суперпозиции линейных регулярных операторов с каноническим биморфизмом. Используя этот факт, в [43] X. Баскесом и А.Г. Кусраевым были получены результаты о продолжении ортосимметричных операторов, а также о WSW-факторизации и мультипликативном представлении орторегулярных билинейных операторов, сохраняющих дизъюнктносгь.

В работах А.Г. Кусраева [58, 59] введено однородное функциональное исчисление в равномерно полных векторных решетках. Получены неравенства типа Гёльдера для ортосимметричных билинейных операторов, также даны дальнейшие обобщенные неравенства типа Гёльдера и Минковского. Также в работе [59] дана характеризация билинейных ортосимметричных операторов Магарам и установлено, что при линеаризации посред ством квадрата сохраняются свойство Магарам, порядковая непрерывность и сингулярность. Исходя из этого были доказаны теоремы типа Радона-Никодима, Накано и Хана о разложении для ортосимметричных билинейных операторов.

В 2004 году А.Г. Кусраев и Г.Н. Шотаев опубликовали первый обзор по билинейным операторам в векторных решетках [22]. В этой работе сформулированы, имеющиеся на тот момент результаты, а также поставлено 15 нерешенных задач.

В последующие годы появилось еще два обзора о билинейных операторах. Первый, К. Бу, X. Баскеса и А.Г. Кусраева [40] (2007 г.) в основном посвящен вопросам проистекающим из теории решеточно упорядоченных алгебр. Обширный обзор А.Г. Кусраева [16] затрагивает результаты связанные с различными аспектами ортосимметричных билинейных операторов в векторных решетках.

0.2. Актуальность темы исследования

В обзоре по билинейным операторам в векторных решетках (22] А.Г. Кусраев и Г.Н. Шотаев формулируют имеющиеся к тому времени результаты о билинейных положительных и мажорируемых операторах в векторных решетках или решеточно нормированных пространствах, в основном полученные российскими математиками. Там же сформулированы нерешенные задачи и указаны направления дальнейших исследований.

Как известно, изучение и развитие порядковых свойств линейных операторов, началось с теоремы Рисса-Канторовича, в ходе доказательства которой были получены явные выражения для вычисления конечных и бесконечных решеточных операций, а также для модуля, положительной и отрицательной частей порядково ограниченного оператора. Эти формулы, вместе взятые, составляют содержание так называемого порядкового исчисления. Несмотря на существенный интерес к регулярным билинейным операторам в векторных решетках, до недавних пор была известна только формула получения модуля регулярного билинейного оператора установленная в [44].

Для линейных регулярных операторов хорошо разработаны формулы проектирования на полосы, порожденные различными классами операторов, в частности, на полосу, порожденную регулярным оператором или множеством таких операторов; на полосу регулярных порядково непрерывных операторов; на полосу, порожденную решеточными гомоморфизмами. Эти результаты также принято относить к порядковому исчислению. В этой связи возникла актуальная задача: развить порядковое исчисление для регулярных билинейных операторов в векторных решетках.

Важным классом линейных операторов в векторных решетках являются операторы, сохраняющие дизъюнктность. Этот класс операторов ввел и начал исследовать Б.З. Вулих. Позже операторы, сохраняющие дизъюнктность, изучали Ю.А. Абрамович, E.JI. Аренсон, А.И. Векслер, Э. Викстед, А.К. Китовер, А.В. Колдунов, А.Г. Кусраев, С.С. Кутателадзе, В. Люксембург, Б. де Пахте, А.С. Цаапен и др. Простейшим представителями класса операторов, сохраняющих дизъюнктность, являются нерасширяю-щие операторы, или операторы, сохраняющие полосы. Известно, что положительный оператор, сохраняющий дизъюнктность, является решеточным гомоморфизмом. М. Мейером [66] установлено, что порядково ограниченный оператор, сохраняющий дизъюнктность, имеет положительную, отрицательную части и модуль являющиеся решеточными гомоморфизмами, которые вычисляются поточечно. С.С. Кутателадзе [23] установил, что положительный оператор является решеточным гомоморфизмом в том и только в том случае, когда он является дискретным оператором.

Несколько более общий класс составляют полидизъюнктные операторы, составляющие идеал порожденный решеточными гомоморфизмами. Понятие п-дизъюнктного оператора в векторных решетках введено в статье С.Дж. Верно, С.В. Гюсманса и Б. де Пахте [36]. Характеризацию п-дизъюнктных операторов получил В.А. Раднаев [26], используя подход С.С. Кутателадзе к характеризации решеточных гомоморфизмов. В статье [36] было установлено, что п-дизъюнктный оператор представим в виде суммы п операторов, сохраняющих дизъюнктность.

Аналогичные вопросы для билинейных операторов оставались неисследованными. В частности, желательно было получить варианты теоремы Мейера и характеризации класса полидизъюнктных билинейных операторов.

Два класса линейных операторов атомические и размазанные составляют дизъюнктные друг к другу полосы. Исследование этих классов операторов восходит к теории меры. Атомические операторы составляют в точности полосу, порожденную решеточными гомоморфизмами и являются абстрактными аналогами атомических мер. Классическая теорема Хаммера-Собчика (см., например, [73]) гласит, что любую меру можно разложить в сумму неатомической меры и счетного числа двузначных мер с некоторыми коэффициентами. Для мер со значениями в пространствах Банаха-Канторовича теорема установлена А. Г. Кусраевым и С.А. Малюгиным [62]. Более простое и естественное доказательство теоремы Хаммера-Собчика и его векторнозначной версии найдено В.Г. Троицким в [83]. А.Г. Кусраев и С.С. Кутателадзе в [18], используя методы нестандартного анализа, установили разложение атомического оператора по специальному базису попарно дизъюнктных решеточных гомоморфизмов.

Класс размазанных операторов изучался С.Б. Гюсмансом и Б. де Пахте в работе [55]. В частности, была получена характеризация размазанного оператора и построена проекция на полосу атомических операторов. Другая характеризация размазанных операторов установлена А.Г. Кусраевым и С.С. Кутателадзе в [18]. Здесь также речь идет об абстрактной версии характеризации размазанных мер, скалярный случай которой рассмотрен в [73], а векторный — в [62].

Понятно, что аналогичные результаты важно было бы получить для регулярных билинейных операторов.

Сохраняющие дизъюнктность линейные операторы впервые появились в литературе в 1940-х годах, по объектом систематического изучения они стали только в последние двадцать лет прошлого века. Одной из важных причин нынешнего интереса к этим операторам является тот факт, что регулярные, сохраняющие дизъюнктность, операторы допускают мультипликативное представление в виде оператора подстановки с весом (оператора взвешенного сдвига), и тем самым составляют абстрактный каркас для очень важного класса операторов в анализе.

С помощью теории лифтинга А. и К. Ионеску Тулча получили представление решеточных гомоморфизмов в виде операторов взвешенного сдвига.

Вопросы мультипликативного представления сохраняющих дизъюнктность операторов изучались Ю.А. Абрамовичем [30], и им же совместно с E.JI. Аренсоном и А.К. Китовером [31|. Для операторов, действующих в пространствах вектор-функций теоремы о мультипликативном представлении были установлены А.Г. Кусраевым (см. например [13, 5.5.3, 5.5.4]).

А.Е. Гутманом было установлено представление ограниченного, сохраняющего дизъюнктность оператора в виде сильно дизъюнктной суммы оператора взвешенного сдвига. Под оператором сдвига подразумевается абстрактный аналог оператора замены переменной. Общепринятое понятие взвешенного сдвига не содержит внутреннего веса. Однако именно введение внутреннего веса позволило получить А.Е. Гутману соответствующее представление.

Таким образом возникает естественный вопрос: какой класс билинейных операторов допускает мультипликативное представление.

Диссертационная работа посвящена решению следующей актуальной задачи современного функционального анализа: исследовать порядковые свойства билинейных операторов в векторных решетках, в частности:

1) построить порядковое исчисление регулярных билинейных операторов;

2) изучить структуру сохраняющих дизъюпктность билинейных операторов:

3) получить мультипликативное представление билинейных операторов.

0.3. Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе исследуется порядковое исчисление регулярных билинейных операторов и приводятся формулы проектирования положительных билинейных операторов на различные полосы.

1. Абрамович Ю. А. Инъективные оболочки нормированных структур // Докл. АН СССР—1971.-Т. 197, № 4.-С. 743-745.

2. Акилов Г. П.,' Кутателадзе С. С. Упорядоченные векторные пространства,— Новосибирск: Наука, 1978.—368 с.

3. Владимиров Д. А. Булевы алгебры—М.: Наука, 1969.—318 с.

4. Вулих Б. 3. Введение в теорию полуупорядоченных пространств.—М.: ГИФМЛ, 1961.-407 с.

5. Гутман А. Е. Банаховы расслоения в теории решеточно нормированных пространств // В кн.: Линейные операторы, согласованные с порядком.—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1995.-С. 63-211.

6. Канторович Л. В. К общей теории операций в полуупорядоченных пространствах // Докл. АН СССР.—1936.—Т. 1, № 7.-С. 271-274.

7. Колесников Е. В. Разложение положительного оператора // Сиб. мат. журн.— 1989.—Т. 30, № 5.-С. 77-79.

8. Колесников Е. В. Несколько порядковых проекторов, порожденных идеалами векторной решетки // Сиб. мат. жури—1995.—Т. 36, № 6.—С. 1342 1349.

9. Кусраев А. Г. Об одном свойстве базы Л'-иростраиства регулярных операторов и некоторых его приложениях,—Новосибирск: Изд-во ИМ СО АН СССР, 1977.—16 с.

10. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы // Линейные операторы согласованные с порядком—Новосибирск: Изд-во ИМ СО РАН, 1995.-С.212-292.

11. Кусраев А. Г. Мажорируемые операторы,—М.: Наука, 2003,—619 с.

12. Кусраев А. Г. О представлении ортосимметрических билинейный операторов в векторных решетках // Владикавк. мат. журн.—2005.—Т. 7, JVQ 4,—С. 30-34.

13. Кусраев А. Г. О строении ортосимметричных билинейных операторов в векторных решетках // Докл. РАН.-2006.-Т. 408, № 1-С. 25-27.

14. Кусраев А. Г., Ортосимметричные билинейные операторы в векторных решетках, / В кн. Исследования по современному анализу и математическому моделированию.—Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2008.—С. 186-225.

15. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Введение в булевозначный анализ — М.: Наука, 2005.-525 с.

16. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Нестандартные методы и пространства Канторовича // В кн.: Нестандартный анализ и векторные решетки /Ред. С. С. Кутателадзе. Новосибирск: Изд-во ИМ СО PAH, 2005.-С. 1-123.

17. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О билинейных операторах, сохраняющих дизъюнктность // Владикавказский математический журнал.—2004,—Т. 6, 1.—С 58-70.

18. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О мультипликативном представлении билинейных операторов // Сиб. мат. журн.—2008.—Т. 49, № 2.-С. 357-366.

19. Кусраев А. Г., Табуев С. Н. О некоторых свойствах ортосимметричных билинейных операторов / В кн. Исследования по математическому анализу. Том 1.— Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2008.-С. 104-124.

20. Кусраев А. Г., Шотаев Г. Н. Билинейный мажорируемые операторы / В кн. Исследования но комплексному анализу, теории операторов и математическому моделированию—Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2004—С. 241-262.

21. Кутателадзе С. С. Субдифференциалы выпуклых операторов // Сиб. мат. журн.— 1977.—Т. 18, № 5.-С. 1057-1064.

22. Кутателадзе С. С. Осколки положительных операторов // Сиб. мат. журн.—1989.— Т. 30, № 5.-С. 111-119.

23. Плиев М. А., Табуев С. Н. О проекциях положительного билинейного оператора / В кн. Исследования по математическому анализу. Том 1.—Владикавказ: Изд-во ВНЦ РАН, 2008.—С. 166-176.

24. Раднаев В. А. Метрическая n-неразложимость в упорядоченных решеточно-нормированных пространствах и ее приложения. — НГУ, Новосибирск, Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-мат. наук, 1997.—108 с.

25. Табуев С. Н. О характеризации размазанных операторов в векторных решетках // Владикавказский математический журнал,—2000. —Т. 2, № 4,—С 18-16.

26. Табуев С. Н. Разложение атомического оператора // Владикавказский математический журнал—2003 —Т. 5, 1.-С 53-56.

27. Шотаев Г. Н. Некоторые свойства билинейных регулярных операторов // Влади-кавк. мат. журн.—1999.— Т. 1, № 2—С. 44-47.

28. Abrainovich Yu. A. Multiplicative representation of disjointness preserving operators // Indag. Math. (N.S.).-1983—V. 45, № 3.-P. 265-279.

29. Abrainovich Yu. A., Arenson E.L., Kitover A.K. Banach C(K)-inodules, and operators preserving disjointness.—Harlow: Longman Sci. Tech., 1992,—(Pitman Res. Notes. Math. Ser.;V.277).

30. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. On positive order continuous operators // Indag. Math.—1982.—V.45.-P.1-6.

31. Aliprantis C. D., Burkinshaw O. Positive Operators.—New York: Academic Press, 1985.—xvi-l-367 p.

32. Aliprantis С. D. and Burkinshaw O. Locally Solid Riesz spaces with Applications to Economics. Second edition Mathematical Surveys and Monographs 105 Providence, RI: American Mathematical Society.—2003 —344 p.

33. Azouzi Y., Boulabiar K., Buskes G. The de Schipper formula and squares of Riesz spaces // Indag. Math. (N.S.).-2006.-V. 17, № 4-P. 265-279.

34. Bernau S. J., Huijsmans С. В., de Pagter B. Sums of lattice homomorphisms // Proc. Amer. Math. Soc-1992.-V. 115.-P. 151-156.

35. Boulabiar K., Buskes G., Page R. On some properties of bilinear maps of order bounded variation // Positivity-2005 -V. 9, Ж 3.-P. 401-414.

36. Boulabiar K., Buskes G. Vector lattice powers: /-algebras and functional calculus. Comm. Algebra, 34 2006, no. 4, 1435-1442.

37. Boulabiar K. and Tuomi M. A. Lattice bimorphisms on /-algebras // Ordered Algebraic Structures (ed. Л. Martinez).-Kluwer, 2002.-P. 179-188.

38. Bu Q., Buskes G., Kusraev A. G. Bilinear maps on product of vector lattices: A survey // Positivity / Eds. K. Boulabiar, G. Buskes, A. Triki.—Basel a.o.: Birkhauser, 2007.—P. 97-126.

39. Boulabiar K., Buskes G. and Triki A. Some recent trends and advances in certain lattice ordered algebras. (English. English summary) Function spaces (Edwardsville, IL, 2002) Contemp. Math.—2003.-328, Amer. Math. Soc., Providence, RI, P. 99-133

40. Boulabiar K., Buskes G., Triki A. Bilinear maps on product of vector lattices: A survey // Positivity / Eds. K. Boulabiar, G. Buskes, A. Triki.—Basel a.o.: Birkhauser, 2007.—P. 97-126.

41. Buskes G. and Kusraev A. G. Extension and representation of orthoregular maps, Vladikavkaz Math. J.-2007—V.9, Ж1.-Р. 6-29.

42. Buskes G. J. H. M., van Rooij А. С. M. Bounded variation and tensor products of Banach lattices // Positivity—2003 —V. 7, Ж 1-2—P. 47-59.

43. Buskes G. J. H. M., van Rooij А. С. M. Almost /-algebras: commutativity and the Cauchy-Schwarz in equality // Positivity.—2000.—V. 4—P. 233-243.

44. Buskes G. J. H. M., van Rooij A. С. M. Almost /-algebras: structure and Dedekind completion // Positivity.—2000—V. 4.-P. 227-231.

45. Buskes G. J. H. M., van Rooij А. С. M. Squares of Riesz spaces // Rocky Mountain Journal of Mathematics—2004 —V. 31, Ж l.-P. 45-56.

46. Buskes G., van Rooij A. The bornological tensor product of two Riesz spaces. Ordered algebraic structures // Dev. Math—2002—V.7, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, P. 3-9.

47. Buskes G., van Rooij A. The bornological tensor product of two Riesz spaces: proof and background material. Ordered algebraic structures // Dev. Math.—2002—V.7, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, P. 189-203.

48. Cristescu, R., Ordered vector spaces and linear operators, Editure Academiei, Bucure§ti, Romania-Abacus Press, Tunbridge Wells, England 1976.

49. Fremlin D. H. Tensor product of Archimedean vector lattices // Amer. J. Math.—1972.-V. 94.—P. 777-798.

50. Fremlin D. H. Tensor products of Banach lattices // Math. Ann.—1974.—V. 211,—P. 87106.53. van Gaans O. W. The Riesz part of a positive bilinear from // In: Circumspice — Nijmegen: Katholieke Universiteit Nijmegen, 2001.—P. 19-30.

51. Gutman A. E. Disjointness preserving operators // In: Vector Lattices and Integral Operators (Ed. S. S. Kutateladze).—Dordrecht etc.: Kluwer Academic Publishers, 1996.—P. 361-454.

52. Huijsmans С. B. and Pagter B. de. Disjointness preserving and diffuse operators // Compositio Mathematics—1991 — V. 79.-P. 351-374.

53. Kusraev A. G. Dominated Operators.—Dordrecht etc.: Kluwer, 2000.—446 p.

54. Kusraev A. G. When are all separately band preserving bilinear operators symmetic? // Vladikavkaz Math. J.-2007.-V.9, Ж2- P.22-25.

55. Kusraev A. G. Holder type inequalities for orthosymmetric bilinear maps. // Vladikavkaz Math. J.—2007—V.9, №.3,- P.36-46.

56. Kusraev A. G. Orthosymmetric bilinear operators.—Vladikavkaz: VSC RAS, 2007.—34 p.—(Prep. / IAMI VSC RAS; №1.)

57. Kusraev A. G. On some properties of orthosymmetric bilinear operators. // Vladikavkaz Math. J.—2008.-V.10, ЖЗ — P.29-33.

58. Kusraev A. G., Kutateladze S. S. On the calculus of order bounded operators.— Новосибирск: Наука, 2003.—14 е.—(Препринт / РАН, Сиб. отд-пие. Ин-т мат-ки; № 123).

59. Kusraev A. G., Malugin S. A. On atomic decomposition of vector measures // Siberian Mathematical Journal V. 30(5).—1989.—P. 101-110

60. Luxemburg W. A. J. Notes on Banach function spaces. // Indag.Math.—1965.—V.27— Note XIV, P.229-248;Note XV, P.415-446;Note XVI, P.646-667.

61. Luxemburg W. A. J., Zaanen A. C. Riesz spaces. Vol. I.—Amsterdam-London: North-Holland Publishing Co., 1971- 514 p.

62. Luxemburg W. A. J., Zaanen A. C. Notes on Banach function spaces. Note IV // Indag.Math.—1971.—V.25—P.251-263.

63. Meyer M. Le stabilisateur d'un espace vectoriel reticule // C.r. Acad. sci. A.—1976. V.283.—P.249-250

64. Meyer-Nieberg P. Banach Lattices, Springer, 1991.

65. Nakano H. Product spaces of semi-ordered linear spaces // J. Fac. Sci. Hokkaido Univ. Ser. I., 12, 1953, P.163-210.

66. Page R. On bilinear maps of order bounded variation // Thesis, University of Mississippi, 2005.

67. Rao B.K.P.S., Rao B.M. Theory of charges, a study of finitely additive measures-Academic Press:London, 1983.—x+315 pp.

68. Riesz F. Sur la decomposition des operations fonctionnelless // Atti Congresso Intern. Bologna, 1928.-1930-V.3.-P. 143-148.

69. Schaefer H.H. Banach lattices and positive operators.—Berlin etc.: Springer, 1974 — xi+376 p.

70. Schaefer H.H., Positive bilinear forms and the Radon—Nikodym theorem. Funct. Anal.: Survey and R,ecent Results. 3: Proc 3rd Conf. Paderborn, 24-29 May, 1983. Amsterdam e.a., 1984, 135-143.

71. Scheffold E. Uber Bimorphismen und das Arens-Product bei kommutativen D-Banacli-verbandsalgebren // Rev. Roumaine Math. Pures Appl.—1994.—V. 39, № 3.-P. 183-205.

72. Scheffold E. Uber die Arens-Triadjungierte von Bimorphismen // Rev. Roumaine Math. Pures Appl.—1996.—V. 41, № 9-10.-P. 697-701.

73. Scheffold E. Uber symmetrische Operatoren auf Banachverbanden und Arens-Regularitat // Czechoslovak Math J—1998.-V. 48(123), № 4.-P. 747-753.

74. Schep A.R. Order continuous components of operators and measures // Indag. Math.— 1978.—V. 40.—P. 110-117.

75. Schwarz H.-V. Banach lattices and operators.—Leipzig: Teubner, 1984.—208 p.

76. Toumi M. A., Toumi N. Laterally closed lattice homoinorphisms // J. Math. Anal. Appl.—2006—V. 324.-P. 1178-1194.

77. Troitsky V. G. Infinitely fine partitions of measure spaces // Vladikavkaz Math. ,J.— 1999.-V.1, №.3.- P.53-59.

78. Wittstock G. Ordered normed tensor products, Foundations of quantum mechanics and ordered linear spaces // (Advanced Study Inst., Marburg, 1973), Lecture Notes in Phys., Vol. 29, Springer, Berlin, pp. 67-84, 1974.

79. Wittstock G. Eine Bemerkung uber Tensorprodukte von Banachverbanden, // Arch. Math. (Basel), 25 pp. 627-634, 1974.

80. Zaanen A. C. Riesz spaces. V. 2.—Amsterdam etc.: North-Holland, 1983.—720 p.