Обобщенное функциональное исчисление в векторных решетках

Тасоев, Батрадз Ботазович

Обобщенное функциональное исчисление в векторных решетках тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Тасоев, Батрадз Ботазович АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Ростов-на-Дону МЕСТО ЗАЩИТЫ

2013 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Обобщенное функциональное исчисление в векторных решетках»

Автореферат диссертации на тему "Обобщенное функциональное исчисление в векторных решетках"

На правах рукописи

Тасоев Батрадз Ботазович

ОБОБЩЕННОЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ВЕКТОРНЫХ РЕШЕТКАХ

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1! ¿013

Ростов-на-Дону — 2013

005537990

Работа выполнена в отделе функционального анализа Федерального государственного бюджетного учреждения науки Южного математического института Владикавказского научного центра Российской академии наук и Правительства Республики Северная Осетия-Алания.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Кусраев Анатолий Георгиевич

Официальные оппоненты:

Гутман Александр Ефимович доктор физико-математических наук, профессор ФГБУН «Институт математики им. С. Л. Соболева» СО РАН

заведующий лабораторией функционального анализа

Мелихов Сергей Николаевич доктор физико-математических наук, доцент ФГАОУ ВПО «Южный федеральный университет» профессор кафедры алгебры и дискретной математики

Ведущая организация:

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный университет»

Защита состоится 3 декабря 2013 г. в 16 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.208.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-па-Дону, ул. Мильчакова, 8-а.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Южного федерального университета по адресу: г. Ростов-на-Доиу, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан « Ш » ОкЯЛЪ^Л 2013 г.

Учёный секретарь диссертационного /аТ//

совета Д 212.208.29 Кряквин В. Д.

1. Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория векторных решеток и положительных операторов — один из основных разделов современного функционального анализа — оформилась в 1930-х годах в трудах Г. Биркгофа, Л. В. Канторовича, Ф. Рисса и X. Фрейденталя. В настоящее время эта теория вместе с многочисленными приложениями в различных разделах математики хорошо представлена в монографической литературе.

Одним из важных методов исследования в теории векторных решеток и положительных операторов является функциональное исчисление. Понятие функции от элементов векторной решетки ввел Л. В. Канторович. В монографии [Канторович Л. В., Вулих Б. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах.—М.;Л.: Гостехиздат, 1950.—548 е.] было показано, что в ^-пространстве с единицей естественным образом определяется элемент <f(xi, х2) от ограниченных элементов Ii и 12 этого пространства, если ip : R2 —> M — непрерывная функция. В 1973 г. в работе [Лозановский Г. Я. О функциях от элементов линейной структуры // Изв. высш. учеб. завед. Математика.— 1973.—Т. 12.—С. 45-54.] был указан способ построения непрерывных положительно однородных функций от элементов равномерно полной векторной решетки. Аналогичная конструкция появилась в работе Кривина [Krivine J. L. Théorèmes de factorisation dans les espaces réticulés, Seminar Maurey-Scliwartz (1973-1974), École Polytech., Exposé 22-23.]. Многочисленные приложения функционального исчисления в геометрии банаховых решеток и теории положительных операторов приведены в монографии [Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach Spaces. Vol. 2. Function Spaces.—Berlin etc.: Springer-Verlag, 1979.—243 р.]. Различные аспекты рассматривались в работах А. В. Бухвалова, Б. Морэ, Н. Нильсона, Дж. Шульги, Л. П. Яновского и др. Отметим, что во всех работах существенную роль играли реализационные теоремы векторных решеток.

Новый подход к определению функционального исчисления был предложен в 1991 г. в статье [Buskes G., de Pagter В., van Rooij A. Functional calculus on Riesz spaces // Indag. Math. (N. S.).—1991—Vol. 4, № 2—P. 423436.], в котором дано определение функции от элементов векторной решетки без привлечения реализационых теорем. Эти функции предпола-

гались положительно однородными, непрерывными и всюду определенными на В то же время, в ряде работ возникла необходимость определения функций от элементов векторной решетки, определенных на конических подмножествах конечномерного пространства. В связи с этим, в 2009 г. в работе [Kusraev A. G. Functional calculus and Minkowski duality on vector lattices // Vladikavkaz Math. J—2009.—Vol. 11, № 2.—P. 31-42.] было показано, что естественным образом определяется положительно однородная функция от элементов равномерно полной векторной решетки, если эта функция определена на коническом множестве конечномерного пространства и непрерывна на некотором коническом подмножестве последнего. Изучение таких функций называют расширенным функциональным исчислением. В этой работе было показано, что расширенное функциональное исчисление позволяет перенести двойственность Мин-ковского на векторные решетки. На этой основе был развит метод огибающих и единообразный подход к доказательству неравенств выпуклости.

В 1991 г. вышла работа [Haydon R., Levy М., Raynaud Y. Randomly normed spaces.—Paris: Hermann, 1991.—138 p.], в котором вводится понятие обобщенного функционального исчисления, с помощью которого, в частности, осуществляются р-выпуклизация и р-вогнутизации банаховых решеток с «переменным» показателем. Аналоги этих процедур в случае скалярного р описаны в упомянутой монографии Линденштрауса и Цафрири. Тем не менее, определение обобщенного функционального исчисления фактически функциональным исчислением не является, так как оно определено не на пространстве функций, а на тензорном произведении идеального центра и пространства непрерывных положительно однородных функций на единичной сфере конечномерного пространства. К тому же, рассматриваемое там тензорное произведение изоморфно пространству всюду определенных на конечномерном пространстве функций со значениями в идеальном центре, что не охватывает расширенное функциональное исчисление. В этой связи возникла задача о построении общего функционального исчисления, частными случаями которого были бы и расширенное и обобщенное функциональное исчисление.

Важным применением функционального исчисления является преобразование одних банаховых функциональных пространств в другие.

Кальдерон в работе [Calderón А. P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method // Stud. Math—1964—Vol. 24, № 2—P. 113-190.] по заданным банаховым идеальным пространствам Хо и Xi на измеримом пространстве {fí, Е,/х) построил идеальное банахово пространство 0 < s < 1, на том же измеримом пространстве. Лозановский предложил более общее определение банахова идеального пространства tp(Xo,Xi), где ip — произвольная вогнутая непрерывная функция ip : —> К, удовлетворяющая определенным условиям. Эта конструкция получила название пространства Кальдерона — Лозановского. При этом <р{Хо,Х\) является обобщением пространства Орлича, а конструкция Кальдерона соответствует частному случаю, когда (p(to,ti) = . Дальнейшее раз-

витие теория этих пространств получила в статье [Raynaud Y. On duals of Calderon-Lozanovsky intermediate spaces // Stud. Math.—1997.—Vol. 56, № 1.—P. 9-36.], где была предложена конструкция Кальдерона — Лозановского с «переменным показателем», называемая обобщенным пространством Кальдерона — Лозановского, частным случаем которых служат пространства Муселяка — Орлича. На основе этой конструкции была доказана теорема о том, что сопряженное по норме пространство к ip(Xо, Xi) является обобщенным пространством Кальдерона — Лозановского, реализуемым на другом измеримом множестве. В этой связи было бы желательно распространить конструкцию обобщенного пространства Кальдерона — Лозановского на абстрактные банаховы решетки. Но для этого необходимо упомянутое выше общее функциональное исчисление.

Большое число исследований посвящено изучению свойств пространств типа <р(Хo,Xi) и операторов в них (С. В. Асташкин, Е. И. Бережной, Л. Малигранда, И. Рейно, X. Худзик, В. А. Шестаков и др.). Так, например, Малигранда в работе [Maligranda L. Positive bilinear operators in Calderon-Lozanovsky spaces // Arch. Math.—2003—Vol. 81, № 1—P. 2627.] показал, что для любого положительного билинейного оператора Т из Е х F —► Ь°(П, Е,/i), где Е и F — идеальные пространства на (fij, Ei, fix) и (f¿2, Е2, /J2) соответственно, выполняется неравенство

Т(<р0(х0, ц), щ{у0, Ух)) < <р{Т(\х0\, М), т{\х, I, \у\ I))

для всех £0,2:1 € S и 2/0,2/1 6 F при условии, что <ро, tp 1 — ¡^-суперли-нейные непрерывные функции на и s)y>i(l, í) ^ Cip(l,st) для

некоторого С > 0 и всех s,t > 0. Используя этот результат, он доказал интерполяционную теорему для положительного билинейного оператора, действующего в пространствах Кальдерона — Лозановского. А. Г. Ку-сраев, пользуясь развитым им функциональным исчислением, в работе [Kusraev A. G. Jensen type inequalities for positive bilinear operators // Positivity.—2012.—Vol. 16, № 1.—P. 131-141.] обобщил результат Малигран-ды для положительных билинейных операторов, действующих в равномерно полных векторных решетках. В этой работе был предложен новый подход, основанный на тензорном произведении векторных решеток и неравенствах: выпуклости. Однако, подобные исследования отсутствуют для обобщенных пространств Кальдерона — Лозановского.

Целью диссертационной работы является решение следующей актуальной задачи современного функционального анализа: дать общее определение обобщенного функционального исчисления в векторных решетках и с его помощью перенести двойственность Минковского на модульные решетки; применить обобщенное функциональное исчисление и метод огибающих к конструкции Кальдерона — Лозановского и исследовать интерполяцию положительных билинейных операторов в этих пространствах.

Методы исследования. В работе использованы методы теории меры, линейной алгебры, общей топологии, выпуклого анализа, теории решеточно-нормированных пространств, положительных операторов, теории двойственности. Кроме того, используются конструкции тензорного произведения, степени векторной решетки, пространства Кальдерона — Лозановского и магарамова расширения.

Научная новизна и основные результаты, выносимые на защиту. В работе получены следующие новые результаты:

(1) построение обобщенного функционального исчисления в равномерно полной векторной решетке;

(2) распространение метода огибающих на модульные векторные решетки;

(3) обобщенные неравенства Йенсена, Гёльдера и Минковского в векторных решетках;

(4) неравенство выпуклости для билинейных операторов;

(5) абстрактная конструкция Кальдерона — Лозановского в векторных решетках;

(6) обобщенное пространство Кальдерона — Лозановского и описание сопряженного пространства;

(7) интерполяция положительных билинейных операторов в обобщенных пространствах Кальдерона — Лозановского;

(8) магарамово расширение ортосимметричного билинейного оператора и ортогонально аддитивного полинома;

(9) интегральное представление ортосимметричного билинейного оператора.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Разработанные в ней методы могут быть использованы специалистами в области функциональных пространств, банаховых решеток, теории положительных операторов.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались по мере их получения на семинаре по математическому анализу в Южном математическом институте ВНЦ РАН и РСО-А; на Международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (4-8 июля 2011 г., Волгодонск, Россия); на Международной конференции «Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования» (14-20 июля 2013 г., Владикавказ, Россия); на двух конференциях «Молодые ученые в решении актуальных проблем науки» (2011, 2012 гг., Владикавказ, Россия); четыре раза на Владикавказской молодежной математической школе (2009-2012 года).

Результаты диссертации опубликованы в работах [1—6].

Вклад соавторов. В единственной совместной работе [4] автору принадлежат теоремы 3 и 4, выносимые на защиту.

2. Краткое содержание работы

В диссертационной работе используются термины и результаты из теории векторных решеток и положительных операторов. Все рассматриваемые векторные решетки считаются архимедовыми. Всюду приняты обозначения: N — множество натуральных чисел, К — поле действительных чисел.

Диссертация состоит из четырех глав. В первой главе обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, дается обзор литературы по изучаемому вопросу, приводится краткое содержание диссертации.

Во второй главе собран вспомогательный материал: факты, определения, обозначения. Первый параграф начинается с понятия равномерного пополнения векторной решетки и возможности продолжения положительного оператора на равномерное пополнение с сохранением положительности. Далее вводятся /-алгебра и определение универсального пополнения векторной решетки.

Второй параграф посвящен ортосимметричным полилинейным операторам. Здесь центральным понятием является степень векторной решетки. Пусть 2 ^ s G N и S — архимедова векторная решетка. Пара (Eso, ©s) называется s-ой степенью Е, если Е3° — векторная решетка, ©з : Е х • • • х Е —> Е3° — ортосимметричный решеточный s-морфизм, называемый каноническим полиморфизмом или каноническим s-морфиз-момом степени и для любой (архимедовой) векторной решетки F и любого ортосимметричного решеточного s-морфизма tp : Е х • • • х Е —* F существует единственный решеточный гомоморфизм S : Eso —> F такой, что S о Os = ip. Отображение l : Е —» Е3°, определяемое формулой l : х I—> х 03 ©s • • • ©j, |х| играет важную роль в дальнейшем.

В третьем параграфе вводится тензорное произведение векторных решеток и рассматриваются некоторые его свойства.

В заключительном параграфе второй главы рассмотрено одно приложение двойственности Минковского, необходимое для построения метода огибающих. Пусть N — натуральное число, Q — компакт и К — конус в M.N. Оператор Р : К —► C(Q) называют сублинейным, если Р(х + у) ^ Р(х) + Р(у) и Р(Хх) = \Р{х) для всех х,у е К и 0 < А £ R. Множество линейных операторов из в C{Q), мажорируемых оператором Р, называют опорным множеством Р и обозначают символом дР\ символически:

ЭР := {А € L(Rn,C(Q)) : (Vi е К) Ах ^ Рх}, где L(Rn,C(Q)) — пространство линейных операторов из М^ в C(Q).

Элемент из дР называют опорным оператором Р.

Двойственность Минковского — это отображение, связывающее сублинейную функцию со своим опорным множеством.

Необходимый для дальнейшего результат гласит, что при определенных условиях сублинейный оператор Р : К —> С {С} ) допускает представление

(РхЩ = вир [(Ас) (4)1 (х е К, * € <Э).

АедР

Этот факт является ключевым при доказательстве теоремы 2 (3.4.2).

Третья глава посвящена построению обобщенного функционального исчисления. В первых двух параграфах приводятся вспомогательные леммы, определение обобщенного функционального исчисления и теорема о его существовании и единственности.

Множество С С называется коническим, если А С С С для всех А ^ 0. Функция (/з : С —> Л, заданная на коническом множестве С, называется полоэюительно однородной, если <р(А4) = Аср(£) для всех А ^ 0 и < 6 С.

Пусть XI,..хдг 6 Е не равны нулю одновременно, 2(Е) — идеальный центр с равномерной топологией и Л — /-подалгебра в 2(Е). Обозначим символом А.{х\,..., хк) Л-модульную векторную подрешетку в Е, порожденную набором у := (хх,..., хдг). Положим по определению

А[у] := Л[х1,... :=

|(ы(жг),..., ш{хк)) : 0 ф ш е Нош(Л(ж1,...,

где Нот(Л(жх,..., х^)) — множество всех М-значных решеточных гомоморфизмов на Л(х1 Пусть коническое множество С С содержит К. Символом Н(С,К,А) будем обозначать векторную решетку, состоящую из всех положительно однородных функций : С —> Л, непрерывных на К.

Теорема 1 (3.2.4). Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, А — /-подалгебра в 2{Е), х\,...,х^ € Е. Предположим, что К С содержит Л[хх,..., ждг]. Тогда существует единственный А-модульныйрешеточный гомоморфизм у : (р н-» ср(-, х\,..., хм) из К(С, К, А) в Е такой, что у(бЙг) = Аг). Более того, $(Н(С,К,А)) содержит-

ся в и-равномерпом замыкании А-модульной подрешетки, порожденной xi,..., хн, т. е. i{H{C, К, А)) С Л(а'1,..., ждг), где замыкание вычисляется в Б равномерно относительно u = |a;i| +... + |:гдг|. Если А замкнута по норме в Z(E), тot(H(C, К, А)) = А(х\, ...,xn).

В третьем параграфе приведены примеры обобщенного функционального исчисления в конкретных функциональных пространствах.

В четвертом параграфе третьей главы показано, что обобщенное функциональное исчисление позволяет перенести двойственность Мин-ковского па равномерно полные векторные решетки, следовательно, в них работает метод огибающих.

Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, xi,...,xif € Е, А — /-подалгебра в Z(E), К — замкнутый конус в M.N, содержащий A[xi,... ,жлг]. Обозначим через Н\у(К,А) (На(К, Л)) множество всех сублинейных (суперлинейных) непрерывных операторов из К в Л, L(M.n, А) — пространство линейных операторов из в Л. Оператор <р : К —► Л называют сублинейным, если ip(u + v) <р(и) + <p(v) и <р(Хи) = \ip(u) для всех u,v £ К и Q ^ \ £ М.; ф : К А суперлинеен, если —ф сублинеен.

Пусть (к, •) обозначает линейный оператор 11—> (тг, t) = Y2iLi ¿¿^г из RN в Л, где t = (t\,... ,tx) £ , -к = (7Ti..., 7Гдг) £ AN. Для сублинейного оператора ip : К —» Л (суперлинейного оператора ф : К —i> Л) положим по определению

dip := {тг € AN : (тг,t) ^ <p(t) (t £ К)}, Эф := {тг е : {n,t) > ip(t) (t £ К)}.

Теорема 2 (3.4.2). Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, xi,..., xN £ Е, <р £ TC\j(K, Л) и ф £ Л). Тогда справедливы равенства

¥»(•> xi,..., xN) = sup I TTiXi : (7Ti..., ttn) € dip L

^ ¿=i J

ф(-,х 1,...,XN) = inf < "Y^TTiXi : (7Г1..., 7Глг) € дф L i=1 >

Более того, ip(-,x i,...,xm) (ip(-,xi,... ,хдг)) есть равномерный предел возрастающей (убывающей) сети, каждый член которой есть супремум (инфимум) конечного набора элементов вида ^íXí, где (tti ..., 7глг) € dip ((7Ti..., 7Глг) едф).

В пятом параграфе третьей главы приведены некоторые классические неравенства выпуклости.

Обозначим через Ну {К, К) (Нх{К,А)) множество всех непрерывных возрастающих относительно R+ сублинейных (суперлинейных) операторов из if в Л и К—= — К. Как обычно, положительные операторы будем обозначать символом L(RN, Л)+.

Пусть Е, F — равномерно полные векторные решетки и Z(E), Z(F) — идеальные центры Е и F соответственно, Л, Л' — изоморфные /подалгебры в Z(E) и Z(F) соответственно. Оператор / :£J-»FU {±00} называется возрастающим, если /(ссг) ^ f(xi) Для всех х\, х2 € Е, Х2 ^ х\. Скажем, что сублинейный (суперлинейный) оператор f : Е —> F U {±00} A-сублинеен {К-суперлинеен), если f(irx) = 7г(/х) для всех О € А я х е Е.

Теорема 3 (3.5.7) (Неравенство Йенсена). Пусть Е, F — равномерно полные векторные решетки, / : Е —» F U {+00} — возрастающий A-сублинейный оператор, g : Е —> F U {—оо} — возрастающий А-суперлннейный оператор. Предположим, что € TíY (К, А), ■ф е НХ(К,А), Atel,...,!*] С К, A[f(Xl),...,f(xN)} с К и A[g(a;i)...,5(a;w)] С К. Если xi,...xN € doni(/) ndom(g), то ip(-, xi,...,xN) € dorn (g), xi,..., xN) £ dorn (/) и выполняются неравенства

/(■ф(-,х1,...,хм)) s$ ^(-,f{xi),...,f(xN)), g(ip(-,xx,...,xN)) ^ ip(-,g(xi),...,g(xN)). Возьмем t = (ti,...,tu) £ R+ и конечный набор положительных элементов 7Г1..., 7Гдг 6 А. Отождествим А с пространством непрерывных функций C(Q) на некотором компакте Q и определим функцию П{!г ¿Г* € C(Q) по формуле (п£=1 *,■')(«) ~ П^Г^ (в € Q). Функцию П^Г мы будем отождествлять с соответствующим положительным элементом из А+. Тогда для каждого фиксированного набора (7Г1..., 7r¡v) £ А+ мы

можем определить оператор ip : М+ —» Л+ по формуле ijj(t) := ITili tV (t € R+)• Аналогично можно определить ip : R^ —> Л+ по формуле := {J2iLi [¿гГ) Ж■ Из неравенства Йенсена без труда выводятся следующие два следствия:

Неравенство Гёльдера (3.5.8). Пусть Е, F — равномерно полные векторные решетки, / : £ -» FiJ {+00} — возрастающий А-сублипейный оператор и dorn (/) = Е+. Тогда для любых xi,..., ждг € Ей 0 ^ Tti,..., 7Гдг € Л, 7i"i + ... + 7r/v = I выполняется неравенство

f(fiter)

Неравенство Минковского (3.5.9). Пусть Е, F — равномерно полные векторные решетки, f : Е F U {+00} — возрастающий А-сублинейный оператор и dorn (/) = Е+. Предположим, что существуют число 0<<5<1и7гбЛ такие, что 51 < 7г < 7. Тогда для любых xi,... 6 Е выполняется неравенство

/((¿И'Л^Е/М'Г-

¿=1 ¿=1

Обратное неравенство имеет место, если / : Е —> F U {-оо} — Л-суперлинеен, dorn (/) = -Е+ и л ^ I.

В четвертой главе приведены некоторые приложения обобщенного функционального исчисления. В первом параграфе установлено неравенство выпуклости для билинейного оператора.

Пусть Е, F — векторные решетки, Л^Лг — /-подалгебры в Z(E) и 2(F) соответственно. Символом Ai ® Лг будем обозначать тензорное произведение векторных решеток Ai и Лг-

Тройку К := (Ко, Ki, К2) замкнутых конусов в M.N называется мультипликативной, если для всех s := (si,..., sjv) 6 Ki и t (ti..., tn) S K2 выполняется st := (siti,..., s^tx) € Kq. Пусть Ai, Л2 — /-подалгебры в Z(E) и Z(F) соответственно, и Л := Ai ® Лг- Тройка функций (<Ль Vit V2) из Ki в Ai (i := 0,1,2) называется субмультипликативной (супермультипликативной) на К, если выполняется неравенство </2i(s) ® ip2(t) ^ ipo(st) (<Pi(s) ® if2(t) ^ <Po(st)) для всех s £ Ki, t е К2.

Пусть Е, Е и (2 — равномерно полные векторные решетки, являющиеся модулями соответственно над /-алгебрами Лх € 2{Е), Л2 € и Л0 = ЛхёЛг £ 2(С). Билинейный оператор Ь : £ х Р С называется Ло-билинейным, если выполняется равенство Ь{ттх, ру) = (тг 0 р)(Ь(х,у)) для всех 7Г £ Ль р £ Л2, а; € Е и у £ Р.

Теорема 4 (4.1.10). Пусть Е, Р и С — равномерно полные векторные решетки, х1,...,хм € Е и ух, ■ ■■ ,ум € Л1 С 2(Е), Л2 С -Н(^), Ло С — /-подалгебры. Предположим, что Л0 — Лх ® Л2, Ь :

ЕхР О — положительный Ао-билинейный оператор, </зг, ^ 6 И.(К{) Л^) (г = 1,2), е Нч{Ка,А0), ф0 € НЛ{К0,А0) и тройки (<р0,(р1,<р2), и (чро, "01, ) соответственно субмультипликативна и супермультипликативна на К = {К0,К\,К2). Если Лх[хх,... ,хдг] с К\, Л2[ух,... ,уы] С К2 и Л[6(хь ух),..., Ь(хм, ум)] С К0, то справедливы неравенства

Ь{щ {■, хх,..., хм), <р2(-, ух,..., ум,)) ^ <Р о(-, Ь(хг, ух),..., Ь(хм, ум)),

Ь{фх(-, Ц,.. ■, хм), 2/1, • • •, г/лл,)) < Фо{-, Ъ(хи ух),..., Ь(хлг, Улг))-

Во втором параграфе четвертой главы приведена абстрактная конструкция Кальдерона — Лозановского в терминах суперлинейного оператора и описание его сопряженного по норме пространства.

Пусть X — банахова решетка, У — равномерно полная векторная решетка. Оператор Ф : Х+ —> У+ называют суперлинейным, если выполняются условия Ф(х + у) > Ф(х) + Ф(у) для всех х,у £ Х+ и Ф(Ах) = АФ(х) для всех х € Х+ иАёК+. Оператор Ф называют разложимым, если для любых ух,2/2 £ У+, удовлетворяющих неравенству ух + у2 ^ Ф(ж), существуют Хх, х2 е Х+ такие, что х = хх + х2 и Ф(хг) ^ Уi (г = 1, 2).

Обозначим через Ф(Х) — порядковый идеал в У, порожденный множеством Ф(Х+) = {Ф(х) : х е Х+}. Супераддитивность оператора влечет Ф(Х) = и*6х+[-$(*)> ^К1)] или' что т0 же самое, ф(х) = {у 6 У : (Зх € Х+) |у| < Ф(а;)}- Введем на Ф(Х) норму || • ||ф по формуле \\г\\Ф = Ы {||х|| : х € Х+, Ф(х) > \г\} {г € Ф(Х)). Тогда пара Z = (Ф(Х), || • ||) является банаховой решеткой.

Пусть Ф обладает свойством разложимости. Каждому элементу х* поставим в соответствие функционал Ф*(х*) : —» М+, действующий по

правилу

(г,Ф'(х')):= т{ {(г,х*) : х € Х+, Ф(х) > г} (г е Я+).

Обозначим через Ф*(Х*) порядковый идеал в 2*, порожденный множеством {Ф*(х*) : х* е Введем норму на Ф*(ЛГ*) по формуле ||г*||Ф. := н*{||®*|| : г* 6 Х%, Ф*(х*) > |г*|}.

Теорема 5 (4.2.10). Справедлива формула Ф(Х)* = Ф*(Х*), причем равенство означает совпадение банаховых решеток Ф(Х)* и Ф*(Х*) как по составу элементов, так и по норме.

В третьем параграфе вводятся обобщенные пространства Кальдеро-на — Лозановского и устанавливается теорема об интерполяции положительных билинейных операторов в этих пространствах.

Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, Л — /-подалгебра в 2(Е) и Ео, Е\ — порядковые идеалы в Е, являющиеся банаховыми решетками и модулями над Л. Возьмем -ф € Л) и обозначим через Еа, Е\) порядковый идеал в Е, порожденный множеством {^(•,я0,жх) : 0 ^ хк е Ек, к = 0,1}. Для каждого х е -ф(-,Е0,Е\) положим по определению

ЦжЦ^-.Во,^) := и^ {||х0|| V ||а:1|| : \х\ ^ ф(-,х0,хг), 0 ^ хк € Ек, к = 0,1}.

Тогда пара {ф(-,Ео,Е\), || • ¡¡^(^Ес^е^) является банаховой решеткой, называемой обобщенным пространством Кальдерона — Лозановского.

Теорема 6 (4.3.9). Пусть (Е0, Е{), (Е0, и (С0, б^) - пары банаховых решеток, являющиеся порядковыми идеалами в равномерно полных векторных решетках ^иб соответственно, Л1 С 2(Е), Л2 С 2(Р), Ло С 2 (С) — /-подалгебры. Предположим, что Ло Л1 ® Л2, 6 : Е х Р —» С? — положительный Ло -билинейный оператор такой, что его сужения Ьо : Ео х Р0 —> Со и Ь\ : Е\ х Е\ —> ограничены по норме. Если тройка функций грг е Нл(М+,Лг) (г = 0,1,2) супермультипликативна на Ж^., то сужение

Ь : ФЛ-, Е0, Ех) х ф2(-, Я) -» ф0(-, С0, Сх) ограничено по норме.

В четвертом параграфе приведена конструкция магарамово расширения для ортосимметричных билинейных операторов.

Говорят, что билинейный оператор В : Е х F —» G сохраняет интервалы или обладает свойством Магарам, если для любых х, у € Е+ и 0 ^ g < В(х, у) S G+ существуют 0<а<1и0 ^ v 4 у такие, что g = В (и, v), или, короче, В([0, х] х [0, у}) = [0, В(х, у)\ для всех х,у S Е+. Положительный порядково непрерывный билинейный оператор, обладающий свойством Магарам, называется билинейным оператором Магарам.

Положительный билинейный оператор ф из Е х Е в G называется абсолютно непрерывным относительно В, если В(х,у) G ф(х,у)А-± для всех 0 < х, у G Е. Положительный оператор В : Е х Е —» G называют существенно положительным, если Л(в ~ {х £ Е : |В|(|а;|, |а;|) = 0} = {0}.

Теорема 7 (4.4.6). Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, a F — произвольное К-пространство. Для любого существенно положительного ортосимметричного билинейного оператора В £ BL~(E;F) существуют К-пространство Е, инъективный решеточный гомоморфизм j из Е в Е и положительный билинейный оператор Магарам В G BL~(E; F), удовлетворяющие следующим условиям:

(1) В(х,у) = B(jx,jy) (avy G Е);

(2) порядковый идеал в Е, порожденный множеством j(E), совпадает с Е;

(3) существует изоморфизм f-алгебр h : Orth(F) —» Orth(.E') такой, что

7гВ(х, у) = B(h{n)jx, h(ir)jy) = B(h{-x)jx,jy) = B(jx, h(ir)jy) (x, у £ E, тс e Ortli(F)+);

(4) E плотна в Ев том смысле, что для любых z е Е и 0 < £ G М существуют ze € Е, разбиение (7rf) С ф(^) проектора [B{z,z)\ G ф(-Р) и семейство (х^) С Е такие, что

B(ze, |ге|) = О-^ТГ/: В (jxz, Ь'ж«|)> \B(ze, |ze|) - B(z, |*|)| < sB{\z\, \z\).

Используя этот результат, а также теоремы о линеаризации ортосим-метричных билинейных операторов и интегральном представлении линейных операторов, получены также интегральное представление для ор-тосимметричных билинейных операторов.

В заключительном пятом параграфе четвертой главы установлен вариант теоремы 7 для положительных ортогонально аддитивных полиномов.

3. Аннотация

Диссертация посвящена развитию функционального исчисления векторных решетках. В работе используются методы теории меры, линейной алгебры, общей топологии, выпуклого анализа, теории решеточно-нормированных пространств, положительных операторов, теории двойственности.

В диссертационной работе получены: определение обобщенного функционального исчисления и теорема об описании конечно-порожденных решеточных подмодулей; теорема о распространении метода огибающих на модульные векторные решетки; обобщенные неравенства Йенсена, Гёльдера и Минковского в векторных решетках; неравенство выпуклости для билинейных операторов; абстрактная конструкция Кальдерона — Лозановского в векторных решетках; теоремы об обобщенных пространствах Кальдерона — Лозановского и описании сопряженного пространства; теорема об интерполяции положительных билинейных операторов в обобщенных пространств Кальдерона — Лозановского; теоремы о мага-рамовом расширении ортосимметричного билинейного оператора и ортогонально аддитивного полинома; теорема об интегральном представлении ортосимметричного билинейного оператора.

Диссертация носит теоретический характер, полученные в ней результаты могут быть использованы специалистами в области функциональных пространств, банаховых решеток, теории положительных операторов.

4. Публикации по теме диссертации

1. Тасоев Б. Б. Замечания о конструкции Кальдерона — Лозанов-ского // Труды междунар. конф. молодых ученых «Математический анализ и математическое моделирование».—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011.-С. 76-78.

2. Тасоев Б. Б. Конструкция Кальдерона — Лозановского // Исследования по мат. анализу и диф. уравнениям.—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011—С. 164-170.—(Итоги науки. Юг России. Мат. форум. Т. 5).

3. Тасоев Б. Б. Магарамово расширение положительного ортосиммет-ричного билинейного оператора // Владикавк. мат. журн,—2011.— Т. 13, № 3—С. 64-69.

4. Кусраева 3. А., Тасоев Б. Б. О полиномах Магарам // Владикавк. мат. журн.—2012.—Т. 14, № 4.-С. 45-51.

5. Тасоев Б. Б. Обобщенное функциональное исчисление в векторных решетках // Владикавк. мат. журн.—2013.—Т. 15, № 3,—С. 77-88.

6. Тасоев Б. Б. Обобщенное функциональное исчисление и пространства Кальдерона — Лозановского.—Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2013.-24 е.—(Препринт № 1).

Тасоев Батрадз Вотазович

ОБОБЩЕННОЕ ФУНКЦИОНАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ВЕКТОРНЫХ РЕШЕТКАХ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 22.10.2013. Усл. п. л. 1,05 Формат бумаги 60х841/1е- Тираж 130 экз.

Отпечатано в НПО СОИГСИ им. В. И. Абаева 362040, г. Владикавказ, пр. Мира, 10.

Текст научной работы диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Тасоев, Батрадз Ботазович, Ростов-на-Дону

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НА УК

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ЮЖНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ВЛАДИКАВКАЗСКОГО НАУЧНОГО ЦЕНТРА РАН и РСО-А

На правах рукописи

Тасоев Батрадз Ботазович

Обобщенное функциональное исчисление в векторных решетках

01.01.01 — вещественный, комплексный и функциональный анализ

<о

СО о С\|

о с\1

см со

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: д. ф.-м.н., проф. А. Г. Кусраев

Ростов-на-Дону, 2013

Оглавление

Глава 1. Введение 3

1.1. Обзор литературы........................................3

1.2. Актуальность темы исследования........................8

1.3. Краткое содержание работы..............................8

1.4. Основные положения, выносимые на защиту..........20

1.5. Методы исследования....................................20

1.6. Апробация работы........................................21

Глава 2. Предварительные сведения 22

2.1. Вспомогательные факты..................................22

2.2. Ортосимметричные полилинейные операторы..........28

2.3. Фремлиновское тензорное произведение ................34

2.4. Об одном приложении двойственности Минковского . 38

Глава 3. Обобщенное функциональное исчисление 41

3.1. Определение и вспомогательные леммы ................41

3.2. Обобщенное функциональное исчисление ..............48

3.3. Примеры....................................................53

3.4. Метод огибающих ........................................63

3.5. Неравенства выпуклости..................................67

Глава 4. Приложения 73

4.1. Неравенства выпуклости для билинейных операторов 73

4.2. Конструкция Кальдерона-Лозановского................82

4.3. Интерполяция билинейных операторов

в пространствах Кальдерона — Лозановского .... 89

4.4. Магарамово расширение билинейного оператора ... 94

4.5. Магарамово расширение полинома......................101

Литература 108

Глава 1. Введение

1.1. Обзор литературы

Теория векторных решеток вместе с приложениями к различным разделам математики имеет более чем восьмидесятилетнюю историю и хорошо представлена в монографической литературе, см., например, [3, б, 8, 10, 37, 59, 60, 61, 67, 75, 76, 80, 81]. Основоположниками этой теории являются Г. Биркгоф, Л. В. Канторович, Ф. Рисс и X. Фрсйденталь.

Одним из важных методов исследования является функциональное исчисление. Понятие функции от элементов векторной решетки, введенное Л. В. Канторовичем, играет важную роль в теории полуупорядоченных пространств и ее приложениях (см. [10, 22, 23, 25, 38, 43, 44, 51, 57, 61, 78]).

В 1950 году в монографии Л. В. Канторовича, Б. 3. Вулиха и А. Г. Пинскера [8] было показано, что в ^-пространстве с единицей естественным образом определяются непрерывные функции (/? : К2 —» К от ограниченных элементов этого пространства. В 1973 году Г. Я. Лозановский в своей работе [26] обобщил понятие функции от элементов векторной решетки. В частности, он показал, что во всяком расширенном ^-пространстве естественным образом определяются бэровские функции от элементов этого пространства. Также в этой статье был указан способ конструкции непрерывных положительно

однородных функций от элементов равномерно полной векторной решетки. Изучение таких функций называем функциональным исчислением. В монографии Дж. Линденштрауса и Л. Цафрири [61], а также в работе Дж. Л. Кривина [21], приведены многочисленные применения функционального исчисления в геометрии банаховых решеток и теории положительных операторов. Различные аспекты рассматривались в работах А. В. Бухвалова [4], Б. Море [63], Н. Нильсона и Дж. Шульги [69], Л. П. Яновского [36] и др. Отметим, что во всех работах существенную роль играли реализационные теоремы векторных решеток.

Новый подход к определению функционального исчисления был представлен в 1991 году в статье Г. Бускеса В., де Пахте и А. ван Роя [42], в котором было предложено абстрактное, без привлечения реализационых теорем, определение. Эти функции предполагались всюду определенными в В то же время в ряде работ [4, 23, 25] возникла необходимость определения функций от элементов векторной решетки, определенные на конических подмножествах конечномерного пространства. В связи с этим, в 2009 году А. Г. Кусраевым в работе [58] было показано, что естественным образом определяется положительно однородная функция от элементов равномерно полной векторной решетки, если эта функция определена на коническом множестве конечномерного пространства и непрерывна на некотором коническом подмножестве последнего. Изучение таких функций называем расширенным функциональным исчислением.

В 1991 году вышла работа Р. Хейдона, И. Рено и М. Леви [49], в котором вводится понятие обобщенного функционального исчисления, с помощью которого осуществляются р-выпуклизация и

р-вогнутизации банаховых решеток с «переменным» показателем. Аналоги этих процедур в случае скалярного р описаны в [60, стр. 53 и 54]. Отметим, что пространства суммируемых функций с переменным показателем р € Ь00((л) (см., например, [33]) является примером «переменной» р-выпуклизации пространства Ь^ц).

Тем не менее, определение обобщенного функционального исчисления, введенное в [49, теорема 3.12], фактически функциональным исчислением не является, так как оно определено не на пространстве функций, а на тензорном произведении идеального центра и пространства непрерывных положительно однородных функций на единичной сфере конечномерного пространства. К тому же, рассматриваемое там тензорное произведение изоморфно пространству всюду определенных на конечномерном пространстве функций со значениями в идеальном центре, что не охватывает описанный в [58] случай. Итак, возникает задача, дать общее определение обобщенного функционального исчисления в терминах векторных решеток, частными случаями которого были бы и расширенное, и обобщенное функциональное исчисление.

Одним из основных фактов выпуклого анализа является теорема о том, что выпуклая (сублинейная) полунепрерывная снизу функция, определенная на локально выпуклом пространстве со значениями в полурасширенной вещественной прямой является верхней огибающей множества своих аффинных (линейных) минорант ([73]). В случае операторов справедливость этого утверждения связано с порядковой полнотой пространства образов (см. [13]). Множество линейных минорант сублинейного оператора называем его опорным множеством. Под двойственностью Минковского понима-

ем отображение, сопоставляющее сублинейному оператору его опорное множество ([13, 21]). В работе [53] было показано, что расширенное функциональное исчисление позволяет перенести двойственность Минковского на векторные решетки. На этой основе был развит метод огибающих и единообразный подход к доказательству неравенств выпуклости. В связи с этим, возникает задача: перенести двойственность Минковского на модульные решетки с помощью обобщенного функционального исчисления и на этой основе установить неравенства выпуклости.

Важным применением функционального исчисления является преобразование одних банаховых функциональных пространств в другие. Кальдерон в своей работе [44] по заданным банаховым идеальным пространствам Хо и Х\ на (П, Е, ¡л) построил идеальное банахово пространство на том же измеримом пространстве. Лозановский обобщил эту конструкцию на произвольные вогнутые непрерывные функции <р : —> Е, удовлетворяющие определенным условиям [25]. Эти конструкции получили название пространства Кальдерона — Лозановского. Их обозначают символом <р(Хо, Хх) и являются обобщением пространств Орлича. Дальнейшее развитие этих пространств получили в статье И. Рено [72], где была предложена конструкция Кальдерона — Лозановского с «переменным показателем», называемая обобщенным пространством Кальдерона — Лозановского, частным случаем которых служат пространства Муселяка — Орлича [68]. На основе этой конструкции была доказана теорема о том, что сопряженное по норме пространство к (р(Хо,Х\) является обобщенным пространством Кальдерона — Лозановского, реализуемым па другом измеримом множестве. Бы-

ло бы желательно распространить конструкцию обобщенного пространства Кальдерона — Лозановского на абстрактные банаховы решетки. Но для этого необходимо упомянутое выше общее функциональное исчисление.

Большое число исследований посвящено изучению свойств пространств типа (p(Xo,Xi) и операторов в них (С. В. Асташкин [1], Е. И. Бережной [2], Г. Я. Лозановский [24], П. Форалевски и X. Худзик [48], А. Каминска Л., Малигранда и Л. Е. Персон [50], Н. Кругляк и Л. Малигранда [52], Л. Малигранда [64, 65, 66], В. А. Шестаков [77] и др.). Так, например, Л. Малигранда в своей работе [64] показал, что для любого положительного билинейного оператора Т из Е х F —> L°(Q,S,//), где Е и F — идеальные пространства на и (0,2,^2, ^2) соответственно, выполняется неравенство

T((po(xo,xi),(pi{yo,yi)) < <р(ТОо|, \yo\),T(\xi\, |yi|))

для всех xq, х\ € Е и уо, у\ G F при условии, что </?о, fi — суперлинейный непрерывные функции на R+ и <ро(1, s)</?i(l, t) ^ C(p(l,st) для некоторого С > 0 и всех s,t > 0. Используя этот результат, он доказал интерполяционную теорему для положительного билинейного оператора, действующего в пространствах Кальдерона — Лозановского. Аналогичный интерполяционный результат ранее был получен C.B. Асташкиным [1] при некоторых дополнительных условиях. А. Г. Кусраев, пользуясь развитым им функциональным исчислением, в работе [57] обобщил результат Л. Малигранды для положительных билинейных операторов, действующих в равномерно полных векторных решетках. В этой работе был предложен новый подход, основанный на тензорном произведении векторных решеток и неравенства выпуклости. Однако, подобных исследований нет для

обобщенных пространств Кальдерона — Лозановского. С учетом вышесказанного, возникает задача: применить обобщенное функциональное исчисление и метод огибающих к конструкции Кальдерона — Лозановского и исследовать интерполяцию положительных билинейных операторов в этих пространствах.

1.2. Актуальность темы исследования

Идеи функционального исчисления, двойственности Минковского и пространств Кальдерона — Лозановского были источником многих публикаций. Эти идеи развивались и их взаимодействие породило новые исследования в теории функциональных пространств и положительных операторов. Изучение функций от элементов векторной решетки со значениями в идеальном центре этой решетки в основном обусловлено исследованиями в области идеальных банаховых пространств измеримых функций. Однако, не смотря на различные приложения обобщенного функционального исчисления, нет общего унифицированного подхода к его определению. Также не рассмотрена связь с двойственностью Минковского, исследование которой дало бы дополнительные возможности в приложениях.

1.3. Краткое содержание работы

держание диссертации.

Второй параграф второй главы посвящен ортосимметричным полилинейным операторам. Здесь центральным понятием является степень векторной решетки. Пусть — архимедова

векторная решетка. Пара (Е150, ©5) называется в-ой степенью Е, если Ево — векторная решетка, О8 : Е х ■ ■ ■ х Е ^ Ево — орто-симметричный решеточный й-морфизм, называемый каноническим полиморфизмом или каноническим в-морфизмомом степени и для любой (архимедовой) векторной решетки Е и любого ортосиммет-ричного решеточного й-морфизма (р : Е х • • • х Е —» Е существует единственный решеточный гомоморфизм 5 : Е8<э —> Е такой, что Б о ©4. = {р. Отображение ь : Е —» определяемое формулой и : х I—» х ©5 |х-| 05 • • • ©5 играет важную роль в дальнейшем.

В третьем параграфе вводится тензорное произведение векторных решеток, называемое фремлиновским тензорным произведением, и рассматриваются некоторые его свойства.

В заключительном параграфе второй главы рассмотрено одно приложение двойственности Минковского, необходимое для построения метода огибающих. В заключительном параграфе второй главы рассмотрено одно приложение двойственности Минковского, необходимое для построения метода огибающих. Пусть N — натуральное число, ф — компакт и К ~ конус в Е]У. Оператор Р : К —> С{С}) называют сублинейным, если Р(х + у) ^ Р(х) + Р(у) и Р(Хх) = АР(х) для всех х,у £ К иО^АеМ. Множество линейных операторов из М"^ в С(С^), мажорируемых оператором Р, называют опорным множеством Р и обозначают символом дР; символически:

дР := {А £ С(<2)) : (Уж £ К) Ах < Рх},

где Ь(ШМ,С(С2)) — пространство линейных операторов из в С (О). Элемент из дР называют опорным оператором Р.

Необходимый для дальнейшего результат гласит, что при определенных условиях сублинейный оператор Р : К —> С((5) допускает представление

(Рх){г) = эир [(Ае)СО) {хек, ь е О).

АчдР

Этот факт является ключевым при доказательстве теоремы 3.4.2.

Третья глава посвящена обобщенному функциональному исчислению. В первых двух параграфах приводятся вспомогательные леммы, определение обобщенного функционального исчисления и

теорема о его существовании.

Множество С С называется коническим, если АС С С для всех А ^ 0. Функция <р : С —> Л, заданная на коническом множестве С, называется положительно однородной, если </?(А£) = А<£>(£) для всех А ^ 0 и £ 6 С.

Пусть 6 не равны нулю одновременно, —

идеальный центр с равномерной топологией и Л — /-подалгебра в Обозначим символом Л(ж1,... ,Ждг) Л-модульную векторную подрешетку в Е, порожденную набором у := (жх,. . . ,хдг). Положим по определению

А[у] := Л[жь ... ,хм] :=

{(^(хх),..., ш(хм)) : 0 Ф и € Нош(Л(ж1,..., жлг))},

где Нот(Л(а;1,..., х'дг)) — множество всех М-значных решеточных гомоморфизмов на А(х-1,.. ., х^). Пусть коническое множество С С К^ содержит К. Символом Ж [С, К, Л) будем обозначать векторную решетку, состоящую из всех положительно однородных функций (р : С —> Л, непрерывных на К.

Теорема 1.3.1. Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, Л — /-подалгебра в Х\,..., х^ £ Е. Предпо-

ложим, что К С содержит Л[х1,..., х^}. Тогда существует единственный А-модульный решеточный гомоморфизм у" : (р ь-» </?(•, Х'х,..., хдг) из Ж(С,К,А) в Е такой, что £(сИ{) = х^ (1 ^ i ^ ТУ). Более того, $(Ж(С, К, Л)) содержится в и-равномерном замыкании А-модульной подрешетки, порожденной Х\,. . . , х^, т.е. $(Ж(С, К, Л)) С А(х1,. . ., Ждг), где замыкание вычисляется в Е равномерно относительно и = |х1| + ... + |хдг|. Если А замкнута по норме

в 2Г(Е), ТО К, Л)) = Л<жь ...,xN).

В третьем параграфе приведены примеры обобщенного функционального исчисления в конкретных функциональных пространствах. Также показано, что если Л = {XI : Л Е R} С где I — тождественный оператор на равномерно полной векторной решетке Е, то обобщенное функциональное исчисление в смысле определения 3.1.5 совпадает с расширенным функциональным исчислением [53], а в случае когда Л = ^f(E) — с обобщенным функциональным исчислением в смысле определения [49].

В четвертом параграфе третьей главы показано, что обобщенное функциональное исчисление позволяет перенести двойственность Минковского на равномерно полные векторные решетки, следовательно, в них работает метод огибающих.

Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, х\,... ,х'дг Е Е, А — /-подалгебра в 2?{Е), К — замкнутый конус в R^, содержащий А[х\,... ,xn]. Обозначим через J%/(K,A) (Ж^(К,А)) множество всех сублинейных (суперлинейных) непрерывных операторов из К в Л, L{R^,A) пространство линейных операторов из R^ в Л. Оператор ip : К —> Л называют сублинейным, если <р{и + v) ^ <р(и) + ip(v) и (р(Хи) = Хср(и) для всех и, v Е К и 0 < Л Е R; ф : К —» Л суперлинеен, если —ф сублинеен.

Пусть (7г, •) обозначает линейный оператор t н-> (п, t) = JZiLi из R^ в Л, где t = (¿1,. . ., tN) Е R^, 7Г = (ni . .. , nN) Е Л". Для сублинейного оператора у : К —> Л (суперлинейного оператора ф : К А) положим по определению

dtp := {тг Е Л^ : (тг, t> < (p(t) (t Е К)}, дф := {тг Е Л^ : <тг, i> ^ <p(t) (i Е К)}.

Теорема 1.3.2. Пусть Е — равномерно полная векторная решетка, Х\,..., а?дг € Е, <р € Жу(К, А) и £ А). Тогда справедливы равенства

<p(-,xi, . . . , xn) = SUp | ^ 7tixi : (7Ti . . . , 7Гдг) G

г=1 n

гр(-,хl,..., хдг) = inf | : (7Ti..., 7Ttv) 6

г=1

Более того, (/?(-, :ei,. .. ,xn) {ф{-, x\,..., Xn)) есть равномерный предел возрастающей (убывающей) сети, каждый член которой есть супр