Структурные и теоретико-модельные аспекты теории решеточно упорядоченных групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Курылева Ольга Александровна

СТРУКТУРНЫЕ И ТЕОРЕТИКО-МОДЕЛЬНЫЕ АСПЕКТЫ ТЕОРИИ РЕШЕТОЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ ГРУПП

01 01 06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск - 2008

0031717

003171712

Работа выполнена на кафедре алгебры и математической логики Алтайского государственного университета Научные руководители доктор физ -мат наук, профессор Медведев Николай Яковлевич,

доктор физ -мат наук, профессор Будкин Александр Иванович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических паук,

профессор

Копытов Валерий Матвеевич

доктор физико-математических наук, профессор

Пономарев Константин Николаевич

Ведущая организация

Иркутский i осударственный педагогический университет

Защита диссертации состоится 26 06 2008 г в 15-30 час на заседании диссертационного совета Д 003 015 02 при Институте математики им С Л Соболева СО РАН по адресу 630090, Новосибирск, пр Акад Коптюга, 4

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им С Л Соболева СО РАН

Автореферат разослан 16 05 2008 i

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук

Ряскин

Общая характеристика работы

Постановка задачи и актуальность темы диссертации.

Теория решеточно упорядоченных групп (/-групп) - одно из направлений современной алгебры За последние 30 лет произошел расцвет в развитии теории /-групп Наиболее полно теория /-групп изложена в монографиях В М Копытова [29], Г Биркгофа [7], В М Копытова, Н Я Медведева [21], J1 Фукса [37], М Р Дарнела [10] Современное состояние теории I-групп, ее перспективы и проблематика отражены в работе В М Копытова, Н Я Медведева [31]

Связи теории решеточно упорядоченных групп обнаружены со многими другими разделами математики, такими как логика, теория моделей, геометрия, функциональный анализ, теория групп, теория МV-алгебр и псевдо-МV-алгебр

Все больше научных работ посвящено исследованиям на стыке теории решеточно упорядоченных групп с другими дисциплинами

Диссертация посвящена исследованию элементарных теорий решеток идеалов свободных абелевых /-групп и свободных векторных решеток, доказательству неразрешимости этих теорий методом относительно элементарной определимости, изучению дискриминирующих /-групп, связи дискриминируемое™ и универсальной теории /-групп, решетки квазимногообразий псевдо-МV-алгебр

Основные результаты диссертации.

1 Построена интерпретация модели N целых положительных чисел со сложением и умножением в решетке идеалов СЛп {п = 2,3) свободной абелевой /-группы с п порождающими (Теорема 14 5 а) (результат получен совместно с Н Я Медведевым)

2 Построена интерпретация модели N целых

з

положительных чисел со сложением и умножением в решетке идеалов СТп (п > 2) свободной векторной решетки с V порождающими (Теорема 14 5 Ь) (результат для п = 3 доказан Н Я Медведевым)

3 Указан критерий дискриминируемости ¿-групп (Теорема 2 1 1)

4 Установлена связь между дискриминируемостью и универсальной теорией /-групп

5 Доказана дискриминируемость свободных абелевых /групп ранга п > 2 (Теорема 2 4 2)

6 Построено вложение решетки квазимногообразий ¿-групп в решетку квазимногообразий псевдо-Д/К-алгебр

Новизна и научная значимость работы. Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях решеток идеалов /-групп, универсальных теорий /-групп и квазимногообразий псевдо-МУ-алгебр

Методы исследования.

Методы, используемые автором для доказательства результатов опираются на абстрактную теорию групп, универсальную алгебру теорию моделей

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на ХЫП международной конференции "Студент и научно-технический прогресс", (г Новосибирск, 2005 г), Восьмой региональной конференции по математике "МАК - 2005"(Барнаул, 2005 г), Шестой международной конференции "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры"(Эрлагол, 2005 г), Международной конференции "Мальцевские чтения", (г Новосибирск, 2005 г), Девятой региональной конференции по математике "МАК - 2006"(Барнаул, 2006 г), Международной

конференции "Мальцевские чтения", (г Новосибирск, 2006 г), семинаре "Алгебра и логика"ИМ СО РАН (г Новосибирск, 2007 г), Седьмой международной конференции "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры "(Эрлагол, 2007 г)

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в работах автора [41] - [43], и совместно с Н Я Медведевым в работе [46]

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит 63 страниц, состоит из введения, трех глав, содержащих 11 парграфов, и библиографии Библиография включает 46 наименований

Содержание диссертации

Напомним ряд определений и вспомогательных результатов, необходимых в дальнейшем

Решеточно упорядоченной группой (1-группой) называется алгебраическая система сигнатуры I =< ,-1,е V, А >, совмещающая в себе структуру группы и решетки, связанные естественными соотношениями

х(и V у)у = хиу V хуу, х{и Л у)у = хиу Л хуу

Векторное пространство V над полем действительных чисел II, являющееся решеткой относительно некоторого частичного порядка, называется векторной решеткой, если для всех и V, IV € V

и + (у\/ ш) = {и + ь)У (и + ги), и + (у/\ю) — (и + у) Л(и + т)

Элементарной теорией Т1г(1С) класса К, алгебраических систем сигнатуры а называется совокупность всех замкнутых формул сигнатуры а прикладного исчисления предикатов

(ПИП), истинных на всех системах из класса /С Элементарная теория класса /С называется разрешимой, если существует алгоритм, который по произвольной замкнутой формуле ПИП сигнатуры о определяет, принадлежит эта формула ТЪ.(Ю) или нет Если элементарная теория класса /С не является разрешимой, то она называется неразрешимой Теория называется наследственно неразрешимой, если любая ее подтеория той же сигнатуры неразрешима

Одним из основных методов доказательства неразрешимости теории является метод относительно элементарной определимости [27] Пусть /Со - класс моделей сигнатуры о0 =< Р0"°, , >, класс К.\ - класс моделей сигнатуры о 1 Будем говорить, что класс /Со относительно элементарно определим в классе К,\, если существуют такие формулы

у). 4>{х,у1,у2),

£о(х,у\ у"0), у1, ,ГА)

сигнатуры ох (здесь и далее х = (хь ,жп), уг = (у\, ,угт)), что для любой модели М Е /Со найдутся модель N € 1С\ и элементы е^, ,ап € |Л/"|, удовлетворяющие условиям

(1) множество Ь = {Ь Ь е ¡Л/*!'",^ [= <р(а,Ь)} не пусто,

(2) формула ■ф^а,ух,у1) задает отношение конгруэнтности Т] на модели С сигнатуры &о, основное множество которой есть Ь, а предикаты Рг определены формулами ^(а, у1, ,у"'), 0 < г < к,

(3) фактор-модель С/г] изоморфна М

Теорема 1. (Ершов Ю Л [27]) Если класс /Со отпносительно элементарно определим в классе К\ и теория ТИ. (/Со) наследственно неразрешима, то теория ТЬ,{К,\) также наследственно неразрешима

К наиболее известным моделям с наследственно

неразрешимой элементарной теорией относятся модель целых положительных чисел со сложением и умножением [25], модель целых положительных чисел со сложением и предикатом делимости [27], модель двух эквивалентностей [27] В Коуровской тетради [32] А И Кокориным поставлена проблема 5 20 Разрешима ли элементарная теория решеток идеалов свободных абелевых решеточно упорядоченных групп7 В работах [35], [46] получено отрицательное решение данной проблемы

Пусть X - частично упорядоченное множество и У С X Подмножество У называется выпуклым в X, если из неравенства < х < ?/2, где уь г/2 € У,

следует, что х 6 У Напомним, что выпуклую /-подгруппу абелевой /-группы называют идеалом абелевой /-группы, и выпуклое подпространство векторной решетки, являющееся подрешеткой, называют идеалом векторной решетки

Будем говорить, что идеал Р абелевой /-группы (векторной

решетки) спрямляющий, если из того, что Р = I , где / ,/.....

идеалы, следует, что либо Р — /, либо Р = ,7

Известно [29], что множество идеалов абелевой /-группы (векторной решетки) образуют решетку, и любой идеал абелевой /-группы (векторной решетки) есть пересечение содержащих его спрямляющих идеалов

Описание спрямляющих идеалов свободных векторных решеток и свободных абелевых /-групп дано в работе Д Панти [24]

Обознчим через |]и|| евклидову норму вектора и £ И", через II — единичную сферу пространства II", и — {х £ Б." ||х|| = 1} Для любого ненулевого вектора и € И" положим

С(и,£) называется открытым конусом с центром и ф 0 и радиусом е > 0 Для любого непустого подмножества М векторов пространства Rn положим S(M) = 1 <угуг\а, € R+,ut 6 Мп G N} S{M) называется выпуклым конусом, порожденным множеством А/ (или выпуклым конусом, натянутым на множество векторов М) Если М = то S(vuv2, ,vt) = R+Ui + R+v2 + + R+Vi называется полиэдральным конусом, натянутым на векторы v\,v2,. ,vt

Ti-редуцированием и (обозначение red(u)) называется ортонормированный набор, определяемый по индукции следующим образом [24]

1) Если t - 1, то red(ü) = й,

2) если t>lHÜ = v*w, представим w в виде w = р + q, где р G Uv и q G Uy, если <7 = 0, положим red(u) = red(v), если q т^ 0, положим red(u) = red(v) *

В данном случае операция v * w означает добавление к ортонормированному набору векторов v вектора w

Если red(u) = И, будем говорить, что набор й - Z-редуцированный

Пусть - свободная векторная решетка с п

порождающими Для любого набора ё = (1,^2, положительных действительных чисел, где 1 < t < п, положим S(u, е) равному полиэдральному конусу

S(ui,ui + £2ll2, , Щ + £2112 + + £ГЩ)

Тогда множество

G4u2 ut = {/ е JSi • / = о на 5(й,ё)

для некоторого ё(1 < t < п)} является спрямляющим идеалом свободной векторной решетки для любого ортонормального набора векторов и любой

системы положительных действительных чисел ё, и любой спрямляющий идеал свободной векторной решетки совпадает с одним из таких идеалов [24]

Универсальной теорией ТЛу(/С) класса /С алгебраических систем сигнатуры а называется совокупность всех замкнутых У-формул сигнатуры а прикладного исчисления предикатов (ПИП), истинных на всех системах из класса 1С

Как обычно, через К, Z, Q и И обозначим множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел, соответственно Модулем элемента г решеточно упорядоченной группы С будем считать |гг| = х V аГ1 Элементы х и у I-группы С называются ортогональными, если [т| А |у| = е, и ортогональным рангом решеточно упорядоченной группы называется максимальное число попарно ортогональных элементов

Одним из наиболее значимых результатов по универсальной теории абелевых решеточно упорядоченных групп является теорема Н Г Хисамиева

Теорема 2. (Хисамиев Н Г [38]) Абелевы решеточно упорядоченные группы универсально эквивалентны тогда а только тогда, когда равны их ортогональные рати

В 2001 г Б Файном, А М Гаглионе, А Г Мясниковым и Д Спелльманом [12] определено понятие дискриминируемости групп которое связано с классическим понятием дискриминируемости групп, введенным X Нейман [36], но не эквивалентно ему, и описана связь между универсальной теорией групп и дискриминируемостыо

Говорят, что группа Н отделяется группой С, если для любого нетривиального элемента И £ Н существует гомоморфизм фь Н -—► С, такой что 0/,(Л) ф е и группа Н дискриминируется группой С, если для любого конечного

множества X С Я нетривиальных элементов из Я существует гомоморфизм фх II ■—► С, такой что фх{Ь) i е для любого hex

Группа G называется дискриминирующей, если любая группа Я, которая отделяется группой G, дискриминируется группой G

Авторами [12] рассматривалась дискриминируемость некоторых классов групп, построены примеры дискриминирующих групп В частности, доказано, что абелевы группы без кручения являются дискриминирующими, а ^дискриминирующими - неабелевы свободные, неабелевы коммутативно-транзитивные, неабелевы свободные нильпотентные группы

Связь решеточно упорядоченных групп установлена также с MV-алгебрами и псевдо-М V-алгебрами

Теория МК-алгебр происходит из теории многозначных логик Лукасевича В 1958 г Ч Чен [8], [9] рассмотрел алгебраическую версию логик Лукасевича MV-алгебры соответствуют многозначным логикам Лукасевича так же, как Булева алгебра соответствует классической двузначной логике Псевдо-А/ 1/-алгебра — это некоммутативное расширение МК-алгебры, впервые рассмотренное Г Георгеску и А Иоргулеску [14]

Алгебра Л =< А 1,0 > типа (2,1,1,0,0) называется

псевдо-MV-алгеброй, если А удовлетворяет следующим тождествам

(А1) {х © у) ф 2 = х ф (у © z) (А2) хф0 = 0фх = 0 (A3) х Ф 1 = 1 ф х = 1 (А4) ~ 1 = 0, "Ч = 0 (А5) ~ (Ъф^у) хф ~ у)

(А6) хф~хОу = у©~уО£ = £©лу © у = уО^х ф х (А7) хОрхфу) = (х© ~у)®у (А8) ~ (пх) = х, где х 0 у =~ (""хф""у)

Напомним, что элемент и решеточно упорядоченной группы С называется сильной единицей, если для любого элемента д е (7 найдется натуральное число пб^ такое что гГп < д < ип В 1986 г Д Мундичи [23] доказал, что существует взаимнооднозначное соответствие между абелевыми I-группами со сильной единицей и МУ-алгебрами Позднее в 2002 г А Двуреченкий [11] получил аналогичный результат для псевдо-М\/-алгебр и решеточно упорядоченных групп

Если - решеточно упорядоченная группа со сильной единицей и, то пара (С, и) называется упиталъной 1-группой Пусть ((7, и) - унитальная /-группа Положим А равное интервалу [0, и] в С, и для х, у € А определим

г ф у = (х + у) А и,

— и — X, ~ X = —х + и, 1 — и Нетрудно заметить, что алгебраическая система

Г (в,и) =< у4,е,"1,~,и,0 >

является псевдо-А/К-алгеброй А Двуреченский [11] доказал, что для любой псевдо-Д/К-алебры А существует единственная с точностью до изоморфизма унитальная /-группа С со сильной единицей и, такая что Л = Г(С, и)

В 2003 г Я Якубик [20], используя результат А Двуреченского [11], рассмотрел решетку многообразий псевдо-Л/1-/-алгебр и построил вложение решетки многообразий I-групп в решетку многообразий псевдо-Л'/У-алгебр

и

Глава 1. Целью главы 1 является доказательство неразрешимости элементарных теорий решеток идеалов свободных абелевых /-групп и свободных векторных решеток Для доказательства неразрешимости теории использован метод относительно элементарной определимости [27], в качестве модели с наследственно неразрешимой теорией - модель N целых положительных чисел со сложением и умножением, неразрешимость которой доказана А Тарским [25] В §1 даны основные понятия и сформулированы результаты, необходимые для построения интерпретации арифметики в решетках идеалов

Во втором параграфе описаны спрямляющие идеалы свободной абелевой /-группы Л,и где п = 2,3 в соответствии с [24] и доказано, что решетка идеалов СЛп для п = 2,3 изоморфна решетке 0п семейств всех наборов {К\, ,Ки),п = 2,3, где К, С иг (г < п), удовлетворяющих определенным условиям В частности, для п = 3 данные условия имеют вид Л31) замкнутое подмножество С/ А32) Если (щ,и2) £ К2, («1,^2, щ) £ К?,, то наборы {щ,и2) и (141,112, из) - ортонормированы и 2-редуцированные

Л33) Если (щ,и2) £ К2, то щ £ Кг и если («1,^2,^3) 6 то (щ,и2) £ К2

Аз4) Пусть щ £ К1, йгт(и,п) = 2 и пусть и2 £ II, такой что набор (1^,112) - 2-редуцированный Пусть а £ С1П1, такой что (щ,а) - ортонормированный Если для любых строго положительных действительных чисел е2, £з множество

щ 4- е2а, щ — е2а, щ + £3и2)\8(щ, «1 + с2а, щ — е2а)

содержит вектор из К\) тогда (г^, и2) £ К2

Аз5) Пусть щ £ К1, йгт{ищ) = 1 и пусть и2 £ V такой, что с/гт(ии2) = 1 и набор (щ,и2) ортонормированный и Ъ-редуцированный Пусть щ £ II такой, что набор (щ,и2,щ)

ортонормированный Если для любых строго положительных действительных чисел £2,^3 множество

5(иЬ Щ + £2и2, Щ + £2и2 + £зЩ, Щ + £2и2 - £зиз)\3{щ)

содержит вектор из К\, тогда (щ,и2) £ К2

А3Ь) Пусть щ £ К1, йгт{ии1) = 1 и пусть и2 £ II такой, что ¿гт(ии2) = 1 и набор (щ,и2) ортонормированный и Z-редуцированный Пусть щ £ II такой, что набор (щ,и2,щ) ортонормированный Если для любых строго положительных действительных чисел £2, £3 множество

«1 + £2и2, щ + £2и2 + е3и3, щ + е2и2 - £зщ)\8(щ)

содержит вектор из ¿"(тх^тх! -I- 6у) для некоторого (щ,ь) £ К2 и некоторого положительного действительного числа <5, тогда (111,112) € К2

Аз7) Пусть щ £ К1, (1гт(ии1) = 1 и пусть и2 £ II такой, что йгт{ип2) — 2 и набор (111, и2) ортонормированный и 2-редуцированный Если для любых строго положительных действительных чисел £2, £3 множество

5(7x1,111 + £2и2,и1 4- £2и2 + £3а, щ +£2и2 - £за)\Б{щ,щ + £2и2),

где а - вектор из (1и2, такой что набор (?/ь и2 а) ортонормирован, содержит вектор из К\, тогда (тхьиг) £ К2

Л38) Пусть щ £ 1<1, (Ьт(ии]) = 1 и пусть и2 £ и такой, что ¿гт(и„2) = 2 и набор (щ,и2) ортонормированный и Z-peдyциpoвaнный Если для любых строго положительных действительных чисел £2,£з множество

5(тхь и 1 + £2и2, щ 4- £2и2 + £за, 7x1 + с2и2 - е3а)\5(г41, щ + £2и2),

где а - вектор из 1/и2, такой что набор (щ,и2,а) ортонормированный, содержит вектора из 3(щ,щ + ¿у) для некоторого 6 и (7x1,7;) £ К2, тогда (щ,и2) £ К2

А39) Пусть («1 и2) £ К2, с1гт(ищ) = йгт(ии2) — 1 и пусть из £ и такой, что набор (щ,щ,щ) ортонормированный и 2-редуцированный Если для любых строго положительных действительных чисел £2, £з множество

3(щ,щ + £2«2, Щ + 62и2 + Щ + Е^щ)

содержит вектора из К1 тогда (щ, щ, из) € Кз

Л310) Пусть (щ,и2) £ К2, ёгт(ищ) = <кт{иа2) = 1 и пусть из € и такой, что набор (щ,и2,щ) ортонормированный и 2-редуцированный Если для любых строго положтельных действительных чисел £21 £з множество

8{щ,щ + е2и2,щ + е2и2 + ез«з)\5(и1 , щ + е2и2)

содержит вектора из + 5ь) для некоторого 6 > 0 и

(щ,у) е К2, тогда (иии2,и3) е К3

В третьем параграфе по аналогии с §2 описаны спрямляющие идеалы свободной векторной решетки СТп для п > 2, отдельно рассмотрены случаи для п — 2 3

В §4 построен ряд формул сигнатуры а =< V, А, 1,0 >, позволяющих доказать относительно элементарную определимость модели N положительных чисел со сложением и умножением в моделях СЛп и СТп

Р(П = < ./,&/ < 72 =» ^ < ,/2 V /2 <

.Щ1) = -,(/ = 1 )&(УС)(/ < С < 1 С = / V с = 1),

Мк(1) = Р(/)&(ЗС')(А4_1(С')&-(/ = С)к{1 < С)к &(УХ)(/ <Х<С=>Х = 1ЧХ = С)), л » В = {А = В)У (-(Л = В)&(ЭУ)(ЭИ-)(ЗС)(Лп(К)&Лп(И-)&

= ЩУЛ(АЧВ)) = Л)&(И V(AVB) = ЩП'л(АУВ)) = В)к к(у > С)к(\\ > С)&(УО)((Д)Стр(С) => (ЛЛ(Г> V V И^))),

+(А,В,С) = (3£>)(ЭЕ)(Ггп(0)кГгп(Е)к{С = Б А Ё)&:

&(£> V Е = 1)&(Л » £)&(В к Е)), х(А,В,С) = В)к{С>

&(У£')((Я)Гтр(/5) => Л/1(Л7 V Р)к(Е V <7 Л)))

Непосредственно из определения спрямляющего идеала следует, что формула Р{1) истинна в СЛп (для п = 2,3) и СТп (для п > 2) тогда и только тогда, когда идеал / является спрямляющим

Формула М\{1) истинна в СЛп (для л - 2,3), ИТп (для п >2) тогда и только тогда, когда I является максимальным собственным идеалом, в этом случае I является спрямляющим, и I = (Зи( для некоторого вектора щ £ и

Формула Л/а(/) истинна в СЛп (для п — 2,3), СТп (для п > 2) тогда и только тогда, когда I является спрямляющим идеалом и в СЛп существует в точности к различных спрямляющих идеалов, содержащих I В этом случае / = СП1,12 Пк для некоторого ортонормированного Ъ-редуцированного набора (щ,и2. € 11к

Формула А яз В истинна в СЛп (п = 2,3), в С,Т„ (п > 2), если и только если конечные множества Кл(1) и Кв{ 1) содержат одинаковое число элементов

Формула +(Д В, С) истинна на СЛп {п = 2,3) и С,Тп (п > 2), если и только если |/ГС(1)| = \Кл{\)\ +

Формула х(Л, В С) истинна в £Лп (п = 2,3), СТп (п > 2), если и только если \КС^\ = |А"л(1)| * \Кщ\)\ Таким образом,

1) Множество Ь непусто,

2) Формула А ~ В задает отношение конгруэнтности на модели С, основное множество которой есть Ь, а предикаты определены с помощью формул +{А, В, С) и х(А, В, С),

3) Фактор-модель £/ ~ изоморфна модели N целых положительных чисел со сложением и умножением

Теорема 1.4.5. а) Модель N целых положительных чисел со сложенеим и умножением относительно элементарно интерпретируется в решетке идеалов САп (п = 2,3) свободной абелевой l-группы Ап

Элементарная теория решеток идеалов свободных абелевых l-групп наследственно неразрешима

Ь) Модель N целых положительных чисел со сложенеим и умножением относительно элементарно интерпретируется в решетке идеалов CJ- „ (п >2) свободной векторной решетки Тг,

Глава 2. Во второй главе рассматривается адаптация к понятию /-группы понятия дискриминируемое™ групп, введенного Б Файном, А Гаглионе, А С Мясниковым и Д Спеллманом [12], которое тесно связано с классическим определением дискриминируемое™ [36], но не совпадает с ним В §1 определены основные понятия и доказан критерий дискриминируемое™ ¿-групп

Будем говорить, что решеточно упорядоченная группа Я отделяется /-группой G, если для любого нетривиального h G Я существует /-гомоморфизм фь Я —> G, такой что <t>h{h) ф е

Решеточно упорядоченная группа Я дискриминируется I-группой С, если для любого конечного множества X С H нетривиальных элементов из Я существует /-гомоморфизм фх Я —► G, такой что фх(Ь) ф е для любого h е X

Решеточно упорядоченную группу G назовем дискриминирующей, если любая /-группа Я, которая отделяется /-группой G, дискриминируется /-группой G

Теорема 2.1.1. Решеточно упорядоченная группа G является дискриминирующей!-группой тогда и только тогда, когда I-группа G х G дискриминируется G

В §2 построен ряд примеров, показывающих, что класс дискриминируемых /-групп не пуст В частности, установлено, что группа Томпсона, группа Длаба, декартова сумма счетного числа групп целых чисел со стандартным решеточным порядком являются дискриминирующими Кроме того, доказано, что любая /-группа конечного ортогонального ранга не является дискриминирующей

В третьем параграфе рассматривается связь между дискриминируемостью и универсальной теорией /-групп

Теорема 2.3.1. Если - дискриминирующая 1-группа, то любая декартова степень С* универсально эквивалентна С

Следствие 2.3.2. Если С - дискриминирующая /-группа, то ТМФ = х

Теорема 2.3 3. Пусть <7 - конечно определенная I-группа Тогда (7 является дискриминирующей тогда и только тогда, когда С квадратоподобна

С использованием полученных результатов установлено, что класс квадратоподобных абелевых /-групп совпадает с классом абелевых /-групп бесконечного ортогонального ранга, и этот класс аксиоматизируем

В §4 доказан следующий результат

Теорема 2.4.2. Свободная абелева 1-группы АП) где п - число свободных порождающих и п > 2, является дискриминирую щей I-группой

Глава 3. В третьей главе построено инъективное отображение <р из решетки квазимногообразий /-групп в решетку Тх квазимногообразий псевдо-А'/К-алгебр, такое что для любых квазимногообразий /-групп 22 имеем

2х с ¿2 ур[2х) с ч>{г2) (*) В §1 представлено описание решетки квазимногообразий

псевдо-МК-алгебр в соответствии с описанием решетки квазимногообразий /-групп [22] Доказаны следующие вспомогательные результаты

Предложение 3.1.2. Конъюнкция конечного числа квазитождеств сигнатуры а эквивалентна одному квазитождеству в классе всех псевдо-МУ-алгебр В частности, если х = (жх, , ж„),то

Ух(&^(х) = 0=»Цх) = 0) эквивалентно квазитождеству

т

Ух((\/ г^(х) = 0) го(х) = 0)

Следствие 3.1.3. Если квазимногообразие псевдо-МУ-алгебр X имеет конечный базис квазитождеств, то X может быть определено одним квазитождеством

Множество А всех квазимногообразий псевдо-МУ-алгебр является решеткой, где решеточная операция пересечения совпадает с теоретико-множественным пересечением

а решеточная операция объединения есть теоретико-множественное пересечение всех квазимногообразий псевдо-МУ-алгебр, содержащих X и У

Х\/У = р|{И' ХиУС1У} л

В §2 дано определение квазирегулярного класса унитальных /-групп и построен изоморфизм частично упорядоченного множества Т1 в частично упорядоченное множество Ы классов унитальных решеточно упорядоченных групп

В третьем параграфе главы 3 построено вложение ip Т2 —► Ti, обладающее свойством (*) и доказано, что решетка Л всех квазимногообразий псевдо-А/У-алгебр не модулярна и, следовательно, не дистрибутивна

Автор безмерно благодарен своему научному руководителю профессору Н Я Медведеву за ценные обсуждения и внимание к работе

Литература

[1] baker К Free vector lattices // Canadian J Math 1968 № 20 P 58-56

[2] Bayanova N V , Medvedev N Ya Vector lattices with two generators // Algebra and Logik 2002 № 41 P 217-227

[3] belegradek О Discriminating and square-like groups // J Group Theory 2004 № 7 P 521-532

[4] Belluce L P , GrigOLIA R , Lettieri A Representation of monadic A/K-algebras // Studia Logica 2005 № 81 P 123144

[5] BEYNON W M Duality theorems for finitely generated vector lattices//Proc London Math Soc 1975 №31 P 114-128

[6] Beynon W M Apphcatins of duality in the theory of finitely generated lattice-ordered groups // Canadian J Math 1977 №29 P 243- 254

[7] blrkhoff G On the structure abstract algebra // Proc Cambridge Phil Soc 1935 № 31 P 433-454

[8] CHANG С С Algebraic analysis of infinite valued logic // Tranc Amer Math Soc 1958 № 88 P 467-490

[9] Chang C C A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms // Tranc Amer Math Soc 1959 № 93 P 74-90

10] Darnel M R Theory of lattice-ordered groups // Marcel Dekker Inc , New York - Basel - Hong Kong 1995

11] Dvurecenskij A Pseudo i\/V-algebras are intervals in l-groups // J Austral Math Soc Ser A 2002 № 72 P 427-445

12] Fine B , Gaglione A M , Myasnikov A G , Spellman D Discriminating groups // J Group Theory 2001 № 4 P 467-479

13] Fine B , Gaglione A M , Myasnikov A G , Spellman D Groups whose universal theory is axiomatizable by quasi-ldentities // J Group Theory 2002 № 5 P 365-381

14] georgescu g , lorgulescu A Pseudo MV-algebras A non-commutative existantion of M V-algebras // INFOREC Printing House Bucharest 1999 P 961-968

15] glass A M W Generating varieties of lattice-ordered groups approximating wreath products // Illinois journal of mathematics 2001 №3 P 138-151

16] Glass A M W Partially ordered groups //, World Sci Pub Co, Singapore 1999

17] GRZEGORCZYK A Undecidabihty of some topological theories // Fund Math 1951 № 38 P 137-152

18] grzegorczyk a Undecidabihty without ariphmatization / / Studia Logica 2005 № 79 P 163-230

19] jakubik J On product MV-algebras // Czech Math J 2002 V 127 № 52 P 797-810

[20] JAKUBIK J On varieties of pseudo MV-algebras // Czech Math J 2003 V 128 №- 53 P 1021-1038

[21] KOPYTOV V M , MEDVEDEV N Ya The Theory of Lattice-Ordered Groups Dordrecht-Boston-London Kluwer Academic Publishers 1994 400 p

[22] kopytov V m , medvedev N Ya Quasi varieties and Varieties Lattice-Ordered groups - Ordered groups and Infinite Permutation Groups // Edited by W С Holland Kluwer Academic Publishers 1996 P 1-29

[23] MUNDICI D Interpretation of AF C*-algebras in Lukasiewicz sentential calculus // Journal of functional analysis 1986 № 65 P 15-63

[24] panti G Prime ideals in free /-groups and free vector lattices // J Algebra 1999 № 219 P 173-200

[25] tarski A Undecidable theories Amsterdam, North-Holland publishing company 1971

[26] WEIL H Elementary Theone der konvexen Polyhedra // Comm Math Helv 1935 P 290-306

[27] ЕРШОВ Ю Л Проблемы разрешимости и конструктивные модели М Наука, 1980

[28] Каргаполов М И , Мерзляков Ю И Основы теории групп М Наука, 1972

[29] копытов, В М Решеточно упорядоченные группы М Наука Главная редакция физико-математической литературы 1984

[30] копытов В М , Медведев Н Я Правоупорядоченные группы Новосибирск Научная книга 1996

[31] копытов, В М , [Медведев Н Я Упорядоченные

группы итоги, перспективы, проблемы // Избранные вопросы алгебры сборник статей, посвященный памяти Н Я Медведева Барнаул Изд-во Алт ун-та 2007

[32] Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп), ред В Д Мазуров, Е И Хухро, Издание четырнадцатое Институт математики СО РАН, Новосибирск, 1999

[33] Мальцев А И Алгебраические системы М Наука 1970

[34] медведев Н Я Сплетения и многообразия решеточно упорядочненных групп Барнаул Изд-во Алт ун-та 1990

[35] медведев Н Я Элементарная теория решеток ¿-идеалов абелевых ¿-групп // Алгебра и логика 2005 № 5 С 540-559

[36] Нейман X Многообразия групп М Наука 1968

[37] ФУКС Л Частично упорядоченные алгебраические системы М Мир 1965

[38] ХИСАМИЕВ Н Г Универсальная теория структурно упорядоченных абелевых групп // Алгебра и логика 1966 Т 5 № 3 С 71-76

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[39] курылева О А Дискриминирующие ¿-группы // Седьмая региональная конференции по математике "МАК - 2004" Тез докладов Барнаул Изд-во Алт Ун-та 2004

[40] курылева О А Интерпретация арифметики в решетке идеалов С,Тп // Девятая региональная конференции по математике "МАК - 2006" Тез докладов Барнаул Изд-во Алт Ун-та 2006

[41] курылева О А Дискриминирующие ¿-группы // Избранные вопросы алгебры сборник статей, посвященный

памяти Н Я Медведева Барнаул Изд-во Алт ун-та 2007 с 143-157

[42] курылева О А Интерпретация арифметики в решетке идеалов свободной векторной решетки СТГ, // Алгебра и логика 2008 Т 47 , №- 1 С 71-82

[43] КУРЫЛЕВА, OA О квазимногообразиях псевдо-MV -алгебр // Сиб мат ж 2008 Т49, № 3 С 568-573

[44] медведев Н Я , курылева О А Интерпретация арифметики в решетке идеалов свободной абелевой I-группы с тремя порождающими // Восьмая региональная конференции по математике "МАК- 2005" Тез докладов Барнаул Изд-во Алт Ун-та 2005

[45] Медведев Н Я , Курылева О А Интерпретация арифметики в решетке идеалов свободной абелевой I-группы с тремя порождающими // XLIII международная научная конференция "Студент и научно-технический прогресс" Математика Тез докладов Новосибирск Новосиб гос ун-т 2005

[46] Медведев Н Я , Курылева О А Интерпретация арифметики в решетке идеалов свободной абелевой I-группы с тремя порождающими // Algebra and Models Theory 5 Collection of papers edited by A G Pinus and К N Ponomarev Novosibirsk State Technical University 2005

Курылева Ольга Александровна

Структурные и теоретико-модельные аспекты теории решеточно упорядоченных групп

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Изд лиц 020261 от 14 0! 1997 г Подписано в печать 29 04 2008 Формат 60х84'/16 Печать трафаретная Бумага офсетная Уч-изд л 1,0 Тираж 100 Заказ 184

Типография Алтайского государственного университета 656049, Барнаул, ул Димитрова, 66

Введение.

Глава 1. Интерпретация арифметики

§ 1. Основные сведения

§ 2. Идеалы СЛп для п = 2,3.

§ 3. Идеалы Тп для п >

§ 4. Интерпретация арифметики

Глава 2. Дискриминирующие /-группы

§ 1. Критерий дискриминируемости/-групп

§ 2. Примеры дискриминирующих /-групп

§ 3. Дискриминируемость /-групп и универсальная эквивалентность

§ 4. Дискриминируемость свободных абелевых /-групп.

Глава 3. Квазимногообразия псевдо-МУ-алгебр

§ 1. Решетка квазимногообразий псевдо-МУ-алгебр.

§ 2. Квазирегулярные классы и унитальные решеточно упорядоченные группы.

§ 3. Связь квазимногообразий унитальных решеточно упорядоченных групп и псевдо-МУ-алгебр

Решеточно упорядоченной группой (1-группой) называется алгебраическая система сигнатуры I =< -,1,е, V, Л >, совмещающая в себе структуру группы и решетки, связанные естественными соотношениями х{и V у)у = хиу V хуу, х{и Л у)у = хиу Л хуу.

Векторное пространство V над полем действительных чисел И, являющееся решеткой относительно некоторого частичного порядка, называется векторной решеткой, если для всех и,у,и> 6 V и + (у V ги) = (и + у) V (и + -ш), и + (у Л ъи) = (и + у) Л (и + у)).

В настоящее время теория решеточно упорядоченных групп является теорией с широким кругом задач и разработанными методами.

За последние 30 лет произошел расцвет в развитии теории /-групп. Наиболее полно теория /-групп изложена в монографиях В.М. Копытова [29], Г. Биркгофа [7], В.М. Копытова, Н.Я. Медведева [21], Л. Фукса [37], М.Р. Дарнела [10]. Современное состояние теории /-групп, ее перспективы и проблематика отражены в работе В.М. Копытова, Н.Я. Медведева [31].

Связи теории решеточно упорядоченных групп обнаружены со многими другими разделами математики, такими как логика, теория моделей, геометрия, функциональный анализ, теория групп, теория МУ-алгебр и псевдо-МУ-алгебр.

Все больше научных работ посвящено исследованиям на стыке теории решеточно упорядоченных групп с другими дисциплинами.

Напомним ряд определений и вспомогательных результатов, необходимых в дальнейшем.

Элелгентарной теорией ТН()С) класса /С алгебраических систем сигнатуры а называется совокупность всех замкнутых формул сигнатуры а прикладного исчисления предикатов (ПИП), истинных на всех системах из класса /С. Элементарная теория класса /С называется разрешимой, если существует алгоритм, который по произвольной замкнутой формуле ПИП сигнатуры су определяет, принадлежит эта формула ТН{К,) или нет. Если элементарная теория класса /С не является разрешимой, то она называется неразрешимой. Теория называется наследственно неразрешимой, если любая ее подтеория той же сигнатуры неразрешима.

Одним из основных методов доказательства неразрешимости теории является метод относительно элементарной определимости [27].

Пусть /Со - класс моделей сигнатуры <т0 =< ■ •■■>Ркк >, класс К\ -класс моделей сигнатуры Будем говорить, что класс /Со относительно элементарно определим в классе /Сь если существуют такие формулы сигнатуры а\ (здесь и далее х — (х\,., хп), у1 = (у\,., угт)), что для любой модели М £ 1С о найдутся модель N Е К.\ и элементы а\,.,ап Е |ЛГ|, удовлетворяющие условиям:

1) множество Ь = {Ъ \Ъ Е \М\т,М [= (р(а, Ь)} не пусто;

2) формула ^(а^у1 ,у2) задает отношение конгруэнтности 77 на модели С сигнатуры сто, основное множество которой есть Ь, а предикаты Р{ определены формулами ^(а,^1, 0 < г < к;

3) фактор-модель С/т] изоморфна Л4

Теорема 1. (Ершов Ю.Л. [27]) Если класс /Со относительно элементарно определим в классе и теория ТН{ТСо) наследственно неразрешима, то теория Тк^К,^ также наследственно неразрешима.

К наиболее известным моделям с наследственно неразрешимой элементарной теорией относятся модель целых положительных чисел со сложением и умножением [25], модель целых положительных чисел со сложением и предикатом делимости [27], модель двух эквивалентностей [27]. В Коуровской тетради [32] А.И. Кокориным поставлена проблема 5.20: Разрешима ли элементарная теория решеток идеалов свободных абелевых решеточно упорядоченных групп? В работах [35], [46] получено отрицательное решение данной проблемы.

Пусть X - частично упорядоченное множество и У С X. Подмножество У называется выпуклым в Х} если из неравенства у\ < х < г/2, где УъУ2 £ У, следует, что х Е У. Напомним, что выпуклую /-подгруппу абелевой /-группы называют идеалом абелевой /-группы, и выпуклое подпространство векторной решетки, являющееся подрешеткой, называют идеалом векторной решетки.

Будем говорить, что идеал Р абелевой /-группы (векторной решетки) спрямляющий, если из того, что Р = IП где /, 3 - идеалы, следует, что либо Р — I, либо Р = 3.

Известно [29], что множество идеалов абелевой /-группы (векторной решетки) образуют решетку, и любой идеал абелевой /-группы (векторной решетки) есть пересечение содержащих его спрямляющих идеалов.

Описание спрямляющих идеалов свободных векторных решеток и свободных абелевых /-групп дано в работе Д. Панти [24].

Обознчим через ||ii|| евклидову норму вектора и Е Rn, через U — единичиую сферу пространства Rn, U = {х Е Rn : ||а;|| = 1}. Для любого ненулевого вектора и Е Rn положим:

С (и, е) называется открытым конусом с центром и ^ 0 и радиусом £ > 0. Для любого непустого подмножества М векторов пространства Rn положим S(M) = Е Е М, п Е N}. S(M) называется выпуклым конусом, порожденным множеством М (или выпуклым конусом, натянутым на множество векторов М). Если М = {г>1, ., г^}, то S(v\, V2,vt) = R+vi + R+i>2 + . + R+,Ui называется полиэдральным конусом, натянутым на векторы г>1,г>2,

Пусть Тп - свободная векторная решетка с п порождающими. Для любого набора е = (1, £2,., Et) положительных действительных чисел, где 1 < t < п, положим S(ü, ё) равному полиэдральному конусу

S(lli, Щ + Е2и2, Щ + £2и2 + . + £tUt)

Тогда множество

GUxu2.ut — {/ G Fn f = 0 на S(u,£) для некоторого е( 1 < t < п)} является спрямляющим идеалом свободной векторной решетки Тп для любого ортонормального набора векторов и любой системы положительных действительных чисел и любой спрямляющий идеал свободной векторной решетки совпадает с одним из таких идеалов.

Универсальной теорией Thy(}C) класса /С алгебраических систем сигнатуры а называется совокупность всех замкнутых V-формул сигнатуры а прикладного исчисления предикатов (ПИП), истинных на всех системах из класса /С.

Как обычно, через N, Z, Q и R обозначим множества натуральных, целых, рациональных и действительных чисел, соответственно. Модулем элементах решеточно упорядоченной группы G будем считать |ж| = х\/х~1. Элементы ж и у /-группы G называются ортогональными, если )гс| А \у\ = е, и ортогональным рангом решеточно упорядоченной группы называется максимальное число попарно ортогональных элементов.

Одним из наиболее значимых результатов по универсальной теории абелевых решеточно упорядоченных групп является теорема Н.Г. Хисамиева:

Теорема 2. (Хисамиев Н.Г [38]) Абелевы решеточно упорядоченные группы, универсально эквивалентны тогда и только тогда, когда равны их ортогональные ранги.

В 2001 г. Б. Файном, A.M. Гаглионе, А.Г. Мясниковым и Д. Спелльманом [12] определено понятие дискриминируемое™ групп, которое связано с классическим понятием дискриминируемости групп, введенным X. Нейман [36], но не эквивалентно ему, и описана связь между универсальной теорией групп и дискриминируемостыо.

Говорят, что группа Н отделяется группой G, если для любого нетривиального элемента h G Н существует гомоморфизм фь : Н —> G, такой что 4>h(h) ^ е и группа Н дискриминируется группой G, если для любого конечного множества X С Н нетривиальных элементов из Н существует гомоморфизм фх : Н —> G, такой что фх(Ь>) Ф е для любого hex.

Группа G называется дискриминирующей, если любая группа Н, которая отделяется группой G, дискриминируется группой G.

Авторами [12] рассматривалась дискриминируемость некоторых классов групп, построен ряд примеров, показывающих, что класс дискриминирующих групп не пуст. В частности, доказано, что абелевы группы без кручения являются дискриминирующими, а недискриминирующими - неабелевы свободные, неабелевы коммутативно-транзитивные, неабелевы свободные нильпотентные группы.

Связь решеточно упорядоченных групп установлена также с MV-алгебрами и псевдо-МУ-алгебрами.

Теория MV- алгебр происходит из теории многозначных логик Лукасевича. В 1958 г. Ч. Чен [8], [9] рассмотрел алгебраическую версию логик Лукасевича. МУ-алгебры соответствуют многозначным логикам Лукасевича так же, как Булева алгебра соответствует классической двузначной логике.

Псевдо-МУ-алгебра — это некоммутативное расширение MF-алгебры, впервые рассмотренное Г. Георгеску и А. Иоргулеску [14]

Алгебра Л =< А, 1, 0 > типа (2,1,1,0,0) называется псевдо

MV-алгеброй, если Л удовлетворяет следующим тождествам: (А1) (жф2/)®2 = жф(2/ф2) (А2) £©0 = 0ф:с = 0 (A3) а;®1 = 1фа; = 1 (А4) - 1 = 0, П1 = 0 (А5) ~ (пж0пу) хф - у)

А6) жф ~ х © у — у® ~ у © х = xQny ф у — уО^х ф х (А7) х О Сх ф у) = (ж© ~ у) ф у (А8) ~ Сх) = х, где х<Эу (Ъф^у)

Напомним, что элемент и решеточно упорядоченной группы (? называется сильной единицей, если для любого элемента д Е найдется натуральное число пбК, такое что уГп < д < ип.

В 1986 г. Д. Мундичи [23] доказал, что существует взаимнооднозначное соответствие между абелевыми /-группами со сильной единицей и МУ-алгебрами. Позднее в 2002 г. А. Двуреченкий [11] получил аналогичный результат для псевдо-МУ-алгебр и решеточно упорядоченных групп.

Если С - решеточно упорядоченная группа со сильной единицей и, то пара (6?, и) называется унитальной 1-группой. Пусть (С, и) - унитальная ¿-группа. Положим А равное интервалу [0,и] в С, и для х,у & А определим х ф у = (х + у) А и, пх — и — х. ~ х = —х + и, 1 = и.

Нетрудно заметить, что алгебраическая система

Г(С, и) =< Л, 0,п, и, 0 > является псевдо-МУ-алгеброй. А. Двуреченский [11] доказал, что для любой псевдо-МУ-алебры А существует единственная с точностью до изоморфизма унитальная /-группа С со сильной единицей -и, такая что

А = Г(в,и).

В 2003 г. Я. Якубик [20], используя результат А. Двуреченского [11], рассмотрел решетку многообразий псевдо-МУ-алгебр и построил вложение решетки многообразий ¿-групп в решетку многообразий псевдо-МУ-алгебр.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНЕСЕННЫЕ НА ЗАЩИТУ:

1. Построена интерпретация модели N целых положительных чисел со сложением и умножением в решетке идеалов САп (п = 2,3) свободной абелевой /-группы с п порождающими. (Теорема 1.4.5. а) (результат получен совместно с Н.Я. Медведевым)

2. Построена интерпретация модели N целых положительных чисел со сложением и умножением в решетке идеалов ИТп (п > 2) свободной векторной решетки с п порождающими. (Теорема 1.4.5. Ь) (результат для п = 3 доказан Н.Я. Медведевым)

3. Указан критерий дискриминируемости /-групп. (Теорема 2.1.1)

4. Установлена связь между дискриминируемостью и универсальной теорией /-групп.

5. Доказана дискриминируемость свободных абелевых/-групп ранга п > 2. (Теорема 2.4.2)

6. Построено вложение решетки квазимногообразий ¿-групп в решетку квазимногообразий псевдо-МУ-алгебр и описаны некоторые свойства решетки квазимногообразий псевдо-МУ-алгебр.

Диссертация состоит из 3-х глав.

Целью главы 1 является доказательство неразрешимости элементарных теорий решеток идеалов свободных абелевых /-групп и свободных векторных решеток. Для доказательства неразрешимости теории использован метод относительно элементарной определимости [27], в качестве модели с наследственно неразрешимой теорией - модель N целых положительных чисел со сложением и умножением, неразрешимость которой доказана А. Тарским [25]. В §1 даны основные понятия и сформулированы результаты, необходимые для построения интерпретации арифметики в решетках идеалов.

Во втором параграфе описаны спрямляющие идеалы свободной абелевой /-группы Дп, где п = 2,3 в соответствии с [24] и доказано, что решетка идеалов СЛп для п = 2,3 изоморфна решетке Яп семейств всех наборов ,., Кп), п — 2,3, где К* С 11г (г < п), удовлетворяющих определенным условиям. В третьем параграфе по аналогии с §2 описаны спрямляющие идеалы свободной векторной решетки СТп для п > 2, отдельно рассмотрены случаи для п = 2, 3.

В §4 построен ряд формул сигнатуры а =< V, Л.,1,0 >, позволяющих доказать относительно элементарную определимость модели N положительных чисел со сложением и умножением в моделях СЛп и откуда по теореме 1 следует наследственная неразрешимость элементарных теорий данных моделей.

Во второй главе рассматривается адаптация к понятию /-группы понятия дискриминируемости групп, введенного Б. Файном, А. Гаглионе, А.С. Мясниковым и Д.Спеллманом [12], которое тесно связано с классическим определением дискриминируемости [36], но не совпадает с ним. В §1 определены основные понятия и доказан критерий дискриминируемости /-групп. В §2 построен ряд примеров, показывающих, что класс дискриминируемых /-групп не пуст. В частности, установлено, что группа Томпсона, группа Длаба, декартова сумма счетного числа групп целых чисел со стандартным решеточным порядком являются дискриминирующими. Кроме того, доказано, что любая /-группа конечного ортогонального ранга не является дискриминирующей.

В третьем параграфе рассматривается связь между дискриминируемостью и универсальной теорией /-групп. Доказано, что конечно определенная /-группа является дискриминирующей тогда и только тогда, когда С квадратоподобна, то есть универсальные теории £ и ее декартова квадрата совпадают. С использованием полученных результатов установлено, что класс квадратоподобных абелевых /-групп совпадает с классом абелевых ¿-групп бесконечного ортогонального ранга, и этот класс аксиоматизируем.

В §4 доказано, что свободная абелева ¿-группа Лп, где п - число свободных порождающих, п > 2, является дискриминирующей /-группой.

В третьей главе построено инъективное отображение (р из решетки Т2 квазимногообразий /-групп в решетку Тх квазимногообразий псевдо-МУ'-алгебр, такое что для любых квазимногообразий /-групп Zl, Z2 имеем р(г{) с ср{г2) (*)

В §1 представлено описание решетки квазимногообразий псевдо-МУ-алгебр в соответствии с описанием решетки квазимногообразий /-групп [22]. В §2 дано определение квазирегулярного класса унитальных /групп и построен изоморфизм частично упорядоченного множества Тх в частично упорядоченное множество Ы классов унитальных решеточно упорядоченных групп.

В третьем параграфе главы 3 построено вложение (р : Тг —► Тх, обладающее свойством (*) и доказано, что решетка А всех квазимногообразий псевдо-МК-алгебр не модулярна и, следовательно, не дистрибутивна.

Методы, используемые автором для доказательства результатов опираются на абстрактную теорию групп, универсальную алгебру теорию моделей.

Все результаты диссертации являются новыми, носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях решеток идеалов /-групп, универсальных теорий /-групп и квазимногообразий псевдо-МК-алгебр.

Результаты диссертации докладывались на ХЫН международной конференции "Студент и научно-технический прогресс", (г. Новосибирск, 2005 г.), Восьмой региональной конференции по математике "МАК - 2005"(Барнаул, 2005 г.), Шестой международной конференции "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры"(Эрлагол, 2005 г.), Международной конференции "Мальцевские чтения", (г. Новосибирск, 2005 г.), Девятой региональной конференции по математике "МАК - 2006"(Барнаул, 2006 г.), Международной конференции "Мальцевские чтения", (г. Новосибирск, 2006 г.), семинаре "Алгебра и логика"ИМ СО РАН (г. Новосибирск, 2007 г.), Седьмой международной конференции "Пограничные вопросы теории моделей и универсальной алгебры"(Эрлагол, 2007 г.)

Результаты диссертации опубликованы в работах автора [41] - [43], и совместно с Н.Я. Медведевым в работе [46].

Диссертация содержит 63 страниц, состоит из введения, трех глав и библиографии. Библиография включает 46 наименований.

1. BAKER К. Free vector lattices // Canadian J. Math. 1968.№ 20. P. 58-56.

2. BAYANOVA N.V., MEDVEDEV N. YA. Vector lattices with two generators // Algebra and Logik. 2002. № 41. P. 217-227.

3. BELEGRADEK O. Discriminating and square-like groups // J. Group Theory. 2004. № 7. P. 521-532.

4. BELLUCE L.P., GRIGOLIA R., LETTIERI A. Representation of monadic MV-algebras // Studia Logica. 2005 № 81. P. 123-144.

5. BEYNON W.M. Duality theorems for finitely generated vector lattices // Proc.London Math. Soc. 1975. № 31. P. 114-128.

6. BEYNON W.M.: Applicatins of duality in the theory of finitely generated lattice-ordered groups // Canadian J. Math. 1977. № 29. P. 243 - 254.

7. BlRKHOFF G. On the structure abstract algebra // Proc.Cambridge Phil. Soc. 1935. № 31. P. 433-454.

8. CHANG C.C. Algebraic analysis of infinite valued logic // Tranc. Amer. Math. Soc. 1958. № 88. P. 467-490.

9. CHANG C.C. A new proof of the completeness of the Lukasiewicz axioms // Tranc. Amer. Math. Soc. 1959. № 93. P. 74-90.

10. DARNEL M.R. Theory of lattice-ordered groups // Marcel Dekker Inc., New York - Basel - Hong Kong. 1995.

11. DVURECENSKIJ A. Pseudo MV-algebras are intervals in /-groups // J.Austral.Math.Soc. Ser A. 2002. № 72. P. 427-445.

12. FINE В., GAGLIONE A.M., MYASNIKOV A.G., SPELLMAN D. Discriminating groups // J.Group Theory. 2001. № 4. P. 467-479.

13. FINE В., GAGLIONE A.M., MYASNIKOV A.G., SPELLMAN D. Groups whose universal theory is axiomatizable by quasi-identities // J.Group Theory. 2002. № 5. P. 365-381.

14. К У Р Ы Л Е В А О.А. Интерпретация арифметики в решетке идеалов свободной векторной решетки CJ-n. // Алгебра и логика. 2008. Т. 47, № 1. 71-82.

15. КУРЫЛЕВА, О.А. О квазимногообразиях псевдо-МУ-алгебр // Сиб. мат. ж. 2008. Т.49, № 3. 568-573.

16. МЕДВЕДЕВ Н.Я., КУРЫЛЕВА О.А. Интерпретация арифметики в решетке идеалов свободной абелевой Z-группы с тремя порождающими // Восьмая региональная конференции по математике "МАК - 2005". Тез. докладов. Барнаул: Изд-во Алт. Ун-та. 2005