Решеточная определяемость композиционных алгебр и их представлений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И.ЛЕНИНА

Диссертационный Совет К 053.01.02

. \) (\ На правах рукописи

1 Г. .'"'П пг^

ЧУПИНА Екатерина Ивановна

РЕШЕТОЧНАЯ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТЬ КОМПОЗИЦИОННЫХ АЛГЕБР И ИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1995

Работа выполнена в Московском педагогическом государственном университете им. В.И. Ленина.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ПЧЕЛИНЦЕВ C.B.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ТЮКАВКИН Д.В.

кандидат физико-математических наук

Ведущая организация — Институт математики СО РАН.

заседании Диссертационного Совета К 053.01.02 но присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Московском педагогическом государственном университете им. В.И. Ленина по адресу: Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ имени В.И. Ленина но адресу: 119435, Москва, Малая Пироговская ул., д. 1.

МИХАЛЕВ А.А.

Защита состоится ч.М......».

часов на

Автореферат разослан

Ученый секретарь Диссертационного Совета, КАРАСЕВ Г.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБСХШ

Актуальность темы исследования. Известно, что множество всех подалгебр алгебры образует решетку относительно естественных операций пересечения Л и объединения V .

При изучении различных алгебраических систем часто возникают разнообразные решетки, например, решетка всех подгрупп группы, решетка всех подколец /или идеалов/ кольца, решетка всех подмодулей модуля и т0д». Информация о строении этих решеток оказывается весьма полезной, поскольку в большинстве случаев прослеживается довольно тесная взаимосвязь свойств самой алгебраической системы со свойствами решетки ее подсистем.

В процессе достаточно длительного поиска ответов на вознзшцдае вопросы, в алгебре сформировались различные направления исследований«

В рамках теории групп эти направления являются общепризнанными и достаточно далеко продвинутыми.

Начало таким исследованиям было положено в 1928г„» когда АдРотлендэр рассматривала совокупность подгрупп конечной группы и отображения между групповыми структурами /решетками подгрупп/»

В конце 30-х годов в литературе появились работы Р^Бэра и О.Орэ, в которых было начато систематическое изучение связей между строением группы и строением решетки ее подгрупп. Эти исследования продолжили М.Судзуки /4/ и Л.Е.Садовский /3/, описавшие некоторые классы груди, у которых решеточный изомор»

«там индуцируется групповым изоморфизмом.

Наиболее выдающихся результатов в исследованиях решеточных изоморфизмов групп достиг Б.В.Яковлев /б/. Им найдены достаточные условия определяемоети группы решеткой своих подгрупп и на языке теории решеток сформулированы необходимые

и достаточные условия, при которых решетка изоморфна решетке подгрупп некоторой группы. Изучая зависимость между строением группы и строением решетки ее подгрупп для разрешимых: групп, Б„В»Яковлев доказал, что разрешимая группа при любом решеточном изоморфизме отображается в разрешимую группу.

Обзор основных исследований о связях между строением группы и строением решетки ее подгрупп содержится в монографии М.Суд-зуки /4/, работах Л.Е.Садовского /3/ и Б.В.Ековлева /6/.

В теории универсальных алгебр аналогичные исследования оформились в следующие направления:

1/ описание алгебр, у которых решетка подалгебр удовлетворяет специальным ограничениям;

2/ изучение решеточных изоморфизмов, т.е. изоморфизмов между решетками подалгебр;

3/ описание решеток лодалгебр для алгебр определенных классов.

Наибольшее развитие получили первые два направления. При этом, до настоящего времени в исследованиях решеточных изоморфизмов алгебр можно выделить три центральные проблемы /2/: а/ проблема решеточной определяемое™, которая заключается в нахождении решеточно определяющихся подклассов заданного класса универсальных алгебр;

б/ проблема решеточной классификации, которая состоит в

нахождении критерия изоморфизма решеток подалгебр двух произвольных алгебр заданного класса;

в/ проблема индуцируемости класса К в классе Ь , состоящая в описании тех алгебр из Ь , всякий решеточный изоморфизм которых на некоторую алгебру из К индуцируется изоморфизмом самих алгебр.

Начало исследованиям по решеточным изоморфизмам ассоциативных алгебр к алгебр Ли над полем Г положил Д.Барнес в 1964 и 1966 годах. В работе /в/ им положительно решен вопрос о решеточной определяемоети полупростой конечномерно® алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 , а в работе /9/ Д.Барнес доказал, что алгебра , (>г&2) над некото-

рым полем Г и даже полупросгая конечномерная ассоциативная алгебра к над алгебраически замкнутым полем (сШп/{>1) решеточно определены.

А.Г.Гейн, А.А.Лашхи, Д.Товерс развивают первое направление исследований для алгебр Ли, изучая алгебры с модулярной /лолу-модулярной и дистрибутивной/ решеткой подалгебр. Они же продолжили исследования по решеточным изоморфизмам алгебр Ли, изучая решеточные изоморфизмы разрешимых, нильиотентннх алгебр и свойства, инвариантные при решеточных изоморфизмах.

Продолжая исследования Д.Барнеса, проблему решеточной опре-деляемосги ассоциативных алгебр в своих работах решали А.В.Яг-жев /5/ и С.С.Коробков /1,2/.

Проблема решеточной определяемое™ неассоциативных алгебр, наряду с алгебрами Ли, решается в последние годы для наиболее

изученных классов неассоциативных алгебр: альтернативных, йордановых и алгебр Мальцева /7,10,11/,

При этом наибольшие успехи достигнуты в решении проблемы решеточной определкемости полупростых алгебр из этих классов. Проблема решеточной олределяемости полупростых конечномерных альтернативных алгебр сводится к исследованию данной проблемы для композиционных алгебр и матричных алгебр г\ц,

Известно, что над алгебраически затянутым полем Р существует всего четыре неизоморфных композиционных алгебры: /" , рФр , , С(Р) /матричная алгебра Кэли-Диксона/. В

диссертации доказывается решеточная ояределяемость алгебры Кзли-Диксона и связанных с него различных алгебраических структур.

Цель работы: решение проблемы решеточной олределяемости полупростых конечномерных альтернативных алгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики ф2 и расцепляемых нулевых расширений композиционных р -атгебр с помощью ■ бимодулей над ними.

Методы исследования: получает дальнейшее развитие метод Д.Барнеса; используется развитая структурная теория и комбинаторные методы неассодаативных алгебр.

Научная новизна. Основные результаты диссертации новые о Они получены лично автором и опубликованы. В более поздних научных исследованиях, выполненных зарубежными математиками /10,11/ были сняты некоторые ограничения на основное поле скаляров.

Теоретическая и практическая значимость.Работа носиг теоре-

тический характер. Полненные результаты могут быть использованы в дальнейшие научных исследованиях, связанных с изучением структуры и представлений композиционных алгебр и алгебр, близких к ним,

Апробация работы» Результаты диссертации докладывались на ГУ школе молодых математиков Сибири и Дальнего Востока /г.Новосибирск, 1987/, на алгебраических семинарах в Московском и Еийском педагогических институтах»

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 82 страницах. Состоит из введения, главы 0 , в которой вводятся необходимые обозначения и определения, приводятся ранее известные результаты, на которые в диссертации делаются ссылки, двух глав и списка литературы, содержащего 39 наименований.

Нумерация результатов, изложенных в диссертации, ведется по главам и является сквозной в каждой главе» Например, номер теоремы 1,2 обозначает теорему 2 из главы 1.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Первая глава диссертации разбита на 2 параграфа и посвящена решеточной определявшем полупростых конечномерных алгебр: альтернативных и мальцевских.

Основным результатом первого параграфа является

Теорема 1.1. Если существует решеточный изоморфизм полупростой конечномерной альтернативной адгебры к (dimA>l)

над алгебраически замкнутым полем г характеристики, отличной от 2 , на альтернативную р -алгебру В , то алгебры А и В изоморфны.

Доказательство данной теоремы опирается на пять лемм. При этом центральным результатом, который используется не только при доказательстве этой теоремы, но и теорем из других глав является

Лежа 1.2. Пусть Х(С)-ЖВ) - £ -изомотхбизм матричной алгебры Кэли-Диксона С на альтернативную алгебру

Б . Тогда С = В .

Во втором параграфе главы 1 исследуется решеточная опреде^ ляемость полупростой конечномерной бинарно лиевой алгебры над алгебраически замкнутым полем f характеристики 0.

Напомним, что бинарно лиевой алгеброй называется алгебра, у которой любая 2-порожденная подалгебра будет лиевой. В частности, алгебры Ли и алгебры Мальцева являются бинарно лиевыми.

Теот>ема 1.2. Пусть -изоморфизм

полупростой бинарно лиевой алгебры Ь на бинарно лкевую алгебру 6 . Тогда

Доказательство этой теоремы разбито на несколько этапов« Прежде всего дана характеризация радикала бинарно лиевой алгебры в терминах решетки подалгебр.

Лемма 1.6. Радикал бинарно лиевой алгебры А

равен пересечению всех ее максимальных разрешимых подалгебр.

Поскольку полудростая бинарно лиева Р -алгебра разлагается в прямую сушу идеалов, каждый из которых является либо простой алгеброй Ли, либо изоморфен /17 /М* - простая нелиева алгебра Мальцева размерности 7 над р /, то необходимо доказать решеточную определяемость алгебры М?. Это сделано в следующей лемме^

Леша 1.8. Если у- £ -изоморфизм простой алгебры Мальцева Д = на бинарно лиеву алгебру В , то к == В .

Следуя схеме доказательства теоремы 1»2, мы получаем решеточную определяемость присоединенной алгебры С* * в классе конечномерных бинарно лиевых Р -алгебр.

Следствие. Если конечномерная бинарно лиева Р -алгебра А -изоморфна Г -алгебре С^} , то Ь = С^ \

Во второй главе рассматривается решеточная определяемость конечномерных альтернативных алгебр. Поскольку каждая такая алгебра разлагается в полупрямую сушу полупростой подалгебры и ее радикала, являвшегося модулем над ее полупростой компонентой, го принципиальным является частный случай:

С другой стороны, предложен подход к доказательству решеточной определяемоети неприводимых представлений конечнвмерных полупростых алгебр»

- 10 -

Глава 2 состоит из двух параграфов, 3 первом параграфе доказывается решеточная определяемость расщепляемого нулевого расширения матричной алгебры Кэли-Диксона С с помощью альтернативного неприводимого С -бимодуля А^ ,

Напомним понятие расщепляемого нулевого расширения алгебры А с помощью А -бимодуля«

Пусть ТТС - некоторое многообразие алгебр над полем р . Предположим, что для алгебры к из УГ1 и линейного пространства М над Г определены билинейные композиции А ХМ_>Н, МХА-*М , записываемые даш ае/4 и ГпеМ кж.а°т и гтг°а . Тогда прямую . сумму /им пространств /ч и можно превратить в алгебру над ¥ , определив умножение по правилу:

(а1+171^(^+1712)= +(т{ °а2 + а^т2)

где &[£к, /Тг^/М . Ясно, что А - подалгебра в ней, Д| -идеал, такой, что , Обозначим эту алгебру через А* М .

Полученную алгебру называют расщепляемым нулевым расширением алгебры к с помощью М „ Если алгебра А ХМ снова принадлежит многообразию 7ТС , то М называется бимодулем над алгеброй А /или А -бимодулем/ в многообразии VI /обозначают Л!д /.

Всякую алгебру Д можно рассматривать как бимодуль над собой, интерпретируя то а и 3 °П7 как умножение в алгебре ^ /ШЛ и № /, Такие бкмодули называются регулярными. Известно /12/, что для р -алгебры Кэли-Диксона С альтернативный неприводимый С -бимодуль Мд изоморфен регулярному (?-би~ модулю. Справедлива следующая

Теорема 2.1, Если существует решеточный изоморфизм ¥ % , где А - альтернативная алгебра над алгебраически замкнутым полем Р(скагрФ2) , С - Г-алгебра Каго-Диксона, - расщепляемое нулевое расшире-

ние алгебры С с помощь© альтернативного неприводимого бимодуля М^, то А = С А Мр*

Так как альтернативный С -бимодуль вполне приводим /12/, но имеет место

Следетвиед Если

-изоморфизм

расщепляемого нулевого расширения Р -алгебры Кзли-Ликсона С с помощью альтернативного унитарного С -бимодуля Л1/? на альтернативную Р -алгебру Д , С ^Мр '

Теорема 2.2. Пусть

расщепляемое нулевое расширение альтернативной Я-алгебры Т с помощью альтернативного неприводимого / -бимодуля Г1Т . Если тоМГ = МС и т=с .

Во втором параграфе главы исследуются решетки расщепляемых нулевых расширений алгебр Г ^ с помошью альтер-

нативных бшодулей над ними.

Если А—р®р » то ее регулярный бимодуль Ид и /4-бимодуль Кэли-Ддксона Мд разлагаются в прямую сумму одномерных неприводимых подбимодулей над А /12/, Если

У\а +М2,Ма=М3+М4,то М,=Ге,, М2 =Ге2, М3=Ре,

62 » где , 62 - ненулевые ортогональные идемпотектн, такие, что Qj +82 = /» 6-f=&z - Знак А /крышка/

означает, что умножение в алгебре А Л М/ задано так:

(ai+m)(ai-i-n)^aiai +т°а2), ^

djoti =па{, т°аг - та2 , V еЛ,Vm,neMA.

Отображение CL^-CL является инволюцией алгебры А . Имеет место

Теорема 2.3, Пусть f : <£(А У+£1В)- решеточный изоморФизг.с алгебры А на некоторую альтернативную F-алгебру В , где А А Ма - расщепляемое нулевое расширение алгебры /I = F®F с помощью неприводимого /4 -бнмодуля Мд 1/ Если - неприводимый подбшодуль регулярного к -бкмодуля, то B=AAMj ИЛИ В — /4

2/ Если Mj - кепрт-шодашй подбшодуль Кэли-бвмодуля над А , то В=АхМ3 или В=ДхМ4.

Это значит, что алгебры /UM, и /4 решеточно изоморфны, но не изоморфны. То же можно сказать и об алгебрах

А * М3 и Д х М4о

Однако расщепляемые нулевые расширения алгебры A-F&F с помощью регулярного А -бимодуля и Кэли-бимодуля над А решеточно определены. Это доказано в теоремах 2.4 и 2.5. В случае, если . то имеет место

Теорема 2.6, Если существует решеточный изоморфизм где и - ахнтернативная алгебра над алгебраически замкнутым полем Г /сЬйГ-рф 2 /, А М 2 (Р) ~ алгебра матриц второго порядка над р , Д ¿Мд - расщепляемое нулевое расширение алгебры А с помощью ее неприводимого би-модуля МА , то

Так как бимодуль над Д вполне приводам /12/, то из теоремы вытекает очевидное

Следствие. Пусть И = М^Г} - алгебра матриц второго порядка над алгебраически замкнутым полем

/- пШРФ!),

А А _ расщепляемое нулевое расширение алгебры А с помощью какого-либо унитарного А -бимодуля. Если У : )

э£(В) - решеточный изоморфизм алгебры Л^Мд на альтернативную Г -алгебру $ , то А /<Мд == В •

Известно, что для конечномерной альтернативной алгебры

над алгебраически замкнутым полем р характеристики Ф 2 имеет место равенство

, где Л/=Ж//4 - нильрадикал алгебры А > В ~ подалгебра алгебры А , изоморфная А/М • Бели , то очевидно, что А/ - бимодуль над алгеброй В «

Тогда, учитывая следствия из теорем 2,1 и 2.6 имеет место

Основная теорема. Пусть А - конечномерная альтернативная алгебра с л над алгебраически, замкнутым полем

р(скагрф2)

и ( А/11 /4 )2= (0) . Если полупросгая компонента алгебры И

есть прямая сумма матричных алгебр второго порядка и алгебр

Кэли-Диксона, то алгебра Л решеточно определена в классе

альтернативных алгебр.

ЛИТЕРАТУРА

1. Коробков С.С. Решеточные изоморфизмы ассоциативных ниль-алгебр// Изв. вузов. Математика.- 1981. М.- С.80-82.

2. Коробков С.С. Решеточные изоморфизмы ассоциативных нильколец: АвтореФ. дисс... канд. физ.-магем. наук,- Кишинев, 1982.

3. Садовский Л.Ев Некоторые теоретико-структурные вопросы теории групп// yen, матем. наук,- 1968.- Т.23., Вып.З,-С.123-157.

4. Судзуки М. Строение группы и строение структуры ее подгрупп.- М.: ИИ, 1960.

5. Ягжев A.B. Решеточная определяемоеть некоторых матричных алгебр// Алгебра и логика.- 1974.- Т.13, М.- С.104-116.

6. Яковлев Б.В. Решеточные изоморфизмы разрешимых, некоторых матричных и других групп// Автореф. дисс, на соискание

ученой степени доктора физ„-матем. наук.- Новосибирск, 1988.

7. Anqueta. J.A, lattice dejlnaklty of semLsimjite Jordan a!qe&ms//Commun. AlQe6ra.ri99irV.19, ^5r?.ñ09-1427.

e. Barnes D.W. lattice isomorphisms $ algebras// °T AuAral. Math. Soar 1984-. №.-?. ¥f0-475. 9. Barnes D.W. lattice tsomorp-hUms of associative algekas fi J. Austral. Math. $oc.-{9ß6rV.BtMir?J06--Ш.

ю.ElduqueL Lattice isomorphisms of Matceir Aigefiras //Proceedings of the Kopl Soc. of EdMuf<jh.~i9U. -V.iD9A.-2 37-50.

11. LalLena X Lattice Isomorphisms of Atternative

ЩеЫ //1 Afyefca. 4990. V.128, n. ~P335 -355.

12,/1с Штоп К, Bimodufes for corn/iosltion akehas //Уж. timer. Math. Zoc,.~19B$.~V. ft-p. UO-W

ПУЕЛЖЩ-5И АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Чупина Е.И. Решеточная определяемость полупростых конечномерных альтернативных алгебр// Сиб. матем. дурнал,- 1987,- Т.28, С.198-202.

2. Чупина В. И. Решеточная определяемость полупростой конечномерной алгебры Мальцева над алгебраически замкнутым полем характеристики О // Тезисы. Труды Международной алгебраической конф. памяти А.И.Мальцева»- Новосибирск, 1989.

3. Чупина Е.И. Решеточная определяемость полупростой конечномерной бинарно лиевой алгебры над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 // Матем. заметки.-1991.- Г.43, т.- С.131-134.

4. Чупина Е.И. Решеточная определяемость точного неприводимого альтернативного бимодуля над алгеброй Кэли-Диксона// Симпозиум Абелевы группы: Тезисы выступлений участников.-Еийск, 1994.- С.42.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, профессору СоВоПчелинцеву за постоянную поддержку и помощь в работе.

4.