Полукольца непрерывных функций с топологией поточечной сходимости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

а-/050-'6

I

а

вятскии государственный педагогический

университет

На правах рукописи

Подлевских Марина Николаевна

ПОЛУКОЛЬЦА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

С ТОПОЛОГИЕЙ ПОТОЧЕЧНОЙ СХОДИМОСТИ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ВЕЧТОМОВ Е. М.

киров - 1999

Содержание

0.1 Введение ............................. 3

1 Идеалы и конгруэнции в полукольцах 18

1.1 Основные определения и понятия . ...........................19

1.2 Решеточно упорядоченные полукольца........................28

1.3 Полукольца непрерывных функций . . ............38

2 Замкнутые конгруэнции на полукольцах непрерывных неотрицательных функций 47

2.1 Строение замкнутых конгруэнции . . . ...........48

2.2 Решетка замкнутых конгруэнции............... 57

2.3 Фактор-полукольца полуколец С^{Х).............63

3 Замкнутые идеалы и двойственность для полуколец непрерывных функций со значением в топологическом полукольце 68

3.1 Замкнутые идеалы........................ 69

3.2 Теорема двойственности....................74

Литература 83

0.1 Введение

Диссертация посвящена разделу функциональной алгебры - полукольцам непрерывных функций. Большая часть результатов относится к полукольцам непрерывных функций, рассматриваемых с топологией поточечной сходимости, то есть к тополого-алгебраическим объектам.

Изучение полуколец непрерывных функций является логическим продолжением исследования традиционных алгебраических объектов - колец непрерывных функций - и в достаточной мере использует факты и методы данной теории.

Пусть X - топологическое пространство и 5 - топологическое полукольцо. Через С(Х, 5) обозначается полукольцо всех непрерывных 5-значных функций, определенных на X, с поточечно заданными операциями сложения и умножения. Если в качестве 5 рассматриваются числовые множества Л (К+ и {0}, то соответственно имеем кольцо С(Х) (полукольцо С+(Х), полуполе 11{Х)) всех действительнозначных (положительных, неотрицательных) непрерывных функций. Вводя на указанных выше объектах топологию поточечной сходимости, получаем тополого-алгебраические системы функций: СР(Х, 5), СР(Х), С£(Х) и

ир(х).

Изучение колец С(Х) началось с работ Стоуна [40], И.М.Гельфанда и А.Н.Колмогорова [12] во второй половине 30-х годов XX века. Из обширной библиографии по теории колец непрерывных функций укажем монографию Гиллмана и Джерисона [33], важные статьи Капланского [36], Хьюитта [35], Нагаты [37], а также обзорные работы Е.М.Вечтомова [6], [7], [41], [42]. Тополого-алгебраическим объектам СР(Х), в частности, кольцам СР(Х) посвящены монография А.В.Архангельского [1] и обзорная статья В.В.Пашенкова [18].

Полукольца С+(Х) появляются в литературе с 1955 года [39], [13], [34]. Алгебраическое строение полуполей II(X) изучается участниками алгебраического семинара Вятского госпедуниверситета с 1995 года [9], [20], [21], [5]. Систематическое исследование полуколец С+(Х) и полуполей и(Х) отражено в диссертациях В.И.Варанкиной и И.А.Семеновой . Эти работы посвящены максимальным идеалам, делимости [4] и конгру-энциям [22] на полукольцах непрерывных функций. Отметим, что впервые конгруэнции на полукольцах С+(Х) для тихоновских пространств X рассматривались в статьях [30], [31]. Подалгебры в полукольцах непрерывных функций исследуются в работах [19] и [24]. Полукольца непрерывных функций, их фактор-полукольца находят применение - через пучковые представления - в общей теории полуколец [11], [26] - [28].

Полукольца непрерывных функций являются важными конкретными объектами в общей теории полуколец. Определение полукольца было дано Вандовером в 1934 году. Общая теория полуколец возникла в 50-е годы XX столетия. Особенно интенсивно данная теория развивается в последние 15 лет, что связано с её успешным применением в дискретной математике, компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории управления и других разделах математики (см., например: [16] и [34]). Теория алгебраических систем непрерывных функций на топологических пространствах имеет дело с решением трех основных классов задач:

1. Изучение двойственностей между топологическими пространствами и порожденными ими алгебраическими системами функций. Частью этой задачи являются вопросы определяемости тех или иных классов топологических пространств производными алгебраическими объектами;

2. Исследование связей между топологическими свойствами тополо-

гических пространств и алгебраическими свойствами систем функций;

3. Описание алгебраических свойств, общих для всех алгебраических систем функций, единообразно порожденных топологическими пространствами. В частности, выделение характеристических свойств этих алгебраических объектов.

При рассмотрении тополого-алгебраических систем непрерывных функций, к которым, в частности, относятся исследуемые топологические полукольца СР(Х,Б), С£(Х) и 11р(Х), перечисленные выше задачи могут варьироваться. Так, например, возникает задача изучения тополого-алгебраических подобъектов систем функций, их свойств и взаимосвязей с топологией пространства X. Становится возможным рассматривать непрерывные отображения и непрерывные гомоморфные образы систем функций, их фактор-системы с фактор-топологией. Наличие топологии в системах функций влияет также и на решение задачи об определяемости данными системами топологических пространств.

В диссертации рассматриваются полукольца непрерывных функций относительно топологии поточечной сходимости, значение которой в тополого-алгебраических исследованиях показано в отмеченных выше работах [1] и [18]. Это значение определяется, в частности, следующими фактами: указанная топология является наименьшей среди практически всех естественных топологий, рассматриваемых на пространствах функций; тихоновское пространство X с точностью до гомеоморфизма определяется топологическим кольцом СР(Х) [37]. Топология поточечной сходимости, называемая ещё топологией произведения или тихоновской топологией, играет важную роль в общей топологии, в функциональном анализе, в топологической алгебре, при построении различных тополого - алгебраических двойственностей.

Кроме того, топологические свойства полуколец С+{Х) и UP(X) оказываются тесно связанными с естественным порядком, введенным на этих объектах. Этот факт - проявление свойств естественной топологии множества R. Поэтому наряду с тополого-алгебраическими объектами СР(Х), Ср(Х), UP(X) вызывают интерес упорядоченные алгебраические системы С(Х), С+(Х) и U(X) с естественным порядком и их обобщения - решеточно-упорядоченные кольца и полукольца. Теория упорядоченных алгебраических систем подробно изложена в книгах [2] и [25].

Введение порядка позволяет также изучать аддитивно идемпотент-ные полукольца CV(X), Ср(Х), UV(X), Up(X), где в качестве сложения берется операция взятия точной верхней грани двух функций.

В рамках сформулированных выше проблем, связанных с исследованием топологических полуколец непрерывных функций, в диссертации решены следующие основные задачи:

1. Описаны замкнутые конгруэнции на полукольцах Ср(Х) и Ср(Х) и полуполях UP(X) и Up(X) (теорема 2.1.1);

2. Дано описание замкнутых идеалов в полукольцах СР(Х, S) для ^-отделимого пространства X и замкнутых простых идеалов в случае ¿'-тихоновских пространств (теорема 3.1.1 и теорема 3.1.2);

3. Доказана определяемость тихоновского пространства каждой из решеток конгруэнций Con С+(Х), Con Ср(Х), Con UP(X) и Con Up(X) ( теорема 2.2.1);

4. Доказана теорема двойственности для полуколец CP(X,S) (теорема 3.2.2).

В диссертации применяются методы и результаты общей теории полуколец и теории колец и полуколец непрерывных функций. Большую роль в главах 1 и 2 играет метод соответствий. Рассматриваются со-

ответствия между конгруэнциями аддитивно сократимого полукольца и идеалами его кольца разностей, а также соответствия между их идеалами. Указанные соответствия, ставшие уже традиционными в применении, дают новые результаты для случая топологических полуколец и колец.

При описании замкнутых конгруэнции в главе 2 используется специфика топологии поточечной сходимости. В главе 3 существенно используются свойства и техника проектирования пространства произведения на координатные пространства.

Дадим краткий анализ содержания диссертации. Диссертация содержит введение, три главы, разбитых на 8 параграфов, и список литературы из 51 наименования.

В главе 1 вводятся основные понятия, используемые в диссертации; рассматриваются решеточно упорядоченные полукольца как обобщения полуколец непрерывных функций; исследуются некоторые свойства идеалов и конгруэнций на данных объектах.

В параграфе 1.1 приведены примеры идеалов и конгруэнций на полукольцах. Рассматривается аддитивно сократимое полукольцо 5 и его кольцо разностей Я. Вводятся соответствия а и (3, устанавливающие изоморфизм между решеткой разностных идеалов в Л и решеткой полустрогих идеалов 5.

В этом же параграфе для 5и К определяются:

1) отображение 7, ставящее в соответствие каждому идеалу I кольца Я, конгруэнцию 7 (/) полукольца причем

а 7(/) Ь а — Ь Е / для любых

2) отображение 5, которое ставит в соответствие каждой конгруэнции р на 5 идеал 8 (р) = {в — t Е Я : ^ Б ж вр^ кольца В..

Отметим, что свойства данных отображений рассмотрены в работах [4] и [22].

Указанные отображения дают общий метод соответствий для изучения идеалов и конгруэнции на аддитивно сократимых полукольцах, к которым, в частности, относятся полукольца С+(Х) и и(Х).

Введение поточечного порядка на полукольцах С+(Х) и и(Х):

/ < д <==> /(х) < д(х) для всех х € X —

превращает эти объекты в решеточно упорядоченные полукольца. Ре-шеточно упорядоченными полукольцами относительно рассмотренного выше порядка являются также аддитивно идемпотентные полукольца СУ(Х) и иу(Х). Так как операции сложения в С+(Х) и Су (X) различны, то для параллельного изучения указанные полукольца удобно рассматривать как подполуобъекты некоторой общей алгебраической структуры. Такой структурой, несомненно, будет кольцо С{Х), которое также является решеткой относительно порядка <. Данную ситуацию можно обобщить, используя понятия решеточно упорядоченного полукольца и кольца.

Решеточно упорядоченным полукольцам посвящен параграф 1.2, основными результатами которого являются предложение 1.2.1 и теорема 1.2.1.

Предложение 1.2.1. Произвольное решеточно упорядоченное полукольцо Б является положительным конусом некоторого решеточно упорядоченного кольца в том и только в том случае, когда для любых а,Ъ Е Б с условием а < Ь существует единственный элемент с Е Б, такой, что Ь — а + с.

Теорема 1.2.1. Для произвольного идеала I решеточно упорядо-

ценного кольца Я эквиваленты условия:

1) 7(/) — конгруэнция на ВУ;

2) I — абсолютно выпуклый;

3)1 — выпуклый, и а £ I влечет |а| Е /;

4) I — выпуклый идеал кольца, являющийся /\-полурешеткой;

5) I — выпуклый идеал кольца, являющийся У-полурешеткой;

6) I — разностный выпуклый;

7) I — разностный, и IП — строгий идеал в Я+;

8) I — разностный, и I П — строгий идеал в

Теорема 1.2.1 позволяет построить примеры, показывающие, что множества конгруэнции на полукольцах С+(Х) и СУ(Х) не содержатся друг в друге. Такие примеры приведены в следующем параграфе, посвященном полукольцам непрерывных функций.

В параграфе 1.3 вводятся в рассмотрение топологические полукольца

СР(Х) ,С+{Х,) О, ир(Х),

Обобщением данных понятий является полукольцо СР(Х, 5) всех непрерывных функций, определенных на X, со значением в топологическом полукольце 5.

В этом параграфе рассматриваются некоторые предварительные результаты о замкнутых идеалах в полукольцах Ср(Х).

Предложение 1.3.1. Если X - И-отделимое пространство, то произвольный замкнутый идеал полукольца С£(Х) является выпуклым.

Отображения а и /3, введенные в параграфе 1.1, для аддитивно сократимого полукольца Ср{Х) и его кольца разностей СР(Х) определяются следующим образом:

- а (I) = 1Г\С+(Х) для произвольного идеала I кольца СР(Х);

- ¡3(J) = J — J = {х — у : х,у Е J} для любого идеала J полукольца

СЦХ).

Предложение 1.3.2. Если X - тихоновское пространство, то отображения а и (3 устанавливают взаимно однозначное соответствие между множествами замкнутых идеалов кольца СР(Х) и полукольца Ср(Х).

В главе 2 дается описание замкнутых конгруэнции на полукольцах Ср(Х), Up(X), Ср(Х) и Up(X); показывается определяемость тихоновского пространства каждой из решеток конгруэнций Con С£(Х), Con Ср(. Con UP(X) и Con Up(X); рассматриваются непрерывные гомоморфные образы полукольца С^(Х).

Параграф 2.1 посвящен изучению строения замкнутых конгруэнций на топологических полукольцах непрерывных функций.

Пусть SP{X) - одно из полуколец С+(Х), UP(X), Сур(Х) или U%(X) и р - конгруэнция на SP(X).

Конгруэнция р называется замкнутой, если множество {(/,g) : fpg} замкнуто в тихоновском произведении 5Р(Х) х SP(X).

Конгруэнция р называется конгруэнцией, ассоциированной с множеством А С X, и обозначается Ра, если fpg <==>- /\а = g¡A для любых f,geSp(X).

Теорема 2.1.1. Для любого тихоновского пространства X и произвольной конгруэнции р на SP(X) равносильны условия:

1) р - замкнутая конгруэнция;

2) р = ра для некоторого однозначно определенного замкнутого

множества А С X.

Замкнутые конгруэнции на полукольце БР{Х) образуют решетку, различные свойства которой рассмотрены в параграфе 2.2. В доказательствах приведенных ниже предложений так или иначе используется строение замкнутых конгруэнций.

Далее пространство X считаем тихоновским.

Предложение 2.2.1. Максимальными среди замкнутых конгруэнций на Зр(Х) являются конгруэнции р{х} ,хЕХ.

Предложение 2.2.2. Решетка Соп 5Р(Х) изоморфна решетке О(X) всех открытых множеств пространства X.

В полукольцах СР(Х, Б) рассмотрим идеалы вида МА = У еСр(Х,Б): ¡(А) = {0}}

для множеств АС. X.

Связь между замкнутыми идеалами и замкнутыми конгруэнциями в полукольце Ср{Х) демонстрирует следующее предложение.

Предложение 2.2.3. Замкнутые идеалы в Ср(Х), как и в СР(Х), совпадают с множествами вида Мд для всевозможных замкнутых множеств А С X.

Отметим, что описание замкнутых идеалов в более общем случае дается в параграфе 3.1.

Основным результатом параграфа 2.2. является следующая теорема:

Теорема 2.2.1. Произвольное тихоновское пространство X опре-

деляетсл с точностью до гомеоморфизма каждой из решеток : Con Con Up(X), Con Ср(Х), Con Up (X) и решеткой Id СР{Х) всех замкнутых идеалов кольца Ср(Х).

Строение замкнутых конгруэнции позволяет дать следующую алгебраическую характеризацию нормальных пространств:

Предложение 2.2.4. Для произвольного тихоновского пространства X эквивалентны следующие условия:

1) решетка Con С^(Х) является подрешеткой решетки Con С+(Х);

2) решетка Con UP(X) является подрешеткой решетки Con U(X);

3) решетка Con СУ(Х) является подрешеткой решетки Con Су (X);

4) решетка Con Uy(X) является подрешеткой решетки Con Uy(X);

5) решетка Id, СР(Х) является подрешеткой решетки Id С(Х);

6) X - нормальное пространство.

Замкнутые конгруэнции играют основную роль при факторизации топологических полуколец. В параграфе 2.3 показано, что фактор-полукол Ср(Х)/ра в фактор-топологии с точностью до изоморфизма исчерпываются все открытые гомоморфные образы полукольца С+{Х) в случае тихоновского пространства X.

Предложение 2.3.2. Пусть X - тихоновское пространство. Если топологическое полукольцо S - непрерывный открытый образ топологического полукольца С^{Х), являющийся Т\ - пространством, то S топологически изоморфно фак тор-полукольцу Ср{Х)/рА для некоторого замкнутого множества А С X.

Непустое подмножество А топологического пространства X называ-

ется С -расширяемым в X, если любая функция из С (А) (равносильно: из Ср(А)) непрерывно продолжается на X. Для С-расширяемого замкнутого множества тихоновского пространства X имеет место следующий результат:

Предложение 2.3.3. Если X - тихоновское пространство, то для любого С -расширяемого замкнутого А С X

с;{х)/рА - ср+(л).

Глава 3 имеет более общий характер. В ней рассматриваются топологические полукольца

СР(Х, Б) всех непрерывных функций, определенных на пространстве X, со значениями в топологическом полукольце Б. Для СР(Х, Б) дано описание замкнутых идеалов и доказывается теорема двойственности.

Параграф 3.1 посвящен изучению строения замкнутых идеалов полукольца СР(Х, Б). Для 5-отделимого пространства X доказывается следующее предложение, в котором через 1[х] обозначается замыкание в Б идеала {/(ж).: / € /}.

Предложение 3.1.1. Пусть X - Б-отделимое пространство и I -правый идеал полукольца СР(Х,Б). Для замкнутости I необходимо и достаточно выполнение равенства

I = п ^Ч'М).

хех

Для случая простого топологического полукольца 5 на основе предложения 3.1.1 доказывается теорема о строении замкнутых идеалов.

Далее считаем, что в топологическом полукольце 5 точка 0 замкнута.

Теорема 3.1.1. Пусть 5 - простое топологическое полукольцо и X - 5-отделимое пространство. Тогда замкнутые идеалы в СР(Х, 5) -это в точности идеалы вида Мд для всевозможных замкнутых А С X.

Данная теорема имеет важные следствия в случае 5-тихоновского