Абелево-регулярные положительные полукольца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Старостина Ольга Валентиновна

АБЕЛЕВО-РЕГУЛЯРНЫЕ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ ПОЛУКОЛЬЦА

Специальность 01 01 06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ООЗ15854Б

Москва - 2007

Работа выполнена на кафедре высшей математики физико-математического факультета Вятского государственного гуманитарного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ВЕЧТОМОВ Евгений Михайлович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор ТУГАНБАЕВ Аскар Аканович

доктор физико-математических наук, профессор КОЖУХОВ Игорь Борисович

Ведущая организация* Казанский государственный университет

Защита состоится «Л»ектпиир-Я 2007 г в 46ео часов на заседании диссертационного совета К 212 154 03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу 107140, г Москва, ул Краснопрудная, д 14, ауд 301

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу 119992, г Москва, ул Малая Пироговская, д 1

Автореферат разослан ^ИРьШт^^Л 2007 г

Ученый секретарь / '

диссертационного совета у<Г^4п ^^ КАРАСЕВ

Общая характеристика работы Актуальность темы Диссертация посвящена изучению одного из классов полуколец - абелево-регулярных положительных полуколец (агр-полуколец), являющихся своеобразным симбиозом дистрибутивных решеток и полутел и допускающих вполне удовлетворительное структурное описание Общая теория полуколец возникла в 50-е годы XX столетия и в настоящее время является активно развивающимся разделом современной алгебры. Это связано от части с успешным применением ее в дискретной математике, компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления и других разделах математики [11, 18, 19] Ей посвящены монографии Голана [18], Хебиша и Вайнерта [19], обзор Глазека [17]. Среди публикаций последнего десятилетия следует отметить работы И И Богданова [1], Е.М. Вечтомова [4], С.Н. Ильина [9], A.B. Ряттель [12], А.Н Семенова [13], В В Чермных [14], касающиеся строения различных классов полуколец и полутел Частными случаями полуколец являются ассоциативные кольца, ограниченные дистрибутивные решетки, полутела.

Многие полукольца имеют хорошие функциональные (пучковые) представления [15, 16, 20]. Это делает актуальным изучение полуколец непрерывных функций Систематическим изучением полуколец й полуполей непрерывных функций занимаются Е М Вечтомов и его ученики [2, 5]

Полукольцом называется алгебра {S,+, ,0) с двумя бинарными операциями сложения + и умножения •, если {S, +, 0) - коммутативный моноид, (S, ) - полугруппа, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон и тождественно 0 • х = х • 0 = 0

Полукольца образуют широкий класс алгебраических объектов Поэтому для успешного изучения полуколец на них накладываются естественные дополнительные условия, ограничения, позволяющие выделить важные классы полуколец. В ряде случаев это позволяет сводить исследование полуколец к более известным, достаточно хорошо изученным объектам, например, коль-

цам или дистрибутивным решеткам В дальнейшем рассматриваемые полукольца, если не оговорено особо, содержат единицу, отличную от нуля Полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом.

Коммутативные arp-полукольца впервые рассматривал Е M Вечтомов в 1992 году [3, замечание 3]. Под названием ПРС-полукольца они фигурировали в докладе [8] Структурная теория атр-полуколец была развита в работе Е M Вечтомова, А В Михалева и В В Чермных [6]

Агр-полукольцо - это положительное (элемент а +1 обратим s S для любого а € 5), регулярное (для каждого а € S уравнение axa = а разрешимо в 5) полукольцо, каждый идемпотент е (е2 = е) которого централен. Агр-полукольцо S называется булевым, если для каждого его идемпотента е существует дополнение, т е. такой элемент е' Е S, что е+е' = 1 и е е' = 0. Класс arp-полуколец достаточно обширен, он содержит все ограниченные дистрибутивные решетки и все полутела Arp-nonyкольца находят применение в теории матриц над полукольцами [9], при исследовании полутел *и полуколец непрерывных функций

С каждым arp-полукольцом S связана тройка (L(S),U(S),<ps} [6]i где L(S) - множество всех идемпотентов S, образующих ограниченную дистрибутивную решетку относительно естественного порядка а < b ab = а, U(S) - множество всех обратимых элементов S, являющееся полутелом без нуля относительно операций сложения и умножения в S Отображение ips~. L(S) —» ConU(S) - антигомоморфизм решетки L(S) в решетку кон-груэнций СопС/(5) полутела U(S), сопоставляющий каждому идемпотенту е 6 L(S) конгруэнцию <р(е).

uip{e)v eu = ev, и, v € U (S)

Возникает естественно вопрос о восстановлении arp-полукольца по абстрактной тройке {L, U,<p), состоящей из ограниченной дистрибутивной решетки L, полутела без нуля U и решеточного антигомоморфизма <р. L

Соп и, переводящего 0 в 1 и 1 в 0. Тройка вида {¿(5), и (Я), Фв) для некоторого агр-полукольца Б называется индуцированной. Индуцированные тройки (Ь1г Их, <рх) и (Ь2,1/2, <¿>2) называются изоморфными, если существует пара (/3,7) таких изоморфизмов Ьг -»• Ь2, 7. и1 —> и2, что г«^1(е)г; равносильно 7(и)¥з2(/?(е))7(")

В [6] сформулированы следующие вопросы

1) Всякая ли. тройка {Ь, С/, <р) индуцируется некоторым агр-полукольцом?

2) Из изоморфизма индуцированных троек следует ли изоморфизм соответствующих агр-полуколец? 6

В [6, теорема 3 3] было установлено, что для индуцированности тройки (Ь, и, (р) достаточно, чтобы Iтер содержался в некоторой булевой подрешетке решетки Соп?7. Второй вопрос был положительно решен для предбулевых полуколец, т е. для агр-полуколец, у которых \mips является булевой подре-шеткой в решетке Соп£7(5), и для идемпотентных агр-полуколец. В общем случае вопрос оставался открытым. В статье [6] были также изучены некоторые свойства предбулевых и идемпотентных полуколец в терминах индуцированных троек

Цель работы Изучение структуры агр-полуколец и исследование их свойств

Научная новизна. В диссертации решены указанные принципиальные задачи для произвольных агр-полуколец Основными результатами можно назвать следующие*

1 Завершено описание структуры агр-полуколец, начатое в работе [6] Показано, что любое йгр-полукольцо однозначно с точностью до изоморфизма восстанавливается по своей индуцированной тройке Дан критерий индуцированности произвольной абстрактной тройки. Перенесены и уточнены результаты, полученные ранее для предбулевых полуколец.

2. Получено функциональное описание агр-полуколец

3. Дано описание конгруэнций и гомоморфизмов произвольных агр-

полуколец в терминах индуцированных троек. Установлено, что решетка кон-груэнций Соп5 агр-полукольца 5 является подпрямым произведение решеток Соп Ь(£) и Conl7(S,) и ретрактом решетки Соп1(5) х Соп и (в) 4 Описаны инъективные идеалы агр-полуколец

5. Рассмотрены различные характеризации обобщенных агр-полуколец. Методы исследования В работе используются методы, идеи и конструкции теории полуколец, теории решеток, теории колец и модулей, универсальной алгебры

Теоретическое и прикладное значение. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях полуколец, в теории полумодулей над полукольцами, при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров в высших учебных заведениях.

Апробация диссертации. Результаты диссертации докладывались на семинаре „Кольца и модули" кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ (февраль 2006 г.), на итоговых научных конференциях ВятГГУ и на научном алгебраическом семинаре Вятского государственного гуманитарного университета (2005-2007 г г)

Публикации По теме диссертации опубликовано 10 работ (их список приведен в конце автореферата)

Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на 10 параграфов (нумерация параграфов сплошная), и списка литературы из 60 наименований Общий объем диссертации 90 страниц Обзор содержания работы Во введении обоснована актуальность темы, формулируются задачи исследования, приводится аннотация основных результатов диссертации

Первая глава посвящена началам теории полуколец В первом параграфе вводятся исходные понятия и сформулированы известные утверждения теории полуколец, используемые в диссертации Во втором параграфе приведены примеры агр-полуколец, их простейшие свойства и основные резуль-

таты из статьи [6], полученные для предбулевых полуколец

Во второй главе даны ответы на вопросы 1) и 2), тем самым завершено описание строения arp-полуколец, которое было развито в работе [6]

В параграфе 3 для любого е € L(S) вводится бинарное отношение ф(е) на полутеле U (S)

иф{е)у и + ex = v + еу для некоторых х, у € U(S),

являющееся конгруэнцией на U(S) Ставя в соответствие каждому идемпо-тенту соответствующую конгруэнцию, получаем отображение ф$ ¿(5) —т ConU(S),e ф(е). Важнейшее свойство конгруэнций ф(е), е е L(S), отражено в следующей лемме.

Основная лемма. Конгруэнции ф(е) и <р{е) являются дополнениями друг друга в решетке ConU(S) для любого е € L(S).

Отображение ips- L(S) -> ConU(S), е и- ф(е), является решеточным гомоморфизмом, сохраняющим 0 и 1

Установлено, что для любого агр-полукольца S образ антигомоморфизма Imy>5 вкладывается в булеву подрешетку решетки Con U(S). С учетом этого результата и теоремы 3 3 из [6] в параграфе 4 получен критерий индуци-рованности тройки и дан положительный ответ на вопрос об изоморфизме arp-полуколец с изоморфными тройками Это отражено в следующих теоремах.

Критерий индуцированности тройки (теорема 4.1 и следствие 4 1) Для любой абстрактной тройки, (L, U, <р) эквивалентны следующие условия.

1) {L, U, ip) - индуцированная тройка,

2) все элементы Imy> дополняемы в ConU;

3) Im<p вкладывается в булеву подрешетку решетки ConU

Теорема 4.2. Любое arp-полукольцо S однозначно (с точностью до изоморфизма) восстанавливается по ее индуцированной тройке (L(S), U(5), <ps)

Теорема 4.3. Два произвольных агр-полукольца изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны их индуцированные тройки

Наличие конгрузнций, дополняющих конгруэнции из 1хп<р5 в решетке Соп£/(5), позволяет уточнить некоторые результаты статьи [6], в частности.

Предложение 4.2. Агр-полукольцо 5 сократимо тогда и только тогда, когда полутело без нуля 17(5) сократимо и отображение фя является ишективным.

В параграфе 5 рассмотрено функциональное (пучковое) представление атр-полуколец

В [6, теорема 6.4] даны пучковые характеризации булевых полуколец В частности, полукольцо 5 является булевым тогда и только тогда, когда 5 изоморфно полукольцу всех глобальных сечений некоторого пучка полутел (над нульмерным компактом) Этот результат и следующее предложение позволяют получить функциональное представление произвольного агр-полукольца.

Предложение 5.1. Любое агр-полукольцо 5 изоморфно вкладывается в булево полукольцо Т так, что булева решетка Ь(Т) порождается дистрибутивной решеткой £(£), и(Т) = 11(3) и = 'ртщэ)

Теорема 5.1. Для любого полукольца £> эквивалентны следующие условия

1) 5 - агр-полукольцо;

2) 5 изоморфно подполукольцу полукольца всех глобальных сечений некоторого пучка полутел (над нульмерным компактом) и содержит все обратимые сечения пучка;

3) 5 - подпрямое произведение полутел, содержащее все обратимые элементы

Функциональное представление агр-полуколец можно использовать для изучения полутел Например, доказан результат, анонсированный в [7].

Следствие 5.1. Если решетка СопС/ конгруэнций полутела II (без нуля) булева, то СопС/ является булеаном.

Следствие 5.2. Если антигомоморфизм (р$. L(S) ConU(S) arp-полукольца S сюръективен, то решетка ConU (S) является булеаном

Третья глава посвящена описанию конгруэнций, гомоморфизмов и идеалов arp-полуколец, а также рассмотрению обобщенных огр-полуколец

В параграфе 6 исследуется строение конгруэнций произвольного агр-полукольца S, изучается решетка конгруэнций на S

Пусть а - конгруэнция на дистрибутивной решетке L(S) агр-полукольца S, г - конгруэнция на полутеле U(£>) Пара конгруэнций (ст, г) называется согласованной, если она удовлетворяет условию

ест/ =>• т о <р(е) = т о <p(f).

Теорема 6.1. Бинарное отношение р на arp-полуколъце S является конгруэнцией на S тогда и только тогда, когда ст = p|z,(s) и т = p\u(s) ~ конгруэнции на L(S) и U(S) соответственно, образующие согласованную пару (ст, т), (eu)p(fv) ест/ и и(т о tp(e))v

Установлена связь между решеткой всех конгруэнций Соп<5 агр-полукольца S и решетками конгруэнций ConL(S) и СопЕ7(5).

Теорема 6.2. Отображение ар-* (pjifsr), p|t7(S)) является изоморфизмом решетки всех конгруэнций ConS агр-полуколъца S на подрешетку всех согласованных пар конгруэнций прямого произведения решеток ConL(S) и ConU(S). Более того, ConS является подпрямым произведением решеток ConL(S) и СопС/ (S) и ее образ Ima есть ретракт решетки ConL(S) х Con U(S).

Из этой теоремы вытекают

Следствие 6.1. Решетка конгруэнций ConS произвольного агр-полуколъца S модулярна

Следствие 6.2. Решетка конгруэнций ConS агр-полуколъца S дистрибутивна тогда и только тогда, когда решетка конгруэнций ConU(S) полутела U (5) дистрибутивна

Следствие 6.3. Решетка конгруэнций Соп5 агр-полуколъца 5 булева тогда и только тогда, когда 5 - конечная булева решетка.

Следствие 6.4. Решетка конгруэнций Соп5 агр-полуколъца 3 является цепью тогда и только тогда, когда 5 - полутело, решетка конгруэнций которого цепь.

В конце параграфа 6 дано описание максимальных конгруэнций на произвольном агр-полукольце в терминах его функционального представления

В параграфе Т рассмотрены гомоморфизмы агр-полуколец, сохраняющие нуль и единицу

Теорема 7.1. Отображение а 3 —> Т является гомоморфизмом агр-полукольца 5 в агр-полуколъцо Т тогда и только тогда, когда (3 = с^дв) -решеточный гомоморфизм Ь(3) в Ь(Т), сохраняющий 0 и 1, -у — а|у(5) -гомоморфизм полутела II (5) в полутело V (Г) и

Щ>з(Ф 7(«)<Рт(/3(е))70) и игр8(е)у => ~/(и)фТ(Р(е))-у(у}

для любых е € ¿(5), и, и € и{Б), причем а(еи) = 0(е)^(и)

Морфизмом троек {Ь\, (р%) и ¥>2) называется такая пара (/5,7),

состоящая из решеточного гомоморфизма /3 сохраняющего 0 и 1,

и гомоморфизма полутел 7. -> [/2, что для любых е е и, V 6 11\

и<рх{е)у 7(«)<^2(/3(е))7(^) и ифх{е)'с =>■ 7(^)^2 (/? (е))7(г>).

Из теорем 4.1, 4 2 и 7.1 вытекает

Теорема 7.2. Соответствие Б {Ь{8), (/(Я), ¡рд), а (о:|х(з),<^|г7(5)) осуществляет эквивалентность между категорией всех агр-полуколец и их гомоморфизмов и категорией всевозможных индуцированных троек и их морфизмов.

Для изучения атр-подполуколец агр-полукольца 5 в параграфе 8 для каждого е е 2/(5) вводятся конгруэнции Ф(е) и Ф(е) на Б- аФ(е)Ь еа = еЪ для любых а,Ь € 3, !^(е) - конгруэнция Берна по идеалу е£>, т. е аФ{е)Ъ

о + ее = b + ed для некоторых с, d е S С помощью структурной теоремы 4 2 доказывается

Предложение 8.1. Т является arp-подполуколъцом агр-полуколъца S тогда и только тогда, когда L(T) - подрешетка решетки L(S), U(T) - полутело, содержащееся в S, <Ps(Qt)\u(t) = 1 и Фз(1т)\и(т) — 0 в ConU(T), и для любого е £ L(T) конгруэнции ^s(e)|t/(T) и Фя(е)|г/(т) дополняют друг друга в решетке ConU(T)

В параграфе 9 изучаются свойства идеалов агр-полуколец Доказано, что каждый идеал I агр-полукольца S имеет вид

1= Y, eU(S) = (L(S)nI)U(S),

e€L(S)nl

и I является ядерным идеалом некоторой конгруэнции на arp-полукольце S.

Предложение 9.2. Для того чтобы каждый идеал агр-полуколъца S являлся ядерным идеалом единственной конгруэнции на S необходимо и достаточно, чтобы arp-полукольцо S было булевой решеткой

В этом же параграфе исследуется инъективность идеалов агр-полуколец Теорема 9.1. Идеал I агр-полуколъца S инъективен тогда и только тогда, когда I является полной булевой подрешеткой в L(S).

Следствие 9.3. Произвольное arp-полуколъцо S самоинъективно тогда и только тогда, когда S - полная булева решетка.

Частным случаем следствия 9 3 является результат В С Корниенко [10] ограниченная дистрибутивная решетка самоинъективна тогда и только тогда, когда она является полной булевой решеткой.

В параграфе 10 вводятся обобщенные arp-полукольца, не обязательно имеющие единицу.

Полукольцо S называется обобщенным arp-полукольцом, если все идем-потенты полукольца S центральны, каждое уравнение axa = а, а £ S, разрешимо в S, и для любых идемпотента е 6 S и элемента а € S найдется такой элемент t £ S, что (ео + е) • et — et • (еа + е) — е

Характеризации обобщенных агр-полуколец даны в следующей теореме Теорема 10.1. Для произвольного полукольца 5 эквивалентны следующие условия.

1) 5 - обобщенное агр-полуколъцо;

2) 5 - прямой предел прямого спектра агр-полуколец;

3) 5 - прямой предел прямого спектра обобщенных агр-полуколец,

4) 51 - идеал некоторого агр-полуколъца,

5) 5 - наибольший идеал локального агр-полуколъца,

6) 5 изоморфно подполукольцу Т полукольца всех глобальных сечений некоторого пучка полутел над нульмерным компактом X, при этом если открыто-замкнутое множество 17 С X является носителем некоторого глобального сечения подполукольца Т, то и все сечения с носителем 1} входят в подполукольцо Т

В теореме 10 2 приведена пучковая характеризация обобщенных булевых полуколец

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Евгению Михайловичу Вечтомову за постановку задач, за постоянное внимание к работе, полезные обсуждения и поддержку

Список литературы

1. Богданов И И Полимиальные соотношения в полукольцах Дис.. . канд. физ,-матем. наук. - Москва. МГУ, 2003

2. Варанкина В. И , Вечтомов Е М , Семенова И А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций- делимость, идеалы, конгруэнции // Фундаментальная и прикладная матем 1998 Т. 4 № 2 С 493 - 510

3 Вечтомов Е М Аннуляторные характеризации булевых колец и булевых решеток // Матем. заметки 1993 Т 53 Вып 2 С 15 - 24.

4 Вечтомов Е M Введение в полукольца - Киров Изд-во Вятского гос пед ун-та, 2000

5 Вечтомов Е M Полукольца непрерывных отображений // Вестник Вят-ГГУ 2004 № 10. С 57-64

6 Вечтомов Е M , Михалев А В , Чермных В В Абелево-регулярные положительные полукольца / / Труды семинара им И Г Петровского 1997 Т. 20. С. 282 - 309

7. Вечтомов Е. М., Семенов А. Н. О решетке конгруэнций полутел // Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета M МГУ, 2004 С 27-29

8. Вечтомов Е M , Чермных В В Полукольца, близкие к дистрибутивным // Международная конференция „Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца" в честь Е С Ляпина. Тезисы докладов СПб РГГИ, 1995. С 90-91.

9 Ильин С H Критерий регулярности полных матричных полуколец // Матем заметки 2001 Т 70 Вып 3 С 366-374

10. Корниенко В С О самоинъективных дистрибутивных структурах//Сибирский математический журнал 1979 Т 20 № 3 С. 579 - 585

11 Маслов В П , Колокольцов В H Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении - M Наука, 1994

12 Ряттель А В. Положительно упорядоченные полутела Дис. ... канд. физ.-матем. наук - Киров ВятГГУ, 2002

13. Семенов А. H О решетке конгруэнций полутел // Вестник ВятГГУ. 2003 № 9 С. 92 - 95.

14 Чермных В. В. Полукольца. - Киров. Изд-во ВГПУ, 1997.

15 Чермных В В. Полукольца сечений пучков // Вестник ВятГГУ. 2005. № 13 С 151 - 158

16 Чермных В В Редуцированные риккартовы полукольца и их функциональные представления // Фундаментальная и прикладная матем 2007 Т 13 Вып. 2 С 205 - 215

17 Glazek К A Guide to the Literature on Semirings and their Applications in Mathematics and Information Scemces. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 2002

18 Golan J S Semirings and their applications Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1999

19 Hebisch U , Wemert H J Semirings Algebraic theory and applications m computer science World Scientific Publishing Singapore, 1998

20 Mikhalev A V , Vechtomov E M , Artamonova L L , Chermnykh V V , Varankma V I Semirings sheaves and continuous functions // Semigroups with applications, including semigroup rings Sankt-Peterburg 1999 P 23 -58

Работы автора по теме диссертации

21 Вечтомов Е М. Старостина О В Структура абелево-регулярных положительных полуколец // Успехи математический наук 2007 Т 62 Вып 1 С 199 - 200 (0,2 п л , соискателю принадлежит 70%)

22 Старостина О В К теории абелево-регулярных положительных полуколец / / Вестник Вятского государственного гуманитарного университета Информатика Математика Язык 2005 № 3 С 156 - 159 (0,44 п л)

23 Старостина О В Конгруэнции и гомоморфизмы абелево-регулярных положительных полуколец / / Вестник Вятского государственного гуманитарного университета 2005 № 13 С 175 - 179 (0,5 п л )

24 Старостина О В Лгр-подполукольца абелево-регулярных положительных полуколец // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона периодический межвузовский

сборник научно-методических работ Вып 8 - Киров Изд-во ВятГГУ,

2006 С 99 - 103 (0,25 п л )

25 Старостина О В Строение абелево-регулярных положительных полуколец // Чебынгевский сборник Том VI Выпуск 4(16) - Тула Изд-во Тул гос пед ун-та им JI H Толстого, 2005 С 154 - 163 (0,6 п л )

26 Старостина О В Об идеалах агр-полуколец // Современные методы физико-математических наук Труды международной конференции 914 октября 2006 г, г Орел Т 1 - Орел Изд-во ОГУ, 2006 С. 191 - 193 (0,2 п.л.)

27 Старостина О В Инъективные идеалы абелево-регулярных положительных полуколец // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета Информатика Математика Язык 2007 № 4 С 197 - 199 (0,25 п л )

28 Старостина О В Функциональные представления абелево-регулярных положительных полуколец // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона периодический межвузовский сборник научно-методических работ Вып 9 - Киров Изд-во ВятГГУ,

2007 С 70 - 75 (0,35 п л )

29, Старостина О В Функциональные представления абелево-регулярных положительных полуколец // Математика Образование Материалы XV международной конференции - Чебоксары Изд-во Чуваш ун-та, 2007, С 250 (0,06 п л )

30 Старостина О В Инъективность в абелево-регулярных положительных полукольцах // Международная конференция „Алгебра и ее приложения" Тезисы докладов - Красноярск, 2007 С 128 - 129 (0,06 п л )

Подл к печ 12 09 2007 Объем 1 п л Заказ №. 139 Тир 100 экз Типография МПГУ

Введение.

Глава I. Предварительные сведения

§1. Основные понятия.

§2. Предварительные результаты.

Глава II. Строение агр-полуколец

§3. Структурные конгруэнции.

§4. Структурные теоремы.

§5. Функциональное представление аттыюлуколец.

Глава III. Свойства атр-полуколец

§6. Конгруэнции на агр-полукольцах.

§7. Гомоморфизмы агр-полуколец.

§8. Лтр-подполукольца.

§9. Идеалы атр-полуколец.

§10. Обобщенные агр-полукольца.

Диссертация посвящена изучению одного из классов полуколец -абелево-регулярных положительных полуколец (агр-полуколец), являющихся своеобразным симбиозом дистрибутивных решеток и полутел и допускающих вполне удовлетворительное структурное описание.

Общая теория полуколец возникла в 50-е годы XX столетия и в настоящее время является активно развивающимся разделом современной алгебры. Это связано от части с успешным применением ее в дискретной математике, компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления и других разделах математики [22, 44, 46]. Ей посвящены монографии Голана [44, 45], Хебиша и Вай-нерта [46], обзор Глазека [43], обзоры [9, 36, 48]. Среди публикаций последнего десятилетия следует отметить работы И.И. Богданова [2, 3], Е.М. Вечтомова [7, 8,10], С.Н. Ильина [15], М.А. Лукина [21], А.В. Рят-тель [24], А.Н. Семенова [25, 26], В.В. Чермных [35, 39], А.В. Чера-невой [33], касающиеся строения различных классов полуколец и полутел. Гомологические вопросы полуколец и полумодулей изучались в [16, 19, 30, 31, 32, 41, 45, 47, 49].

Частными случаями полуколец являются ассоциативные кольца, ограниченные дистрибутивные решетки, полутела.

Многие полукольца имеют хорошие функциональные (пучковые) представления [34-39]. Это делает актуальным изучение полуколец непрерывных функций. Систематическим изучением колец, полуколец и полуполей непрерывных функций занимаются Е.М. Вечтомов и его ученики [5, 9, 48, 50]. Результаты этих исследований отражены в кандидатских диссертациях В.И. Варанкиной [4], И.А. Семеновой [27],

М.Н. Подлевских [23], Д.В. Широкова [40].

Полукольцом называется алгебра (5, +, 0) с двумя бинарными операциями сложения + и умножения если (S, +, 0) - коммутативный моноид, {S, •) - полугруппа, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон и тождественно 0 • х = х • 0 = 0.

Полукольца образуют широкий класс алгебраических объектов. Поэтому для успешного изучения полуколец на них накладываются естественные дополнительные условия, ограничения, позволяющие выделить важные классы полуколец. В ряде случаев это позволяет сводить исследование полуколец к более известным, достаточно хорошо изученным объектам, например, кольцам или дистрибутивным решеткам. В дальнейшем рассматриваемые полукольца, если не оговорено особо, содержат единицу, отличную от нуля. Полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом.

Коммутативные arp-полукольца впервые рассматривались Е.М. Ве-чтомовым в 1992 году [6, замечание 3]. Под названием ПРС-полукольца они введены в докладе [13]. Структурная теория arp-полуколец была развита в работе Е.М. Вечтомова, А.В. Михалева и В.В. Чермных [11].

Агр-полуколъцо - это положительное (элемент а + 1 обратим в S для любого а Е S), регулярное (для каждого а £ S уравнение ах а = а разрешимо в S) полукольцо, каждый идемпотент е (е2 = е) которого централен. Этот класс полуколец достаточно обширен, он содержит все дистрибутивные ограниченные решетки и все полутела. А rp-полукольца находят применение в теории матриц над полукольцами [15], при исследовании полутел и полуколец непрерывных функций.

С каждым ш^мюлукольцом S связана тройка (L(5), U(S), <ps) [11]. L(S) - множество всех идемпотентов S, образующих ограниченную дистрибутивную решетку относительно естественного порядка: а < Ь ab = a. U(S) - множество всех обратимых элементов S, являющееся полутелом без нуля относительно операций сложения и умножения в S. Отображение tps- L(S) ConU(S) - антигомоморфизм решетки L(S) в решетку конгруэнций ConU(S) полутела U (S), сопоставляющий каждому идемпотенту е G L(S) конгруэнцию <р(е): u(p(e)v ей = ev,u,v Е U(S).

Возникает естественно вопрос о восстановлении arp-полукольца по абстрактной тройке {L, U, <р), состоящей из ограниченной дистрибутивной решетки L, полутела без нуля U и решеточного антигомоморфизма (р: L —)• ConU, переводящего 0 в 1 и 1 в 0. Тройка вида (L(S),U(S), tps) для некоторого arp-полукольца S называется индуцированной. Индуцированные тройки (Li,Ui,(pi) и (1/2, U2, <£>2) называются изоморфными, если существует пара (/3,7) таких изоморфизмов /3: L\ —ь L2) 7: U\ U2, что равносильно 7(w)^2(/?(e))7(v).

В [11] сформулированы следующие вопросы:

1) Всякая ли тройка (L,U,(p) индуцируется некоторым агр-полукольцом?

2) Из изоморфизма индуцированных троек следует ли изоморфизм соответствующих атр-полуколец?

В [И, пример 3.2] была приведена неиндуцированная тройка и установлено, что для индуцированности тройки (L, U, (р) достаточно, чтобы Im(р содержался в некоторой булевой подрешетке решетки ConU (теорема 3.3). Второй вопрос был положительно решен для предбулевых полуколец, т. е. для arp-полуколец, у которых Im^s является булевой подрешеткой в решетке ConU(S), и для идемпотентных агр-полуколец

11, теорема 4.1 и теорема 5.6]. В общем случае вопрос оставался открытым. Были также изучены некоторые свойства предбулевых и идем-потентных полуколец в терминах индуцированных троек, в частности, описаны конгруэнции на предбулевых полукольцах.

В диссертации решены указанные принципиальные задачи для произвольных arp-полуколец. Основными результатами можно назвать следующие:

1. Завершено описание структуры arp-полуколец, начатое в работе [11]. Показано, что любое arp-полукольцо однозначно с точностью до изоморфизма восстанавливается по своей индуцированной тройке. Дан критерий индуцированности произвольной абстрактной тройки. Перенесены и уточнены результаты, известные для предбулевых полуколец.

2. Получено функциональное описание атр-полуколец.

3. Дано описание конгруэнций и гомоморфизмов произвольных агр~ полуколец в терминах индуцированных троек. Установлено, что решетка конгруэнций Соп5 полукольца S является подпрямым произведение решеток ConL(S) и ConU(S) и ретрактом решетки ConL(S) х ConU(S).

4. Описаны инъективные идеалы атр-полуколец.

5. Рассмотрены различные характеризации обобщенных атр-полуколеи

В работе используются методы, идеи и конструкции теории полуколец, теории решеток, теории колец и модулей, универсальной алгебры.

Диссертация состоит из 3 глав, разбитых на 10 параграфов, и списка литературы.

1. Биркгоф Г. Теория решеток. - М.: Наука, 1984.

2. Богданов И. И. Полимиальные соотношения в полукольцах. Дис. . канд. физ.-матем. наук. Москва: МГУ, 2003.

3. Богданов И. И. Об аддитивной структуре полутел // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2004. № 1. С. 48 50.

4. Варанкина В. И. Максимальные идеалы и делимость в полукольцах непрерывных функций. Дис. . канд. физ.-матем. наук. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1996.

5. Варанкина В. И., Вечтомов Е. М., Семенова И. А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции // Фундаментальная и прикладная матем. 1998. Т. 4. № 2. С. 493 510.

6. Вечтомов Е. М. Аннуляторные характеризации булевых колец и булевых решеток // Матем. заметки. 1993. Т. 53. Вып. 2. С. 15 24.

7. Вечтомов Е. М. Введение в полукольца. Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000.

8. Вечтомов Е. М. Две общие структурные теоремы о полумодулях // Абелевы группы и модули (Томск). 2000. Вып. 15. С. 17 23.

9. Вечтомов Е. М. Полукольца непрерывных отображений // Вестник ВятГГУ. 2004. № 10. С. 57. 64.

10. Вечтомов Е. М. О трех радикалах для полумодулей // Вестник ВятГГУ. 2005. № 13. С. 148 151.

11. Вечтомов Е. М., Михалев А. В., Чермных В. В. Абелево-регулярные положительные полукольца // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1997. Т. 20. С. 282 309.

12. Вечтомов Е. М., Семенов А. Н. О решетке конгруэнций полутел // Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета. М.: МГУ, 2004. С. 27 29.

13. Вечтомов Е. М., Чермных В. В. Полукольца, близкие к дистрибутивным // Международная конференция „Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца" в честь Е. С. Ляпина. Тезисы докладов. СПб.: РГГИ, 1995. С. 90 91.

14. Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982.

15. Ильин С. H. Критерий регулярности полных матричных полуколец // Матем. заметки. 2001. Т. 70. Вып. 3. С. 366 374.

16. Ильин С. Н. Полукольца, над которыми любой полумодуль инъ-ективен (проективен) // Матем. вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2006. Вып. 8. С. 50 53.

17. Каш Ф. Модули и кольца. М.: Мир, 1981.

18. Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968.

19. Корниенко В. С. О самоинъективных дистрибутивных структурах // Сибирский математический журнал. 1979. Т. 20. № 3. С. 579 -585.

20. Ламбек И. Кольца и модули. М.: Мир, 1971.

21. Лукин М. А. Дизъюнктное полу кольцевое объединение кольца и тела // Чебышевский сборник. 2005. Том 6. Вып. 4 (16). С. 138 -148.

22. Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Наука, 1994.

23. Подлевских М. Н. Полукольца непрерывных функцией с топологией поточечной сходимости. Дис. . канд. физ.-матем. наук. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1999.

24. Ряттель А. В. Положительно упорядоченные полутела. Дис. канд. физ.-матем. наук. Киров: ВятГГУ, 2002.

25. Семенов А. Н. О строении полутел // Вестник ВятГГУ. 2003. № 8. С. 105 107.

26. Семенов А. Н. О решетке конгруэнций полутел // Вестник ВятГГУ. 2003. № 9. С. 92 95.

27. Семенова И. А. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций. Дис. канд. физ.-матем. наук. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1998.

28. Семенова И. А. Максимальные конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций // Фундаментальная и прикладная матем. 2000. Т. 8. Вып. 1. С. 305 310.

29. Скорняков Л. А. Элементы общей алгебры. М.: Наука, 1983.

30. Тюкавкин Jl. В. Коммутативные полукольца с плоскими модулями // Вестник Моск. ун-та. Серия математика, механика. 1978. С. 60 62.

31. Фофанова Т. С. Инъективность полигонов над булевыми алгебрами // Сибирский математический журнал. 1972. Т. 13. N2 2. С. 452 -458.

32. Фофанова Т. С. О проективности полигонов над дистрибутивными структурами // Упорядоченные множества и решетки. Саратов, 1977. Вып. 4. С. 123 129.

33. Черанева А. В. О конгруэнциях на полутелах // Чебышевский сборник. 2005. Том 6. Вып. 4 (16). С. 164 171.

34. Чермных В. В. О полноте пучковых представлений полуколец // Фундаментальная и прикладная математика. 1996. Т. 2. Ш 1. С. 167 — 177.

35. Чермных В. В. Полукольца. Киров: Изд-во ВГПУ, 1997.

36. Чермных В. В. Полукольца сечений пучков // Вестник ВятГГУ. 2005. № 13. С. 151 158.

37. Чермных В. В. Представления полумодулей сечениями пучков // Фундаментальная и прикладная матем. 2007. Т. 13. Вып. 2. С. 195— 204.

38. Чермных В. В. Редуцированные риккартовы полукольца и их функциональные представления // Фундаментальная и прикладная матем. 2007. Т. 13. Вып. 2. С. 205 215.

39. Чермных В. В. Функциональные представления полуколец и полумодулей. Дис. . док. физ.-матем. наук. Киров: ВятГГУ, 2007.

40. Широков Д. В. Идеалы в полукольцах непрерывных функций. Дис. . канд. физ.-матем. наук. Киров: ВятГГУ, 2005.

41. Широков Д. В. Инъективность по Бэру для полуколец непрерывных неотрицательных функций // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2005. Вып. 7. С. 94 104.

42. Dauns J., Hofmann К. Н. The represention of biregular rings by sheaves // Math. Z. 1966. Vol. 91. № 2. P. 103 123.

43. Glazek K. A Guide to the Literature on Semirings and their Applications in Mathematics and Information Sceinces. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 2002.

44. Golan J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science. Longman scientific and technical. Harlow, 1992.

45. Golan J. S. Semirings and their applications. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 1999.

46. Hebisch U., Weinert H. J. Semirings. Algebraic theory and applications in computer science. World Scientific Publishing. Singapore, 1998.

47. Katsov Y. Tensor products and injective envelopes of semimodules over additively regular semirings // Algebra Colloquiun. 1997. 4:2. P. 121 -131.

48. Mikhalev A. V., Vechtomov E. M., Artamonova L. L., Chermnykh V. V., Varankina V. I. Semirings: sheaves and continuous functions // Semigroups with applications, including semigroup rings. Sankt-Peterburg. 1999. P. 23 58.

49. Sokratova 0. Projective semimodules // Algebra Universalis. 2002. 48. P. 389 398.

50. Vechtomov E. M. Rings of continuous functions with values in topological division ring // J. Math. Sciences (USA). 1996. V. 78. № 6. P. 702 753.Публикации автора по теме диссертации

51. Старостина О. В. К теории абелево-регулярных положительных полуколец // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. Информатика. Математика. Язык. 2005. № 3. С. 156 -159.

52. Старостина О. В. Конгруэнции и гомоморфизмы абелево-регулярных положительных полуколец // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. 2005. № 13. С. 175 179.

53. Старостина О. В. Строение абелево-регулярных положительных полуколец // Чебышевский сборник: Том VI. Выпуск 4(16). Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. JI.H. Толстого, 2005. С. 154 - 163.

54. Старостина О. В. Об идеалах агр-полуколец // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. 9-14 октября 2006 г., г. Орел. Т. 1. Орел: Изд-во ОГУ, 2006. С. 191 -193.

55. Вечтомов Е. М., Старостина О. В. Структура абелево-регулярных положительных полуколец // Успехи математический наук. 2007. Т. 62. Вып. 1. С. 199- 200.

56. Старостина О. В. Инъективные идеалы абелево-регулярных положительных полуколец // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. Информатика. Математика. Язык. 2007. № 4. С. 197 199.

57. Старостина О. В. Функциональные представления абелево-регулярных положительных полуколец // Математика. Образование: Материалы XV международной конференции. Чебоксары: Изд-во Чуваш, ун-та, 2007. С. 250.