Положительно упорядоченные полутела тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

Глава 1 Полукольца и полутела

§ 1. Исходные понятия и примеры.

§2. Многочлены над полукольцами.

§3. Упорядоченные и упорядочиваемые полукольца.

Глава 2 Аддитивно идемпотентные полуполя

§4. Основные свойства.

§5. Однопорожденные и циклические полуполя.

§6. Делимые полуполя. Алгебраическое замыкание.

Глава 3 Линейно упорядоченные полутела

§7. Свойства и конструкции.

§8. Мультипликативно архимедовы линейно упорядоченные полуполя.

§9. Непрерывные полутела.

В современной математике изучаются математические структуры, которые можно условно разделить на три основных типа (Н. Бурбаки): алгебраические, порядковые и топологические. Соединение алгебраического и порядкового типов приводит к упорядоченным алгебраическим системам (упорядоченные полугруппы, упорядоченные группы, упорядоченные кольца и т.д.), которые изучаются в общей алгебре, начиная с 30-х годов XX века (см. [2], [11], [14], [15], [25]).

Диссертация посвящена одному из интенсивно развивающихся в последние десятилетия разделов общей алгебры - теории полуколец ([5], [26], [30]). Развитие этой теории связано с успешным применением ее в дискретной математике, компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления и других разделах математики (см., например, [19], [30]). Из последних работ о полукольцах отметим статьи П.С. Дудникова, С.Н. Самборского [10], И.И.Артамоновой [1], Г.Л.Литвинова, В.П. Маслова [17], В.И. Варанкиной, Е.М. Вечтомова, И.А. Семеновой [4], А.Н. Семенова [22], Е.М. Вечтомова, А.В. Михалева, В.В. Чермных [9], Г.Б. Шпиза [28], С.Н.Ильина [11, 12], Е.М. Вечтомова [6-8], обзорную работу [29].

Полутела в теории полуколец играют роль, подобную роли тел в общей теории колец. Однако уже свойства полуполей существенно отличаются от свойств полей. А поскольку все полутела положительно упорядочиваемы, то интересно и естественно исследовать класс положительно упорядоченных полутел.

Изучение упорядоченных полуколец является логическим продолжением исследований традиционных упорядоченных алгебраических объектов, и в достаточной мере использует факты и методы теории упорядоченных алгебраических систем. Их изучение началось в работах Вайнерта, Луговски, Фукса (см. [31], [32], [35]-[37], [25]) в 60-ые годы XX столетия. Вайнертом было доказано, что всякое полутело без нулевого элемента с идемпотентным сложением может быть рассмотрено как решеточно упорядоченная группа, и обратно. Луговски рассматривал класс аддитивно архимедовых упорядоченных полуколец; им было доказано, что всякое неплотное аддитивно архимедово упорядоченное полукольцо изоморфно или mN, или mNu{0}, или mZ (meN). Фукс впервые поставил задачу определения и изучения решеточно упорядоченных полуколец ([25], с. 307); решению этой задачи посвящена статья М.Н. Подлевских [21]. Из более поздних статей об упорядоченных полукольцах можно отметить работу Железникова ([38]), посвященную изучению таких свойств полуколец, как регулярность, ортодоксальность, инверсность, делимость, работы Сатанараяны ([33], [34]), где автор анализирует влияние свойств полугруппы (S;-) вполне упорядоченного полукольца (£;+,•) на свойства порядка полугруппы (S;+). Стоит отдельно выделить монографию Голана [30], содержащую большой материал по теории полуколец, в том числе по упорядоченным полукольцам, а также обширную библиографию.

Укажем и кандидатские диссертации [3,20,23,27], в которых исследуются полукольца функций.

В современной литературе можно выделить несколько подходов к определению порядка на полукольцах:

1) Кольцевой подход (принятый Фуксом [25, с. 166] и Голаном [30, р. 201]): полукольцо S называется упорядоченным, если на S определено отношение порядка, удовлетворяющее условиям: а) а <Ь=> а + с <Ь + с для всех а, Ъ, сeS; б) а < b и с > 0 ca<cb и ас<Ьс для всех а ,Ъ, ceS.

2) Подход Вайнерта [36]: полукольцо S называется упорядоченным, если на множестве S определена линейная упорядоченность <, удовлетворяющая двум законам монотонности: а) а <Ь=> а + с <Ь + с, с+a<c+b (Vc € S); б) а < Ъ, с Ф 0 => ас < be и са < cb, либо ас> Ьсжса> cb.

3) Подход Луговски [31]: полукольцо S называется упорядоченным, если во множестве S определено отношение порядка, при котором S является упорядоченным множеством, обладающим свойствами: а) a <b=> a + c<b + c,c + a<c-+b (tfceS); б) а < b=> ас < be, са < cb для с - положительного; в) а < b ас > be, са > cb для с - отрицательного; при этом положительным (<отрицательным) элементом называется такой элемент ceS, что с<с + с (с > с + с).

В диссертации мы придерживаемся следующего определения (этот подход можно найти в монографии Голана [30], статье С.Н. Ильина [И] и работах Е.М. Вечтомова [5, 6]):

Положительно упорядоченным полукольцом называется полукольцо S с заданным на нем отношением порядка <, удовлетворяющее условиям: а) 0 - наименьший элемент в (£; <); б) (Va,b,c е S) а<Ъ влечет a + с < b + с; в) (X/a,b,c е S) a<b влечет ас < be и са < cb в дальнейшем слово «положительно» будем опускать).

В нашей работе исследуются такие классы упорядоченных полутел, как аддитивно идемпотентные полуполя (с естественным порядком) и мультипликативно архимедовы линейно упорядоченные полутела. В диссертации решены следующие задачи:

1) рассмотрены условия упорядочиваемости полуколец, в частности, в терминах конусов охарактеризованы все полукольцевые порядки на полутелах (§3);

2) описаны все однопорожденные аддитивно идемпотентные полуполя (§5) и однопорожденные аддитивно сократимые полукольца с делением (§7);

3) для любого аддитивно идемпотентного полуполя построено его алгебраическое замыкание (§5);

4) установлены логические взаимосвязи между различными порядково-алгебраическими свойствами линейно упорядоченных полутел

§7);

5) выяснено строение мультипликативно архимедовых линейно упорядоченных полутел (§8);

6) описаны все непрерывные линейно упорядоченные полутела (§9). Наряду с порядковыми понятиями и методами в диссертации применяются методы и результаты общей теории полуколец.

Дадим краткий анализ содержания диссертации. Диссертация содержит введение, 3 главы, разбитых на 9 параграфов и список литературы из 46 наименований.

1. Артамонова И.И. Об однозначности сложения в полукольцах // Фундам. и прикл. матем. - 1997. - Т. 3, № 4. - С. 1093-1100.

2. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984.

3. Варанкина В,И. Максимальные идеалы и делимость в полукольцах непрерывных функций: Дис. . канд. физ.-матем. наук. Киров: Вят. гос. пед. ун-т, 1996.

4. Варанкина В.И., Вечтомов Е.М., Семенова И.А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции // Фундам. и прикл. матем. 1998. - Т. 4, № 2. - С. 493510.

5. Вечтомов Е.М. Введение в полукольца. Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000.

6. Вечтомов Е.М. Две общие структурные теоремы о полумодулях // Абелевы группы и модули. 2000, вып. 15. - Томск: Изд-во Томского гос. ун-та. - С. 17-23.

7. Вечтомов Е.М. О свойствах полутел // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. 2001, вып. 3. - Киров: Изд-во Вят. гос. пед. ун-та. -С. 11-20.

8. Вечтомов Е.М. Полукольца как расширения колец при помощи полуколец без противоположных элементов // Научный вестник Кировского филиала Московского гуманитарно-экономического института. 1998, №1. - С. 151-153.

9. Вечтомов Е.М., Михалев А.В., Чермных В.В. Абелево-регулярные положительные полукольца // Труды семинара им. И.Г. Петровского. -2000.-Т. 20.-С. 282-309.

10. Дудников П. С., Самборский С.Н. Эндоморфизмы полумодулей над полукольцами с идемпотентной операцией // Известия АН СССР. Сер. матем. 1991. - Т. 55, №1.-С. 93-109.

11. Ильин С.Н. Обратимость матриц над упорядоченными системами // Сиб. мат. журн. 1998. - Т. 39, №3. - С. 551-559.

12. Ильин С.Н. Критерий регулярности полных матричных полуколец // Матем. заметки. 2001. - Т. 70, вып. 3. - С. 366-374.

13. Кокорин А.И., Копытов В.М. Линейно упорядоченные группы. М.: Наука, 1972.

14. Копытов В.М. Решеточно упорядоченные группы. -М.: Наука, 1984.

15. Копытов В.М., Медведев Н.Я. Правоупорядоченные группы. -Новосибирск: Научная книга, 1996.

16. Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля. М.: Мир, 1988. - Т. 1.

17. Литвинов Г.Л., Маслов В.П., Шпиз Г.Б. Линейные функционалы на идемпотентных пространствах. Алгебраический подход // Докл. РАН. -1998.-Т. 363.-С. 298-300.

18. Мальцев А.И. Алгебраические системы. -М.: Наука, 1970.

19. Маслов В.П., Колокольцов В.Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Наука, 1994.

20. Подлевских М.Н. Полукольца непрерывных функций с топологией поточечной сходимости: Дис. . канд. физ.-матем. наук. Киров: Вят. гос. пед. ун-т, 1999.

21. Подлевских М.Н. Решеточно упорядоченные полукольца // Научный вестник Кировского филиала Московского гуманитарно-экономического института. 1999, №3. - С. 240-244.

22. Семенов А.Н. Пример числового полуполя, имеющего нетривиальную конгруэнцию // Проблемы современного математического образованияв педвузах и школах России. 1998. - Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета. - С. 195.

23. Семенова И.А. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций: Дис. . канд. физ.-матем. наук. Киров: Вят. гос. пед. ун-т, 1998.

24. Фукс Л. Бесконечные абелевы группы М.: Мир, 1974. - Т. 1.

25. Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. М.: Мир, 1965.

26. Чермных В.В. Полукольца. Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 1997.

27. Чермных В.В. Пучковые представления полуколец: Дис. . канд. физ.-матем. наук. М.: Моск. пед. гос. ун-т, 1993.

28. Шпиз Г.Б. Решение алгебраических уравнений в идемпотентных полуполях // Успехи матем. наук. 2000. - Т. 55, вып. 5. - С. 85-86.

29. Artamonova /./., Chermnykh V.V., Mikhalev A.V., Varankina V.I., Vechtomov E.M. Semirings: sheaves and continuous functions // Semigroups with applications, including semigroup rings. Sankt-Peterburg, 1999. -P. 23-58.

30. Golan J.S. The theory of semirings with applications and theoretical computer science// Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V. 54. - 1992.

31. Lugowski H. Uber die Structur gewisser geordneter Halbringe // Math. Nachr. 1971. -V. 51, № 1-6. - S. 311-325.

32. Lugowski H. Uber die Vervollstandigung geordneter Halbringe // Pubis math. 1962. - V. 9, № 3-4. - S. 213-222.

33. Satyanarayana M. Archimedean property of ordered semirings // Semigroup Forum. 1986. -№1.-P, 57-63.

34. Satyanarayana M. On the additive semigroup structure of ordered semirings // Semigroup Forum. 1985. - № 2. - P. 193-199.

35. Weinert H.J. Ein Struktursatz fur idempotente Halbkorper // Acta math. Acad, scient. hung. 1964. - V. 15, № 3-4. - S. 289-295.

36. Weinert H.J. Uber Halbring und Halbkorper. I. 11 Acta math. Acad, scient. hung. 1962. - V. 13, № 3-4. - S. 365-378.

37. Weinert H.J. Uber Halbring und Halbkorper. III. I J Acta math. Acad, scient. hung. 1964,-V. 15, № 1-2. - S. 177-194.

38. Zeleznikow J. The natural partial order on semirings // Lect. Notes. Math. -1981.-848.-P. 255-261.

39. Вечтомов E.M., Ряттелъ A.B. Непрерывные линейно упорядоченные полутела // Научный вестник Кировского филиала Московского гуманитарно-экономического института. 1998, №1. - С. 154-157 (соискателю принадлежит 50%).

40. Ряттелъ А.В. Аналог теоремы Гельдера для полуполей и непрерывные полуполя // Проблемы современного математического образования в педвузах и школах России. 1998. - Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета.-С. 192-193.

41. Ряттелъ А.В. Об аддитивно архимедовых и мультипликативно архимедовых линейно упорядоченных полуполях // Научный вестник Кировского филиала Московского гуманитарно-экономического института. 1998, №1. - С. 172-176.

42. Ряттелъ А.В. О линейно упорядоченных полутелах// Вестник Вятского гос. пед. ун-та. 2000, № 3-4. - Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета.-С. 178-182.

43. Вечтомов Е.М., Ряттелъ А.В. Аддитивно идемпотентные полуполя // Вестник Вятского гос. гум. ун-та. Киров: Изд-во ВГГУ, 2002, №7. -С. 96-102 (соискателю принадлежит 70%).

44. Ряттелъ А.В. Однопорожденные полукольца с делением // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. 2002, вып. 4 — Киров: Изд-во Вятского госпедуниверситета. - С. 39-45.

45. Ряттелъ А. В. Однопорожденные полуполя // X международная конференция «Математика. Экономика. Образование». Ростов-на-Дону, 2002.-С. 139-140.

46. Ряттелъ А.В. Положительно упорядочиваемые полукольца // Научные труды Вятского социально-экономического института. 2002, вып. 1. -С. 376-386.