Полиномиальные соотношения в полукольцах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

БОГДАНОВ ИЛЬЯ ИГОРЕВИЧ

Полиномиальные соотношения в полукольцах

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел.

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 512.558

Москва — 2004

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель — кандидат физико-математических наук,

доцент В. Т. Марков.

Официальные оппоненты

Ведущая организация

— доктор физико-математических наук, профессор И. Б. Кожухов

— доктор физико-математических наук, профессор Е.М. Вечтомов

—Московский педагогический государственный университет (МПГУ)

Защита диссертации состоится 20 февраля 2004 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 20 января 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Чубариков

2004-4 27007

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

В последние десятилетия одной из активно развивающихся областей общей алгебры стала являться теория полуколец. Отчасти это связано с сильной компьютеризацией и, соответственно, возросшими потребностями теории алгоритмов. Полукольца находят также применение в дискретной математике, компьютерной алгебре, теории оптимального управления и других разделах математики. Многочисленные примеры можно найти в книгах Дж. Голана1 и У. Хебиша и X. Вайнерта2.

При исследовании полуколец большое внимание уделяется методам и результатам, которые удается перенести из теории полугрупп или теории колец. Данная диссертация в большой степени также посвящена подобным результатам.

Теорема Нагаты-Хигмана, доказанная первоначально3 для алгебр над полем характеристики 0 или большей, чем индекс нильпотентности, была затем обобщена на произвольные кольца. Общая формулировка4 гласит, что кольцо без rt-кручения, удовлетворяющее тождеству х = 0, нильпотентно индекса 2n— 1. Из известной теоремы Левицкого5 вытекает локальная нильпотентность ниль-колец ограни -ченного индекса.

А. Белов6 показал, что для полуколец справедливы подобные оценки. Именно, ¿-порожденное полукольцо с тождеством хп=0 нильпо-

'Golan i. S. The theory of semirings with applieationa in mathematics and theoretical Computer scienc«. — Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics, V. 54. 1991.

2Hebisch U. and Weinert H. J. Semirings. Algebraic theory and applieationa in Computer science. — Seriell)^Algebra. 5. Singapore: World Scientific Publishing. VIII. Transl. from the German.

aHigman G. On a conjecture of Nagata. // Proc. Cam. Phil. Soc. 52, 1956, pp. 1-4.

4Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестакоа И. П., Ширшов А. И. Кольца, близкие к ассоциативным. — М.:11аука, 1978 (Следствие 6.1.1).

'Там же, Следствие 5.1.2.

вБелов А. Я. Теорема Нагаты-Хигмана для полуколец. //Фундам. и прикл. мат. 1,1995,

с. 523-527.

тентно степени не выше 2f+1n3; ¿-порожденное полукольцо общего вида, в котором выполняется тождество х" = 0, нильпотентно степени не выше тгп • 2£п+1п3 + п. В той же работе ставились вопросы о существовании экспоненциальной (по n) оценки для полуколец общего вида и об обобщении этих фактов на почтикольца.

Исследования решений алгебраических уравнений в полуполях (т.е. в полукольцах, любой ненулевой элемент которых обратим по умножению и необратим по сложению) были начаты в 1964 г. X. Вай-

7

нертом и касались в основном числовых полуполеи, т.е. подполу-полей в R. Толчком к дальнейшему существенному развитию этого направления послужило создание идемпотентного анализа8, основой для построения которого служит идемпотентное полуполе с делимой мультипликативной группой. В 2000 году Г. Шпиз9 показал, что условие делимости является необходимым и достаточным для разрешимости в идемпотентном полуполе любого мономиального уравнения, т.е. уравнения вида Р(х) = а, где Р(х) — многочлен без свободного члена. Пользуясь его результатами, Е. Вечтомов и А. Ряттель10 построили (мономиальное) алгебраическое замыкание идемпотентного полуполя и доказали его единственность. При этом вопрос о существовании (мономиального) алгебраического замыкания произвольного полуполя оставался открытым.

Полутела в теории полуколец играют роль, подобную роли тел в общей теории колец. Однако уже свойства полуполей существенно отличаются от свойств полей. Например, класс полутел, помимо (аддитивно) сократимых полутел, включает в себя все ¿-группы (если (G, •, V, А) — ¿-группа, то (G,V,-)U{0}h (G,A,-)ü{0} — идемпотент-

'Weinert Н. J. Über Halbring und Halbkörper III. // Acta Math. Acad. Sei. Hung., 15(1-2), 1964, pp. 177—194.

'Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. — М.:Наука, 1994.

'Шпиз Г. Б. Решение алгебраических уравнений в идемпотенткых полуполях. // Успехи мат. наук, 2000, 55(5), с. 185-186.

'"Вечтомов Е. М., Ряттель А. В. Алгебраическое замыкание аддитивно идемпотентного полуполя. //Тезисы докладов V Международной конференции "Алгебраи теория чисел: современные проблемы и приложения". Тула, 2003. с. 68-69.

ные полуполя11). Более того, неидемпотентное полутело не обязано быть аддитивно сократимым12. В 1992 г. X. Вайнерт и Р. Вигандт13 построили для полутел теорию радикалов в смысле Куроша-Амицура. Однако, поскольку для создания категории с ядрами пришлось расширить класс полутел классом всех групп, эта радикальная теория тоже не позволяет прояснить аддитивную структуру полутел.

Важным применением структурной теории колец являются теоремы коммутативности. Укажем три классических примера, взятых из книги И. Херстейна14. Конечное тело является полем (Дж. Вед-дербарн). Кольцо, не содержащее ненулевых ниль-идеалов, коммутативно, если для любого его элемента x найдется такое натуральное п(х), что x"<x> централен (И. Капланский-И.Херстейн). Кольцо коммутативно, если для любого его элементах найдется такое натуральное (Н. Джекобсон). Заметим, что теорема Джекобсона для полуколец неверна. Справедливость теоремы Вед-дербарна для полутел была отмечена X. Вайнертом и Р. Вигандтом15.

Скрытые матричные кольца впервые стали исследоваться в связи

д и (Ш ж

с вопросом А. Чаттерса : при каких п к о л ь I ^ I морфно

полному кольцу матриц? (Здесь через H обозначено кольцо целых кватернионов.) Последующими исследователями ставился вопрос о критерии изоморфности данного произвольного кольца (с единицей) кольцу M/S) для какого-то S. Приведем два таких критерия. Кольцо R изоморфно матричному кольцу п х п тогда и только тогда, когда существуют элементы а, / 6 R такие, что /" = 0 и 1 = а/"-1 +

"VVeinert H. J. Über Halbring und Halbkörper I. // Acta Math. Acad. Sei. Hung., 13(3-4), 1962, pp. 365-378.

"Weinert H. J. Ein Struktursatz für idempotente Halbkörper. // Acta Math. Acad. Sei. Hung., 15(3-4), 1964, pp. 289-295.

13Weinert H. J. and Wiegandt R. A Kurosh-Amitsur radical theory for proper semifields. // Comm. in Algebra, 1992, V. 20(8), pp. 2419-2458.

мХерстейн И. Некоммутативные кольца. — М.:Мир, 1972. (Глава 3)

15см. сноску 13.

"Chatters A. W. Representation of tiled matrix rings as full matrix rings. // Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 1989, V. 105, pp. 67-72

(Дж. Робсон17). Кольцо R изоморфно матричному кольцу пхп тогда и только тогда, когда существуют элементы х,у € R такие, что хп = у2 = 0, а:"-1 ф 0, элемент х + у обратим и есть левый аннулятор (П. Фукс18).

Цель работы.

Целью настоящей работы является:

1. Исследование связи понятий нильпотентности каждого элемента и всего полукольца (почтикольца).

2. Исследование алгебраических элементов и алгебраических расширений полуполей.

3. Развитие структурной теории полуполей.

Методы исследования.

В работе использованы методы теории полуколец, универсальной алгебры, структурной теории колец, комбинаторной теории полугрупп.

Научная новизна.

Результаты работы являются новыми. Основными из них являются следующие:

1. Доказано совпадение оценок индекса нильпотентности в теоремах типа теоремы Нагаты-Хигмана для колец и полуколец.

2. Построены примеры ненильпотентных однопорожденного почтикольца и 2-порожденной почтиалгебры над полем нулевой характеристики с тождеством х2 = 0.

1TRobson J. С. Recognition of matrix rings. // Comm. in Algebra, 1991, V. 19(7), pp. 2113-2124

l5Fuchs P. R. A characterization result for matrix rings. Ц Bull. Austral. Math. Soc., 1991, V. 43, pp. 265-267

3. Выделены классы строгих и мономиальных уравнений над полуполем; показана единственность решения любого строгого уравнения; показана возможность расширения полуполя корнем мо-номиального (а в случае идемпотентного полуполя — и строгого) уравнения.

4. Доказана возможность представления произвольного полутела в виде цепочки расширений, в которой участвуют только идемпо-тентные и сократимые полутела.

5. Доказано, что полутело, у которого факторгруппа мультипликативной группы по центру периодична, коммутативно.

Теоретическая и практическая ценность..

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы специалистами в области теории полуколец, теории почтиколец, идемпотентного анализа.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 2003), VII конференции МФТИ(ГУ) "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук" (Долгопрудный, 2003), Международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию научно-исследовательского семинара МГУ по алгебре (Москва, 2000), семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ в 1998-2003 гг. и семинаре по алгебре ВГГУ в 2003 г.

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в б работах, список которых приводится в конце реферата.

Структура и объем работы.

Работа состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы, и списка литературы. Объем диссертации — 72 страницы, список литературы содержит 35 наименований.

Краткое содержание диссертации

Введение содержит исторический обзор результатов по теме диссертации, перечень основных результатов автора и обзор основных понятий теории полуколец.

Глава 1 посвящена исследованию связи нильпотентности каждого элемента и всего полукольца (почтикольца). Первый параграф посвящен доказательству нильпотентности определенных классов ниль-полуколец (вообще говоря, с некоммутативным сложением) ограниченного индекса. Основные результаты опираются на следующую лемму.

Лемма 1. Пусть S — полукольцо общего вида с тождеством х = 0. Тогда & — кольцо.

Этот результат позволяет свести изучение ниль-полуколец общего вида к хорошо изученным ниль-кольцам.

Теорема 1. Пусть любое кольцо без п!-кручения (Е-порожденное кольцо) с тождеством х = 0 нилъпотентно индекса <1{п) Тогда, если в полукольце общего вида & без п!-кручения (£-порожденном полукольце общего вида 8) выполняется тождество х = 0,

Второй параграф посвящен исследованию ниль-почтиколец ограниченного индекса.

Теорема 2. Существует однопорожденное ненильпотентное нилъ-почтикольцо индекса 2. Существует двупорожденная ненильпотен-

б

тная нилъ-почтиалгебра индекса 2 над любым полем характеристики 0.

Глава 2 посвящена исследованию алгебраических расширений полуполей, т.е. коммутативных полуколец, в которых каждый ненулевой элемент обратим по умножению и необратим по сложению. В первом параграфе вводятся и исследуются классы строгих и мономи -алъных уравнений над полутелами.

Определение 1. Под многочленом всегда понимается многочлен с центральными коэффициентами. Нижней степенью ненулевого многочлена Р(х) = рпх" +----f- ро называется IdegP = min{t : р; ^0}.

Многочлен Р(х) называется строгим, если IdegP > 0. Уравнение (P(x),Q(x)) называется строгим, если ldegP > degQ и многочлен Q(x) — нестрогий. Строгое уравнение называется мономиальным, если degQ = 0.

Показано, что любые два решения строгого уравнения сопряжены. Также показано, что рациональная функция P(x)/Q(x) инверсно изо-тонна относительно естественного порядка, если Р(х) = Q(x) — строгое уравнение. Во втором параграфе приведены общие сведения об алгебраических расширениях.

Определение 2. Полуполе называется строго (мономиально) алгебраически замкнутым, если любое строгое (мономиалъное) уравнение имеет корень. Пусть D С D — полуполя. Если D строго (мономиально) алгебраически замкнуто и наименьшее строго (мономиально) алгебраически замкнутое подполуполе, содержащее D, совпадает с D, то D назовем строгим (мономиальным) алгебраическим замыканием D.

Третий параграф посвящен доказательству существования расширения корнем мономиального уравнения. Доказана

Теорема 3. Для любого полуполя D существует его мономиалъное алгебраическое замыкание такое, что для любого его моно-

миалъного алгебраического замыкания О' существует сюръектив-ный морфизм ф: £) —> замыкающий диаграмму

Четвертый и пятый параграфы содержат уточнение этих результатов для классов полуполей с, соответственно, идемпотентной и сократимой аддитивной полугруппой. Показано, что мономиальное алгебраическое замыкание идемпотентного полуполя является его строгим алгебраическим замыканием. Исследовано мономиальное алгебраическое замыкание полуполя вида ^ П К+, где Г — подполе в К. Также приведен пример полуполя, для которого мономиальное алгебраическое замыкание неединственно.

Глава 3 посвящена развитию общей теории полутел. Первый параграф содержит сведения об аддитивной структуре полутел. Для исследования этой структуры полезно несколько обобщить понятие расширения полутел.

Определение 3. Отображение полутел <р : Э —> К будем называть почтиморфизмомвдвухслучаях:либо —щюрфизм,либо сохрср-няетумножение (и темсамым <р(0) = О) и (р(а + 6) = ¿(у>(а) + <^(6))

для любых а, Ь 6

В цепочке отображений полутел А 5 А 5г полутело Б называется расширением полутела Б, при помощи Б2, если ф есть сюръ-ективный морфизмполутел, <р есть инъективный почти морфизм,

Определение 4. Полутело называется идемпотентным (сократимым), если такова его аддитивная полугруппа. Неидемпотентное полутело Б называется строгонеидемпотентным, если в нем выполняется условие 2х + у = х + 2у х — у.

Приведены примеры, показывающие, что полутело может быть одновременно неидемпотентным и несократимым. Однако, верна следующая

Теорема 4. Пусть Л1 — неидемпотентное полутело. Тогда Л1 представляется в виде расширения А 5 —> £2 идемпотентного полутела при помощи строго неидемпотентного полутела 82. Полутело Л'„ в свою очередь, представляется в виде расширения А 5 А £4 сократимого полутела S; при помощи идемпотентного полутела

Заметим, что позже А. Семенов19 показал, что любое полутело представляется в виде расширения сократимого полутела при помощи идемпотентного.

Второй параграф содержит доказательство вариации теоремы коммутативности Капланского-Херстейна для полутел. При этом используется теория, разработанная в предыдущем параграфе. -

Теорема 5. Пусть ¿Г — мультипликативно сократимое полукольцо. Если для любого а € 5 найдется натуральное п(а) такое, что 6 Z(S), то 8 коммутативно.

Глава 4 посвящена исследованию скрытых матричных полуколец. В первом параграфе доказаны критерии, являющиеся обобщениями критериев Дж. Робсона и П. Фукса. При этом приходится накладывать дополнительные (по сравнению с кольцевыми) условия на элементы: а/ка = 0, 0<&<п — 2 для аналога критерия Дж. Робсона, полустрогость идеала Яу для аналога критерия П. Фукса. Во втором параграфе обсуждается существенность этих условий.

Автор хотел бы выразить искреннюю и глубокую благодарность научному руководителю кандидату физико-математических наук доценту В. Т. Маркову за постановку задач, полезные советы, постоянное внимание к работе, ценные обсуждения и комментарии.

19Семенов А. Н. О строении полутел. // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета, 2003, №8, с. 105-107.

2004-4 27007 Ж 175 9

1. Богданов И. И. Теорема Нагаты-Хигмана для полуколец. // Международный алгебраический семинар, посвященный 70-летию научно-исследовательского семинара МГУ по алгебре, основанного О.Ю. Шмидтом в 1930 г. М., 2000, с. 8.

2. Богданов И. И. Теорема Нагаты-Хигмана для полуколец. // Фундам. и прикл. мат. 7(3), 2001, с. 651-658.

3. Богданов И. И. Примеры ненильпотентных ниль-почтиколец индекса 2. // Фундам. и прикл. мат. 9(1), 2003, с. 61-69

4. Богданов И. И. Об алгебраических расширениях полуполей. // Тезисы докладов V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Тула, 2003. с. 51-52.

5. Богданов И. И. Об аддитивной структуре полутел. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2004. №1, с. 48-50

6. Богданов И. И. Алгебраические расширения полуполей. // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук (труды ХЬМ Научной Конференции МФТИ(ГУ)). Москва-Долгопрудный: 2003. Ч. 7, с. 21-23.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать О/.

Формат 60 х 90 1 /16 . Усл. печ. л. 2

Тираж 100 экз. Заказ О ty

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059,

от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им. A.M. Ляпунова.

Введение

1 Нильпотентность ниль-полуколец и ниль-почтиколец

1.1 Теорема Нагаты-Хигмана для полуколец.

1.2 Локальная ненильпотентность ниль-почтиколец.

2 Алгебраические расширения полуполей

2.1 Решения алгебраических уравнений в полутелах.

2.2 Общие сведения об алгебраических расширениях

2.3 Существование расширения.

2.4 Расширения идемпотентных полуполей.

2.5 Расширения сократимых полуполей.

3 Общая теория полутел

3.1 Аддитивная структура полутела.

3.2 Теорема коммутативности для полутел.

4 Скрытые полукольца матриц

4.1 Критерии для матричных полуколец.

4.2 Существенность дополнительных условий.

В последние десятилетия одной из активно развивающихся областей общей алгебры стала являться теория полуколец. Отчасти это связано с сильной компьютеризацией и, соответственно, возросшими потребностями теории алгоритмов. Полукольца находят также применение в дискретной математике, компьютерной алгебре, теории оптимального управления и других разделах математики. Видимо, впервые понятие полукольца в явном виде появилось в работе Вандивера [23] в связи с аксиоматизацией арифметики. Отдельного упоминания заслуживает такая хорошо развитая область, как идемпотентный анализ (см., например, [4]). Отметим также книги Голана [7] и Хебиша и Вайнерта [8], содержащие большой материал по теории полуколец, бесчисленное множество примеров и обширную библиографию. В России теорией полуколец активно занимаются Е. М. Вечтомов и его ученики; их исследования в основном посвящены развитию функционального подхода к полукольцам. Стоит отметить выпущенные ими книги [1, 6] и несколько защищенных диссертаций [10, И, 12, 13].

При исследовании полуколец большое внимание уделяется методам и результатам, которые удается перенести из теории полугрупп или теории колец. Многочисленные примеры можно найти в книге [7]. Данная диссертация также в большой степени посвящена подобным результатам.

Теорема Нагаты-Хигмана, доказанная первоначально для алгебр над полем характеристики 0 или большей, чем индекс нильпотентности (см. [19, 21]), была затем обобщена на произвольные кольца. Общая формулировка гласит, что кольцо без п!-кручения, удовлетворяющее тождеству хп = 0, нильпотентно индекса 2П — 1 [2, Следствие 6.1.1]. Из известной теоремы Левицкого [2, Следствие 5.1.2] вытекает локальная нильпотентность ниль-колец ограниченного индекса.

А. Я. Белов в [14] исследовал нильпотентность конечнопорожденн-ых ниль-полуколец (общего вида). В указанной работе получены следующие оценки, ¿-порожденное полукольцо с тождеством хп=0 нильпо-тентно степени не выше 2£п+1п3 [14, Теорема 5]. ¿-порожденное полукольцо общего вида, в котором выполняется тождество хп = 0, нильпотентно степени не выше пп • 2£п+1п3 + п [14, Следствие 9]. В той же работе ставились вопросы о существовании экспоненциальной (по п) оценки для полуколец общего вида и об обобщении этих фактов на почтикольца.

В главе 1 диссертации даны ответы на оба вопроса. В параграфе 1.1 показано, что полукольца общего вида с тождеством хп = 0 локально нильпотентны, а при условии отсутствия п!-кручения нильпотентны; при этом оценки индекса нильпотентности совпадают с соответствующими оценками для колец. В частности, это дает положительный ответ на первый из процитированных вопросов.

В параграфе 1.2 показано, что почтикольца с подобным тождеством не обязаны быть нильпотентными даже при условии коммутативности сложения. Именно, в этом параграфе построены примеры 2-порожденной ненильпотентной ниль-почтиалгебры индекса 2 над произвольным полем, состоящем больше, чем из двух элементов, а также однопорожд-енного ненильпотентного ниль-почтикольца индекса 2. Таким образом, ответ на второй вопрос отрицателен.

Полутела в теории полуколец играют роль, подобную роли тел в общей теории колец. Однако уже свойства полуполей существенно отличаются от свойств полей. Например, класс полутел, помимо (аддитивно) сократимых полутел, включает в себя все ¿'-группы (если (С, V, А) - ¿-группа, то (<3, V, •) и {0} и {в, А, •) и {0} — полуполя [25]). Следующие две главы диссертации посвящены исследованию полутел.

Исследования алгебраических уравнений в полуполях были начаты X. Й. Вайнертом в статье [27] И касались в основном числовых полуполей, т. е. подполуполей в К. Толчком к дальнейшим исследованиям в этой области послужил идемпотентный анализ. Г. Б. Шпиз в заметке [16] исследовал решение алгебраических уравнений в идемпотентном полуп оле. Пользуясь его результатами, Е. М. Вечтомов и А. В. Ряттель построили (мономиальное) алгебраическое замыкание идемпотентного полуполя и доказали его единственность. В главе 2 исследуются решения алгебраических уравнений в полуполях и полутелах. В частности, исследуется возможность расширить полуполе корнем уравнения Р{х) = Q(x).

В параграфе 2.1 исследуются уравнения над произвольным полутелом. Выделен класс строгих уравнений, множеством решений которых является не более чем один класс сопряженности. В частности, любое мономиальное уравнение (т. е. уравнение вида Р(х) = а, где а ^ О, Р(х) — многочлен без свободного члена) является строгим.

В параграфе 2.2 собраны общие сведения об алгебраических расширениях полуполей. В параграфе 2.3 показано, что всегда существует (универсальное) расширение полуполя корнем мономиального уравнения. В параграфе 2.4 эти результаты уточняются для идемпотентных полуполей. Наконец, в параграфе 2.5 исследуются расширения сократимых полуполей.

Глава 3 посвящена общей теории полутел. Многие исследователи отмечали, что класс полутел не ограничивается сократимыми и идемпотен-тными полутелами; см., например, [20, 24]. В параграфе 3.1 показано, что любое полутело можно представить в виде цепочки расширений, в которых участвуют лишь идемпотентные и сократимые полутела (при этом понятие морфизма приходится немного обобщить). Заметим, что позже А. Н. Семенов [15] показал, что любое полутело представляется в виде расширения сократимого полутела при помощи идемпотентного; при этом все отображения в этом расширении являются морфизмами.

В книге И. Херстейна [5] приводятся несколько теорем, утверждающих коммутативность кольца при некоторых на первый взгляд более слабых условиях. Начиная с теоремы Веддербарна, утверждающей коммутативность конечного тела, автор затем переходит к гораздо более общим результатам. Так, кольцо, не содержащее ненулевых ниль-идеалов, коммутативно, если для любого его элемента х найдется такое натуральное п(х), что хп№ централен (Капланский-Херстейн). Другой результат: кольцо коммутативно, если для любого его элемента х найдется такое натуральное п(х) > 1, что х11^ = х (Джекобсон). В параграфе 3.2 исследована возможность обобщить эти результаты на полутела и полукольца. При этом оказывается полезной теория, развитая ранее. Скрытые матричные кольца впервые стали исследоваться в связи с ому кольцу матриц? (Здесь через Ш обозначено кольцо целых кватернионов.) Последующими исследователями ставился вопрос о критерии изо-морфности данного произвольного кольца (с единицей) кольну Мп(3) для какого-то 5. Обзор результатов дан в [9, §8.1]. Глава 4 посвящена исследованию аналогичного вопроса для полуколец. В параграфе 4.1 получены аналоги нескольких кольцевых критериев, при этом приходится накладывать дополнительные (по сравнению с кольцевыми) условия. В параграфе 4.2 обсуждается существенность этих условий.

Диссертация состоит из 4 глав, 11 параграфов, 72 страниц. Результаты являются новыми. В качестве основных результатов диссертации можно указать следующие.

Теорема 1 (Теорема 1.3). Пусть любое кольцо без п\-кручепия с тождеством хп = 0 нилыготентно индекса й{п). Тогда, если в полукольце ¿> без п\-кручения выполняется тождество хп = 0, то = 0.

Теорема 2 (Теорема 1.4). Пусть любое £-порожденное кольцо с тождеством хп = 0 нильпотентно индекса (¡Ю(п). Тогда, если в

2-порожденном полукольце «9 выполняется тождество хп = 0, то = 0>

Теорема 3 (Следствие 1.4). Существует однопорожденное ненильп-отентное ниль-почтикольцо индекса 2.

Теорема 4 (Следствие 1.5). Пусть К — произвольное поле нулевой характеристики. Тогда существует двупорожденная ненильпотентн-ая ниль-К-почтиалгебра индекса 2. вопросом Чаттерса [17]: при каких п кольцо изоморфно полн

Нижней степенью ненулевого многочлена Р{х) = рпхп +----Ь ро называется ldeg Р = min{i : Pi ф 0}. Многочлен Р{х) называется строгим, если ldeg Р > 0. Уравнение (Р(х), Q(x)) называется строгим, если ldeg Р > deg Q и многочлен Q(x) — нестрогий. Строгое уравнение называется мономиальным, если deg Q = 0.

Полуполе называется строго (мономиально) алгебраически замкнутым, если любое строгое (мономиальное) уравнение имеет корень. Пусть D С D — полу поля. Если D строго (мономиально) алгебраически замкнуто и наименьшее строго (мономиально) алгебраически замкнутое подполуполе, содержащее D, совпадает с D, то D называется строгим (мономиальным) алгебраическим замыканием D.

Теорема 5 (Следствие 2.5). Для любого полуполя D существует его мономиальное алгебраическое замыкание D <—> D такое, что для любого его мономиалъного алгебраического замыкания D' существует сюръек-тивный морфизм ф : D —» D', замыкающий диаграмму

И.

D —► D Ф

ТУ

Теорема 6 (Теорема 2.4). Мономиальное алгебраическое замыкание идемпотентного полуполя является его единственным строго алгебраическим замыканием. Расширение любого идемпотентного полуполя корнем любого строгого уравнения Р(х) = х) существует и единственно.

Отображение полутел <р : 5 —> И, будем называть почти морфизм-ом в двух случаях: либо (р — морфизм, либо ср сохраняет умножение (и тем самым с/?(0) = 0) и ср(а + Ь) = + р(Ь)) для любых а,Ь е 5.

В цепочке отображений полутел 51 5 «?2 полутело 5 называется расширением полутела при помощи £2, если ф есть сюръективный морфизм полутел, (р есть инъективный почти морфизм, и ^(б^) = Ф~1{1б2)-Неидемпотентное полутело 5 называется строго неидемпотентным, если в нем выполняется условие 2х + у = х + 2у => х = у.

Теорема 7 (Теоремы 3.1 и 3.2). Пусть 5 — неидемпотентпое полутело. Тогда Б представляется в виде расширения Э 52 идемпотентного полутела 61 при помощи строго неидемпотентно-го полутела £2. Полутело £2, в свою очередь, представляется в виде расширения 63 Б £4 сократимого полутела ¿>3 при помощи идемпотентного полутела 64.

Теорема 8 (Следствие 3.1). Пусть 5 — мультипликативно сократимое полукольцо. Если для любого а 6 5 найдется натцралъное п(а) такое, Ч1Х10 6 2(3), то Б коммутативно.

Теорема 9 (Теоремы 4.3 и 4.4). Для произвольного полукольца Я эквивалентны следующие условия:

1) Я изоморфно полукольцу матриц Мп(5) над некоторым полукольцом Б;

2) существуют элементы а,/ £ Я такие, что /п = 0, а/п~1 + /а/п~2 + • • • + /п1а = 1 и а/ка = 0 при 0 < к < п - 2; существуют элементы аь аг,. •, ап> / € Я такие, что /п = О, 1 = а1/п-1+/а2/п-2 + . + ма1/Аа1 = 0 прад 0 < к <п — 2;

7,) существуют элементы а,/,Ь е Я такие, что /п = 0, 1 = Ь/ + /п-1а; и а/ка = 0 при 0 < к < п - 2; о) существуют элементы х,у £ Я такие, что хп = у2 = 0, хп~1 ф О, элемент х + у обратим, 1ц{хп~1)-Г[ Яу = (0), 'где /д(ггп-1) есгаъ левый аннулятор хп~1, и Яу — полустрогий левый идеал;

6) существуют элементы х,у £ Я такие, что хп — у2 = 0, а;"-1 Ф О, элемент х -4/ у обратим, 1ц{хп~1) П Яу = (0) и угх — 0, где г — (х^- уУ1.,

Далее будут введены некоторые определения и обозначения, а также сформулированы известные утверждения, которые часто используются в диссертации.

Полукольцо есть коммутативный моноид по сложению и полугруппа по умножению с выполнением соотношений дистрибутивности и дополнительной (по сравнению с кольцевым случаем) аксиомы хО = Ох = 0. Если существует нейтральный элемент по умножению, то мы говорим о полукольце с единицей.

Левым) полумодулем над полукольцом S называется коммутативный моноид (М, +) с нейтральным элементом Ом, снабженный умножением (слева) на элементы 5, удовлетворяющим обычным тождествам (sis2)m = si(s2m), (si + S2)m = s\m + S2m, s(mi + 7712) = sm\ + 57712, 05m = 0 (тождество sOm = 0 вытекает из предыдущих). Если S содержит единицу, то предполагаем 15772 = га. Полумодуль называется точным, если для любых различных элементов r,s € S существует такой элемент m € М, что rm, ф sm.

Полукольцо R называется полуалгеброй над коммутативным полукольцом Т, если (5,4-) является полумодулем над Т с естественным согласованием t(SiS2) = (tSi)S2 = Si(tS2) при Любых t € Т, Si,S2 £ S. Всякое полукольцо есть полуалгебра над N, где N — полукольцо целых неотрицательных чисел с обычными операциями.

От полукольца общего вида будем требовать выполнения тех же аксиом, за исключением коммутативности сложения.

Полукольцо S называется аддитивно (мультипликативно) сократимым справа, если в нем выполняется квазитождество a + c — b + c => а = b (ас = Ъс=> а = Ь при любом с ^ 0). Поскольку любое полутело мультипликативно сократимо, то аддитивно сократимые полутела мы будем называть просто сократимыми.

Полукольцо идемпотентно, если идемпотентна его аддитивная группа (за полукольцами с идемпотентным умножением закрепилось название булевых).

Левым идеалом полукольца S называется подполумодуль левого полумодуля sS. Непустое подмножество Т элементов полукольца называется полустрогим, если a,a + b £ Т влечет Ъ Е Т. (Левый, правый) идеал является полустрогим тогда и только тогда, когда он является классом нуля некоторой полукольцевой (соотв., полумодульной) конгруэнции.

Для каждого полукольца S существует его кольцо разностей sA и морфизм полуколец гЛ : S 5Л такие, что любой морфизм S в кольцо R пропускается через SA. При этом Кег гЛ = {(а, 6) | |3 с: а +с = Ь +с]. См. [7, Chapter 7].

Пусть S — полукольцо с единицей. Подмоноид A G (5, •) называется левым множеством Ope, если выполнены следующие свойства:

1) Для любых a G A, s G S существуют такие а' 6 i, s' G 5, что a's = s'a;

2) Если при некоторых s, s' G S, a G A выполняется соотношение sa = s'a, то существует такой элемент a' G А, что a's = aV.

Если А — левое множество Ope в полукольце S, то (классическое) левое полукольцо частных A~lS полукольца S относительно А строится следующим образом. На множестве А х S вводится отношение эквивалентности (а, 5) ~ (a', s') 3u, u' G S : us = и's' Aua = и'a' G A. Тогда A-1 S = ((Л x S)/~, +, •), где операции определены следующим образом (через a-1s обозначен класс эквивалентности (a, s)).

1) aj^Si + aj= (aa\)~1(asi + SS2), где s G S, a G A таковы, что aa\ = sa2;

2) (a]"15i)(a2 = (aai)-1(ss2), гДе s £ S, a G A таковы, что as\ = sa2.

Существует естественный морфизм (p : S A1S, определенный формулой <p(s) = l-1s. При этом ip является вложением тогда и только тогда, когда на элементы А можно сокращать, т.е. sa = s'a s = s'. В частвости, (р есть вложение в полукольцо частных (S \ {0})-15 тогда и только тогда, когда S мультипликативно сократимо. Обычно последнее полукольцо записывают 51S', имея в виду, что при А Э О, если возможно (т.е., если моноид А не содержит делителей нуля), через A'1 S обозначают (А \ {О})-1^.

Полукольцо частных A~lS характеризуется следующим универсальным свойством. Пусть 7 : 5 —► Т — морфизм полуколец, при котором все элементы ^у(Л) обратимы в Т. Тогда этот морфизм продолжается до 5 : A~lS —> Т единственным образом. Подробности см. в [7, Chapter 10].

Правые полукольца частных определяются абсолютно аналогично.

Полукольцо S называется полукольцом без нулевых сумм, или БНС-полукольцом, если для любых х,у G 5 из условия х + у = 0 следует х = у = 0. Назовем БНС-полукольцо S полутелом, если S* = £\{0} является группой по умножению (в частности, S — полукольцо с единицей). Полутело называется полуполем, если умножение в нем коммутативно.

Минимальным полутелом является булево полутело

В = ({0,1}, max, min) любое полутело на него отображается). Еще два наиболее простых примера — это Q+ с обычными операциями и "shedule algebra" (Ш U {—оо}, max,+). Более сложный пример можно получить из множества автоморфизмов любой цепи (рассматриваемой как полугруппа с операцией взятия максимума), присоединив к нему ноль.

Накладывая требование отсутствия нулевых сумм, мы исключаем из класса полутел только тела, поскольку из обратимости по сложению одного ненулевого элемента такого "обобщенного" полутела следует обратимость всех элементов. Таким образом, если S — полутело, то множество S* замкнуто относительно сложения. Некоторые авторы (см., например, [28]) не требуют от полутела отсутствия нулевых сумм, оставляя за БНС-полутелами название собственных полутел.

Поскольку S* замкнута относительно сложения, можно исключить из определения полутела требование существования нуля, заменяя его требованием обратимости всех элементов; путем "выкидывания" или внешнего добавления нуля легко перейти от одного из этих определений к другому.

В категории полутел существуют морфизмы, не являющиеся вложениями. Так, например, существует морфизм из любого полутела в полутело В, переводящий 0 в 0, а все ненулевые элементы в 1.

На любом полутеле S можно ввести частичный порядок следующим ъ образом: х у За G S : х + а = у; см. [7, Proposition 18.24].

В категории полутел существуют произведения. Именно, легко видеть, что произведением семейства полутел {¿>г*}, i G X (мы используем вариант определения без нуля) будет множество (Пгег^О* = Yliei^i с операциями, определенными покомпонентно. В диссертации А. В. Ряттель [12] эта конструкция названа почти прямым произведением полутел.

Для любого полутела S существует единственный морфизм ips : Q+ —> S; при этом, если для некоторых ^ ф & их образы совпадают, то ip(mq) = <р(рп); тогда в конечной аддитивной полугруппе <£>(N) существует идемпотент ip(d), откуда Is + Is = 15 й полутело S идем-потентно. Видим, что Q+ вкладывается в любое неидемпотентное полутело S (и отображается в подполутело, изоморфное В, если S идемпо-тентно). В дальнейшем, если не возникает путаницы, будем обозначать образы элементов из Q+ так же, как и сами эти элементы; при необходимости будем добавлять индекс S, подчеркивающий, что берется образ в полутеле S.

Пусть D[x] — полукольцо многочленов над D\ D{x) — полуполе

H' частных полукольца D[x], ср : D[x] —> D(x) — канонический морфизм. В дальнейшем мы будем называть D(x) полуполем рациональных функций над D. Морфизм ср является вложением тогда и только тогда, когда D[x] мультипликативно сократимо, что, согласно результатам А. В. Ряттель [12], равносильно сократимости D. Следовательно, ср — вложение тогда и только тогда, когда D вложимо в кольцо. Тем не менее, <f\D — всегда вложение.

Левым) почтикольцом называется множество N с определенными на нем операциями 4- и о, если выполнены следующие условия:

1. (N, +) — группа с нейтральным элементом 0;

2. (N, о) — полугруппа;

3. Умножение дистрибутивно слева относительно сложения: (a + Ь) о с = аос-\-Ьос.

Сложение в почтикольцах не обязано быть коммутативным.

Почтиалгеброй над (коммутативным и ассоциативным) кольцом К называется почтикольцо, являющееся одновременно модулем над К, если операции умножения согласованы, т. е. для любых а, Ь € Лг, к (Е К выполняется равенство к(а о Ь) = (ка) о 6 = а о (&&).

Основные результаты диссертации опубликованы в [30, 31, 32], были доложены на различных конференциях [33, 34, 35], на семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ в 1998-2003 гг. и на семинаре по полукольцам ВГГУ в 2003 г. Автор хотел бы выразить искреннюю и глубокую благодарность научному руководителю кандидату физико-математических наук доценту Виктору Тимофеевичу Маркову за постановку задач, полезные советы, постоянное внимание к работе, ценные обсуждения и комментарии. Автор также глубоко благодарен А. Я. Белову, Е. М. Вечтомову, А. А. Годину, А. Э. Гутерману, А. В. Михалеву, А. Н. Семенову и всем участникам семинара "Кольца и модули" МГУ и семинара по полукольцам ВГГУ за полезные обсуждения и замечания. Ц

1. Подлевских М. Н. Полукольца непрерывных функций с топологией поточечной сходимости. Диссканд. ф.-м. н. Киров: ВГПУ, 1999.

2. Ряттель А. В. Положительно упорядоченные полутела. Дисс. канд. ф.-м. н. Киров: ВГГУ, 2002.

3. Чермных В. В. Пучковые представления полуколец. Диссканд.ф.-м. н. М.: МПГУ, 1993.

4. Белов А. Я. Теорема Нагаты-Хигмана для полуколец. // Фундам. и прикл. мат. 1995, 1, с. 523-527.

5. Семенов А. Н. О строении полутел. // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета, 2003, №8, с. 105-107.

6. Шпиз Г. Б. Решение алгебраических уравнений в идемпотентных полуполях. // Успехи мат. наук, 2000, 55(5), с. 185-186.

7. Chatters A. W. Representation of tiled matrix rings as full matrix rings. // Math. Proc. Camb. Phil. Soc., 1989, V. 105, pp. 67-72.

8. Fuchs P. R. A characterization result for matrix rings. // Bull. Austral. Math. Soc., 1991, V. 43, pp. 265-267.

9. Higman G. On a conjecture of Nagata. // Proc. Cam. Phil. Soc. 52, 1956, pp. 1-4.

10. Hutchins H. C. Division semirings with 1 + 1 = 1.// Semigroup Forum 22(2), 1981, pp. 181-188.

11. Nagata M. On the nilpotency of nilalgebras. // J. Math. Soc. Japan, 4, 1952, pp. 296-301.

12. Robson J. C. Recognition of matrix rings. // Comm. in Algebra, 1991, V. 19(7), pp. 2113-2124.

13. Богданов И. И. Об алгебраических расширениях полуполей. // Тезисы докладов V Международной конференции "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения". Тула, 2003. с. 51-52.

14. Богданов И. И. Алгебраические расширения полуполей. // Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук (труды ХЬУ1 Научной Конференции МФТИ(ГУ)). Москва-Долгопрудный: 2003. Ч. 7, с. 21-23.