Мультипликативно идемпотентные полукольца тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ



На правах рукописи

Петров Андрей Александрович

МУЛЬТИПЛИКАТИВНО ИДЕМПОТЕНТНЫЕ ПОЛУКОЛЬЦА

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 ИЮН 2015

Екатеринбург — 2015

005569607

005569607

Работа выполнена на кафедре фундаментальной и компьютерной математики

ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет»

Научный руководитель: Вечтомов Евгений Михайлович,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет», заведующий кафедро

Официальные оппоненты: Кожухов Игорь Борисович,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГАОУ ВО «Национальный исследовательский университет «Московский институт электронной техники»

Перминов Евгений Александрович, кандидат физико-математических наук, доцент, ФГАОУ ВПО «Российский государственный профессионально-педагогический университет»

Ведущая организация: ФГБОУ ВО «Московский государственный

университет имени М. В. Ломоносова»

Защита состоится 2 июля 2015 г. в 15.30 на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения Российской академии наук (ИММ УрО РАН) по адресу: 620990, г. Екатеринбург, ул. Софьи Ковалевской, д. 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте ИММ УрО РАН, http://ww4v.imm.uran.ru/

Автореферат разослан мая 2015 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 004.006.03 кандидат физико-математических наук

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена одному из интенсивно развивающихся в последние десятилетия разделов общей алгебры — теории полуколец1-2-3-4'5, которая зародилась в русле развития и расширения классической теории колец в 30-40-е годы прошлого века.

Становление теории полуколец пришлось на 50-70-е годы XX века. Дальнейшее развитие этой теории связано с успешным применением ее в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, тропической математике, теории оптимального управления, теории графов, теории автоматов, формальных языках и других разделах дискретной математики6,7'8.

Полукольцом называется алгебраическая структура (5, +, •) с бинарными операциями сложения + и умножения •, такая, что:

• (S, +) — коммутативная полугруппа;

• (S, •) — полугруппа;

• умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон: а(Ь + с) = ab +ас,(а + Ь)с =ас + Ьс для всех a,b,c€ S.

Полукольца образуют широкий класс алгебраических объектов, содержащий все (ассоциативные) кольца, все дистрибутивные решетки, ряд числовых систем. Поэтому для успешного изучения полуколец на них накладываются естественные дополнительные условия, позволяющие выделить важные классы полуколец. В ряде случаев это позволяет сводить исследование полуколец к более известным, достаточно хорошо изученным объектам, например, к кольцам или дистрибутивным решеткам.

1 Golan J. S. Semirings and their applications. Kluwer Academic Publishers: Dordrecht-Boston-London 1999. 380 p. '

2Glazek K. A. A Guide to the Literature on Semirings and their Applications in Mathematics and Information Science. Kluwer academic publishers: Dordrecht, Boston, London. 2002. 392 p.

3Golan J. S. Semirings and Affine Equations Over Them: Theory and Applications. Springer Science & Business Media, 2003. 241 p.

4Чермных В. В. Функциональные представления полуколец. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2010. 224 с.

6Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н., Чсрмных В. В. Элементы теории полуколец. Киров: Изд-во ООО «Радуга-ПРЕСС», 2012. 228 с.

"Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном правлении. М.: Наука, 1994. 144 с.

'Gondran М., Mänoux М. Graphs, dioids and semirings: New models and algorithms // Springer Science+Business Media, LLC, 2008. 383 p.

"Idempotency (J. Gunawardena, editor). Publ. of the Newton Institute, Cambridge Univ. Press Cambridee 1998. 443 p.

В кандидатских диссертациях9,10,11,12,13 исследуются полукольца с различными дополнительными условиями.

Полукольца, по тем или иным параметрам близкие к дистрибутивным решеткам, изучались в работах многих авторов (см. обзор Глазека14). Вопросы линейной алгебры над полукольцами исследовались в докторской диссертации А. Э. Гутермана15, работах Я. Н. Шитова (см., например16,17).

В данной диссертации изучаются мультипликативно идемпотентные полукольца, то есть полукольца с тождеством хх = х.

Важнейшими классами мультипликативно идемпотентных полуколец являются:

• дистрибутивные решетки, то есть комммутативные идемпотентные полукольца, обладающие законом поглощения х + ху = х;

• булевы кольца — ассоциативные кольца с тождеством хх = х;

• прямоугольные полукольца — полукольца, удовлетворяющие тождеству хух - х.

• идемпотентные моно-полуколъца — мультипликативно идемпотентные полукольца с тождеством х + у = ху.

• мультипликативно идемпотентные полукольца с константным сложением, то есть обладающие тождеством х + у = и + v.

С точностью до изоморфизма существует 6 двухэлементных мультипликативно идемпотентных полуколец: двухэлементная цепь В, двухэлементное поле Z2, двухэлементное моно-полукольцо с единицей Ю>, двухэлементное полукольцо с единицей и константным сложением Т, двухэлементное полуколь-

9 Богданов И. И. Полиномиальные соотношения в полукольцах: Дисс----канд. физ.-мат. наук. Москва:

МГУ им. М. В. Ломоносова, 2004. 72 с.

10Лукин М. А. Полукольцевые объединения кольца и полутела: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Киров: ВятГГУ, 2009. 82 с.

11Ряттель А. В. Положительно упорядоченные полутела: Дисс... .канд. физ.-мат. наук. Киров: ВятГГУ, 2007. 89 с.

12Старостина О. В. Абелево-регулярные положительные полукольца: Дисс. ...канд. физ.-мат. наук. Киров: ВятГГУ, 2007. 90 с.

13Черанева А. В. Ядра и пучки полутел: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Киров: ВятГГУ, 2008. 95 с.

14Glazek К. A. A Guide to the Literature on Semirings and their Applications in Mathematics and Information Science. Kluwer academic publishers: Dordrecht, Boston, London. 2002. 392 p.

15Гутерман А. Э. Фробениусовы эндоморфизмы пространств матриц: Дисс. ...докт. физ.-мат. наук. Москва: МГУ имени М.В. Ломоносова, 2009. 321 с.

18Shitov Ya. Two concepts of singularity for matrices over semirings // Linear and Multilinear Algebra. V. 63(1). 2015. P. 201-220.

17Shitov Ya. Inequalities for Gondran-Minoux rank and idempotent semirings // Linear Algebra and its Applications. V. 435. 2011. P. 1769-1777.

цо 1, с тождеством ху = х и двухэлементное полукольцо К с тождеством ху = у. Первые четыре из них коммутативны, а полукольца В, Ш>, К. — идемпотентны.

В общем виде класс всех мультипликативно идемпотентных полуколец ранее практически не изучался. Рассматривались лишь отдельные свойства мультипликативно идемпотентных полуколец с 0 и 1, в частности характе-ризация ограниченных дистрибутивных решеток в классе мультипликативно идемпотентных полуколец18,19.

Главным образом, исследовались идемпотентные полукольца. Укажем ряд статей20'21'22'23,24'25'26, в которых рассматриваются идемпотентные полукольца (включая полукольца с некоммутативным сложением), многообразие всех таких полуколец, решетка подмногообразий. В частности, Р. Рай(;уп27 изучал решетку подмногообразий многообразия всех идемпотентных полуколец. Им показано, что она дистрибутивна и содержит ровно 78 элементов.

Р. Ра^цп, А. Romanowska, У. Сио и др. изучали дистрибутивные полукольца, то есть полукольца обладающие двойственным законом дистрибутивности х+уг — (х+у)(х+г) с идемпотентным (в том числе некоммутативным)

18Golan J. S. Semirings and their applications. Kluwer Academic Publishers: Dordrecht-Boston-London, 1999. 380 p.

lsGolan J. S. Semirings and Affine Equations Over Them: Theory and Applications. Springer Science & Business Media, 2003. 241 p.

20McKenzie R., Romanowska A. Varieties of -distributive bisemilattices // «Contrib. Gen. Algebra. Proc. Klagefurt Conf., 1978». Klagefurt, 1979. P. 213-218.

21Pastijn F., Zhao X. Z. Green's D-relation for the multiplicative reduct of an idempotent semiring // Arch. Math. (Brno). 2000. V. 36. P. 77-93.

22Pastijn F., Zhao X. Z. Varieties of idempotent semirings with commutative addition // Algebra universalis. 2005. V. 54. P. 301—321.

23Romanowska A. On bisemilattices with one distributive law // Algebra universalis. 1980. V. 10. P. 35—47.

24Zhao X. Z. Idempotent semirings with a commutative additive reduct // Semigroup Forum. 2002 V. 64. P. 289-296.

25Zhao X. Z., Guo Y. Q., Shum K. P. D-subvariety of idempotent semirings // Algebra Colloquium. 2002. V. 9. P. 15-28.

28Zhao X. Z., Shum K. P., Guo Y. Q. L-subvariety of idempotent semirings // Algebra Universalis. 2001. V. 46 P. 75-96.

"Pastijn F. Varieties Generated by Ordered Bands II // Order. 2005. V. 22. P. 129-143.

сложением (см., например28,29'30,31'32'33).

J. A. Kalman доказал34, что с точностью до изоморфизма существует три подпрямо неразложимых коммутативных идемпотентных дистрибутивных полукольца: В, D и В U {оо}.

S. Ghosh показал35, что произвольное коммутативное мультипликативно идемпотентное полукольцо с тождеством х+2ху = х будет подпрямым произведением булева кольца и дистрибутивной решетки. Аналогичный результат для многообразия всех мультипликативно идемпотентных полуколец с нулем и единицей, обладающих тождеством 1 + 2х = 1 получил F. Guzman36: любое такое полукольцо коммутативно и является подпрямым произведением семейства полуколец В и Z2, а также может быть порождено полукольцом Z2 U {0}.

Объектом исследования служат полукольца с идемпотентным умножением.

Предметом исследования являются структурные свойства указанного класса полуколец.

Цель и задачи работы. Цель диссертации состоит в выявлении и доказательстве структурных свойств мультипликативно идемпотентных полуколец. Для достижения цели были поставлены и решены задачи изучения:

1. общих структурных свойств полуколец с идемпотентным умножением;

2. структурных свойств мультипликативно идемпотентных полуколец с некоторыми дополнительными условиями в терминах расширений;

3. строения подмногообразий многообразия мультипликативно идемпотентных полуколец, главным образом, коммутативных.

28Pastijn F., Guo Y. Q. The lattice of idempotent distributive semiring varieties //Science in China Ser A 1999. V. 48(8). P. 785-804.

29Pastijn F., Romanowska A. Idempotent distributive semirings I // Acta Sci. Math. (Szeeed) 1982 V 44 P. 239-253.

30Pastijn F. Idempotent distributive semirings II // Semigroup Forum. 1983. V. 26. P. 153—166.

31 Romanowska A. Idempotent distributive semirings with a semilattice reduct // Math. Japonica 1982 V. 27. P. 483-493.

"Balbes R. A representation theorem for distributive quasi-Iatiices // Fund. Math. 1970. V. 68. P. 207-214.

33Plonka J. On distributive quasi-lattices 11 Fund. Math. 1967. V. 60. P. 191-200.

34 Kalman J. A. Subdirect decomposition of distributive quasilattices // Fund. Math. 1971. V. 71. P. 161-163.

35Ghosh S. A characterization of semirings which are subdirect products of a distributive lattice and a ring // Semigroup Forum. 1999. V. 59. P. 106—120.

3eGuzman F. The variety of boolean semirings // Journal of Pure and Applied Algebra. 1992. V. 78. № 3.

Методы исследования. В работе применяются методы и результаты теории полуколец (в частности, построение конгруэнций на мультипликативно идемпотентных полукольцах), теории полугрупп, теории решеток, универсальной алгебры.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и может послужить основой для дальнейших исследований в теории полуколец с дополнительными условиями. Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для магистрантов и аспирантов и в научно-исследовательской работе студентов.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Личный вклад автора. Диссертационная работа отражает личный вклад автора в проведенном исследовании. Научным руководителем д. ф,-м. н., профессором Е. М. Вечтомовым была определена область исследований, поставлены задачи исследования, осуществлялось общее руководство, оказывалась методическая помощь, проводилось обсуждение полученных результатов и методов их решения.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных конференциях Вятского государственного гуманитарного университета в 2012-2015 годах, регулярно на научном алгебраическом семинаре г. Кирова (руководители семинара доктора физ.-мат. наук профессора Е. М. Вечтомов и В. В. Чермных), апробированы на Международных алгебраических конференциях в Екатеринбурге (2012 - 2015 гг.), Туле (2012, 2014 гг.), Волгограде (2012 г.), Николаеве (2012 г.), Красноярске (2013 г.), Вологде (2013 г.), Львове (2013 г.), Казани (2014 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 18 работ (из них 7 статей и 11 тезисов докладов, список публикаций приведен в конце автореферата), 14 из которых в нераздельном соавторстве с научным руководителем Е. М. Вечтомовым. Две работы опубликованы в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация включает в себя оглавление, введение, три главы, разбитые на 8 параграфов, список литературы и предметный указатель. Полный объем диссертации составляет 104 страницы.

Список литературы включает 72 наименования и занимает 7 страниц.

Содержание работы

Во введении даны исходные определения и обозначения, используемые в диссертации, обсуждается общая мотивировка решаемых задач, сформулированы основные результаты.

В главе 1 вводятся основные понятия теории полуколец; приводятся общие свойства мультипликативно идемпотентных полуколец; даются примеры конечных полуколец с идемпотентным умножением. Для замкнутости изложения ряд известных утверждений главы 1 приводится с доказательством и ссылкой на соответствующий источник.

В пункте 1.1 приведены примеры полуколец с различными свойствами, а также примеры известных конгруэнций на полукольцах.

В пункте 1.2 рассматриваются исходные свойства мультипликативно идемпотентных полуколец.

Предложение 1.2.1. В любом мультипликативно идемпотентном полукольце ¿> выполняются следующие тождества:

1. х + ху + ух + у = х + у, в частности, х + х + х + х = х + х (или Ах = 2х);

2. х + ху + у = х + ух + у;

3. х + 2ху + у = х + у;

4- х + ху = х + 3ху и х + ух — х + 3ух.

Непустое подмножество I полукольца 5 называется идеалом, если для любых а, Ь € 5 е 5 выполняется а + Ь, аэ, ва 6 7. Идеал I называется простым, если аЬ £ I влечет а 6 I или Ь € I для всех а, Ь 6 5.

Говорят, что простые идеалы полукольца 5 разделяют его элементы, если для любых а, Ь € 5, а ^ Ь, найдется простой идеал в 5, содержащий ровно один из элементов а, Ь.

Предложение 1.2.3. Простые идеалы произвольного полукольца 3 разделяют его элементы тогда и только тогда, когда 5 коммутативно и мультипликативно идемпотентно.

На произвольном полукольце S вводится «разностное» рефлексивное и транзитивное бинарное отношение

х ^у х = у или (3 z G S) х + z = у.

Если отношение ^ антисимметрично, то есть является отношением порядка, то полукольцо S назовем упорядочиваемым.

Предложение 1.2.4. Произвольное мультипликативно идемпотент-ное полукольцо упорядочиваемо тогда и только тогда, когда на нем тождественно Зх = 2х.

Кроме того, показано, что для любого мультипликативно идемпотентного полукольца S решетка всех его идеалов дистрибутивна (предложение 1.2.10), а решетка конгруэнций, вообще говоря, не обязана быть модулярной (замечание 1.2.1).

Пункт 1.3 посвящен конечным полукольцам с идемпотентным умножением. Приведены важные примеры таких полуколец. Подсчитано число элементов в свободных коммутативных мультипликативно идемпотентных полукольцах (в том числе с дополнительными тождествами За: = 2а;, Зх = х, 2х = i) с n ^ 3 свободными образующими. Указаны все трехэлементные полукольца с коммутативным идемпотентным умножением.

Показано, что произвольное (конечное) мультипликативно идемпотентное полукольцо с нулем изоморфно вкладывается в (конечное) мультипликативно идемпотентное полукольцо с нулем и единицей (предложение 1.3.1).

На основании результата о конечности конечнопорожденных идемпотентных полугрупп37 получается

Предложение 1.3.5. Свободное мультипликативно идемпотентное полукольцо с множеством X свободных образующих конечно тогда и только тогда, когда множество X конечно.

В главе 2 рассматриваются структурные свойства мультипликативно идемпотентных полуколец, формулируемые в терминах их конгруэнций, расширений и тождеств.

Напомним, что полукольцо называется полукольцом с нулем 0, если 0 — нейтральный по сложению элемент полукольца, обладающий свойством мультипликативности х - 0 = 0 • х = 0.

"McLean D. Idempotent semigroups // Amer. Math. Monthly, 1954. V. 61, № 2. P. 110-113.

Полукольцо S с поглощающим элементом по умножению в называется в-расширение полукольца А при помощи полукольца В, если существует такая конгруэнция р на S, что [в]р = А и S/p = В. Если 0 = 0 — нуль, то S называется 0-расширением полукольца А при помощи полукольца В. Аналогично, полукольцо S с единицей 1 назовем 1 -расширением полукольца А при помощи полукольца В, если на S существует такал конгруэнция р, что [1], = An S/p = В.

Полукольцо S будем называть полукольцевым расширением (или связкой) семейства полуколец А{ (г S I) при помощи полукольца В, если на S существует такая конгруэнция р, что S/p = В и каждый класс [а;]р является подполукольцом в S, изоморфным соответствующему полукольцу Д-.

В пункте 2.1 изучаются основные структурные свойства мультипликативно идемпотентных полуколец (в том числе с коммутативным умножением и нулем).

Для произвольного полукольца S с нулем 0 через r(S) обозначим множество элементов полукольца, имеющих противоположный элемент по сложению. Если r(S) = {0}, то S называется антикольцом. Ясно, что если S — мультипликативно идемпотентное полукольцо, то r(S) будет булевым кольцом.

Теорема 2.1.1. Всякое конечное мультипликативно идемпотентное полукольцо с нулем разлагается в прямое произведение однозначно определенных (с точностью до изоморфизма) булева кольца и мультипликативно идемпотентного антикольца.

Получены следующие структурные утверждения о мультипликативно идемпотентных полукольцах в терминах их расширений.

Предложение 2.1.3. Всякое мультипликативно идемпотентное полукольцо S является полукольцевым расширением семейства мультипликативно идемпотентных полуколец с тождеством 2х — 2у при помощи идемпотентного полукольца.

Теорема 2.1.4. Любое мультипликативно идемпотентное полукольцо S с нулем 0 является 0-расширением булева кольца r(S) с помощью идемпотентного полукольца.

Предложение 2.1.8. Всякое коммутативное мультипликативно идемпотентное полукольцо S с нулем является 0-расширением булева коль-

ца при помощи дистрибутивной решетки.

В пункте 2.2 указаны структурные результаты для мультипликативно идемпотентных полуколец с некоторыми дополнительными условиями, выраженными тождествами 2х = х,2х = 2у, х + 2хух = х и другими.

В предложении 2.2.6 рассматривается строение коммутативных мультипликативно идемпотентных дистрибутивных полуколец, из которого вытекает

Следствие 2.2.3. Любое коммутативное идемпотентное дистрибутивное полукольцо 5 является полукольцевым расширением семейства дистрибутивных решеток при помощи идемпотентного моно-полукольца.

Глава 3 посвящена изучению многообразия 2Я мультипликативно идемпотентных полуколец. Главное внимание уделено изучению многообразия СЭЛ коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец.

При изучении многообразий полуколец исходными служат две классические теоремы Биркгофа38. Напомним, что многообразием полуколец называется класс всех полуколец, удовлетворяющих некоторому набору полукольцевых тождеств. По первой теореме Биркгофа, произвольный класс полуколец будет многообразием тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятия подполуколец, гомоморфных образов и любых прямых произведений. Из второй теоремы Биркгофа следует, что любое полукольцо является под-прямым произведением подпрямо неразложимых полуколец (полукольцо 5 называется подпрямо неразложимым, если на нем существует наименьшая ненулевая конгруэнция).

Важную роль в главе 3 играют универсальные когруэнции на коммутативных полукольцах 5, в частности:

• Конгруэнция Ламбека 0(Р) по простому идеалу Р :

Ух,уеБ (хв(Р)у) Зг е 5 \ Р {хг = ух).

• Рисовская конгруэнция по биидеалу I, которая имеет своими классами / и одноэлементные подмножества {а;}, где х € (идеал I полукольца называется биидеалом, если а + в & I для всех а е в € 5).

В пункте 3.1 рассмотрены необходимые условия подпрямой неразложимости коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец.

38Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968. 352 с.

Теорема 3.1.1. Для всякого подпрямо неразложимого полукольца S 6 СОЛ справедливы следующие утверждения:

1. S имеет единицу 1;

2. множество S \ {1} — наибольший идеал в S, обладающий единицей е;

3. наименьшей ненулевой конгруэнцией на S служит конгруэнция, склеивающая только элементы lue;

4- в S верно равенство 3 — 2 или 3 = 1 ие — 2.

Напомним, что идеал I полукольца S называется полустрогим (строгим), если а + Ь, а Е I (соответственно, а + Ь 6 I) влечет Ь G / для всех a,b€ S.

В качестве приложения теоремы 3.1.1 устанавливается, что все идеалы полукольца S € СОЯ являются полустрогими тогда и только тогда, когда S обладает тождеством х + 2ху = х (предложение 3.2.5), а строгость всех идеалов в S равносильна тому, что 5 — дистрибутивная решетка (следствие 3.2.4).

Мультипликативно идемпотентное полукольцо назовем цепным, если полурешетка (S, ■) является цепью.

Теорема 3.1.2. Для любого кардинала т ^ 2 существуют цепные подпрямо неразложимые полукольца мощности т как с 0, так и с оо.

Отметим, что для любого натурального числа m ^ 2 существует, с точностью до изоморфизма, ровно 4 m-элементных цепных подпрямо неразложимых коммутативных мультипликативно идемпотентных полукольца (предложение 3.1.6).

Пункт 3.2 посвящен изучению подмногообразий многообразия 9Т полуколец, порожденного двухэлементными коммутативными мультипликативно идемпотентными полукольцами (В, D, Z2, Т).

Для полуколец Si,...,Sn через ..., Sn) будем обозначать многооб-

разие полуколец, порожденное этими полукольцами. Это означает, что многообразие 2Я(5\,..., Sn) задается множеством всевозможных тождеств, выполняемых на каждом из полуколец Si,..., Sn.

Отметим, что 2Я(В) есть многообразие всевозможных дистрибутивных решеток, то есть полуколец с коммутативным идемпотентным умножением, обладающих законом поглощения х+ху — х. Легко видеть, что многообразие всех булевых колец характеризуется в Шt тождеством х + 2у — х и совпадает

с 9Jt(Z2). Кроме того, 9Л(В) — многообразие всех моно-полуколец, a OTt(T) — многообразие всех коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец с константным сложением (предложения 3.2.1, 3.2.2).

Известно, что многообразие ЯЯ(В. Z2) = Wl(Z2 U {0}) — это многообразие всех коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец с тождеством х + 2ху = х, а Щ1(В, D) = 9Л(3 U {оо}) является многообразием всевозможных идемпотентных дистрибутивных полуколец.

Перечислим основные результаты пункта 3.2 (предложения 3.2.6-3.2.9):

• ЯЛ(В,Т) — это многообразие всех коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец S с тождеством х + ху — 2х.

• 2Jt(D, Т) есть многообразие всех коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец с тождеством х + у = 2ху.

• 9Jt(Z2,Т) совпадает с многообразием всех коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец с тождеством 2х = 2у.

• £OT(D, Z2) = OT(Z2U{oo}) является многообразием всевозможных коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец с тождеством 2 х + ху — ху.

Теорема 3.2.1. Полукольца В, Z2,B, Т, Bü{oo}, Z2U{oo} исчерпывают — с точностью до изоморфизма — все подпрямо неразложимые полукольца многообразия ОТ.

Таким образом, произвольное полукольцо S € СП будет подпрямым произведением некоторого семейства полуколец В, Z2, В, Т, В U {00}, Z2 U {00}.

Отсюда вытекает, что в классе 62Ш многообразие задается одним тождеством х + 2ху + yz = х + 2xz + yz (следствие 3.2.6).

Теорема 3.2.2. Решетка подмногообразий многообразия 01 является 16-элементной булевой решеткой.

Этот результат выводится из предыдущих фактов, а также может быть получен с помощью утверждений работы Б. М. Берникова и М. В. Волкова39.

Предложение 3.2.10. Для всякого полукольца S € Ш имеют место следующие утверждения:

39Верников Б. М., Волков М. В. Дополнения в решетках многообразий и квазиыногообразий // Изв. вузов. Мат. 1982. №11. С. 17-20.

1. Б еОТ(В,22,Т) ^ обладает тождеством х 4- 2ху — Зх\

5 дистрибутивно 6 9Т и удовлетворяет тождеству Зх = 2х;

3. Б € 971(^2,0, Т) 5 обладает тождеством х + 2ху = Зжу; 4- Б € 9Я(В,22,0) ^¿"бЭТ

и Б удовлетворяет тождеству Зх — х.

В пункте 3.3 получены новые соотношения для подмногообразий многообразия 9Л. Как и любая решетка подмногообразий, решетка Ь(Ш) атомна40. Из работы С. В. Полина41 вытекает, что решетка Ь{Ш) имеет ровно 6 атомов:

ая(в), ая(в), ш{ъ2), ол(т), ая(к).

Для произвольного полукольцевого тождества / = д через ЗЯ(/ = д) обозначим подмногообразие в ШТ, порожденное этим тождеством.

Теорема 3.3.1. Произвольное мультипликативно идемпотентное полукольцо является подпрямым произведением полуколец, одно из которых обладает тождеством Зх = 2х, а другое обладает тождеством Зх = х. Стало быть, Ш = 9Л(Зж = х) V 2Л(Зх = 2х).

Теорема 3.3.2. Решетка Ь{Ш) является решеткой с псевдодополнениями.

Для многообразия А е £(9Л) через т(А) обозначим множество атомов решетки Ь(Ш), содержащихся в А.

На решетке £(Ш) введем отношение эквивалентности рт :

АртВ & т{А) = т(В).

Теорема 3.3.3. Бинарное отношение рт является конгруэнцией на решетке Ь{Ш), факторрешетка Ь(Ш)/рт по которой будет 64-элементной булевой решеткой.

Теорема 3.3.4. Решетка Ь(Ш) не является модулярной.

Показано, что решетка Ь{Ш(3х = 3у)) дистрибутивна и счетна (предложение 3.3.7). Заметим, что Ш(3х = 3у) есть в точности многообразие мультипликативно идемпотентных полуколец с константным сложением (предложение 3.3.1).

40Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с. С. 376.

41 Полин С. В. Минимальные многообразия полуколец // Матем. заметки. 1980. Т. 27. Л11 4. С. 527-537.

Основные результаты диссертации

В диссертации основными можно считать следующие результаты:

• доказаны исходные свойства мультипликативно идемпотентных полуколец (пункты 1.2 и 1.3);

• в терминах расширений получены структурные результаты о мультипликативно идемпотентных полукольцах, в определенной мере сводящие их изучение к пяти указанным выше классам полуколец (глава 2);

• найдены необходимые условия подпрямой неразложимости полуколец в многообразии С9Л всех полуколец с коммутативным идемпотентным умножением, позволившие описать конечные цепные подпрямо неразложимые полукольца из (пункт 3.1);

• изучено многообразие 9Т полуколец, порожденное двухэлементными коммутативными мультипликативно идемпотентными полукольцами (пункт 3.2);

• доказано, что решетка Ь(Ш) подмногообразий в Ш является бесконечной немодулярной решеткой с псевдодополнениями (пункт 3.3).

Автор глубоко благодарен научному руководителю профессору Евгению Михайловичу Вечтомову за постановку задач, постоянное внимание к работе и всестороннюю поддержку.

Работы автора по теме диссертации

Статьи автора в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Вечтомов Е. М., Петров А. А. Мультипликативно идемпотентные полукольца // Фундаментальная и прикладная математика. 2013. Т. 18. № 4. С. 41-70.

Translation: Vechtomov Е. М., Petrov A. A. Multiplicatively idempotent semirings // Journal of Mathematical Sciences (USA). 2015. V. 206. № 6. P. 634-653.

2. Вечтомов E. M., Петров А. А. Свойства мультипликативно идемпотент-ных полуколец // Ученые записки Орловского государственного университета. Серия «Естественные, технические и медицинские науки». 2012. № 6. Ч. 2. С. 60-68.

Другие публикации

3. Вечтомов Е. М., Петров А. А. Многообразие полуколец, порожденное двухэлементными полукольцами с коммутативным идемпотентным умножением // Чебышевский сборник. Том XV. Вып. 3. Тула, 2014. С. 12-30.

4. Вечтомов Е. М., Петров А. А. Мультипликативно идемпотентные полукольца с тождеством х + 2хух = х // Вестник Сыктыв. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. Информатика. 2013. № 17. С. 44-52.

5. Вечтомов Е. М., Петров А. А. Некоторые многообразия коммутативных мультипликативно идемпотентных полуколец // Современные проблемы математики и ее приложений: труды 45-й Международной молодежной школы-конференции, поев. 75-летию В. И. Бердышева. Екатеринбург, 2014. С. 10-12.

6. Вечтомов Е. М., Петров А. А. О конечных мультипликативно идемпотентных полукольцах // Алгебра и линейная оптимизация: Тезисы Междунар. конф., посвящ. 100-летию С. Н. Черникова. Екатеринбург, 2012. С. 37-38.

7. Вечтомов Е. М., Петров А. А. О многообразии полуколец с идемпотентным умножением // Алгебра и логика: теория и приложения: тез. докл. Междунар. конф., посвящ. памяти В. П. Шункова. Красноярск, 2013. С. 33-34.

8. Вечтомов Е. М., Петров А. А. О подмногообразиях многообразия полуколец с полурешеточным умножением // Алгебра и математическая логика: теория и приложения: Матер. Междунар. конф. Казань, 2014. С. 155-156.

9. Вечтомов Е. М., Петров А. А. О подпрямо неразложимых коммутативных мультипликативно идемпотентных полукольцах // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: тез. докл. XI Междунар. конф. Саратов, 2013. С. 14-15.

10. Вечтомов Е. М., Петров А. А. О свойствах мультипликативно идемпотентных полуколец // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: тез. X Междунар. конф. Волгоград, 2012. С. 19-20.

11. Вечтомов Е. М., Петров А. А. Полукольца с коммутативным идемпо-тентным умножением // Математика в современном мире: материалы Международной конференции, поев. 150-летию Д. А. Граве. Вологда, 2013. С. 10-11.

12. Петров А. А. Один класс мультипликативно идемпотентных полуколец // Алгебра и комбинаторика: тезисы Междунар. конф. по алгебре и комбинаторике, поев. 60-летию А. А. Махнева. Екатеринбург, 2013. С. 131-132.

13. Петров А. А. О двупорожденных полукольцах с идемпотентным умножением // Матем. вестник педвузов и ун-в Волго-Вятского региона. Вып. 14. Киров, 2012. С. 146-153.

14. Петров А. А. О свободных полукольцах с коммутативным идемпотентным умножением // Матем. вестник педвузов и ун-в Волго-Вятского региона. Вып. 16. Киров, 2014. С. 102-106.

15. Петров А. А. Полукольца с условиями идемпотентности // Чебышев-ский сборник. Том XIII. Вып. 1 (41). Тула, 2012. С. 118-129.

16. Vechtomov Е. М., Petrov A. A. About semirings with semilattice multiplication // Algebra and Number Theory: Modern Problems and Application: Proceedings XII International Conference, dedicated to 80-th anniversary of Professor V. N. Latyshev. Тула: Изд-зо Тул. гос. пед. ун-та им. Л. Н. Толстого, 2014. Р. 175-178.

17. Vechtomov Е. М., Petrov A. A. About the structure of multiplicative idempotent semirings // Abstract of reports of the 9-th International

Algebraic Conference in Ukraine. L'viv, 2013. P. 210. 18. Vechtomov E. M., Petrov A. A. On idempotent semirings with dual distributive law // Book of Abstracts of the International Mathematical Conference on occasion the 70th year anniversary of Professor Vladimir Kirichenko. Mykolayiv, 2012. P. 174.

Подписано в печать 12.05.2015 г. Формат 60 х 84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ № 38

Отпечатано в полиграфическом цехе издательства ООО «Радуга-ПРЕСС» т. (8332)262-390. 610044, г. Киров, ул. Лепсе 69^8.