Полукольцевые объединения кольца и полутела тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

00346178Э

Лукин Михаил Александрович

ПОЛУКОЛЬЦЕВЫЕ ОБЪЕДИНЕНИЯ КОЛЬЦА И ПОЛУТЕЛА

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2009

003461789

Работа выполнена на кафедре высшей математики физико-математического факультета Вятского государственного гуманитарного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ВЕЧТОМОВ Евгений Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор КОЖУХОВ Игорь Борисович кандидат физико-математических наук, доцент АБЫЗОВ Адель Наилевич

Ведущая организация: Ульяновский государственный университет

Защита состоится 12 марта 2009 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.081.24 при Казанском государственном университете но адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, коиференц-зал библиотеки им. П. И. Лобачевского КРУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. 11. И. Лобачевского Казаиского государственного университета по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35.

Автореферат разослан 29 января 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

к. ф.-м. 11., доцент

А. И. Еникеев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Исследования, проведенные в диссертации, посвящены одному из специальных классов полуколец - полукольцам с единицей, являющимся объединением кольца и полутела.

Теория полуколец возникла в 50-е годы XX столетия. В настоящее время она находит применения в дискретной математике, компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления и других разделах математики1,2.

Пример полукольца всех идеалов кольца с операциями сложения и умножения идеалов можно найти уже в работе Дедекинда3 1894 года.

Впервые строгое определение полукольца дано Вандивером4.

Полукольцом называется алгебра (5,+, -,0) с двумя бинарными операциями сложения + и умножения • такая, что (5, +, 0} - коммутативный моноид, (S, ■} - полугруппа, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон, 0 • s = s ■ 0 = 0 для любого элемента s из 5.

Класс полуколец содержит такие хорошо известные алгебраические объекты как ассоциативные кольца, дистрибутивные решетки с наименьшим элементом, ряд числовых систем, а также полутела с нулем.

Полукольцо S с ненулевой единицей 1 называется полутелом с нулем, если множество его обратимых по умножению элементов совпадает с 5\{0} и S не является кольцом. Любое полутело с нулем будет антикольцом, то есть удовлетворяет квазнтождеству а + b — 0 => а — 0. Если из полутела с нулем S исключить нуль, то получим алгебраическую структуру (5\{0},+, ■), которую будем называть полутелом.

1Маслов, В. П. Идемпотентпый анализ и его применение в оптимальном управлении |текст| / В. П. Маслов, В. Н. Колокольцов - М.: Наука, 1994 - 144 с.

2Hohis(:h, U. Semirings. Algebraic theory and applications in computer science |text.J / U. Hebisch, H. J. Weinert // World Scientific Publishing. Singapore, 1998.

3Dedekind, R. Uber die Theorie ganzen algebraischen Zahlen [text] / R. Dedekiiid // Suplument XI to P.G. Lejeurie Dirichet: Vorlesungen Uber Zahlentheorie, 4 Ansfl., Druck und Verlag, Braunschweig, 1894.

^Vandiver, H. S. Note on a simple type of algebra in which cancellation law of addition does not hold [text] / It. S. Vandiever // Bull. Amer. Math. Soc. - 1934. - V. 40. - №12,- P. 914 920

Структурная теория полутел в последнее время активно развивается i является самостоятельной. Ей посвящены работы А. Н. Семенова5, Л. В Чераневой", Е.М. Вечтомова и A.B. Чераневой7, полутела исследовались диссертациях А. В. Ряттель8 и И. И. Богданова9. Важные результаты в тео рии полутел получены в диссертации A.B. Чераневой10.

Для получения новых классов полуколец естественным является исследо вание полуколец, сводящихся к указанным типам полуколец: кольцам, огра ниченным снизу дистрибутивным решеткам и полутелам с нулем. В предло жении (12.15) книги Голана11 дается описание полуколец, являющихся по прямым произведением некоторых кольца и дистрибутивной решетки. В р боте Е. М. Вечтомова, А. В. Михалева и В. В. Чермных12 и исследования О. В. Старостиной13 изучаются абелево-регулярных положительные пол кольца, строение которых однозначно определяется дистрибутивной решет кой идемпотентов L{S), полутелом обратимых элементов U(S) и канонич ским антигомоморфизмом L(S) —> ConU(S), где ConU(S) - решетка конгр энций полутела U(S).

Валяным подходом к исследованию структуры полуколец является пре;

5Семено», А. Н. О решетке копгруэнций полутел {текст]/ А. Н. Семенов // Вестник ВятГГУ. - 2003. т. - С. 02-1)5

®Черанена, А. В. О кош-руэнциях па полугелах [текст) / А. В. Черанева // Чебышевский сборник. 2005. - Т. в. - Вып. 4 (16). - С. 164-171

^Веч-юмон, Е. М. К теории полутел [if: к от | j Е. М. Вечтомои, А. В. Черанева / / Успехи математнчесю наук. - 2008. - Т. Ü3. - Вып. 2 - С. 161-162

8Ряттель, А. В. Положительно упорядоченные иолутела: дис. ... канд. фнз.-матем. наук: 01.01.06 з щищема 17. 03. 2003 / А. В. Ряттель. - Киров: ВятГГУ, 2002. - 80 с.

^Богданов, И. И. Полммиальмые соотношения в полукольцах: дис.... канд. фнэ.-матем. паук: 01.01 защищена 20. 02. 2004 / И. И. Богданов. - МГУ. - M., 2004. - 72 с.

1НЧеранева, А. В. Ядра и пучнк полутел: дис.... канд. физ.-матем. наук: 01.01.ОС: защищена 4. 12. 20 / А. В. Черанева. - Киров: ВятГГУ, 2008. - 95 с.

11 Golan, J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer seien Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics, 1992. - V. 54. - 318 p.

12Вечтомов, E. M.( Абелево-регурярные положительные полукольца ¡текст) / Е. .M. Вечтомов, А. Мвхалеп, В. В. Чермных // Труды семинара вы. И.Г. Петровского. - 1997. - Т. 20. - С. 282 309

^Старостина, О. В. Л белено-регулярные положительные полукольца: дне. ... канд. фнз.-матем. па; 01.01.06: защищена 29. 10. 2007 / О. В. Старостина. - Киров: ВятГГУ, 2007. - 90 с.

ставление полуколец в виде расширений полуколец из более хороню изученных классов. Представлениям полутел в виде расширений сократимых полу-тел при помощи идемлотентных полутел посвящены работы А. II. Семенова14 и И. И. Богданова15.

Полукольцо 5 с единицей 1^0 назовем 0-1 -расширением полукольца К и полукольца Р, возможно не имеющего нуля, при помощи полукольца Т, если па 5 существует конгруэнция р такая, что 5/р = Т, [0];, = К и [1];) = Р.

Мы рассматриваем 0-1-расширения кольца и полутела, в которых роль класса нуля конгруэнции играет некоторое кольцо Я, а роль класса единицы - некоторое полутело £7. Для выяснения структуры таких 0-1-расширений необходимым является изучение полукольцевых дизъюнктных объединений.

Полукольцо й с единицей 1 назовем полуколъцевым дизъюнктным объединением кольца Я и полутела £7 и обозначим Ли£7, если оно является объединением своих непересекающихся подмножеств г(5) — {г £ 5 : Зг £ 5, £ + г = 0} и £7(5) = {и е 5 : Эи е 5, гш = уи = 1), причем г(Я) = Л и £7(5) ^ £/.

Цель работы. Исследовать алгебраическое строение полукольцевых дизъюнктных объединений 5 = Я0£7.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) Строение полукольцевых объединений кольца и полутела сведено к строению их полукольцевых дизъюнктных объединений (замечания 3.6, 3.7).

2) Приведены определяющие свойства колец, для которых существуют нетривиальные Дополнения до полукольцевого дизъюнктного объединения (теорема 4.1).

3) Дано характеристическое свойство полутел, для которых существует нетривиальное дополнение до полукольцевого дизъюнктного объединения

14Сем<шов, А. Н. О строении полутел ¡тскег| / А. Н. Сеченов // Вестник ВятГГУ. 2003. - №8. - С. 105-107

15Богданов, И. И. Об амитишюй структуре полутел [тск1п| / И. И. Богданов // Веет. Моск. ум-та. Серия 1. Математика. Механика. - 2004. - №21. - С. 48 50

(теорема 5.1).

4) Для подходящих колец построены всевозможные полутела, допускающие нолукольцевые дизъюнктные объединения с этими кольцами (свойства 4.1, 4.8, предложения 4.1, 4.2, теорема 4.4).

5) Для незероидпых полутел построены все кольца, допускающие с ними полукольцевые дизъюнктные объединения (теорема 5.2, предложение 5.2).

0) Приведен пример кольца Л и полутела II, для которых существуют неизоморфные нолукольцевые дизъюнктные объединения (предложение 0.2, теорема 0.1).

7) Доказана модулярность решетки конгруэнций полукольцевого дизъюнктного объединения (предложение 8.2). Показано, что дистрибутивность решетки идеалов кольца II и дистрибутивность решетки конгруэнций нолутсла и влекут дистрибутивность решетки конгруэнций полукольца ЛОС/(предложение 8.3).

Методы исследования. В диссертации используются понятия и методы теории полуколец, теории колец и модулей, теории решеток, универсальной алгебры.

Теоретическое и прикладное значение. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы при дальнейших исследованиях в структурной теории полуколец. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материала для специальных курсов в высших учебных заведениях.

Апробация диссертации. Результаты диссертационного исследования докладывались на семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры механико-матсматического факультета МГУ (февраль 2006 г.), на научном семинаре кафедры алгебры и математической логики Казанского государственного университета (апрель 2007 г., сентябрь 2008 г.), на итоговых научных конференциях ВятГГУ и на научном алгебраическом семинаре ВятГГУ (2005-2008 г.г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ (список публикаций приведен в конце автореферата), из которых три в соавторстве с Е.М. Вечтомовым.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 9 параграфов, списка литературы и предметного указателя. Общий объем диссертации 92 страницы.

Обзор содержания работы

Во введении обоснована актуальность темы, формулируются задачи исследования, приводится аннотация основных результатов диссертации.

Глава 1 посвящена общей теории полуколец. В первом параграфе даются исходные понятия и примеры полуколец, используемые в диссертации. Во втором параграфе приводятся известные факты из теории расширений полуколец, а также следующие новые результаты о 0-1-расшпреннях полуколец.

Предложение 2.1. Пусть некоторое полукольцо Б является объединением полутела [I и кольца Я и Я П V = 0. Тогда Б есть 0-1 -расширение кольца Я и полутела II при помощи двухэлементной цепи

Предложение 2.2. Для кольца Я и полутела II эквивалентны следующие условия:

1) существует 0-1 -расширение Я и[1 при помощи некоторой (равносильно, любой) неодноэлементной ограниченной дистрибутивной решетки Ь;

2) существует 0-1 -расширение Я и II при помощи

Рассмотрим 0-1-расширение Б кольца Я и полутела и. Пусть р - такая конгруэнция на 5, что [0]я = Я, [1]р ^ (У. Тогда подмножество [0],, и -подполукольцо в 3. При этом строение Б существенно зависит от строения [0]р0[1]„. Таким образом, естественной задачей является изучение строения полукольцевых дизъюнктных объединений ЯСКУ. Строение полукольцевых объединений 5, возможно без 1, кольца Я и полутела (7 также можно снести к полукольцевым дизъюнктным объединениям. Этому вопросу посвящен

параграф 3, с котором последовательно получено:

Замечание 3.1. Подмножество Пц — lyRlu является подкольцом в R. Причем Ru - наибольшее среди подколед R, элементы которых не меняются при умножении на 1ц слева и справа.

Замечание 3.5. Отображение / : R -> R, г Vrlи, является кольцевым гомоморфизмом, причем Kerf С AnnR, Kerf П Ru — {0}, Vu 6 U, Vr e R, uf{r) = f{ur), и f{r)u = }{ru).

Замечание 3.6. Кольцо R изоморфно кольцу Ru x Kerf, рассматриваемому с покоординатным сложением и умножением (ri, fci)(r2, k-i) = (rjr0).

Замечание 3.7. Кольцо К тогда и только тогда изоморфно Kerf в некотором полукольце S — R(JU, когда оно является прямым произведением трех своих идеалов Ji,J2,J, каждые два из которых пересекаются по нулевому элементу, J\ является левым модулем над U, J2 - правым модулем над U, умножение на К - нулевое. При этом в полукольце (J\ х J2 х J) U U выполняются равенстваw+(jb j2,i) = и, u(jlt j2, j) = (гу'ь0,0), (j\,j2,j)u = (0,j2u, 0).

В главе 2 приводятся характеристические свойства колец и полутел, входящих в полукольцевые дизъюнктные объединения с нетривиальными полутелами и кольцами соответственно. Для каждого подходящего кольца построены все допустимые полутела (параграф 4), и наоборот, для каждого подходящего полутела построены все допустимые кольца (параграф 5).

Кольцо R называется радикальным по Джекобсону, если оно совпадает со своим радикалом Джекобсона. Это означает, что операция "круговой композиции" г * s = г + s + rs п R является групповой, с нейтральным элементом 0. Другими словами, в кольце R для любого элемента г существует единственный элемент s такой, что г + s + rs = 0.

Теорема 4.1. Для произвольного, кольца R эквивалентны следующие условия:

1) существует полукольцо, являющееся полукольцевым дизъюнктным объединением кольца R и некоторого полутела U;

2) R - радикальное но Джекобсону кольцо, аддитивная группа которого является делимой абелевой группой без кручения.

Для построения множества полутел U, входящих в полукольцевое дизъюнктное объединение сданным кольцом R, используется техника модульных эндоморфизмов.

Кольцом двусторонних модульных эндоморфизмов кольца 11 будем называть множество D(R) С EndRn х EndnR пар (/,<?) эндоморфизмов таких, что для любых элементов ri,r2 из R выполняется (r'i/)r2 = ri{gr2), с операциями покоординатного поточечного сложения (сумма (/, <j) + (p,q) = (f+P>ff + <l) действует справа на элементы г Е R как / +р, а слева как g + q) и покоординатной композицией (/, g) • (р, q) = (/ °p,g°q).

Свойство 4.1. Отношение одинакового действия ~ на полутеле U, определяемое соотношением щ ~ щ (г«! = г«2 и щг = u2r) Vr € Л, является конгруэнцией на {/.

Свойство 4.8. Нолутело U/ ~ и кольцо /? состоят в полукольцевом дизъюнктном объединении.

Далее, в кольце D(R) определяются все нолутела, играющие роль фак-торполутел [//

Подполутело Р кольца D(R) назовем ассоциированным с элементами R, если для любых щ, и2 G Р, г £ R выполняется равенство (uir)u2 — щ (ги2).

Выберем в D(R) полутело II — Р + R/AnnR, где полутело Р ассоциировано с элементами R и имеет своей единицей единицу кольца D(R). Пусть 11* - полутело с заданным сюрьективным гомоморфизмом / : 11* —> 11.

Имеют место следующие утверждения:

Предложение 4.1. Множество II* х R с операциями ('ц, п) + (h2,r2) = (hi+h2, rt+r2) u(hur1)(h2,r2) = {h^, f(hi)r2+rif(h2) + rir2), zde/(/ii)r2 и ri/(^2) - соответственно результаты действия модульных автоморфизмов f{h\) на г2 слева и f(h2) на ri справа, является полутелом.

Предложение 4.2. Полученное полутело H*xR образует полукольцевое

дизъюнктное объединение с Я, то есть ЯО (Я* X К).

Замечание 4.2. Полутело (Я* х Я)/ ~ входит в полукольцевос дизъ юнктное объединение с Я, более того, (Я* х Я)/ ~= Я и при заданных н ЯО(Я* х Я) операциях действие элементов Я* X Я - это в точности действи элементов Я.

Теорема 4.4. Полутело (Я* х Я)/ и, где и - такая конгруэнция н (Я* х Я), 47710 ^ входит в полукольцевое дизъюнктное объединение с Обратно, любое полутело, входящее в дизъюнктное полукольцевое объедин ние с Я, изоморфно (Я* х Я)/ и для некоторого полутела Н*, гомоморфны образом которого является полутело Я = Р+Н/АппН, где Р - подполуте в О (Я), Р ассоциировано с элементами кольца Я и яаС~.

В параграфе 5 дается абстрактная характеристика полутел, входящи в полукольцевое дизъюнктное объединение с нетривиальным кольцом. Дл каждого полутела строится класс всех колец, входящих с ним в полукольц вое дизъюнктное объединение.

Полутело называется зероидным, если в нем существуют элементы а, такие, что а = а + 6.

Теорема 5.1. Полутело II входит в полукольцевое дизъюнктное объед нение с некоторым ненулевым кольцом тогда и только тогда, когда оно является зероидным.

Вводится понятие кольцевого ядра полутела II, при помощи которого от сываются всевозможные кольца Я, входящие в полукольцевое дизъюнктн объединение 5 = Яи£/ с условием:

Ча,Ь€ Б а + Ь = а =>Ь = 0. (

Ядро К полутела II назовем кольцевым, если выполняются следуюнц

свойства: 1) V« е 1Пк € К31 Е К ки + 1 = и + 2, 2) Уи б ЦУкик2 К(к\ + и = к2 + и=>к!= к?.)

Рассмотрим канонический гомоморфизм Л : II Т(11) из полутела II его кольцо разностей Т(11), действующий по правилу Л : « 4 (и + 1, и) дл

всех и £ и.

Лемма 5.1. Любое кольцевое ядро инъективно вкладывается в Т(11) при гомоморфизме К.

Предложение 5.1. Если К - кольцевое ядро полутела (У, то Н(К) = 1+1 для некоторого идеала I кольца Т(11) такого, что имеет место 1011 с условием (*).

Теорема 5.2. Кольцо Я входит в полукольцевое дизъюнктное объединение с данным полутелом V с условием (*) тогда и только тогда, когда оно изоморфно идеалу 1 ~ Ь(К) кольца разностей Т(11) для некоторого кольцевого ядра К.

Для любого иолукольцевого дизъюнктного объединения 5 = ДО и можно получить (П/.1(Б))0и с условием (*). Это позволяет описать множество всех колец, входящих в некоторое полукольцевое дизъюнктное объединение с данным нолутелом и:

Лемма 5.2. Для полукольцевого дизъюнктного объединения Б = Пии (возможно без условия (*) ) множество J(S) — {г 6 Я ' Зм 6 и и + г = и} является идеалом кольца Я, выдерживает умножение на элементы из полутела и, и его аддитивная группа является делимой.

Предложение 5.2. Пусть Б = 110(1 для нетривиальных кольца Я и полутела и. Тогда существует (Я/1(Б))011 с условием (*), и существует Б1 = ДОII, в котором J(Sl) = {г £ Д: V« 6 и и + г = и] и кольца R/J(Sl) и R/J(S) изоморфны.

Предложение 5.2 показывает возможность существования неизоморфных полукольцевых дизъюнктных объединений для фиксированных кольца и полутела. Этому вопросу посвещен параграф 0.

Предложение 0.2. Прямое произведение II X F, где F - произвольное полутело и Я011, входит в полукольцевое дизъюнктное объединение с Я.

Теорема 6.1. Существуют два неизоморфных полукольцевых дизъюнктных объединения некоторых кольца Я и полутела I/.

В параграфе 7 рассматриваются два гомоморфных образа полукольцевых дизъюнктных объединений 5 = Л0/7.

Для каждого дизъюнктного объединения ДОС/ построен полукольцевой гомоморфизм /, при котором /(Я)0/(£/), кольцо /(Я) не имеет аннулирующих элементов кроме нуля, /((/) - сократимое полутело, в котором все элементы по разному действуют умножением на /(Я).

Попостроен другой гомоморфизм д, для которого д(Я)С)д(и). При этом имеют место следующие утверждения: в кольце д(Я) выполняется импликация Г\ГГ2 = 0 =>■ г = 0; д(и) - сократимое полутело, в котором все элементы по разному действуют умножением на д{Я)\ если два модульных эндоморфизма кольца д(Я) действуют одинаково на д{Я) с одной стороны, то они также действуют одинаково на нем и с другой стороны (предложение 7.2.).

Параграф 8 посвящен изучению решетки конгруэнций полуколец вида

5 = №¿17.

Пусть а - конгруэнция полукольца 5 = Я0 £/. Обозначим через а а {&и) сужение конгруэнции а на кольце Я (на полутеле ГУ). Очевидно, <т/( - кольцевая конгруэнция, (Ту - конгруэнция полутела II.

Лемма 8.1. Если а - конгруэнция на. полукольце Б — ЛОС/ такая, что наг для некоторых и £ и и г £ Я, то а является единичной конгруэнцией.

Лемма 8.2. Для произвольных конгруэнций х, у £ СопБ полукольца 5 = Я0 и справедливо х\/ у — х о у = у о х.

Предложение 8.1. Для любых конгруэнций полукольца 5 = Л Об' выполняются следующие равенства: V (х о у) и - 0 Уи! (х 0 у)п = хи° Уп;

3) (х П у)и = хи П Уи;

4) (хПу)п -хпПуп-

Предложение 8.2. Решетка конгруэнций любого полукольцевого дизъюнктного объединения Б = Л0(7 модулярна.

Предложение 8.3. Если решетка идеалов кольца Я и решетка конгруэнции. полутела и дистрибутивны, то решетка конгруэнций полукольца ЯиС/ также дистрибутивна.

В параграфе 9 изучаются полукольца, близкие по строению с полукольцевыми дизъюнктными объединениями, в которых множество обратимых элементов замкнуто относительно сложения. Для любого полукольца 5 с 1 определены три расширяющихся по включению подмножества:

Х(Б) = {5 е 5 : Чи £ С/(5) и + 86 У(5)},

У(5) = {в € 5 : Зи 6 ВД и+зеВД}, 2(5) = {в е 5 : 3« 6 5 ( + «6 и (Б)},

каждое из которых является подиолукольцом в 5 (предложения 9.2, 9.3, 9.4).

Построены примеры полуколец 5, в которых Х(5) С У(Б) = Z(S), Х(Б) = У(5) С 2(5) и Х(5) с У(5) С 2(5) соответственно.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору 'Евгению Михайловичу Вечтомову за постановку задач, за постоянное внимание к работе, полезные обсуждения и поддержку.

Работы автора по теме диссертации

1. Вечтомов, Е. М. Кольца, допускающие полукольцевое расширение при помощи полутела [текст] / Е. М. Вечтомов, М. А. Лукин // Международная алгебраическая конференция: К 100-летию со дня рождения П. Г. Конторовича и 70-летшо Л. Н. Шеврина. Тезисы докладов. - Екатеринбург: УрГу, 2005. - С. 105-106 (0,1 п.л., соискателю принадлежит 60 %).

2. Вечтомов, Е. М. Расширения кольца и полутела [текст] / Е. М. Вечтомов, М. А. Лукин // Вестннк ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. - 2005. - Вып. 3. - С. 128-131 (0,3 п.л., соискателю принадлежит 60 %).

3. Лукин, М. А. Дизъюнктное полукольцевое объединение кольца и полутела [текст] / М. А. Лукин // Чебышевский сборник. - 2005. - Т. 0. -Вып. 4(16). - С. 138-148 (0,7 пл.).

4. Лукин, М. А. О строении полутел, состоящих в полукольцевом дизъюнктном объединении с кольцом [текст] / М. А. Лукин // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. -2000. - Вып. 8. - С. 77-84 (0,5 п.л.).

5. Лукин, М. А. О строении колец, входящих в полукольцевое дизъюнктное объединение с данным полутелом [текст] / М. А. Лукин // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. - Т. 1. - Орел: Орловский гос. ун-т, 2006. - С. 188-191 (0,4 п.л.).

6. Лукин, М. А. Об идеалах и конгруэнциях на полукольцевом объединении кольца и полутела [текст] / М. А. Лукин // Математика. Образование. Материалы XV международной конференции. - Чебоксары: Чуваш, гос. ун-т, 2007. - С. 243-244 (0,1 п.л.).

7. Лукин, М. А. О полукольцах с обратимой суммой обратимых элементов [текст] / М. А. Лукин // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. - 2007. - Вып. 4. - С. 165-168 (0,3 п.л.).

8. Лукин, М. А. Конгруэнции на полукольцевых объединениях кольца и полутела [текст] / М. А. Лукин // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. - 2007. - Вып. 9. - С. 50-57 (0,5 п.л.).

9. Лукин, М. А. О полукольцевом объединении кольца и полутела [текст] / М. А. Лукин // Международная конференция "Алгебра и ее приложения". Тезисы докладов. - Красноярск: Сибирский федеральный ун-т, 2007. - С. 85-86 (0,1 п.л.).

10. Лукин, М. А. Одно описание колец, входящих полукольцевое дизъюнктное объединение с данным полутелом [текст] / М. А. Лукин // Совре-

менная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики. Международная научная конференция. - Тамбов: Тамбовский гос. ун-т, 2008. - С. 30-33 (0,35 п.л.).

11. Лукин, М. А. Строение колец, входящих в иолукольцевое объединение с данным полутелом [текст] / М. А. Лукин // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша. Тезисы докладов. - М.: Изд-во механнико-математичес-кого факультета МГУ. - 2008. - С. 157-158 (0,1 п.л.).

Статьи в журналах, рекомендуемых ВАК

12. Лукин, М. А. О полукольцевых объединениях кольца и полутела [текст] / М. А. Лукин // Известия вузов. Математика. - 2008. - №12. - С. 76-80 (0,4 п.л.).

13. Вечтомов, Е. М. Полукольца, являющиеся объединением кольца и полутела [текст] / М. А. Лукин, Е. М. Вечтомов // Успехи математических наук. - 2008. - Т. 63. - Вып. 6. - С. 159-160 (0,2 п.л., соискателю принадлежит 60 %).

Подписано в печать 15 января 2009 г. Формат 64 х 80/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ №128 Отпечатано в ЦДООШ 610002,.г. Киров, ул. Ленина, 105, т. (8332) 351503

Введение.

Глава 1. Расширения полуколец

§1. Исходные определения и примеры

§2. Расширения полуколец.

§3. Объединение кольца и полутела.

Глава 2. Строение полукольцевого дизъюнктного объединения

§4. Строение кольца.

§5. Строение полутела.

§6. Единственность полукольцевого дизъюнктного объединения.

Глава 3. Свойства полукольцевого дизъюнктного объединения

§7. Гомоморфные образы 11011.

§8. Конгруэнции на полукольцевом дизъюнктном объединении.

§9. Полукольца с обратимой суммой обратимых элементов.

Диссертация посвящена изучению полукольцевых дизъюнктных объединений колец и полутел - класса полуколец с единицей, состоящих из непересекающихся кольца и полутела.

Общая теория полуколец возникла в 50-е годы XX столетия и является активно развивающимся разделом современной алгебры. Пример полукольца идеалов кольца с операциями сложения и умножения идеалов можно найти уже в работе Дедекинда [34]. Теория полуколец находит применение в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, дискретной математике, теории оптимального управления и других разделах математики [16, 36, 38]. Ей посвящены монографии Голана [36, 37], Хебиша и Вайнерта [38]. Обширный библиографический список по полукольцам представлен в обзоре Глазека [35]. Отметим работы российских математиков: Е.М. Вечтомова [6, 7], И.И Богданова [3, 4], А.Н. Семенова [20, 19], В.В. Чермных [31, 32], С.Н. Ильина [12, 13], О.В. Старостиной [24, 25]. Систематическим изучением полуколец непрерывных функций занимаются Е.М. Вечтомов и его ученики. Результаты их исследований отражены в кандидатских диссертациях [21, 17, 18, 33].

Впервые строгое определение полукольца дано Вандивером [40].

Полукольцом называется алгебра (5, •, 0) с двумя бинарными операциями сложения + и умножения •. При этом (5, +,0) - коммутативный моноид, (5*, •) - полугруппа, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон, 0-5 = 5-0 = 0 для любого элемента й из 5. Полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полу телом с нулем. Если из полутела Б с 0 исключить 0, то получим структуру

S, +, ■}, которую будем называть полутелом.

Класс полуколец содержит такие хорошо известные алгебраические объекты как ассоциативные кольца, ограниченные снизу дистрибутивные решетки, ряд числовых систем, а также полутела с нулем. Для получения новых классов полуколец естественным является исследование полуколец, сводящихся к указанным типам полуколец: кольцам, ограниченным снизу дистрибутивным решеткам и полутелам с нулем. В [36] дается описание полуколец, являющихся подпрямым произведением некоторых кольца и дистрибутивной решетки. Работы [8, 10, 24, 25] посвящены изучению абелево-регулярных положительных полуколец, строение которых однозначно определяется дистрибутивной решеткой идемпотентов L(S), полутелом обратимых элементов U{S) и каноническим антигомоморфизмом L(S) —> ConU(S), где ConU(S) - решетка конгруэнции полутела U(S).

Важным подходом к исследованию структуры полуколец является представление полуколец в виде расширений полуколец из более хорошо изученных классов.

Полукольцо S называется 0-расширением полукольца К с помощью полукольца Т, если на S существует такая конгруэнция р, что К = [0]р и S/p = Т. Полукольцо S с единицей называется 1-расширением полукольца К, возможно без нуля, с помощью полукольца Т, если на S существует конгруэнция сг, для которой S/а = Т и К = [1]а.

Е.М. Вечтомов в [5] доказал, что любое полукольцо S является 0-расширением кольца с помощью положительно упорядоченного полукольца. Любое абелево-регулярное положительное полукольцо S является 1-расширением полутела обратимых элементов U(S) с помощью ограниченной дистрибутивной решетки [8]. В работе А.Н. Семенова [20] доказано, что всякое полутело является 1-расширением сократимого полутела с помощью идемпотентного полутела.

Полукольцо 5 с единицей (1^0) назовем 0-1 -расширением полукольца К и полукольца Р, возможно не имеющего нуля, при помощи полукольца Г, если на Б существует конгруэнция р такая, что Б/р = Т, [0], = К и [1]р - Р.

Мы рассматриваем 0-1-расширения кольца и полутела, в которых роль класса нуля конгруэнции играет некоторое кольцо а роль класса единицы - некоторое полутело II. Для выяснения структуры таких 0-1-расширений необходимым является изучение полукольцевых дизъюнктных объединений.

Полукольцо Б с мультипликативной единицей 1 назовем полукольцевым дизъюнктным объединением кольца В. и полутела II и обозначим ЯОи, если оно является объединением своих непересекающихся подмножеств г (Б) = {г Е Б : зг е Б^ + г = 0} и и(Б) = {и £ Б : Эу е Б, ии = ии — 1}, причем г (Б) = Ди 11(Б) ^ и.

В работе развита структурная теория полукольцевых дизъюнктных объединений, которая позволяет решать конкретные вопросы о свойствах полуколец из этого класса. Основными результатами диссертации можно считать следующие:

1) Строение полукольцевых объединений сведено к строению полукольцевых дизъюнктных объединений кольца и полутела (замечания 3.6, 3.7).

2) Приведены определяющие свойства колец, для которых существуют нетривиальные дополнения до полукольцевого дизъюнктного объединения (теорема 4.1).

3) Дано характеристическое свойство полутел, для которых существует нетривиальное дополнение до полукольцевого дизъюнктного объединения (теорема 5.1).

4) Для колец построены всевозможные полутела, допускающие полукольцевые дизъюнктные объединения с этими кольцами (свойства 4.1, 4.8, предложения 4.2, 4.3, теорема 4.3).

5) Для полутел построены все кольца, допускающие с ними полукольцевые дизъюнктные объединения (теорема 5.2, предложение 5.2).

6) Приведен пример кольца Я и полутела С/, для которых существуют неизоморфные полукольцевые дизъюнктные объединения (предложение 6.2, теорема 6.1).

7) Доказана модулярность решетки конгруэнций полукольцевого дизъюнктного объединения (предложение 8.2). Показано, что дистрибутивность решетки идеалов кольца Я и дистрибутивность решетки конгруэнций полутела II влекут дистрибутивность решетки конгруэнций ЯОи (предложение 8.3).

Диссертация состоит из трех глав, разделенных на девять параграфов, и списка литературы.

1. Андрунакевич, В. А. текст. / В. А. Андрунакевич, Ю. М. Рябухин Радикалы алгебр и структурная теория. - М: Наука, 1979. - 496 с.

2. Биркгоф, Г. текст. / Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984. - 568 с.

3. Богданов, И. И. Полимиальные соотношения в полукольцах: дис. . канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 20. 02. 2004 / И. И. Богданов. МГУ. - М., 2004. - 72 с.

4. Богданов, И. И. Об аддитивной структуре полутел текст. / И. И. Богданов // Вест. Моск. ун-та. Серия 1. Математика. Механика. -2004. №21. - С. 48-50

5. Вечтомов, Е. М. Две общие структурные теоремы о полумодулях текст. / Е. М. Вечтомов// Абелевы группы и модули. Сб. статей / Под ред. А.В. Михалева. Томск: ТГУ, 2000. - Вып. 15. - С. 17-23

6. Вечтомов, Е. М. О трех радикалах для полумодулей текст. / Е. М. Вечтомов // Вестник ВятГГУ. 2005. - №13. - С. 148-151

7. Вечтомов, Е. М. Введение в полукольца текст. / Е. М. Вечтомов. -Киров: Вятск. гос. пед. ун-т, 2002. 44 с.

8. Вечтомов, Е. М., Абелево-регурярные положительные полукольца текст. / Е. М. Вечтомов, А. В. Михалев, В. В. Чермных // Труды семинара им. И.Г. Петровского. 1997. - Т 20. - С. 282-309

9. Вечтомов, Е. М. О решетке конгруэнций полутел текст. / Е. М. Вечтомов, А. Н. Семенов // Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета. Тезисы докладов. М.: МГУ, 2004. - С. 27-29

10. Вечтомов, Е. М. Структура абелевог-регулярных положительных полуколец текст. / Е. М. Вечтомов, О. В. Старостина // Успехи математических наук. 2007. - Т. 62. - Вып. 1. - С. 199-200

11. Гретцер, Г. Общая теория решеток текст. / Г. Гретцер. М.: Мир, 1982. - 456 с.

12. Ильин, С. Н. Критерий регулярности полных матричных полуколец текст. / С. Н. Ильин // Матем. заметки. 2001. - Т. 70. - Вып. 3.- С. 366-374

13. Ильин, С. Н. Полукольца, над которыми любой полумодуль инъек-тивен (проективен) текст./ С. Н. Ильин // Матем. вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2006. - Вып. 8. - С. 50-53

14. Кон, П. Универсальная алгебра текст. / П. Кон. М.: Мир, 1968.- 352 с.

15. Ламбек, И. Кольца и модули текст. / И. Ламбек. М.: Мир, 1971.- 280 с.

16. Маслов, В. П. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении текст. / В. П. Маслов, В. Н. Колокольцов М.: Наука, 1994 - 144 с.

17. Подлевских, М. Н. Полукольца непрерывных функцией с топологией поточечной сходимости: дис. . канд. физ.-матем. наук: 01. 01.06: защищена 15.11.1999 / М. Н. Подлевских. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1999. - 88 с.

18. Ряттель, А. В. Положительно упорядоченные полутела: дис. . канд. физ.-матем. наук: 01.01.06 защищена 17. 03. 2003/ А. В. Ряттель. Киров: ВятГГУ, 2002. - 89 с.

19. Семенов, А. Н. О строении полутел текст. / А. Н. Семенов // Вестник ВятГГУ. 2003. - №8. - С. 105-107

20. Семенов, А. Н. О решетке конгруэнций полутел текст./ А. Н. Семенов // Вестник ВятГГУ. 2003. - №9. - С. 92-95

21. Семенова, И. А. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций: дис. . канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 11. 01. 1999 / И. А. Семенова. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1998. - 78 с.

22. Скорняков, Л. А. Элементы теории структур текст. / Л. А. Скорняков. М.: Наука, 1982. - 160 с.

23. Скорняков, Л. А. Элементы общей алгебры текст. / Л. А. Скорняков. М.: Наука, 1983. - 272 с.

24. Старостина, О. В. Строение абелево-регулярных положительных полуколец текст. / О. В. Старостина // Чебышевский сборник. -2005. Т. 6. - Вып. 4 (16). - С. 142-151

25. Старостина, О. В. Абелево-регулярные положительные полукольца: дис. . канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 29. 10. 2007 / О. В. Старостина. Киров: ВятГГУ, 2007. - 90 с.

26. Фэйс, К. Алгебра: Кольца, модули и категории текст. / К. Фэйс. -Т. 1. М.: Мир, 1977. - 688 с.

27. Фэйс, К. Алгебра: Кольца, модули и категории текст. / К. Фэйс. -Т. 2. М.: Мир, 1979. - 464 с.

28. Херстейн, И. Некоммутативные кольца текст. / И. Херстейн. М.: Мир, 1972. - 192 с.

29. Черанева, А. В. О сократимых конгруэнциях на полутелах текст. / А. В. Черанева // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2005. - Вып. 3. - С. 160-163

30. Черанева, А. В. О конгруэнциях на полутелах текст. / А. В. Черанева // Чебышевский сборник. 2005. - Т. 6. - Вып. 4 (16). - С. 164-171

31. Чермных, В. В. Полукольца текст. / В. В. Чермных. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1997. - 131 с.

32. Чермных, В. В. Функциональные представления полуколец и полумодулей: дис. . док. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 28. 06. 2007 / В. В. Чермных. Киров: ВятГГУ, 2007. - 234 с.

33. Широков, Д. В. Идеалы в полукольцах непрерывных функций: дис. . канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 19. 12. 2005 / Д. В. Широков. Киров: ВятГГУ, 2005. - 83 с.

34. Dedekind, R. Uber die Theorie ganzen algebraischen Zahlen textj / R. Dedekind // Suplement XI to P.G. Lejeune Dirichet: Vorlesungen Uber Zahlentheorie, 4 Ansfl., Druck und Verlag, Braunschweig, 1894.

35. Glazek К. A. Guide to the Literature on Semirings and their Applications in Mathematics and Information Sceinces. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht-Boston-London, 2002.

36. Golan J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science. Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics, 1992. V. 54. - 318 p.

37. Golan J. S. Semirings and their applications text. / J. S. Golan. -Kluwer Academic Publishers. Dordrecht-Boston-London, 1999. 381 p.

38. Hebisch, U. Semirings. Algebraic theory and applications in computer science text. / U. Hebisch, H. J. Weinert // World Scientific Publishing. Singapore, 1998.

39. Hutchins, H. C. Homomorphism and kernels of semifilds text. H. C. Hutchins, H. J. Weinert // Periodica Mathematica. 1990. - V. 21(2). - P. 113-152

40. Vandiver, H.S. Note on a simple type of algebra in which cancellation law of addition does not hold text. / H. S. Vandiever // Bull. Amer. Math. Soc. 1934. - V. 40. - №12.- P. 914-920Публикации автора по теме диссертации

41. Вечтомов, Е. М. Расширения Кольца и полутела текст. / Е. М. Вечтомов, М. А. Лукин // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2005. - Вып. 3. - С. 128-131

42. Лукин, М. А. Дизъюнктное полукольцевое объединение кольца и полутела текст. / М. А. Лукин // Чебышевский сборник. 2005. -Т. 6. - Вып. 4(16). - С. 138-148

43. Лукин, М. А. О строении полутел, состоящих в полукольцевом дизъюнктном объединении с кольцом текст. / М. А. Лукин // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2006. - Вып. 8. - С. 77-84

44. Лукин, М. А. Об идеалах и конгруэнциях на полукольцевом объединении кольца и полутела текст. / М. А. Лукин // Математика. Образование. Материалы XV международной конференции. Чебоксары: Чуваш, гос. ун-т, 2007. - С. 243-244

45. Лукин, М. А. О полукольцах с обратимой суммой обратимых элементов текст. / М. А. Лукин // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2007. - Вып. 4. - С. 165-168

46. Лукин, М. А. Конгруэнции на полукольцевых объединениях кольца и полутела текст. / М. А. Лукин // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2007. - Вып. 9. -С. 50-57

47. Лукин, М. А. О полукольцевом объединении кольца и полутела текст. / М. А. Лукин // Международная конференция "Алгебра и ее приложения". Тезисы докладов. Красноярск: Сибирский федеральный ун-т, 2007. - С. 85-86

48. Лукин, М. А. О полукольцевых объединениях кольца и полутела текст. / М. А. Лукин // Известия вузов. Математика. 2008. -№12. - С. 76-80