Максимальные идеалы и делимость в полукольцах непрерывных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГО од - 8 ОМ «96

На правах рукописи

ВАРАНКИНА Вера Ивановна

МАКСИМАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ И ДЕЛИМОСТЬ В ПОЛУКОЛЬЦАХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена в Вятском государственном педагогическом университете на кафедре алгебры.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор ВЕЧТОМОВ Е.М.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ТУГАНБАЕВ A.A.,

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник ГЛАВАЦКИЙ С.Т.

Ведущая организация — Институт математики и механики Уральского отделения РАН.

Зашита диссертации состоится "и!........".............1996 г.

в .../..&. часов на заседании Диссертационного Совета К 053.01.02 в Московском педагогическом государственном университете имени В.И. Ленина по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, МПГУ, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ имени В.И. Ленина: 119435, Москва, ул. Малая Пироговская, дом 1, МПГУ.

Автореферат разослан ...... С.7$........ 1996

года.

Ученый секрет;

ртационного Совета КАРАСЕВ ГЛ.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию некоторых алгебраических свойств полуколец вида С(Х, 5) всех непрерывных функций, определенных на топологическом пространстве X, со значениями в топологическом полукольце 5. Полукольца непрерывных функций - сравнительно новый алгебраический объект, изучение которого опирается на теорию колец непрерывных функций и на теорию полуколец. Они представляют собой следующий шаг (после колец непрерывных функций) в развитии конкретных алгебраических систем непрерывных функций.

В связи с приложениями (компьютерная математика, теория кодирования, идемпотентный анализ) в последние 10 лет возникла задача создания общей теории полуколец [11]. Многие абстрактные полукольца допускают хорошие функциональные представления в виде полуколец глобальных сечений пучков полуколец [6]. Поэтому знание свойств полуколец непрерывных функций будет полезно в теории полуколец.

В классической теории колец С(Х) = С(Х, К) непрерывных веще-ственнозначных функций одними из первых изучались строение максимальных идеалов (И. М. Гельфанд и А. Н. Колмогоров [4]) и вопросы элементарной делимости (Гиллман и Хенриксен [8], [9]). Теорема Гельфанда-Колмогорова об описании максимальных идеалов колец С(Х), X - тихоновское пространство, как соответствующих точкам стоун-чеховской компактификации постранства X, послужила основой целого ряда исследований (см., например, [13], [15], [14], [12], [7], [2]). Условия, при которых кольцо С(Х) является кольцом Безу или регулярно, а также отвечающие им понятия ^пространства и Р-про-странства рассматривались в [8], [9], [10], [1], [5]. Развитие этой темы на кольца С(Х, 5) со значениями в нормированных телах 5 осуществил

Е. М. Вечтомов [1], [16], а для нормированных колец 5 данная задача была поставлена в докладе [3].

Цель работы. Исследование структурных свойств полуколец непрерывных функций по двум проблемам:

1. Строение максимальных идеалов полуколец С(Х, 5) со значениями в некоторых топологических полукольцах 5.

2. Делимость (быть полукольцом Безу, НОД-полукольцом, НОК-по-лукольцом) в полукольцах непрерывных функций со значениями в числовых полукольцах и нормированных кольцах.

Методы исследования. В работе применяются понятия и методы теории колец непрерывных функций, теории колец и полуколец, общей топологии и топологической алгебры.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Решены следующие задачи.

1. Получено описание максимальных идеалов и пространства максимальных идеалов полуколец С(Х, 5) для полуколец ¿> из некоторого естественно выделяемого класса полуколец (глава 1).

2. Разработана элементарная теория делимости в полукольцах непрерывных функций со значениями в числовых полукольцах с обычной топологией (глава 2).

3. На кольца С(Х, 5) непрерывных функций со значениями в нормированных кольцах в перенесены результаты Е. М. Вечтомова [16, §12] о делимости в кольцах С(Х, 5) непрерывных функций со значениями в нормированных телах Б (глава 3).

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит

теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение в дальнейших исследованиях полуколец непрерывных функций, в теории полуколец, в общей топологии (полукольцевая определяемость топологических пространств и их свойств), а также при чтении спецкурсов на физико-математических факультетах педвузов и университетов.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференции по теоретической и прикладной математике в Тар-тусском университете, неоднократно на алгебраическом семинаре в Вятском госпедуниверситете, на алгебраическом семинаре профессора А. А. Фомина в Московском педгосуниверситете.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в пяти работах, одна из которых в соавторстве. Список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пункта "Исходные понятия", трех глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы из 35 наименований. Объем диссертации - 91 страница.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования и приводится аннотация основных результатов диссертации.

В пункте " Исходные понятия" даны необходимые определения.

Полукольцом называется система (5,+,-,0,1), в которой (Я,+,0) -коммутативный моноид; (£", •, 1) - моноид; выполняются законы дистрибутивности (х 4- у)г = хг + угих(у + г) = ху + хх\ 0 ф 1 и тождественно 0 • х ~ х ■ 0 = 0. Полукольцо, в котором каждый ненулевой

элемент обратим, и не являющееся кольцом, называется полутелом.

В главе 1 выясняется строение максимальных идеалов в полукольцах С(Х, S) непрерывных функций на топологическом пространстве X со значениями в топологических полукольцах S, в том числе - в топологических полутелах. При этом рассматриваются топологические полукольца S, одновременно удовлетворяющие условиям: S - положительное полукольцо (т.е. для всех а £ S элементы a -f 1 обратимы); все максимальные односторонние идеалы в S двусторонни; множество всех обратимых элементов полукольца 5 открыто в S и операция взятия обратного элемента непрерывна на нем. Топологические пространства X предполагаются 5-тихоновскими. Хаусдорфово пространство X называется S-тихоновским, если для любого замкнутого множества А С X и точки х ^ А найдется J € C(X,S), для которой /(Л) = {0} и f(x) = 1, и найдется д 6 С(Х, S), для которой д(А) = {1} и д(х) = 0.

В параграфе 1.1 приведены некоторые свойства произвольных положительных полуколец. Отмечено, что полукольцо C(X,S) положительно; и полупросто, если S полупросто (т.е. пересечение всех его максимальных идеалов - нулевой идеал).

Для произвольных точки х € X и максимального идеала ш полукольца S рассматриваются идеалы

Mx>m={f eC(X,S)-.f{x) em}

полукольца C(X,S). Доказано, что все идеалы такого вида максимальны (предложение 1.1).

В параграфе 1.2 выясняются свойства обобщенных нуль-множеств и доказываются некоторые свойства максимальных односторонних идеалов полуколец С(Х, S). Для произвольного полукольца Т через Мах Т обозначается пространство всех максимальных идеалов полукольца Г, рассматриваемое со стоуновской топологией.

Под обобщенным нуль-множеством функции / £ С(Х, S) понимается множество

Z(f) = {(х, тп) € X х Max 5| f(x) € m}. Односторонний идеал I кольца C(X,S) называется z-идеалом, если

/ е /, g е С(Х, s) и Z(f) с ад влекут g е /.

Теорема 1.1. Максимальные односторонние идеалы в полукольцах C[X,S) являются z-идеалами и, следовательно, двусторонни.

Из этой теоремы вытекает простота максимальных идеалов полуколец С(Х, S).

Параграф 1.3 посвящен изучению отображения

ф: X xS ~+MaxC(X,S), определенного равенством

ф((х, т)) = Мх>т для любых х £ X и т € Max S.

Показано, что отображение ф инъективно (лемма 1.8), а его сюръ-ективность эквивалентна компактности пространства X (предложение 1.2).

Предложение 1.3. Если полукольцо S дискретно или полулокально (т.е. Max S конечно), то отображение ф непрерывно.

Хаусдорфово пространство называется нульмерным, если в нем существует база, состоящая из открыто-замкнутых множеств.

Предложение 1.4. Если X нульмерно или S полулокалъно, то отображение фрассматриваемое на ф(Х х Max S), непрерывно.

Из перечисленных утверждений вытекает один из основных результатов диссертации:

Теорема 1.2. Пусть полукольцо S дискретно или полулокально. Тогда ф есть плотное гомеоморфное вложение тихоновского произ-

ведения X х Max S в Max C(X,S). Если к тому же X компактно, то ф - гомеоморфизм.

В заключение параграфа отмечено, что для топологических полуколец, не удовлетворяющих накладываемым на S условиям, могут не выполняться те или иные из сформулированных выше утверждений.

В параграфе 1.4 исследуется пространство Max С(Х, S) максимальных идеалов полукольца непрерывных функций со значениями в топологическом полутеле S, в котором точка 0 замкнута. Для компактных 5-тихоновских пространств X описание пространства максимальных идеалов дает следствие 1.3: Max C{X,S) гомеоморфно X, что усиливает соответствующий результат из [15]. Заметим, что обобщенные ну ль-множества функций / £ C(X,S) становятся (замкнутыми) ¿¡■-нуль-множествами, и для любой точки х € X идеалы Мх = {/ £ С(Х, S) | f(x) = 0} максимальны.

Установлено, что пространство Max С(Х, S) хаусдорфово, если S - S-тихоновское полутело (лемма 1.15); и нульмерно, если S несвязно (лемма 1.14).

Для произвольного ¿'-тихоновского пространства X обозначим через /3$Х нульмерную компактификацию Банашевского 30Х пространства X, если полутело S несвязно, и компактификацию Стоуна-Чеха fiX, если S - линейно-связное S-тихоновское полутело.

Следующий результат (теоремы 1.3 и 1.4) описывает топологическое строение пространства Max C(X,S):

Пусть топологическое полутело S несвязно или являетсл линейно связным S-тихоновским пространством, а X - S-тихоновское пространство. Тогда пространство Max C(X,S) канонически гомеоморфно компактификации fisX пространствах.

Полное описание строения максимальных идеалов полукольца С(Х, S) дает

Следствие 1.4. Пусть 5 - несвязное полутело или линейно связное Б-тшоновское полутело и X - Я-тихоновское пространство. Тогда максимальные идеалы полукольца С(Х, 5) - это в точности множества вида

М» = {/ е С(Х, 5) I р € ады, Р € РзХ.

Пусть Н.+ - топологическое полуполе всех неотрицательных вещественных чисел и С+(Х) = С(Х, К4).

Следствие 1.5. Для любого тихоновского пространства X пространство Мах С+(Х) гомеоморфно /ЗХ.

Следствие 1.6. Пусть X - тихоновское пространство, У - компакт и полукольцо С+(К) рассматривается с компактно-открытой топологией. Тогда пространство максимальных идеалов полукольца С(Х,С+(У)) гомеоморфно/3(Х хУ), в частности, если X - компакт, то Мах С(Х, С+(У)) и X х К.

Глава 2 посвящена изучению свойств делимости в полукольцах С(Х, 5), где 5 С - топологическое полукольцо, рассматриваемое с обычным умножением, сложением + или V (шах) и с топологией, индуцированной топологией числовой прямой. Выясняется, при каких топологических условиях на X полукольцо С(Х, 5) является полукольцом Безу, НОД-полукольцом, НОК-полукольцом. Произвольное полукольцо называется полукольцом Безу, если каждый его конечно порожденный правый идеал является главным правым идеалом и НОД-полукольцом (НОК-полукольцом■), если любые два его элемента имеют НОД (НОК).

В параграфе 2.1 устанавливаются алгебраические и топологические свойства мультипликативных полугрупп 5 неотрицательных чисел, содержащих 0 и 1. В частности, доказаны следующие утверждения топологического характера: если 5 связно, то 5 = [0,1] или 5 — К+ (лемма 2.1); если 5 - НОД-полугруппа и Я несвязно, то 5 нульмерно (пред-

ложение 2.1). Леммы 2.2 - 2.4 устанавливают свойства НОД и связь между существованием НОД и НОК в 5.

Скажем, что числовая полугруппа 5 обладает свойством (*), если

(а < Ь а/Ь 6 5).

Такие полугруппы являются НОД-полугруппами.

Предложение 2.3. Любая полугруппа Б со свойством (*) относится к одному из следующих классов:

1. 5 = [ОД].

2. 5 =

3. 5 = {г" :п = 0,1,2,...}и{0}> где 0 < г < 1.

4. 5 = {гп:пег}и{0>, где0<г<1.

5. Б ~ нульмерное плотное подпространство в [0,1].

6. 5 - нульмерное плотное подпространство в Г1+.

7. 5 = {0,1}.

Множество АС. X называется 5-нуль-множеством в X, если А = .£(/) = {ж £ X : /(я) = 0} для некоторой функции / € С(Х, 5). Дополнение до 5-нуль-множества в X называется 5-конулъ-множеством.

Топологическое пространство X называется вР-пространством [1], если с произвольного его ¿'-конуль-множества любая ограниченная непрерывная 5-значная функция продолжается до некоторой функции из С(Х,5). Пространство X называется Р-пространством, если для любых непересекающихся К-конуль-множеств А и В в X найдется такая функция / 6 С(Х), что /(А) = {0} и /(В) = {1}. Это одно из эквивалентных определений понятия Р-пространства (см. [10, глава 14]). Пространство X называется Ро-пространством [16], если для любых двух счетных семейств открыто-замкнутых в нем множеств, объединения которых Л и В не пересекаются, найдется открыто-замкнутое множество в X, содержащее А и не пересекающееся с В. Простран-

ство X называется обобщенным Р-пространством [16], если пересечение любого счетного семейства открыто-замкнутых множеств в X открыто.

Предложение 2.4. Пусть Б С 11+ - НОД-полугруппа. Топологическое пространство X является 5Р-пространством в том и только в том случае, когда X удовлетворяет одному из следующих условий:

1) X есть Р-пространство, если 5 связно;

2) X есть Р^-пространство, если Б - нульмерно, замкнуто и 0 -предельная точка в 5";

3) X есть обобщенное Р-пространство, если 5 нульмерно, не замкнуто и 0 - предельная точка в Б;

4) X - любое, если точка О изолирована в 5\

Параграф 2.2 посвящен вопросам делимости в полукольцах С(Х, 5). Здесь рассматриваются числовые полукольца 5, удовлетворяющие свойству (*). Для ПОД и НОК в С(Х, 5) установлены следующие факты.

Если /,д е С(Х, Э) имеют НОД, то / V д = НОДЦ, д) (если 5 замкнуто относительно +, то и / + д = //ОД(/,д)) (предложение 2.5). Если же /,<? 6 С(Х,Я) имеют НОК, то / Л д — НОК(/, д) (предложение 2.6). Доказано, что существование НОД двух функций из С(Х,Б) влечет существование их НОК (предложение 2.7), но обратное неверно. Отметим, что в произвольных числовых полугруппах 5 ситуация противоположная: существование НОК двух элементов влечет существование их НОД, но не наоборот. Если £(/) = то существование НОД для функций / и д равносильно существованию их НОК (предложение 2.8). Центральным результатом главы 2 является

Теорема 2.1. Для произвольного топологического пространства X и любого полукольца Б со свойством (*) эквивалентны следуюгцие утверждения:

1) С{Х, 5) - полукольцо Везу;

2) С(Х, 5) - НОД-полуколъцо;

3) С(Х, 5) - НОК-полуколъцо;

4) € С{Х,Б) (/ < 5 / € дС(Х, 5));

5,) X есть ЙР-пространство.

Доказательство теоремы 2.1 основывается на предложениях 2.3 -2.9.

Следствие 2.1. .Если К - подполе поля К, то для любого топологического пространства X равносильны условия:

1) С(Х, К) - кольцо Безу;

2) С(Х,К) есть НОД-кольцо;

3) С(Х,К) есть НОК-кольцо;

4) X есть -пространство.

Заметим, что при К = ТА, это результат А. Г. Повышева [5], а для несвязных К - результат Е. М. Вечтомова [16].

Подчеркнем, что если 5 не удовлетворяет свойству (*), то теорема 2.1 может и не выполняться. Имеет место

Предложение 2.10. Пусть 5 = {0}и[1,+оо). Тогда С{Х,Э) является полукольцом Безу в том и только в том случае, когда X есть Р-пространство, в котором любые два непересекающиеся нульмножества отделяются открыто-замкнутым множеством.

Заметим, что для 5 = {0} и [1,+оо) любое полукольцо С(Х, 5) является НОД-полукольцом и НОК-полукольцом.

В параграфе 2.3 свойства делимости в полукольцах С+(Х) выражаются на языке их идеалов. Для этого устанавливаются соответствия между решеткой И С+(Х) всех идеалов полукольца С+(Х) и решеткой Н С(Х) всех идеалов кольца С(Х).

Идеал I полукольца С4(Х) называется строгим, если /+</ £ I влечет / £ I для любых /, <? £ С+(Х), и полустрогим, если / +

влекут д £ I для всех /, д £ С+(Х);

Теорема 2.2. Для произвольного топологического пространства X эквивалентны следующие утверждения:

1) решетки Н С(Х) и М С+(Х) изоморфны;

2) решетка И С+(Х) модулярна;

3) решетка Ы С+(Х) дистрибутивна;

4) X есть Р-пространств о;

5) все идеалы в С+(Х) строгие (полустрогие).

Следующий результат покалывает, что выразительные возможности решетки идеалов полукольца С+(Х) такие же, как и у кольца С(Х).

Теорема 2.3. Для любых топологических пространств X и У равносильны условия:

1) решетки Ы С+(Х) и И С+(У) изоморфны;

2) полукольца С+(X) и С+(У) изоморфны;

3) мультипликативные полугруппы С+(Х) и С+(У) изоморфны;

4) решетки {С+(Х),<) "(С4(У),<) изоморфны;

5) полуполя (без нуля) и(Х) и и (У) всех непрерывных положительных функций на пространствах X и У изоморфны;

6) кольца С(Х) иС(У) изоморфны.

Из сформулированной теоремы вытекает, что произвольное хью-иттовское пространство X определяется (однозначно с точностью до гомеоморфизма) любой из следующих алгебраических структур: полукольцом С+(Х), мультипликативной полугруппой С+(Х), решеткой С+(Х), решеткой И С+(Х), полуполем и(Х). Топологическое пространство называется хьюиттовским, если оно гомеоморфно^некото-рой тихоновской степени И. ЗАМКНУТО НУ ПСЛ ПРОСТ РАНС7&1

В главе 3 рассматривается делимость в кольцах непрерывных функций со значениями в нормированных кольцах 5. Используются методы, развитые Е. М. Вечтомовым для колец непрерывных функций со зна-

чениями в нормированных телах ([1], [16]).

В параграфе 3.1 собраны необходимые свойства нормированных колец S.

Параграф 3.2 посвящен анализу случая, когда S является локально компактным кольцом нормирования. Кольцо называется дистрибутивным, если дистрибутивна решетка всех его правых идеалов.

Теорема 3.1. Если S - (локально) компактное кольцо нормирования, то для произвольного топологического пространства X эквивалентны следующие утверждения:

1) C(X,S) - кольцо Безу;

2) кольцо С(Х, S) дистрибутивно;

3) C(X,S) есть НОД-колъцо;

4) C(X,S) есть НОК-колъцо;

5) X является Fo-пространством.

Случай не локально компактных, нормированных колец S исследован в параграфе 3.3. Нормированное кольцо S считается подкольцом нормированного тела Т.

Теорема 3.2. Пусть нормированное кольцо S не локально компактно и либо полно, либо его пополнение не содержится в Т, X -нульмерное пространство, (г) - одно из следующих свойств: (1) быть кольцом Безу; (2) дистрибутивность; (3) регулярность. Тогда кольцо С(Х, S) обладает свойством (г) тогда и только тогда, когда X является Р-пространством и S обладает свойством (i).

Тихоновское пространство называется Р-пространством, если пересечение любого счетного семейства его открытых множеств открыто. А регулярность кольца означает, что для любого его элемента а разрешимо уравнение axa — а.

Получено несколько следствий теоремы 3.2. В частности, теорема 3.2 включает в себя случай нормированных тел S (следствие 3.3).

Автор выражает глубокую признательность профессору Е. М. Ве-чтомову за постановку задач и руководство работой.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Вечтомов Е. М. Дистрибутивные кольца непрерывных функций и F-пространства // Матем. заметки. - 1983. - Т. 34, N 3. - С. 321-332.

2. Вечтомов Е. М. К теореме Гельфанда-Колмогорова о максимальных идеалах колец непрерывных функций // Успехи матем. наук. -1992. - Т. 47, N 5. - С.171-172.

3. Вечтомов Е. М., Повышев А. Г. О кольцах непрерывных целознач-ных функций // Тезисы докл. Международной конф. по алгебре. -Барнаул: гос. ун-т, 1991. - С. 32.

4. Гельфанд И. М., Колмогоров А. Н. О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах // Докл. АН СССР. - 1939. -Т. 22. - N 1. -С. 11-15.

5. Повышев А. Г. О делимости в кольцах непрерывных функций // Успехи матем. наук. - 1994. - Т. 49, N 3. - С. 185-186.

6. Чермных В. В. О полноте пучковых представлений полуколец // Фундаментальная и прикл. матем. - 1996. - Т. 2, N 1. - С. 267-277.

7. Byun Н. L., Watson S. Prime and maximal ideals in subrings of C(X) // Topol. and its Appl. - 1991. - V. 40, N 1. - P. 45-62.

8. Giliman L., Henriksen M. Concerning rings of continuous functions // Trans. Amer. Math. Soc. - 1954. - V. 77, N 2. - P. 340-362.

9. Giliman L., Henriksen M. Rings of continuous functions in wich every finitely generated ideal is principal // Trans. Amer. Math. Soc. - 1956. -V. 82, N 2. - P. 366-391.

10. Giliman L., Jerison M. Rings of continuous funstions. - N.J.: SpringerVerlag, 1976.

11. Golan J. S. The theory of semirings with applications in mathematics

and theoretical computer science. - Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V. 54. - 1992.

12. Hery W. J. Maximal ideals in algebras of topological algebra valued functions // Pacif. J. Math. - 1976. - У. 65, N 2. - P. 365-373.

13. Kaplansky I. Topological rings // Amer. J. Math. - 1947. - V. 69. -P. 153-183.

14. Pierce R. S. Rings of integer-valued continuous functions // Trans. Amer. Math. Soc. - 1961. - V. 100, N 3. - P. 371-394.

15. Slowikowski W., Zawadowski A. A generalization of maximal ideals method of Stone and Gelfand // Fund. Math. - 1955. -V. 42, N 2. - P. 215-231.

16. Vechtomov E. M. Rings of continuous functions with values in a topological division ring // J. Math. Sciences (USA). -1996. -V. 78, N 6. - P. 702-753.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Варанкина В. И. О кольцах непрерывных функций со значениями в нормируемом кольце // Тезисы докл. III Международной конф. женщин-математиков. - Воронеж: гос. ун-т, 1995. - С. 66.

2. Варанкина В. И. Максимальные идеалы в полукольцах непрерывных функций // Фундаментальная и прикл. матем. - 1995. - Т. I, N 4. - С. 923-937.

3. Варанкина В. И. Полукольца непрерывных неотрицательных функций и F-пространства//Тезисы докл. IV Международной конф. женщин математиков. - Волгоград: гос. ун-т, 1996. - С. 43.

4. Варанкина В. И. О НОД и НОК в полукольцах непрерывных функций // Материалы Всероссийской научно-педагогической конф. - Киров: пед. ун-т, 1996. - С. 164-166.

5. Варанкина В. И., Вечтомов Б. М. О максимальных идеалах в полукольцах непрерывных функций // Тезисы докл. Международной конф. "Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца". - С.Петербург: РГГИ, 1995. - С. 89-90.