Конгруэнции на полукольцах и полуполях непрерывных числовых функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Чупраков Дмитрий Вячеславович

КОНГРУЭНЦИИ НА ПОЛУКОЛЬЦАХ И ПОЛУПОЛЯХ НЕПРЕРЫВНЫХ ЧИСЛОВЫХ ФУНКЦИЙ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2009

2 8 ^НБ 2010

003490957

Работа выполнена на кафедре высшей математики физико-математического факультета Вятского государственного гуманитарного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Вечтомов Евгений Михайлович

Офциальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Кожухов Игорь Борисович; кандидит физико-математических наук, доцент Тронин Сергей Николаевич

Ведущая организация: Московский педагогический

государственный университет

Защита состоится « 21 » января 2010 г. в Ц30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.081.24 при Казанском государственном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, конференц-зал библиотеки им. Н. И. Лобачевского КГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного университета по адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35.

Автореферат разослан « 15 » декабря 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета к. ф.-м. н., доцент

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Исследования, проведенные в диссертации, посвящены активно развивающемуся разделу функциональной алгебры — полукольцам непрерывных функций. Объектом исследования являются конгруэнции на полукольцах и полуполях непрерывных числовых функций над топологическими пространствами.

Полукольца и полуполя непрерывных функций служат модельным примером общей теории полуколец и полутел, а также находят применение при исследовании пучковых представлений абстрактных полуколец и полутел.1 В свою очередь теория полуколец применяется в топологии, дискретной математике, компьютерной алгебре, и других разделах математики.2 Отдельно следует упомянуть идемпотентный анализ.3

Полукольца непрерывных функций появились в рамках классической теории колец непрерывных функций, которая зародилась в работах М. Стоуна4. 1937 г., И.М. Гельфанда и А.Н. Колмогорова5 1939 г., Хьюитта6 1948 г., и окончательно оформилась после выхода в свет в 1960 г. замечательной книги Гилмана и Джерисона.7 Главным объектом теории колец непрерывных функций слу-

1 Чермных, В.В. Функциональные представления полуколец и полумодулей : дис. ...док. физ.-матем. наук : 01.01.06: защищена 28. Об. 2007 / В. В. Чермных. — Киров : Вятский государственный гуманитарный университет, 2007. — 234 с.

2Golan, J. S. Semirings and their applications [Text] / J. S. Golan. — Kluwer Academic Publishers. Dordrecht-Boston-London, 1999. — 381 p.

'Маслов, В. П. Идемпотентный анализ и его применение в оптимально.« управлении [Текст) / В. П. Маслов, В.Н. Колокольцов. — М. : Наука, 1994.

4Stone M. Applications of the theory of boolean rings to general topology [Text] / M. Stone // Trans. Amer. Math. Soc. - 1937. - T. 41. - № 3. -P. 375-481.

"Гачьфанд И. M. О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах [Текст] / И. М. Гель-фанд, А.Н. Колмогоров // ДАН СССР. - Т. 22. - № 1. - С. 11-15.

6Hewitt Е. Rings of real-valued continuous functions [Text] / E. Hewitt // Trans. Amer. Math. Soc. — 1948. — T. 64. - № 1. - P. 45-99.

7Gillman L. Rings of continuous functions [Text] / L. Gillman, M. .lerison. — N.Y. : Springer-Verlag, 1976. —

жит кольцо С(Х) всех непрерывных вещественнозначных функций, заданных на произвольном (тихоновском) топологическом пространстве X, с поточечно определенными операциями сложения и умножения функций.

Полукольцом2 называется алгебраическая система {S, +,-.0.1), такая, что (S, +,0) — коммутативный моноид, (S, -, 1) — моноид, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон, 0 • х = х ■ 0 = 0 для любого элемента х 6 S и 0 ф 1. Заметим, что определение полукольца впервые было дано Вандивером8 в 1934 году. Коммутативное полукольцо, не являющееся кольцом, каждый элемент которого обратим, называется полуполем с нулем. Если из лолуполя с нулем исключить нуль, то получим алгебраическую структуру, называемую полуполем.

Исследование полуколец непрерывных функций стало важным направлением развития и модификации теории колец С(Х).д-1а Здесь выделяются два объекта: полукольцо С+(Х) всех непрерывных неотрицательных функций на произвольном топологическом пространстве X и полуполе U(X) всех непрерывных положительных функций на X с поточечно заданными операциями сложения и умножения функций. Заметим, что кольцо С(Х) служит кольцом разностей как полукольца С+(Х), так и полуполя U{X).

Полукольца С+(Х) для компактов X фигурировали в качестве примера в работе Словиковского и Завадовского 1955 г.11 Систематическое изучение

278 р.

"Vandiver, H. S. Note on a simple type of algebra in which cancellation law of addition does not hold ¡Text] /

H. S. Vandiver // Bull. Amer. Math. Soc. - 1954. - V. 40. - P. 914-920.

"Artaiuonova, I.I. Semirings: sheaves and continuous functions [Text]/ I.I. Artamonova, V.V Chernmykh.

A. V. Mikhalev, V. I. Varankina, E. M. Vechtomov // Proceedings of SPB conference. —Sankt-Peterburg. — 1999. —

P. 23 -58.

10Вечтомов, E. M. Полукольца непрерывных отображений [Текст] / E. M. Вечтомов // Вестник ВятГГУ. — 2004. — Л» 10. — С. 57-64.

nSlowikowski, W. A generalization of maximal ideals method of Stone and Gelfand [Text] / W. Slowikowski, A. Zawadowsci // Fund. Math. - 1955. -T. 42. -№ 2. — P. 215-231.

свойств полуколец непрерывных функций начато в работе В. И. Варанкиной, Е. М. Вечтомова и И. А. Семёновой 1998 года.12 Полуполя U(X) изучаются с 1995 г.13

Важным направлением в теории полуколец и полуполей непрерывных функций стало изучение конгруэнций на них. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций С+(Х) на тихоновском пространстве X впервые упоминаются в статьях 1993 г.14 и 1995 г.15 В первой из них авторы показали, что пространство всех максимальных среди сократимых конгруэнций на С+(Х) гомео-морфно стоун-чеховской компактификации пространства X. Во второй работе доказано, что пространство конгруэнций со стоуновской топологией на полукольце С+(Х), фактор-полукольца по которым изоморфны полуполю R+ неотрицательных действительных чисел, гомеоморфно хьюиттовскому расширению пространства X.

В упомянутой выше статье Варанкиной, Вечтомова и Семёновой описана связь решётки конгруэнций полукольца С+(Х) с решёткой идеалов кольца С(Х). Доказано, что из дистрибутивности любой из решёток СопС+(Х) или Con U(X) следует, что пространство X является F-пространством. Поставлен вопрос о справедливости обратной импликации. В случае решётки Con U(X) вопрос положительно решён Д. В. Широковым.16 Нами доказано, что на любом

12Варанкина, В. И. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы,конгруэнции [Текст] / В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов, И. А. Семенова // Фундаментальная и прикладная математика. — 1998. - Т. 4. - Вып. 2. - С. 493-510.

13Варанкина В. И. Максимальные идеалы н полукольцах непрерывных функций [Текст] / В. И. Варанкина // Фундам. и ирикл. математика. - 1995. - Т. 1. — № 4. - С. 923-937.

14АгЬлгууа. S.K. Hemirings, congruences and the Stone-Cech compactification [Text] /S.K. Acharyya, K.S. Chattopalhyay, G.G. Ray // Simon Stevin. - 1993. — T. 67. — P. 21-35.

15Acharyya, S.K. Hemirings. congruences and the Hewitt realcompactification [Text] /S.K. Acharyya, K.S. Chattopalhyay, G.G. Ray // Bull. Belg. Math. Soc.. - 1995. - T. 2. - Л> 1. - P. 47-58.

1бШироков, Д. В. Условия дистрибутивности решётки конгруэнций полуполя непрерывных положительных функций [Текст] / Д. В. Широков // Вестник ВятГГУ. - 2003. - № 8. - С. 137-140.

F-пространстве X решётка Con С+(Х) дистрибутивна.

И. А. Семёнова17 даёт описание максимальных и предмаксимальных конгру-энций (аддитивно) сократимого полукольца С+(Х), а также максимальных кон-груэнций сократимого полуполя U(X). В настоящей диссертации описаны максимальные и предмаксимальные конгруэнции (аддитивно) идемпотентного полукольца CV(X) и максимальные конгруэнции полуполя U'J(X). M. H. Подлев-ских18 установлено, что конгруэнции на S{X) — любом из полуколец С+(Х), CV(X) или полуполей U(X), UV(X) — с топологией поточечной сходимости суть отношения равенства рл на всевозможных замкнутых множествах А пространства X.

В теории колец непрерывных функций важную роль играют F-пространства и Р-пространства, введенные Гилманом и Хенриксоном в 1956 г.19 и 1954 г.20 соответственно. Имеются многочисленные характеризации F-пространств и Р-пространств в терминах колец7'21 и полуколец12,22 непрерывных функций. В настоящей диссертации получены полукольцевые характеризации этих пространств в терминах конгруэнций полуколец непрерывных функций.

Цель работы. Дальнейшее исследование свойств конгруэнций и решёток

17Семенова, И.А. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций: дис. ...канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 11. 01. 1999 / И. А. Семенова. — Киров : Вятский государственный педагогический университет, 1998. — 78 с.

18Подрлевских. M. Н. Полукольца непрерывных функцией с топологией поточечной сходимости : дис. ...канд. физ.-матем. наук : 01. 01. Об: защищена 15.11.1999 / M. Н. Подлевских. — Киров : Вятский государственный педагогический университет, 1999. - 88 с.

î9GiIlmari, L. Rings of contimous functions in which every finitely generated ideal is principal (Text] / L. Gilfntan, M. Henriksen // TVans Amer. Math. Soc. - 1956. - T. 82. - № 2. - P. 366-391.

20GilInian, L Concerning rings of continuous functions (Text) / L. Giilnian, M. Henriksen // Dräns Amer. Math. Soc. — 1954. -T. 77. -№ 2. - P. 340-362.

21 Vecbtomov, E. M. Rings of continuous functions with vajues in topological division ring [Text] / E.M. Vechtomov // J. Math. Sciences (USA). - 1996. -V. 78. - № 6. - P. 702-753.

2аШироков, Д. В. Идеалы в полукольцах непрерывных функций: дис. ...канд. физ.-матем. наук : 01.01.06: защищена 19. 12. 2005 / Д. В. Широков. — Киров : Вятский государственный гуманитарный университет, 2005. — 83 с.

конгруэнций полуколец и полуполей непрерывных функций.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Установлена продолжаемость любой конгруэнции полуполей (У(X) и

до конгруэнции полуколец С+(Х) и (У(Х) соответственно (глава II).

2. Доказано наличие псевдодополнений всех конгруэнции на полукольцах С+(Х), СЧ{Х) и полуполях 1/(Х), (7*(Х) (§ 5).

3. Получены критерии дистрибутивности решётки конгруэнций полукольца непрерывных неотрицательных функций (§ 8).

4. Найдены критерии совпадения решёток конгруэнций сократимого и идем-потентного полуколец (полуполей) непрерывных функций (§ 8, § 9).

5. Установлены новые полукольцевые характеризации Р-пространств, Р-пространств, конечных дискретных и других пространств (глава IV).

Методы исследования. В работе применяются методы и результаты теории колец и полуколец непрерывных функций, теории полуколец, теории решёток, универсальной алгебры и общей топологии. Для исследования решёток конгруэнций полуполей непрерывных функций эффективен метод главных конгруэнций23. В ряде случаев можно использовать метод продолжения конгруэнций, разработанный во второй главе диссертации. В десятом параграфе применяется метод дополнений и псевдодополнений, адаптированный к решёткам конгруэнций в пятом параграфе. Также используется комбинированный метод, сочета-

23Семенова, И. А. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций: дис. ... канд. физ.-матем. наук: 01.01.Об: защищена 11. 01. 1999 / И. А. Семенова. — Киров : Вятский государственный педагогический университет. 1998. —■ 78 с.

ющий метод главных конгруэнций, свойства нуль-множеств и конуль-множеств функций и оригинальные рассуждения.

Теоретическое и прикладное значение. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использовать при дальнейших исследованиях в теории полуколец непрерывных функций. Кроме того, они могут найти свое применение в качестве материала для специальных курсов в высших учебных заведениях.

Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались на Международной научной конференции «Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики» в Тамбовском государственном университете им. Державина в 2008 году, на Шестой молодежной научной школе-конференции в Казани в 2007 году, на научных конференциях Вятского государственного гуманитарного университета в 2006-2009 годах, Научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры Московского педагогического государственного университета в 2009 году (руководитель семинара доктор физ.-мат. наук, профессор A.A. Фомин), регулярно на научном алгебраическом семинаре г. Кирова (руководители семинара доктора физ.-мат. наук профессора Е. М. Вечтомов и В. В. Чермных).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 13 работ (список публикаций приведен в конце автореферата), пять из которых в соавторстве с Е. М. Вечтомовым.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из оглавления, введения, четырех глав, разбитых на 10 параграфов, списка литературы (G4 наименования) и предметного указателя. Общий объем диссертации — 106 страниц.

Обзор содержания работы

Во введении обоснована актуальность темы, дан исторический очерк исследований, проведенных для полуколец и полуполей непрерывных функций,

8

сформулированы задачи исследования, приведена аннотация основных результатов диссертационной работы.

Первая глава посвящена обзору основных понятий теории полуколец. В ней приведены известные утверждения теории полуколец непрерывных функций, необходимые для дальнейшего изложения.

В первом параграфе сформулированы определения основных понятий и известные факты общей теории полуколец и даны примеры универсальных кон-груэнций полуколец.

Предложение 1.2 позволяет исследование решёток конгруэнций полутел заменить исследованием соответствующей решётки ядер.

Второй параграф содержит необходитые известные утверждения теории полуколец непрерывных функций. Также в нём рассмотрены новые простейшие свойства ядер полуполей непрерывных функций. Так, в предложении 2.2 установлено, что решётка конгруэнций Соп^(Х) является подрешёткой решётки конгруэнций Соп17(Х).

Главной конгруэнцией р на полуполе II, порожденной парой (и, у), называется наименьшая конгруэнция на {У с условием и р V. Она однозначно задается парой (ии-1,1). Ядро главной конгруэнции на полуполе и(Х) (1Г^(Х)), порожденной парой (</?. 1), будем называть главным ядром и обозначим (1р) ((</?)у).

Приведено описание главных ядер полуполя иу(Х)\

Предложение 2.4. Главные ядра кегу(у?) на полуполе 1]У(Х) и только они имеют вид:

€ и"{Х) | (Эк 6 14) (9 А <р~1)к ^ V ^ («р V уТ1)*)} .

Введен символ Е(1 / для обозначения множества {х | /(ж) = 1} = Z(f — 1) и указаны его свойства.

Предложение 2.6. Для произвольной функции <р € и(Х) если множе-

9

ство Е<1 <р является открыто-замкнутым, то {ф) =: {¡рУ у-1).

Лемма 2.2. Для любых функций и, у € и(Х) (и) П (и) = {1} тогда и только тогда, когда Ее!и и Ми = X.

Также во втором параграфе определяются такие важные свойства топологических пространств как тихоновость и хьюиттовость.

Топологическое пространство X называется тихоновским (хьюиттовским) если оно гомеоморфно произвольному подпространству (замкнутому подпространству) некоторой тихоновской степени К. Известно7 , что для каждого топологического пространства X существует тихоновское пространство тХ такое, что имеют место изоморфизмы С(Х) = С(тХ), 3(Х) = Я(тХ). Тихоновость пространства X означает, что X = тХ. Каждое тихоновское пространство X обладает хьюиттовским расширением иХ, однозначно (с точностью до гомеоморфизма над X) характеризуемым следующими условиями: иХ — хьюиттов-ское пространство, X — плотное подпространство в иХ и все функции из С(Х) продолжаются (единственным образом) до функций из С'(иХ). Имеют место полукольцевые изоморфизмы С{иХ) = С(Х) и Б^Х) = Б(Х). Поэтому при изучении абстрактных свойств полуколец непрерывных функций пространство X можно считать тихоновским и даже хьюиттовским. Мы будем явно указывать, когда утверждение доказано только для тихоновских пространств.

Топологическое пространство X называется ¥-пространством, если в кольце С{Х) все конечно порождённые идеалы — главные. Пространство X является Р-пространством тогда и только тогда, когда множества neg/ = {х 6 X I /(.т) < 0} и рое/ = {.г 6 X I /(;X) > 0} для любой функции / € С(Х) функционально отделимы. Топологическое пространство X называется Р-пространством, если кольцо С{Х) регулярно по фон Нейману, то есть для любой функции / е С(Х) существует такая функция д 6 С(Х), что /д/ = /. Это равносильно тому, что все нуль-множества на X открыто-

10

замкнуты.

Во второй главе решается задача продолжения конгруэнций полуполя и^(Х) (параграф 3) и полуполя II(X) (параграф 4) до конгруэнций соответствующих полуколец непрерывных функций.

Для каждого ядра К е Соп и'^(Х) на полукольце СУ(Х) введены отношение Vк, заданное условием:

/ У к 9 означает выполнение условий

п тп

/ = Л V ... V /„, д = 91 V ... V дш, \/ = \/

1 = 1 !=1

ДЛЯ некоторых /ь.... /п,ди ...,5т € С^(Х) и щ, ...,ип. иь..., ут 6 К,

и отношение рц, определенное следующим образом:

/ Рк д <=> дк < / < дк' для некоторых к, к' 6 К.

Установлено, что эти отношения являются совпадающими конгруэнциями (предложение 3.1), склеивающими ядро К (предложения 3.1 и лемма 3.2).

Предложение 3.1. Для каждого ядра К полуполя (X) отношение У к является наименьшей конгруэнцией на полукольце С^{Х), склеивающей ядро К: К С кег Уд-.

Теорема 3.1. Для произвольной конгруэнции р на полуполе 1/у(Х) с ядром К конгруэнцгмя Ук полукольца С^(Х) является, продолжением р на полукольцо С^(Х), причем кетУк = К.

Предложение 3.2. Для любого Ч-ядра К конгруэнции V«- и рк полукольца СУ(Х) совпадают.

Для каждого ядра К € Соп[/(Х) на полукольце С+(Х) определяется отношение заданное условием:

/ 9 означает выполнение условий

И

п п » т

«=i j=i í=i J=i

для некоторых fi,...,fn,gi,—,gm € C+(X) и ...,«„, «i,..., vrn e

Предложение 4.1. Пусть К — некоторое ядро полуполя U(X). Тогда отношение является наименьшей конгруэнцией на полукольце С+(Х), склеивающей ядро К.

Теорема 4.1. Любая конгруэнция р £ Coní/(X) продолжается на полукольцо С+(Х) до конгруэнции для К = [1]р, при этом [l]-.^ = К.

Третья глава посвящена исследованию свойств решёток ковгруэнций полуколец и полуполей непрерывных функций.

В пятом параграфе решается вопрос описания дополнений и псевдодополнений в решётках конгруэнций полуколец С+(Х), CV(X) и полуполей U(X) и UV{X).

Псевдодополнением элемента а решётки (L, V, Л. 0) называется наибольший элемент а* € L, удовлетворяющий условию а А а* = 0. Дополнением элемента а решётки {L, V, Л. 0,1} называется элемент а' 6 L, удовлетворяющий условиям а Л а' = 0 и а V о' = 1.

Теорема 5.1. Пусть X — произвольное тихоновское пространство. Тогда для полукольца или полуполя S(X) любая конгруэнциия р решётки Con S(X) имеет псевдодополнение рА для некоторого единственного канонически замкнутого подмножества А пространства X. Обратно, для, каждого канонически замкнутого множества А в X конгруэнция р\ является псевдодополнением некоторой конгруэнции na S(X).

Следствие 5,1. Для любого топологического пространства X решётки Con U(X), Con UV(X), Con С+{Х), Con CV(X) суть решётки с псевдодополнениями.

Теорема 5.2. Бинарное отношение р на полукольце или полуполе S(X)

12

является дополняемой конгруэнцией тогда и только тогда, когда р = Ра для некоторого единственного открыто-замкнутого подмножества А топологического пространства X. Любая дополняемая конгруэнция на S(X) имеет единственное дополнение.

В шестом параграфе установлены два результата о существовании ретрактов для полуколец непрерывных функций.

Для каждого идеала I кольца С(Х) на полуполе U(X) задается идеальная конгруэнция 7(/):

■f l(I)9 & f -9^1, Для любых f,ge U(X).

Аналогично определяются идеальные конгруэнции 7(/) полукольца С+(Х).

Предложение 6.1. Отображение 7: láC(X) —> ConU(X) является гомоморфизмом.

Решётка А/ называется ретрактом решётки N, если существуют такие гомоморфизмы 7т: N —> М и х'- М —» N, что 7Г о х = 1д/ — тождественное отображение множества М.

Теорема 6.1. Решётка идеалов IdC(X) является ретрактом решётки ядер ConU(X).

Теорема 6.2. Решётка конгруэпций Con UV(X) явля.ется ретрактом решётки конгруэнции Con CV(X).

В седьмом параграфе описаны максимальные конгруэнции полуполя UV(X). С помощью метода продолжений конгруэнций получено описание предмакси-мальных конгруэнций полукольца СУ(Х).

Максимальной конгруэнцией на полукольце 5 называется коатом решётки Сои 5. Конгруэнция р на полукольце S называется предмаксимальной, если любая превосходящая её конгруэнция на полукольце S является максимальной или единичной.

Теорема 7.1. Максимальные конгруэнции на [Л(Х) — это в точности конгруэнции 7(М) по всем К-идеалам М кольца С(Х).

Максимальные конгруэнции на произвольном полукольце 5 — это в точности двуклассовые бинарные отношения {Р, 5\Р} где Р — простой строгий идеал в 5 '2 .

Теорема 7.2. Предмаксимальные конгруэнции на СУ{Х) — это в точности конгруэнции 7(М) по всем Ш-идеалам М кольца С(Х).

Предложение 7.2. Для произвольного топологического пространства X топологические пространства Мах 11У{Х) и Ртах СУ{Х) гомеоморфны. Для любого тихоновского пространства X топологические пространства МахС/у(Х), Ртах С^(Х) и иХ гомеоморфны.

Предложение 7.3. Для произвольных хьюиттовских пространств X и У равносильны следующие условия:

1. Соп и^(Х) = Соп иу{У);

2. СопС^рО = СопСу(К);

3. X « У.

Четвёртая глава посвящена исследованию свойств ядер полуполей С(X) и и^(Х) непрерывных функций на X и их связей со свойствами топологического пространства X. В ней получены алгебраические характеризации Р-пространств (параграф 8), Р-пространетв (параграф 9), базисно несвязных, экстремально несвязных, псевдокомпактных и конечных топологических пространств (параграф 10). Установлен критерий дистрибутивности решётки Сон С+(Х) (следствие 8.2), условия совпадения множеств ядер Соп 11(Х) и Сопиу(Х) (теорема 8.2) и множеств конгруэнций СопС+(Х) и СопСу(Х) (теорема 9.2).

Лемма 8.1. Для любого пространства X равносильны условия:

14

1. X — F-пространство;

2. (V/, g, h е С{Х), / ^ h ^ д) (За б С{Х), 0 ^ а sj 1) \h = af + (1 - а)д};

3. массы любой конгруэнции полукольца С+(Х) выпуклы;

4- классы единицы всех конгруэнций полукольца С+(Х) выпуклы;

5. все ядра полуполя U(X) выпуклы.

Теорема 8.2. Для произвольного топологического пространства X эквивалентны следующие условия:

1. X является F-пространством;

2. СопС+(Х) С ConCv(X);

3. Con U{X) С Con UV(X);

I ConU(X) = Con UV{X);

Предложение 8.2. Если топологическое пространство X является F-пространством, то решётка Con CV(X) дистрибутивна.

Теорема 8.3. Решётка конгруэнций полукольца непрерывных функций С+(Х) над F-пространством X является дистрибутивной.

Следствие 8.2. Решётка СопС+(Х) дистрибутивна тогда и только тогда, когда пространство X является F-пространством.

Полукольцо или полуполе S(X) называется слабо риккартовым, если для любых главных конгруэнций р, а € Con S(X) таких, что рПа = 0, выполняется равенство р' V а* = 1.

Теорема 8.4. Для любого топологического пространства X следующие условия равносильны:

1. упорядоченное множество главных ядер полуполя U(X) является под-решёткой решётки Con U{X);

2. пересечение любых двух главных ядер полуполя U(X) является главным ядром;

3. произведение любых двух главных ядер полуполя U(X) является главным ядром;

4. полукольцо или полуполе S(X) слабо риккартово;

5. X является F-пространством.

Теорема 9.2. Для произвольного топологического пространства X следующие условия эквивалентны:

1. X есть Р-пространство;

2. СопС+(Х) = ConCv(X);

3. Con CV{X) С Con С+(Х).

Параграф 10 посвящен характеризациям базисно несвязных, экстремально несвязных, псевдокомпактных и конечных топологических пространств.

Топологическое пространство называется базисно несвязным, если внутренности всех его нуль-множеств замкнуты. Тихоновское пространство называется экстремально несвязным, если все его канонически замкнутые множества открыты.

Полукольцо или полуполе S(X) называется бэровским (риккартовым), если псевдодополнение любой его конгруэнции (главной конгруэнции) дополняемо, дополняемо.

Предложение 10.1. Для топологического пространства X полукольцо или полуполе S(X) риккартово тогда и только тогда, когда X — базисно несвязное пространство.

Предложение 10.2. Для тихоновского пространства X полукольцо или полуполе S(X) является бэровским тогда и только тогда, когда пространство X экстремально несвязно.

Эти два предложения известны24 для колец С(Х). Для полуколец С+(Х) Д. В. Широковым22 доказаны аналоги данных утверждений, который риккар-товость и бэровость понимает в терминах идеалов полуколец.

Теорема 10.1. Для тихоновского пространства X равносильны следующие условия:

1. все конгруэнции из Con U(X) (Con UV(X)) дополняемы;

2. все главные конгруэнции из Con U(X) (Coni7v(X)) дополняелт;

3. все конгруэнции на S(X) — главные;

4- пространство X конечно.

Теорема 10.2. Дм любого топологического пространства эквивалентны следующие условия:

1. пространство X является псевдокомпактным;

2. (¡р) - kei'7((<^ - 1)С(Х)) для каждой функции tp £ U(X);

3. i/v(X) —полуполе с образующей;

4. U(X) — полуполе с образующей;

"Вечтомов, Е. М. Кольца непрерывных функций на топологических пространствах. Избранные темы [Текст] / Е.М. Вечтомов. -М. : МПГУ, 1992. - 121 с.

5. любая собственная конгруэнция на (7(X) содержится в некоторой максимальной конгруэнции;

6. любая собственная конгруэнция на V4 {X) содержится в некоторой максимальной У-конгруэнции.

Предложение 10.3. Произвольного пространство X конечно тогда и только тогда, когда (и) = для любой функции и 6 и(Х).

Автор искренне благодарен научному руководителю профессору Евгению Михайловичу Вечтомову за постановку задач, постоянно внимание к работе, ценные советы и комментарии, полезные обсуждения и поддержку.

Работы автора по теме диссертации

1. Вечтомов Е. М. Решётки конгруэнций на полукольцах непрерывных функций [Текст] / Е. М. Вечтомов, Д. В. Чупраков // Международная конференция «Алгебра и ее приложения», Красноярск, Сибирский федеральный Университет. — 2007. — С. 31-32 (0,13 п.л., соискателю принадлежит 50%).

2. Вечтомов Е. М. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций и Р-пространства [Текст] /' Е. М. Вечтомов, Д. В. Чупраков // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. — 2008. — № 8. — С. 15-26 (0,75 п.л., соискателю принадлежит 50%).

3. Вечтомов Е. М. Главные ядра полуполей непрерывных положительных функций [Текст] /' Е. М. Вечтомов, Д. В. Чупраков // Фундаментальная и прикладная математика, — 2008. — Т. 14. — Вып. 4. — С. 87-107 (1,3 п.л., соискателю принадлежит 50%).

4. Вечтомов Е. М. Псевдодополнения в решётке конгруэнций полуколец непрерывных функций [Текст] / Е. М. Вечтомов, Д. В. Чупраков // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. — 2009. — № 9. — С. 3-17 (0,88 п.л., соискателю принадлежит 50%).

5. Чупраков Д. В. О максимальных конгруэнциях на полукольцах непрерывных функций с идемпотентным сложением [Текст] / Д. В. Чупраков // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. - 2008. - Вып. 10. - С. 99-110 (0,75 п.л.).

6. Чупраков Д. В. О ретрактах решёток полуколец непрерывных функций [Текст] /' Д. В. Чупраков // Материалы VI молодежной школы-конференция «Лобачевские чтения» — Казань : КГУ, 2008. — С. 241-243 (0,19 п.л.).

7. Чупраков Д. В. О главных ядрах полуполей непрерывных функций [Текст] / Д. В. Чупраков /'/' Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики. Международная научная конференция. Тамбов — 2008. — С. 33-36 (0,25 п.л.).

8. Чупраков Д. В. О ядрах полуполей непрерывных функций [Текст] / Д. В. Чупраков /'/' Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г.Куроша. Тезисы докладов — М. : Изд-во Механпико-математического факультета МГУ, 2008. — С. 251-253 (0,19 п.л.).

9. Чупраков Д. В. Дополнения конгруэнций в полукольцах непрерывных функций [Текст] / Д. В. Чупраков // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. — 2009. — Вып. 11. — С. 122— 127 (0,38 п.л.).

10. Чупраков Д. В. О псевдодополнениях конгруэнций полуколец непрерывных функций [Текст] / Д. В. Чупраков // Материалы IV Всероссийской научно-методической конференции «Проблемы современного математического образования в вузах и школах России» — Киров : ВятГГУ, 2009. — С. 73 (0,06 п.л.).

11. Chuprakov, D. V. About distributive property of lattices of semirings of continuous funcnions [Text] / D. V. Chuprakov //7-th International Algebraic Conference in Ukraine: abstracts of talks (18-23 August, 2009, Kharkov)/ ed. G.N. Zholtkevich. - Kiev, 2009. - P. 38 (0,06 п.л.).

Статьи в журналах, рекомендуемых ВАК

12. Вечтомов Е. М. О продолжении конгруэнций на полукольцах непрерывных функций [Текст] / Е. М. Вечтомов, Д. В. Чупраков // Математические заметки. — 2009. — Т. 85 — Вып. 6. — С. 803-816 (1,2 п.л., соискателю принадлежит 50%).

13. Чупраков Д. В. Условия дистрибутивности решёток конгруэнций полуколец непрерывных функций [Текст] / Д. В. Чупраков // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механника. Компьютерные науки. — 2009. - № 3. - С. 128-134 (0,66 п.л.).

Подписано в печать 07.12.2009 г. Формат 60 х 84 Vie. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,25. Тираж 100 экз. Заказ № 1308.

Издательство Вятского государственного гуманитарного университета, 610002, г. Киров, ул. Красноармейская, 26

Издательский центр Вятского государственного гуманитарного университета, 610002, г. Киров, ул. Ленина, 111, т. (8332) 673-674

Введение

I Предварительные сведения

1 Основные понятия теории полуколец

2 Полукольца непрерывных функций на топологических пространствах

II Продолжение конгруэнций полуполей непрерывных функций

3 Продолжение конгруэнций полуполя (7У(Х)

4 Продолжение конгруэнций полуполя 17 (X).

III Решётки конгруэнций полуколей и полуполей непрерывных функций

5 Дополнения и псевдодополнения конгруэнциий полуколец непрерывных функциий.

6 Ретракты решёток конгруэнций полуколец непрерывных функций

7 Максимальные и предмаксимальные конгруэнции на полукольцах непрерывных функций с идемпотентным сложением минах полуколец и полуполей непрерывных функций

8 Характеризации Р-пространств.

9 Характеризации Р-пространств.

10 Характеризация некоторых других свойств топологических пространств.

Диссертация посвящена важному активно развивающемуся разделу функциональной алгебры — полукольцам непрерывных функций. Объектом исследования являются конгруэнции на полукольцах и полуполях непрерывных числовых функций над топологическими пространствами.

Кратко осветим историю развития теории полуколец непрерывных функций. Полукольца непрерывных функций появились в рамках классической теории колец непрерывных функций, которая зародилась в работах М. Стоуна 1937 г. [48], И.М. Гельфанда и А.Н. Колмогорова 1939 г. [14], Хьюитта 1948 г. [44], и окончательно оформилась после выхода в свет в 1960 г. замечательной книги Гилмана и Джерисона [42]. Главным объектом теории служит кольцо С(Х) всех непрерывных действительнозначных функций, заданных на произвольном (тихоновском) топологическом пространстве X, с поточечно определёнными операциями сложения и умножения функций. Изучались также кольца С (X, К) непрерывных функций со значениями в различных топологических кольцах К, начиная с М. Стоуна [48], Капланского [45], Р. Пирса [46]. Развитие теории колец непрерывных функций в этом направлении отражено в обзорах Е. М. Вёчтомова [7, 8, 50, 51] и книгах [9, 10].

Исследование полуколец непрерывных функций стало важным направлением развития и модификации теории колец С'(Х). Здесь выделяются два объекта: полукольцо СЛ {Х) всех непрерывных неотрицательных функций на 4 произвольном топологическом пространстве X и полуполе U(X) всех непрерывных положительных функций на X с поточечно заданными операциями сложения и умножения функций. Заметим, что кольцо С(Х) служит кольцом разностей как полукольца С+(Х), так и полуполя U{X).

Общее определение полукольца впервые было дано Вандивером [49] в 1934 году. Полукольца С+(Х) для компактов X фигурировали в качестве примера в работе Словиковского и Завадовского 1955 г. [47]. Систематическое изучение свойств полуколец непрерывных функций начато в работе В. И. Ва-ранкиной, Е. М. Вечтомова и И. А. Семёновой 1998 года [4]. В этой работе исследованы свойства делимости в полукольцах непрерывных функций, описана связь решетки конгруэнций полукольца С+(Х) с решеткой идеалов кольца С(Х). Описаны максимальные конгруэнции полукольца СЛ'{Х). Доказано, что из дистрибутивности любой из. решёток Con С+(Х) или Con U(X) следует, что пространство X является F-пространством. Поставлен вопрос о справедливости обратной импликации. В случае решётки Con U(X) вопрос положительно решён Д. В. Широковым [33, 34]. Нами доказано, что на любом F-пространстве X решётка СопС+(Х) дистрибутивна. Полуполя U(X) изучаются с 1995 года в работах [2, 4, 19, 22, 23, 24, 26, 33, 34]. Полукольца С+(Х) и полуполя U(X) рассматривались в обзорных статьях [12, 38].

Важным направлением в теории полуколец и полуполей непрерывных функций стало изучение конгруэнций на них. Впервые конгруэнции на полукольцах непрерывных функций С+(Х) на тихоновских пространствах X упоминаются в статьях [36, 37]. В первой из них авторы показали, что пространство (со стоуновской топологией) всех максимальных среди сократимых конгруэнций на С+(Х) гомеоморфно стоун-чеховской компактификации пространства X. Во второй работе доказано, что пространство конгруэнций на полукольце С+(Х), факторполукольца по которым изоморфны полуполю М+ неотрицательных действительных чисел, гомеоморфно хьюиттовскому расширению пространства X.

И. А. Семёнова в диссертации [24] дает описание максимальных и пред-максимальных конгруэнций (аддитивно) сократимого полукольца С+(Х), а также максимальных конгруэнций сократимого полуполя 17 (X). В настоящей диссертации описаны максимальные и предмаксимальньте конгруэнции (аддитивно) идемпотснтного полукольца Су {X) и максимальные конгруэнции полуполя 11У(Х).

Через £>(Х) обозначим полкольцо С+(Х), С^(Х) или полуполе 17(X), иу(х).

В диссертации [20] М. Н. Подлевских установлено, что конгруэнции на Э{Х) с топологией поточечной сходимости суть отношения равенства на всевозможных замкнутых множествах пространства X.

В теории колец непрерывных функций важную роль играют Р-пространства и Р-пространства, введенные Гилманом и Хенриксоном в 1956 г. [40] и 1954 г. [39] соответственно. Имеются многочисленные характеризации Е-пространств и Р-пространств в терминах колец [6, 8, 42, 51] и полуколец [4, 33] непрерывных функций. В настоящей диссертации получены полукольцевые характеризации этих пространств в терминах конгруэнций полуколец непрерывных функций.

Полукольца и полуполя непрерывных функций служат модельным примером общей теории полуколец и полутел, а также находят применение при исследовании пучковых представлений абстрактных полуколец и полутел [13, 21, 30, 32]. В свою очередь теория полуколец находит применение в топологии, дискретной математике, компьютерной алгебре, теории оптимального управления, и других разделах математики [43]. Отдельно следует упомянуть идемпотентный анализ [18].

Диссертация состоит из 106 страниц, 4 глав, 10 параграфов, оглавления, введения, списка литературы (63 наименования) и предметного указателя. В каждом параграфе диссертации принята сквозная двойная нумерация теорем, предложений, примеров, следствий, состоящая из номера параграфа и номера утверждения в параграфе разделенных точкой. Так, теорема 5.2 означает вторую теорему пятого параграфа. Номера формул состоят из номера главы и номера формулы в главе. Так, формула (III.1) это первая нумерова-ная формула третьей главы.

Полученные в диссертации результаты являются новыми. По мнению автора основными результатами можно считать следующие:

1) Установлена продолжаемость любой конгруэнции полуполей U(X) и Uy(X) до конгруэнции полуколец С+(Х) и СУ(Х) соответственно (теоремы 3.1, 4.1).

2) Доказано наличие псевдодополнений всех конгруэнции на полукольцах С+(Х), СУ{Х) и полуполях U(X), Uy(X) (теорема 5.1, следствие 5.1).

3) Получены критерии дистрибутивности решётки конгруэнций полукольца непрерывных неотрицательных функций (теорема 8.3 следствие 8.2).

4) Найдены критерии совпадения решёток конгруэнций сократимого и идемпотентного полуколец непрерывных функций (теоремы 8.2, 9.2).

5) Установлены новые полукольцевые характеризации F-пространств (теоремы 8.2, 8.4), Р-пространств (теорема 9.2) и конечных дискретных пространств (теорема 10.1, предложение 10.3).

Дадим краткое изложение содержания диссертации.

Первая глава посвягцена обзору основных понятий теории полуколец. В ней приведены известные утверждения теории полуколец непрерывных функций, необходимые для дальнейшего изложения.

В первом параграфе сформулированы определения основных понятий и известные факты общей теории полуколец и даны примеры универсальных конгруэнций полуколец.

Предложение 1.2 позволяет исследование решётки конгруэнций полутел заменить исследованием соответствующей решётки ядер.

Второй параграф содержит необходитые известные утверждения теории полуколец непрерывных функций. Также в нем доказаны новые свойства ядер полуполей непрерывных функций.

Так, в предложении 2.2 установлено, что решётка конгруэнций Con UV(X) является подрешёткой решётки конгруэнций Con U (X).

Главной конгруэнцией р на полуполе U, порожденной парой (и, v), называется наименьшая конгруэнция на U с условием upv. Она однозначно задается парой (ш;-1,1).

Ядро главной конгруэнции на полуполе U(X) (UV(X)), порожденной парой (y?, 1), будем называть главным ядром и обозначим (ср) ((<£>)v).

В предложении 2.4 дано описание главных ядер полу поля UV(X).

Предложение 2.4. Главные ядра kerv(<¿>) на полуполе UV(X) и только они имеют вид: v е UV(X) I (3 k е N) (<р A <p~l)k «¿r1)*)} .

Введен символ Ed / для обозначения множества {х G X ¡ f{x) — 1}, / е С+(Х), и исследованы его свойства.

Предложение 2.6. Для произвольной функции <р е U(X) если множество Ed(/? является открыто-замкнутым, то (ф) — (ср V (р~~1).

Лемма 2.2. Для любых функций и, v G U(X) (и) П (v) = {1} тогда и только тогда, когда Ed и U Ed г; = X.

Также во втором параграфе определяются такие важные свойства топологических пространств как тихоновость и хьюиттовость.

Топологическое пространство X называется тихоновским (хьюиттов-ским) если оно гомеоморфно произвольному подпространству (замкнутому подпространству) некоторой тихоновской степени Ш. Известно, что для каждого топологического пространства X существует тихоновское пространство тХ такое, что имеют место изоморфизмы С(Х) = С(тХ), S(X) = S(rX) [42]. Тихоновость пространства X означает, что X — тХ. Каждое тихоновское пространство X обладает хьюиттовским расширением г/Х, однозначно (с точностью до гомеоморфизма над X) характеризуемым следующими условиями: vX — хьюиттовское пространство, X — плотное подпространство в vX и все функции из С (X) продолжаются (единственным образом) до функций из C(vX). Имеют место полукольцевые изоморфизмы С{иХ) = С(Х) и S{yX) = S(X). Поэтому при изучении абстрактных свойств полуколец непрерывных функций пространство X можно считать тихоновским и даже хьюиттовским. Мы будем явно указывать, когда утверждение доказано только для тихоновских пространств.

Топологическое пространство X называется F-пространством, если в кольце С(Х) все конечно порождённые идеалы — главные [42, chapter 14]. Известно, что пространство X является F-пространством тогда и только тогда, когда множества neg / = {х е X | f(x) < 0} и pos / = {ж е X \ f(x) > 0} для любой функции / G С{Х) функционально отделимы [42, theorem 14.25],

Топологическое пространство X называется Р-пространством, если кольцо С(Х) регулярно по фон Нейману, то есть для любого / £ С(Х) существует такой д еС (X), что fgf — /. Это равносильно тому, что все нуль-множества на X открыто-замкнуты [42, chapter 4].

Во второй главе решается задача продолжения конгруэнций сократимого и идемпотентного полуполей непрерывных функций до конгруэнций соответствующих полуколец непрерывных функций.

Сначала эта задача решена для идемпотентного полуполя непрерывных функций. С этой целью для каждого ядра К Е Con UV(X) на полукольце CV(X) введены отношение У к, заданное условием: / V к д означает выполнение соотношений п та = /i V . V /П} д = gi У . V gm, \/ = \/ g{Vi г=1 ъ= 1 для некоторых /ь ., fn, дъ ., gm е СУ(Х) и щ,., umVi, .,vm е К, и отношение рк, определённое следующим образом: f Рк д дк ^ / < для некоторых A;, A;' G К.

В дальнейшем установлено, что эти отношения являются совпадающими кон-груэнциями (предложение 3.2), склеивающими ядро К (предложения 3.1 и лемма 3.2).

Предложение 3.1. Для каждого ядра К полуполя Uy(X) отношение У к является наименьшей конгруэнцией на полукольце СУ{Х), склеивающей ядро К: К С ker У к.

Центральной результатом параграфа является теорема: Теорема 3.1. Для произвольной конгруэнции р па полуполе Uy(X) с ядром К конгруэнция У к полукольца CV(X) является продолоюением р на полукольцо CV(X), причем кетУк = К.

Предложение 3.2. Для любого ядра К полуполя UV(X) конгруэнции У к и Рк полукольца CV(X) совпадают.

Для каждого ядра К G Coni7(X) на полукольце С+(Х) определяется отношение заданное условием: / ~ к 9 означает п т п т. f=^2fu 9 = J'iUi = gJvj

1 j= 1 г=1 j= 1 для некоторых /ь., /п,#ъ .,gm € С+{Х) и иъ ., ит иь vme К.

Предложение 4.1. Пусть К — некоторое ядро полуполя U(X). Тогда отношение ^к является наименьшей конгруэнцией на полукольце С+(Х), склеивающей ядро К.

Задача этого параграфа решена в следующей теореме: Теорема 4.1. Любая конгруэнция р € Сои U(X) продолжается на полукольцо С+(Х) до конгруэнции для К — [1}р, при этом [1]~к = К.

Третья глава посвящена исследованию свойств решёток конгруэнций полуколец и полуполей непрерывных функций.

В пятом параграфе решается вопрос наличия дополнений и псевдодополнений в решётках конгруэнций полуколец С+(Х), СУ(Х) и полуполей U (X),

СЛрГ).

Псевдодополнением элемента а решётки (L, V, А, 0} называется наибольший элемент а* е L, удовлетворяющий условию а А а* — 0.

Дополнением элемента а решётки {L, V,A,0,1) называется элемент а' Е G L, удовлетворяющий условиям а А а' = 0 и а V а' = 1.

Теорема 5.1. Пусть X — произвольное тихоновское пространство. Тогда для полукольца или полуполя S{X) любая конгруэнциия р решётки Соп£(Х) имеет псевдодополнение ра для некоторого единственного канонически замкнутого подмножества А пространства X. Обратно, для каждого канонически замкнутого множества А в X конгруэнция рл является псевдодополнением некоторой конгруэнции на S{X).

Следствие 5.1. Для любого топологического пространства X решётки Con[/(X); Con Uy{X), ConC+pí), ConCv(X) суть решётки с псевдодополнениями.

Теорема 5.2. Бинарное отношение р на полукольце или полуполе S(X) является дополняемой конгруэнцией тогда и только тогда, когда р = Ра для некоторого единственного открыто-замкнутого подмножества А топологического пространства X. Любая дополняемая конгруэнция na S(X) имеет единственное дополнение.

В шестом параграфе установлены два результата о существовании ретрак-тов для полуколец непрерывных функций.

Для каждого идеала I кольца С(X) на полуполе U(X) задается идеальная конгруэнция 7 (/): h{I)g <&f-gel, для любых f,g е U(X).

Аналогично определяются идеальные конгруэнции 7(7) полукольца С+(Х).

Предложение 6.1. Отображение 7: Id С(Х) —» ConU(X) является гомоморфизмом.

Решётка М называется ретрактом решётки N, если существуют гомоморфизмы 7г: N —> М и %: М —> N, такие, что 7Г о ^ = 1 м — тождественное отображение множества М.

Теорема 6.1. Решётка идеалов Id С(Х) является ретрактом решётки ядер GonU(X).

Теорема 6.2. Решётка конгруэнций Con UV(X) является ретрактом решётки конгруэнций Con СУ(Х).

В седьмом параграфе описаны максимальные конгруэнции полуполя UV(X). Методом продолжения конгруэнций получено описание предмакси-мальных конгруэнций полукольца CV(X).

Максимальной конгруэнцией на полукольце S называется коатом решётки Con S.

Теорема 7.1. Максимальные конгруэнции на Uy(X) — это в точности конгруэнции у(М) по всем Ш-идеалам М кольца С(Х).

Полукольцо S называется положительным, если для любого а Е S элемент а + 1 обратим.

Известно, что максимальные конгруэнции на произвольном комутативном положительном полукольце S — это в точности двуклассовые отношения эквивалентности {Р, S\P}, где Р — простой строгий идеал в S [4, предложение 3.4].

Конгруэнция р на полукольце S называется предмаксимальной, если любая превосходящая ее конгруэнция на полукольце S является максимальной или единичной.

Теорема 7.2. Предмаксимальные конгруэнции на СУ{Х) — это в точности конгруэнции j(М) по всем Ш-идеалам М кольца С(Х).

Для произвольного топологического пространства X обозначим через Max UV(X) (Ртах CV(X)) пространство — со стоуновской топологией — всех максимальных (предмаксимальных) конгруэнций на полуполе UV(X) (на полукольце CV(X)).

Предложение 7.2. Для произвольного топологического пространства X топологические пространства Max Uv (X) и Ртах Су (X) гомеоморфны. Для любого тихоновского пространства X топологические пространства Маx£/v(X), PmaxCv(X) и i/X гомеоморфны.

Предложение 7.3. Для произвольных хыоиттовских пространств X и У равносильны следующие условия:

1) Соп иу(Х) ^ Соп £/у(У);

2) СопС^Х) ^ СопСу(У);

3) Х^У.

1. Биркгоф, Г. Теория решеток Текст] / Г. Биркгоф. — М. : Наука, 1984. - 568 с.

2. Варанкина В. И. Максимальные идеалы в полукольцах непрерывных функций Текст] / В. И. Варанкина // Фундам. и прикл. математика. — 1995. Т. 1. — № 4. - С. 923-937.

3. Варанкина, В. И. Максимальные идеалы и делимость в полукольцах непрерывных функций : дис. .канд. физ.-матем. наук : 01. 01. Об : защищена 11.11.1996 Текст] / В. И. Варанкина. — Киров : Вятский государственный педагогический университет, 1996.

4. Варанкина, В. И. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы,конгруэнции Текст] / В. И. Варанкина, Е. М. Вечто-мов, И. А. Семенова // Фундаментальная и прикладная математика. — 1998. — Т. 4. — Вып. 2. — С. 493-510.

5. Вечтомов, Е. М. Введение в полукольца: Пособие для студентов и аспирантов Текст] / Е. М. Вечтомов. — Киров : Изд-во Вятского государственного педагогического университетата, 2000. — 44 с.

6. Вечтомов, Е. М. Дистрибутивные кольца непрерывных функций и Рпространства Текст. / Е. М. Вечтомов // Математические заметки. — 1983. Т. 34. - № 3. - С. 321-332.

7. Вечтомов, Е. М. Вопросы определясмости топологических пространств алгебраическими системами непрерывных функций Текст] / Е. М. Вечтомов // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. — 1990. — Т. 28. — С. 3^6.

8. Вечтомов, Е. М. Кольца непрерывных функций. Алгебраические аспекты Текст] / Е. М. Вечтомов // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. — 1991. — Т. 29. — С. 119-191.

9. Вечтомов, Е. М. Кольца непрерывных функций на топологических пространствах. Избранные темы Текст] / Е.М. Вечтомов. —М. : МПГУ, 1992. 121 с.

10. Вечтомов, Е.М. Функциональные представления колец Текст] / Е. М. Вечтомов. -М. : МПГУ, 1993. 191 с.

11. Вечтомов, Е. М. Абелево-регулярные положительные полукольца Текст] / Е. М. Вечтомов, А. В. Михалев, В. В. Чермных // Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 1997. — Т. 20. — С. 282-309.

12. Вечтомов, Е. М. Полукольца непрерывных отображений Текст] / Е. М. Вечтомов // Вестник ВятГГУ. 2004. - № 10. — С. 57-64.

13. Вечтомов, Е.М. К теории полутел Текст] /Е.М. Вечтомов, A.B. Че-ранева // Успехи математических наук. — 2008. — Т. 63. —№ 2. — С. 161-162.

14. Гельфанд, И. М. О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах Текст] / И. М. Гельфанд, А. Н. Колмогоров // ДАН СССР. Т. 22. - № 1. — С. 11-15.

15. Гретцер, Г. Общая теория решеток текст] / Г. Гретцер. М. : Мир, 1982. - 456 с.

16. Кон, П. Универсальная алгебра Текст] / П. Кон. — М. : Мир, 1968.

17. Лукин, М.А. Полукольцевые объединения кольца и полутела :дисканд. физ.-матем. наук : 01. 01. 06: защищена 12.03.2009 /М.А. Лукин — Киров : Вятский государственный гуманитарный университет, 2009. — 92 с.

18. Маслов, В. П. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении Текст] / В. П. Маслов, В.Н. Колокольцов. — М. : Наука, 1994.

19. Подлевских, М.Н. Замкнутые конгруэнции на полукольцах непрерывных функций Текст] // Фундаментальная и прикладная математика. — 1999. Т. 5. - № 3. - С. 947-952.

20. Подлевских, М. Н. Полукольца непрерывных функцией с топологией поточечной сходимости : дис. . .канд. физ.-матем. наук : 01. 01. 06: защищена 15.11.1999 / М. Н. Подлевских. — Киров : Вятский государственный педагогический университет, 1999. 88 с.

21. Полин, С. В. Простые полутела и полуполя Текст] / С. В. Полин // Сибирский математический журнал. — 1974. — Т. 15. — № 1. — С. 90-101.

22. Семенов, А. Н. О решетке конгруэнций полутел Текст] / А. Н. Семенов // Вестник ВятГГУ. 2003. - № 9. - С. 92-95.

23. Семенова, И. А. Главные конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций Текст] / И. А. Семенова // Вестник Вятского гос-педуниверситета. Серия естественных наук. Выпуск 1 Математика, информатика, физика. — 1996. — С. 14-16.

24. Семенова, И. А. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций: дис. .канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 11. 01. 1999 / И. А. Семенова. — Киров : Вятский государственный педагогический университет, 1998. — 78 с.

25. Семенова, И. А. Определеяемость хьюиттовских пространств X решеткой конгруэнций непрерывных неотрицательных функций на X Текст] / И. А. Семенова // Вестник Вятского госпедуниверситета. — 1999. — № 1. С. 20-23.

26. Семенова, И. А. Максимальные конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций Текст] / И. А. Семенова // Фундаментальная и прикладная математика. — 2000. — Т. 8. — Вып. 1. — С. 305-310.

27. Старостина, О. В. Строение абелево регулярных положительных полуколец Текст] / О. В. Старостина // Чебышевский сборник. — 2005. — Т. 6. № 4(16). - С. 141-151.

28. Старостина, О. В. Абелево-регулярные положительные полукольца: дис. . канд. физ.-матем. наук : 01.01.06: защищена 29.10. 2007 / О. В. Старостина. — Киров : Вятский государственный гуманитарный университет, 2007. 90 с.

29. Черанева, А. В. О конгруэнциях на полутелах Текст]/ А. В. Черанева // Чебышевский сборник. 2005. - Т. 6. — Вып. 4 (16). - С. 164-171.

30. Черанева, A.B. Ядра и пучки полутел : 01.01.06: защищена 4.12.2008 Текст]/ А. В. Черанева. Киров : Вятский государственный гуманитарный университет, 2008 —99 с.

31. Чермных, В. В. Полукольца Текст] / В. В. Чермных. — Киров : Издательство ВГПУ, 1997. — 131 с.

32. Чермных, В. В. Функциональные представления полуколец и полумодулей : дис. . .док. физ.-матем. наук : 01.01.06: защищена 28. 06. 2007 / В. В. Чермных. Киров : Вятский государственный гуманитарный университет, 2007. — 234 с.

33. Широков, Д. В. Условия дистрибутивности решетки конгруэнций полуполя непрерывных положительных функций Текст] / Д. В. Широков // Вестник ВятГГУ. 2003. - № 8. - С. 137-140.

34. Широков, Д. В. Идеалы в полукольцах непрерывных функций: дис. . .канд. физ.-матем. наук : 01.01.06: защищена 19. 12. 2005 / Д. В. Широков. — Киров : Вятский государственный гуманитарный университет, 2005. — 83 с.

35. Энгелькинг, Р. Общая топология Текст] / Р. Энгелькинг. — М. : Мир, 1986.

36. Acharyya, S. К. Hemirings, congruences and the Stone-Cech compactification Text] /S.K. Acharyya, K.S. Chattopalhyay, G.G. Ray // Simon Stevin. — 1993. T. 67. - P. 21-35.

37. Acharyya, S. K. Hemirings, congruences and the Hewitt realcompactification Text] /S. K. Acharyya, K. S. Chattopalhyay, G. G. Ray // Bull. Belg. Math. Soc. 1995. - T. 2. - № 1. - P. 47-58.

38. Artamonova, I.I. Semirings: sheaves and continuous functions Text]/ 1.1. Artamonova, V. V Chermnykh, A. V. Mikhalev, V. I. Varankina, E. M. Vechtomov // Proceedings of SPB conference. —Sankt-Peterburg. — 1999. P. 23-58.

39. Gillman, L Concerning rings of continious functions Text] / L. Gillman, M. Henriksen // Trans Amer. Math. Soc. 1954. —T. 77. 2. — P. 340362.

40. Gillman, L. Rings of continious functions in which every finitely generated ideal is principal Text] / L. Gillman, M. Henriksen // Trans Amer. Math. Soc. 1956. - T. 82. - № 2. - P. 366-391.

41. Hutchins H.J. Homomorphisms and kernels of semifields Text] / H. J. Hutchins, H. J. Weinert // Periodica Mathematica. — 1990. — V 5. — №2. P. 113-152.

42. Gillman, L. Rings of continuous functions Text] / L. Gillman, M. Jerison. — N.Y. : Springer-Verlag, 1976. 300 p.

43. Golan, J. S. Semirings and their applications Text] / J. S. Golan. — Kluwer Academic Publishers. Dordrecht-Boston-London, 1999. — 381 p.

44. Hewitt, E. Rings of real-valued continuous functions Text] / E. Hewitt // Trans. Amer. Math. Soc. — 1948. — T. 64. — № 1. — P. 45-99.

45. Kaplanskiy, I. Topological rings Text] / I. Kaplanskiy // Amer. J. Math. — 1947. V. 69. - P. 153-183.

46. Pierce, R. S Rings of integer-valued continuous functions Text] / R. S. Pierce // Trans. Amer. Math. Soc. 1961. - T. 100. - № 3. — P. 371394.

47. Slowikowski, W. A generalization of maximal ideals method of Stone and Gelfand Text] / W. Slowikowski, A. Zawadowsci // Fund. Math. — 1955. -T. 42. 2. P. 215-231.

48. Stone, M. Applications of the theory of boolean rings to general topology Text] / M. Stone // Trans. Amer. Math. Soc. — 1937. — T. 41. №3.-P. 375-481.

49. Vandiver, H. S. Note on a simple type of algebra in which cancellation law of addition docs not hold Text] / H. S. Vandiver // Bull. Amer. Math. Soc. — 1954. V. 40. - P. 914-920.

50. Vechtomov, E.M. Rings and sheaves Text] / E.M. Vechtomov //J. Math. Sciences (USA). 1995. -V. 74. - № 1. - P. 749-798.

51. Vechtomov, E. M. Rings of continuous functions with values in topological division ring Text] / E. M. Vechtomov // J. Math. Sciences (USA). —1996. — V. 78. № 6. - P. 702-753.Публикации автора по теме диссертации

52. Вечтомов, Е. М. Решетки конгруэнций на полукольцах непрерывных функций Текст] / Е. М. Вечтомов, Д. В. Чупраков // Международная конференция «Алгебра и ее приложения», Красноярск, Сибирский федеральный Университет. — 2007. — С. 31-32.

53. Вечтомов, Е. М. Главные ядра полуполей непрерывных положительных функций Текст] / Е.М. Вечтомов, Д. В. Чупраков // Фундаментальная и прикладная математика, — 2008. — Т. 14. — Вып. 4. — С. 87-107.

54. Вечтомов, Е. М. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций и Р-проетранства Текст] / Е. М. Вечтомов, Д. В. Чупраков // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. — 2008. — № 8. — С. 15-26.

55. Вечтомов, Е. М. О продолжении копгруэнций на полукольцах непрерывных функций Текст] / Е. М. Вечтомов, Д. В. Чупраков // Математические заметки. 2009. — Т. 85 —Вып. 6. — С. 803-816.

56. Вечтомов, Е.М. Псевдодополнения в решетке конгруэнций полуколец непрерывных функций Текст] / Е. М. Вечтомов, Д. В. Чупраков // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. — 2009. — № 9. — С. 3-17.

57. Чупраков, Д. В. О главных ядрах полуполей непрерывных функций Текст] / Д. В. Чупраков // Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики. Международная научная конференция. Тамбов — 2008. — С. 33-36.

58. Чупраков, Д. В. О максимальных конгруэнциях на полукольцах непрерывных функций с идемпотентным сложением Текст] / Д. В. Чупраков // Математический вестник педвузов и . университетов Волго-Вятского региона. — 2008. — Вып. 10. — С. 99-110.

59. Чупраков, Д. В. О ретрактах решеток полуколец непрерывных функдий Текст. / Д. В. Чуираков // Материалы VI молодежной школы-конференция «Лобачевские чтения» — Казань : КГУ, 2008. — С. 241-243.

60. Чупраков, Д. В. Дополнения конгруэнции в полукольцах непрерывных функций Текст] / Д. В. Чупраков // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. — 2009. — Вып. 11. — С. 122127.

61. Чупраков, Д. В. Условия дистрибутивности решеток конгруэнций полуколец непрерывных функций Текст] / Д. В. Чупраков // Вестник Удмуртского университета, математика. Механника. Компьютерные науки. 2009. - № 3. - С. 128-134.