Полукольца непрерывных [0,1]-значных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 512.556

Лубягина Елена Николаевна

ПОЛУКОЛЬЦА НЕПРЕРЫВНЫХ [0,1]-ЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ

Специальность 01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 8 НОЯ 2012

Екатеринбург — 2012

005054502

005054502

Работа выполнена на кафедре алгебры и дискретной математики в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Вятский государственный гуманитарный университет».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Вечтомов Евгений Михайлович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Пыткеев Евгений Георгиевич

кандидат физико-математических наук, доцент Перминов Евгений Александрович

Ведущая организация: ФГАОУ ВПО Казанский (Приволжский)

федеральный университет.

Защита состоится 27 ноября 2012 г. в 15.30 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 в Институте математики и механики УрО РАН по адресу: 620219, г. Екатерибург, ул. С. Ковалевской, д. 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан «-¿¿_» ¿Уд/Д/_201-£- г.

Ученый секретарь /

диссертационного совета Д 004.006.03 {/'} />" И. Н. Белоусов

кандидат физико-математических наук, /

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация находится в русле развития и расширения классической теории колец С(Х) = C(X,R) всех непрерывных функций со значениями в поле К вещественных чисел, заданных на произвольном топологическом пространстве X, с поточечно определенными операциями сложения и умножения функций. В ней развита теория полуколец С(Х, I) всех непрерывных функций на топологическом пространстве X со значениями в числовом полукольце I = [0,1] с поточечными операциями взятия max и обычного умножения функций, наделенном обычной топологией, решены естественные и оригинальные задачи, характерные для функциональной алгебры. Следует отметить, что функции X —» I можно интерпретировать как нечеткие подмножества пространства X, что означает возможность применения полуколец С(Х, I) в теории нечетких множеств и нечетких топологических пространств.

Полукольца непрерывных функций появились в рамках теории колец непрерывных функций, которая зародилась в работах М. Стоуна 1937 года [1], И.М. Гельфанда и А.Н. Колмогорова 1939 года [2], Хыоитта 1948 года [3], и окончательно оформилась после опубликования в 1960 году известной монографии Гиллмана и Джерисона «Кольца непрерывных функций» [4]. Главным объектом этой теории служат кольца С(Х).

Изучались также кольца С(Х,К) всех непрерывных функций со значениями в различных топологических кольцах К, начиная с трудов М. Стоуна [1], Капланского [5] и Р. Пирса [6]. Развитие теории колец непрерывных функций в этом направлении отражено в обзорах Е. М. Вечтомова [7], [8], [9], [10] и его книгах [11], [12].

Современное определение полукольца (в широком смысле) было дано Ван-дивером [13] в 1934 году: полукольцом он назвал совокупность элементов, по сложению и по умножению образующих полугруппы, с правым и левым дистрибутивными законами умножения относительно сложения. Мы же под полукольцом будем понимать непустое множество S с бинарными операциями сложения + и умножения -, для которых (S, +) — коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0, (S, ■) — полугруппа с нейтральным элементом 1 и а(Ь + с) = ab + ас, (а + b)c = ас + Ьс, 0 • а = 0 = а - 0 для любых а, Ь, с 6 S [14].

Интерес к теории полуколец обусловливается не только внутренними потребностями теории, но и ее многочисленными применениями в дискретной математике и компьютерной алгебре, в топологии и теории меры, в теории графов, в теории автоматов и в формальных языках. Отдельно следует упомянуть идемпотентный анализ и его приложения [15] в теории оптимального управления, развиваемые академиком В. П. Масловым и его учениками.

Полукольца непрерывных функций служат важным примером общей теории полуколец. Полукольца С+(Х) = С(Х, Е+) всех непрерывных функций со значением в полуполе неотрицательных вещественных чисел с обычными сложением и умножением функций для случая компакта X фигурировали в качестве примера в работе Словиковского и Завадовского 1955 года [16].

Систематическое изучение свойств полуколец непрерывных функций над топологическими пространствами начато в статье В. И. Варанкиной, Е. М. Вечто-мова и И. А. Семёновой 1998 года [17]. В этой работе исследованы свойства делимости в полукольцах непрерывных функций, описаны максимальные конгруэнции на полукольце С+(Х), получены характеризации F-пpocтpaнcтв, указана связь решеток идеалов и конгруэнций полукольца С+(Х) с решеткой идеалов кольца С{Х), рассматриваемого как кольцо разностей для С+(Х). Развитие теории полуколец непрерывных функций отражено в обзорах пяти авторов [18] 1999 года, Е. М. Вечтомова [19] 2004 года и в кандидатских диссертациях В. И. Варанкиной [20], М. Н. Подлевских [21], И. А. Семеновой [22], Д. В. Широкова [23], Д. В. Чупракова [24], В. В. Сидорова [25], а также в монографии [26] 2011 года.

Для изучения свойств полукольца С+(Х) в случае тихоновского пространства X полезно зафиксировать на нем топологию. Полукольцам С+(Х) с топологией поточечной сходимости посвящена диссертация М. Н. Подлевских [21].

Полукольца С(Х, I) также стали изучаться начиная с работы [17]. В ней рассмотрены вопросы делимости в этих полукольцах (существование НОД, НОК, свойство Везу). Изоморфизмы полуколец С(Х, I) описаны в работах Я. Маровта [27] 2006 года, И. Араджо [28] и в статье [29] 2009 года. Отметим, что изоморфизмы колец С(Х) рассматривали А. Н. Милгрем [30], Широта [31], Е. М. Вечтомов [32].

Многие свойства полукольца С+(Х) обусловлены тем, что любой его элемент / с пустым нуль-множеством £(/) = {х 6 X : /(х) = 0} обратим. Рассматриваемые нами полукольца С(Х, I) не содержат неединичных обратимых элементов. В отличие от колец С(Х) и полуколец С+(Х), полукольца С(Х,I) порядково ограничены единицей и, как следствие, в них произведение неединичных функций всегда не превосходят сомножителей. Кроме того, специфика полуколец С(Х, I) по сравнению с кольцами С(Х) и полукольцами С+(Х) обусловлена насыщенностью идеалами и конгруэнциями полукольца значений I (предложения 1.2.4 и 1.2.5) в сравнении с полем К и полуполем

Объектом исследования служат полукольца непрерывных функций. Предметом исследования являются структурные свойства полуколец С(Х, I).

Цель и задачи работы. Цель диссертации состоит в выявлении и доказательстве структурных свойств полуколец С(Х, I). Для достижения цели были поставлены и решены задачи изучения: 1) идеалов и конгруэнций на полукольцах С(Х, I), 2) гомоморфизмов рассматриваемых полуколец, 3) топологических полуколец СР(Х, I) с топологией поточечной сходимости.

Методы исследования. В работе применяются методы и результаты теории колец и полуколец непрерывных функций, в том числе оригинальные, теории колец, теории решеток, универсальной алгебры и общей топологии.

Достоверность результатов диссертационного исследования обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер и может послужить основой для дальнейших исследований в области полуколец непрерывных функций. Результаты работы могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для магистров и аспирантов и в научно-исследовательской работе студентов.

Основные положения, выносимые на защиту.

• Найдены структурные свойства простых идеалов полуколец С(Х,Т) — теорема 2.2.1.

• Выявлено строение максимальных идеалов полуколец С(Х, I) — теорема 2.2.2.

• Получены характеризации свойств тихоновского пространства X и точки из X быть Р-пространством и Р-точкой соответственно — теоремы 2.3.2 и 2.3.1.

• Доказана определяемость любого компакта X как решеткой ЫС(Х,1) вссх идеалов полукольца С(Х, I), так и решеткой СопС(Х, I) всех кон-груэнций полукольца С(Х, I) — теоремы 2.4.1 и 3.1.1 соответственно.

• Исследованы гомоморфизмы полуколец С(Х, I) над компактами X, в частности получена характеризация стандартных эпиморфизмов этих полуколец — предложение 3.2.7.

• Описаны замкнутые идеалы и замкнутые конгруэнции топологического полукольца СР(Х, I) — теоремы 4.1.1 и 4.2.1 соответственно.

• Установлена двойственность категории всех тихоновских пространств X и их непрерывных отображений и категории топологических полуколец СР(Х, I) и их непрерывных гомоморфизмов — теорема 4.3.1.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

Личный вклад автора. Диссертационная работа отражает личный вклад автора в проведенном исследовании. Научным руководителем, д. ф.-м. н., профессором Е. М. Вечтомовым, была определена область исследований, поставлены задачи исследования, осуществлялось общее руководство, оказывалась методологическая помощь, проводилось обсуждение полученных результатов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных конференциях Вятского государственного гуманитарного университета в 2008-2012 годах, регулярно на научном алгебраическом семинаре г. Кирова (руководители семинара доктора физ.-мат. наук профессора ЕМ. Вечто-мов и В. В. Чермных), апробированы на «Лобачевских чтениях» в Казани (2007, 2010), Международных математических научных конференциях в Тамбове (2008) и Екатеринбурге (2012), «Мальцевских чтениях» в Новосибирске (2009), Международных алгебраических конференциях в Саратове (2011) и Казани (2011).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 работ (список публикаций приведен в конце автореферата), 9 из которых в соавторстве с научным

руководителем Е. М. Вечтомовым. Три работы опубликованы в изданиях, рекомендуемых ВАК.

Структура и объем работы. Диссертация включает в себя оглавление, введение, четыре главы, разбитые на 12 параграфов, список литературы и предметный указатель. Полный объем диссертации составляет 105 страниц. Список литературы включает 69 наименований и занимает 7 страниц.

Содержание работы Исходным понятиям и утверждениям в диссертации посвящена первая глава «Предварительные сведения». Для замкнутости изложения ряд известных утверждений главы 1 приводится с доказательством и ссылкой на соответствующий источник.

В пункте 1.1 рассматриваются исходные факты теории коммутативных полуколец. В пункте 1.2 вводится класс с-полуколец, содержащий все полукольца С(Х, I) (лемма 1.3.7). Именно, с-полукольцом называется идемпотентное полукольцо 5, для которого выполняются следующие условия: 1 - наибольший элемент в упорядоченном множестве (5, <); для любого а € 5 существует единственный элемент у/а, такой что {у/а)2 = а; для любых а, Ь € 5 если а < Ъ2, то а делится на Ъ. Введенные с-полукольца не содержат неединичных обратимых элементов, богаты идеалами и конгруэнциями (примеры 1.2.1 и 1.2.2). В пункте 1.3 начинается изучение идемпотентных полуколец С(Х,1).

Для изучения алгебраических свойств полуколец С(Х, I) достаточно считать пространство X компактом (то есть компактным хаусдорфовым пространством). Действительно, для произвольного топологического пространства X существует тихоновское (то есть вполне регулярное хаусдорфово) пространство тХ и его компактификация Стоуна-Чеха @{тХ) — такие, что С(Х,Т) = С(тХ, I) = С(г,1) (замечание 1.3.1). Поэтому некоторые утверждения в диссертации рассматриваются только для компактов. В диссертации используются следующие обозначения: о, = {/ € С(Х, I) : * 6 г°(/)}, Ех = 1- Ох, Мх = {/ 6 С(Х, I) : /(*) = 0}, #, = {/€ С(Х, I) : /(*) ф 1},

О» = {/ 6 С(Х, I)) : у € {Ц1)вх)°}, ЕУ = 1 - ОУ, __

МУ = {/ 6 С(Х, I )):уе МУ = {/ е С(Х, 1)):у<£ - /)рх]

для любых точек х из тихоновского пространства X. и у из ¡ЗХ.

Во второй главе «Идеалы полуколец С(Х, I)» рассматриваются свойства идеалов и некоторые виды идеалов в полукольцах С{Х, I).

В пункте 2.1 диссертации получены описания чистых идеалов (предложение 2.1.1) и аннуляторных идеалов (предложение 2.1.2) полуколец С(Х,I), аналогичные случаю колец С(Х) и полуколец С+(Х). При этом идеал называется чистым, если вместе с каждым своим элементом а содержит некоторую его локальную единицу е (ае = а), и аннуляторным, если имеет вид Ann J = |"| Anna,

as J

Anna = {5 € C(X, I) : as = 0}, для некоторого непустого подмножества (равносильно идеала) J С С(Х, I).

В пункте 2.2 даны структурные свойства простых идеалов (теорема 2.2.1) и характеризация максимальных идеалов (теорема 2.2.2) в полукольцах С(Х, I). Напомним, что идеал J коммутативного полукольца S называется простым, если его дополнение до S непусто и мультипликативно замкнуто. Простому идеалу Р коммутативного полукольца S соответствует идеал Op = {s £ С(Х, I) : (Эе 6 5 \ P)se = 0}.

Теорема 2.2.1. Пустъ X — тихоновское пространство. Тогда любой простой идеал Р полукольца С(Х, I) обладает следующими свойствами:

1) Оу С Р для однозначно определенной точка у G /ЗХ;

2) PC С{Х, I) \ Еу для некоторой единственной точки у 6 рХ;

3) если Оу CP, то PC Му или Ny С Р.

Теорема 2.2.2. Для любого топологического пространства X максимальные идеалы полукольца С(X, I) это в точности идеалы вида С(Х, I) \ (1 — Р) по всем простым идеалам Р полукольца С(Х,Т), совпадающим с Ор.

В теории колец непрерывных функций важную роль играют F-пространства и Р-пространства, введенные в рассмотрение Гиллманом и Хенриксоном в 1956 году [33] и 1954 году [34] соответственно. Тихоновское пространство X было названо F-пространством, если кольцо С(Х) является кольцом Безу, то есть каждый конечно-порожденный идеал в С(Х) является главным [4], и Р-пространством, если кольцо С(Х) регулярно по фон Нейману, то есть для любого / € С{Х) существует такой g £ С(Х), что fgf = /. Точка х G X называется F-точкой, если для любых функций f,g € С(Х) из ж € Z°{fg) следует х G Z°(/) U 1°(д), и Р-точкой, если х 6 Z(f) влечет х £ Z°(f) для

любой функции / е С{Х). Для тихоновских пространств исходные определения Р-пространства и Р-пространства, сформулированные Гиллманом и Хен-риксоном, равносильны тому, что все точки пространства являются Р-точками и Р-точками соответственно [4]. Отметим, что тихоновское пространство X будет Р-пространством тогда и только тогда, когда полукольцо С(Х, I) является полукольцом Везу [13].

Имеются многочисленные характеризации Р-пространств X и Р-пространств X в терминах колец С(Х) [4], [8], [10], [35] и полуколец С+(Х) [13], [36]. В пункте 2.3 получены полукольцевые характеризации этих пространств в терминах полуколец С(Х,I).

Теорема 2.3.1. Для любой точки х тихоновского пространства X эквивалентны следущие утверждения:

1) х есть Р-точка;

2) идеал Ох простой;

3) множество С(Х, I) \ Ех является идеалом;

4) множество С(Х, I) \ Ех является максимальным идеалом;

5) С(Х,Т)/рх — линейно упорядоченное полукольцо относительно индуцированного порядка;

6) в С(Х,Т) все простые идеалы, содержащие Ох, образуют цепь;

7) в С(Х, I) все простые идеалы, содержащие Мх, образуют цепь.

Заметим, что в случае колец С(Х) и полуколец С+(Х) утверждения 1), 2),

5), 6) также равносильны, а утверждение 7) всегда выполняется в силу максимальности идеалов Мх

Множество всех простых идеалов коммутативного полукольца Б обозначается через 8рес5, а множество всех его максимальных идеалов — через Мах5. Топологическое пространство 5рес5 с топологией Стоуна-Зарисского будем называть простым спектром полукольца 5, а его подпространство Мах5 — максимальным спектром полукольца 5. По теореме 2.2.1 для тихоновского пространства X каждому простому идеалу Р полукольца С(Х, I) соответствует единственная точка хР в ¡ЗХ. для которой Охр С Р. Получаем отображение ф : 8ресС(Х, I) -)• ¡ЗХ, ф{Р) = хР для любого простого идеала Р полукольца С(Х,1). В предложении 2.3.1 доказано, что ф непрерывно.

Коммутативное полукольцо 5 называется слабо риккартовым, если аЬ — О влечет Аппа + АппЬ = 5 для любых а, Ь е 5. На основа теоремы 2.3.1 и свойств абстрактных полуколец, получена характеризация Р-пространств:

Теорема 2.3.2. Для произвольного топологического пространства X эквивалентны следущие утверждения:

1) X — ¥-пространство;

2) все идеалы Ох, х £ X, простые (равносильно все идеалы Оу, у £ $тХ, простые);

3) максимальные идеалы полукольца С(Х,Т) имеют вид С(Х, I) \ Еу по всем у € РтХ\

4) постранство МахС(Х, I) хаусдорфово;

5) отображение ф осуществляет гомеоморфизм пространств ЫахС(Х, I) иРтХ]

6) каждый простой идеал полукольца С(Х, I) содержится в единственном максимальном идеале;

7) каждый простой идеал полукольца С(Х, I) содержит единственный минимальный простой идеал;

8) все простые идеалы полукольца С(Х, I), содержащие данный простой идеал, образуют цепь;

9) полукольцо С(Х,Т) слабо риккартово.

10) для любой функции / е С(Х, I) идеал Апп/ — чистый.

Теорема 2.3.2 показывает принципиальное отличие теории полуколец С{Х,Х) от теории колец С(Х) и полуколец С+(Х). Утверждения 4), 5), 6) и 8) этой теоремы в случае колец С(Х) и полуколец С+(Х) выполняются для любого пространства X. Утверждение 5) — это аналог классической теоремы Гельфанда-Колмогорова для колец С(Х) [4].

Следующие предложения, характеризующие Р-точки и конечные пространства X, также указывают на отличие теории полуколец С(Х, I) от теорий колец С(Х) и полуколец С+(Х).

Предложение 2.3.2. Для любой точки х тихоновского пространства X равносильны следующие условия:

1) х — Р-точка;

2) Ох = Мх,

3) С(Х,1)\Ех = Мх;

4) — максимальный идеал.

Предложение 2.3.3. Для компакта X эквивалентны следующие утверждения:

1) идеалы Ых полукольца С(Х,Т) максимальны по всем х 6 Х\

2) каждый максимальный идеал в С(Х, I) имеет вид Ых\

3) максимальные идеалы в С(Х, I) совпадают с идеалами Ых\

4) X — конечное пространство.

В пункте 2.4 доказана определяемость любого компакта X решеткой МС(Х,1) :

Теорема 2.4.1. Произвольные компакты X и У гомеоморфны тогда и только тогда, когда решетки МС(Х, I) и ЫС(У,Т) изоморфны.

Важным направлением в теории полуколец непрерывных функций стало изучение конгруэнций на них. Впервые конгруэнции на полукольцах С+(Х) для тихоновских пространств X упоминаются в статьях [37], [38]. Конгруэнции и гомоморфизмы идемпотентных полуколец С(Х, I) рассматриваются в третьей главе «Конгруэнции и гомоморфизмы полуколец С(Х, I)». По той же схеме, что и для решетки ЫС(Х, I), доказана определяемость произвольного компакта X решеткой СопС(Х, I) :

Теорема 3.1.1. Компакты X и У гомеоморфны тогда и только тогда, когда решетки СопС(Х,Т) и СопС(У,1) изоморфны.

Примененный нами способ доказательства легко переносится на случай решеток ИС(Х) и СопС+(^) для компактов X.

Следствие 3.1.1. Для произвольных топологических пространств X иУ следующие утверждения эквивалентны:

1) полукольца С(Х, I) и С(У,1) изоморфны;

2) решетки ЫС(Х, I) и /сЮ(У, I) изоморфны;

3) решетки СопС(Х, I) и СопС(У, I) изоморфны.

Следствие 3.1.1 для колец С(Х) доказано Е. М. Вечтомовым [7], для полуколец С+{Х) эквивалентность утверждений 1) и 2) доказана в статье [13], а эквивалентность утверждений 1) и 3) — И. А. Семеновой [39].

Пункт 3.2 посвящен изучению гомоморфизмов полуколец С(Х, I) и С(У, I) для компактов X и У. Для этого вводится поняте стандартного гомоморфизма, обобщающее понятие стандартного изоморфизма [33]. Гомоморфизм а : С(Х, I) —» С(У, I) назван стандартным, если существуют такие непрерывные отображения </? : У —¥ X иг :У —> (0, +оо), что а(/)(у) = /(</?(у))г^ для любых / 6 С(Х, I) и у € У. Получены критерии стандартности полукольцевого эпимоморфизма, в частности имеет место следующее

Предложение 3.2.7. Полукольцевой эпимоморфизм а : С(Х,Т) —> С(У, I) будет, стандартным тогда и только тогда, когда найдется такая константа с € С(Х,Т), что 0 < а(с) < 1. При этом, если а — изоморфизм, то соответствующее отображение <р будет гомеоморфизмом.

Полукольцевой гомоморфизм а : С(Х,Т) —> С(У, I) мы называем -гомоморфизмом, если он сохраняет константу —. В предложении 3.2.8 пока-

1 2

зано, что категория полуколец С(Х, I) и их --гомоморфизов антиэквивалеитна категории всех компактов X и их непрерывных отображений.

Для изучения свойств полукольца С(Х, I) в случае тихоновского пространства X полезно ввести на нем топологию. Полукольцам Ср(Х) с топологией поточечной сходимости посвящена диссертация М. Н. Подлевских [21]. В четвертой главе «Полукольца СР(Х, I) с топологией поточечной сходимости» рассмотрено соответствующее топологическое полукольцо СР(Х, I).

В пункте 4.1 указано строение замкнутых идеалов полукольца СР(Х, I). Для произвольной функции ¡р 6 Iх положим .7(</з) = {/ € С(Х, I) : / < ¡¿>}. Функцию € Iх назовем вс-функцией, если в полной решетке Iх всевозможных отображений I —> X она является точной верхней гранью некоторого непустого подмножества М С С(Х, I).

Теорема 4.1.1. Для всякого тихоновского пространства X идеал 3 полукольца С(Х, I) является замкнутым тогда и только тогда, когда 3 = 3(<р) для некоторой функции (равносильно эс-функции)

При этом любое значение указанной в теореме яс-функции <р достигается некоторой функцией из идеала 3{}р) (предложение 4.1.З.).

В пункте 4.2 установлено строение замкнутых конгруэнций р полукольца

СР(Х,Т), то есть таких, что множество {(/, д) : f,g £ C(X,l), fpg} замкнуто в тихоновском квадрате СР(Х, I) х СР{Х, I). Для произвольной функции € Iх определим следующее бинарное отношение р(ф) на полукольце С(Х, I): для любых функций g,h G С(Х, I) полагаем:

др{ф)Н Х{д{х) ф h{x) =>(gV h){x) < ф)).

Теорема 4.2.1. Для любого тихоновского пространства X конгруэнция р на полукольце С(Х, I) будет замкнутой тогда и только тогда, когда р = p(ip) для некоторой функции (равносильно sc-функции) <р 6 Iх.

В пункте 4.3 получена следующая теорема двойственности:

Теорема 4.3.1. Категория всех топологических полуколец СР(Х,1) и их непрерывных гомоморфизмов, сохраняющих константы, антиэквивалентна (двойственна) категории всех тихоновских пространств X и их непрерывных отображений.

Наряду с идемпотентными полукольцами С(Х, I) рассматриваются решетки (С(Х, I), V, Л) и частичные полукольца (С(Х, I), +, •). Решетки С(Х, I) по некоторым свойствам близки к полукольцам С(Х, I) (предложение 2.2.4), частичные же полукольца сходны с полукольцами С+(Х) (предложения 2.2.3 и 3.3.2).

Автор глубоко благодарен научному руководителю профессору Евгению Михайловичу Вечтомову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Список литературы

1. Stone М. Applications of the theory of boolean rings to general topology // Trans. Amer. Math. Soc. 1937. T. 41. № 3. pp. 375-481.

2. Гельфанд И. M., Колмогоров A. H. О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах // Доклады АН СССР. 1939 Т. 22. № 1. С. 11-15.

3. Hewitt Е. Rings of real-valued continuous functions // Trans. Amer. Math. Soc:. 1948. T. 64. № 1. pp. 45-99.

4. Gillman L., Jerison M. Rings of Continuous Functions. University Series in Higher Mathematics. Princeton: Van Nostrand, 1960. Newer edition: Graduate

Texts in Math. Berlin: Springer-Verlag, Vol. 43. 1976. 300 p.

13

5. Kaplanskiy I. Topological rings // Amer. J. Math. 1947. V. 69. pp. 153-183.

6. Pierce R. S Rings of integer-valued continuous functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1961. T. 100. № 3. P. 371-394.

7. Вечтомов E. M. Вопросы определяемое™ топологических пространств алгебраическими системами непрерывных функций // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. 1990. Т. 28. С. 3-46.

8. Вечтомов Е. М. Кольца непрерывных функций. Алгебраические аспекты // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 29. С. 119-191.

9. Vechtomov EiM. Rings and sheaves // J. Math. Sciences (USA). 1995. V. 74. №. 1. pp. 749-798.

10. Vechtomov E. M. Rings of continuous functions with values in topological division ring // J. Math. Sciences (USA). 1996. V. 78. № 6. pp. 702-753.

11. Вечтомов E. M. Кольца непрерывных функций на топологических пространствах. Избранные темы. М. : МПГУ, 1992. 121 с.

12. Вечтомов Е. М. Функциональные представления колец. М. : МПГУ, 1993. - 191 с.

13. Vandiver Н. S. Note on a simple type of algebra in which cancellation law of addition does not hold // Bull. Amer. Math. Soc. 1954. V. 40. pp. 914-920.

14. Golan J.S. Semirings and their applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. 381 p.

15. Маслов, В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Наука, 1994. 142 с.

16. Slowikowski W., Zawadowsci A. A generalization of maximal ideals method of Stone and Gelfand // Fund. Math. 1955. T. 42. № 2. pp. 215-231.

17. Варанкина В. И., Вечтомов Е. М., Семенова И. А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы,конгруэнции // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. Вып. 2. С. 493-510.

18. Artamonova 1.1., Chermnykh V.V, Mikhalev A.V., Varankina V. I., Vechtomov E. M. Semirings: sheaves and continuous functions // Semigroups with applications, including semigroup rings. Sankt.-Peterburg, 1999. pp. 2358.

19. Вечтомов Е. М. Полукольца непрерывных отображений // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. 2004. № 10. С. 57-64.

20. Варанкина В. И. Максимальные идеалы и делимость в полукольцах непрерывных функций: дис. ... канд. физ.-матем. наук Киров, 1996. 91 с.

21. Подлевских М.Н. Полукольца непрерывных функций с топологией поточечной сходимости: дис. ... канд. физ.-матем. наук. Киров, 1999. 88 с.

22. Семенова И. А. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций: дис. ... канд. физ.-матем. наук. Киров, 1998. 78 с.

23. Широков Д. В. Идеалы в полукольцах непрерывных функций: дис. ... канд. физ.-матем. наук. Киров, 2005. 83 с.

24. Чупраков Д. В. Конгруэнции на полукольцах и полуполях непрерывных числовых функций: дис. ... канд. физ.-матем. наук. Киров, 2010. 106 с.

25. Сидоров В. В. Изоморфизмы решеток подалгебр полуколец непрерывных неотрицательных функций: дис. ...канд. физ.-матем. наук. Киров, 2011. 131 с.

26. Вечтомов Е. М., Сидоров В. В., Чупраков Д. В. Полукольца непрерывных функций: монография. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2011. 312 с.

27. Marovt J. Multiplicative biections of C(X, I) // Proc. Amer. Math. Soc. 2006. V. 134. № 4. pp. 1065-1075.

28. Araujo J. Multiplicative biections of semigroups of interval-valued continuous functions // Proc. Am. Math. Soc. 2009. T. 137.

29. Cabello Sánchez F., Cabello Sánchez J., Ercan Z., Onal Memorandum on multiplicative bijections and order // Semigroup Forum, 2009. V. 79, № 1, 193-209.

30. Milgram A.N. Multiplicative semigroups of continuous functions // Duke Math. J. 1949. V. 16. № 2. pp. 377-383.

31. Shirota T. A generalization of a theorem of I. Kaplansky // Osaka Math. J. 1952. V. 4 pp. 121-132.

32. Вечтомов E. M. Изоморфизмы мультипликативных полугрупп колец непрерывных функций // Сибирский математический журнал. 1978. Т. 19. № 4. С. 759-771.

33. Gillman L., Henriksen M. Rings of continious functions in which every finitely generated ideal is principal // Trans Amer. Math. Soc. 1956. V. 82. № 2. pp. 36G-391.

34. Gillman L, Henriksen M. Concerning rings of continious functions // Trans Amer. Math. Soc. 1954. V. 77. № 2. pp. 340-362.

35. Вечтомов E. M. Дистрибутивные кольца непрерывных функций и F-пространства // Математические заметки. 1983. Т. 34. № 3. С. 321-332.

36. Широков Д. В. Условия дистрибутивности решетки конгруэнций полуполя непрерывных положительных функций // Вестник ВятГГУ. 2003. № 8. С. 137-140.

37. Acharyya S. К., Chattopalhyay К. S., Ray G. G. Hemirings, congruences and the Stone-Cech compactification // Simon Stevin. 1993. T. 67. pp. 21-35.

38. Acharyya S. K., Chattopalhyay K. S., Ray G. G. Hemirings, congruences and the Hewitt realcompactification // Bull. Belg. Math. Soc. 1995. T. 2. № 1. pp. 47-58.

39. Семенова И. А. Определеяемость хыоиттовских пространств X решеткой конгруэнций непрерывных неотрицательных функций на X // Вестник Вятского государственного педагогического университета. 1999. № 1. С. 20-23.

Статьи автора в изданиях, рекомендуемых ВАК

40. Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н. О простых идеалах полуколец непрерывных функций со значениями в единичном отрезке // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2011. № 2. С. 12-18.

41. Вечтомов Е.М., Лубягина Е. Н. Определяемость компактов решетками идеалов и конгруэнций полуколец непрерывных [0,1]-значных функций на них // Изв. вузов. Матем. 2012. № 1. С. 87-91.

42. Вечтомов Е.М., Лубягина Е. Н. Полукольца непрерывных [0,1]-значных функций // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17. № 4. С. 53-82.

Другие работы автора по теме диссертации

43. Шишкина Е. Н. О полукольцах непрерывных функций со значениями в единичном отрезке // Тр. Матем. центра им. Н.И.Лобачевского: Материалы Шестой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2007»: Казань, 2007. Т. 3G. С. 256-258.

44. Вечтомов Е. М., Шишкина Е. Н. Полукольца непрерывных [0,1]-значных функций // Международная научная конференция. Тамбов: Тамбовский гос. ун-т, 2008. С. 27-30.

45. Лубягина Е. Н. Полукольца непрерывных функций со значениями в единичном отрезке // Международная конференция «Мальцевские чтения»: Новосибирск, 2009. С. 127.

46. Лубягина Е. Н. Максимальные идеалы в полукольцах непрерывных функций со значениями в единичном отрезке // Тр. Матем. центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы Девятой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2010»: Казань, 2010. Т. 40. С. 206211.

47. Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н. О решетке идеалов полуколец непрерывных [0,1]-значиых функций над компактами // VIII Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», посвященная 190-летию П.Л. Чебышева и 120-летию И.М. Виноградова. Саратов: СГУ, 2011. С. 14-15.

48. Лубягина Е. Н. Определяемость компактов решеткой конгруэнций полуколец непрерывных [0,1]-значных функций на них //Алгебра и математическая логика: материалы Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В. В. Морозова. Казань: КФУ, 2011. С. 126-128.

49. Вечтомов Е.М., Лубягина E.H. Решетки непрерывных функций со значениями в единичном отрезке // Вестник Сыктывкарского ун-та. Сер. 1: Матем. Мех. Инф. 2011. № 14. С. 3-20.

50. Лубягина E.H. Замкнутые идеалы и замкнутые конгруэнции полуколец СР(Х, I) // Современные проблемы математики: тезисы Междуна-

родной (43-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2012. С. 52-54.

51. Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н. О полукольцах sc-функций // Вестник Сыктывкарского ун-та. Сер. 1: Матем. Мех. Инф. 2012. № 15. С. 73-82.

52. Vechtomov Е. М., Lybiagina Е. N. On a duality for continuous semirings [0,1]-valued functions // International Mathematical Conferenceon occasion 70th anniversary of Professor Vladimir V. Kirichenko. Mykolaiv. 2012. P. 173.

53. Vechtomov E.M., Lybiagina E.N. Semirings of sc-functions // Book of abstracts of the International Conference on Algebra dedicated to 100th anniversary of S.M. Chernikov. Kiev, 2012. C. 166.

Подписано в печать 27.09.2012 г. Формат 60 х 84 Vie. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,12. Тираж 100 экз. Заказ № 260

Издательство Вятского государственного гуманитарного университета, 610002, г. Киров, ул. Красноармейская, 26

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Предварительные сведения

1.1 Коммутативные полукольца.

1.2 с-пол у кольца

1.3 Полукольца С(Х, I)

ГЛАВА 2. Идеалы полуколец С(Х, I)

2.1 Чистые идеалы.

2.2 Простые идеалы

2.3 Характеризация свойств компактов

2.4 Решетка идеалов.

ГЛАВА 3. Конгруэнции и гомоморфизмы полуколец С{Х,Т)

3.1 Конгруэнции и решетка конгруэнций.

3.2 Гомоморфизмы.

ГЛАВА 4. Полукольца СР(Х,Х) с топологией поточечной сходимости

4.1 Замкнутые идеалы топологического полукольца СР(Х, I).

4.2 Замкнутые конгруэнции топологического полукольца СР(Х, I)

4.3 Двойственность.

1. Биркгоф Г. Теория решеток. М. : Наука, 1984. 568 с.

2. Варанкина В. И. Максимальные идеалы в полукольцах непрерывных функций // Фундам. и прикл. математика. 1995. Т. 1. № 4. С. 923-937.

3. Варанкина В. И. Максимальные идеалы и делимость в полукольцах непрерывных функций: дис. . канд. физ.-матем. наук Киров, 1996. 91 с.

4. Варанкина В. И., Вечтомов Е. М., Семенова И. А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы,конгруэнции // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. Т. 4. Вып. 2. С. 493-510.

5. Вечтомов Е. М. Изоморфизмы мультипликативных полугрупп колец непрерывных функций // Сибирский математический журнал. 1978. Т. 19. № 4. С. 759-771.

6. Вечтомов Е. М. Дистрибутивные кольца непрерывных функций и Е-пространства // Математические заметки. 1983. Т. 34. № 3. С. 321-332.

7. Вечтомов Е. М. Определяемость .^-компактных пространств частично упорядоченными множествами идеалов колец непрерывных функций // Абе-левы группы и модули. Томск, 1988. № 7. С. 20-30.

8. Вечтомов Е. М. Вопросы определяемости топологических пространств алгебраическими системами непрерывных функций // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. 1990. Т. 28. С. 3-46.

9. Вечтомов Е. М. Кольца непрерывных функций. Алгебраические аспекты // Итоги науки и техники ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. М.: ВИНИТИ, 1991. Т. 29. С. 119-191.

10. Вечтомов Е. М. Кольца непрерывных функций на топологических пространствах. Избранные темы. М. : МПГУ, 1992. 121 с.

11. Вечтомов Е. М. Функциональные представления колец. М. : МПГУ, 1993. 191 с.

12. Вечтомов Е. М Введение в полукольца: Пособие для студентов и аспирантов. Киров: ВГПУ, 2000. 44 с.

13. Вечтомов Е. М. Полукольца непрерывных отображений // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. 2004. № 10. С. 5764.

14. Вечтомов Е. М., Михалев А. В., Чермных В. В. Абелево-регулярные положительные полукольца // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1997. Т. 20. С. 282-309.

15. Вечтомов Е. М., Сидоров В. В., Чупраков Д. В. Полукольца непрерывных функций: монография. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2011. 312 с.

16. Вечтомов Е. М., Чупраков Д. В. Псевдодополнения в решетке конгру-энций полуколец непрерывных функций // Вестник Сывтывкарского ун-та. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. 2009. № 9. С. 3-17.

17. Гельфанд И.М., Колмогоров А. П. О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах // Доклады АН СССР. 1939 Т. 22. № 1. С. 11-15.

18. Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982. 456 с.

19. Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Наука, 1994. 142 с.

20. Подлевских М. Н. Полукольца непрерывных функций с топологией поточечной сходимости: дис. . канд. физ.-матем. наук. Киров, 1999. 88 с.

21. Подлевских М. Н. Замкнутые конгруэнции на полукольцах непрерывных функций// Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. № 3. С. 947-952.

22. Семенова И. А. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций: дис. . канд. физ.-матем. наук. Киров, 1998. 78 с.

23. Семенова И. А. Определеяемость хьюиттовских пространств X решеткой конгруэнций непрерывных неотрицательных функций на X // ВестникВятского государственного педагогического университета. 1999. № 1. С. 2023.

24. Сидоров, В. В. Изоморфизмы решеток подалгебр, полуколец непрерывных неотрицательных функций: дис. . канд. физ.-матем. наук. Киров, 2011. 136 с.

25. Сикорский Р. Булевы алгебры. М.: Мир, 1969. 376 с.

26. Старостина, О. В. Абелево-регулярные положительные полукольца: дис. . канд. физ.-матем. наук. Киров, 2007. 90 с.

27. Чермных В. В. Полукольца. Киров, 1997. 131 с.

28. Чермных В. В. Функциональные представления полуколец: монография. Киров.: Из-во ВятГГУ, 2010. 224 с.

29. Чермных ВВ. Функциональные представления полуколец и полумодулей: дис. . д-ра физ.-матем. наук. Киров, 2007. 234 с.

30. Чупраков Д. В. Конгруэнции на полукольцах и полуполях непрерывных числовых функций: дис. . канд. физ.-матем. наук. Киров, 2010. 106 с.

31. Широков Д. В. Идеалы в полукольцах непрерывных функций: дис. . канд. физ.-матем. наук. Киров, 2005. 83 с.

32. Широков Д. В. Условия дистрибутивности решетки конгруэнций полуполя непрерывных положительных функций // Вестник ВятГГУ. 2003. № 8. С. 137-140.

33. Энгелькинг Р. Общая топология. — М. : Мир, 1986 752 с.

34. Acharyya S. К., Chattopalhyay К. S., Ray G.G. Ilemirings, congruences and the Stone-Cech compactification // Simon Stevin. 1993. T. 67. pp. 21-35.

35. Acharyya S.K., Chattopalhyay K.S., Ray G.G. Ilemirings, congruences and the Hewitt realcompactification // Bull. Belg. Math. Soc. 1995. T. 2. № 1. pp. 47-58.

36. Araujo J. Multiplicative biections of semigroups of interval-valued continuous functions // Proc. Am. Math. Soc. 2009. T. 137. pp. 171-178.

37. Artamonova 1.1., Chermnykh V. V, Mikhalev A. V., Varankina V. I., Vechtomov E. M. Semirings: sheaves and continuous functions // Semigroups with applications, including semigroup rings. Sankt-Peterburg, 1999. pp. 23-58.

38. Cabello Sánchez F., Cabello Sánchez J., Ercan Z., Onal Memorandum on multiplicative bijections and order // Semigroup Forum, 2009. V. 79. № 1, 193-209.

39. Gillman L, Henriksen M. Concerning rings of continious functions // Trans Amer. Math. Soc. 1954. V. 77. № 2. pp. 340-362.

40. Gillman L., Henriksen M. Rings of continious functions in which every finitely generated ideal is principal // Trans Amer. Math. Soc. 1956. V. 82. № 2. pp. 366-391.

41. Gillman L., Jerison M. Rings of Continuous Functions. University Series in Higher Mathematics. Princeton: Van Nostrand, 1960. Newer edition: Graduate Texts in Math. Berlin: Springer-Verlag, Vol. 43. 1976. 300 p.

42. Golan J. S. Semirings and their applications. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. 381 p.

43. Govaerts W. Representation and determination problems: a case study // Bull. Acad. Pol. sci. Ser. sci. meth., astron. Et phys. 1976. V. 24. №1. pp. 57-59.

44. Hewitt E. Rings of real-valued continuous functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1948. T. 64. № 1. pp. 45-99.

45. Kaplanskiy I. Topological rings // Amer. J. Math. 1947. V. 69. pp. 153183.

46. Marovt J. Multiplicative biections of C(X, I) // Proc. Amer. Math. Soc. 2006. V. 134. № 4. pp. 1065-1075.

47. Milgram A. N. Multiplicative semigroups of continuous functions // Duke Math. J. 1949. V. 16. № 2. pp. 377-383.

48. Nagata J. On lettice of tunctions on topological spaces and of functions on uniform spaces // Osaka Math. J. 1949. V. 1. № 2. pp. 166-181.

49. Pierce R. S Rings of integer-valued continuous functions // Trans. Amer. Math. Soc. 1961. T. 100. № 3. P. 371-394.

50. Shirota T. A generalization of a theorem of I. Kaplansky // Osaka Math. J. 1952. V. 4. pp. 121-132.

51. Slowikowski W., Zawadowsci A. A generalization of maximal ideals method of Stone and Gelfand // Fund. Math. 1955. T. 42. № 2. pp. 215-231.

52. Stone M. Applications of the theory of boolean rings to general topology // Trans. Amer. Math. Soc. 1937. T. 41. № 3. pp. 375-481.

53. Vandiver H. S. Note on a simple type of algebra in which cancellation law of addition does not hold // Bull. Amer. Math. Soc. 1954. V. 40. pp. 914-920.

54. Vechtomov E.M. Rings and sheaves // J. Math. Sciences (USA). 1995. V. 74. № 1. pp. 749-798.

55. Vechtomov E. M. Rings of continuous functions with values in topological division ring //J. Math. Sciences (USA). 1996. V. 78. № 6. pp. 702-753. Публикации автора по теме диссертациив изданиях, рекомендованных ВАК:

56. Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н. О простых идеалах полуколец непрерывных функций со значениями в единичном отрезке // Вестн. Удмуртск. ун-та. Матем. Мех. Компыот. науки. 2011. № 2. С. 12-18.

57. Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н. Определяемость компактов решетками идеалов и конгруэнций полуколец непрерывных 0,1]-значных функций на них // Изв. вузов. Матем. 2012. № 1. С. 87-91.

58. Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н. Полукольца непрерывных 0,1]-значных функций // Фундаментальная и прикладная математика. 2012. Т. 17. № 4. С. 53-82.Прочие публикации:

59. Шишкина Е. Н. О полукольцах непрерывных функций со значениями в единичном отрезке // Тр. Матем. центра им. Н.И.Лобачевского: Материалы Шестой молодежной научной школы-конференции «Лобачевские чтения -2007»: Казань, 2007. Т. 36. С. 256-258.

60. Вечтомов Е.М., Шишкина E.H. Полукольца непрерывных 0,1]-значных функций // Международная научная конференция. Тамбов: Тамбовский гос. ун-т, 2008. С. 27-30.

61. Лубягина Е. Н. Полукольца непрерывных функций со значениями в единичном отрезке // Международная конференция «Мальцевские чтения»: Новосибирск, 2009. С. 127.

62. Вечтомов Е. М., Лубягина E.H. Решетки непрерывных функций со значениями в единичном отрезке // Вестник Сыктывкарского ун-та. Сер. 1: Матем. Мех. Инф. 2011. № 14. С. 3-20

63. Лубягина Е. Н. Замкнутые идеалы и замкнутые конгруэнции полуколец СР{Х11) // Современные проблемы математики: тезисы Международной (43-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. Екатеринбург: Институт математики и механики УрО РАН, 2012. С. 52-54.

64. Вечтомов Е. М., Лубягина Е. Н. О полукольцах sc-функций // Вестник Сыктывкарского ун-та. Сер. 1: Матем. Мех. Инф. 2012. № 15. С. 73-82.

65. Vechtomov Е. М., Lybiagina Е. N. On a duality for continuous semirings 0,1]-valued functions // International Mathematical Conferenceon occasion 70th anniversary of Professor Vladimir V. Kirichenko. Mykolaiv. 2012. P. 173.