Идеалы в полукольцах непрерывных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

Глава 1 Основы теории полуколец непрерывных функций

§1 Исходные понятия теории полуколец.

§2 Полумодули.

§3 Полукольца непрерывных неотрицательных функций и их идеалы.

§4 О решетке конгруэнций на полуполе непрерывных положительных функций.

Глава 2 Свойства идеалов полуколец непрерывных неотрицательных функций

§5 Инъективные по Бэру идеалы полуколец С*(X).

§6 Чистые идеалы полуколец С?(Х).

§7 Проективные идеалы полуколец

§8 Плоские идеалы полуколец С?(Х).

§9 Характеризация топологических свойств пространств в терминах идеалов полуколец непрерывных функций на них.

Исследования, проведенные в диссертации, посвящены теории полуколец непрерывных функций - развивающемуся направлению функциональной алгебры. Рассматриваются идеалы полукольца С*(Х) всех непрерывных неотрицательных функций, заданных на произвольном топологическом пространстве X, с поточечно определенными операциями сложения и умножения функций. Изучаются свойства идеалов в полукольцах (?{Х), такие, как инъ-ективность по Бэру, проективность, чистота, плоскостность. Полукольца непрерывных функций естественно появились в рамках теории колец непрерывных функций.

Изучение колец С(Х) всех непрерывных вещественнозначных функций, определенных на топологическом пространстве X, началось в 30-е годы XX века с работ Банаха, М. Стоуна, И. М. Гельфанда и А. Н. Колмогорова. В настоящее время кольца С(Х) представляют собой классический математический объект, который достаточно хорошо изучен. Назовем известную монографию Гиллмана и Джерисона [52], книги [13, 14] и обзорные работы Е. М. Вечтомова [12, 57].

Кроме полукольца С?(X) с кольцом С(Х) тесно связано также полуполе U{X) всех положительных функций на X. Кольцо С(Х) является кольцом разностей как полукольца С&(X), так и полуполя U(X). Впервые общее определение полукольца было дано Вандивером [56] в 1934 году. Полукольца (?([X) встречаются в литературе, начиная со статьи Словиковского и Завадовского [55]. Полуполя U(X) подробно изучаются с 1995 года [7, 15, 35 -37]. Полукольцам непрерывных функций посвящен обзор [19]. См. также обзорную статью [50].

Впервые конгруэнции на полукольцах С*(Х) для тихоновского пространства X рассматривались в статьях [48, 49]. Систематическому изучению конгруэнций на (?(Х) посвящена диссертация И. А. Семеновой [36]. Описаны максимальные и предмаксимальные конгруэнции на полукольцах С*(X) и максимальные конгруэнции на полуполях U{X), даны характеризации главных и идеальных конгруэнций на полуполях U(X). Замкнутые конгруэнции на полукольцах С?(Х) и U(X) с топологией поточечной сходимости исследованы М. Н. Подлевских [27, 28]. Подалгебры в полукольцах С*{Х) и U(X) изучались в статьях [16, 31]. Идеалы полуколец С*(Х) рассмотрены в [7, 29]. Максимальным идеалам полуколец непрерывных функций со значениями в некоторых топологических полутелах посвящена диссертация В. И. Варан-киной [6].

Аналоги полуколец непрерывных функций используются (через пучковые представления) в общей теории полуколец [19, 39, 40, 41]. Теория полуколец является активно развивающимся разделом современной алгебры. Ей посвящены монографии [53, 54] и пособия [17, 41]. В работах [1, 2, 33, 34] получены интересные результаты о строении полутел. В [20] построена теория абелево-регулярных положительных полуколец, тесно связанная с полутелами. Она применяется, в частности, в [22] к изучению регулярности полуколец матриц второго порядка. Укажем также диссертации А. В. Ряттель [30] и И. И. Богданова [2] по теории полутел. Заметим, что полукольца находят применение в дискретной математике, компьютерной алгебре, топологии, идемпотентном анализе, теории оптимального управления и других разделах математики [25, 26, 53].

В диссертации решены следующие задачи.

1. Получены критерии дистрибутивности решетки конгруэнций полуполя непрерывных положительных функций.

2. Описаны инъективные по Бэру идеалы полуколец С*(Х).

3. Исследованы чистые и проективные идеалы в полукольцах непрерывных неотрицательных функций.

4. Доказана плоскостность любого полупервичного идеала полукольца

5. В терминах идеалов полуколец С*(Х) даны характеризации следующих топологических свойств пространств: экстремальная несвязность, базисная несвязность, быть F-пространством, быть Р-пространством.

В работе применяются методы и результаты теории колец и полуколец непрерывных функций [7, 52, 57], теории полуколец [53], теории решеток [21], универсальной алгебры [23] и общей топологии [4, 47]. Для исследования идеалов в полукольце непрерывных неотрицательных функций используется метод соответствий между идеалами полукольца и идеалами его кольца разностей. Эти соответствия при доказательстве многих утверждений позволяют сводить изучение идеалов полукольца C%Y) к идеалам кольца С(Х) (теоремы 5.2, 7.1, 7.3, 8.1, 9.1, 9.2, 9.3). Метод соответствий применяется при доказательстве предложений 3.4 и 3.6, теоремы 6.1. В данных случаях для идеалов полукольца С*(X) берутся соответствующие им идеалы кольца С(Х), обладающие известными свойствами, а затем полученные выводы переносятся обратно на полукольцо С*(Х).

Плодотворна также идея представления функции из кольца С(Х) в виде разности функций из полукольца С*(Х), аннулирующих друг друга. Этот прием в ряде случаев позволяет установить хорошую связь между соотношениями в кольце С(X) и полукольце С?(Х). В доказательствах некоторых результатов (теоремы 5.1, 7.2) используется комбинированный метод, сочетающий метод соответствий, результаты о С(Х) и оригинальные рассуждения.

В четвертом параграфе применяется техника главных конгруэнций, описанных в [35].

Дадим краткий обзор содержания диссертации.

Первая глава посвящена началам теории полуколец. В ней рассматриваются общие свойства полумодулей над полукольцами, исходные результаты о полукольцах C%Y), исследуется решетка конгруэнций полуполя U(X). Глава разбита на четыре параграфа.

В первом параграфе вводятся необходимые определения, излагаются известные результаты. Определяются отображения a:IdR-> IdS,

J3: IdS —»IdR, где Id S, Id R — решетки идеалов полукольца S и кольца R разностей для S соответственно, oc{J) = JnS - полустрогий идеал полукольца S, /?(/) = /-/- разностный идеал кольца R, I е Id S, J е Id R. Отображения а и Р устанавливают взаимно однозначное соответствие между решеткой всех полустрогих идеалов полукольца S и решеткой всех разностных идеалов кольца R. Здесь же рассматриваются отображения 5и /между решеткой кон-груэнций полукольца S и решеткой идеалов его кольца разностей.

Во втором параграфе исследуются свойства полумодулей над полукольцами S с 1. Определяются инъективные, инъективные по Бэру, проективные полумодули.

S-полумодуль М называется инъективным, если для любых S-полумодуля А, его подполумодуля В и 5-полумодульного гомоморфизма а: В —» М существует 5"-полумодульный гомоморфизм а: А М, продолжающий а (то есть а = а на В).

5-полумодуль М называется инъективным по Бэру, если для любого правого идеала / полукольца S и для произвольного б'-полумодульного гомоморфизма а: I-> М, существуетб'-полумодульный гомоморфизм a: М, продолжающий а.

5-полумодуль М называется проективным, если для любых S-полумодулей А и В, любого 5"-эпиморфизма п\ В —> А и любого S-гомоморфизма а:М->А, найдется .S-гомоморфизм р-.М-ьВ, такой, что ж° /3 = а.

Эти определения аналогичны соответствующим определениям инъек-тивных и проективных модулей над кольцами с 1. Известно, что понятия инъективного модуля над кольцом и инъективного по Бэру модуля равносильны (критерий Бэра). Проективные и инъективные полумодули изучаются в книге Голана [52], но определение проективного полумодуля Голан дает несколько другое, с излишним дополнительным условием.

Критерии проективных полумодулей отражены в следующем предложении.

Предложение 2.4 .Для S-полумодуля М эквивалентны условия:

1) М проективен;

2) Мявляется ретрактом свободного S-полумодуля;

3) Мобладает проективным базисом.

Определение 2.1. Я-полумодуль М называется плоским, если для любых натурального числа т, элементов а,,.,дтеМ и элементов т т е S равенство ^atst = влечет существование таких на

1 ;=1 турального числа п, элементов Ь1,.,ЬпеМ и элементов s.eS для всех iel,m и j е\,п, что выполняются равенства at = при всех / е 1,/и и

7=1 т т svsi = Z st/i при всех J е «•

1 1=1

Определение 2.2. Подполумодуль М .S-полумодуля iV называется чмс-диьш, если для любых натуральных чисел тип, элементов п al,.,ameM, bx,.,bn еN, s^eS, iel,m, у el,и, равенства ai=^bJs4 (для

7-1 всех iel,m) влекут существование таких элементов b[,.,b'n еМ, что выполп няются равенства а, = ]Г b'jsij (для всех i е 1, т ).

7=1

Понятия плоского полумодуля и чистого подполумодуля определяются в терминах конечных семейств равенств. В случае модулей над кольцом они эквивалентны обычным понятиям плоскостности и чистоты, определяемым через тензорное произведение.

Предложение 2.5. Любой проективный S-полумодуль является плоским.

Правый идеал / полукольца S называется чистым, если он является чистым подполумодулем 5-полумодуля S. Чистый идеал полукольца может быть охарактеризован более простым условием: идеал /полукольца S является чистым тогда и только тогда, когда \/а, b е I Зе е I {а = еа, Ь = еЪ) (предложение 2.6).

Третий параграф посвящен исходным понятиям и результатам о полукольцах X) непрерывных неотрицательных функций, определенным на топологическом пространстве X, и их идеалам. Здесь же рассматривается кольцо С(Х) всех непрерывных действительнозначных функций наХ, которое часто используется в рассуждениях как кольцо разностей полукольца (У"(X).

Пространство Xназывается тихоновским, если любое его одноточечное множество замкнуто и для произвольных замкнутого множества В пространства X и точки х е Х\ В найдется функция /е С*(Х) с условиями fix) = 1, J{B)- {0}. Для каждого пространства X существует такое тихоновское пространство тХ, что полукольца С+(Х) и С+(тХ) канонически изоморфны. В силу этого факта в дальнейшем при необходимости пространство X будем считать тихоновским.

Предложение 3.1. Для любого идеала I полукольца С+(Х) равносильны условия:

1) I— полупервичный идеал;

2)1— строго идемпотентный идеал;

3)1— идемпотентный идеал.

Характеризации прямых слагаемых и аннуляторных идеалов дают предложения 3.2 и 3.3. Каждому множеству Ас^ сопоставляется идеал МА = {fe С*(Х) | В с Z(/)} полукольца С(Х).

Предложение 3.2. Для любого идеала I полукольца С+(Х) следующие условия эквивалентны:

1) I выделяется прямым слагаемым;

2)1 = еС+(X), где е — идемпотент полукольца С+(Х);

3)1 = Мд, где А — открыто-замкнутое множество в X.

Предложение 3.3. Пусть пространство X тихоновское. Тогда аннуля-торные идеалы полукольца С*(Х) — это в точности идеалы Мв для канонически замкнутых множеств В с X.

На основе свойств отображений а и fi между решетками идеалов Id С*(Х) и Id С(Х) доказываются следующие два утверждения.

Предложение 3.4. Простыми {максимальными) идеалами полукольца С*{Х) являются в точности идеалы Р п С*(Х) для различных простых (максимальных) идеалов Р кольца С(Х).

Из этого предложения в силу классической теоремы Гельфанда-Колмогорова [52, теорема 7.3] о строении максимальных идеалов колец С(Х) получаем ее аналог:

Предложение 3.5. Для любого тихоновского пространства X максимальные идеалы полукольца С+(Х) совпадают с идеалами вида

М" = {/ е С+ (X): р е Щ)^}, р е fix.

Здесь fiX - стоун-чеховская компактификация тихоновского пространства X.

Предложение 3.6. Любой простой идеал полукольца С+(Х) лежит в единственном максимальном идеале.

Четвертый параграф посвящен решетке Con U(X) конгруэнций полуполя U(X) непрерывных положительных функций.

Топологическое пространство X называется F-пространством, если каждый конечно-порожденный идеал кольца С(Х) является главным. Такое определение впервые было дано Гиллманом и Хенриксоном в 1956 году. Основы теории F-пространств изложены в [52]. В настоящее время имеется множество различных характеризаций F-пространств [52, 11, 13, 57]. В этом параграфе получены новые характеризации F-пространств.

Предложение 4.2. Для любого топологического пространства X равносильны утверждения:

1) Х- F-пространство;

2) для любой функции а е U(X) главные конгруэнции на U(X), порожденные парами (я,1) и (a v а~х, 1), совпадают',

3) для любой функции а е U(X) главная конгруэнция на U{X), порожденная парой (а,1), содержит пару (ova"1, 1).

Условие дистрибутивности решетки конгруэнций полуполя U(X) дает

Теорема 4.1. Для дистрибутивности решетки Con U(X) необходимо и достаточно, чтобы пространство Xявлялось F-пространством.

Следствием теоремы является новое доказательство следующего результата, впервые доказанного Е. М. Вечтомовым [11]: если X является F-пространством, то решетка идеалов кольца С(Х) дистрибутивна.

Вторая глава посвящена исследованию свойств идеалов в С+(X) и состоит из пяти параграфов (нумерация параграфов продолжает нумерацию, начатую в первой главе).

В пятом параграфе исследуются инъективные по Бэру идеалы полуколец Сf(X). Идеал полукольца S называется инъективным по Бэру (инъектив-ным), если он является инъективным по Бэру (инъективным) S-полумодулем.

Предложение 5.1. В полукольце С+(Х) нет ненулевых инъективных идеалов.

На основе предложения 3.2 легко получается

Предложение 5.2. Любой инъективный по Бэру идеал полукольца С+(Х) выделяется прямым слагаемым.

Важное значение имеет теорема 5.1, которая дает функционально-топологические условия самоинъективности по Бэру полукольца С+{Х). Полукольцо S называется самоинъективным по Бэру, если б'-полумодуль S инъ-ективен по Бэру.

Топологическое пространство X называется экстремально несвязным, если замыкание каждого его открытого множества открыто. Пространство X называется с-пространством, если пересечение произвольного семейства его открытых множеств, мощность которого не превосходит мощности континуума, открыто.

Теорема 5.1. Пусть X— тихоновское пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) полукольцо С+(Х) самоинъективно по Бэру;

2) полумодуль С(Х) над С+(Х) инъективен по Бэру;

3) любое открытое в Xмножество С+-расширяемо;

4) X— экстремально несвязное с-пространство.

Из этой теоремы, предложения 5.2 и лемм 3.5, 5.2 вытекает

Теорема 5.2. Пусть Х - тихоновское пространство. Тогда идеал I полукольца С(Х) инъективен по Бэру тогда и только тогда, когда I = Мд, где А - открыто-замкнутое множество в X, а Х\ А — экстремально несвязное с-пространство.

В следующем предложении изложены условия инъективности по Бэру С+(Х)-полумодуля (R+)x всех неотрицательных функций на X.

Предложение 5.3. Пусть X— тихоновское пространство. Тогда равносильны следующие условия:

1) С (Х)-полумодуль (R ) инъективен по Бэру;

2) полукольцо С+(Х) регулярно;

3) Xявляется Р-пространством.

Хаусдорфово пространство называется Р-пространством, если пересечение любого счетного семейства его открытых множеств открыто. Р-пространства введены Гиллманом и Хенриксоном в 1954 году.

Параграф 6 посвящен описанию чистых идеалов полукольца С+(Х). В полукольце С1"0Y) чистота идеала /равносильна наличию локальной единицы у каждого элемента из I.

Предложение 6.1. Для любого идеала I полукольца С*{Х) равносильны условия:

1)1-чистый]

2) V/e/3ee/(/ = e/);

3)VfeI3eeI,e<l(f = ef);

4) V/ е / (/ + Ann f = С+(Х)).

Простейшие свойства чистых идеалов в С*(X) сформулированы в следующих двух предложениях. Идеал / полукольца S называется строгим (по-лустрогим), если для каждых элементов a, b е S имеет место соотношение: a + bel=>a,bel (a + be.1 и ael=>bel).

Предложение 6.2. Любой чистый идеал полукольца С+(Х) строгий.

Предложение 6.3. Полустрогий идеал I полукольца С*(Х) чист тогда и только тогда, когда разностный идеал J = I—I кольца С(Х) чист.

Определим идеал Ов = j/- е С* (X): В с (z(/)^ )°} полукольца С+(Х). На основе соответствий а, /? между решетками Id С*{X) и Id С{Х) и предложения 6.3 доказывается теорема 6.1, которая дает полное описание чистых идеалов в С+(Х).

Теорема 6.1. Чистые идеалы полукольца С*(Х) — это в точности идеалы Ов для замкнутых множеств В с J3X. Если идеал I чистый, то I = О8'.

Идеал полукольца, порожденный некоторым множеством дополняемых идемпотентов данного полукольца, называется регулярным.

Предложение 6.4. Регулярные идеалы полукольца - это в точности чистые идеалы Ов, где В — пересечение открыто-замкнутых множеств из J3X.

В седьмом параграфе исследуются проективные идеалы полуколец непрерывных неотрицательных функций.

Предложение 7.3. Главный идеал fC*(X) полукольца (^(Х) проективен тогда и только тогда, когда внутренность нуль-множества функции f открыто-замкнута.

Если / - идеал кольца С+(Х), то подпространство РХ\ 51 пространства РХназывается спектром идеала/, где где SI = f]Z(f)px . е/

Теорема 7.1. Чистый идеал I полукольца С^(Х) проективен тогда и только тогда, когда его спектр паракомпактен.

Доказательство теоремы 7.1 проводится по аналогии с доказательством соответствующей теоремы для идеалов кольца С (X). На основе этой теоремы и с помощью связей между идеалами полукольца С*{X) и кольца С(Х) доказывается

Теорема 7.2. Идеал Мв полукольца С*(Х) проективен тогда и только тогда, когда он выделяется прямым слагаемым в Сf(X).

Проективность простого идеала характеризует

Теорема 7.3. Простой идеал Р полукольца С+(Х) проективен тогда и только тогда, когда Р — максимальный идеал, порожденный идемпотентом, то есть в случае тихоновского пространства X идеал Р имеет вид Мх для некоторой изолированной точки х е X.

Доказательство теоремы 7.3 также проводится по аналогии с соответствующим доказательством для кольца С(Х) и опирается на теоремы 6.1, 7.2, предложение 3.6 и аналог теоремы Гельфанда-Колмогорова для полукольца С(X) (предложение 3.5).

В восьмом параграфе рассмотрены плоские идеалы полукольца С+(Х). Описаны главные плоские идеалы fC+(X) в терминах аннуляторов Annf. Доказана плоскостность всякого полупервичного идеала полукольца С+(Х).

Предложение 8.1. Главный идеал /С*(Х) полукольца С*(Х) является плоским тогда и только тогда, когда аннулятор функции f является чистым идеалом.

Теорема 8.1. Всякий полупервичный идеал полукольца С*(Х) является плоским.

Девятый параграф посвящен установлению связей между некоторыми свойствами топологических пространств X и свойствами идеалов полуколец С?{Х). С помощью предложения 8.1 доказывается

Теорема 9.1. Следующие условия эквивалентны:

1) Все идеалы полукольца С?(X) плоские.

2) Все главные идеалы полукольца С*(Х) плоские.

3) X— F-пространство.

Предложение 9.1. Пространство X является Р-пространством тогда и только тогда, когда каждый главный идеал полукольца С*(X) чист.

Топологическое пространство X называется базисно несвязным, если внутренность любого его нуль-множества открыто-замкнута. На основе предложений 3.2, 3.3 и 7.3 выводится

Теорема 9.2. Следующие условия эквивалентны:

1) Все главные идеалы полукольца С?(X) проективны.

2) Все аннуляторные идеалы полукольца С^(Х) чисты.

3) Аннулятор произвольной функции из С*(Х) выделяется прямым слагаемым.

4) Пространство X базисно несвязно.

Из теоремы 7.2 и предложений 3.2, 3.3 вытекает

Теорема 9.3. Следующие условия эквивалентны:

1) Каждый аннуляторный идеалы полукольца С*(Х) проективен.

2) Каждый аннуляторный идеал полукольца С?(Х) выделяется прямым слагаемым.

3) Пространство Xэкстремально несвязно.

Результаты диссертационного исследования докладывались на Международной алгебраической конференции в МГУ в 2004 году, на семинаре кафедры алгебры в Mill У в 2005 году (руководитель семинара профессор

А. А. Фомин) и регулярно на научном алгебраическом семинаре в ВятГТУ (2002 - 2005 годы).

За постановку задач и внимание к работе автор искренне благодарен своему научному руководителю профессору Е. М. Вечтомову. За полезные обсуждения и высказанные замечания автор признателен профессорам А. В. Михалеву и А. А. Фомину, доцентам В. В. Чермных, В. И. Варанкиной, С. Н. Ильину, М. Н. Подлевских, Е. Е. Ширшовой.

1. Богданов И. И. Об аддитивной структуре полутел // Вестн. Моск. унта. Сер. 1, Математика. Механика. - 2004. - №1. - С. 48-50.

2. Богданов И. И. Полиномиальные соотношения в полукольцах: Дис. . канд. физ-матем. наук. М.: Мехмат МГУ, 2004.

3. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. М.: Мир, 1971.

4. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука,1968.t

5. Варанкина В. И. Максимальные идеалы в полукольцах непрерывных функций // Фундам. и прикл. матем. 1995. - Т. 1. № 4. - С. 923-937.

6. Варанкина В. И. Максимальные идеалы и делимость в полукольцах непрерывных функций : Дис. . канд. физ.-матем. наук. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1996.

7. Варанкина В. И., Вечтомов Е. М., Семенова И. А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции // Фундам. и прикл. матем. 1998. - Т. 4. № 2. - С. 493-510.

8. Вечтомов Е. М. О проективных и инъективных идеалах колец непрерывных функций // Абелевы группы и модули. Томск, 1980. - С. 19-30.

9. Вечтомов Е. М. О модуле всех функций над кольцом непрерывных функций // Мат. заметки. 1980. - Т. 28, № 4. - С. 481-490.

10. Вечтомов Е. М. Об идеалах колец непрерывных функций // Изв. вузов. Математика. 1981. -№ 1. - С. 3-10.

11. Вечтомов Е. М. Дистрибутивные кольца непрерывных функций и ^-пространства // Матем. заметки. 1983. - Т. 34, № 3. - С. 321-332.

12. Вечтомов Е. М. Кольца непрерывных функций. Алгебраические аспекты // Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. -1991.-29.-С. 119-191.

13. Вечтомов Е. М. Кольца непрерывных функций на топологических пространствах. Избранные темы. М.: МПГУ им. Ленина, 1992.

14. Вечтомов Е. М. Функциональные представления колец. М.: МПГУ им. Ленина, 1993.

15. Вечтомов Е. М. О конгруэнциях на полутелах // Проблемы алгебры и кибернетики. Материалы межд. конф., поев, памяти акад. С. А. Чунихина. -Гомель: гос. ун-т, 1995. С. 38-39.

16. Вечтомов Е. М. Один класс максимальных подалгебр полуколец непрерывных функций // Вестник Вятского госпедуниверситета. Серия ес-теств. наук. Вып. 3. Матем., инф., физ. 1997. - С. 7-10.

17. Вечтомов Е. М. Введение в полукольца: Пособие для студентов и аспирантов. Киров: Изд-во Вятского гос. пед. ун-та, 2000.

18. Вечтомов Е. М. Две общие структурные теоремы о полумодулях // Абелевы группы и модули. Томск: Изд-во Томского гос. ун-та, 2000. - Вып. 15.-С. 17-23.

19. Вечтомов Е. М. Полукольца непрерывных отображений // Вестник ВятГГУ. 2004, №Ю. - С. 57-64.

20. Вечтомов Е. М., Михалев А. В., Чермных В. В. Абелево-регулярные положительные полукольца // Труды семинара им. Петровского. 2000. — Т. 20.-С. 282-309.

21. Гретцер Г. Общая теория решеток. М.: Мир, 1982.

22. Ильин С. Н. Критерий регулярности полных матричных полуколец // Матем. заметки. 2001. - Т. 70, № 3. - С. 366-374.

23. Кон П. Универсальная алгебра. М.: Мир, 1968.

24. Ламбек И. Кольца и модули. М.: Мир, 1971.

25. Литвинов Г. Л., Маслов В. П., Шпиз Г. Б. Линейные функционалы на идемпотентных пространствах. Алгебраический подход // Докл. РАН. -1998.-Т. 363.-С. 298-300.

26. Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. М.: Наука, 1994.

27. Подлевских М. Н. Замкнутые конгруэнции на полукольцах непрерывных функций // Фундам. и прикл. матем. 1999. - Т. 5, №3. - С. 947-952.

28. Подлевских М. Н. Полукольца непрерывных функций с топологией поточечной сходимости: Дис. . канд. физ.-матем. наук. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1999.

29. Подлевских М. Н. Конгруэнции и идеалы в полукольцах непрерывных функций // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. — 2000. — Вып. 2. С. 70-74.

30. Ряттель А. В. Положительно упорядоченные полутела: Дис. . канд. физ.-матем. наук. Киров: ВятГГУ, 2002.

31. Семенов А. Н. О подалгебрах полуколец непрерывных функций // Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона 1998. - Вып. 1. - С. 83-90.

32. Семенов А. Н. О подалгебрах полуколец непрерывных функций // Тезисы докл. Международной алгебр, конф. памяти А. Г. Куроша. — М.: Изд-во МГУ.-С. 208-209.

33. Семенов А. Н. О строении полутел // Вестник ВятГТУ. 2003, №8. -С. 105-107.

34. Семенов А. Н. О решетке конгруэнций полутел // Вестник ВятГГУ. -2003,№9.-С. 92-95.

35. Семенова И. А. Главные конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций // Вестник Вятского госпедуниверситета. Серия ес-теств. наук. Вып. 1. Матем., инф., физ. 1996. - С. 14-16.

36. Семенова И. А. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций: Дис. . канд. физ.-матем. наук. Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1998.

37. Семенова И. А. Максимальные конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций // Фундам. и прикл. матем. — 2000. — Т. 6, №1.-С. 305-310.

38. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. Т. 1 М.: Мир, 1977.

39. Чермных В. В. Пучковые представления полуколец: Дис. . канд. физ.-матем. наук. М.: Mill У, 1993.

40. Чермных В. В. О полноте пучковых представлений полуколец // Фундам. и прикл. матем. 1996. - Т. 2, №1. - С. 167-177.

41. Чермных В. В. Полукольца. Киров: Изд-во Вят. гос. пед. ун-та,1997.

42. Широков Д. В. Условия дистрибутивности решетки конгруэнций полуполя непрерывных положительных функций // Вестник ВятГТУ. 2003. - № 8. - С. 137-140.

43. Широков Д. В. Критерий дистрибутивности решетки конгруэнций полуполя непрерывных положительных функций // Тезисы докл. Международной алгебр, конф., посвящ. 250-летию Моск. ун-та. М.: Изд-во МГУ, 2004.-С. 141-142.

44. Широков Д. В. Инъективность по Бэру для полуколец непрерывных неотрицательных функций // Матем. вестник педвузов и ун-тов Волго-Вятского региона. 2005. - Вып. 7. - С. 94-104.

45. Широков Д. В. Идеалы полуколец непрерывных неотрицательных функций: чистота и проективность // Вестник ВятГГУ. 2005. - № 12. - С. 201-210.

46. Широков Д. В. Свойства идеалов полуколец непрерывных неотрицательных функций // Тезисы докл. Международной алгебр, конф.: К 100-летию со дня рожд. П. Г. Конторовича и 70-летию со дня рожд. Л. Н. Шеврина. Екатеринбург: Изд-во УрГУ, 2005. - С. 118-120.

47. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986.

48. Achaaryya S. К., Chattopadhyay К. S., Ray G. G. Hemirings. congruences and the Stone-Cech compactification // Simon Stevin. 1993. - V. 67, Suppl.-P. 21-35.

49. Achaaryya S. К., Chattopadhyay К. S., Ray G. G. Hemirings. congruences and the Hewitt realcompactiflcation // Bull. Belg. Math. Soc. 1995. - V. 2, №1. - P. 47-58.

50. Artamonova 1.1., Chermnykh V. V., Mikhalev A. V., Varancina V. I., Vechtomov E. M. Semiring: sheaves and continuous functions // Semigroups with applications, including semigroup rings. Sanct-Peterburg, 1999. - P. 23-58.

51. Brokshear J. G. On projective prime ideals in C(X) II Proc. Amer. Math. Soc. 1978. - V. 69, №1. - P. 203-204.

52. Gilman L., Jerison M. Rings of continuous functions. N. J.: Springer-Verlag, 1976.

53. Golan J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science. Longman scientific and technical. Harlow, 1992.

54. Hebisch U., Weinert H. J. Semirings. Algebraic theory and applications in computer science. World Scientific. Singapore, 1998.

55. Slowikowski W., Zawadowscki A. A generalization of maximal ideals method of Stone and Gelfand // Fund. Math. 1955. V. 42, №2. - P. 215-231.

56. Vandiver H. S. Note on a simple type of algebra in which cancellation law of addition does not hold // Bull. Amer. Math. Soc. 1934 - V. 40. - P. 914920.

57. Vechtomov E. M. Rings of continuous functions with values in topological division ring // J. Math. Sciences (USA). 1996. - V. 78, №6. - P. 702-753.