Пирсовские слои и цепи полуколец тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

¡/Лсу-

На правах рукописи

Марков Роман Владимирович

ПИРСОВСКИЕ СЛОИ И ЦЕПИ ПОЛУКОЛЕЦ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

г 7 т 2015

005569515

Екатеринбург 2015 г.

005569515

Работа выполнена на кафедре фундаментальной и компьютерной математики ФГБОУ ВПО «Вятский государственный гуманитарный университет»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, доцент

Чермных Василий Владимирович

Официальные оппоненты: Кожухов Игорь Борисович,

доктор физико-математических наук, профессор, ФГАОУ ВПО «Национальный исследовательский университет «Московский институт электронной техники»

Ильин Сергей Николаевич,

кандидат физико-математических наук, доцент, ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет»

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова»

Защита диссертации состоится 02 июля 2015 г. в И : 30 часов на заседании диссертационного совета Д 004.006.03 на базе ИММ УрО РАН по адресу: 620990, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ УрО РАН и на сайте http://www.imm.uran.ru/.

Автореферат разослан « мая 2015 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 004.006.03, к.ф.-м.н.

Белоусов Иван Николаеви

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию полуколец и полумодулей над полукольцами методами функциональных представлений. Исследование ведется следующим образом. Выделяется класс полуколец с богатой булевой алгеброй центральных дополняемых идемпотентов. Для таких полуколец существует нетривиальный пирсовский пучок. Устанавливается связь исследуемого полукольца с его пирсовскими слоями. Пирсов-ские слои полуколец могут иметь достаточный набор центральных дополняемых идемпотентов, что позволяет перейти к рассмотрению пирсовских слоев пирсовского слоя. На этой идее строится конструкция пирсовской цепи кон-груэнций на полукольце, которая применяется для исследования исходного полукольца.

Рассмотрим два источника (и две составляющие) диссертационного исследования — теорию пучковых представлений алгебр и теорию полуколец.

Пучки используются в математике с 1945 года, когда их открыл Ж. Лере. Усилиями прежде всего А. Гротендика и участников его семинара пучки становятся важным инструментом алгебраической топологии. Интересующие нас применения пучков для исследований алгебраических систем появились сначала в монографии Р. Годемана1 в 1958, а затем в работе опять же Гротендика2. Именно с именем последнего связано первое (1960 г.) изоморфное функциональное представление коммутативного кольца с единицей сечениями пучка.

С точки зрения пучковых представлений пучок можно понимать, во-первых, как обобщение конструкции алгебры С(Х) непрерывных функций на топологическом пространстве. Отличительной особенностью пучка (Р, X) является то, что функции принимают значения не в одном объекте, а в различных алгебрах для различных точек из X. Во-вторых, пучковое представление алгебры А (более точно, факторное представление) можно понимать как подпрямое произведение алгебр Ах той же сигнатуры, что и у А, индексированных точками некоторого топологического пространства. На дизъюнктном объединении Ах вводится топология, естественным образом связанная с топологией на X и «связывающая» алгебры Ах в пучок.

Вслед за представлением Гротендика были построены другие пучковые конструкции и получены изоморфные представления алгебр. Отметим

lGodement R. Topologie Algebriqui et Theorie des Faisceaux. — Publ. Inst. Math. Univ Strabourg, 13, Paris: Hermam, 1958.

2Grothendieck A., Dieudonne J. Elements de Geometrie Algebrique 1. — Paris, I.H.E.S., 1960.

3

некоторые наиболее важные результаты и их авторов. И. Ламбек3 построил пучок (1966 г.), в коммутативном случае сопадающем с ограничением пучка Гротендика, а позже4 обобщил его для симметрических колец и модулей. В 1966 г. И. Дауне и К. Хофманн5 дали изоморфное представление бире-гулярного кольца не обязательно с единицей. Серия работ была связана с представлениями строго гармонических и гельфандовых колец (Кох6, Мал-ви7, Хоффман8, Симмонс9). Большое число работ по этой тематике привело в конце 80-годов к появлению общих пучковых конструкций (компактность представлений, их полнота и др.), выявлению связей между различными функциональными представлениями, и, как следствие, оформлению теории пучковых представлений (колец). Серия результатов по представлениям были получены для ограниченных дистрибутивных решеток, почти-колец, решеточно упорядоченных групп и колец, универсальных алгебр10,11,12.

Наиболее важным представлением для наших исследований является представление, связанное с именем Пирса. В фундаментальной работе13 Р. С. Пирсом построены пучки колец и модулей на стоуновском пространстве кольца. Любое кольцо с 1 изоморфно кольцу сечений своего пирсовско-го пучка, но нетривиальные представления получаются только для колец с «большой» булевой алгеброй центральных идемпотентов. При изучении таких колец (регулярных, бирегулярных, заменяемых и пр.) хорошо зарекомендовали себя методы с использованием свойств их пирсовских пучков14,15. К

3Ламбек И. Кольца и модули — М. Мир, 1971 (издание на англ. языке — 1966)

4Lambek J. On representation of modules by sheaves of factor modules // Can. Math. Bull. — 1971. — Vol. 14. - Pp. 359-368.

5Dauns J., Hofmann K.H. The representation of biregular rings by sheaves // Math. Z. — 1966. — Vol. 91.

— Pp. 103-123.

6Koh K. On a representation strongly harmonic ring by sheaves // Pacif. J. Math. — 1972. — Vol. 41, no. 2.

— Pp. 459-468.

7Mulvey C.J. A generalization of Gelfand duality. // J. Algebra. — 1979. - Vol. 56, no. 2. - Pp. 499-505. 'Hofmann K.H. Representations of algebras by continuons sections. // Bull. Amer. Math. Soc. — 1972. —

Vol. 78, do. 3. - Pp. 291-373.

9Simmons H. Sheaf representation of strongly harmonic rings. // Proc. Roy. Soc. Edinburg. — 1985. — Vol.

A99, no. 3-4. — Pp. 249-268.

10Keimel K. The representation of lattice ordered groups and rings by sections in sheaves // Lect. Notes

Math. - 1971. - Vol. 248. - Pp. 2-96.

"Szeto G. The sheaf representation of near-rings and its applications //Comm. Algebra. — 1977. — Vol. 5.

— Pp. 773-782.

12Georgescu G. Pierce representations of distributive lattices // Kobe J. Math. — 1993. — Vol. 10. — Pp. 1-11.

13Pierce R.S. Modules over commutative regular rings // Mem. Amer. Math. Soc. — 1967. — Vol. 70. — Pp. 1-112.

"Burgess W.D., Stephenson W. An analogue of the Pierce sheaf for non-commutative rings // Comm. Algebra. - 1978. - Vol. 6. - Pp. 863-886.

I5Comer S.D. Representation by algebras of sections over Boolean spaces // Pacific. Math. — 1971. — Vol. 38. - Pp. 29-38.

примеру, в работе Д. В. Тюкавкина16 пирсовский пучок используется при изучении регулярных колец с инволюцией.

Дальнейшее изучение пирсовского пучка и его применения осуществлено в работах В. Д. Беджесса и В. Стефенсона17'18, в которых они ввели понятие пирсовской цепи. Идея этой конструкции следующая: центральным идемпотентам кольца при пирсовском представлении соответствуют глобальные сечения, принимающие в каждом слое пирсовского пучка значение либо 0, либо 1. Однако, в слоях могут быть нетривиальные наборы центральных идемпотентов, и, следовательно, возможно содержательное пирсовское представление слоев. Эта процедура «построения пирсовских слоев для ранее построенных пирсовских слоев» и приводит к пирсовской цепи идеалов. Авторами даются некоторые приложения этой конструкции.

На русском языке основы теории пучковых представлений колец изложены в монографии Е. М. Вечтомова19; элементы теории пирсовских цепей колец — в монографии А. А. Туганбаева20.

Главным объектом диссертации является полукольцо, именно для полуколец в данной работе строится пирсовское представление, исследуются и применяются их пирсовские слои и пирсовские цепи.

Под полукольцом будем понимать алгебраическую систему, отличающуюся от ассоциативного кольца с 1, возможно, необратимостью операции сложения.

Впервые термин полукольцо возник в работе Г. С. Вандивера21 в 1934 г., однако, фактически полукольца использовались с конца XIX века в вопросах аксиоматики натуральных и неотрицательных рациональных чисел.

С конца 80-х годов XX века повышенное внимание к полукольцам обуславливалось, помимо внутренних потребностей теории, многочисленными приложениями полуколец в других областях, таких как теория автоматов, оптимального управления, формальных языков, графов и некоторых дру-

16Тюхавкин Д.В. Пирсовские пучки для колец с инволюцией — М.: МГУ, 1982. — 64 с. — Деп. ВИНИТИ, Jft 3446-82 Деп.

17Burgess W.D., Stephenson W. Pierce sheaves of non-commutative rings // Comm. Algebra. — 1976. — Vol. 39. - Pp. 512-526.

18Burgess W.D., Stephenson W. Rings all of whose Pierce stalks are local // Canad. Math. Bull. — 1979. —

Vol. 22. - Pp. 159-164.

19Вечтомов E.M. Функциональные представления колец. — M.: Изд-во МПГУ, 1993.

20Туганбаев А.А. Теория колец. Арифметические модули и кольца. — М.: МЦНМО, 2009.

21Vandiver H.S. Note on a simple type of algebra in which the cancellation law of addition does not hold // Bull. Amer.Math. Soc. — 1934. — Vol. 40. — Pp. 914-920.

"Вечтомов E.M. Введение в полукольца. — Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 2000.

23Golan J.S. Semirings and Their Applications. — Kluwer Acad. Publ., 1999.

24Чермных В.В. Полукольца. — Киров: Вятский гос. пед.университет, 1997.

Полукольца оказались хорошим объектом для изучения их с помощью пучков. Первые результаты по пучковым представлениям полуколец получены В. В. Чермных25,26, теория пучковых представлений полуколец изложена в27'28. Функциональные представления полуколец и полутел рассматривались также Е. М. Вечтомовым29'31, О. В. Старостиной30, А. В. Чераневой31, Р. Аса-ном и Р. Латифом32, А. Р. Ферраиоли33.

В диссертации решаются следующие общие задачи:

1. Выделить классы полуколец, допускающие нетривиальные пирсовские представления.

2. Исследовать свойства пирсовских слоев полуколец, получить характери-зации полуколец на языке их пирсовских слоев.

3. Построить пирсовские цепи конгруэнций полуколец и полумодулей, исследовать их свойства и применить к конкретным классам полуколец.

Целью работы является решение поставленных задач 1—3. Методы исследования. В диссертации применяются методы теории полуколец и колец, общей топологии, теории пучков, понятия теории языков первого порядка.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории полуколец и полумодулей, а также при чтении спецкурсов по пучковым представлениям алгебраических структур.

25Чермных В.В. Представления положительных полуколец сечениями. // Успехи матем. наук. — 1992.

— Т. 47, № 5. - Pp. 193-194.

26Чермных В. В. Пучковые представления полуколец // Успехи мат. наук. — 1993. — Т. 48, № 5. — С. 185-186.

27Чермных В.В. Функциональные представления полуколец и полумодулей: Дис.... д-ра физ-мат. наук.

— Екатеринбург: ИММ УрО РАН., 2007.

28Чермных В.В. Функциональные представления полуколец // Фундамент, и прикл. матем. — 2012. Т. 17, Вып. 3. - С. 111-227.

^Вечтомов Е.М., Михалев A.B., Чермных В.В. Абелево регулярные положительные полукольца // Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 1997. — Т. 20. — С. 282-309.

30Старостина О-В. Строение абелево-регулярных положительных полуколец. // Чебышевский сборник.

— 2005. — Vol. 6, по. 4. - Pp. 142-151.

31Вечтомов Е.М., Черанева A.B. Полутела и их свойства //Фунд. и прикл. матем. — 2008. — Т. 14, Выл. 5. — С. 3-54.

32Ahsan J., Latif R Representations of weakly regular semirings by sections in a presheaf. // Commun. Algebra. — 1993. — Vol. 21, no. 8. — Pp. 2819-2835.

MBeIluce L.P., Ñola A., Ferraioli A.R. MV-semirings and their Sheaf Representations, Order, March 2013, Volume 30, Issue 1, pp 165-179.

Апробация результатов работы. Основные результаты работы апробированы на 11 Международных и Всероссийских алгебраических и математических конференциях: Екатеринбург (две в 2012, 2013, 2014, 2015), Казань (2011, 2013, 2014), Саратов (2011), Киев (2012), Киров(2014).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 15 печатных изданиях, 2 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 10 — в тезисах докладов.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав. Полный объем диссертации 84 страницы текста. Список литературы содержит 58 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обосновывается актуальность исследований, проводимых в рамках данной диссертационной работы, приводится обзор научной литературы по изучаемой проблеме, формулируется цель, ставятся задачи работы, сформулированы научная новизна и практическая значимость представляемой работы.

Первая глава посвящена изучению пучковых представлений полуколец. Вводятся основные понятия — «полукольцо», «идемпотент», доказываются некоторые их свойства.

Глава I.

Первый параграф является вводным, в нём определяется основной объект исследования — полукольцо:

Непустое множество 5 с бинарными операциями + и • называется полукольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1. (5, +) — коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

2. (5, ■ ) — полугруппа с нейтральным элементом 1;

3. Умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон;

4. 0а = 0 = аО для любого а € 5.

Определяются идемпотенты, дополняемые идемпотенты; идеалы, главные идеалы. Здесь же доказываются некоторые свойства идемпотентов.

Предложение 1.1. Дополнение е1 к центральному дополняемому идемпотенту е является центральным дополняемым идемпотентом и задается однозначно.

Во втором параграфе определяются регулярная и пирсовская конгруэнции, доказывается корректность их определений.

Идеал А полукольца Б назовем регулярным, если он порожден некоторым множеством центральных дополняемых идемпотентов.

Пусть А — регулярный идеал.

Введем отношение 9 а на полукольце 5 такое, что а = Ь(6а) ае1 = Ье1 для некоторого центрального дополняемого идемпотента е & А.

Предложение 1.2. Отношение в а является конгруэнцией.

Далее доказывается, что центральные дополняемые идемпотенты полукольца образуют булево кольцо, множество максимальных идеалов которого является нульмерным компактом (с топологией Стоуна — Зарисского) и называется пирсовским спектром.

Обозначим через ВЭ множество всех центральных дополняемых идемпотентов. Множество (ВБ, •) с введенной операцией сложения е © / = е/х + е1/ и полукольцевым умножением образует булево кольцо. Пусть МахВЭ — множество всех максимальных идеалов булева кольца ВБ.

Л-регулярную конгруэнцию 9а назовем конгруэнцией Пирса и обозначим 5м 1 где регулярный идеал А полукольца Б порожден некоторым М € МахВБ.

Определим открытые множества на МахВБ следующим образом: 0(А) = {М е Мах В Б : А М} для любого идеала А кольца ВБ.

Топологическое пространство МахВБ с топологией Стоуна-Зарисского и базисом открыто-замкнутых множеств вида (е) является нульмерным компактом.

Все перечисленные результаты используются в третьем параграфе для определения пирсовского пучка.

Третий параграф посвящен определению и описанию структуры пирсовского пучка полуколец. Вначале вводится общее определение пучка полуколец.

Тройка (Р,7Г,Х) называется пучком полуколец, если выполняются следующие условия:

1. X и Р — топологические пространства;

2. 7Г : Р —¥ X — локальный гомеоморфизм;

3. Для каждой точки х 6 X множество Рх = 7г_1(а;) является полукольцом;

4. Полукольцевые операции непрерывны;

5. Отображения 0 и 1, ставящие каждой точке х Е X соответственно ноль 0Х и единицу 1Х полукольца Рх, непрерывны.

Топологические пространства X и Р называются базисным и накрывающим соответственно, множество Рх — слой пучка в точке х £ X. Глобальным сечением пучка Р над X называется такое непрерывное отображение а : X —> Р, что тг о а — тождественное отображение множества X.

Функциональным представлением полукольца 5 называется гомоморфизм а : 5 —»■ Г(Р, X) полукольца 5 в полукольцо глобальных сечений Г(Р, X). Основной задачей пучковых представлений является построение для заданного полукольца некоторого пучка и установление пучкового, как правило изоморфного, представления.

Далее на основе введенных определений показана корректность определения пирсовского пучка.

Дизъюнктное объединение Р(5) = 0 {Б/бм : М 6 Мах В Б} над топологическим пространством М ах В Б является пучком полуколец. Он называется пирсовским пучком полуколец.

Для каждого М ё Мах В Б полукольцо 5/(5м называется пирсовским слоем пучка Р(3) в точке М. Пусть а 6 5. Отображение а : МахВБ —> Р(5'), заданное а(М) = [а]м — класс элемента а в пирсовском слое Б/5м, является глобальным сечением пирсовского пучка.

Доказывается основная теорема параграфа об изоморфизме функционального представления Пирса.

Теорема 1.1. Для любого полукольца Б отображение а : 5 —» Т{Р{Б),МахВЗ), а [а) = а, является функциональным представлением и изоморфизмом между £ и полукольцом всех глобальных сечений его пирсовского пучка.

Доказательство теоремы 1.1 отлично от ранее полученных34, является прямым и наиболее близким к своему кольцевому аналогу.

Для исследования полуколец в работе используются и другие пучковые конструкции — пучки Ламбека и Корниша35.

Причина их использования заключается в том, что в некоторых случаях пучки Ламбека, Пирса и Корниша для одного и того же полукольца совпадают:

34Чермкых В.в. Пучковые представления полуколец // Успехи мат. наук. — 1993. — Т. 4, Вып. 5. — С. 185-186.

35Чермных В.В. Функциональные представления полуколец // Фундамент, и прикл. матем. — 2012. — Т. 17, Вып. 3. - С. 111-227.

Свойство 1.2. Пирсовский пучок (P{S), Мах BS), пучок Корниша (K(S),Max S) и пучок Ламбека (L(S),Max S) полукольца S совпадают тогда и только тогда, когда максимальные идеалы из S разделяются центральными дополняемыми идемпотентами, т. е. для любых M ^ N G Max S найдется такой е 6 BS, что е 6 M \N.

Глава II.

Первый параграф содержит свойства, необходимые для характери-зации конкретных классов полуколец.

Предложение 2.1. Пусть А — собственный регулярный идеал, р — А-регулярная конгруэнция, h : S -» S/p — естественный гомоморфизм.

1. Если S/p не является пирсовским слоем полукольца S, то существует такой центральный дополняемый идемпотент еб5, что выполняются условия:

A^A + eS^S, A^A + e±S^S, S = (А + eS) + (А + е-1 S), А = (А + eS)(A + exS) = (А + e^S){A + eS) = (A + eS) П(А + e^S), h(S) ^ h(eS) © h(e±S).

2. Если S/p — пирсовский слой полукольца Sue— центральный дополняемый идемпотент в S, то либо ее А, либо ех 6 А.

3. Если полукольцо S/p неразложимо, то S/p — пирсовский слой полукольца S.

4■ Любой идемпотент ё € S/p поднимается по модулю конгруэнции р.

5. Произвольное конечное множество ортогональных идемпотентов ëi,...,ën полукольца S/p поднимается до некоторого множества ei, -.., еп ортогональных идемпотентов полукольца S.

6. Произвольное счетное множество ортогональных идемпотентов m =i полукольца S/p поднимается до некоторого счетного множества ортогональных идемпотентов полукольца S.

Следующее утверждение показывает, что некоторые «хорошо записываемые свойства» поднимаются с пирсовских слоев до исходного полукольца. Предложение является естественным полукольцевым аналогом результата Пирса36.

36Pierce R.S. Modules over commutative regular rings // Mem. Amer. Math. Soc. — 1967. — Vol. 70. — Pp. 1-112 (prop. 3.4).

Предложение 2.2. Пусть (P(S), Мах S) — пирсовский пучок полукольца S, f,g — многочлены с целыми неотрицательными коэффициентами от некоммутирующих переменных ..., хп, уи ..., ут (п ^ О, т ^ 0), и Oi,..., ап — произвольные элементы из S. Если условие

(3 ßu---,ßmeS/pM)

/(äi, ...,än,ßu..., ßm){M) = g{äi,..., än,ßu.. .,ßm){M)

выполнено в каждом пирсовском слое S/рм полукольца S, то для некоторых bi, ■ ■ ■, Ьт 6 5 верно

/(аь • ■ ■, ап, h,..., bm) = g(ai,..., а„, Ьи ..., Ът).

Расширения этого свойства на случай пирсовской цепи и дополнительных полукольцевых условий представлено в следующей главе (теорема З.1.), применение — в следующем параграфе.

Второй параграф посвящен характеризации полуколец в терминах их пирсовских слоёв.

Полукольцо S называется симметрическим (слабо симметрическим), если для любых a,b,c,d € S выполняется abc = abd -i=> acb = adb (bc = bd cb = db).

Полукольцо S называется регулярным, если разрешимо уравнение аха = а для любого а е 5; полукольцом с делением, если любой ненулевой элемент из 5 обратим; полукольцо с делением, не являющееся телом, называется полутелом.

Предложение 2.3. Для полукольца S равносильны условия:

1. S — регулярное слабо симметрическое полукольцо, каждый идемпо-тент которого является центральным дополняемым идемпотентом;

2. все пирсовские слои полукольца S являются полукольцами с делением.

Полукольцо S называется положительным, если а + 1 обратим для каждого а 6 S. Полукольцо S называется агр-полукольцом37, если S — абелево регулярное положительное полукольцо; arp-полукольцо называется булевым, если каждый его идемпотент является дополняемым идемпотентом.

Предложение 2.4. Для полукольца S равносильны условия:

1. S — булево полукольцо;

37Вечтомов Е.М., Михалев A.B., Чермных В.В. Абелево регулярные положительные полукольца // Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 1997. — Т. 20. — С. 282-309.

11

2. все пирсовские слои полукольца S являются полутелами.

Полукольцо, в котором а" = 0 влечет а = О, назовем полукольцом без нильпотентных элементов.

Предложение 2.5. Для полукольца S равносильны следующие условия:

1. S — полукольцо без нильпотентных элементов;

2. все пирсовские слои полукольца S — полукольца без нильпотентных элементов.

Полукольцо S называется бирегулярным, если каждый главный идеал из S порождается центральным дополняемым идемпотентом.

Полукольцо S называется простым, если нулевой идеал является наибольшим собственным идеалом в S.

Предложение 2.6. Полукольцо S бирегулярно тогда и только тогда, когда все пирсовские слои полукольца S — простые полукольца.

Предложение 2.7. Для полукольца S равносильны условия:

1. S — бирегулярное полукольцо без нильпотентных элементов;

2. все пирсовские слои полукольца S — простые полукольца без делителей нуля.

Полукольцо S назовем заменяемым справа, если для любых a, b G S, таких, что а + Ъ = 1, найдется такой дополняемый идемпотент е, что е е aS, е-1 б bS.

При изучении заменяемых полуколец активно использовались представления Ламбека и Корниша. Полученные при этом результаты применяются для исследования абелевых заменяемых полуколец, поскольку справедливо

Предложение 2.8. Для произвольного абелева заменяемого справа полукольца S совпадают пучки Ламбека, Корниша на Max S и пучок Пирса.

Для характеризации заменяемых полуколец см. ниже теорему 3.2.

Предложение 2.9. Для полукольца S равносильны условия:

1. каждый элемент из S является центральным дополняемым идемпотентом;

2. все пирсовские слои полукольца S двухэлементны.

Предложение 2.10. Для полукольца S равносильны условия:

1. S — абелево полукольцо;

2. для каждого собственного регулярного идеала А полукольцо S/рд абе-лево, где ра — А-регулярная конгруэнция;

3. все пирсовские слои полукольца S — абелевы полукольца.

Эти и некоторые другие свойства иллюстрируют широкое применение пучковых методов к полукольцам. В некоторых из перечисленных утверждений, например, при характеризации абелевых и бирегулярных полуколец, используются только алгебраические свойства пирсовских слоёв, а в других — также и топологические свойства и методы.

Глава III.

В первом параграфе определяется пирсовская цепь конгруэнций полукольца.

Пусть а — ординал и ра — регулярная конгруэнция на полукольце S.

• Если а = 0, то ра = 0;

• Если а — непредельный ординал, то S/ ра — пирсовский слой полукольца S/pa-1, где ра-1 — регулярная конгруэнция на полукольце 5, а — 1 — ординал, предшествующий а;

• Если а — предельный ординал, то ра = Vß<aPß\

Множество P(S) = {ра : 0 < а < 7} назовем пирсовской цепью полукольца S. Конгруэнция р1 — наибольшая конгруэнция пирсовской цепи.

Доказываются свойства пирсовской цепи: . Предложение 3.2. Для любого неразложимого фактор-полукольца S/p существует такой rni-фактор38 S/S, что 6 < р. В частности, каждое неразложимое фактор-полукольцо полукольца S — гомолюрфный образ некоторого rni-фактора полукольца S.

Далее доказывается:

Теорема 3.1. о многочленах Пусть S — полукольцо, а\,...,ат S S, fi, 9i {i = 1 ■ • • k) — многочлены с целыми неотрицательными коэффициентами от некоммутирующих переменныхХ\,..., xm,yi,..., уп. Через hp : S —> S/р обозначим естественный эпиморфизм. Равносильны условия:

1. /¿(ai,..., ат, &!,..., bn) = c/i(ai,... ,ат, bu... ,bn),i = 1 ...к для некоторых b\,...,bn 6 S;

38Если S/p — неразложимое фактор-полукольцо полукольца S, и для любой конгруэнции р' < р фактор-полукольцо S/p' не является неразложимым, то S/p называется максимальным неразложимым фактором (mi-фактором) полукольца S.

2 — 5. для каждого факторполу кольца, пирсовского слоя, неразложимого факторполукольца, т{-фактора Б/р существуют такие Ъ\,...,Ьп € Б/р, что справедливы равенства:

А(ЬР(а1),..., Ьр(ат), Ъи..., Ьп) = д^И^ах),..., Нр(ат), Ьи ..., Ьп) где г = 1... к.

Основной смысл теоремы заключается в переносе свойств полуколец, удовлетворяющих определенным условиям, от факторов полукольца по кон-груэнциям пирсовской цепи к исходным полукольцам.

Второй параграф показывает способы применения теорем из предыдущего параграфа для некоторых классов полуколец:

Теорема 3.2. Для полукольца Б равносильны условия:

1. Б — заменяемое справа полукольцо;

2. все пирсовские слои полукольца Б — заменяемые справа полукольца;

3. все т1-факторы для Б — заменяемые справа полукольца.

В третьем и четвертом параграфах исследуются способы переноса структур пирсовских слоёв и пирсовских цепей на другие объекты. В качестве примера объектов взяты полукольца с инволюцией и полумодули.

Полукольцо 5 называется полукольцом с инволюцией, если в нем введена унарная операция * так, что выполнены следующие условия:

1. (а + Ь)* = а* + Ь*;

2. (а*)* = а;

3. (аЪ)* = Ь*а*\ для всех а,Ь Б.

Функциональным представлением полукольца с инволюцией Б называется полукольцевой *-гомоморфизм

а:Б ^Т{Р(Б),Х)

полукольца 5 в полукольцо всех глобальных сечений пучка Р(Б) над топологическим пространством X.

Теорема 3.4. Для любого полукольца с инволюцией Б отображение

а: Б ->Г{Р(Б),МахВБ*),

а(а) — а 14

является функциональным представлением и *-изоморфизмом между Б и полукольцом всех глобальных сечений его пирсовского пучка.

Теорема З.5.39 Пусть Б — полукольцо с инволюцией, ai,...,am £ S,fi,gj (i = 1 ... k) — многочлены с целыми неотрицательными коэффициентами от некоммутирующих переменных xi,..., хт, у\,..., уп. Через h*p : S —> S/p обозначим естественный эпиморфизм. Равносильны условия:

1. fi{a\,..., ат, bi,..., bn) = gi(ai,...,amtbi,...,bn),i = 1 ...к для некоторых bi,..., bn g S;

2 — 5. для каждого фактор-полукольца с инволюцией, (пирсовского слоя, *-неразложимого фактор-полукольца с инволюцией, ^-тг-фактора^0) S/p найдутся такие bi,... ,bn € S/p, что справедливы равенства:

fi{hp(ai),..., h*p{am),bi,..., bn) = ii;(/i*(ai),..., h*(am), bu..., b„) где i = 1... k.

Коммутативная полугруппа (А, +, 0) называется правым полумодулем над полукольцом S (или 5-полумодулем), если задано умножение справа элементов а G А на элементы 5 6 S, обозначаемое as, и при этом для любых а,Ъ 6 А, s,t € S выполняются условия:

1. a(st) = (as)t,

2. (а + b)s = as 4- bs,

3. a(s + t) = as + at,

4. a ■ 1 = a,

5. 0 • s = а ■ 0 = 0.

Перечисленные в главе 3 примеры иллюстрируют возможность переноса пирсовских слоев и цепей на другие структуры, показывая, что пирсов-ский слой и пирсовская цепь могут рассматриваться не только для изучения колец и полуколец, но и как универсальный инструмент исследования различных объектов с нетривиальным множеством центральных (дополняемых) идемпотентов.

Полумодуль As называется правым полумодулем Везу, если каждый конечно порожденный подполумодуль из As циклический.

Теорема 3.9. Для правого полумодуля As равносильны условия:

1. As — правый полумодуль Безу;

зэАналог теоремы 3.1 для полуколец с инволюцией.

403нак * здесь означает сохранение инволюции в соответствующем факторе.

15

2. Все пирсовские слои полумодуля Л5 — правые полумодули Безу;

3. Все строго неразложимые фактор-полумодули полумодуля Ав — правые полумодули Безу.

Основные результаты диссертации

По мнению автора, основными результатами диссертации являются следующие:

1. приведено прямое доказательство теоремы об изоморфизме функционального представления Пирса;

2. исследованы полукольца в терминах пирсовских слоев, пирсовских цепей и/или пучковых представлений;

3. получены характеризации полуколец, близких к регулярным;

4. исследованы свойства пирсовской цепи конгруэнций полукольца;

5. некоторые результаты,полученные для полуколец, перенесены на случаи полумодулей и полуколец с инволюцией.

Статьи автора по теме диссертации

В журналах из перечня ВАК:

1. Марков Р. В. Пирсовское представление полуколец с инволюцией // Изв. вузов. Матем,- 2014. - Т. 4. - С. 18-24

2. Марков Р.В., Чермных В.В. О пирсовских слоях полуколец // Фундамент. и прикл. матем. - 2014. - Т. 19:2. — С. 171-186

В других изданиях:

3. Марков Р.В., Чермных В.В. Пирсовские цепи полуколец // Вестник Сыктывкарского университета. — 2013. — Т. 14. — С. 88-103

4. Марков Р.В. Пирсовские цепи полумодулей // Матем. вести, педвузов и университетов Волго-Вятского региона. — 2014. — Т. 15. — С. 109-121

5. Марков Р.В. Хорновские формулы и пирсовские цепи полуколец // Че-бышевский сб. - 2014. - Т. 14:4. - С. 159-166

Тезисы докладов на конференциях:

6. Марков Р.В., Чермных В.В. О пирсовских цепях полуколец // Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения: тез. докл. VIII Междунар. конф., посвященной 190-летию И.М. Виноградова (Саратов, 12 - 17 сентября 2011 г.). - Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2011. - С. 47-48

7. Марков Р.В. О пирсовских слоях полуколец // Алгебра и математическая логика: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В.В. Морозова, и молодежной школы конференции «Современные проблемы алгебры и математической логики»; Казань, 25 - 30 сентября 2011. - Казань : КФУ, 2011. - С. 130-132

8. Марков Р.В. О пирсовских цепях полумодулей // Современные проблемы математики: тезисы Международной (43-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. - Екатеринбург : ИММ УРО РАН, 2012. - С. 61-62

9. Марков Р.В., Чермных В.В. Пирсовское представление полуколец с инволюцией // Ачгебра и линейная оптимизация: Тезисы Международной конференции «Алгебра и линейная оптимизация», посвященная 100-летию С.Н. Черникова, 14-19 мая 2012 г. - Екатеринбург : издательство «УМЦ-УПИ», 2012. - С. 108-111

10. Марков Р.В. On characterization of regular semirings by Pierce chains // Book of abstracts of the "International Conference on Algebra", dedicated to the 100th anniversary of S.M. Chernikov - Kyiv : 1нститут математики HAH УкраУни, 2012. - P. 91

11. Марков Р.В. О пирсовских цепях полуколец с инволюцией // Современные проблемы математики: тезисы Международной (44-й Всероссийской) молодежной школы-конференции. - Екатеринбург : ИММ УРО РАН, 2013. - С. 46-48

12. Марков Р.В. О пирсовских цепях полумодулей // Труды математического центра имени Н. И. Лобачевского: Материалы двенадцатой молодеж-

ной научной школы-конференции «Лобачевские чтения - 2013» (Казань, 24-29 октября, 2013г.). - Казань: Казан, ун-т, 2013. - Т. 47. - С. 114-116

13. Марков Р.В. Некоторые применения пирсовских цепей полуколец // Современные проблемы математики и ее приложений: труды 45-й Международной молодежной школы-конференции, посвященной 75-летию В.И Бердышева. - Екатеринбург : ИММ УРО РАН, 2014. - С. 32-35

14. Марков Р.В. Применение пирсовских цепей полуколец // Алгебра и математическая логика: теория и приложения: Материалы международной конференции 2-6 июня 2014 - Казань : КФУ, 2014. - С. 103

15. Марков Р.В. О пирсовских слоях полуколец // Тенденции и перспективы развития математического образования: Материалы XXXIII Международного научного семинара преподавателей математики и информатики университетов и педагогических вузов - Киров ВятГГУ, 2014. - С. 210

Подписано в печать 12.05.2015 г. Формат 60 х 84/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,1. Тираж 100 экз. Заказ № 39

Отпечатано в полиграфическом цехе издательства ООО «Радуга-ПРЕСС» т. (8332) 262-390. 610044, г. Киров, ул. Лепсе 69-48.