Функциональные представления полуколец и полумодулей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

11111Н1П11111111П111

0030В40Т4

На правах рукописи УДК 512 55

Чермных Василий Владимирович

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПОЛУКОЛЕХЦИ ПОЛУМОДУЛЕЙ

(01 01 06 — математическая логика, алгебра и теория чисел)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 2 ИЮЛ 2007

Екатеринбург — 2007

Работа выполнена в докторантуре Московского педагогического государственного университета по кафедре алгебры и на кафедре высшей математики Вятского государственного гуманитарного университета.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор А В Михалев Официальные оппоненты-

доктор физико-математических наук, профессор Ю Н Мухин, доктор физико-математических наук, профессор И Б Кожухов; доктор физико-математических наук, профессор А А Туганбаев.

Ведущая организация

Тульский государственный педагогический университет

Защита состоится 2007 г в часов на заседании

диссертационного совета Д 004 006 03 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук в Институте математики и механики УрО РАН по адресу 620219, г. Екатеринбург, ул Ковалевской, 16. С диссертацией можно познакомиться в библиотеке Института математики и механики УрО РАН.

Автореферат разослан »-¿¿-¿£-<2- 2007 г

Ученый секретарь диссертационного сов доктор физико-математических наук

В В Кабанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Родоначальником теории пучковых представлений считается Гротен-дик [31], доказавший изоморфизм между произвольным коммутативным кольцом R с единицей и кольцом сечений пучка локализаций кольца R по всем его простым идеалам И Ламбек [40] ограничивает представление Гротендика до факторного и получает принципиально новое представление, основанное на открытом семействе идеалов (0р), Р G Spec R Этот подход оказался очень плодотворным — адаптация идей Ламбека для некоммутативных колец привело к целой серии работ по пучковым представлениям Прежде всего отметим работу Д Даунса и К Гофмана [18] о представлении бирегулярного кольца и применении полученной конструкции для описания группы автоморфизмов бирегулярного кольца Характеризационная теорема Даунса-Гофмана обобщает результаты Р Аренса и И Капланского [6] о представлении произвольного бирегулярного кольца кольцом функций, которые в свою очередь обобщают классическую теорему М Стоуна [49] о представлении булевых колец Эти результаты вместе с преобразованием И М Гельфанда [2] банаховых алгебр можно считать непосредственными источниками, приведшими к возникновению теории пучковых представлений

В дальнейшем К Кохом [38] доказана изоморфность ламбековского представления для колец без нильпотентов Он же дал представление строго гармонических колец [39] В статье Г Симмонса [47] изучаются свойства строго гармонических колец прежде всего в терминах пучков, в частности, получена их пучковая характеризация Ламбек [40] построил пучок колец, основанный на первичном спектре так называемой симметрической части кольца Эта конструкция позволяет получить пучковое представление произвольного кольца, однако, каких-либо приложений этому не найдено В случае же симметрического кольца и симметрического модуля получены изоморфные ламбековские представления Представления pm-колец и коммутативных гармонических колец рассматривали Р Бкуш [7] и С Телеман [50] Гельфандовы кольца, их свойства и представления изучались С Д Малви [42, 43] и Симмонсом с соавторами [8]

В фундаментальной работе [44] Р С Пирсом построены пучки колец

и модулей на стоуновском пространстве кольца (как на базисном пространстве) Любое кольцо изоморфно кольцу сечений своего пирсовского пучка, но нетривиальные представления получаются только для колец с достаточно богатой булевой алгеброй центральных идемпотентов Для изучения таких колец широко используется техника с применением конструкции пирсовского пучка. Отметим работу Д В Тюкавкина [4] о регулярных кольцах с инволюцией, статью А Б Карсона [13] о пирсовском пучке регулярного кольца конечного индекса нильпотентности Изучение пирсовского пучка и его применение осуществлено в работах В Д. Бе-джеса и В Стефенсона [10, 11], в которых они ввели полезное понятие пирсовской цепи, строя пучки для слоев пучка Пирса и продолжая этот процесс для построенных пучков (см также [12])

В 1971 году К Кеймель [37] развил теорию представлений для реше-точно упорядоченных колец, которая применима также для решеточно упорядоченных абелевых групп

К середине 70-х годов был накоплен достаточный материал по различным типам конкретных пучковых представлений, что неизбежно поставило вопрос о создании общей теории представлений. Вышли обзоры Гофмана [34] и Малви [43], сборники [45, 5] Гофманом, в частности, получено следующее Отталкиваясь от произвольного семейства идеалов, осуществляется переход к открытому семейству идеалов, индексированных точками топологического пространства X Показано, что таким образом может быть получено любое факторное представление кольца Равносильный гофмановскому подход через открытые семейства идеалов и идеальные пространства предложен Малви Позже, в 1989 году, Симмонс [48] дал описание функционального представления кольца как соответствия Галуа между решеткой Ы К идеалов кольца Л и решеткой тХ открытых множеств базисного топологического пространства X

Симмонсу [47] принадлежит разработка еще одного фрагмента общей теории Как было замечено, факторное представление кольца Я сечениями пучка над X задает соответствие между решетками Ы И и тХ (типа соответствия Галуа или соответствия, близкого к сопряжению) Симмон-сом найдены достаточные условия, при которых такое соответствие задает полное факторное представление Применение найденных конструкций дает два вида пучковых представлений, основанных на фреймах идеалов

и их точечных пространствах (наиболее интересные представления получаются с помощью чистых идеалов)

Так же с именем Симмонса связан структурный предпучок над чистым спектром кольца К Именно, каждому открытому множеству точечного спектра сопоставляется кольцо эндоморфизмов соответствующего чистого идеала, рассматриваемого как правый модуль над Л В [8] показано, что каноническое представления кольца К сечениями предпучка является изоморфным, а сам предпучок — пучком для произвольного кольца В случае гельфандова кольца его пучок Симмонса совпадает с ламбеков-ским пучком, а для коммутативного кольца с ограничением пучка Гро-тендика

Наконец, скажем о вкладе Голана в теорию представлений колец [26, 27, 28] Каждой точке пространства простых кручений кольца Я сопоставляется кольцо частных кольца Л относительно соответствующего кручения Получаем пучок и изоморфное представление для произвольного кольца Изложение конструкции Голана и некоторое ее обобщение можно найти в [46]

На русском языке теория пучковых представлений колец в достаточно полном объеме изложена в монографии Е М Вечтомова [1]

Без всякого сомнения, кольцо является наиболее важным и удобным алгебраическим объектом с точки зрения пучковых представлений Однако пучки широко применяются и для изучения других алгебраических систем, прежде всего, ограниченных дистрибутивных решеток и почти-колец.

Отметим, что первые работы по представлению дистрибутивных решеток и почти-колец появились уже в конце 60-х годов Различным типам пучковых представлений посвящены работы [9, 14, 16, 17, 22, 23]

По универсальным алгебрам укажем такие результаты С Д. Комер [15] получил представление на стоуновском пространстве булевой подре-шетки решетки всех конгруэнций универсальной алгебры, показано применение для бирегулярных колец и для цилиндрических алгебр В [36] К Кеймелем дано представление, пригодное для изучения бирегулярных полугрупп Вопросам общей теории представлений универсальных алгебр посвящены статьи Б А Дейви [20] и Г Вернера [52].

Реферируемая диссертация посвящена представлениям полуколец По-

лукольцо понимается нами как алгебраическая система, отличающаяся от ассоциативного кольца с 1, возможно, необратимостью аддитивной операции Впервые термин полукольцо появился в 1934 г в статье Г С Ван-дивера [51], однако, фактически полукольца изучались с конца 19 века в работах, связанных с изучением идеалов колец [21, 41] и с вопросами аксиоматики натуральных и неотрицательных рациональных чисел [33, 35]

Планомерное изучение полуколец началось в 50-х годах 20 века в работах А. Алмейда Косты, С Берна, М Хенриксена, К.Исеки, В Словиковско-го, В Завадовского и др С конца 80-х годов повышенное внимание к полукольцам обуславливается также многочисленными приложениями теории полуколец (в теории автоматов, оптимального управления, формальных языков, графов и др.) Опубликованы монографии Голана [29, 30], У Хебиша и ГВейнерта [32], обзоры литературы по теории полуколец К Глазека [24, 25]

Впервые вопрос о возможности применения пучковых методов для изучения полуколец поставил К И. Вейдер в 1990 году на научно-исследовательском семинаре "Кольца и модули" в МГУ

Цель работы. Создание теории пучковых представлений полуколец и полумодулей

Методы исследования. В диссертации применяются методы теорий полуколец, колец, дистрибутивных решеток и универсальных алгебр, общей топологии, теории пучков и пучковых представлений, а также оригинальные методы и приемы

Новизна результатов. Приведенные в диссертации результаты являются новыми Основные результаты состоят в следующем

1 Строятся пучки полуколец Ламбека, Корниша, Пирса, Гротендика и Симмонса, аналоги кольцевых и/или решеточных конструкций, даны соответствующие представления полуколец и полумодулей

2 Развивается общая теория представлений полуколец и полумодулей

3 Выделяются и описываются полукольца, "удобные" для функциональных представлений

Практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер Полученные результаты могут быть использованы в теории полуколец, теории пучковых представлений алгебр.

Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в [53]

— [74] и докладывались Международных алгебраических конференциях в Туле (2003 г), в Москве (2004 г) и в Екатеринбурге (2005 г), на кольце-модульных семинарах в МГУ им M В Ломоносова, на алгебраических семинарах МПГУ и ВятГГУ, в Институте математики и механики Уральского отделения РАН, на семинаре "Алгебраические системы"в Ур-ГУ (2006 г.)

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 22 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разбитых на 20 параграфов, и списка литературы Полный объем диссертации — 234 страницы, библиография включает 114 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Глава 0 является вводной, состоит из двух параграфов В первом даны определения полукольца и основных связанных с ним понятий Большинство сформулированных свойств полуколец, идеалов, некоторых конструкций приводятся без доказательств по причине либо очевидности, либо малого отличия от кольцевых рассуждений

В § 2 даются определения пучка, предпучка полуколец и функционального представления Рассмотрены свойства пучков Основной в этом параграфе является теорема 2 2, в которой дан подход к построению факторного пучка посредством открытой системы конгруэнций.

В главе 1 построены первые в работе пучковые конструкции и функциональные представления В §§3, 4 изучаются базисные пространства пучков — первичный спектр Spec S (с топологией Стоуна-Зарисского) и его подпространства, а также точечные пространства полукольца

В §5 определяются структурные предпучки Симмонса и Гротендика Для произвольного полукольца доказывается, что представление Симмонса (сечениями предпучка) является изоморфным Более точно имеет место

Теорема 5.1. Пусть S — произвольное полукольцо, F — фрейм всех его чистых идеалов Справедливы следующие утверждения.

(1) соответствие p*(Ä) —End А для каждого чистого идеала А определяет предпучок F полуколец над точечным пространством Pt F

фрейма всех чистых идеалов полукольца S,

(2) предпучок (F, Pt F) удовлетворяет условию Р1,

(3) полукольцо S изоморфно полукольцу всех глобальных сечений этого предпучка

Для построения представления Гротендика мы стандартным образом (как и для коммутативных колец) определяем локализацию Sp коммутативного полукольца S по простому идеалу Р Пучок Гротендика определяется как дизъюнктное объединение локализаций по всем простым идеалам над простым спектром полукольца. Доказывается

Теорема 5.5 Представление Гротендика всякого коммутативного полукольца является изоморфным

Факторное ограничение представления Гротендика задает изоморфное представление коммутативного полукольца, индуцированное открытым семейством конгруэнций {9р Р £ Spec S}, где

а врЪ (Зс е S \ Р)(ас = be) (*)

В § 6 это представление адаптируется для некоммутативных полуколец, доказывается изоморфность для симметрических и строго полупервичных полуколец, а также обобщение ламбековского представления, которое является изоморфным для любого полукольца

Определение. Пусть S — произвольное полукольцо, Т — такое его подполукольцо, что для любых a,b,cE S и для любого t € Т

abt = act atb = ate

Подполукольцо T назовем симметрической частью полукольца S Если S = Т, полукольцо S называется симметрическим

Для каждого Р 6 Spec Т определим отношение 6р, положив для любых элементов a,b G S

аврЬ<==>(Зс£Т\ Р)(ас = be) (**)

Теорема 6.3. Произвольное полукольцо S изоморфно полукольцу глобальных сечений пучка US/Gp над Spec Т

В случае S = Т конгруэнции (*) и (**) совпадают и как следствие теоремы 6 3 получается

Теорема 6.4. Ламбековское представление произвольного симметрического полукольца над его первичным спектром является изоморфным

Для полукольца, не являющегося симметрическим, конгруэнции, индуцирующие представление Ламбека, необходимо подправить, и они принимают вид

авРЬ (Зс е S \ P)(Vs € S)(asc = bsc)

Полукольцо S называется строго полупервичным, если для любых элементов а,Ь € S выполняется у/(а, Ь)* = (а, Ь)*, где \/Т = П{Р е Spec S FD/} и уравнитель (а, 6)* = {с е S • (Vs € S)(asc — bsc)}

Теорема 6.10. Ламбековское представление строго полупервичного полукольца над первичным спектром является изоморфным

Получаем обобщения конструкций ламбековских пучков колец и дистрибутивных решеток и соответствующих представлений [40, 3, 34, 9]

Основной задачей главы 2 является определение и изучение полуколец, допускающих хорошие пучковые представления Так §7 посвящен симметрическим полукольцам — естественному обобщению коммутативности Важный собственный подкласс симметрических полуколец без нильпотентов образует класс редуцированных полуколец (полукольца, удовлетворяющие равносильности а2 + Ь2 = аЬ + Ьа а — Ь), содержащий, в частности, все ограниченные дистрибутивные решетки Именно в классах симметрических и редуцированных полуколец допускают удобное описание с помощью пучков многие полукольца — регулярные, риккарто-вы, бэровские, агр-полукольца

Главными объектами изучения §§ 8, 9 являются строго гармоническое и гельфандово полукольца соответственно

Кольцо R называется строго гармоническим (гельфандовъш), если для любых его различных максимальных (максимальных правых) идеалов М и N найдутся такие элементы а £ R\M и b £ R\N, что aRb = 0

Строго гармонические кольца были определены Кохом [39], гельфандо-вы — Малви [42] Источником этих и некоторых близких к ним колец (гармонических, рто-колец, ршг-колец) можно считать кольца непрерывных

функций. Вопросами строгой гармоничности колец непрерывных функций занимался Е М Вечтомов, в его докторской диссертации, в частности, показано, что для любого топологического тела F гельфандовость кольца непрерывных функций С = C(X,F) равносильна каждому из условий кольцо С — строго гармоническое, С — гармоническое, С — рт-кольцо Не удивительно поэтому, что к указанным кольцам активно применялись пучковые методы [8, 43, 47]

Определение строго гармонического полукольца в точности такое же, как и для кольца

Получена характеризация строго гармонических полуколец

Предложение 8.6. Для произвольного полукольца S эквивалентны следующие условия

(1) S — строго гармоническое,

(2) 0а + Ов = S для любых замкнутых непересекающихся множеств А и В в Max S,

(3) 0х+0м — S для любого замкнутого множества А и любой точки М qL А пространства Max S,

(4) Од* + On = S для любых М ф N из Max S,

(5) Z(0Z(i}) = для любого идеала I в S,

(6) Y1 ®z(ia) = ®z{Y,ia) для любого семейства (1а) идеалов полукольца

а О

(7) 0z{i) Q М ==> I С М для любых идеалов I полукольца S и М € Max S

Полукольцо называется pm-полукольцом (ртг-, pmi-полукольцом), если каждый первичный идеал содержится в однозначно определенном максимальном (максимальном правом, максимальном левом) идеале полукольца

Дословное перенесение кольцевого определения гельфандовости на полукольца не продуктивно, в связи с чем А В Михалевым была поставлена проблема разумного определения гельфандовости и описания гельфандо-вых полуколец Для этого в диссертации вводятся r-полукольца, которые характеризуются условием полустрогости всех его максимальных односторонних идеалов

Основополагающей для изучения гельфандовых полуколец оказывается

Теорема 9.3. Для гелъфандова полукольца 5 равносильны условия

(1)5 — рггм—полукольцо,

(2) 5 — рт1 -полукольцо,

(3) 5 — рт-полуколъцо, каждый максимальный односторонний идеал которого является максимальным

В классе слабо редуцированных полуколец (так названы симметрические полукольца без ненулевых нильпотентов) рассматриваются слабо риккартовы и риккартовы полукольца — обобщения соответствующих кольцевых понятий Из § 10 отметим предложение 10 3 и предложение 10 б, в которых характеризуются слабо риккартовы и риккартовы полукольца в классе слабо редуцированных полуколец

В заключительном параграфе главы 2 рассматриваются слабо симметрические регулярные полукольца, каждый идемпотент которых дополняем В § 18 такие полукольца характеризуются как полукольца глобальных сечений пучков полуколец с делением над компактом (теорема 18 10)

В главе 3 рассматриваются вопросы общей теории функциональных представлений По мнению автора основными темами в этом случае являются

(1) изучение компактных пучков и компактных представлений (§ 12), в этом случае охватываются несколько случаев конкретных представлений и, кроме того, наиболее ярко прослеживается связь с теорией полуколец (колец) непрерывных функций,

(2) при анализе изоморфных факторных представлений обоснование полноты (эпиморфности) представлений доставляет наибольшие трудности, следовательно, актуальной является задача нахождения достаточных условий полноты представлений Несколько подходов к решению этой проблемы осуществлено в § 13,

(3) близкой к предыдущей можно считать задачу нахождения условий на подполукольцо глобальных сечений пучка, при которых оно совпадает со всем полукольцом глобальных сечений В этом случае заметна связь с классической теоремой Вейерштрасса-Стоуна о подалгебре банаховой алгебры непрерывных функций Эти вопросы для пучков полуколец и

полумодулей рассматриваются в § 14,

(4) задание функционального представления с помощью сопряжения между решеткой идеалов (или конгруэнций) полукольца и решеткой открытых подмножеств некоторого топологического пространства — подпространства первичного спектра или точечного спектра фрейма идеалов полукольца

Ниже указаны основные результаты главы 3, относящиеся к общей теории представлений, а также их применения, дающие конкретные изоморфные пучковые представления для некоторых классов полуколец

В теореме 12 1 рассмотрены несколько видов отделимости сечениями различных подмножеств базисного пространства пучка Показано отличие полукольцевой и кольцевой конструкций и определен компактный пучок полуколец как пучок над хаусдорфовым пространством с условием Jx -f- Jy — Г, где Jx — идеал всех сечений, равных нулю в точке ж, а Г — полукольцо всех глобальных сечений пучка

Пусть М — максимальный идеал слоя Пж компактного пучка (П, X). Определим идеал Мх полукольца Г как полный прообраз М при естественном гомоморфизме полукольца сечений на слой Пж Получено описание максимальных идеалов полукольца сечений компактного пучка, аналогичное теореме Гельфанда-Колмогорова

Предложение 12.6. Максимальными идеалами полукольца Г компактного пучка (П, X) являются в точности идеалы Мх, различные для различных пар (х, М)

Определение. Скажем, что отображение / сохраняет покрытия, если /№) = S для каждого открытого покрытия (U¡) пространства X

г

Пусть Id S, Con S и тХ — решетки идеалов, конгруэнций полукольца S и открытых подмножеств пространства X соответственно В §13 указаны конструкции, как, отталкиваясь от от произвольных отображений g Id S т X и / т X —У Con S, получить пучковые представления Условия полноты выясняется в следующих трех теоремах

Теорема 13.4. Пусть для произвольных полукольца S и топологического пространства X заданы- отображения

g Id S т X и /: т X Id S,

причем /ид сохраняют конечные пересечения, / сохраняет покрытия и для любых а,Ь € 5 и V € г X

Пи)С(а,Ъ)**=>иСд((а,ЬУ).

Тогда функциональное представление а9 полукольца Б полно

Определение. Скажем, что отображение / гХ-> Соп Б сильно сохраняет покрытия, если для любого открытого покрытия (11г) пространства X выполняется Кег /(1/г) = 5

г

Теорема 13.5. Если изотопное отображение / г X Сбп Б сильно сохраняет покрытия, то пучковое представление /3/ полукольца Б полно

Теорема 13.6. Пусть / — представление полукольца Б сечениями пучка (Р, X), индуцированное открытым семейством конгрузнций {ах х 6 X} Если X компактно и отображение г X Ы Б, заданное правилом

<р(Ц) = П{Кег ах х&Х\и} для всякого ¡7 € т X, сохраняет покрытия, то представление / полно

Применение трех указанных теорем о полноте позволяют получить изоморфные пучковые представления

(1) ламбековское для строго гармонических и строго полупервичных полуколец (теорема 13 10),

(2) пирсовское для произвольного полукольца (теорема 13 13),

(3) представление Корнишадля строго гармонического полукольца (теорема 13 14)

Основными результатами § 14 являются аналоги теоремы Стоуна-Ве-йерштрасса для пучков полуколец (теорема 14 1) и пучков полумодулей

Теорема 14.2. Пусть П = ип^аг £ X, — пучок Б-полумодулей над компактным пространством X, М$ — факторный подполумодулъ полумодуля Г(П), и (</ж) — семейство идеалов полукольца Б, индексированных точками пространства X, такие, что выполняются условия

(1) + — Б для любых различных х, у 6 X,

(2) для любого г £ Зх найдется такая открытая окрестность 11х точки х, что для любого у € их выполняется Пуг = О(у)

Тогда М<? = Г(П)

Теоремы о полноте находят применения при задании пучкового представления посредством сопряжений между фреймами идеалов полукольца (или конгруэнций) и решеткой открытых множеств некоторого топологического пространства В § 15 таким образом получены несколько представлений Укажем один из результатов параграфа

Теорема 15.5. Пусть Б и X — произвольные полукольцо и топологическое пространство соответственно Если (/,<?) — сопряжение между решетками т X и Ы 5, то пучковое представление ад полно

В заключительной главе 4 диссертации рассматриваются конкретные функциональные представления полуколец и полумодулей, даются харак-теризации некоторых классов полуколец в пучковых терминах

§16 посвящен представлениям полумодулей Определен симметрический полумодуль и доказана изоморфность его представления сечениями ламбековского пучка полумодулей

Далее в параграфе находятся полумодули и пучки, для которых применима теорема 14 2 общей теории Основное значение, оказывается, имеет выбор полукольца скаляров Получены изоморфные представления Лам-бека и Корниша для полумодуля над строго гармоническим полукольцом (теоремы 16 7 и 16 8) и Корниша для полумодуля над редуцированным риккартовым полукольцом (теорема 16 10) Два представления, обобщающие представления Пирса, пригодны для произвольных полумодулей (теорема 16 11)

Основным объектом § 17 является слабо редуцированное риккартово полукольцо Получена

Теорема 17.3. Слабо редуцированное риккартово полукольцо 5 изоморфно полукольцу всех глобальных сечений пучка (К(Б),Х) в каждом из следующих случаев

(1) X - Мгп 5,

(2) X = Брес 5

В теореме 17 5 дана характеризация слабо редуцированного риккарто-ва полукольца как полукольца глобальных сечений некоторого полухаус-дорфова пучка симметрических полуколец без делителей нуля

Наиболее ярко с точки зрения автора проявляется пучковый подход при изучении представителей класса агр-полуколец (§ 18) Имеющаяся связь arp-полуколец с дистрибутивными решетками позволяет во многих случаях проводить редукцию к последним Укажем один из характерных результатов параграфа

Теорема 18.9. Для любого полукольца S равносильны условия

(1) S — булево полукольцо,

(2) 5 — изоморфно полукольцу всех глобальных сечений некоторого пучка полутел;

(3) S — симметрическое полукольцо, и S/вр — полутело для любого Р € Spec S,

(4) S — агр~полукольцо, и вр = 0{Р) для любого Р 6 Spec S

Функциональный подход к гельфандовым полукольцам продемонстрирован в § 19 Гельфандовы полукольца, будучи строго гармоническими полукольцами, допускают изоморфное представление сечениями ламбеков-ского пучка, который к тому же является компактным Это представление позволяет дать различные характеризации гельфандовых полуколец (теорема 19 3) Конструкция ламбековского пучка используется в предложении 9 5 при доказательстве совпадения 9и и в(М) — "конгруэнций Ламбе-ка и Корниша" для любого максимального идеала и при описании чистой части произвольного правого идеала гельфандова полукольца (предложение 19 2)

Предпучок Симмонса в некоторых случаях оказывается пучком и, учитывая теорему 5 1, получаем несколько изоморфных пучковых представлений, которые дополняют представление Симмонса для колец

Теорема 19.5. Пусть F — фрейм всех чистых идеалов полукольца S Тогда предпучок (F, Pt F) является пучком в каждом из следующих случаев

(1) S — гельфандово,

(2) S — коммутативное в нуле полукольцо,

(3) S — кольцо,

(4) фрейм F всех чистых идеалов из S является цепью

В §20, заключительном параграфе диссертации, рассмотрен функто-риальный подход к полукольцам и пучкам

Определение. Пусть Р — пучок полуколец Рх над пространством X, R — пучок полуколец Ry над пространством Y Когомоморфизмом пучка Р в пучок R называется непрерывное отображение ip : Y —> X и семейство (/j/)> У 6 Y, полукольцевых гомоморфизмов fy • Pv(y) ->■ Ry такие, что для любого локального сечения а пучка Р отображение /?, определенное по формуле

0(у) = М<*Ш)),

непрерывно

Теорема 20.7. Функторы L(S) и Г(£) осуществляют двойственность категории всех гельфандовых полуколец S и их гомоморфизмов и категории всех компактных пучков L локальных полуколец с когомо-морфизмами в качестве морфизмов

Автор выражает признательность своему научному консультанту доктору физико-математических наук профессору МГУ Александру Васильевичу Михалеву и доктору физико-математических наук профессору ВятГГУ Евгению Михайловичу Вечтомову за полезные обсуждения, постоянную поддержку и внимание к работе

Список литературы

[1] Вечтомов Е M Функциональные представления колец — M Моек пед. гос ун-т, 1993

[2] Гельфанд И M О нормированных кольцах// ДАН СССР — 1939 — 22, №1 - С 430-432

[3] Ламбек И Кольца и модули — M Мир, 1971

[4] Тюкавкин Д В Пирсовские пучки для колец с инволюцией // M МГУ, 1982 - 64 с - Деп ВИНИТИ, № 3446-82 Деп

[5] Applications of sheaves — Lect Notes Math , №753 — Sprmger-Verlag, 1979 — 779p

[6] Arens R , Kaplansky I Topological representations of algebras// Trans Amer Math. Soc - 1949 -63 - P 457-481

[7] Bkouche R Couples spectraux et faisceaux associes. Applications aux anneaux de functions // Bull Soc Math France — 1970 — 98, N 3 — P 253-295

[8] Borceux F , Simmons H , Bossche G Van den A sheaf representation for modules with applications to Gelfand rings // Proc London Math Soc

- 1984 - 48, N2 - P 230-246

[9] Brezuleanu A , Diaconescu R Sur la duable de la categorie des treillis// Rev Roum. Math Pures Appl — 1969 - 14, N 3 — P 311-323

[10] Burgess W D , Stephenson W Pierce sheaves of non-commutative rings // Comm Algebra - 1976 - 39 - P 512-526

[11] Burgess W D , Stephenson W An analogue of the Pierce sheaf for non-commutative rings // Comm Algebra — 1978 - 6, N 9 — P 863-886

[12] Burgess W D , Stephenson W Rmgs all of whose Pierce stalks are local// Canad Math Bull - 22, N 2 - 1979 - P 159-164

[13] Carson A B Representation of regular rmgs of finite index// J Algebra

- 39, N2 - P 512-526

[14] Cignoli R The lattice of global sections of sheaves of shams over Boolean spaces// Algebra Universalis - 1978 - 8, N 3 - P 357-373

[15] Comer S D Representation by algebras of sections over Boolean spaces// Pacific J Math - 38 - 1971 -P 29-38

[16] Cornish W H Normal lattices// J Austral Math Soc - 1972 — 14, N 2 - P 200-215

[17] Cornish W H 0-ideals, congruencies and sheaf representations of distributive lattices// Rev Roum Math Pures Appl — 1977 — 22, N 8 - P 200-215

[18] Dauns J , Hofmann K H The representation of biregular rmgs by sheaves // Math Z - 1966 - 91, N 2 - P 103-123

[19] Dauns J , Hofmann K.H Representations of rings by sections — Memoir Amer Math Soc - 1968. - N 83

[20] Davey B A Sheaf spaces and sheaves of universal algebras// Math Z — 1973 - 134, N 4 - P 275-290.

[21] Dedekmd R Uber die Theone ganzen algebraischen Zahlen// Supplement XI to P.G Lejeune Dirichlet Vorlesungen Uber Zahlentheorie, 4 Anfl, Druck und Verlag, Braunschweig, 1894

[22] Georgesku G , Voiculescu J Isomorphic sheaf representations of normal lattices// J Pure and Appl Algebra - 1987. - 45,N3 - P. 213-223

[23] Georgescu G Pierce representations of distributive lattices// Kobe J Math - 1993 - 10, N 1 - P 1-11

[24] Glazek K A Short Guide Trough the Literature on Semirings// University of Wroclaw, Mathematical Institute (Preprint №39) — Wroclaw, 1985

[25] Glazek K A Short Guide to the Literature on Semirings and Their Applications in Mathematics and Computer Science, 2000

[26] Golan J S Localization of noncommutative rings — New York Marcel Dekker, 1975 - 346 p

[27] Golan J S Structure sheaves over a noncommutative ring — Lect Notes in Pure and Appl Math , N 56 — Marcel Dekker, 1980 - 170 p

[28] Golan J S. Two sheaf constructions for noncommutative rings// Houston J Math - 1980 - 6, N 1 - P 59-66

[29] Golan J S The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science// Pitman monographs and surveys m pure and applied mathematics V 54 — 1992 (1991)

[30] Golan J S Semirings and Their Applications// Kluwer Acad Publ — Dordrecht, 1999

[31] Grothendieck A , Dieudonne J Elements de Geometrie Algebrique 1 — I H E S , Publ. Math 4 - Pans, 1960.

[32] Hebisch U , Wemert H.J. Semirings Algebraic Theory and Applications in Computer Science// World Scientific — Singapore, 1998

[33] Hilbert D Uber den Zahlbergriff// Jahresber Deutsch Math -Verein — 1899 - V 8 - P 180-184

[34] Hofmann K H Representations of algebras by continuous sections// Bull Amer Math. Soc - 1972 - 78, N 3 - P 291-373

[35] Huntington E V complete sets of postulates for the theory of positive integral and positive rational numbers// Trans Amer Math Soc — 1902 - V 3 - P 280-284

[36] Keimel K Dar stellung von Halbgruppen und universellen Algebren durch Schnitte m Garben, biregulare Halbgruppen// Math Nachr — 45 — 1970 -P 81-96

[37] Keimel K The representation of lattice ordered groups and rings by sections m sheaves// Lect. Notes Math , N 248 — Springer-Verlag, 1971 -P 2-96

[38] Koh K On functional representations of ring without nilpotent elements // Canad Math Bull - 1971 - 14, N 3 - P 349-352

[39] Koh K On a representation strongly harmonic ring by sheaves // Pacif J Math - 1972 - 41, N 2 - P. 459-468

[40] Lambec J On representation of modules by sheaves of factor modules// Can Math Bull - 1971. - 14, N 3 - P 359-368

[41] Macaulay P S Algebraic Theory of Modular Systems — Cambridge — Cambridge Umv Press, 1916

[42] Mulvey C J A generalization of Gelfand duality //J Algebra — 1979

- 56, N 2 - P 499-505

[43] Mulvey C J. Representations of rmgs and modules// Lect Notes Math

- 1979 - 753 - P 542-585

[44] Pierce R S Modules over commutative regular rings// Mem Amer Math Soc - 1967. - 70 - P 1-112

[45] Recent advances in the representation theory of rings and <C*-algebras by continuous sections// Memoirs Amer Math Soc — 1974 — 148 — 182p

[46] Rumbos I В A structure sheaf for semiprime rings// Commun Algebra - 1989 - 17, N 11 - P 2773-2794

[47] Simmons H Sheaf representation of strongly harmonic rings//Proc Roy Soc. Edinburgh. - 1985 - A99, N 3-4 P. 249-268

[48] Simmons H Compact representations — the lattice theory of compact ringed spaces// J. Algebra - 1989 - 126, N 2 - P 493-531

[49] Stone M Applications of the theory of Boolean rings to general topology// Trans Amer Math Soc. - 1937 - 41,№3 - P 375-481

[50] Teleman S Representation par faisceaux des modules sur les anneaux harmoniques // С r Acad Sci - 1969 - 269, N 17 - P A753-A756

[51] Vandiver H S Note on a simple type of algebras in which cancellation law of addition does not hold// Bull Amer. Math Soc — 1934 — 40 — P 914-920

[52] Werner H Sheaf constructions in universal algebra and model theory// Universal algebra and appl Pap Stefan Banach Inst Math cent Semestr Febr 15 - June 9, 1978 - Warsawa - 1982 - P 133-179

Публикации автора

[53] Чермных В.В Представления положительных полуколец сечениями// Успехи матем наук - 1992 - 47, N 5 - С 193-194

[54] Чермных В В Пучковые представления полуколец// Успехи матем наук - 1993 - 48, N 5 - С 185-186

[55] Вечтомов Е М , Чермных В В Полукольца, близкие к дистрибутивным решеткам//Международная конференция "Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца" в честь Е С Ляпина Тезисы докл - С Петербург РГТИ, 1995 - С90-91.

[56] Чермных В В О полноте пучковых представлений полуколец// Фун-дам и прикл матем - 1996 — 2, N 1 — С 267-277

[57] Чермных В В Ламбековское представление полуколец// Вестник Вятского пед ун-та — Вып 1. Матем , инф , физ — 1996 — С 19-21

[58] Вечтомов Е M , Чермных В В Условия симметричности в кольцах и полукольцах// Вестник Вятского пед. ун-та — Вып 1. Матем , инф., физ - 1996 - С 6-8.

[59] Чермных В В О предпучке полуколец эндоморфизмов// Вестник Вятского гос пед ун-та Матем , инф , физ — 1997 — Вып 3 — С 33-36

[60] Чермных В В Полукольца — Киров Вятский гос пед университет

- 1997 - 131 с

[61] Вечтомов Е M , Михалев А В , Чермных В В Абелево регулярные положительные полукольца// Труды семинара имени И Г Петровского

- 1997 - Т.20 - С 282-309

[62] Чермных В В Теорема Стоуна-Вейерштрасса для пучков полуколец // Kurosh Algebraic Conference'98 Abstract of talks — M , МГУ — С 222-223

[63] Чермных В.В Аналог теоремы Стоуна-Вейерштрасса для полуколец// Науч вестник Кировского филиала МГЭИ — 1998 — Вып 1-С 193-196

[64] Artomonova 11, Chermnykh V V , Mikhalev A.V , Varankma V I, Vechtomov E M Semirings sheaves and continuous functions// Proceedings of SPB conference — Sankt-Peterburg —1999 —P 23-58

[65] Чермных В В Ламбековское представление полумодулей// Вестник ВятГГУ. - 2003 - №8 - С 107-109

[66] Чермных В В О представлении полумодулей сечениями пучков// Тезисы докладов V Международной конф — Тула — 2003 — С 239-240

[67] Чермных В.В Гельфандовы полукольца и их представления сечениями// Чебышевский сборник - 2004 - 5, №2 — С 131-148

[68] Чермных В В О регулярных полукольцах с некоторыми условиями// Вестник ВятГГУ - 2004 - №11 - С 147-149

[69] Чермных В В О двойственности Малви для гельфандовых полуколец/ / Тезисы докладов Междунар алгебраич конф — МГУ — 2004

- С 136-137

[70] Чермных В В Двойственность Малви для гельфандовых полуколец// Вестник ВятГГУ - 2004 - №10 - С 64-66

[71] Чермных В В О полноте пучкового представления полуколец// Тезисы докладов Междунар. алгебраич конф — Екатеринбург, УрГУ

- 2005 - С 114-115

[72] Чермных В В Полукольца сечений пучков // Вестник ВятГГУ — 2005 — № 13 — С 151-158 (Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 03-01-07005)

[73] Чермных В В О полном пучковом представлении полуколец// Вестник ВятГГУ Информатика Математика Язык — 2005. — №3 — С 163-165

[74] Чермных В В Фреймы идеалов и представления полуколец// Материалы Междунар конф. — Орел, Орлов гос ун-т — 2006 — С 201-205

Подписано в печать 04.05.2007 г Формат 64x80/16. Бумага офсетная Уел печ. л 1,5. Тираж 120 экз Заказ №65Л

Издательский центр Вятского государственного гуманитарного университета, 610002, г Киров, ул. Ленина, 111, т. (8332) 673674

Введение.

Глава 0. Полукольца и пучки. Предварительные результаты

1. Основные понятия теории полуколец.

2. Определение пучка.

Глава 1. Спектры полуколец и пучковые конструкции

3. Первичный спектр и его подпространства.

4. Точечные пространства полуколец.

5. Предпучки Симмонса и Гротендика.

6. Представления Ламбека.

Глава 2. Классы полуколец

7. Симметрические и редуцированные полукольца

8. Строго гармонические полукольца.

9. Гельфандовы полукольца.

10. Редуцированные риккартовы полукольца.

11. Регулярные полукольца.

Глава 3. Общая теория функциональных представлений полуколец

12. Компактные пучки.

13. Полнота пучковых представлений.

14. Теорема Стоуна-Вейерштрасса для пучков.

15. Сопряжения, фреймы идеалов и представления

Глава 4. Структурные представления полуколец и полумодулей

16. Представления полумодулей сечениями пучков

17. Представления риккартовых полуколец.

18. Абелево-регулярные положительные полукольца

19. Применения пучков к гельфандовым полукольцам

20. Двойственность Малви.

Диссертация посвящена представлениям полуколец сечениями пучков, поэтому коснемся двух составляющих — теории пучков (более точно, пучковых представлений) и полуколец.

История первой обозначенной теории начинается с 1945 года, когда Ж. Лере открыл понятие пучка, а работы А. Кар-тана, А. Вейля и Ж.-П. Серра привели к оформлению основ теории. Работы А. Гротендика [60] и Р. Годемана [54] завершили первый этап истории пучков. К этому периоду (конец 50-х годов 20 века) пучки стали инструментом алгебраической топологии, применимым прежде всего в теории когомо-логий неодносвязных пространств.

Следующие шаги предприняты в первую очередь Гротен-диком и участниками его семинара в 60-х годах, когда для определения хороших когомологий схем с постоянными коэффициентами понятие топологического пространства было заменено понятиями ситуса и топоса. В монографии М. Ка-сивары и П. Шапиро "Пучки на многообразиях" [20] отражено современное состояние теории; исторический очерк о теории пучков написанный К. Узелем, прекрасно дополняет эту книгу. Кроме этого, исторические сведения о пучках и близких вопросах можно найти в введении "Теории топосов" П. Джонстона [19].

В этой же монографии Джонстон, ссылаясь на С. Маклей-на [73], рассуждает о пути развития топосов. Видимо, работы последнего времени и ссылки Джонстона на [64, 74, 75] позволяют переформулировать эти высказывания применительно к пучкам: почти все современные значительные работы по теории пучков занимаются пучками не как абстрактной и изолированной областью математики, а как вспомогательным средством для понимания и прояснения понятий в других областях. Скажем об активном использовании пучков в теории категорий [19, 17], отметим результаты А. В. Михалева и К. И. Бейдера, находящиеся на стыке логики и алгебры [2, 3], работы В. А. Любецкого (например, [24]), в которых пучки являются одним из основных инструментов при исследовании вопросов логики, нестандартного анализа, алгебраических систем.

Одним из крайних [19, с.9] и важных [20, с.34] применений пучков является теория представлений алгебр сечениями пучков. пучок алгебр некоторой фиксированной сигнатуры П над топологическим пространством X. Множество Г всех непрерывных функций из X в Р (обязательно х отображается в слой Рх) с поточечно определенными операциями является алгеброй сигнатуры П. Гомоморфизм алгебры (А, О) в Г называется представлением А сечениями данного пучка (Р, X).

Выделим основные задачи теории пучковых представлений.

Пусть хеХ

1) Построение пучков (предпучков), связанных с представляемой алгеброй, с хорошим базисным пространством и слоями, проще устроенными, чем исходный объект.

2) Нахождение представлений алгебр конкретных классов (отметим, что наибольшее значение имеют изоморфные пучковые представления).

3) Установление связей между свойствами представляемой алгебры и свойствами слоев пучка и его базисного пространства; доказательство свойств алгебр с помощью пучковых конструкций.

4) Характеризация алгебр в пучковых терминах; сюда же примыкает задача о функториальных свойствах алгебр — установление двойственностей между категориями алгебр и категориями пучков.

5) Нахождение достаточных условий полноты (эпиморф-ности) представлений; нахождение условий, при которых подалгебра алгебры Г совпадает с Г.

6) Изучение алгебр сечений "хороших" пучков.

Родоначальником теории пучковых представлений считается Гротендик [61], доказавший изоморфизм между произвольным коммутативным кольцом R с единицей и кольцом сечений пучка (G,Spec R) локализаций кольца R по всем его простым идеалам. И. Ламбек [71] (издание на английском языке вышло в 1965 году) ограничивает представление Гротендика до факторного и получает принципиально новое представление, основанное на открытом семействе идеалов (Op), Р Е Spec R. Этот подход оказался очень плодотворным — адаптация идей Ламбека для некоммутативных колец привело к целой серии работ по пучковым представлениям. Прежде всего отметим работу Д. Даунса и К. Гофмана [45] о представлении бирегулярного кольца и применении полученной конструкции для описания группы автоморфизмов бирегулярного кольца. Характеризационная теорема Даунса-Гофмана обобщает результаты Р. Аренса и И. Кап-ланского [32] о представлении произвольного бирегулярного кольца кольцом функций, которые в свою очередь обобщают классическую теорему М. Стоуна [85] о представлении булевых колец. Эти результаты вместе с преобразованием И. М. Гельфанда [16] банаховых алгебр можно считать непосредственными источниками, приведшими к возникновению теории пучковых представлений.

В дальнейшем К. Кохом [69] доказана изоморфность лам-бековского представления для колец без нильпотентов. Он же дал представление строго гармонических колец [70]. В статье Г. Симмонса [83] изучаются свойства строго гармонических колец прежде всего в терминах пучков, в частности, получена их пучковая характеризация. Ламбек [71] построил пучок колец, основанный на первичном спектре так называемой симметрической части кольца. В случае симметрического кольца и симметрического модуля Ламбеком получены изоморфные представления. Представления рга-колец и коммутативных гармонических колец рассматривали Р. Бкуш [33] и С. Телеман [86]. Гельфандовы кольца, их свойства и представления изучались С. Д. Малви [76, 77] и Симмонсом с соавторами [34].

В фундаментальной работе [78] Р. С. Пирсом построены пучки колец и модулей на стоуновском пространстве кольца (как на базисном пространстве). Любое кольцо изоморфно кольцу сечений своего пирсовского пучка, но нетривиальные представления получаются только для колец с достаточно богатой булевой алгеброй центральных идемпотентов. Для изучения таких колец широко используется техника с применением конструкции пирсовского пучка. Отметим работу Д. В. Тюкавкина [28] о регулярных кольцах с инволюцией, статью А. Б. Карсона [40] о пирсовском пучке регулярного кольца конечного индекса нильпотентности. Изучение пирсовского пучка и его применение осуществлено в работах В. Д. Беджеса и В. Стефенсона [37, 38], в которых они ввели полезное понятие пирсовской цепи, строя пучки для слоев пучка Пирса и продолжая этот процесс для построенных пучков (см. также [39]).

В 1971 году К. Кеймель [67] развил теорию представлений для решеточно упорядоченных колец, которая применима также для решеточно упорядоченных абелевых групп. Близкие вопросы рассматривались в [68].

К середине 70-х годов был накоплен достаточный материал по различным типам конкретных пучковых представлений, что неизбежно поставило вопрос о создании общей теории представлений. Вышли обзоры Гофмана [64] и Мал-ви [77], сборники [79, 31]. Гофманом, в частности, получено следующее. Отталкиваясь от произвольного семейства идеалов, осуществляется переход к открытому семейству идеалов, индексированных точками топологического пространства X. Показано, что таким образом может быть получено любое факторное представление кольца. Равносильный гоф-мановскому подход через открытые семейства идеалов и идеальные пространства предложен Малви. Позже, в 1989 году,

Симмонс [84] дал описание функционального представления кольца как соответствия Галуа между решеткой Ы Я идеалов кольца Я и решеткой тХ открытых множеств базисного топологического пространства X.

Симмонсу [83] принадлежит разработка еще одного важного фрагмента общей теории. Как было замечено, факторное представление кольца Я сечениями пучка над X задает соответствие между решетками Ы Я и тХ (типа соответствия Галуа или соответствия, близкого к сопряжению). Симмонсом найдены достаточные условия, при которых такое соответствие задает полное факторное представление. Применение найденных конструкций дает два вида пучковых представлений, основанных на фреймах идеалов и их точечных пространствах (наиболее интересные представления получаются с помощью чистых идеалов).

Так же с именем Симмонса связан структурный предпучок над чистым спектром кольца Я. Именно, каждому открытому множеству точечного спектра сопоставляется кольцо эндоморфизмов соответствующего чистого идеала, рассматриваемого как правый модуль над Я. В [34] показано, что каноническое представления кольца Я сечениями предпучка является изоморфным, а сам предпучок — пучком для произвольного кольца. В случае гельфандова кольца его пучок Симмонса совпадает с ламбековским пучком, а для коммутативного кольца с ограничением пучка Гротендика.

Наконец, скажем о вкладе Голана в теорию представлений колец [55, 56, 57]. Каждой точке пространства простых кручений кольца Я сопоставляется кольцо частных кольца Я относительно соответствующего кручения. Получаем пучок и изоморфное представление для произвольного кольца. Изложение конструкции Голана и некоторое ее обобщение можно найти в [80].

На русском языке теория пучковых представлений колец в достаточно полном объеме изложена в монографии Е. М. Ве-чтомова [11].

Без всякого сомнения, кольцо является наиболее важным и удобным алгебраическим объектом с точки зрения пучковых представлений. Однако пучки широко применяются и для изучения других алгебраических систем, прежде всего, ограниченных дистрибутивных решеток и почти-колец.

Отметим, что первые работы по представлению дистрибутивных решеток и почти-колец появились уже в конце 60-х годов. Различным типам пучковых представлений посвящены работы [35, 41, 43, 44, 49, 50, 51].

По универсальным алгебрам укажем следующие результаты. С. Д. Комер [42] получил представление в пучке на стоуновском пространстве булевой подрешетки решетки всех конгруэнций универсальной алгебры; показано применение для бирегулярных колец и для цилиндрических алгебр. В [66] К. Кеймелем дано представление, пригодное для изучения бирегулярных полугрупп. Вопросам общей теории представлений универсальных алгебр посвящены статьи Б. А. Дейви [47] и Г. Вернера [89].

Одним из главных объектов предлагаемой диссертации является полукольцо. Полукольцо понимается нами как алгебраическая система, отличающаяся от ассоциативного кольца с 1, возможно, необратимостью аддитивной операции. Впервые термин полукольцо появился в 1934 г. в статье

Г.С.Вандивера [87], однако, фактически полукольца изучались с конца 19 века в работах, связанных с изучением идеалов колец [48, 72] и с вопросами аксиоматики натуральных и неотрицательных рациональных чисел [63, 65].

Планомерное изучение полуколец началось в 50-х годах 20 века в работах А. Алмейда Косты, С. Бёрна, М. Хенрик-сена, К. Исеки, В. Словиковского, В. Завадовского и др. С конца 80-х годов повышенное внимание к полукольцам обуславливается не только внутренними потребностями теории, но и многочисленными ее приложениями (теории автоматов, оптимального управления, формальных языков, графов и др.). Опубликованы монографии Голана [58, 59], У. Хебиша и Г. Вейнерта [62], обзоры литературы по теории полуколец К. Глазека [52, 53].

Впервые вопрос о возможности применения пучковых методов для изучения полуколец поставил К. И. Бейдер в 1990 году на научно-исследовательском семинаре "Кольца и модули" в МГУ.

В диссертации решаются следующие общие задачи.

1. Строятся пучки полуколец Ламбека, Корниша, Пирса, Гротендика и Симмонса, аналоги кольцевых и/или решеточных конструкций; даны соответствующие представления полуколец и полумодулей.

2. Развивается общая теория представлений полуколец и полумодулей.

3. Выделяются классы полуколец, "удобных" для функциональных представлений.

В диссертации применяются методы теорий полуколец, колец, дистрибутивных решеток и универсальных алгебр, общей топологии, теории пучков. Введены новые понятия уравнителей элементов и идеалов, конструкция "полумодульного" разбиения единицы, конструкция левого пучка Ламбека. Рассмотрение г-полуколец позволило решить проблему А. В. Михалева об описании гельфандовых и локальных полуколец. В рамках общей теории решена задача Е. М. Вечтомова о переносе аналога теоремы Стоуна-Вейерштрасса на пучки полуколец и полумодулей.

По мнению автора основными результатами диссертации являются следующие.

1. Даны доказательства изоморфности указанных выше представлений (теоремы 5.5, 6.3, 6.4, 6.10, 13.10, 13.13, 17.3, 19.5).

2. Определены и описаны гельфандовы полукольца (§§ 9, 19).

3. Найдены достаточные условия полноты факторных представлений (теоремы 13.4, 13.5, 13.6); применение к этим результатам техники сопряжений дает две общие пучковые конструкции (теоремы 15.5. и 15.8).

4. Получены аналоги теоремы Стоуна-Вейерштрасса для пучков полуколец и полумодулей (теоремы 14.1 и 14.2).

5. Установлена двойственность между категориями гельфандовых полуколец и категорией компактных пучков локальных полуколец (теорема 20.7).

Приступим к краткому изложению результатов диссертации.

Глава 0 является вводной, состоит из двух параграфов. В первом даны определения полукольца и основных связанных с ним понятий. Большинство сформулированных свойств полуколец, идеалов, некоторых конструкций приводятся без доказательств по причине либо очевидности, либо малого отличия от кольцевых рассуждений.

В § 2 определяется пучок и предпучок полуколец, функциональное представление. Рассмотрены основные свойства пучков. Основной в этом параграфе является теорема 2.2, в которой дан подход к построению факторного пучка посредством открытой системы конгруэнций.

В главе 1 построены первые в работе пучковые конструкции и функциональные представления. В §§ 3,4 изучаются базисные пространства пучков — первичный спектр Spec S (с топологией Стоуна-Зарисского) и его подпространства и точечные пространства полукольца. Укажем три результата такого рода.

Предложение 3.1. Для произвольного полукольца S выполняются утверждения:

1) Spec S — компактное Tq -пространство с базисом открытых множеств D(a) = {Р G Spec S : а fi р}7 a Е S;

2) множество всех максимальных идеалов Max S — компактное Ti-пространство, являющееся подпространством всех замкнутых точек в Spec S;

3) любое подпространство Spec S, содержащее Max S, компактно и коплотно.

Предложение 3.4. Для произвольного полукольца S пространство Max BS — нульмерный компакт.

Теорема 4.7. Всякий фрейм идеалов F полукольца S изоморфен решетке rPt F всех открытых множеств точечного пространства Pt F, являющегося компактным То-пространством.

Через В S обозначено булево кольцо дополняемых идем-потентов полукольца S. Топология точечного пространства полной решетки задается как топология Стоуна на множестве Л-неприводимых элементов этой решетки.

Фреймом идеалов полукольца называется произвольная полная решетка идеалов (содержащая нулевой и несобственный идеалы), замкнутая относительно произвольных сумм. Значение фреймов идеалов заключается в их применении при построении пучковых представлений с помощью сопряжений, что будет продемонстрировано в § 15. Рассматриваются три основных примера фреймов идеалов — чистые, равномерно чистые и регулярные.

В § 5 определяются структурные предпучки Симмонса и Гротендика. Для произвольного полукольца доказывается, что представление Симмонса (сечениями предпучка) является изоморфным. Более точно имеет место

Теорема 5.1. Пусть S — произвольное полукольцо, F — фрейм всех его чистых идеалов. Справедливы следующие утверждения:

1) соответствие р*(А) —> End А для каждого чистого идеала А определяет предпучок F полуколец над точечным пространством Pt F фрейма всех чистых идеалов полукольца S;

2) предпучок (F, Pt F) удовлетворяет условию Р1;

3) полукольцо S изоморфно полукольцу всех глобальных сечений этого предпучка.

Для построения представления Гротендика мы стандартным образом (как и для коммутативных колец) определяем локализацию Sp коммутативного полукольца S по простому идеалу Р. Отметим, что локализация полукольца по нашей терминологии в общем не является локальным полукольцом (см. §9). Пучок Гротендика определяется как дизъюнктное объединение локализаций по всем простым идеалам над простым спектром полукольца. Доказывается

Теорема 5.5 Представление Гротендика всякого коммутативного полукольца является изоморфным.

Факторное ограничение представления Гротендика дает изоморфное представление коммутативного полукольца, индуцированное открытым семейством конгруэнций {6р : Р Е Spec где аврЪ (3ceS\ Р)(ас = be). (*)

В § 6 это представление адаптируется для некоммутативных полуколец, доказывается изоморфность для симметрических и строго полупервичных полуколец, а также обобщение ламбековского представления, которое является изоморфным для любого полукольца.

Определение. Пусть S — произвольное полукольцо, Т — такое его подполукольцо, что для любых а, Ь) с £ S и для любого t Е Т abt = act <=-atb = ate.

Подполукольцо T назовем симметрической частью полукольца S. Если S = Т, полукольцо S называется симметрическим.

Для каждого Р Е Spec Т определим отношение Bp, положив для любых элементов а, 6 Е S а Эр b (3с Е Т \ Р)(ас = be). (**)

Теорема 6.3. Произвольное полукольцо S изоморфно полукольцу глобальных сечений пучка US/Эр над Spec Т.

В случае S = Т конгруэнции (*) и (**) совпадают и как следствие теоремы 6.3 получается

Теорема 6.4. Ламбековское представление произвольного симметрического полукольца над его первичным спектром является изоморфным.

Для полукольца, не являющегося симметрическим, конгруэнции, индуцирующие представление Ламбека, необходимо подправить, и они принимают вид: а Ор Ъ (Зс G 5 \ P)(Vs G S)(asc = bsc).

Полукольцо S называется строго полупервичным, если для любых элементов a,b G S выполняется Ь)* = (а,Ь)*, где \fl — П{Р G Spec S : Р Э 1} и уравнитель (а, Ь)* — {с G S : (Vs G S)(asc = bsc)}.

Теорема 6.10. Ламбековское представление строго полупервичного полукольца над первичным спектром является изоморфным.

Доказанные результаты обобщают конструкции ламбеков-ских пучков колец и дистрибутивных решеток и соответствующие представления [71, 23, 64, 35].

Основной задачей главы 2 является определение и изучение полуколец, допускающих хорошие функциональные представления. Так § 7 посвящен симметрическим полукольцам — естественному обобщению коммутативности. Симметрические кольца были введены в рассмотрение Ламбеком [71], изучались в [9], имеют некоторые обобщения [?]. Важный собственный подкласс симметрических полуколец без нильио-тентов образует класс редуцированных полуколец (полукольца, удовлетворяющие равносильности а2 + Ъ2 = аЬ + Ьа а = Ъ)) содержащий, в частности, все ограниченные дистрибутивные решетки. Именно в классах симметрических и редуцированных полуколец допускают удобное описание с помощью пучков многие полукольца — регулярные, риккартовы, бэровские, агр-полукольца.

Главными объектами изучения §§8,9 являются строго гармоническое и гельфандово полукольца соответственно.

Кольцо Я называется строго гармоническим (гельфандо-вым), если для любых его различных максимальных (максимальных правых) идеалов М и N найдутся такие элементы а е Я \ М и Ъ е Я \ N. что аЯЪ = 0.

Строго гармонические кольца были определены Кохом [70], гельфандовы — Малви [76]. Источником этих и некоторых близких к ним колец (гармонических, ^ш-колец, ртг-колец) можно считать кольца непрерывных функций. Вопросами строгой гармоничности колец непрерывных функций занимался Вечтомов, в его докторской диссертации [13], в частности, показано, что для любого топологического тела Р гель-фандовость кольца непрерывных функций С — С(X, Р) равносильна каждому из условий: кольцо С — строго гармоническое, С — гармоническое, С — рш-кольцо. Не удивительно поэтому, что к указанным кольцам активно применялись пучковые методы [34, 77, 83] .

Для полуколец дословно переносится определение строгой гармоничности и "почти" дословно — гельфандовости. Именно, указанное кольцевое определение для гельфандова полукольца дополняется условием полустрогости всех его максимальных идеалов.

Получена характеризация строго гармонических полуколец:

Предложение 8.6. Для произвольного полукольца S эквивалентны следующие условия:

1) S — строго гармоническое;

2) CU + 0в — S для любых замкнутых непересекающихся множеств А и В в Max S;

3) 0А + Ом — S для любого замкнутого множества А и любой точки М £ А пространства Max S;

4) 0м + Одг = 5 для любых М ф N из Max S;

5) Z(0z(i)) = Z(I) для любого идеала I в S;

6) — ®z(J2ia) для любого семейства (1а) идеалов а & полукольца S;

7) 0 z(i) Q М / СМ для любых идеалов I полукольца S и М е Max S.

Полукольцо называется pm-полукольцом (pmrpml-полукольцом), если каждый первичный идеал содержится в однозначно определенном максимальном (максимальном правом, максимальном левом) идеале полукольца. Основополагающей для изучения гельфандовых полуколец оказывается

Теорема 9.3. Для гельфандова полукольца S равносильны условия:

1) S — pmi—полукольцо;

2) S — pml-полукольцо;

3) S — pm-полукольцо, каждый максимальный односторонний идеал которого является максимальным.

Отметим, что в кандидатской диссертации автора [92] рассматривались гельфандовы полукольца как строго гармонические полукольца, в которых каждый максимальный идеал является максимальным правым и максимальным левым идеалом. Понятно, что при таком определении гельфандовых полуколец основные трудности при их изучении разрешались автоматически.

В классе слабо редуцированных полуколец (так названы симметрические полукольца без ненулевых нильпотентов) рассматриваются слабо риккартовы и риккартовы полукольца — обобщения соответствующих кольцевых понятий. Из § 10 отметим следующие описания введенных полуколец.

Предложение 10.3. Для произвольного слабо редуцированного полукольца 5 равносильны условия:

1) 5 — слабо риккартово;

2) все идеалы 0р, Р Е Spec S, первичны (эквивалентно вполне первичны, псевдопросты);

3) все идеалы 0м, М Е Max S, первичны (эквивалентно вполне первичны, псевдопросты), и Р С М влечет 0р = 0м для любых Р Е Spec S, М Е Max S;

4) каждый первичный идеал из S содержит единственный минимальный первичный идеал;

5) (Va, b Е S)(ab = 0 ==>• Ann а + Ann 6 = 5);

6) (Va,b E S)(Ann a + Ann b = Ann ab);

7) (Va, b E S)(D(a) П D{b) = 0 ~Ща) П ТЩ = 0).

Предложение 10.6. Для произвольного слабо редуцированного полукольца 5 равносильны следующие условия:

1) 5 — риккартово полукольцо;

2) для любого а £ S выполняется

Ann а + Ann Ann а = S;

3) для любого a Е S D(a) открыто-замкнуто в Spec S;

4) S — слабо риккартово и Min S компактно;

5) Min S — ретракт Spec S.

В заключительном параграфе второй главы рассматриваются слабо симметрические регулярные полукольца, каждый идемпотент которых дополняем. В § 18 такие полукольца характеризуются как полукольца глобальных сечений пучков полуколец с делением над компактом (теорема 18.10).

Глава 3 посвящена вопросам общей теории функциональных представлений. Укажем основные темы общей теории, рассматриваемые в диссертации.

1) Изучение компактных пучков и компактных представлений^ 12); в этом случае охватываются несколько типов конкретных представлений, и, кроме того, наиболее ярко прослеживается связь с теорией полуколец (колец) непрерывных функций.

2) При анализе изоморфных факторных представлений обоснование полноты (эпиморфности) доставляет наибольшие трудности, следовательно, актуальной является задача нахождения достаточных условий полноты представлений. Несколько подходов к решению этой проблемы осуществлено в §13.

3) Близким к предыдущему можно считать задачу нахождения условий на подполукольцо глобальных сечений пучка, при которых оно совпадает со всем полукольцом глобальных сечений. В этом случае заметна связь с классической теоремой Вейерштрасса-Стоуна о подалгебре банаховой алгебры непрерывных функций. Эти вопросы для пучков полуколец и пучков полумодулей рассматриваются в § 14.

4) Задание функционального представления с помощью сопряжения между решеткой идеалов (или конгруэнций) полукольца и решеткой открытых подмножеств некоторого топологического пространства — подпространства первичного спектра или точечного спектра фрейма идеалов полукольца.

Ниже указаны основные результаты главы 3, относящиеся к общей теории представлений, а также их применения, дающие конкретные изоморфные пучковые представления для некоторых классов полуколец.

Теорема 12.1. Пусть (П, X) — пучок полуколец над компактом X. Рассмотрим следующие условия:

1) пучок П — Г-отделимый;

2) пучок П — Т-регулярный;

3) пучок П — -регулярный;

4) П — мягкий пучок;

5) пучок П — Г -нормальный;

6) пучок П — Г-паракомпактный;

7) Зх + Зу = Г.

Тогда утверждения (1) — (5) равносильны и (6) (7); (7) влечет каждое из указанных условий; если (П, X) — пучок колец, то условия (1) — (7) эквивалентны.

Пучок (Р,Х) над компактом X, удовлетворяющий условию (7) торемы 12.1, называется компактным.

Пусть М — максимальный идеал слоя Их компактного пучка (П,Х). Определим идеал Мх полукольца Г как мх = {7 € Г : ф) еМ} = f-ЦМ).

Получено описание максимальных идеалов полукольца сечений компактного пучка, аналогичное теореме Гельфанда-Колмогорова.

Предложение 12.6. Максимальными идеалами полукольца Г компактного пучка (П, X) являются в точности идеалы Мх, различные для различных пар (х, М).

Определение. Скажем, что отображение / сохраняет покрытия, если f(Ui) = S для каждого открытого покрыг тия (Ui) пространства X.

Теорема 13.4. Пусть для произвольных полукольца S и топологического пространства X заданы отображения g: IdS -^т X и /: т X -> Id S, причем fug сохраняют конечные пересечения, / сохраняет покрытия и для любых a:b 6 S и U £ т X f{u) С (а, Ь)* и С д((а, 6)*). (1)

Тогда функциональное представление ад полукольца S полно.

Определение. Скажем, что отображение

Con S сильно сохраняет покрытия, если для любого открытого покрытия (Ui) пространства X выполняется ^Ker f(U{) = S. i

Если /: т X Con S сильно сохраняет покрытия, то z о f: т XId S сохраняет покрытия.

Теорема 13.5. Если изотопное отображение /: г X —У Con S сильно сохраняет покрытия, то пучковое представление j3f полукольца S полно.

Теорема 13.6. Пусть f — представление полукольца S сечениями пучка (Р, X), индуцированное открытым семейством конгруэнций {ах : х Е X}. Если X компактно и отображение ср : г X Id S, заданное правилом p{U) = П {Ker ax:xeX\U} для всякого U Е г X, сохраняет покрытия, то представление f полно.

Применение трех указанных теорем о полноте позволяют получить изоморфные пучковые представления:

1) ламбековское для строго гармонических и строго полупервичных полуколец (теорема 13.10);

2) пирсовское для произвольного полукольца (теорема 13.13);

3) представление Корниша для строго гармонического полукольца (теорема 13.14).

Основными результатами § 14 являются аналоги теоремы Стоуна-Вейерштрасса для пучков полуколец (теорема 14.1) и пучков полумодулей:

Теорема 14.2. Пусть П = (JUc, х Е X, — пучок S-полу-модулей над компактным пространством X, М§ — факторный подполу модуль полумодуля Г(П), и (Jx) — семейство идеалов полукольца Б, индексированных точками пространства X, такие, что выполняются условия:

1) Jx + Jy — Б для любых различных х,у Е X;

2) для любого г Е Jx найдется такая открытая окрестность их точки х, что для любого у Е 1)х выполняется иуг = 0(у).

Тогда М3 = Г(П).

Теоремы о полноте находят применения при задании пучкового представления посредством сопряжений между фреймами идеалов полукольца (или конгруэнций) и решеткой открытых множеств некоторого топологического пространства. В § 15 таким образом получены несколько представлений. Укажем один из результатов параграфа.

Теорема 15.5. Пусть в и X — произвольные полукольцо и топологическое пространство соответственно. Если (/, д) — сопряжение между решетками г X и Ы Б, то пучковое представление ад полно.

В заключительной главе 4 диссертации рассматриваются конкретные функциональные представления полуколец и полумодулей, даются характеризации некоторых классов полуколец в пучковых терминах.

§ 16 посвящен представлениям полумодулей. Определен симметрический полумодуль и доказана изоморфность его представления сечениями ламбековского пучка полумодулей.

Далее в параграфе находятся полумодули и пучки, для которых применима теорема 14.2 общей теории. Основное значение, оказывается, имеет выбор полукольца скаляров. Получены изоморфные представления Ламбека и Корниша для полумодуля над строго гармоническим полукольцом (теоремы 16.7и16.8)и Корниша для полумодуля над редуцированным риккартовым полукольцом (теорема 16.10). Два представления, обобщающие представления Пирса, пригодны для произвольных полумодулей (теорема 16.11).

Основным объектом § 17 является слабо редуцированное риккартово полукольцо. Получена

Теорема 17.3. Слабо редуцированное риккартово полукольцо S изоморфно полукольцу всех глобальных сечений пучка (K(S),X) в каждом из следующих случаев:

1) X = Min S;

2) X = Spec S.

В теореме 17.5 дана характеризация слабо редуцированного риккартова полукольца как полукольца глобальных сечений некоторого полухаусдорфова пучка симметрических полуколец без делителей нуля.

Наиболее ярко с точки зрения автора проявляется пучковый подход при изучении представителей класса агр-иолуко-лец (§18). Имеющаяся связь arp-полуколец с дистрибутивными решетками позволяет во многих случаях проводить редукцию к последним. Укажем один из характерных результатов параграфа.

Теорема 18.9. Для любого полукольца S равносильны условия:

1) S — булево полукольцо;

2) S — изоморфно полукольцу всех глобальных сечений некоторого пучка полутел;

3) S — симметрическое полукольцо, и S/вр — полутело для любого Р (Е Spec S;

4) S — arp-полукольцо, и вр = 9{Р) для любого Р Е Spec S.

Функциональный подход к гельфандовым полукольцам продемонстрирован в § 19. Гельфандовы полукольца, будучи строго гармоническими полукольцами, допускают изоморфное представление сечениями ламбековского пучка, который к тому же является компактным. Это представление позволяет дать различные характеризации гельфандовых полуколец (теорема 19.3). Конструкция ламбековского пучка используется в предложении 9.5 при доказательстве совпадения Ом и 9(М) — "конгруэнций Ламбека и Корнита" для любого максимального идеала и при описании чистой части произвольного правого идеала гельфандова полукольца (предложение 19.2).

Предпучок Симмонса в некоторых случаях оказывается пучком и, учитывая теорему 5.1, получаем соответствующие изоморфные пучковые представления, которые дополняют представление Симмонса для колец.

Теорема 19.5. Пусть F — фрейм всех чистых идеалов полукольца S. Тогда предпучок (F, Ft F) является пучком в каждом из следующих случаев:

1) S — гельфандово;

2) S — коммутативное в нуле полукольцо;

3) S — кольцо;

4) фрейм F всех чистых идеалов из S является цепью.

В кандидатской диссертации автора достаточное внимание уделено функториальным свойствам пучков. В частности, найдены двойственности между категориями так называемых редуцированных пучков (и их подкатегориями) и категориями полуколец, близкими к регулярным. Основной при этом является конструкция пирсовского пучка. В § 20, заключительном параграфе диссертации, рассмотрен следующий фрагмент функториального подхода к полукольцам и пучкам.

Определение. Пусть Р — пучок полуколец Рх над пространством X, Я — пучок полуколец Яу над пространством У. Когомоморфизмом пучка Р в пучок Я называется непрерывное отображение (р : У —)► X и семейство (/у), у Е У, полукольцевых гомоморфизмов /у : Р^^у) —»• Яу такие, что для любого локального сечения а пучка Р отображение /?, определенное по формуле р(у) = ¡у{аШ)), непрерывно.

Теорема 20.7. Функторы Ь(Я) и Т(Ь) осуществляют двойственность категории всех гельфапдовых полуколец Б и их гомоморфизмов и категории всех компактных пучков Ь локальных полуколец с когомоморфизмами в качестве мор-физмов.

Результаты диссертации опубликованы в [90] — [114] и докладывались Международных алгебраических конференциях в Туле (2003 г.), в Москве (2004 г.) и в Екатеринбурге (2005 г.), на кольце-модульных семинарах в МГУ им. М.В.Ломоносова, на алгебраических семинарах МПГУ и ВятГГУ, в Институте математики и механики Уральского отделения РАН, на семинаре "Алгебраические системы "в УрГУ (2006 г.).

ГЛАВА 0. ПОЛУКОЛЬЦА И ПУЧКИ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Радикалы алгебр и структурная теория. — М.: Наука, 1979.

3. Бейдар К.И., Михалев A .B . Ортогональная полнота и алгебраические системы// Успехи мат. наук. — 1985. — 40, т. - с . 79-115.

4. Биркгоф Г. Теория решеток. — М.: Наука, 1984.

5. Бредон Г. Теория пучков. — М.: Наука, 1988.

6. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий ифункторов. — М.: Мир, 1972.

7. Варанкина В.И. Максимальные идеалы в полукольцахнепрерывных ф у н к ц и й / / Фундам. и прикл. матем. — 1995. - 1, т. - 923-937.

8. Варанкина В.И., Вечтомов Е.М., Семенова И.А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции// Фундам. и прикл. матем. - 1998. - 4, т. - 493-510.

9. Вечтомов Е.М. Чистые идеалы колец и теорема Б к у ш а / /Абелевы группы и модули. — Томск. — 1989. — №8. 54-64.

10. Вечтомов Е.М. Кольца непрерывных функций на топологических пространствах. Избранные темы.— М.: МИГУ, 1992.

11. Вечтомов Е.М. Функциональные представления колец. —М.: Моск. пед. гос. ун-т, 1993.

12. Вечтомов Е.М. Аннуляторные характеризации булевыхколец и булевых решеток/ / Мат. заметки. — 1993. — 53,^52. - 15-24.

13. Вечтомов Е.М. Кольца непрерывных функций со значениями в топологическом теле. Диссер. на соиск. док. физ-мат. н а у к / / М.: МИГУ, 1992.

14. Вечтомов Е.М. Дистрибутивные решетки, функционально пред ставимые цепями/ / Фундам. и прикл. матем. — 1996. - 2, Л• l^. - 93-102.

15. Вечтомов Е.М. Введение в полукольца. — Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 2000.

16. Гельфанд И.М. О нормированных кольцах/ / ДАН СССР.- 1939. - 22, Л"51. - 430-432.

17. Гольдблат Р. Топосы. Категорный анализ логики. — М.:Мир, 1983.

18. Гретцер Г. Общая теория решеток. — М.: Мир, 1982.

19. Джонстон П. Теория топосов. - - М.: Наука, 1986.

20. Касивара М., Шапира П. Пучки на многообразиях. — М.:Мир, 1997.

21. Кон П. Универсальная алгебра. — М.: Мир, 1968.

22. Кэлли Д ж . Обгцая топология. — М.: Наука, 1968.

23. Ламбек И. Кольца и модули. — М.: Мир, 1971.

24. Любецкий В.А. Оценки и пучки. О некоторых вопросахнестандартного анализа / / Успехи мат. наук. — 1989. — 44, №4. - 99-153.

25. Маслов В.П., Колокольцев В.Н. Идемпотентный анализ иего применение в оптимальном управлении. — М.: Наука, 1994.

26. Обгцая алгебра. Т. 1 и 2. / / Под ред. Л.А.Скорнякова. —М.: Наука, 1990 и 1991.

27. Старостина О.В. Строение абелево-регулярных положительных полуколец / / Чебышевский сборник. — 2005. — 6, №4(16). - 142-151.

28. Тюкавкин Д.В. Пирсовские иучки для колец с инволюцией / / М.: МГУ, 1982. - 64 с. - Деп. ВИНИТИ, №3446-82 Деп.

29. Энгелькинг Р. Обгцая топология. — М.: Мир, 1986.

30. Ahsan J. , Latif R. Representations of weakly regular semirings by sections in a presheaf// Commun. Algebra. 1993. - 21,№8. - P. 2819-2835.

31. Applications of sheaves. — Lect. Notes Math., №753. —Springer-Verlag, 1979. — 779p.

32. Arens R., Kaplansky I. Topological representations of algebras// Trans. Amer. Math. Soc. - 1949. - 63. - P.457-481.

33. Bkouche R. Couples spectraux et faisceaux associes. Applications aux anneaux de fonctions / / Bull. Soc. Math. France. - 1970. - 98, №3. - P. 253-295.

34. Borceux P., Simmons H. , Bossche G. Van den. A sheafrepresentation for modules with applications to Gelfand rings / / Proc. London Math. Soc. - 1984. - 48, №2. P. 230-246.

35. Brezuleanu A. , Diaconescu R. Sur la duable de la catégoriedes treillis// Rev. Roum. Math. Pures Appl. — 1969. — 14, №3. - P. 311-323.

36. B.Brown, N.H.McCoy. Some theorems on groups with applications to ring theory// Trans. Math. Amer, Soc. — 1950. - 69. - P.302-311.

37. Burgess W.D. , Stephenson W . Pierce sheaves of non-commutative rings / / Comm. Algebra. — 1976. — 39. — P. 512526.

39. Burgess W.D. , Stephenson W. Rinrs ah of whose Piercestalks are local / / Canad. Math. Bui -P .159-164 . 22, №2. - 1979.

40. Carson A . B . Representation of regular rings of finite index//J . Algebra. - 39, №2. - 1976. - P. 512-526.

41. Cignoli R. The lattice of global sections of sheaves of shainsover Boolean spaces// Algebra Universalis. — 1978. — 8, №3. - P. 357-373.

42. Comer S.D. Representation by algebras of sections overBoolean spaces// Pacific J . Math. - 38. - 1971. - P. 29-38.

43. Cornish W . H . Normal lattices// J . Austral. Math. Soc. —1972. - 14, №2. - P. 200-215.

44. Cornish W . H . 0-ideals, congruences and sheaf representations of distributive lattices// Rev. Roum. Math. Pures Appl. - 1977. - 22, m. - P. 200-215.

46. Dauns J. , Hofmann K . H . Representations of rings by sections. - Memoir Amer. Math. Soc. - 1968. - №83.

47. Davey B .A . Sheaf spaces and sheaves of universal algebras//Math. Z. - 1973. - 134, №4. - P. 275-290.

49. Fihpoiu A . Compact sheaves of lattices and normal lattices// Math. Jap. - 1991. - 36, №2. - P. 381-386.

50. Georgesku G., Voiculescu J . Isomorphic sheaf representations of normal lattices// J. Pure and Appl . Algebra. — 1987. - 45, m. - P. 213-223.

51. Georgescu G. Pierce representations of distributive lattices// Kobe J . Math. - 1993. - 10, №1. - P. 1-11.

52. Glazek K . A Short Guide Trough the Literature onSemirings// Univercity of Wroclaw, Mathematical Institute (Preprint №39) - Wroclaw, 1985.

53. Glazek K . A Short Guide to the Literature on Semirings anc.Their Applications in Mathematics and Computer Science, 2000.

54. Godement R. Topologie Algebriqui et Theorie des Faisceaux. — Publ. Inst. Math. Univ Strabourg, 13, Paris: Hermam, 1958 (Русский перевод: Годеман P. Алгебраическая топология и теория пучков. — М.: ИЛ, 1961.)

55. Golan J.S. Localization of noncommutative rings. — NewYork: Marcel Dekker, 1975. - 346 p.

56. Golan J.S. Structure sheaves over a noncommutative ring.— Lect. Notes in Pure and Appl . Math., №56. — Marcel. Dekker, 1980. - 170 p.

57. Golan J.S. Two sheaf constructions for noncommutativerings// Houston J . Math. - 1980. - 6, №1. - P. 59-66.

58. Golan J.S. The theory of semirings with apphcations in mathematics and theoretical computer science// Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V . 54. - 1992 (1991).

59. Golan J.S. Semirings and Their Apphcations// KluwerAcad. Publ. - Dordrecht, 1999.

61. Grothendieck A . , Dieudonne J . Elements de GeometrieAlgébrique 1. - I.H.E.S., Publ. Math. 4. - Paris, 1960.

62. Hebisch U . , Weinert H.J . Semirings. Algebraic Theory andApplications in Computer Science// World Scientific. — Singapure, 1998.

63. Hilbert D. Uber den Zahlbergriff// Jahresber. Deutsch.Math.-Verein - 1899. - V . 8. - P. 180-184.

65. Huntington E .V. complete sets of postulates for the theoryof positive integral and positive rational numbers// Trans. Amer. Math. Soc. - 1902. - V . 3. - P. 280-284.

66. Keimel K . Dar Stellung von Halbgruppen und universellenAlgebren durch Schnitte in Garben; biregulare Halbgruppen/ / Math. Nachr. - 45. - 1970. - P. 81-96.

67. Keimel K . The representation of lattice ordered groups andrings by sectuions in sheaves// Lect. Notes Math., №248. — Springer-Verlag, 1971. — P. 2-96.

68. Kennison J.F. Integral domain type representations in sheaves and other topoi/ / Math. Z. - 1976. - 151, №1. - P. 35-56.

69. Koh K . On functional representations of ring without nilpotent elements / / Canad. Math. Buh. - 1971. — 14, №3. — P. 349-352.

71. Lambec J . On represemtation of modules by sheaves offactor modules// Can. Math. Bui P. 359-368. 1971. - 14, m.

72. Macaulay F.S. Algebraic Theory of Modular Sistems. —Camrridge — Cambridge Univ. Press, 1916.

73. MacLane S. A history of Abstract Algebraa: origin, rise anddecline of a movement.

75. Mulvey C.J . Compact ringed spaces / / J . Algebra. — 1978.- 52, m. - P.411-436.

76. Mulvey C.J . A generalization of Gelfand duality / / J .Algebra. - 1979. - 56, №2. - P. 499-505.

77. Mulvey C.J . Representations of rings and modules// Lect.Notes Math. - 1979. - 753. - P. 542-585.

78. Pierce R.S. Modules over commutative regular rings// Mem.Amer. Math. Soc. - 1967. - 70. - P. 1-112.

79. Recent advances in the representation theory of rings andC*-algebras by continuous sections// Memoirs Amer. Math. Soc. - 1974. - 148. - 182p.

80. Rumbos L B . A structure sheaf for semiprime rings// Commun. Algebra. - 1989. - 17, №11. - P. 2773-2794.

81. Serre J .P. Faisceaux algébriques cogerents// Ann. Math., 2.- 1955. - 61. - P . 197-278.

82. Simmons H . Reticulated rings// J . Algebra. — 1980. — 64,№1. - P. 169-192.

83. Simmons H . Sheaf representation of strongly harmonicrings// Proc. Roy. Soc. Edinburg. - 1985. - A99, №3-4. - P. 249-268.

84. Simmons H . Compact representations — the lattice theoryof compact ringed spaces// J . Algebra. — 1989. — 126, №2. - P. 493-531.

85. Stone M . Apphcations of the theory of boolean rings togeneral topology// Trans. Amer. Math. Soc. — 1937. — 41,№3. - P. 375-481.

86. Teleman S. Representation par faisceaux des modules surles anneaux harmoniques / / C. r. Acad. Sci. — 1969. — 269, №17. - P. A753-A756.

87. Vandiver H.S. Note on a simple type of algebras in whichcancellation law of addition does not hold / / Buh. Amer. Math. Soc. - 1934. - 40. P. 914-920.

89. Werner H. Sheaf constructions in universal algebra andmodel theory// Universal algebra and appl. Pap. Stefan Danach Inst. Math. cent. Semestr. Febr 15 — June 9, 1978. - Warsawa. - 1982. - P. 133-179. П у б л и к а ц и и а в т о р а

90. Чермных В.В. Представления положительных полуколецсечениями/ / Успехи матем. наук. — 1992. — 47, №5. — 193-194.

91. Чермных В.В. Пучковые представления полуколец// Успехи матем. наук. - 1993. - 48, №5. - 185-186.

92. Чермных В.В. Пучковые представления полуколец: Дне.. . .канд. физ.-мат. наук. М.: МПГУ, 1993.

93. Вечтомов Е.М., Чермных В.В. Полукольца, близкие кдистрибутивным решеткам//Международная конференция "Полугруппы и их приложения, включая полугрупповые кольца "в честь Е.С.Ляпина. Тезисы докл. — Петербург: РГТИ, 1995. - С90-91.

94. Чермных В.В. О полноте пучковых представлений полуколец/ / Фундам. и прикл. матем. — 1996. — 2, №1. — 267-277.

95. Чермных В.В. Ламбековское представление полуколецЗестпик Вятского пед. ун-та. — Вып. 1. Матем., инф., физ. - 1996. - 19-21.

96. Вечтомов Е.М., Чермных В.В. Условия симметричностив кольцах и полукольцах/ / Вестник Вятского пед. ун-та. — Вып. 1. Матем., инф., физ. — 1996. — 6-8.

97. Чермных В.В. О предпучке полуколец эндоморфизмов/ /Вестник Вятского гос. пед. ун-та. Матем., инф., физ. — 1997. - Вып. 3. - 33-36.

98. Чермных В.В. Полукольца. — Киров: Вятский гос. пед.университет. — 1997. — 131 с.

99. Вечтомов Е.М., Михалев А.В., Чермных В.В. Абелево регулярные положительные полукольца// Труды семинара имени И.Г. Петровского. - 1997. - Т.20. - 282-309.

100. Чермных В.В. Теорема Стоуна-Вейергптрасса для пучков полуколец / / Kurosh Algebraic Conference'98. Abstract of talks. - M . , МГУ. - C.222-223.

101. Чермных В.В. Аналог теоремы Стоуна-Вейерштрассадля полуколец// Науч. вестник Кировского филиала МГЭИ. - 1998. - Вып. 1. - 193-196.

103. Чермных В.В. Ламбековское представление полумодул е й / / Вестник ВятГГУ. - 2003. - Ш. - 107-109.

104. Чермных В.В. О представлении полумодулей сечениямипучков / / Тезисы докладов V Международной конф. — Тула. - 2003. - 239-240.

105. Чермных В.В. Гельфандовы полукольца и их представления сечениями// Чебышевский сборник. — 2004. — 5, т. - с.131-148.

106. Чермных В.В. О регулярных полукольцах с некоторымиусловиями// Вестник ВятГГУ. - 2004. - №11. - 147149.

107. Чермных В.В. О двойственности Малви для гельфандовых полуколец// Тезисы докладов Междунар. алгебраич. конф. - МГУ. - 2004. - 136-137.

108. Чермных В.В. Двойственность Малви для гельфандовых полуколец// Вестник ВятГГУ. — 2004. — №10. — 64-66.

109. Чермных В.В. О полноте пучкового представления полуколец/ / Тезисы докладов Междунар. алгебраич. конф. - Екатеринбург, УрГУ. - 2005. - 114-115.

110. Чермных В.В. Полукольца сечений пучков / / ВестникВятГГУ. - 2005. - №13. - 151-158. (Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №03-01-07005)

111. Чермных В.В. О полном пучковом представлении полуколец/ / Вестпик ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. - 2005. - №3. - 163-165.