Ядра и пучки полутел тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

0034525 15

Черанева Анна Владимировна

ЯДРА И ПУЧКИ ПОЛУТЕЛ

Специальность 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань 2008

003452515

Работа выполнена на кафедре высшей математики физико-математического факультета Вятского государственного гуманитарного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ВЕЧТОМОВ Евгений Михайлович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор КОЖУХОВ Игорь Борисович кандидат физико-математических наук, доцент ИЛЬИН Сергей Николаевич

Ведущая организация: Ульяновский государственный университет

Защита состоится 4 декабря 2008 г. в 16 часов на заседании диссертационного совета Д 212.081.24 при Казанском государственном университете но адресу: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, д. 35, конференц-зал библиотеки им Н.И. Лобачевского КГУ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета по адресу: 420008, г Казань, ул. Кремлевская, д. 35.

Анюрефорач разослан «23>октяГ)ря 2008 г.

Ученый (екретарь диссертационного сонта, к ф -м II . доцент

А И Еникеев

Общая характеристика работы Актуальность темы. Данное диссертационное исследование посвящено сравнительно новому разделу современной алгебры - теории полутел.

Изучение полутел ведется с 60-х годов XX века в рамках теории полуколец. Теория полуколец начала развиваться в 50-е годы прошлого столетия в работах американских и японских математиков. Пожалуй, первой книгой по общей теории полуколец стала монография Дж. Голана1 1992 года . В ней имеется определенная информация о делимых полукольцах и полутелах.

X. Вайнерт2 в 1964 году показал, что класс идемпотентных полутел совпадает с классом решеточно упорядоченных групп. С. В. Полин3 в статье 1974 года ввел естественный порядок на полутелах, описал простые полуполя и доказал, что любое простое полутело либо идемнотентно, либо является сократимым полуполем. В большой статье 1990 года X. Хетчинс, X. Вайнерт4 изучали общие свойства ядер полутел, в частности установили изоморфизм между решетками конгруэнций и ядер произвольного полутела; рассматривали алгебраические и трансцендентные расширения иолунолей, вкладываемых в ноля.

Позднее А. Н. Семенов5 доказал, что всякое иолутело является расширением сократимого полутела при помощи идемпотентного полутела. Этот результат явился одной из первых общих структурных теорем теории полутел.

Важные свойства решетки ядер полутел установлены А. Н. Семеновым6, который в частности доказал, что конечность решетки ядер полутела влечет ее дистрибутивность.

А. В. Ряттель7 изучала линейно упорядоченные полутела и алгебраиче-

^olan, J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science [text] / J S. Golan - Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics, 1992. - V. 54. - 318 p

2Weincrt, H. J. Ein Struktursatz fiir idcmpotcnte Halbkorpcr [text] / H. J. Wcinert // Acta math. Acad, suent, hung. - 1964. - V. 15. - №3-4. - S. 289-295

3Полин, С. В. Простые полутела и иолуиоля [текст] / С. В. Полин // Сибирский математический журнал. 1974. Т. 15. Ш. С. 90 101

4Hutchins, H. С. Hoinomorphisms and kernel of semifields [text] / H. С Hutchms, H. J. Wcinert // Periodica Mathematics 1990. - V. 21(2). P 113 152

5Семеиов, A. H О строении полутел [текст] / А Н.Семенов // Вестник ВятГГУ 2003 - JV> 8. - С. 105-107

6Семенон, А. Н. О ремнегке конгруэнции полутел (текст) / А. Н. Семеном // Вестик ВятГГУ. - 2003 - №9. - С 92-95

7Рягчель, А В Положигельно упорядоченные полутела: дис.... канд. фич -матом, наук: 01 01.06. защищена 17.03 2003/ А В Ряттель. - Киров: ВятГГУ, 2002. - 89 с.

скис расширения идемнотеитных полуполей, описала циклические полутела и одноморожденные идсмпотснтные поцуполя.

Алгебраические уравнения над полуиолями и полутелами и алгебраические расширения сократимых полуполей исследовал И. И Богданов8

В связи с развитием идемпотентного анализа В. П. Масловым и его учениками исследовались вопросы линейной алгебры и теории уравнений над идемиотентными полуиолями. Заметим также, что теория полуколец и по-лутсл находит применение и в дискретной математике

О В. Старостина9,10 завершила построение теории абелево-регулярных положительных полуколец (агр-полуколец), начало которой было положено в работе Е М. Вечтомова, А. В. Михалева, В. В. Чермных11, и уточнила взаимосвязи агр-нолуколец с полутелами их обратимых элементов. М. А. Лукин12 описал алгебраическое строение полукольцевых дизъюнктных объединений кольца и полутела.

Полутелом называется алгебраическая структура с бинарными операциями сложения и умножения, являющаяся одновременно аддитивной коммутативной полугруппой и мультипликативной группой, причем умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон.

Класс нолутел образует многообразие универсальных алгебр в сигнатуре (+, Г1,1) типа (2,2,1,0). Поэтому для полутел справедливы известные теоремы о гомоморфизме и об изоморфизме

11олутела можно определить также как делимые полукольца с квазитождеством а+6 = 0=>а = 0с выброшенным затем нулем. Заметим, что неод-но^лемсптшле делимые полукольца исчерпываются телами и полутелами с нулем.

Полутона, будучи группами с дополнительной коммутативно-ассоциативной операцией сложения, обладают рядом специфических алгебраических свойств.

кБо1Д<шон, И II Полиномиальные соотношения и полукольцах дне ... канд. физматом паук' 01 01 06- защищена 20 02.2004/ И И. Богданов М. МГУ, 2004 72 с

чБ("п'омон, Е .М Структура абелево-регулярных положительных полуколец [текст] / Г М Псчклюп, О. В Старостина // Успехи математический па\к -2007 Т 62.-Вып 1 С 1')') 200

"'Старостина, О I! Абелево-регулярные положительные полу кольца1 дис .. канд физ-м.ием наук 010100 защищена 29 10 2007 - Киров Пя|ГГУ, 2007 - 90 с

" Печ гомон, Е М Абелево-регулярньго положительные полукольца [текст] / Е М Веч гомов Л В Михалев, В В. Чермных /7 Труды семинара им И. Г. Петровского 1997 Т 20 С 282 309

'-¡Икни, М А. Дизъюнктное полукольцевое объединение кольца и полутела [текст| / М \ 1\кин // Чебышевс кий (борник 2003 ТС Выи 1(10). С 120 135

Мультипликативные группы полутел являются группами без кручения. В неидемпотентных полутелах аддитивный порядок элементов бесконечен. Конгруэнции на полутелах однозначно определяются своими классами единицы - ядрами, которые можно охарактеризовать как нормальные подгруппы мультипликативной группы полутела с условием выпуклости. Относительно естественного порядка полутсла являются упорядоченными алгебраическими системами. Каждое полутело имеет кольцо разностей. Сократимые полутела вкладываются в свои кольца разностей. Поэтому изучение полутел допускает методы теории колец.

При исследовании полутел можно применить функциональный подход, при котором полутело реализуется в виде полутела сечений пучка некоторых более просто устроенных полутел над подходящим топологическим пространством. Этот подход осуществляется в диссертации.

Основы функциональных представлений различных тополого-алгебраических систем заложили М. Стоун, И. М. Гельфанд, И. Капланский в середине прошлого столетия. Представление колец сечениями пучков изучали А. Гротен-дик (1960 год), Р. Пирс (1967 год), Дж. Ламбек (1971 год), К. Хофман (1972 год), К. Малви (1979 год), X. Симмонс (80-е годы XX столетия). На русском языке теория функциональных представлений колец изложена в монографии Е. М. Вечтомова13. Пучковым представлениям полуколец посвящена докторская диссертация В. В. Чермных14.

Встала задача разработки теории функциональных (пучковых) представлений полутел. Для колец и полуколец структурные пучки строились, как правило, над некоторыми пространствами их идеалов. В случае полутел необходимо привлекать пространство ядер (конгруэнций) полутел. Для этого требуется изучить свойства ядер полутел и определить спектральные пространства, над которыми могут быть построены структурные пучки полутел.

Цель работы. Получение функциональных представлений полутел и их применение к описанию строения полутел.

Методы исследования. В диссертации используются понятия, идеи и методы теории групп, теории колец, теории решеток, теории полуколец, в

13Всчтоыов, Е М. Функциональные представления колец [текст] / Е. М Всчтомов М • МПГУ им Ленина, 1993. - 190 с

иЧермных. В В Функциональные представления полуколец и полумодулой дне. . докт. физ -матем наук- 01 01 06: защищена 28 06 2007 Киров ВятГГУ, 2007 234 с

частности теории «гр-по.чуколец, универсальной алгебры и общей топологии.

Научная новизна. Все результаты работы являются новыми. В качестве основных результатов, выносимых на защиту, выделим следующие

1. Введено понятие ограниченного полутела. Доказано, что ограниченность полутсла равносильна сократимости всех его конгруэнций. Показано, что нодполутело (2) любого полутела является ограниченным.

2. Рассмотрены условия дистрибутивности полутел. Найден критерий дистрибутивности полуполя.

3. Начато изучение полутел с образующей. Показано, что всякое полутело с конечным числом образующих имеет одну образующую. Доказано, что любое иолутело вкладывается в полутело с образующей.

4 Определены понятия, неприводимого и максимального спектров полутела В терминах их компактности дана характеризация полутел с образующей.

5. Построены универсальные структурные пучки полутел, аналогичные пучкам Пирса и Ламбека для колец.

С Получены изоморфные функциональные представления для сильно гельфандовых и бирегулярных полутел.

7 Даны пучковые характеризации бирегулярных и булевых полутел, изучена их алгебраическая структура.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы специалистами в области теории полуколец, в дальнейших исследованиях полутел, при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров в высших учебных заведениях.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Кольца и модули" кафедры пыегпей алгебры МГУ им. М В. Ломоносова (февраль 2006 года), па научном семинаре кафедры алгебры и ма-чемги пческой ло! икн Камнского государственного университета (сентябрь 2008 юда) на итоговых научных конференциях Вятского государственного

гуманитарного университета (ВятГГУ) и на научном алгебраическом семинаре ВятГГУ в 2004-2008 г.г. Они были представлены на Международных математических конференциях в Орле (2006 год), Красноярске (2007 год), Тамбове (2008 год), Москве (2008 год).

Публикации По теме диссертации имеется 11 работ, список которых приведен в конце автореферата

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых па 10 параграфов (нумерация параграфов сплошная), списка литературы из 68 наименований и предметного указателя. Общий объем диссертации 95 страниц

Краткое содержание диссертации Во введении обоснована актуальность темы, приводится перечень основных результатов работы и обзор начальных сведений о полутелах

Первая глава посвящена началам теории полутел. В первом параграфе введены понятия полутела и его ядра, приведены примеры и сформулированы известные свойства полутел и их ядер, построено кольцо разностей произвольного нолутела.

Дадим определение ядра полутела. Ядром полутела называется класс единицы некоторой его конгруэнции. Ядро может быть определено как нормальная подгруппа А полутела [/ со свойством

х,у е и к х + у ■= I а,Ь е А => ах + Ьу е А.

Во втором параграфе рассматривается взаимосвязь решетки СопII вссх конгруэнций (ядер) полутела (У и решетки идеалов его кояьца разностей, изучаются свойства сократимых конгруэнций Доказано, что ограниченность полутела равносильна сократимости всех его конгруэнций.

Известно, что для любого полутела II решетка Соп и модулярпа и множество всех ее дополняемых элементов является булевой подрешеткой в Соп и (теорема 1 1)

Полутено называется ограниченным, если оно совпадает с главным ядром, порожденным элементом 2 = 1 + 1, и сократимым, если оно удовлетворяет квазитождеству а + с = Ь + с=>а = Ь

Теорема 2.1. Для любого полутела и следующие условия эквивалент;-

НЪГ

1) и ограниченно;

2) любая конгруэнция р на [I сократима, то есть факгпорполутело II/р сократимо;

3) решетка конгруэпций па II изоморфна решетке идеалов кольца разностей.

Вторая глава посвящена дальнейшему изучению ядер полутел. В третьем параграфе изучаются свойства главных ядер. Получено описание главного ядра (а), порожденного центральным элементом а, большим 1 в естественном порядке.

В четвертом параграфе рассмотрены полутела с конечным числом образующих - полутела II вида и = (е^ ■ ... • (еп), и ё й, при этом элементы е, называются образующими полутела. Если п = 1, то полутело называется полутелом с образующей. Доказано

Предложение 4.4. Если полутело II имеет конечное число образующих, то оно является полутелом с образующей

Полутело называется идемпот,ентным, если в нем выполняется тождество а + а = а, и зероидным, если а + Ь = Ь для некоторых его элементов а. Ь.

Доказано, что любое полутело вложимо в полутело с образующей:

Теорема 4.1. Любое полутело (идемпотентиос полутело) II изоморфно вкладывается - в качестве наибольшего собственного ядра - в зероидное {идемпотептное) полутело V с центральной образующей. При этом все собственные ядра полутела V суть в точности ядра полутела /У.

Предложение 4.8. Для того чтобы прямое произведение непустого семейства (иг)г&1 нетривиальных полутел имело центральную образующую, необходимо и достаточно, чтобы I было конечно, а все \]г были полутелами с центральной образующей.

В частности данное предложение справедливо для ограниченных полутел

В пятом параграфе рассматриваются условия дистрибутивности полутел. Полутело и называется дистрибутивным (простым), если решетка его ядер СопII дистрибутивна (двухэлементна)

Предложение 5.2. Если некоторое подполугпело полутел,a, U, являющееся ядром в U, дистрибутивно, то и само полутело U дистрибутивно

Предложение 5.3. Соп(2) ретракт ConU для любого полуполя U.

Получен критерий дистрибутивности полуполя:

Следствие 5.1. Полуполе U дистрибутивно тогда и только тогда, когда дистрибутивна решетка идеалов кольца разностей полуполя (2).

В шестом параграфе изучаются свойства неприводимых ядер полутел. Собственное ядро А g Cont/ полутела U называется неприводимым, если из В П С С А следует В С А или С С А для любых В, С 6 Cont/. Доказан следующий принципиальный результат.

Теорема 6.1. Любое собственное ядро полутела содерэ1сится в некотором его неприводимом ядре.

В качестве следствия получаем: максимальные ядра любого полутела неприводимы.

Введены понятия неприводимого и максимального спектров полутела Топологические пространства SpecU всех неприводимых ядер и Мах(/ всех

максимальных ядер полутела U со стоуновской топологией назовем соответ-

»

ственно неприводимым и максимальным спектром полутела U. • Получена спектральная теорема для полутел с образующей:

Теорема 6.2. Для любого полутела U эквивалентны условия:

1) U полутело с образующей;

2) неприводимым спектр SpecU компактен;

3) максимальный спектр Мах(/ компактен и любое собственное ядро полутела U содерэ/сится в некотором максимальном ядре.

Сформулированы и доказаны свойства неприводимых ядер дистрибушт,-ных полутел U. Доказано, что для дистрибутивного полутела U множества

(а)* = {к € t/ | (и) П (а) = {1}}, а е U,

Ор = {а 6 U | (а)" <2 /'}, Р неприводимое ядро в U,

являются ядрами Полутела, обладающие этим свойством, будем называть полутелам,и с условием К.

Полутело называется бирегулярным(булевым), если все его главные ядра (все ядра) дополняемы.

Для бирегулярных иолутел доказано

Предложение 6.3. Всякое бирегулярное полутело U дистрибутивно, все его неприводимые ядра Р максимальны и равны Ор и любое его ядро является пересечением максимальных ядер, его содержащих.

В третьей главе исследуются пучки полутел, их нолутела сечений и функциональные представления полутел. В седьмом параграфе рассматриваются пучки полутел над нульмерным компактом. С помощью теории агр-полуколец доказана важная техническая лемма:

Лемма 7.2. Пусть а - элемент ядра А полутела сечений Г — Г(Х,П) пучка полутел над нульмерным компактом X, W - произвольное открыто-замкнутое подмножество в X. Тогда сечение

пргшадлео/сигп ядру А.

На основании этой леммы получено описание неприводимых и максимальных ядер нолутела сечений. Для произвольной точки х е X пусть 7гх . Г(Х,П) —> их - гомоморфизм полутел, заданный правилом:

Теорема 7.1. Максимальные (неприводимые) ядра полутела Г= Г(Х, П) сечении пучка полутел UT над нульмерным компактом X это в точности ядра вида 7г~ '(Кг), где х G X и КТ - максимальное (неприводимое) ядро в

В восьмом параграфе установлены взаимосвязи некоторых важнейших свойств нолутела сечений пучка полутел над нульмерным компактом с соот-ммпт'шщими свойствами его пол> юч-счоен

а, на IV; 1 на X\W

irx(s) — s(a;) для любого s € Г(Х,П).

их

Теорема 8.1. Полутело Г = Г(Х,П) сечений пучка П полутел Ux над нульмерным компактом, X дистрибутивно (ограниченно, зероидно) в том и только том случае, когда дистрибутивны (ограниченны, зероидны) все его слои Ux.

Также в предложении 8.1 доказано сохранение ряда других свойств полутел.

В девятом параграфе построены универсальные структурные пучки V(U) и £(£/) полутел для нетривиальных полутел U, аналогичные пучкам Пирса15 и Ламбека16 для колец.

Теорема 9.1. Любое полутело U 'изоморфно полутелу всех сечений пучка V{U) полутел Г», являюищхся факторполутелами полутела U, над нульмерным компактам MaxQ3(t/).

Через Мах23(ГУ) обозначим максимальный спектр булевой решетки всех дополняемых ядер полутела U.

Рассматриваются свойства канонического непрерывного отображения <р . MaxU -> MaxQ3({7), заданного формулой ip{M) = {А € 58({7) | А С М] для любого M 6 Maxi/.

Предложение 9.1. Пусть U - полутело с условием К. Тогда существует точное функциональное представление U в факторном пучке £{U) полутел U/Op над неприводимым спектром Spec U.

Вводится понятие сильно гельфандова полутела. Полутело U называется сильно гелъфандовым, если для любых двух различных максимальных ядер M и N и U существует дополняемое ядро А С М, не лежащее в N.

Теорема 9.3. Произвольное полутело U с образующей и с условием К сильно гельфандово тогда и только т.огда, когда оно изоморфно полутелу Г(Х, П) всех сечений некоторого пучка П локальных полутел UT над нульмерным компактом X.

15Pierc.e, Л. S .Modules out commutative regular rings [text] / R. S Piene /;' Mem Amei Math Soc - 1967 - P 1-112

,6Lambek, J On îepresentation of modules b\ sheaves of factoi modules |texl | / J Lamhek / Can Math Bull 1971 14 № 3 P 3ri9 3G8

Бирегулярные и булевы полутела исследуются в десятом параграфе.

Получена функциональная характеризация бирегулярных полутел, являющаяся определенным аналогом классической теоремы Даунса-Гофмана17 для бирегулярных колец. Заметим, что распространение теоремы Даунса-Гофмана на бирегуляные полукольца осуществлено Е. М. Вечтомовым и О. В. Старостиной18.

Теорема 10.1. Произвольное полутело U бирегулярно тогда и только тогда, когда оно изоморфно полутелу всех сечений некоторого пучка простых полутел и тривиальных полутел над нульмерным компактом.

Если при этом полутело U с образующей, то в формулировке теоремы 10 1 можно оставить только простые полутела.

Теорема 10.2. Любое бирегулярное полутело раскладывается в прямое произведение бирегулярного идемпотентного полутела и бирегулярного ограниченного полуполя.

С помощью отображения ip доказано (предложение 10.1 и следствие 10.4): для любого бирегулярного (булева) полутела U нульмерный компакт Мах25((/) служит компактификацией (компактификацией Стоуна-Чеха) локально компактного нульмерного (дискретного) пространства Maxi/.

В терминах пирсовского пучка V дана характеризация булевых полутел:

Предложение 10.2. Для того чтобы полутело U было булевым, необходимо и достаточно, чтобы все слои пучка V(U) являлись простыми или тривиальными полутелами, а МахС/ совпадало с мнооюеетвом изолированных точек базисного пространства Мах23(С/).

Следствие 10.2. Полутело является булевым полутелом с образующей тогда и только тогда, когда оно изоморфно прямому произведению конечного числа простых полутел.

17Dauns Л. The reprebcntion of biregular rings by sheaves |tcxt] / .1 Dauns, К H. Hofmann// .MalIi 7, 1966. - V. 91 - К» 2 - P. 103 - 123

10В("П'()мов, Е М. Обобщенные абепево-регулярные положительные полукольца [текст) / К М Неч гомон, О В. Старостина // Вестник Сыктывкарского университета Серия 1: М.»тем<пика Механика Информатика - 2007. - Вып 7. С 3 16

В заключение параграфа приведены примеры бирегулярных полутел.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Евгению Михайловичу Вечтомову за постановку задач, постоянное внимание к работе, полезные обсуждения и поддержку.

Работы автора по теме диссертации

1. Черанева, А. В. О сократимых конгруэнциях на полутелах |текст) / А. В Черанева // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2005. - X* 3. - С. 160-163 (0,3 п л ).

2. Черанева, А. В О конгруэнциях на полутелах (текст] / А. В. Черанева // Чебышевский сборник. - 2005 - Т. 6 - Выи. 4(16). - С. 164-171 (0,58 п л.).

3. Черанева, А. В. О главном ядре, порожденном 2 [текст] / А. В. Черанева // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. - 2006. - Вып. 8. - С. 120 125 (0,34 п.л ).

4 Черанева, А. В. О дистрибутивности полутел [текст] / А. В. Черанева // Современные методы физико-математических наук Труды международной конференции - Т. 1 - Орел: Орловский гос ун-т, 2006. -С. 198-200 (0,36 п.л.).

5. Черанева, А. В. Кольцо разностей полутсла [текст] / А. В. Черанева // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2007. Л'® 4. С. 205 207 (0,25 п.л.).

6 Черанева, А. В. О решетке конгруэнций полутела [текст] /' А. В. Черанева // Международная конференция "Алгебра и ее приложения". -Красноярск. Сибирский федерал ун-т. 2007. - С. 143 (0,04 п л.).

7 Вечюмов, Е M Неприводимые ядра полутел [текс'11 / Е M Вечтомов, А В. Черанева // Математический вестник педвуюв и университетов Во по-Вятского региона. 2008 Выи 10 С. 25 31 (0, M п л., соискателю принадлежит 60%).

8. Вечтомов, Е. М. Пучки полутел над нульмерным компактом [текст] / Е. М. Вечтомов, А. В. Черанева // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. - 2008. - Вып. 10. - С. 32-44 (0,8 п.л., соискателю принадлежит 60%).

9. Вечтомов, Е. М. Аналог пучкового представления Пирса для полутел [текст] / Е. М. Вечтомов, А. В. Черанева // Современная математика и математическое образование, проблемы истории и философии математики. Международная научная конференция. - Тамбов: Тамбовский гос. ун-т, 2008. С. 24 27 (0,36 ц.л., соискателю принадлежит 60%).

10. Вечтомов, Е. М. О свойствах полутел [текст] / Е. М. Вечтомов, А. В. Черанева // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша. Тезисы докладов. - М: Механико-математический факультет МГУ. - 2008. - С. 56-57 (0,06 п.л., соискателю принадлежит 60%).

Статьи в изданиях, рекомендованных ВАК

11. Вечтомов. Е. М. К теории полутел [текст] / Е. М. Вечтомов, А. В. Черанева // Успехи математических наук. - 2008. - Т. 62. - Вып. 2. -С. 161-162 (0,2 пл., соискателю принадлежит 70%).

Подписано в печать 21 октября 2008 г. Формат 64 х 80/16. Бумага офсетная. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ ЛП27 Отпечатано в ЦДООПI 610002. г Киров, ул. Ленина, 105, т. (8332) 351503

Введение.

Глава I. Предварительные сведения

§1. Основные понятия.

§2. Сократимые конгруэнции.

Глава II. Ядра полутел

§3. Главные ядра полутел.

§4. Полутела с образующей.

§5. Условия дистрибутивности полутела.

§6. Неприводимые ядра полутел.

Глава III. Пучки и функциональное представление полутел

§7. Пучки полутел. Компактные пучки.

§8. Полутела сечений.

§9. Структурные пучки и функциональные представления полутел.

§10. Бирегулярные полутела.

Данное диссертационное исследование посвящено сравнительно новому разделу современной алгебры - теории полутел. Ее целью служит получение функциональных представлений полутел и их применение к описанию строения полутел.

Изучение полутел ведется с 60-х годов XX века в рамках теории полуколец, начиная с работ Н. J. Weinert [54, 55, 56, 57]. Понятие полукольца было определено Н. S. Vandiver в 1934 году [53]. Теория полуколец начала развиваться в 50-е годы прошлого столетия в работах американских и японских математиков. Пожалуй, первой книгой по общей теории полуколец стала монография J. S. Golan 1992 года [45]. В ней имеется определенная информация о делимых полукольцах и полутелах. В дальнейшем вышли книга В. В. Чермных [33], обновленная монография J. S. Golan [46], библиографический обзор К. Glazek [44], брошюра Е. М. Вечтомова [8] и другие.

Перечислим некоторые наиболее важные темы и результаты о полутелах, дающие представление об этом алгебраическом объекте.

Н. J. Weinert [57] показал, что класс идемпотентпых полутел совпадает с классом решеточно упорядоченных групп. С. В. Полин в статье 1974 года [22] ввел естественный порядок на полутелах, описал простые полуполя и доказал, что любое простое полутело либо идемпотентно, либо является сократимым полуполем. В большой статье 1990 года [48] Н. С. Hutchins, Н. J. Weinert изучали общие свойства ядер полутел, в частности установили изоморфизм между решетками конгруэнций и ядер произвольного полутела; рассматривали алгебраические и трансцендентные расширения полуполей, вкладываемых в поля. В работе 1998 года [4] В. И. Варанкиной, Е. М. Вечтомовым, И. А. Семеновой определены гомоморфные соответствия 5 и 7 между решеткой конгру-энций сократимого полукольца и решеткой идеалов его кольца разностей. Эти соответствия служат важным инструментом в исследовании произвольных полутел. Стала изучаться решетка ядер полутел и ее свойства.

А. Н. Семенов [25] доказал, что всякое полутело является расширением сократимого полутел а при помощи идемпотентпого полутела. Этот результат явился одной из общих структурных теорем теории полутел. Его можно сравнить с теоремой Е. М. Вечтомова [7] о представлении полукольца как расширения кольца при помощи антикольца (полукольца с условием: а + b = 0 влечет а = 0).

Важные свойства решетки ядер полутел установлены в статье 2003 года [26] А. Н. Семеновым, в которой в частности доказано, что конечность решетки ядер полутела влечет ее дистрибутивность.

А. В. Ряттель [24] изучала линейно упорядоченные полутела и алгебраические расширения идемпотентных полуполей, описала циклические полутела и однопорожденпые идемпотентные полуполя. Порядки на полутелах исследовал также А. Н. Семенов [27], он получил необходимые и достаточные условия линейного упорядочивания полуполей.

В связи с развитием идемпотентного анализа В. П. Масловым и его учениками исследовались вопросы линейной алгебры и теории уравнений над идемпотентными полуполями [18, 21, 39]. Заметим также, что теория полуколец и полутел находит применение и в дискретной математике.

Алгебраические уравнения над полунолями и полутелами исследовал И. И. Богданов [2]. Кроме того, он рассматривал алгебраические расширения сократимых полуполей.

О. В. Старостина [32] завершила построение теории абелево-регулярных положительных полуколец (агр-полуколец) [11] и уточнила взаимосвязи агр-полуколец с полутелами их обратимых элементов. М. А. Лукин [19] описал алгебраическое строение полукольцевых дизъюнктных объединений кольца и полутела.

Полутела встречаются и в следующих статьях: [6, 9, 10, 12, 14, 20, 28, 30, 31, 47, 49, 51].

Дадим определение полутела. Полутелом называется алгебраическая структура с бинарными операциями сложения и умножения, являющаяся одновременно аддитивной коммутативной полугруппой и мультипликативной группой, причем умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон.

Класс полутел образует многообразие универсальных алгебр в сигнатуре (+, -,-1,1) типа (2,2,1,0). Поэтому для полутел справедливы известные теоремы о гомоморфизме и об изоморфизме.

Полутела можно определить также как делимые антикольца с выброшенным нулем. Заметим, что неодноэлементные делимые полукольца исчерпываются телами и полутелами с нулем.

Полукольцом называется алгебра (S, + , •, 0) с двумя бинарными операциями сложения + и умножения •, если (S, +, 0) - коммутативный моноид, (S, •) - полугруппа, умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих сторон и справедливы тождества 0 • а = а • 0 = 0.

Полутело называется: полуполем, если умножение в нем коммутативно; (аддитивно) сократимым, если для любых его элементов a, b, с выполняется импликация (квазитождество) а+с = b+c => а — Ь] (аддитивно) идемпотентным, если оно удовлетворяет тождеству а-\- а — а.

Полутела, будучи группами с дополнительной коммутативно-ассоциативной операцией сложения, обладают рядом специфических алгебраических свойств. Мультипликативные группы полутел являются группами без кручения. В неидемпотеитных полутелах аддитивный порядок элементов бесконечен. Конгруэнции на полутелах однозначно определяются своими классами единицы - ядрами, которые можно охарактеризовать как нормальные подгруппы мультипликативной группы полутела с условием выпуклости. Относительно естественного порядка полутела являются упорядоченными алгебраическими системами. Каждое полутело имеет кольцо разностей. Сократимые полутела вкладываются в свои кольца разностей. Поэтому изучение полутел допускает методы теории колец.

Значение полуполей и полутел в теории полуколец подобно значению полей и тел в теории колец.

В диссертации используются понятия, идеи и методы теории групп, теории колец, теории решеток, теории полуколец, универсальной алгебры и общей топологии.

При исследовании полутел можно также применить функциональный подход, при котором полутело реализуется в виде полутела сечений пучка некоторых более просто устроенных полутел над подходящим топологическим пространством. Что и показано в диссертации.

Основы теорий функциональных представлений различных тополого-алгебраических систем заложили М. Stone, И. М. Гельфанд, I. Kaplansky в середине прошлого столетия. Представление колец сечениями пучков первыми изучали A. Grothendieck (1960 год), J. Dauns, К. Н. Hofmann (I960 год), R. S. Pierce (1967 год), J. Lambek (1971 год). На русском языке теория функциональных представлений колец изложена в монографии Е. М. Вечтомова [5].

Пучковым представлениям полуколец посвящены работы В. В. Черм-иых [34, 35, 36].

Встала задача разработки теории функциональных (пучковых) представлений полутел. Для колец и полуколец структурные пучки строились, как правило, над некоторыми пространствами их идеалов. В случае полутел необходимо привлекать пространство ядер (конгру-энций) полутел. Для этого требуется изучить свойства ядер полутел и определить спектральные пространства, над которыми могут быть построены структурные пучки полутел.

Главным результатом диссертации является построение начал теории пучковых представлений полутел. В терминах полученных структурных пучков даны функциональные характеризации сильно гель-фандовых, бирегулярных и булевых полутел. Данное нами функциональное описание бирегулярных полутел является аналогом теоремы Даунса-Гофмана [41] о бирегулярных кольцах. Заметим, что распространение теоремы Даунса-Гофмана на полукольца осуществлено в работе Е. М. Вечтомова и О. В. Старостиной [13]. Но наш результат потребовал иной техники построения и доказательства.

Все результаты работы являются новыми. В качестве основных можно выделить следующие:

1. Введено понятие ограниченного полутела. Доказано, что ограниченность полутел а равносильна сократимости всех его конгруэнций. Показано, что подполутело (2) любого полутела является ограниченным.

2. Рассмотрены условия дистрибутивности полутел. Найден критерий дистрибутивности полуполя.

3. Начато изучение полутел с образующей. Показано, что всякое полутело с конечным числом образующих имеет одну образующую. Доказано, что любое полутело вкладывается в полутело с образующей.

4. Определены понятия неприводимого и максимального спектра полутела. В терминах их компактности дана характеризация полутел с образующей.

5. Построены универсальные структурные пучки полутел, аналогичные пучкам Пирса и Ламбека для колец.

6. Получены изоморфные функциональные представления для сильно гельфандовых pi бирегулярных полутел.

7. Даны пучковые характеризации бирегулярных и булевых полутел, изучена их алгебраическая структура.

Краткое содержание диссертации.

Работа содержит введение, три главы, разбитые на 10 параграфов, список литературы из 68 источников и предметный указатель.

В каждом из параграфов применяется сквозная двойная нумерация отдельно для теорем, предложений, лемм, следствий, свойств, примеров. Например, предложение 2.3 означает, что это третье по порядку предложение параграфа 2. В нумерации известных теоремах вместо второго числа стоит буква.

Через U, как правило, будем обозначать произвольное полутело.

N, Z, Q, Ж, Q+, - числовые системы натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел, действительных чисел, положительных рациональных чисел, положительных действительных чисел соответственно.

В первой главе собраны предварительные сведения о полутелах. В первом параграфе введены понятия полутела и его ядра, приведены примеры и сформулированы известные свойства полутел и их ядер.

Ядром полутела называется класс единицы некоторой его конгруэнции. Ядро может быть определено как нормальная подгруппа А полутела U со свойством x,y£U & x + y = l8z а, ЬеА ах + by 6 А.

В этом же параграфе построено кольцо разностей произвольного полутела.

Во втором параграфе рассматривается взаимосвязь решетки конгру-энций (ядер) ConU полутела U и решетки идеалов ldR(U) его кольца разностей. Доказано, что идеалы кольца разностей полутела соответствуют его сократимым конгруэнциям.

Конгруэнция р на полу теле U называется сократимой, если а + с)р(Ь + с) =>- арЪ для любых а, 6, с G U.

Ядро сократимой конгруэнции называется сократимым ядром.

Ввводятся следующие отображения решеток [4]:

5 : СопСУ —> ldR(U), сопоставляющее каждой конгруэнции р на полутеле U идеал его кольца разностей R(U) по правилу

5{р) = {[a, b] е R{U) | a.beU apb},

7 : ldR(U) —» ConU, ставящее в соответствие каждому идеалу I кольца R(U) конгруэнцию на U по правилу ау{1)Ъ [a, b] е / для любых а,Ь 6 U.

Конгруэнции вида 7(/) называются идеальными.

Предложение 2.1. Пусть р - произвольная конгруэнция на полутеле U. Тогда следующие условия эквивалентны:

1) конгруэнция р на полутеле U идеальна;

2) р сократимая;

3) U/p - сократимое полутело.

Полу тело называется ограниченным, если оно совпадает с главным ядром, порожденным элементом 2 = 1 + 1.

Теорема 2.1. Для любого полутела U следующие условия эквивалентны:

1) U ограниченно;

2) любая конгруэнция на U сократима;

3) решетка конгруэнции, на U канонически изоморфна решетке идеалов кольца разностей {то есть 5 - изоморфизм).

Вторая глава посвящена дальнейшему изучению ядер полутел. В третьем параграфе изучаются свойства главных ядер. Получено описание главного ядра (а), порожденного центральным элементом а, большим 1 в естественном порядке.

Теорема 3.2. Подполутело (2) любого полутела U ограниченно.

В четвертом параграфе рассмотрены по л у тел а с образующей.

Предложение 4.4. Если полутело U имеет конечное число образующих, то оно является полутелом с образуюш^ей.

Доказано, что любое полутело вложимо в полутело с образующей:

Теорема 4.1. Любое полутело (идемпотентное полутело) U изоморфно вкладывается - в качестве наибольшего собственного ядра -в зероидное (идемпотентное) полутело V с центральной образующей. При этом все собственные ядра полутела V суть в точности ядра полутела U.

Полутело называется зероидным, если в нем выполняется равенство а + b = Ъ для некоторых его элементов а, Ь.

В пятом параграфе рассматриваются условия дистрибутивности полутел. Полутело называется дистрибутивным (прост,ым), если решетка его ядер дистрибутивна (двухэлементна).

Ядро полутела U, являющееся его подполутелом, назовем ядерным подполутелом.

Предложение 5.2. Если некоторое ядерное подполутело К полутела U дистрибутивно, то и само полутело U дистрибутивно.

Получен критерий дистрибутивности полу по ля:

Следствие 5.1. Полуполе U дистрибутивно тогда и только тогда, когда дистрибутивна решетка идеалов кольца разностей полуполя (2).

В шестом параграфе изучаются свойства неприводимых ядер полутел.

Собственное ядро А е Con£7 полутела U называется неприводимым, если из В ПС С А следует В С А или С С А для любых В, С G Con U.

Доказан следующий принципиальный результат:

Теорема 6.1. Любое собственное ядро полутела леоюит в некотором его неприводимом ядре.

В качестве следствия получаем: максимальные ядра любого полутела неприводимы.

Введено понятие неприводимого и максимального спектров полутела. Обозначим через Spec?/ множество всех неприводимых ядер полу тел а U, а через MaxU - множество всех его максимальных ядер. Со стоуновской топологией множества SpecU и Мах?/ становятся топологическими пространствами, называемыми соответственно неприводимым и максимальным спектром полутела U.

Получена спектральная теорема:

Теорема 6.2. Для любого полутела U эквивалентны условия:

1) U полутело с образующей,

2) неприводимый спектр Spec/7 компактен,

3) максимальный спектр Мах£/ компактен и любое собственное ядро полутела U содержится в некотором максимальном ядре.

Сформулированы и доказаны свойства неприводимых ядер дистрибутивных полутел U. Доказано, что для дистрибутивного полутела U множества a)* = {ueU\ (и) П (а) = {1}}, а е U,

Op = {а € U | (а)* Р}, Р - неприводимое ядро в U, являются ядрами. Поэтому для дистрибутивных полутел существует пучковое представление, аналогичное ламбековскому представлению колец (предложение 9.1).

Полутело называется бирегулярным {булевым), если все его главные ядра (все ядра) дополняемы.

Для бирегулярных полутел доказано

Предложение 6.3. Всякое бирегулярное полутело U дистрибутивно, все его неприводимые ядра Р максимальны и равны Ор и любое его ядро является пересечением максимальных ядер, его содерэ/сащих.

В третьей главе исследуются пучки полутел, их полутела сечений и функциональные представления полутел. В седьмом параграфе рассматриваются пучки полутел над нульмерным компактом. С помощью теории arp-полуколец доказана важная техническая лемма:

Лемма 7.2. Пусть а - элемент ядра А полутела сечений Г = Г(Х, IT) пучка полутел над нульмерным компактом X, W - произвольное открыто-замкнутое подмножество в X, Тогда сечение принадлежит ядру А.

На основании этой леммы получено описание неприводимых и максимальных ядер полутела сечений. Для произвольной точки х Е X пусть ъх : Г(Х, П) гомоморфиз полутел, заданный правилом:

Теорема 7.1. Максимальные (неприводимые) ядра полутела Г — Г(Х, П) сечений пучка полутел Ux над нульмерным компактом X -это в точности ядра вида тг~1{КХ), где х Е X и Кх - максимальное (неприводимое) ядро в Ux.

В восьмом параграфе установлены взаимосвязи некоторых свойств полутела сечений пучка полутел над нульмерным компактом с соответствующими свойствами его полу тел-слоев:

1 на X\W nx(s) = s(x) для любого s Е Г(Х,П).

Теорема 8.1. Полутело Г = Г(Х,П) сечений пучка П полутел Ux над нульмерным компактом X дистрибутивно (ограниченно, зероидно) в том и только том случае, когда дистрибутивны (ограниченны, зероидны) все его слои Ux.

Заметим, что в предложении 8.1 доказано сохранение ряда других свойств полутел.

В девятом параграфе построены структурные пучки V(U) и £(£/) полутел для нетривиального полутела U, аналогичные пучкам Пирса и Ламбека для колец:

Теорема 9.1. Любое полутело U изоморфно полутелу всех сечений пучка V(U) полутел Гм> являющихся факторполутелами полутела U, над нульмерным компактом Max93(Z7).

Через Мах03(£7) обозначен максимальный спектр булевой решетки всех дополняемых ядер полутела U.

Назовем полутело U полутелом с условием К, если множества (а)* и Ор являются ядрами в U для любых а Е U, Р е SpecU. Условию К удовлетворяют дистрибутивные полутела и редуцированные ограниченные полутела.

Предложение 9.1. Пусть U - полутело с условием К. Тогда существует точное функциональное представление U в факторном пучке £(U) полутел U/Op над неприводимым спектром Spec(U).

Вводится понятие сильно гельфандова полутела. Полутсло U называется сильно гельфандовым, если для любых двух различных максимальных ядер М и N в U существует дополняемое ядро А С М, не лежащее в N.

Теорема 9.3. Произвольное полутело U с образующей и с условием К сильно гельфаидово тогда и только тогда, когда оно изоморфно полутелу Г(Х, П) всех сечений некоторого пучка П локальных полутел Ux над нульмерным компактом X.

Бирегулярные и булевы полутела рассматриваются в десятом параграфе. Дается функциональная характеризация бирегулярных полутел:

Теорема 10.1. Произвольное полутело U бирегулярно тогда и только тогда, когда оно изоморфно полутелу всех сечений некоторого пучка простых полутел и тривиальных полутел над нульмерным компактом.

Если при этом полутел о U с образующей, то в формулировке теоремы 10.1 можно оставить только простые полутела (теорема 10.3).

Теорема 10.2. Любое бирегулярное полутело раскладывается в прямое произведение бирегулярного идемпотентного полутела и би-регулярного ограниченного полуполя.

В терминах пирсовского пучка V дапа характеризация булевых полутел:

Предложение 10.2. Для того чтобы полутело U было булевым, необходимо и достаточно, чтобы все слои пучка V{U) являлись простыми или тривиальными полут&пами, a MayJJ совпадало с множеством изолированных точек базисного пространства Мах23(С7).

Отметим два следствия:

Следствие 10.2. Полутело является булевым полутелом с образующей тогда и только тогда, когда оно изоморфно прямому произведению конечного числа простых полутел.

Следствие 10.4. Для булева полутела U пространство MaxQ3(Z7) есть стоун-чеховская компактификация дискретного пространства Ma xU.

В заключение приведены примеры бирегулярных и булевых полутел.

Общие алгебраические факты можно найти в книгах [1, 15, 16, 17, 23, 29, 46], топологические - в [40, 43], по теории пучков - в [3, 5, 33].

По теме диссертации имеется 11 публикаций, указанных в списке литературы.

Результаты диссертации докладывались на семинаре "Кольца и модули" кафедры высшей алгебры МГУ им. М. В. Ломоносова (февраль 2006 года), на научном семинаре кафедры алгебры и математической логики Казанского государственного университета (сентябрь 2008 года), на итоговых научных конференциях Вятского государственного гуманитарного университета (ВятГГУ) и на научном алгебраическом семинаре ВятГГУ в 2004-2008 г.г.

Автор выражает глубокую и искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Евгению Михайловичу Вечтомову за постановку задач, полезные советы и ценные обсуждения, внимание к работе. А также благодарен С. Н. Ильину, И. Б. Кожухову, А. В. Михалеву, А. Н. Семенову, О. В. Старостиной, В. В. Чермных и всем участникам алгебраических семинаров ВятГГУ, МГУ и КГУ за полезные замечания и обсуждения.

1. Биркгоф, Г. Теория решеток текст. / Г. Биркгоф - М.: Наука, 1984. - 568 с.

2. Богданов, И. И. Полиномиальные соотношения в полукольцах: дис. . канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 20.02.2004/ И. И. Богданов; МГУ. М., 2004. - 72 с.ч

3. Бредон, Г. Теория пучков текст. / Г. Бредон. М.: Наука, 1988. -321 с.

4. Варанкина, В. И. Полукольца непрерывных функций: делимость, идеалы, конгруэнции текст. / В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов, И. А. Семенова // Фундаментальная и прикладная математика. -1998. Т. 4. - № 2. - С. 493-510

5. Вечтомов, Е. М. Функциональные представления колец текст. / Е. М. Вечтомов. М.: МПГУ им. Ленина, 1993. - 190 с.

6. Вечтомов, Е. М. О конгруэнциях на иолутелах текст. /Е. М. Вечтомов // Материалы международной конференции "Проблемы алгебры и кибернетики", посвященной памяти академика С. А. Чунихи-на. Гомель: Гомельский гос. ун-т, 1995. - С. 38-39

7. Вечтомов, Е. М. Две общие структурные теоремы о полумодулях текст. / Е. М. Вечтомов // Абелевы группы и модули. 2000. -Вып. 15. - С. 17-23

8. Вечтомов, Е. М. Введение в полукольца текст. / Е. М. Вечтомов. -Киров: Вятск. гос. пед. ун-т, 2000. 44 с.

9. Вечтомов, Е. М. О свойствах полутел текст. / Е. М. Вечтомов // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2001. - Вып. 3. - С. 11-20

10. Вечтомов, Е. М. Функциональное представление полутел текст. / Е. М. Вечтомов // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию рождения А. Г. Куроша. Тезисы докладов. -М.: Механико-математический факультет А1ГУ, 2008. С. 58-60

11. Вечтомов, Е. М. Абелево-регулярные положительные полукольца текст. / Е. М. Вечтомов, А. В. Михалев, В. В. Чермных // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1997. - Т. 20. - С. 282-309

12. Вечтомов, Е. М. Структура абелево-регулярных положительных полуколец текст. / Е. М. Вечтомов, О. В. Старостина // Успехи математический наук. 2007. - Т. 62. - Вып. 1. - С. 199-200

13. Вечтомов, Е. М. Обобщенные абелево-регулярные положительные полукольца текст. / Е. М. Вечтомов, О. В. Старостина // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. 2007. - Вып. 7. - С. 3-16

14. Вечтомов, Е. М. Конгруэнции на поукольцах непрерывных функций на F-пространствах текст. / Е. М. Вечтомов, Д. В. Чупраков // Вестник Сыктывкарского университета. Серия 1: Математика. Механика. Информатика. 2008. - Вып. 8. - С. 15-26

15. Гретцер, Г. Общая теория решеток текст. / Г. Гретцер. М.: Мир, 1982. - 456 с.

16. Кон, П. Универсальная алгебра текст. / П. Кон. М.: Мир, 1968. -352 с.

17. Копытов, В. М. Решеточно упорядоченные группы текст. / В. М. Копытов. М.: Наука, 1984. - 320 с.

18. Литвинов, Г. Л. Линейные функционалы на идемпотентных пространствах. Алгебраический подход текст. / Г. Л. Литвинов,B. П. Маслов, Р Б. Шпиз // Докл. РАН. 1998. - Т. 363. - №3. C. 298-300

19. Лукин, М. А. Дизъюнктное нолукольцевое объединение кольца и полутела текст. / М. А. Лукин // Чебышевский сборник. 2005. -Т. 6. - Вып. 4(16). - С. 126-135

20. Маслов, В. П. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении текст. / В. П. Маслов, В. Н. Колокольцов. М.: Наука, 1994. - 144 с.

21. Полин, С. В. Простые полутела и полуполя текст. / С. В. Полин // Сибирский математический журнал. 1974. - Т. 15. - №1. - С. 90101

22. Пунинский, Р Е. Кольца и модули текст. / Р Е. Пунинский, А. А. Туганбаев. М.: Союз, 1998. - 420 с.

23. Ряттель, А. В. Положительно упорядоченные полутела: дис. . канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 17.03.2002/ А. В. Ряттель. Киров: ВятГГУ, 2002. - 89 с.

24. Семенов, А. Н. О строении полутел текст. / А. Н.Семенов // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2003. - № 8. -С. 105-107

25. Семенов, А. Н. О решетке конгруэнций полутел текст. / А. Н. Семенов // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2003. -т. - С. 92-95

26. Семенов, А. Н. Порядки на полуполях текст. / А. Н. Семенов // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2004. - Вып. 6. - С. 77-92

27. Семенова, И. А. Максимальные конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций текст. / И. А. Семенова //Фундаментальная и прикладная математика. 2000. - Т.6. - JV21. - С. 305-310

28. Скорняков, JI. А. Элементы общей алгебры текст. / JI. А. Скорняков. М.: Наука, 1983. - 272 с.

29. Старостина, О. В. Строение абелево-регулярных положительных полуколец текст. / О. В. Старостина // Чебышевский сборник. 2005. Т. 6. - Вып. 4 (16). С. 142-151

30. Старостина, О. В. Функциональные представления абелево-регулярных положительных полуколец текст. / О. В. Старостина // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2007. - Вып. 9. - С. 70-75

31. Старостина, О. В. Абелево-регулярные положительные полукольца: дис. . канд. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 29. 10. 2007. -Киров: ВятГГУ, 2007. 90 с.

32. Чермных, В. В. Полукольца текст. / В. В. Чермных. Киров: Вят-скоий гос. пед. ун-т, 1997. - 131 с.

33. Чермных, В. В. О полноте пучковых представлений полуколец текст. / В. В. Чермных // Фундаментальная и прикладная математика. 1996. - Т 2. - №1. - С. 267-277

34. Чермных, В. В. Полукольца сечений пучков текст. / В. В. Чермных // Вестник ВятГГУ. 2005. - № 13. - С. 151-158

35. Чермных, В. В. Функциональные представления полуколец и полумодулей: дис. . докт. физ.-матем. наук: 01.01.06: защищена 28.06.2007. Киров: ВятГГУ, 2007. - 234 с.

36. Широков, Д. В. Условия дистрибутивности решетки конгруэн-ций полуполя непрерывных положительных функций текст. / Д. В. Широков // Вестник ВятГГУ. 2003. - № 8. - С. 137-140

37. Шпиз, Г. Б. Решение алгебраических уравнений в идемпотентиых полуполях текст. / Г. Б. Шпиз // Успехи математических наук. -2000. Т. 55. - Вып. 5. - С. 185-186

38. Энгелькинг, Р. Общая топология текст. / Р. Энгелькинг. М.:Мир, 1986. - 752 с.

39. Dauns, J. The represention of biregular rings by sheaves text./ J. Dauns, К. H. Hofmann // Math. Z. 1966. - V. 91. - № 2. - P. 103 -123

40. Davey, B. A. Sheaf spaces and sheaves of universal algebras text. / B. A. Davey // Math. Z. 1973. V. 134. - №4. - P. 275-290

41. Gillman, L. Rings of continuous functions text. / L. Gillman, M. Jerison. N.Y.: Springer-Verlag, 1976. - 300 p.

42. Glazek, K. A Guide to the Literature on Semirings and Their Applications in Mathematics and Information Sceinces: With Complete Bibliography text. / K. Glazek. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht-Boston-London, 2002. - 294 p.

43. Golan, J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science text. / J. S. Golan. Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics, 1992. -V. 54. - 318 p.

44. Golan, J. S. Semirings and their applications text. / J. S. Golan. -Kluwer Academic Publishers. Dordrecht-Boston-London, 1999. 381 p.

45. Hebisch, U. Semirings and semifields text. / U. Hebisch, H. J. Weinert // M. Hazewinkel (ed.): Handbook of Algebra. -Amsterdam, 1996. V. I. P. 425-462

46. Hutchins, H. С. Homomorphisms and kernel of semifields text. / H. C. Hutchins, H. J. Weinert // Periodica Mathematica. 1990. -V. 21(2). - P 113-152

47. Hutchins, H. Division semirings with 1+1=1 text. / H. Hutchins // Semigroup forum. 1981. - V. 22(2). - P. 181-188

48. Lambek, J. On representation of modules by sheaves of factor modules text. / J. Lambek // Can. Math. Bull. 1971. - 14. - № 3. - P. 359-368

49. Mikhalev, A. V. Semirings: sheaves and continuous functions text. /А. V. Mikhalev, E. M. Vechtomov, I. I. Artamonova, V. V. Chermnykh, V. I. Varankina // Semigroups with applications, including semigroup rings. Sankt-Peterburg, 1999. - P. 23-58

50. Pierce, R. S. Modules over commutative regular rings text. / R. S. Pierce // Mem. Amer. Math. Soc. 1967. - P. 1-112

51. Vandiver, H. S. Note on a simple type of algebra in which cancellation law of addition does not hold text. / H. S. Vandiver// Bull. Amer. Math. Soc. 1934. - V. 40. - №12. - P. 914-920

52. Weinert, H. J. Uber Halbring und Halbkorper. I text. / H. J. Weinert // Acta math. Acad, scient. hung., 1962. V. 13. - № 3 4. - S. 365-378

53. Weinert, H. J. Uber Halbring und Halbkorper. II text. / H. J. Weinert // Acta math. Acad, scient. hung. 1963. - V. 14. -№1-2. - S. 209-227

54. Weinert, H. J. Uber Halbring und Halbkorper. Ill text. / H. J. Weinert // Acta math. Acad, scient. hung. 1964. - V. 15. -№1-2. - S. 177-194

55. Weinert, H. J. Em Struktursatz fur idempoiente Halbkorper text. / H. J. Weinert // Acta math. Acad, scient. hung. 1964. - V. 15. -№3-4. - S. 289-295Публикации автора по теме диссертации

56. Черапева, А. В. О сократимых конгруэнциях на полу телах текст. / А. В. Черанева // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2005. № 3. - С. 160-163

57. Черанева, А. В. О конгруэнциях на полутелах текст. / А. В. Черанева // Чебышевский сборник. 2005. - Т. 6. - Вып. 4(16). -С. 164-171

58. Черанева, А. В. О главном ядре, порожденном 2 текст. / А. В. Черанева // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2006. - Вып. 8. - С. 120-125

59. Черанева, А. В. О дистрибутивности полутел текст. / А. В. Черапева // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Т. 1. - Орел: Орловский гос. ун-т, 2006. - С. 198-200

60. Черанева, А. В. Кольцо разностей полутела текст. / А. В. Черанева // Вестник ВятГГУ. Информатика. Математика. Язык. 2007. -No 4. - С. 205-207

61. Черанева, А. В. О решетке конгруэнций полутела текст. / А. В. Черапева // Международная конференция "Алгебра и ее приложения". Красноярск: Сибирский федерал, ун-т. - 2007. - С. 143

62. Вечтомов, Е. М. К теории полутел текст. / Е. М. Вечтомов, А. В. Черанева // Успехи математических наук. 2008. - Т. 62. -Вып. 2. - С. 161-162

63. Вечтомов, Е. М. Неприводимые ядра полутел текст. / Е. М. Вечтомов, А. В. Черанева // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2008. - Вып. 10. - С. 25-31

64. Вечтомов, Е. М. Пучки полутел над нульмерным компактом текст. / Е. М. Вечтомов, А. В. Черанева // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2008. -Вып. 10. - С. 32-44