Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

я

На правах рукописи

2 ? он! «за

СЕМЕНОВА Ирина Александровна

КОНГРУЭНЦИИ НА ПОЛУКОЛЬЦАХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1998

Работа выполнена на кафедре алгебры математического факультета Вятского государственного педагогического университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор ВЕЧТОМОВ Е.М.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор МИХАЛЕВ A.B.

кандидат физико-математических наук, доцент КОЖУХОВ И.Б.

Ведущая организация: Нижегородский государственный университет.

Защита диссертации состоится лнМ/ut- 199& года

в /о часов на заседании Диссертационного Совета К 053.01.02 в Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, Mill У, математический факультет, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИГУ по адресу: 119435, Москва, ул. Малая Пироговская, дом 1.

Автореферат разослан 98 года.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

КАРАСЕВ Г. А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена одному из разделов функциональной алгебры - теории полуколец непрерывных функций. Исследуются конгруэнции на полукольцах С+(Х) всех непрерывных неотрицательных действительнозначных функций и на полуполях II(X) всех непрерывных положительных действительнозначных функций, определенных на произвольном топологическом пространстве X. Полукольца непрерывных функций - сравнительно новый алгебраический объект, изучение которого опирается на теорию колец непрерывных функций и на теорию полуколец. Кольцо С(Х) всех непрерывных действительнозначных функций, определенных на топологическом пространстве X, - классический объект функциональной алгебры. Полукольца непрерывных действительнозначных функций - следующий этап в развитии конкретных алгебраических систем непрерывных функций.

Необходимость создания общей теории полуколец обусловлена ее приложениями в дискретной математике, топологии, идемпотентном анализе, теории оптимального управления и т. д. (см. [7,14]). Знание же свойств полуколец непрерывных функций, их фактор-полуколец полезно в общей теории полуколец, так как многие абстрактные полукольца допускают хорошие функциональные представления в виде полуколец глобальных сечений пучков полуколец [9,10].

Изучение колец С(Х) началось во второй половине 30-ых годов XX века с работ М. Стоуна [16] и И.М. Гельфанда и А.Н. Колмогорова [6]. По теории колец непрерывных функций имеется большая библиография (см. обзорные работы Е.М. Вечтомова [3,4,17,18]). Ей посвящена монография Гиллмана и Джерисона [13]. Полукольца С+(Х) встречаются в литературе с 1955 г. [15]; они систематически изучались в диссертации В.И. Варанкиной [2] (см. также [1]). Полуполя без нуля £7(X) - новый алгебраический объект, изучение которого ведется с 1995 г. (см. [5], а также работы автора по теме диссертации).

Впервые конгруэнции на полукольцах С1 (X) были рассмотрены в статьях [11,12]. Авторами было показано, что пространство всех максимальных среди сократимых конгруэнции на С+(Х) гомеоморфно стоун-чеховской компактификации пространства X [11]. В работе [12] доказано, что пространство конгруэнщш р, фактор-полукольца по кото-

рым изоморфны полуполю R+ неотрицательных действительных чисел, гомеоморфно хьюиттовскому расширению пространства X. В диссертации такие конгруэнции р охарактеризованы в терминах решетки Con С+(Х) всех конгруэнции полукольца С+(Х), что позволило получить теорему определяемости хыоиттовских пространств X решетками Con С+(Х). Замкнутые конгруэнции на полукольцах С+(Х) и U{X) с топологией поточечной сходимости исследованы М.Н. Подлевских (Смирнова) [8].

Цель работы. Исследование конгруэнции на полукольцах С+(Х) и на полуполях U(X), а также свойств соответствующих решеток конгруэнции Con С+(Х) и Con U{X).

Методы исследования. Применяются методы и результаты теории полуколец и теории колец и полуколец непрерывных функций. В главе 1 рассмотрен метод соответствий между конгруэнциями на аддитивно сократимом полукольце и идеалами его кольца разностей - он работает в главах 2 и 3. В главе 2 существенно используется линейная упорядоченность фактор-колец кольца С(Х) по простым идеалам, а также каноническое соответствие между простыми идеалами полукольца С+(Х) и кольца С(Х). В главе 3 для исследования конгруэнций на полуполях U(X) применяется разработанная здесь техника главных конгруэнций.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Решены следующие задачи.

1. Описаны максимальные и предмаксимальные конгруэнции на полукольцах С+(Х) (глава 2) и максимальные конгруэнции на полуполях U(X) (глава 3).

2. Доказана определяемость любого хьюиттовского пространства X каждой из решеток конгруэнций Con С+(Х) и Con U(X) (главы 2, 3).

3. Даны характеризации главных и идеальных (сократимых) конгруэнций на полуполях U(X) (глава 3).

4. Показано, что идеальность всех конгруэнций на U(X) эквивалентна псевдокомпактности пространства X (глава 3).

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит

теоретический характер. Полученные результатаы могут найти применение в дальнейших исследованиях полуколец непрерывных функций, в теории полуколец, а также при чтении спецкурсов на физико-математических факультетах педвузов и университетов.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на V Международной конференции женщин-математиков в 1997 г., на алгебраическом семинаре Вятского госпедуниверситета в 1995 -1998 гг. и на алгебраическом семинаре в МПГУ под руководством профессора A.A. Фомина.

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в восьми работах, одна из которых в соавторстве. Список приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация содержит введение, 3 главы, разбитых на 10 параграфов, п список литературы пз 35 наименований. Текст диссертации набран в системе LaTEX и изложен на 78 страницах.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, дан краткий историчекий очерк исследований колец и полуколец непрерывных функций, приводится аннотация основных результатов диссертации.

В главе 1 вводятся основные понятия, используемые в диссертации, выясняются свойства конгруэнций на абстрактных полукольцах, в частности на аддитивно сократимых, коммутативных положительных и упорядоченных полукольцах.

В параграфе 1.1 приведены примеры конгруэнций на полукольцах, выяснены свойства некоторых из них.

Непустое множество S с бинарными операциями + и • называется полукольцом, если:

1. (S, +) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 0;

2. (5, •) - полугруппа с нейтральным элементом 1;

3. Va,b,c£ S a(b + c) = ab + ac, (a + b)c — ac + be;

4. Va G S O • a = O = a ■ 0.

Полукольцо, каждый ненулевой элемент которого обратим, называется полутелом. Если 5 - полутело, не являющееся телом, то алгебраическую систему {S \ {0},+,-) будем называть полутелом без нуля.

Нормальную мультипликативную подгруппу G полутела без нуля S назовем допустимой подгруппой, если

Vg €GVa,b€ S (a + b= 1 =>• ag + beG).

В следующих предложениях устанавливается связь между конгруэнци-ями на полутеле без нуля S и допустимыми подгруппами в S.

Предложение 1.1.6. Допустимые подгруппы в полутеле без пуляв - это в точности классы единицы [1]р, где р - произвольная конгруэнция na S.

Предложение 1.1.7. Множество допустимых подгрупп в полутеле без нуля S является решеткой по отношению включения, изоморфной решетке Con S конгруэнции полутела S.

В параграфе 1.2 исследуются конгруэнции на аддитивно сократимых полукольцах. Определены два отображения, которые используются также во второй и третьей главах диссертации.

Полукольцо S называется аддитивно сократимым, если в S выполняется квазитождество:

а + с = Ь + с =Ф- а = Ь.

Пусть R - кольцо разностей аддитивно сократимого полукольца S. Отображение 7 : Id R —t Con S ставит в соответствие каждому идеалу I кольца R конгруэнцию на S:

а 7(I) b a — b £ I ( при любых a, b е S).

Конгруэнции вида 7(7) будем называть идеальными.

Отображение 6 : Con S —» Id R ставит в соответствие каждой конгруэнции р на S идеал в R:

8{р) - {а - b е R : a,b е S и apb}.

Выяснены свойства отображений 7 и 5. Они дают общий метод соответствий для изучения конгруэнции на аддитивно сократимом полукольце 5. Показано, что конгруэнция р идеальна тогда и только тогда, когда она обладает свойством сократимости:

(а + с)р{Ъ + с) =Ф- арЬ.

Идеал Р полукольца называется

простым, если для любых его элементов а, Ь из того, что аЬ 6 Р следует, что а € Р или Ь £ Р\

строгим, если для любых его элементов а, Ь из того, что а + Ь £ I следует, что а £ I иЬ £ I.

Если Р - простой строгий идеал в полукольце 5, то разбиение полукольца 5 на два класса - Р и 5 \ Р - индуцирует конгруэнцию на 5; будем обозначать ее р(Р).

В следующем предложении выяснено строение максимальных конгруэнции на произвольном коммутативном положительном (элементы вида а + 1 обратимы) полукольце 5.

Предложение 1.2.15. Произвольная конгруэнция р на 5 максимальна тогда и только тогда, когда р = р(Р) для некоторого (единственного) простого строгого идеала Р о 5.

Отсюда вытекает, что на полукольце С+(Х) всегда существует неидеальная конгруэнция. Если пространство X не псевдокомпактно, то и на полуполе и(Х) также существуют неидеальные конгруэнции.

В параграфе 1.3 рассмотрены конгруэнции на упорядоченных полукольцах.

Полукольцо 5" называется упорядоченным, если на 5 существует отношение порядка < такое, что

\/а,&,се5 (а < Ь а + с < Ь +с);

V«, Ь, с £ 5 (а < Ь и 0 < с =>• ас < Ъс и са < сЬ).

Если 5 - полутело без нуля, то во втором условии не требуется, чтобы О < с. Упорядоченное полукольцо 5 назовем вычитаемым, если для любых его элементов а <Ь следует, что Ь = а + с для некоторого с € 5.

Подмножество А упорядоченного множества В называется выпуклым (в В), если

Va,с € A V6 G В (а <Ь<с 6 е А). Свойства вычитаемых полутел отражены в следующих предложениях.

Предложение 1.3.16. Если упорядоченное полутело S (с нулем или без нуля) вычитаемо, то любой класс произвольной конгруэнции на S является выпуклым множеством.

Предложение 1.3.17. Если S - вычитаемое линейно упорядоченное полутело без нуля, то допустимые подгруппы в S - это в точности его выпуклые нормальные мультипликативные подгруппы.

Предложение 1.3.18. В любом вычитаемом подполуполе полуполя без нуля R+\{0} (или в Rv\{0},) имеются только тривиальные конгруэнции Oui.

Глава 2 посвящена изучению конгруэнции на полукольце С+(Х) всех непрерывных неотрицательных действительнозначных функций, заданных на произвольном топологическом пространстве X. Дано описание; максимальных и предмаксимальных конгруэнции на С+(Х), доказана определяемость любого хьюиттовского пространства X решеткой С on С+(Х) конгруэнций полукольца С+(Х).

В параграфе 2.1 исследуются свойства фактор-полуколец полукольца С+(Х) по идеальным конгруэнциям j(Р), соответствующим простым идеалам Р кольца С(Х).

Предложение 2.1.1. Фактор-полукольцо С+(Х)/у^, где Р - произвольный простой идеал кольца С(Х), является неотрицательной частью линейно упорядоченного кольца С(Х)/р и, значит, вычитаемо.

Это предложение служит важным инструментом исследования конгруэнций на полукольце С+(Х). В частности, оно используется для выяснения строения предмаксимальных конгруэнций на С+(Х).

Наиболее важные свойства фактор-полуколец S полукольца С+ (X) описаны в следующих предложениях.

Предложение 2.1.2. Всякое фактор-полукольцо S полукольца С+ (X) является положительным полукольцом, в котором однозначно можно

извлекать корни любой натуральной степени.

Предложение 2.1.3. Простые идеалы произвольного фактор-полу-колъца полукольца С+(Х) являются строгими идеалами.

На основе предложений 1.2.15, 2.1.2 и 2.1.3 доказано

Предложение 2.1.4. Для произвольной конгруэнции р на фактор-полукольце 5 полукольца С+{Х) эквивалентны следующие условия:

1) конгруэнция р максимальна;

2) полукольцо Б/р двухэлементно;

3) класс нуля конгруэнции р является простым идеалом полукольца 5, а класс единицы служит дополнением к нему в 5.

Выяснено строение максимальных конгруэнции на С+{Х).

Теорема 2.1.1. Для любого топологического пространства X максимальные конгруэнции на полукольце С+(Х) - это в точности двух-классовые конгруэнции р(Р), определяемые разбиением {Р,С+{Х) \ Р}, по всевозможным простым идеалам Р в С+(Х).

Конгруэнция р на полукольце С+(Х) называется предмаксимальной, если в решетке конгруэнции Соп С+(Х) существует ровно две конгруэнции, большие р\ единичная и некоторая максимальная. Идеал М кольца С{Х) называется И-идеалом, если С(Х)/м — К--

Свойства фактор-полуколец С+ {X) /7(м), где М - максимальный идеал кольца С(Х), описаны в следующих двух предложениях.

Предложение 2.1.5. Если М - Л-идеал кольца С(Х), то фактор-полукольцо С^^Х^/^^щ имеет ровно три конгруэнции, т. е. 7(М) -пред максимальная конгруэнция на С+(Х).

Предложение 2.1.6. Пусть М - максимальный идеал кольца С(Х), не являющийся Ш-идеалом. Тогда в фактор-полукольце С+{Х)/^м) все конгруэнции линейно упорядочении по включению, среди них нет пред-максимальных конгруэпций, и любое его фактор-полукольцо по нетривиальной немаксимальной конгруэнции имеет бесконечно много конгруэпций.

В параграфе 2.2 описаны предмаксимальные конгруэнции.

Теорема 2.2.2. Конгруэнция р на полукольце С+(Х) предмакси-малъна тогда и только тогда, когда она имеет вид 7(М) для некоторого R-идеала М кольца С(Х).

Эта теорема является одной из главных в работе. Она позволяет получить определяемость произвольного хьюиттовского пространства X решеткой конгруэнций Con С+(Х). Заметим, что проблеме определяемое™ посвящен обзор [4].

Теорема 2.2.3. Произвольные хьюиттовские пространства X и Y гомеоморфны тогда и только тогда, когда решетки конгруэнций Con С+(Х) и Con C+{Y) изоморфны.

В конце параграфа показана антиэквивалентность категории полуколец С+(Х) и их гомоморфизмов, сохраняющих 1, по всевозможным хыоиттовским пространствам X (а также категории полуполей U(X)) и категории хьюиттовских пространств X и их непрерывных отображений.

В главе 3 исследуются конгруэнции на полуполе U(X) всех непрерывных положительных действительнозначных функций на произвольном топологическом пространстве X. Указано условие идеальности всех конгруэнций на U(X). Выяснена связь конгруэнций на полуполе U{X) со строго выпуклыми подгруппами на U(X).

Параграф 3.1 посвящен описанию главных конгруэнций.

Теорема 3.1.1. Главная конгруэнция ро на полуполе U(X), порожденная парой (<р, 1) определяется соотношениями:

для любых /, <? € и(X).

В параграфе 3.2 дано описание максимальных конгруэнций на полуполе и(х).

Теорема 3.2.2. Максимальные конгруэнции на полуполе II (X) - это в точности конгруэнции 7(М) по всевозможным К-идеалам М кольца

g-fe(v-i)C(X),

(ipy<p-1)~k < 7 < (9 Vp-1)

/

k

(1) (2)

C(X).

Эта теорема позволяет говорить об опредедяемости произвольного хьюиттовского пространства X решеткой Con U(X) конгруэнции на полуполе U(X).

Пусть Мах и(Х) - пространство всех максимальных конгруэнции полуполя U(X) со стоуновской топологией. Тогда имеют место следующие два результата.

Предложение 3.2.2. Для любого тихоновского пространства X топологические пространства Max U(X) и иХ гомеоморфны.

Следствие 3.2.2. Хьюиттовские пространства X и Y гомеоморфны тогда и только тогда, когда решетки Con U(X) и Con U(Y) изоморфны.

Исходя из этого следствия и теоремы 2.3.3, получаем

Теорема 3.2.3. Для любых топологических пространств X и Y эквивалентны следующие условия:

1) решетки Con U(X) и Con U(Y) изоморфны;

2) решетки Con С+{Х) и Con C+(Y) изоморфны;

3) полуполя U(X) и U(Y) изоморфны;

4) полукольца С+(Х) и C+{Y) изоморфны;

5) кольца С{Х) и C(Y) изоморфны.

В параграфе 3.3 указано условие идеальности всех конгруэнции на полуполе U(X):

Теорема 3.3.4. Пусть X - произвольное топологическое пространство. Тогда любая конгруэнция на полуполе U(X) идеальна в том и только в том случае, когда X псевдокомпактно.

Заметим, что при доказательстве основных теорем 3.2.2 и 3.3.4 существенно используется метод главных конгруэнций (соотношения из теоремы 3.1.1).

Используя отображения у и <5, доказано

Следствие 3.3.4. Если X псевдокомпактно, то решетки Con U(X) и Id С{Х) изоморфны.

Параграф 3.4 посвящен изучению связей между конгруэнцпямп на

полуполе U(X) и строго выпуклыми подгруппами в U(X).

Допустимые подгруппы G в полуполе U(X) будем называть строго выпуклыми.

Назовем мультипликативную подгруппу G в полуполе U(X) внешне выпуклой, если

(V/ € G)(Va G С(Х)) (а/ + 1 - а 6 U(X) => а/ + 1 - а £ G).

Теорема 3.4.5. Конгруэнция р на U(X) идеальна тогда и только тогда, когда соответствующая ей подгруппа [1]р внешне выпукла.

Отметим также следующий технический результат, примыкающий к теореме 3.1.1.

Предложение 3.4.3. Если X псевдокомпактно, то для любых / € U{X) ид € С(Х) таких, что gf + 1 — g € U(X), существует натуральное число к, для которого

о к

- f < g < J2 Г на всем X. i——к ¿=0

На основе этого предложения можно получить

Следствие 3.4.5. Все строго выпуклые подгруппы в U(X) внешне выпуклы тогда и только тогда, когда пространство X псевдокомпактно.

Отметим, что это следствие вытекает и из теорем 3.3.3 и 3.4.5.

В параграфе 3.5 установлены некоторые связи между решеткой конгруэнции Con U(X) и топологическим пространством X. Решетка Con U(X) модулярна, но далеко не всегда дистрибутивна. Это показывает

Предложение 3.5.5. Если решетка Con U(X) дистрибутивна, то пространство X является F-пространсгпвом.

Заметим, что любое недискретное метрическое пространство не является ^-пространством [13, гл.14].

Пусть далее X - произвольное тихоновское пространство. Если А С X, то обозначим через рл такую конгруэнцию на U(X), что для любых f,geu(X)

fpAg f = д на А.

Предложение 3.5.6. Конгруэнция р na U(X) дополняема тогда и только тогда, когда р = рд для некоторого открыто-замкнутого множества А в X.

На основе этого предложения доказано

Предложение 3.5.7. Для каждого тихоновского пространства X булевостъ решетки Con U(X) эквивалентна конечности пространства X.

Автор выражает глубокую признательность профессору Е.М. Вечто-мову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Варанкина В. И. Максимальные идеалы в полукольцах непрерывных функций // Фундам. и прикл. матем. - 1995. - Т. I, N 4. - С. 923-937.

2. Варанкина В. И. Максимальные идеалы и делимость в полукольцах непрерывных функций. - Дисс. на соиск. уч. степени канд. физ.-матем. наук. - Киров: Вятский гос. пед. ун-т, 1996.

3. Вечтомов Е. М. Вопросы определяемое™ топологических пространств алгебраическими системами непрерывных функций // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. - 1990. - Т. 28. - С. 3-46.

4. Вечтомов Е. М. Кольца непрерывных функций. Алгебраические аспекты // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. - 1991. - Т. 29. - С. 119-191.

5. Вечтомов Е. М. О конгруэнциях на полутелах // Проблемы алгебры и кибернетики. Материалы межд. конф., поев, памяти акад. С. А. Чунихина. - Гомель: гос. ун-т, 1995. - С. 38-39.

6. Гельфанд И. М., Колмогоров А. Н. О кольцах непрерывных функций на топологических пространствах // Докл. АН СССР. - 1939. - Т. 22, N 1. - С. 11-15.

7. Маслов В. П., Колокольцов В. Н. Идемпотентный анализ и его применение в оптимальном управлении. - М.:Наука, 1994.

8. Смирнова М. Н. О замкнутых конгруэнциях на полукольцах непрерывных функций // Тезисы докл. школы-конф., посвящ. 100-летию Б. М. Гагаева. - Казань: Казанск. матем. общ-во, 1997. - С. 200-201.

9. Чермных В. В. Пучковые представления полуколец. Дисс. на соиск. уч. степ. канд. физ.-матем. наук. - М.: Моск. пед. гос. ун-т, 1993.

10. Чермных В. В. О полноте пучковых представлений полуколец. // Фундам. и прикл. матем.. - 1996. -Т.2, N1. - С. 167-177.

11. Acharyya S. К., Chattopadhyay К. S., Ray G. G. Hemirings, congruences and the Stone-Cech compactification // Simon Stevin. - 1993. -V. 67, Suppl. - C. 21-35.

12. Acharyya S. K., Chattopadhyay K. S., Ray G. G. Hemirings, congruences and the Hewitt realcomactificatin // Bull. Belg. Math. Soc. -1995. - V. 2, N 1. - C. 47-58.

13. Gillman L., Jerison M. Rings of continuous functions. - N.J.: Springer-Verlag, 1976.

14. Golan J. S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science. - Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V. 54. - 1992.

15. Slowikowski W., Zawadowski A. A generalization of maximal ideals method of Stone and Gelfand // Fund. Math. - 1955. -V. 42, N 2. - P. 215-231.

16. Stone M. Applications of the theory of boolean rings to general topology // Trans. Amer. Math. Soc. - 1937. -V. 41, N 3. - P. 375-481.

17. Vechtomov E. M. Rings and sheaves //J. Math. Sciences (USA). -1995. - V. 74, N 1. - P. 749-798.

18. Vechtomov E. M. Rings of continuous functions with values in a topological division ring // J. Math. Sciences (USA). -1996. -V. 78, N 6. -P. 702-753.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Семенова И. А. Максимальные конгруэнции на положительных полукольцах // Тезисы докл. IV Международной конф. женщин-математиков. - Волгоград: гос. ун-т, 1996. - С. 113.

2. Семенова И. А. Главные конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций // Вестник Вятского педуниверситета. Серия естеств. наук. Вып. 1. Матем., инф., физ. - 1996. - С. 14-16.

3. Семенова И. А. О конгруэнциях на полуполе ЬТ(Х) // Тезисы докл. V Международной конф. женпщн-математиков. - Ростов-на-Дону: гос. ун-т, 1997. - С. 64.

4. Семенова И. А. О максимальных конгруэнциях на полуполе непрерывных положительных функций // Тезисы докл. школы-конф., посвященной 100-летию Б. М. Гагаева. - Казань: Казанск. матем. общ-во, 1997. - С. 193.

5. Семенова И. А. Конгруэнции на полуполе непрерывных положительных функций и его строго выпуклые мультипликативные подгруппы // Вестник Вятского педуниверситета. Серия естеств. наук. Вып. 3. Матем., инф., физ. - 1997. - С. 30-32.

6. Семенова И. А. Предмаксимальные конгруэнции на полукольцах непрерывных неотрицательных функций // Тезисы докл. VI Международной конф. женщин - математиков. - Чебоксары: гос. ун-т, 1998. -С. 62-63.

7. Варанкина В. И., Вечтомов Е. М., Семенова И. А. Полукольца непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы, конгруэнции // Фундам. и прикл. матем.. - 1998. -Т. 4, N 2. - С. 493-510.

? г

ВЯТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

СЕМЕНОВА Ирина Александровна

КОНГРУЭНЦИИ НА ПОЛУКОЛЬЦАХ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

ДИССЕРТАЦИЯ на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ВЕЧТОМОВ Е. М.

КИРОВ - 1998

Содержание

0.1 Введение ..........................................................4

1 Конгруэнции на полукольцах 16

1.1 Полукольца и полутела..........................................16

1.2 Конгруэнции на полукольцах с аддитивным сокращением . 28

1.3 Упорядоченные полу тела....................34

2 Конгруэнции на полукольцах непрерывных неотрицательных функций 37

2.1 Фактор-полукольца полукольца С+(Х) непрерывных неотрицательных функций.....................38

2.2 Пред максимальные конгруэнции на полукольцах С'+ (X) непрерывных неотрицательных функций............43

3 Конгруэнции на полуполях непрерывных положительных

функций 51

3.1 Главные конгруэнции на полуполе и(Х) непрерывных положительных функций .....................52

3.2 Максимальные конгруэнции на полуполе 17(X) непрерывных положительных функций.................59

3.3 Когда все конгруэнции на полуполе I/(X) идеальны ? ... 64

3.4 Конгруэнции и строго выпуклые мультипликативные подгруппы в полуполе II(X)....................65

3.5 О решетке конгруэнции на полуполе и(Х)..........72

Литература 74

0.1 Введение

Диссертация посвящена разделу функциональной алгебры - полукольцам непрерывных функций. В ней исследуются конгруэнции на полукольцах непрерывных действительнозначных функций.

Пусть X - произвольное топологическое пространство. Рассматривается полукольцо С+(Х) всех непрерывных неотрицательных функций и полуполе I/(X) всех непрерывных положительных функций на X с поточечно определенными операциями сложения и умножения. Их кольцом разностей служит кольцо С(Х) всех непрерывных действительнозначных функций, заданных на пространстве X.

Изучение колец С(Х) началось во второй половине 30-ых годов XX века с работ М. Стоуна [25] и И.М. Гельфанда и А.Н. Колмогорова [10]. По теории колец непрерывных функций имеется большая библиография. Назовем монографию Гиллмана и Джерисона [22] и обзорные работы Е.М. Вечтомова [6,7,26,27]. Полукольца С+(Х) встречаются в литературе с 1955 г. [24,11,23]; они систематически изучались в диссертации В.И. Варанкиной [3] (см. также [2]). Полуполя и(Х) - новый алгебраический объект, изучение которого ведется с 1995 г. на алгебраическом семинаре Вятского госпедуниверситета [7,29,31-33].

В кольцах существует естественное взаимно однозначное соответствие между конгруэнциями и идеалами, в полукольцах же этого соответствия нет. Так, в полуполе 17(X) нет несобственных идеалов, но достаточно много конгруэнций. Впервые конгруэнции на полукольцах С+(Х) для тихоновских пространств X рассматривались в статьях [20,21] Сначала авторы показали, что пространство всех максимальных среди сократимых конгруэнций на С+(Х) гомеоморфно стоун-чеховской ком-пактификации X. Во второй работе было доказано, что пространство

конгруэнции р на полукольце С+(Х), фактор-полукольца по которым изоморфны полуполю R+ неотрицательных действительных чисел, го-меоморфно хьюиттовскому расширению пространства X. В данной диссертации такие конгруэнции р охарактеризованы в терминах решетки Con С+(Х) всех конгруэнции на полукольце С+(Х)1 что позволило получить теорему определяемости хьюиттовских пространств X решетками Con С+(Х). Замкнутые конгруэнции на полукольцах С+(Х) и U(X) с топологией поточечной сходимости исследованы М.Н. Годлевских (Смирнова) [15]. Подалгебры в полукольцах С+(Х) и U(X) изучались в статьях [8,14].

Отметим, что полукольца непрерывных функций, их фактор-полукольца находят применение - через пучковые представления - в общей теории полуколец [16-18,9]. В свою очередь теория полуколец применяется в дискретной математике, топологии, идемпотентном анализе, теории оптимального управления [13,23].

При изложении работы я опиралась на книги [1,12,18,19,22,23].

В диссертации решены следующие основные задачи.

1. Описаны максимальные и пред максимальные конгруэнции на полукольцах С+(Х) (теоремы 2.1.1 и 2.2.2) и максимальные конгруэнции на полуполях U(X) (теорема 3.2.2).

2. Доказана определяемость любого хьюиттовского пространства X каждой из решеток конгруэнции Con С+(Х) и Con U(X) - теорема 2.3.3 и следствие 3.2.2.

3. Даны характеризации главных и идеальных (сократимых) конгру-энций на полуполях U(X) - теоремы 3.1.1 и 3.4.5.

4. Показано, что идеальность всех конгруэнций на U(X) эквивалентна псевдокомпактности пространства X (теорема 3.3.4).

Применяются методы и результаты теории полуколец и теории колец и полуколец непрерывных функций. В главе 1 рассмотрен метод соответствий между конгруэнциями на аддитивно сократимом полукольце и идеалами его кольца разностей - он работает в главах 2 и 3. В главе 2 существенно используется линейная упорядоченность фактор-колец кольца С(Х) по простым идеалам, а также каноническое соответствие между простыми идеалами полукольца С+(Х) и кольца С(Х). В главе 3 для исследования конгруэнции на полуполях II(X) применяется разработанная здесь техника главных конгруэнций.

Дадим краткий анализ содержания диссертации. Диссертация содержит введение, 3 главы, разбитых на 10 параграфов, и список литературы из 35 наименований.

В главе 1 вводятся основные понятия, используемые в диссертации, выясняются свойства конгруэнций на абстрактных полукольцах, в частности, на аддитивно сократимых, коммутативных положительных и упорядоченных полукольцах.

В параграфе 1.1 приведены примеры конгруэнций на полукольцах, выяснены свойства некоторых из них.

Нормальную мультипликативную подгруппу £г полутела без нуля 5 назовем допустимой подгруппой, если

\/д ев^а,Ье Б (а + Ь = 1 ад + Ъев).

В следующих предложениях устанавливается связь между конгруэнциями на полутеле без нуля Б и допустимыми подгруппами в 5.

Предложение 1.1.6. Допустимые подгруппы в полутеле без нуля 5 - это в точности классы единицы [1]р; где р - произвольная конгруэнция на 5.

Предложение 1.1.7. Множество допустимых подгрупп в полутеле без нуля S является решеткой по отношению включения, изоморфной решетке Con S конгруэнций полутела S.

В параграфе 1.2 исследуются конгруэнции на аддитивно сократимых полукольцах. Определены два отображения, которые используются также во второй и третьей главах диссертации.

Пусть R - кольцо разностей аддитивно сократимого полукольца S. Отображение у : Id R Con S ставит в соответствие каждому идеалу / кольца R конгруэнцию на S:

а у(1) Ь а — 6 6 I ( при любых а, 6 6 S).

Конгруэнции вида будем называть идеальными.

Отображение 8 : Con Т —t Id R ставит в соответствие каждой конгруэнции р на S идеал в R\

5(р) = {а — b € R : a,b £ Т и apb}.

Выяснены свойства отображений 7 и 5. Они дают общий метод соответствий для изучения конгруэнций на аддитивно сократимом полукольце S. Показано, что конгруэнция р идеальна тогда и только тогда, когда она обладает свойством сократимости:

(а + с)р(Ъ + с) apb.

Если Р - простой строгий идеал в полукольце 5, то разбиение полукольца S на два класса - Р и S \ Р - индуцирует конгруэнцию на 5; будем обозначать ее р(Р).

В следующем предложении выяснено строение максимальных конгруэнций на произвольном коммутативном положительном (элементы вида <2 + 1 обратимы) полукольце S.

Предложение 1.2.15. Произвольная конгруэнция р на Б максимальна тогда и только тогда, когда р = р(Р) для некоторого единственного) простого строгого идеала Р в 5.

Отсюда вытекает, что на полукольце С+(Х) всегда существует неидеальная конгруэнция. Если пространство X не псевдокомпактно, то и на полуполе и(Х) также существуют неидеальные конгруэнции (пример 1.2.1).

В параграфе 1.3 рассмотрены конгруэнции на упорядоченных полукольцах.

Упорядоченное полукольцо Б назовем вычитаемым, если для любых его элементов а < Ъ следует, что Ъ — а + с для некоторого с Е 5.

Подмножество А упорядоченного множества В называется выпуклым (в В), если

Уа,се АМЪ е В (а <Ь < с =>ЬеА). Свойства вычитаемых полутел отражены в следующих предложениях.

Предложение 1.3.16. Если упорядоченное полутело Б (с нулем или без нуля) вычитаемо, то любой класс произвольной конгруэнции на 5 является выпуклым множеством.

Предложение 1.3.17. Если 5 - вычитаемое линейно упорядоченное полутело без нуля, то допустимые подгруппы в Б - это в точности его выпуклые нормальные мультипликативные подгруппы.

Предложение 1.3.18. В любом вычитаемом подполуполе полу поля без нуля И,+\{0} (или в Ку\{0}у) имеются только тривиальные конгруэнции: наименьшая 0 и наибльшая 1.

Глава 2 посвящена изучению конгруэнции на полукольце С+ (X) не-

U - u

прерывных неотрицательных действительнозначных функции, заданных на произвольном топологическом пространстве X. Дано описание максимальных и предмаксимальных конгруэнции на С+(Х), доказана определяемость любого хьюиттовского пространства X решеткой Con С+(Х) конгруэнций полукольца С+(Х).

В параграфе 2.1 исследуются свойства фактор-полуколец полукольца С+(Х) по идеальным конгруэнциям 7(Р), соответствующим простым идеалам Р кольца С(Х).

Предложение 2.1.1. Фактор-полукольцо С+(Х)/7(р); где Р - произвольный простой идеал кольца С(Х), является неотрицательной частью линейно упорядоченного кольца С(Х)/р и, значит, вычитаемо.

Это предложение служит важным инструментом исследования конгруэнций на полукольце С+(Х). В частности, оно используется для выяснения строения предмаксимальных конгруэнций на С+(Х).

Наиболее важные свойства фактор-полуколец S полукольца С+(Х) описаны в следующих предложениях.

Предложение 2.1.2. Всякое фактор-полукольцо S полукольца С+(Х) является положительным полукольцом, в котором однозначно можно извлекать корни любой натуральной степени.

Предложение 2.1.3. Простые идеалы произвольного фактор-полукольца полукольца С+(Х) являются строгими идеалами.

На основе предложений 1.2.15, 2.1.2 и 2.1.3 получается

Предложение 2.1.4. Для произвольной конгруэнции р на фактор-полукольце S полукольца С+(Х) эквивалентны следующие условия:

1) конгруэнция р максимальна;

2) полукольцо Б/р двухэлементно;

3) класс нуля конгруэнции р является простым идеалом полукольца Б, а класс единицы служит дополнением к нему в Б.

Выяснено строение максимальных конгруэнции на С+(Х).

Теорема 2.1.1. Для любого топологического пространства X максимальные конгруэнции на полукольце С+(Х) - это в точности двух-классовые конгруэнции р{Р), определяемые разбиением {Р, С+(Х) \ Р}, по всевозможным простым идеалам Р в С+(Х).

Конгруэнция р на полукольце С+(Х) называется предмаксимальной, если в решетке конгруэнции Соп С+(Х) существует ровно две конгруэнции, большие р: единичная и некоторая максимальная.

Свойства фактор-полуколец С+(Х)/7(м)э гДе М - максимальный идеал кольца С(Х), описаны в следующих двух предложениях.

Предложение 2.1.5. Если М - II-идеал кольца С(Х), то фактор-полукольцо С+(Х)/у(м) имеет ровно три конгруэнции, т. е. у(М) -предмаксимальная конгруэнция на С+(Х).

Предложение 2.1.6. Пусть М - максимальный идеал кольца С{Х), не являющийся И-идеалом. Тогда в фактор-полукольце С+(Х)/7(м) конгруэнции образуют линейно упорядоченное множество по включению, среди нетривиальных конгруэнции нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, и любое его фактор-полукольцо по нетривиальной немаксимальной конгруэнции имеет бесконечно много конгруэнции.

В параграфе 2.2 описаны предмаксимальные конгруэнции.

Теорема 2.2.2. Конгруэнция р на полукольце С+(Х) предмакси-

малъна тогда и только тогда, когда она имеет вид 7(М) для некоторого И-идеала М кольца С(Х).

Эта теорема является одной из главных в работе. Она позволяет получить определяемость произвольного хьюиттовского пространства X решеткой конгруэнций Соп С'+(Х).

Теорема 2.2.3. Произвольные хьюиттовские пространства X и У гомеоморфны тогда и только тогда, когда решетки конгруэнций Соп С+(Х) и Соп С+(У) изоморфны.

В конце параграфа показана антиэквивалентность категории полуколец С+(Х) и их гомоморфизмов, сохраняющих 1, по всевозможным хьюиттовским пространствам X (а также категории полуполей II(X)) и категории хьюиттовских пространств X и их непрерывных отображений.

В главе 3 исследуются конгруэнции на полуполе и(Х) всех непрерывных положительных действительнозначных функций на произвольном топологическом пространстве X. Указано условие идеальности всех конгруэнций на 11(Х). Выяснена связь конгруэнций на полуполе II(X) со строго выпуклыми подгруппами на и(X).

Параграф 3.1 посвящен описанию главных конгруэнций.

Теорема 3.1.1. Главная конгруэнция на полуполе II(X), порожденная парой 1), определяется соотношениями:

/Ро9 <=

g-fe(<p-l)C(X)i (3*6 г*) (<р < £ < ((рУср-1)

/

к

а) (2)

для любых /, <7 6 II(X).

В параграфе 3.2 дано описание максимальных конгруэнции на полуполе U(X).

Теорема 3.2.2. Максимальные конгруэнции на полуполе U(X) - это в точности конгруэнции 'у(М) по всевозможным R-идеалам М кольца

С(Х).

Эта теорема позволяет говорить об определяемости произвольного хьюиттовского пространства X решеткой Con U(X) конгруэнции на полуполе U(X).

Пусть Max U(X) - пространство всех максимальных конгруэнции полуполя U(X) со стоуновской топологией. Тогда имеют место следующие два результата.

Предложение 3.2.2. Для любого тихоновского пространства X топологические пространства Max U(X) и vX гомеоморфны.

Следствие 3.2.2. Хъюиттовские пространства X uY гомеоморфны тогда и только тогда, когда решетки Con U(X) и Con U(Y) изоморфны.

Исходя из этого следствия и теоремы 2.3.3 получаем

Теорема 3.2.3. Для любых топологических пространств X и Y эквивалентны следующие условия:

1) решетки Con U{X) и Con U(Y) изоморфны;

2) решетки Con С+(Х) и Con C+(Y) изоморфны;

3) полуполя U(X) и U(Y) изоморфны;

4) полукольца С+ (X) uC+(Y) изоморфны;

5) кольца С(Х) и С(У) изоморфны.

В параграфе 3.3 указано условие идеальности всех конгруэнции на полуполе и(Х):

Теорема 3.3.4. Пусть X - произвольное топологическое пространство. Тогда любая конгруэнция на полуполе и(Х) идеальна в том и только в том случае, когда X псевдокомпактно.

Заметим, что при доказательстве основных теорем 3.2.2 и 3.3.4 существенно используется метод главных конгруэнции (соотношения из теоремы 3.1.1).

Используя отображения 7 и §, доказано

Следствие 3.3.4. ЕслиХ псевдокомпактно, то решетки Соп 11(Х) и Ы С{Х) изоморфны.

Параграф 3.4 посвящен изучению связей между конгруэнциями на полуполе и(Х) и строго выпуклыми подгруппами в и(Х).

Допустимые подгруппы О в полуполе II[X) будем называть строго выпуклыми.

Назовем мультипликативную подгруппу С в полуполе II(X) внешне выпуклой, если

(V/ е в)(\/а е С{Х)) (а/ + 1 - « е и(Х) =» а/ + 1 -а ев).

Теорема 3.4.5. Конгруэнция р на и(Х) идеальна тогда и только тогда, когда соответствующая ей подгруппа [1]р внешне выпукла.

Отметим так же следующий технический результат, примыкающий к теореме 3.1.1.

Предложение 3.4.3. Если X псевдокомпактно, то для любых / 6 и(Х) и д € С(Х) таких, что д/ +1 — д £ II(X), существует натураль-

ное число к, для которого

о к

~~ Y1 f{ < у< 1С fl на всем i=—k ¿=0

На основе этого предложения можно получить

Следствие 3.4.5. Все строго выпуклые подгруппы в U(X) внешне выпуклы тогда и только тогда, когда пространство X псевдоком-пактно.

Отметим, что это следствие вытекает и из теорем 3.3.3 и 3.4.5.

В параграфе 3.5 установлены некоторые связи между решеткой конгруэнции Con U(X) и топологическим пространством X. Решетка Con U(X) модулярна, но далеко не всегда дистрибутивна. Это показывает

Предложение 3.5.5. Если решетка Con U(X) дистрибутивна, то пространство X является F-пространством.

Заметим, что любое недискретное метрическое пространство не является ^-пространством [22, гл.14].

Пусть далее X - произвольное тихоновское пространство. Если А С X, то обозначим через рл такую конгруэнцию на U(X), что для любых f,g € U(X)

ÍPa9 / = 9 на А.

Предложение 3.5.6. Конгруэнция р на U(X) дополняема тогда и только тогда, когда р = Ра для некоторого открыто-замкнутого множества А в X.

На основе этого предложения доказано

Предложение 3.5.7. Для каждого тихоновского пространства X булевостъ решетки Соп и(Х) эквивалентна конечности пространства X.

В каждой главе диссертации применяется сквозная тройная нумерация отдельно теорем, предложений, следствий и примеров. Например, предложение 2.1.4 - это предложение 4 из параграфа 2.1.

Результаты диссертации опубликованы в работах [28] - [35] и докладывались на V Международной конгференции женщин - математиков, на научном алгебраическом семинаре Вятского госпедуниверситетаи на алгебраическом семинаре профессора А.А Фомина в Московском пед-госуниверситете.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Е.М. Вечтомову за постановку задач, постоянное внимание к работе и поддержку.

Глава 1

Конгруэнции на полукольцах

Эта глава носит общеалгебраический характер. В ней вводятся основные понятия теории полуколец, необходимые для дальнейшего изложения. Доказаны результаты (в том числе и новые) о конгруэнциях на абстрактных полукольцах.

1.1 Полукольца и полу тела

Непустое множество 5 с бинарными операциями + и • называется полукольцом, если:

1. (Б, +) - коммутативная полугруп�