Первичный радикал решеточно упорядоченных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Кочетова Юлия Викторовна

ПЕРВИЧНЫЙ РАДИКАЛ РЕШЕТОЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ АЛГЕБР

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел'

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009

003489515

Работа выполнена на кафедре алгебры математического факультета Московского педагогического государственного университета

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

кандидат физико-математических наук, доцент Ширшова Елена Евгеньевна

доктор физико-математических наук, профессор Туганбаев Аскар Аканович

доктор физико-математических наук, профессор Зайцев Михаил Владимирович

Ведущая организация: Тульский государственный

педагогический университет им. Л.Н. Толстого

Защита состоится «/¿У» января 2010 г. в ¿У_ часов на заседании Диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107140, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, математический факультет МПГУ, ауд. 301.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г. Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан « /2> декабря 2009 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Муравьева О.В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Понятие радикала является одним из основных инструментов построения структурной теории многих алгебраических систем. Теория радикалов наиболее развита для колец, алгебр, модулей и групп. Развитие структурной теории привело к появлению большого числа различных радикалов. В частности, в теории ассоциативных колец возникли следующие классические радикалы: локально нильпотентный радикал Левицкого, верхний нильрадикал Кёте, квазирегулярный радикал Джекоб-сона, нижний нильрадикал Бэра и первичный радикал. При построении структурной теории алгебр Ли в 1888-1890 годах появился разрешимый радикал В. Киллинга, а в 1971 году — слабо разрешимый радикал В.А. Парфенова [15].

В 1943 году Бэр [19] построил для колец нижний нильрадикал трансфинитным "бзровским" процессом. Первичный радикал кольца ввел в рассмотрение в 1949 году Маккой [22]. Левицкий [21] в 1951 году доказал совпадение радикала Бэра и радикала Маккоя. Первичный радикал исследовался для различных алгебраических систем: К.К. Щукиным для групп [18], A.B. Михалёвым и М.А. Шаталовой для П-групп [12], С.А. Пихтильковым для алгебр Ли [16]. В перечисленных работах было получено поэлементное описание первичного радикала соответствующей алгебраической системы. Кроме этого, С.А. Пихтильковым в работе [16] было введено понятие нижнего слабо разрешимого радикала алгебры Ли и доказано, что этот радикал совпадает с первичным радикалом алгебры Ли [16, теорема 2.3.3].

Плодотворной оказалась идея распространить понятие радикала на частично упорядоченные алгебраические системы, что видно на примере рассмотрения первичного радикала в решеточно упорядоченных кольцах (f-кольцах), восходящего к статье Биркгофа и Пирса [20] 1956 года (см. также [2]). Поэлементное описание первичного радикала для i-колец, ¿-групп и ¿-модулей получено A.B. Михалёвым и М.А. Шаталовой [И, 10,12], а для направленных групп — A.B. Михалёвым и Е.Е. Ширшовой [13, 14]. Для решеточно упорядоченных колец A.B. Михалёвым и М.А. Шаталовой [11] было показано, что стандартная процедура построения нижнего радикала приводит к ¿-первичному радикалу ¿-кольца.

До последнего времени понятие ¿-первичного радикала не исследовалось для решеточно упорядоченных алгебр Ли (¿-алгебр Ли). Учитывая

этот факт, профессором кафедры Высшей алгебры МГУ A.B. Михалёвым была поставлена задача: изучить свойства первичного радикала решеточно упорядоченных алгебр Ли, используя определение частично упорядоченной алгебры Ли над частично упорядоченным полем, введенное В.М. Копыто-вым в статье [5] 1972 года.

Алгебра Ли L над частично упорядоченным полем F называется частично упорядоченной, если на L задано отношение порядка < такое, что:

1. {£; +; <) — частично упорядоченная группа;

2. из х ^ у следует, что Лх^Ху для всех х, у е L и Л е F, А > 0;

3. из х < у следует, что х + [х, z] < у + [у, г] для всех x,y,z€ L.

В 70-80-х годах прошлого века на базе понятия частично упорядоченной алгебры Ли была построена содержательная теория линейно упорядочиваемых алгебр Ли над линейно упорядоченным полем, ряд основных результатов которой отражен в работах [4, 5, 3, 7, 8, 9, 1]. Так, в работах В.М. Копытова [4, 5, 3] рассмотрено строение решетки выпуклых подалгебр линейно упорядоченной алгебры Ли и доказано, что все ¿-идеалы ¿-алгебры Ли над линейно упорядоченным полем образуют полную подрешетку в решетке всех идеалов данной алгебры. Помимо этого, В.М. Копытовым рассматривались вопросы упорядочиваемости алгебр Ли и в статье [5] им было доказано, что алгебра Ли над линейно упорядоченным полем линейно упорядочиваема тогда и только тогда, когда она обладает центральной системой, при этом конечномерная линейно упорядоченная алгебра Ли нильпотентна. Также при изучении взаимосвязи решеточно упорядоченных алгебр Ли с линейными порядками В:М. Копытовым в статье [3] было показано, что всякая i-алгебр'а Ли над линейно упорядоченным полем ¿-изоморфна ¿-подалгебре декартовой суммы линейно упорядоченных алгебр Ли.

В [5] В.М. Копытов указывает на то, что введенное им определение порядка на алгебре Ли можно рассматривать не только для этих алгебр, но и для произвольных алгебр над упорядоченными полями. Кроме того, нами было замечено, что существует связь между линейным порядком Копытова ассоциативной алгебры А и порядком Копытова на соответствующей ей алгебре Ли А^ (предложение 2.2.1), которая позволяет существенно расширить число примеров упорядоченных по Копытову алгебр Ли. Данные наблюдения послужили стимулом для изучения свойств порядка Копытова

на произвольных линейных алгебрах над полями.

Цель работы:

1. Распространить понятие порядка Копытова с класса алгебр Ли на произвольные линейные алгебры над частично упорядоченными полями. В связи с этим изучить свойства модулей элементов в векторных решетках над полями с различным упорядочением.

2. Исследовать вопрос о линейной упорядочиваемости произвольной линейной алгебры над линейно упорядоченным полем, в частности, описать конечномерные решеточно упорядочиваемые по Копытову ассоциативные алгебры. Вместе с этим изучить свойства ¿-идеалов ¿-алгебр.

3. Получить поэлементное описание /-первичного радикала ¿-алгебры над частично упорядоченными полями, а также исследовать взаимосвязь ¿-первичного радикала ¿-алгебры с ее нижним слабо разрешимым I-радикалом.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основными результатами диссертации являются следующие:

1. Найдены необходимые и достаточные условия линейной упорядочиваемости произвольной линейной алгебры над линейно упорядоченным полем (теорема 2.4.4). Описаны конечномерные линейно и решеточно упорядочиваемые ассоциативные алгебры и алгебры Ли (следствие 2.4.1 и следствие 2.6.1). Для произвольных ¿-алгебр над частично упорядоченными полями доказан аналог теоремы Леви (теорема 2.3.2). Помимо этого показано, что любая ¿-алгебра над направленным полем вкладывается в декартову сумму линейно упорядоченных алгебр (теорема 2.6.1).

2. В произвольных ¿-алгебрах над частично упорядоченными полями описаны свойства спрямляющих ¿-идеалов (раздел 2.5), наименьших I-идеалов, содержащих данный элемент ¿-алгебры (раздел 2.2), и изучены свойства ¿-первичных I-идеалов (раздел 3.2), а также доказано, что все I-идеалы любой ¿-алгебры образуют полную подрешетку в решетке ее идеалов (теорема 2.2.3).

3. Получено поэлементное описание ¿-первичного радикала решеточно упорядоченных алгебр над частично упорядоченными и направленными полями (теоремы 3.3.3 и 3.3.4). Доказано, что ¿-первичный радикал ¿-алгебры совпадает с ее нижним слабо разрешимым ¿-радикалом (теорема 3.7.1).

Методы исследования. Для получения данных результатов были развиты методы частично упорядоченных линейных алгебр, ¿-идеалов, I-

первичного радикала.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам и аспирантам, занимающимся теорией ¿-алгебр над частично упорядоченными полями, и использоваться при дальнейшем исследовании различных вопросов теорий частично упорядоченных векторных пространств, колец и алгебр. Также полученные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов в университетах и институтах для студентов математических специальностей.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на научно-исследовательском семинаре "Кольца и модули" кафедры Высшей алгебры МГУ под руководством проф. A.B. Михалёва, проф. В.Н. Латышева и проф. В.А. Артамонова, на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры МПГУ, на научно-практической конференции преподавателей, аспирантов и сотрудников математического факультета МПГУ (март 2007г., март 2008г. и март 2009г.), Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского (Самара, 2007), Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Москва, 2008), Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2009), Международном семинаре "Универсальная алгебра, теория чисел и их приложения" (Волгоград, 2009).

Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 8 публикациях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, и списка литературы. Полный объем диссертации — 87 страниц. Библиография содержит 44 наименования.

Содержание работы. Во введении изложена предыстория исследуемых в работе вопросов и дан обзор диссертации.

Глава 1 носит предварительный характер. В первых двух разделах этой главы приводятся необходимые сведения из теории частично упорядоченных групп и полей, используемые в дальнейшем изложении. В работе используется терминология, общепринятая для частично упорядоченных алгебраических систем (см. [4, 17]).

В связи с тем, что в работе рассматриваются поля с различными типами порядков, в разделе 1.3 главы 1, результатами которого мы будем пользо-

ваться в следующих главах, исследуются свойства векторных решеток над частично упорядоченными, направленными и решеточно упорядоченными полями. В этом разделе вводится понятие решеточно упорядоченного векторного пространства над частично упорядоченным полем.

Частично упорядоченным векторным пространством V над частично упорядоченным полем Р называется векторное пространство V над полем Р, на котором задано отношение порядка < такое, что:

1. — частично упорядоченная группа;

2. для любых элементов х £ V, А 6 Р из неравенств 1>0вУ иА^О в Р следует Ах > 0 в V.

В разделе 1.3 показано, что известные равенства для векторных решеток над линейно упорядоченными полями (см., например, [2], гл. XV, § 1) не выполняются уже в случае решеточно упорядоченных полей. Поэтому основное внимание в данном разделе уделяется изложению новых результатов, касающихся оценок в векторной решетке модуля произведения скаляра на вектор:

1. В решеточно упорядоченном векторном пространстве V над направленным полем Р для любых элементов я € V и А 6 .Р существует положительный элемент об? такой, что |Ах| ^ а|х| (лемма 1.3.2).

2. Если V — линейно упорядоченное векторное пространство над частично упорядоченным полем Р, то А|х| ^ |Ах| для всех I е V и А е ^ (лемма 1.3.5).

Также в разделе 1.3 доказано, что в решеточно упорядоченном векторном пространстве V над частично упорядоченным полем F, удовлетворяющим условию , „

если ао > 0 и о > 0, то о > 0, (*)

для любых А^О верны равенства А(х Л у) = Ах Л Ху и

А(х V у) = Ах V Ху (предложение 1.3.1).

Напомним, что в статье [5] В.М. Копытовым было введено определение упорядочения алгебры Ли и указано на то, что данное определение можно рассматривать и для произвольных алгебр над упорядоченными полями.

В главе 2 даны два эквивалентных определения частично упорядоченных по Копытову линейных алгебр над частично упорядоченными полями, а также сформулированы и доказаны их простейшие свойства.

Будем говорить, что на линейной алгебре А = (Л;+;-) над частично упорядоченным полем Р определен порядок Копытова {К-порядок)

если:

(1) (А; +; — частично упорядоченная группа;

(2) из о <6 следует, что Ла < АЬ для всех а, Ь е А и А > О, А € Г;

(3) из 0 < а следует, что0<а + а6и0^а + Ьа для всех Ъ 6 А.

Следует отметить, что для ассоциативных алгебр понятия /С-порядка и

порядка ассоциативного кольца (см., например, [17, гл. VI, § 1]) различны. Так, в разделе 2.1 приведен пример ассоциативной алгебры, в которой порядок аддитивной группы индуцирует А'-порядок алгебры, но не индуцирует порядок ассоциативного кольца (пример 2.1.1).

Если 0 < о, а € А, то скажем, что элемент Ь е А бесконечно мал относительно элемента а (6 С а), если АЬ ^ а для всех А бГ. Используя данное понятие, в разделе 2.1 показано, что условие (3) можно заменить на эквивалентное ему условие

(3) из 0 < о следует, что аЬ < о и 6а «С о для всех Ь € А.

Поэтому будем считать, что на алгебре А над частично упорядоченным полем Р определен порядок Копытова (К-порядок) если выполняются условия (1) и (2), а также (3). Если при этом группа (Л; +; является линейно упорядоченной (¿-группой), то алгебра А называется линейно упорядоченной (1-алгеброй).

В разделе 2.1 показано, что данное определение эквивалентно определению частично упорядоченной алгебры над полем, введенному В.М. Копы-товым в [5] для алгебр Ли. При дальнейшем изложении, говоря "порядок на алгебре", будем подразумевать рассмотренный выше А'-порядок.

Также в разделе 2.1 приведены примеры линейных алгебр, упорядоченных по Копытову, и упорядоченных алгебраических объектов, связанных с этими алгебрами.

Кроме этого, здесь сформулированы и доказаны свойства модулей элементов в произвольных упорядоченных алгебрах над полями. В частности, показано, что в решеточно упорядоченной алгебре Ь над частично упорядоченным полем /-1 для любых элементов х,у £ Ь выполняются неравенства \ху\ ^ \х\, |ух| ^ |х| (предложение 2.1.4), а если поле F является направленным и удовлетворяет условию (*), то \ах\ « а и |ха| < о для всех положительных а € Ь (предложение 2.1.6).

В разделе 2.2 для решеточно упорядоченной алгебры введено понятие ее I-идеала. Сформулировано второе определение ¿-идеала и доказана эквивалентность двух введенных определений. Доказаны свойства ¿-идеалов

решеточно упорядоченной алгебры над частично упорядоченным полем:

1. Множество всех Í-идеалов данной i-алгебры над частично упорядоченным полем образует подрешетку в решетке всех ее идеалов и притом полную (теорема 2.2.3).

2. Множество Ма всех элементов линейно упорядоченной по Копытову алгебры А над линейно упорядоченным полем F, бесконечно малых относительно некоторого о > 0, а € А, является выпуклым двусторонним идеалом в А (теоремы 2.2.1 и 2.2.2).

Отметим, что утверждение о полноте подрешетки ¿-идеалов в решетке всех идеалов ¿-алгебры Ли над линейно упорядоченным полем можно найти в работах В.М. Копытова [3, 4].

С использованием свойств идеалов Ма в разделе 2.2 доказано, что линейный /Г-порядок ассоциативной алгебры А индуцирует линейный К-порядок на алгебре Ли ВЯ подалгебры В алгебры А (следствие 2.2.1). Кроме этого, выпуклые идеалы М„ применяются в разделе 2.4 при описании центральных систем идеалов линейно упорядоченных алгебр.

Раздел 2.2 также содержит описание наименьших ¿-идеалов 1а, содержащих некоторый элемент a Í-алгебры L над направленным полем F: ¿-идеал /„ совпадает с множеством М = {х G L | |х| ^ 7z|a|, € F} (предложение 2.2.5) и при этом М\а\ С /0.

В разделе 2.3 на факторалгебре частично упорядоченной алгебры над частично упорядоченным полем по ее выпуклому идеалу введено естественное частичное упорядочение (предложение 2.3.1) и доказано, что факто-ралгебра ¿-алгебры по ее I-идеалу является ¿-алгеброй относительно естественного порядка (следствие 2.3.2).

Также в разделе 2.3 для упорядоченных алгебр получена теорема, являющаяся аналогом теоремы Леви для ¿-групп (см., например, [4], гл. II, § 3) и дающая инструмент для конструирования примеров упорядоченных алгебр. Эта теорема говорит о том, что если А — алгебра над частично упорядоченным полем Ful — идеал в А, где I и А/1 частично упорядочены по Копытову, а также для любого о > 0 в I и любого b S А выполняется ab, ba ^ о, то на алгебре А можно определить if-порядок, индуцирующий заданные порядки на I и А/1, при котором I — выпуклый идеал в А (теорема 2.3.2). Для упорядоченных алгебр Ли данный результат доказан В.М. Копытовым в [5].

В работе А.Г. Куроша [6], положившей начало общей теории радикалов

колец и алгебр, было отмечено, что эту теорию (а значит, и соответствующую структурную теорию) можно развивать для любых алгебраических систем, для которых имеют смысл гомоморфизмы и ядра гомоморфизмов с их обычными свойствами (ядра гомоморфизмов должны быть подсистемами, должны быть верны "теоремы об изоморфизмах" и т.д.). В разделе 2.3 главы 2 показано, что для решеточно упорядоченных по Копытову линейных алгебр указанные свойства выполняются.

При исследовании решеточно упорядоченных алгебр используются гомоморфизмы алгебр, согласованные с порядками на алгебрах. Для эффективной работы с ними в разделе 2.3 главы 2 сформулированы известные определения порядкового, строгого порядкового и решеточного гомоморфизма. Доказаны основные свойства связанных с ними понятий, таких как ядро, образ, прообраз. В разделе 2.3 получены следующие результаты для частично и решеточно упорядоченных алгебр:

1. Доказано, что канонический гомоморфизм частично упорядоченной алгебры над частично упорядоченным полем в ее факторалгебру по выпуклому идеалу является порядковым гомоморфизмом (предложение 2.3.2), а канонический гомоморфизм ¿-алгебры в факторалгебру по ее ¿-идеалу является ¿-гомоморфизмом (теорема 2.3.4).

2. Показано, что выпуклые идеалы и только они являются ядрами порядковых гомоморфизмов (теорема 2.3.3), а ¿-идеалы и только они являются ядрами ¿-гомоморфизмов ¿-алгебр (теорема 2.3.9).

3. Образ и полный прообраз ¿-идеала при каноническом гомоморфизме ¿-алгебр являются ¿-идеалами (теоремы 2.3.7 и 2.3.5).

4. Показано, что ¿-гомоморфизм решеточно упорядоченных алгебр является строгим порядковым гомоморфизмом (предложение 2.3.3). Доказана теорема о гомоморфизмах и вторая теорема об изоморфизмах для решеточно упорядоченных алгебр (теоремы 2.3.9 и 2.3.6).

В разделе 2.4 исследуется взаимосвязь линейной упорядочиваемости линейной алгебры над полем с наличием в этой алгебре центральной системы идеалов. В частности, здесь доказано, что любая линейно упорядоченная алгебра А над линейно упорядоченным полем ^ обладает центральной системой идеалов, и при этом для любого скачка С С В ¿-идеалов в этой системе нижний идеал скачка совпадает с идеалом Мь для любого Ь > О, Ь € В\С (теорема 2.4.2 и предложение 2.4.2). Отметим, что свойства идеалов Мь, где Ь > 0, описаны в разделе 2.2.

Кроме этого, в разделе 2.4 показано, что алгебра над линейно упорядоченным полем, обладающая центральной системой идеалов, может быть линейно упорядочена по Копытову (теорема 2.4.3).

Итогом этого раздела является доказательство утверждения о том, что конечномерная ассоциативная алгебра над линейно упорядоченным полем может быть линейно упорядочена в том и только в том случае, когда она нильпотентна (следствие 2.4.1). Для случая алгебр Ли данные результаты получены В.М. Копытовым (см. [4, 5]). Заметим, что условие конечномерности является существенным, поскольку, как показывает пример 2.1.7, существуют бесконечномерные ненильпотентные алгебры, линейно упорядочиваемые по Копытову.

Также в разделе 2.4 приведен пример АТ-порядка алгебры Ли, индуцирующего линейный порядок на группе Ли, для которой данная алгебра Ли является касательным пространством.

В разделе 2.6 изучены свойства декартовой суммы линейно упорядоченных алгебр над направленным полем, а именно, ее связь с некоторой /-алгеброй. Данный раздел содержит следующие результаты:

1. Для всякой решеточно упорядоченной алгебры L над направленным полем, удовлетворяющим условию (#), существует решеточный изоморфизм алгебры L в декартову сумму линейно упорядоченных алгебр (теорема 2.6.1).

2. Конечномерная решеточно упорядоченная по Копытову ассоциативная алгебра (алгебра Ли) над линейно упорядоченным полем нильпотентна (следствие 2.6.1).

3. В решеточно упорядоченной алгебре L над направленным полем, удовлетворяющим условию (*), для любых о, Ь, х € L справедливы соотношения: aAb+(aAb)x = (o+ax)A(6+te), aV6+(aVb)i = (a+az)V{b+bx) и |[a|-|6|| ^ |ab| (следствие 2.6.2 и предложение 2.6.3).

Утверждения теоремы 2.6.1 и следствия 2.6.2 для i-алгебр Ли над линейно упорядоченным полем можно найти в работах В.М. Копытова [3, 4].

Для доказательства свойств декартовых сумм линейно упорядоченных алгебр в разделе 2.5 было введено понятие спрямляющего i-идеала I-алгебры и исследованы его свойства.

Спрямляющим идеалом частично упорядоченной алгебры L над частично упорядоченным полем назовем такой ее выпуклый идеал I, что факто-ралгебра L/I линейно упорядочена относительно индуцированного поряд-

ка.

В разделе 2.5 выявлена взаимосвязь между произвольным {-идеалом и спрямляющими /-идеалами ¿-алгебры, которая заключается в том, что всякий ¿-идеал ¿-алгебры L над направленным полем, удовлетворяющим условию (*), является пересечением спрямляющих ¿-идеалов (предложение 2.5.1).

Если L — ¿-алгебра над направленным полем F, удовлетворяющим условию (*), то каждый из ¿-идеалов Ja(x) в L, максимальных среди I-идеалов, не содержащих элемента х 6 L, х Ф 0, называется значением элемента х, или нижним идеалом скачка в решетке С{Ь) всех ¿-идеалов из L, и является спрямляющим ¿-идеалом в L (теорема 2.5.1).

Глава 3 является центральной для всей работы. В этой главе вводится понятие ¿-первичного радикала ¿-алгебры над частично упорядоченным полем и описываются его свойства.

В разделе 3.1 дано определение ¿-произведения ¿-идеалов решеточно упорядоченной алгебры, сформулированы и доказаны его свойства.

l-проиэведением ¿-идеалов J\ и Зг ¿-алгебры L будем называть наименьший ¿-идеал Ijlj} в L, содержащий множество Д J2.

Раздел 3.1 содержит описание строения I-произведения двух ¿-идеалов Д и ¿-алгебры L над направленным полем: Ij^ = {а: е L | \х\ ^ Sil? lo.tb.|, сц- 6 ДД 6 Д} (предложение 3.1.1). Также в разделе 3.1 доказано, что для I-идеалов J, R и Т ¿-алгебры L над направленным полем верно Ijt С J + T я Ij(r+t) = Ijr + Ijt (предложение 3.1.2).

Для изучения ¿-первичного радикала ¿-алгебр в разделе 3.2 введены понятия ¿-первичной ¿-алгебры и ¿-первичного идеала и исследованы их свойства.

1'Первичной алгеброй назовем такую ¿-алгебру L над частично упорядоченным полем, в которой из luv = 0 следует U = 0 или V = 0 для любых ¿-идеалов U, V в L, а l-первичным идеалом ¿-алгебры L — такой ее ¿-идеал Р, что L/P — ¿-первичная ¿-алгебра.

В разделе 3.2 получены необходимые и достаточные условия I-первичности ¿-идеала Р ¿-алгебры L над частично упорядоченным полем F:

1. для любых ¿-идеалов Д, h в L из /д/а С Р следует Д С Р или Ii С Р;

2. для всех о, 6 € L из Iah £ Р следует, что а € Р или Ъ € Р\

3. для любых ¿-идеалов Д и /2 /-алгебры L из ДД С Р следует хотя бы

одно из соотношений 1\ С Р, /2 С Р (теорема 3.2.1).

Также в разделе 3.2 дано определение насыщенной системы ¿-алгебры, являющейся аналогом понятия ¿-т-системы для решеточно упорядоченных колец (см. [11]): непустое подмножество М С Ь ¿-алгебры Ь над частично упорядоченным полем назовем насыщенной системой, если для любых а, Ь € М существует элемент г е 1й1ъ такой, что г е М.

Введение понятия насыщенной системы позволяет получить еще одно необходимое и достаточное условие ¿-первичности идеала ¿-алгебры Ь: I-идеал I является ¿-первичным идеалом в Ь тогда и только тогда, когда Ь\1 — насыщенная система (следствие 3.2.1).

Помимо этого, в разделе 3.2 рассмотрены необходимые и достаточные условия, при выполнении каждого из которых ¿-алгебра Ь является ¿•первичной (предложения 3.2.1 и 3.2.2):

1. нулевой I-идеал является ¿-первичным в Ь\

2. для любых ¿-идеалов ¡7 и V в Ь из ¿7У = 0 следует и = 0 или V = 0.

В разделе 3.3 вводится понятие ¿-первичного радикала решеточно упорядоченной по Копытову алгебры Ь над частично упорядоченным полем .Р: 1-переичным радикалом 1-г&&к(Ь) ¿-алгебры Ь называется пересечение всех ¿-первичных идеалов из Ь.

В данном разделе доказывается, что любая конечномерная линейно упорядоченная алгебра над линейно упорядоченным полем совпадает со своим ¿-первичным радикалом (теорема 3.3.1). Кроме этого, раздел 3.3 содержит описание ¿-первичного радикала ¿-алгебр над частично упорядоченным полем с точки зрения свойств его элементов. Такое описание меняется в зависимости от вида частичного порядка на поле, над которым рассматривается ¿-алгебра.

Теорема. Пусть Ь — ¿-алгебра над частично упорядоченным полем F, 1-таДк{Ь) — ее ¿-первичный радикал. Тогда для элемента а € Ь следующие условия эквивалентны:

1) о е 1-таЛк(Ь)\

1)' о принадлежит пересечению всех минимальных ¿-первичных I-идеалов в Ь;

2) любая последовательность {о„ е Ь | п € М}, в которой ох = а и а,+1 6 /(/а.)2, содержит нуль;

3) в любой последовательности {а„ е Ь \ п 6 К} вида ах = а, щ+\ е начиная с некоторого места все элементы равны нулю (теорема 3.3.3).

Теорема. Пусть Ь — ¿-алгебра над направленным полем Г, 1-твАкЩ — ее ¿-первичный радикал. Тогда для элемента а е Ь следующие условия эквивалентны:

1) а е 1-тайк(ЬУ,

2) любая последовательность {а„ 6 Ь | п € М}, в которой а) = а и (Ц+1 = хцц, где 0 < < сц\<ц\, 0 £ ¡/г < Д|а,| и а,,/?,- € Л содержит нуль (теорема 3.3.4).

Данные теоремы дают инструмент для нахождения ¿-первичного радикала ¿-алгебр над частично упорядоченными и направленными полями.

Кроме этого, в разделе 3.3 описана взаимосвязь ¿-первичного радикала ¿-алгебры Ли с ее первичным радикалом, а именно, 1-теАк(Ь) С га<1(Ь) для любой ¿-алгебры Ли Ь над частично упорядоченным полем (следствие 3.3.1). Здесь же приведены примеры вычисления ¿-первичного радикала для некоторых ¿-алгебр, построенные на основании теоретических результатов, полученных в данном разделе.

В разделе 3.4 дано определение и исследуются свойства ¿-полупервичной ¿-алгебры.

¿-алгебра Ь над частично упорядоченным полем F называется /полупервичной, если I2 ф {0} для любого ¿-идеала I ф {0} в Ь.

Основным результатом данного раздела является следующая теорема, описывающая необходимое и достаточное условие ¿-полупервичности I-алгебры: ¿-алгебра Ь над частично упорядоченным полем F является I-полупервичной тогда и только тогда, когда 1-хаЛк(Ь) = {0} (теорема 3.4.1).

В разделе 3.5 доказано, что ¿-первичный радикал решеточно упорядоченной алгебры над частично упорядоченным полем является радикалом в смысле Куроша-Амицура (теоремы 3.5.1 и 3.5.2, предложение 3.5.3).

При исследовании ¿-первичного радикала решеточно упорядоченных алгебр возникла необходимость введения понятия и изучения свойств I-радикала ¿-алгебры так же, как это делается для /-колец (см. [11]).

¿-идеал J решеточно упорядоченной алгебры Ь над частично упорядоченным полем назовем 1-разрешимым I-идеалом, если в Ь существует цепочка ¿-идеалов 7 э Л Э Л Э ... э Л = {0}, в которой факторалгеб-ры JifJi+г — алгебры с нулевым умножением. Обозначим символом 91(Ь) сумму всех ¿-разрешимых ¿-идеалов ¿-алгебры Ь и будем называть 9Т(Ь) 1-радикалом ¿-алгебры Ь над частично упорядоченным полем.

В разделе 3,6 изучаются свойства ¿-разрешимых ¿-идеалов ¿-алгебр

над частично упорядоченными полями, а именно, взаимосвязь /полупервичности /-алгебры с наличием в этой i-алгебре i-разрешимых I-идеалов. Также в этом разделе исследуются свойства I-радикала /-алгебр, в частности, раздел 3.6 содержит доказательства следующих свойств /радикала /-алгебры, раскрывающих его связь с /-первичным радикалом:

1. В любой решеточно упорядоченной алгебре L над направленным полем верно включение 9t(L) С i-rad#(£) (следствие 3.6.1);

2. В /-алгебре L над частично упорядоченным полем 9t(L) = Z-radtf (L) тогда и только тогда, когда 9?(L/Vl(L)) = {0} (теорема 3.6.1);

3. 9t(L) = {0} в /-алгебре L над частично упорядоченным полем тогда и только тогда, когда I-tbAk(L) — {0} (следствие 3.6.2).

Кроме этого, в разделе 3.6 приведены примеры /-разрешимых решеточно упорядоченных алгебр.

Для изучения /-первичного радикала /-алгебр в разделе 3.7 вводится понятие нижнего слабо разрешимого I-радикала решеточно упорядоченной алгебры, исследуются его свойства и условия совпадения для каждой /алгебры введенного радикала с /-первичным радикалом.

Нижний слабо разрешимый /-радикал строится для произвольной /алгебры по следующему правилу. С помощью трансфинитной индукции построим цепь /-идеалов /-алгебры L

ЭТо(L) С % (I) С ... С ma(L) С Ot^CL) С ..., (**)

определяя для каждого порядкового числа а идеал %*{L) следующим образом:

1. Шо = 0;

2. Предположим, что идеал 9t0(L) построен для всеха</хи определим yif,(L) следующим образом:

а) если ц — предельное порядковое число, то 91р{Ь) = U У1а(Ь);

a</i

б) если а + 1 не является предельным порядковым числом, то 91q+i(L) — это такой /-идеал /-алгебры L, содержащий /-идеал 9ta(£), что ma+l(L)/ma(L) = m(L/<na(L)).

Нижним слабо разрешимым l-радикалом /-алгебры L над частично

упорядоченным полем называется /-идеал ©(L) = |J 9ta(L), построенный

в>0

по /-идеалам %j(L) из цепи (**).

Основным результатом раздела 3.7 является следующая теорема, дающая описание /-первичного радикала с точки зрения его совпадения с нижним слабо разрешимым /-радикалом /-алгебры.

Теорема. В любой решеточно упорядоченной алгебре L над направленным полем F нижний слабо разрешимый ¿-радикал ®(L) совпадает с ¿-первичным радикалом ¿-radjr(L) (теорема 3.7.1).

Автор искренне благодарит A.B. Михалёва за постановку задачи и интерес к работе, своего научного руководителя Е.Е. Ширшову за помощь и внимание, оказанные при написании данной диссертации, A.B. Гришина за критические замечания и А.Ю. Ольшанского за полезные обсуждения результатов.

Список литературы

[1] Агалаков С.А., Штерн A.C. Свободные произведения линейно упорядочиваемых алгебр Ли // Сиб. матем. журнал. - 1982. - Т. XXIII. -№3. - С. 5-9.

[2] Биркгоф Г. Теория решеток. - М.: Наука, 1984.

[3] Копытов В.М. Решеточно упорядоченные алгебры Ли. // Сиб. матем. журнал. - 1977. - Т. XVIII. - №3. - С. 595-607.

[4] Копытов В.М. Решеточно упорядоченные группы. - М.: Наука, 1984.

- 320 с.

[5J Копытов В.М. Упорядочение алгебр Ли. // Алгебра и логика. - 1972.

- Т. 11. - №3. - С. 295-325.

[6J Курош А.Г. Радикалы колец и алгебр. // Матем. сб. - 1953. - Т. 33

- №1. - С. 13-26.

[7] Медведев Н.Я. О решетках многообразий решеточно упорядоченных групп и алгебр Ли. // Алгебра и логика. - 1977. - Т. 16. - №1. -С. 40-45.

[8] Медведев Н.Я. О продолжении порядков алгебр Ли. // Сиб. матем. журнал. - 1977. - Т. XVIII. - №2. - С. 469-471.

[9] Медведев Н.Я. К теории решеточно упорядоченных колец. // Математические заметки. - 1987. - Т. 41. - №4. - С. 484-489.

[10] Михалёв A.B., Шаталова М.А. Первичный радикал решеточно упорядоченных групп. // Вестник Моск. ун-та. - 1990. - №2. - С. 84-86.

[11] Михалёв A.B., Шаталова М.А. Первичный радикал решеточно упорядоченных колец. // Сб. работ по алгебре. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. - С. 178-184.

[12] Михалёв A.B., Шаталова М.А. Первичный радикал П-групп и Ш-групп. // Фундаментальная и прикладная математика. - 1998. - Т. 4.

- №4. - С. 1405-1413.

[13] Михалёв A.B., Ширшова Е.Е. Первичный радикал р/-грулп. // Фундаментальная и прикладная математика. - 2006. - Т. 12. - №2. -С. 193-199.

[14] Михалёв A.B., Ширшова Е.Е. Первичные радикалы .АО-групп. // Фундаментальная и прикладная математика. - 2006. - Т. 12. - №8.

- С. 197-206.

[15] Парфенов В.А. О слабо разрешимом радикале алгебр Ли. // Сиб. матем. журнал. - 1971. - Т. 12. - №1. - С. 171-176.

[16] Пихтильков С.А. Структурная теория специальных алгебр Ли. - Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н.Толстого, 2005. - 130 с.

[17] Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. - М.: Мир, 1965.

[18] Щукин К.К. .^-разрешимый радикал группы. // Матем. сб. - 1960.

- Т. 52. - №4. - С. 1021-1031.

[19] Ваег R. Radicals ideals // J. Math. - 1943. - V. 65. -P. 537-568.

[20] Birkhoff G., Pierce R. S. Lattice-ordered rings // An. Acad. Brasil. Ci.

- 1956. - V. 28. -P. 41-69.

[21] Levitzki J. Prime ideals and the lower radical // Amer. J. Math., 1951.

- V. 73. -P. 25-29.

[22] McCoy N.H. Prime ideals in general rings // Amer. J. Math., 1949. -V. 71. -P. 823-833.

Работы автора по теме диссертации

[1] Кочетова Ю.В. Первичный радикал решеточно упорядоченных алгебр Ли // Успехи математических наук. - 2008. - Т. 63. -Вып. 5. - С. 191-192. - 0.12 п.л.

[2] Кочетова Ю.В. О некоторых свойствах идеалов решеточно упорядоченных алгебр Ли. // Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. Математика. - 2007. -Т. 57. - №7. - С. 73-83. - 0.68 п.л.

[3] Кочетова Ю.В. Решеточно упорядоченные линейные алгебры // Депонировано в ВИНИТИ, 24.09.2009, № 570-В2009, 20с. - 1.25 п.л.

[4] Кочетова Ю.В. О нижнем слабо разрешимом ¿-радикале решеточно упорядоченных алгебр Ли // Фундаментальная и прикладная математика. - 2008. - Т. 14. - № 8. - С. 137 - 149. - 0.81 п.л.

[5] Кочетова Ю.В. Первичные и полупервичные решеточно упорядоченные алгебры Ли // Фундаментальная и прикладная математика. -2008. - Т. 14. - №7. - С. 137-143. - 0.44 пл.

[6] Кочетова Ю.В. Первичные идеалы решеточно упорядоченных алгебр Ли. // Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Москва, 28 мая - 3 июня 2008): Тезисы докладов. - М.: Изд-во механико-математического факультета МГУ, 2008. - С. 140-141. - 0.12 п.л.

[7] Кочетова Ю.В., Ширшова Е.Е. О естественном гомоморфизме решеточно упорядоченных алгебр Ли. // Международная конференция по алгебре и теории чисел, посвященная 80-летию В.Е. Воскресенского (Самара, 21-25 мая 2007): Тезисы докладов. - Самара: Универс групп, 2007. - С. 29-30. - 0.12 п.л. (50% авторских)

[8] Кочетова Ю.В., Ширшова Е.Е. О гомоморфизмах частично упорядоченных алгебр Ли. // Избранные вопросы алгебры: Сборник статей, посвященный памяти Н.Я. Медведева. - Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2007. - С. 131-142. - 0.75 п.л, (80% авторских)

Подп. к печ. 09.12.2009 Объем 1 п.л. Заказ №. 170 Тир 100 экз. Типография МПГУ

Введение.

Глава 1. Решеточно упорядоченные векторные пространства

1.1 Свойства частично упорядоченных групп.

1.2 Частично упорядоченные поля.

1.3 Векторные решетки над полями с различным упорядочением

Глава 2. Идеалы в частично упорядоченных алгебрах.

2.1 Частично упорядоченные алгебры. Примеры.

2.2 Идеалы и /-идеалы /-алгебр. Свойства /-идеалов.

2.3 Свойства порядковых гомоморфизмов частично упорядоченных алгебр.

2.4 Центральные системы идеалов упорядоченных алгебр.

2.5 Спрямляющие /-идеалы /-алгебр

2.6 Разложение в декартову сумму /-алгебр над направленным полем

Глава 3. Радикалы решеточно упорядоченных алгебр.

3.1 /-произведение /-идеалов /-алгебры.

3.2 /-первичные алгебры. Свойства /-первичных идеалов /-алгебр. Насыщенные системы.

3.3 /-первичный радикал /-алгебры

3.4 /-полупервичные /-алгебры

3.5 Свойства /-первичных радикалов /-алгебр.

3.6 /-радикал /-алгебры.

3.7 Свойства нижнего слабо разрешимого /-радикала /-алгебр.

Понятие радикала является одним из основных инструментов построения структурной теории многих алгебраических систем. Теория радикалов наиболее развита для колец, алгебр, модулей и групп. Развитие структурной теории привело к появлению большого числа различных радикалов. В частности, в теории ассоциативных колец возникли следующие классические радикалы: локально нильпотентный радикал Левицкого, верхний нильрадикал Кёте, квазирегулярный радикал Джекобсона, нижний нильрадикал Бэра и первичный радикал. При построении структурной теории алгебр Ли в 18881890 годах появился разрешимый радикал В. Киллинга, а в 1971 году — слабо разрешимый радикал В.А. Парфенова [24].

В 1943 году Бэр [33] построил для колец нижний нильрадикал трансфинитным "бэровским" процессом. Первичный радикал кольца ввел в рассмотрение в 1949 году Маккой [36]. Левицкий [35] в 1951 году доказал совпадение радикала Бэра и радикала Маккоя. Первичный радикал исследовался для различных алгебраических систем: К.К. Щукиным для групп [32], A.B. Михалёвым и М.А. Шаталовой для Q-rpynn [21], С.А. Пихтильковым для алгебр Ли [25]. В перечисленных работах было получено поэлементное описание первичного радикала соответствующей алгебраической системы. Кроме этого, С.А. Пихтильковым в работе [25] было введено понятие нижнего слабо разрешимого радикала алгебры Ли и доказано, что этот радикал совпадает с первичным радикалом алгебры Ли [25, теорема 2.3.3].

Плодотворной оказалась идея распространить ионятие радикала на частично упорядоченные алгебраические системы, что видно на примере рассмотрения первичного радикала в решеточно упорядоченных кольцах (/кольцах), восходящего к статье Биркгофа и Пирса [34] 1956 года (см. также [4]). Поэлементное описание первичного радикала для /-колец, ¿-групп и /-модулей получено A.B. Михалёвым и М.А. Шаталовой [20, 19, 21], а для направленных групп — A.B. Михалёвым и Е.Е. Ширшовой [22, 23]. Для решеточно упорядоченных колец A.B. Михалёвым и М.А. Шаталовой [20] было показано, что стандартная процедура построения нижнего радикала приводит к /-первичному радикалу /-кольца.

До последнего времени понятие /-первичного радикала не исследовалось для решеточно упорядоченных алгебр Ли (/-алгебр Ли). Учитывая этот факт, профессором кафедры Высшей алгебры МГУ A.B. Михалёвым была поставлена задача: изучить свойства первичного радикала решеточно упорядоченных алгебр Ли, используя определение частично упорядоченной алгебры Ли над частично упорядоченным полем, введенное В.М. Копытовым в статье [12] 1972 года.

Алгебра Ли Ь над частично упорядоченным полем Р называется частично упорядоченной, если на Ь задано отношение порядка ^ такое, что:

1. (Ь; +; — частично упорядоченная группа;

2. из х ^ у следует, что \х ^ А у для всех х, у £ Ь и А € Р, А ^ 0;

3. из х ^ у следует, что х + [х, г] ^ у + [у, г] для всех х,у,г £ Ь.

В 70-80-х годах прошлого века на базе понятия частично упорядоченной алгебры Ли была построена содержательная теория линейно упорядочиваемых алгебр Ли над линейно упорядоченным полем, ряд основных результатов которой отражен в работах [11, 12, 10, 16, 17, 18,1]. Так, в работах В.М. Копы-това [11, 12, 10] рассмотрено строение решетки выпуклых подалгебр линейно упорядоченной алгебры Ли и доказано, что все /-идеалы ¿-алгебры Ли над линейно упорядоченным полем образуют полную подрсшетку в решетке всех идеалов данной алгебры. Помимо этого. В.М. Копытовым рассматривались вопросы упорядочиваемости алгебр Ли и в статье [12] им было доказано, что алгебра Ли над линейно упорядоченным полем линейно упорядочиваема тогда и только тогда, когда она обладает центральной системой, при этом конечномерная линейно упорядоченная алгебра Ли нильпотентна. Также при изучении взаимосвязи решеточно упорядоченных алгебр Ли с линейными порядками В.М. Копытовым в статье [10] было показано, что всякая /-алгебра Ли над линейно упорядоченным полем /-изоморфна ¿-подалгебре декартовой суммы линейно упорядоченных алгебр Ли.

В [12] В.М. Копытов указывает на то, что введенное им определение порядка на алгебре Ли можно рассматривать не только для этих алгебр, но и для произвольных алгебр над упорядоченными полями. Кроме того, нами было замечено, что существует связь между линейным порядком Копыто-ва ассоциативной алгебры А и порядком Копытова на соответствующей ей алгебре Ли А^ (предложение 2.2.1), которая позволяет существенно расширить число примеров упорядоченных по Копытову алгебр Ли. Данные наблюдения послужили стимулом для изучения свойств порядка Копытова на произвольных линейных алгебрах над полями и привели к необходимости решения следующих задач:

1. Распространить понятие порядка Копытова с класса алгебр Ли на произвольные линейные алгебры над частично упорядоченными полями. В связи с этим изучить свойства модулей элементов в векторных решетках над полями с различным упорядочением.

2. Исследовать вопрос о линейной упорядочиваемости произвольной линейной алгебры над линейно упорядоченным полем, в частности, описать конечномерные решеточно упорядочиваемые по Копытову ассоциативные алгебры. Вместе с этим изучить свойства /-идеалов /-алгебр.

3. Получить поэлементное описание /-первичного радикала /-алгебры над частично упорядоченными полями, а также исследовать взаимосвязь /первичного радикала /-алгебры с ее нижним слабо разрешимым /-радикалом.

Данная работа посвящена решению сформулированных выше задач теории частично упорядоченных алгебр над частично упорядоченными полями.

Основными результатами диссертации являются следующие:

1. Найдены необходимые и достаточные условия линейной упорядочиваемости произвольной линейной алгебры над линейно упорядоченным полем (теорема 2.4.4). Описаны конечномерные линейно и решеточно упорядочиваемые ассоциативные алгебры и алгебры Ли (следствие 2.4.1 и следствие 2.6.1). Для произвольных /-алгебр над частично упорядоченными полями доказан аналог теоремы Леви (теорема 2.3.2). Помимо этого показано, что любая I-алгебра над направленным полем вкладывается в декартову сумму линейно упорядоченных алгебр (теорема 2.6.1).

2. В произвольных /-алгебрах над частично упорядоченными полями описаны свойства спрямляющих /-идеалов (раздел 2.5), наименьших /-идеалов, содержащих данный элемент /-алгебры (раздел 2.2), и изучены свойства /первичных /-идеалов (раздел 3.2), а также доказано, что все /-идеалы любой /-алгебры образуют полную подрешетку в решетке ее идеалов (теорема 2.2.3).

3. Получено поэлементное описание/-первичного радикала решеточно упорядоченных алгебр над частично упорядоченными и направленными полями (теоремы 3.3.3 и 3.3.4). Доказано, что /-первичный радикал /-алгебры совпадает с ее нижним слабо разрешимым /-радикалом (теорема 3.7.1).

Для получения данных результатов были развиты методы частично упорядоченных линейных алгебр, /-идеалов, /-первичного радикала.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть полезны специалистам и аспирантам, занимающимся теорией/-алгебр над частично упорядоченными полями, и использоваться при дальнейшем исследовании различных вопросов теорий частично упорядоченных векторных пространств, колец и алгебр. Также полученные результаты могут быть использованы при чтении спецкурсов в университетах и институтах для студентов математических специальностей.

Результаты диссертационной работы докладывались на научно-исследовательском семинаре "Кольца и модули" кафедры Высшей алгебры МГУ под руководством проф. A.B. Михалёва, проф. В.Н. Латышева и проф. В.А. Артамонова, на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры МПГУ, на научно-практической конференции преподавателей, аспирантов и сотрудников математического факультета МПГУ (март 2007г., март 2008г. и март 2009г.), Международной конференции по алгебре и теории чисел, посвященной 80-летию В.Е. Воскресенского (Самара, 2007), Международной алгебраической конференции, посвященной 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (Москва, 2008), Международной конференции "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2009), Международном семинаре "Универсальная алгебра, теория чисел и их приложения" (Волгоград, 2009).

Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах автора [37]-[44].

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, и списка литературы. Полный объем диссертации — 87 страниц. Библиография содержит 44 наименования.

1. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 448 с.

2. Биркгоф Г. Теория решеток. М.: Наука, 1984.

3. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы I-III. М.: Мир, 1976.

4. Голод Е.С. О ниль-алгебрах и финитно-аппроксимируемых р-группах. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1964, 28, № . С. 273-276.

5. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М.: Мир, 1964.

6. Джекобсон Н. Строение колец. М.: Изд-во иностранной литературы, 1961.

7. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М.: Наука, 1972.

8. Копытов В.М. Решеточно упорядоченные алгебры Ли. // Сиб. матем. журнал. 1977. - Т. XVIII. - №3. - С. 595-607.1.. Копытов В.М. Решеточно упорядоченные группы. М.: Наука, 1984. -320 с.

9. Копытов В.М. Упорядочение алгебр Ли. // Алгебра и логика. 1972. -Т. 11. т. - С. 295-325.

10. Курош А.Г. Радикалы колец и алгебр. // Матем. сб. 1953. - Т. 33 - №1. - С. 13-26.

11. Курош А.Г. Теория групп. М.: Наука, 1967.

12. Ламбек И. Кольца и модули. М.: Мир, 1971.

13. Медведев Н.Я. О решетках многообразий решеточно упорядоченных групп и алгебр Ли. // Алгебра и логика. 1977. - Т. 16. - №1. - С. 40-45.

14. Медведев Н.Я. О продолжении порядков алгебр Ли. // Сиб. матем. журнал. 1977. - Т. XVIII. - т. - С. 469-471.

15. Медведев Н.Я. К теории решеточно упорядоченных колец. // Математические заметки. 1987. - Т. 41. - №4. - С. 484-489.

16. Михалёв A.B., Шаталова М.А. Первичный радикал решеточно упорядоченных групп. // Вестник Моск. ун-та. 1990. - №2. - С. 84-86.

17. Михалёв A.B., Шаталова М.А. Первичный радикал решеточно упорядоченных колец. // Сб. работ по алгебре. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. - С. 178-184.

18. Михалёв A.B., Шаталова М.А. Первичный радикал Г2-групп и ГЫ-групп. // Фундаментальная и прикладная математика. 1998. - Т. 4. - №4. -С. 1405-1413.

19. Михалёв A.B., Ширшова Е.Е. Первичный радикал р/-групп. // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. - Т. 12. - №2. - С. 193-199.

20. Михалёв A.B., Ширшова Е.Е. Первичные радикалы АО-групп. // Фундаментальная и прикладная математика. 2006. - Т. 12. - №8. - С. 197-206.

21. Парфенов В.А. О слабо разрешимом радикале алгебр Ли. // Сиб. матем. журнал. 1971. - Т. 12. - №1. - С. 171-176.

22. Пихтильков С.А. Структурная теория специальных алгебр Ли. Тула: Изд-во Тул. гос. пед. ун-та им. Л.Н.Толстого, 2005. - 130 с.

23. Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы. М.: Мир, 1965.

24. Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений. / Перев. с англ. Б.Р. Френкина. М.: МЦНМО, 2003.

25. Шаталова М.А. К теории радикалов в структурно упорядоченных кольцах // Математические заметки. 1968. - Т. 4. - №6. - С. 639-648.

26. Шаталова М.А. 1а- и ¿/-кольца // Сиб. матем. журнал. 1966. - T. VII. - №6. - С. 1383-1399.

27. Ширшов А.И. О базах свободной алгебры Ли. // Алгебра и логика. -1962. Т. 1. - т. - С. 14-19.

28. Ширшова Е.Е. Ассоциированные подгруппы псевдорешеточно упорядоченных групп // Алгебраические системы. Межвузовский сб. научных трудов Ивановского гос. университета. Иваново, 1991. - С. 78-85.

29. Щукин К.К. ^/-разрешимый радикал группы. // Матем. сб. 1960. -Т. 52. - т. - С. 1021-1031.

30. Baer R. Radicals ideals //J. Math. 1943. - V. 65. -P. 537-568.

31. Birkhoff G., Pierce R. S. Lattice-ordered rings // An. Acad. Brasil. Ci. -1956. V. 28. -P. 41-69.

32. Levitzki J. Prime ideals and the lower radical // Amer. J. Math., 1951. -V. 73. -P. 25-29.

33. McCoy N.H. Prime ideals in general rings // Amer. J. Math., 1949. V. 71. -P. 823-833.

34. Кочетова Ю.В., Ширшова Е.Е. О гомоморфизмах частично упорядоченных алгебр Ли. // Избранные вопросы алгебры: Сборник статей, посвященный памяти Н.Я. Медведева. Барнаул: Изд-во Алт. ун-та, 2007. -С. 131-142.

35. Кочетова Ю.В. О некоторых свойствах идеалов решеточно упорядоченных алгебр Ли // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. Математика. 2007. - Т. 57. - № 7. - С. 73-83.

36. Кочетова Ю.В. Первичный радикал решеточно упорядоченных алгебр Ли // Успехи математических наук. 2008. - Т. 63. - Вып. 5. - С.191

37. Кочетова Ю.В. Первичные и полупервичные решёточно упорядоченные алгебры Ли // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. -Т. 14. - № 7. - С. 137-143.

38. Кочетова Ю.В. О нижнем слабо разрешимом ¿-радикале решеточно упорядоченных алгебр Ли // Фундаментальная и прикладная математика. 2008. - Т. 14. - № 8. - С. 137-149.

39. Кочетова Ю.В. Решеточно упорядоченные линейные алгебры // Депонировано в ВИНИТИ, 24.09.2009, № 570-В2009, 20 с.192.