Радикалы решеточно упорядоченных колец тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

Шавгулидзе Наталия Евгеньевна Радикалы решеточно упорядоченных колец

Специальность: 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2010

004601750

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Михалев Александр Васильевич.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Кожухов Игорь Борисович;

кандидат физико-математических наук, профессор Ширшова Елена Евгеньевна.

Ведущая организация:

Тульский государственный педагогический университет имени Л.Н. Толстого.

Защита диссертации состоится 14 мая 2010 года в 16 часов 45 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д.1, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Автореферат разослан 14 апреля 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физ.-мат. наук, профессор

Общая характеристика работы Актуальность темы

Начало общей теории радикалов колец было положено Курошем и Амицуром в 1953 году. В своей работе1 А. Г. Курош ввел основные понятия теории радикалов, а также указал основные методы их построения; им были описаны характеристики радикальных и полупростых классов, построение нижнего и верхнего радикала, порожденного данным классом колец (алгебр). Монография В. А. Андрунакиевича и Ю. М. Рябухина2 подвела итог общей теории радикалов в 80-х годах.

Теория радикалов помогает понять строение колец (алгебр) с помощью разбиения на полупростые и радикальные, которые уже проще описать. В XX веке было найдено большое число радикалов, которые нашли многочисленные применения в разных областях современной теории колец.

Важную роль в теории ассоциативных колец играет лемма Андерсона-Дивинского-Сулинского3, которая говорит о том, что радикал идеала кольца R является идеалом кольца R.

В работе В. А. Андрунакиевича, А. В. Андрунакиевича4 радикал кольца представляется в виде пересечения односторонних идеалов, для каждого из которых выполнено условие: факторкольцо по наибольшему идеалу, содержащемуся в данном правом идеале, является полупростым. Там же наднильпотентный радикал кольца представляется в виде пересечения правых полупервичных идеалов с тем же условием.

В работе В. А. Андрунакиевича5 из класса наднильпотент-

1Курош А. Г. Радикалы колец и алгебр, Матем. сб., 1953, 33, номер 1, стр. 13-26

5Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Радикалы алгебр и структурная теория, Москва, Наука, 1979

3Anderson Т., Divinsky N., Sulinski A. Hereditary radicals in associative and alternative rings, Canadian Journal of Mathematics, Vol 17, pp. 594-603, 1965

4Андрунакиевич B.A., Андрунакиевич A.B. Односторонние идеалы и радикалы колец, ДАН СССР, т.259 N4, стр.11-15, 1981

'Андрунакиевич В.А. Радикалы ассоциативных колец, I, Математический сборник, 44, N-2, стр.179-212, 1958

ных радикалов выделен класс специальных радикалов, которому принадлежит значительная часть известных радикалов. В работе В. А. Андрунакиевича6 появляется понятие первичного модуля для характеризации первичного радикала.

В. А. Андрунакиевич, Ю. М. Рябухин7 показали, что с помощью первичных модулей можно охарактеризовать специальные радикалы. Они определяют специальный класс модулей и показывают, что он задает радикал и что он связан со специальным классом колец. Если задан специальный класс колец, то специальный радикал кольца Л представляется в виде пересечения аннуляторов Я-модулей из соответствующего специального класса модулей. Приводятся примеры специальных классов модулей, в том числе класс всех первичных модулей.

Плодотворной оказалась идея распространить теорию радикалов на решеточно упорядоченные кольца (¿-кольца), что видно на примере исследований, проведенных в работах А. В. Михалева и М. А. Шаталовой.

М. А. Шаталова8 вводит понятия ¿-первичного и ¿-полупервичного /-идеала /-кольца и определяет радикал в классе /-колец аналогично тому, как он был определен Курошем для колец. В этой работе М. А. Шаталова изучает два радикала, определенные в классе решеточно упорядоченных колец: Л-радикал и /-радикал, и показывает их связь между собой. В другой статье? М. А. Шаталова вводит понятие специального класса решеточно упорядоченных колец, аналогичное определению В. А. Андрунакиевича для колец. В статье показано, что специальными классами являются класс всех /-первичных /-колец, класс всех /-первичных /-колец без локально нильпотентных /-идеалов, класс /-колец, не содержащих строго

'Андрунакиевич В.А. Первичные модули и радикал Бэра, Сиб. мат. журн., т.2, номер 6, стр.801-806, 1961

7Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Специальные модули и специальные радикалы, ДАН СССР, т.147, стр.1274-1277, 1962

'Шаталова М.А. 1а- и I/-кольца, Сибирский математический журнал, т.7, А,£6, стр.13831389, 1966

"Шаталова М.А. К теории радикалов в структурно упорядоченных кольцах, Математические заметки, т.4, N4, стр.639-648, 1968

положительных делителей нуля, класс подпрямо неразложимых I-колец с i-идемпотентной сердцевиной.

А. В. Михалев и М. А. Шаталова10 изучили первичный радикал в классе решеточно упорядоченных колец, определенный как пересечение всех ¿-первичных Z-идеалов; доказали, что он совпадает с множеством элементов /-кольца, модуль которых принадлежит первичному радикалу, определенному в классе всех колец (равному пересечению всех первичных идеалов). А также ими было доказано, что он совпадает с пересечением минимальных ¿-первичных I-идеалов и со множеством всех строго ¿-нильпотентных элементов. В работах А. В. Михалева и М. А. Шаталовой11,12 содержится целый ряд интересных результатов в области упорядоченных модулей.

Диссертация посвящена дальнейшему исследованию радикальных классов решеточно упорядоченных колец.

Цель работы — изучение радикалов решеточно упорядоченных колец, получение их характеризации с помощью односторонних I-идеалов и с помощью аннуляторов решеточно упорядоченных модулей. Изучение специальных классов /-колец и специальных радикалов.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа изложена на 74 страницах и состоит из введения и пяти частей. Библиография включает 22 наименования.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

10Михалев A.B., Шаталова М.А. Первичный ради кал решеточно упорядоченных колец, Сборник работ по алгебре, Москва, Изд-во МГУ, стр.178-184, 1989

"Михалев A.B., Шаталова М.А. Проективные и свободные упорядоченные модули // Ма-тем. заметки, 11, номер 1, стр. 41-52, 1972

12Михалев A.B., Шаталова М.А. Свободные упорядоченные модули // Матем. заметки, 12, номер 4, стр. 477-487, 1972

1. Доказано, что наднильпотентный радикал ¿-кольца равен пересечению всех ¿-полупервичных правых ¿-идеалов ¿-кольца, таких что факторкольцо по наибольшему ¿-идеалу, содержащемуся в данном правом ¿-идеале, является полупростым.

2. Доказано, что специальный радикал ¿-кольца равен пересечению всех правых ¿-первичных ¿-идеалов, таких что фактор-кольцо по наибольшему ¿-идеалу, содержащемуся в данном правом ¿-идеале, принадлежит специальному классу. Доказано, что первичный радикал ¿-кольца равен пересечению всех правых ¿-полупервичных ¿-идеалов.

3. Доказан аналог леммы Андерсона-Дивинского-Сулинского для случая специального радикала в классе ¿-колец.

4. Доказано, что специальный радикал ¿-кольца Я представляется в виде пересечения ¿-аннуляторов ¿-модулей над Я, принадлежащих специальному классу. В частности, первичный радикал ¿-кольца представляется в виде пересечения ¿-аннуляторов всех ¿-первичных ¿-модулей над Д.

Основные методы исследования

Для изучения специальных радикалов в классе решеточно упорядоченных колец используются классические методы теории колец и упорядоченной алгебры, а также развитые автором методы работы со специальными элементами ¿-колец.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы представляют интерес для теории колец и упорядоченной алгебры.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре по алгебре (сентябрь 2009); на семинаре „Кольца и модули" (октябрь 2009) на механико-математическом факультете МГУ; на международной алгебраической конференции, посвящён-ной 100-летию со дня рождения профессора А. Г. Куроша (Москва, 28 мая — 3 июня 2008 г.); на семинаре факультета математики университета Фурье г. Гренобля, Франция, в 2007 году.

Публикации автора по теме диссертации

Основные результаты диссертации опубликованы в трех работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1-3].

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Во введении изложена краткая история вопроса и обоснована актуальность темы диссертации.

Первая глава носит предварительный характер. В основном, результаты первой главы были известны ранее. Их можно найти в книгах Г. Биркгофа13, JI. Фукса14, А. Бигара, К. Каймела, С. Вольфенштейна15.

В части 1.1 первой главы приводятся необходимые свойства элементов /-кольца. В части 1.2 приводятся свойства ¿-гомоморфизма I-колец. В части 1.3 дается определение ¿-идеала, правого ¿-идеала и изучаются их свойства.

Часть 1.4 посвящена теоремам об изоморфизме. Приводятся первая и вторая теоремы об изоморфизме (см. книгу А. Бигара,

13Биркгоф Г. Теория решеток, Москва, Мир, 1984

14 Фукс Л. Частично упорядоченные алгебраические системы, Москва, Наука, 1965

15Bigard A., Keimel К., Wolfenstein S. Groups et anneaux reticules, Berlin; Heidelberg; N.V.:

Springer-Verlag, 1977

К. Каймела, С. Вольфенштейна16). Уточняется третья теорема об изоморфизме. В работе М. А. Шаталовой17 доказывается третья теорема об изоморфизме для случая, когда А и / являются ¿-идеалами ¿-кольца R. Известно, что для колец теорема остается верной, если А является только подкольцом в Д. В работе В. И. Арнаутова18 показано, что для топологических колец аналогичная теорема не верна, так как если А — топологическое под-кольцо, а / — идеал топологического кольца Д, то A+I не является топологическим кольцом; теорема будет верна, если А является идеалом. Однако в случае ¿-колец аналогичная теорема верна.

Третья теорема об изоморфизме для l-колец. Пусть R — I-кольцо, А — I-подкольцо, I — ¿-идеал ¿-кольца R. Тогда А + I — ¿-кольцо, А П I — I-идеал ¿-кольца А, I — ¿-идеал ¿-кольца А +1 и ¿-кольца (А + 1)/1 и 1/(АГ\ I) изоморфны.

В пунктах 1.5 и 1.6 изучаются пересечения и суммы ¿-идеалов, а также ¿-идеалы, порожденные подмножествами ¿-кольца, необходимые для доказательства теорем в дальнейшем.

Во второй главе мы вводим определения Z-первичного и I-полупервичного правого ¿-идеала.

Определение 3. Правый ¿-идеал Р ¿-кольца R называется £-первичным, если Р ф R и выполнено условие:

(1) для любых правых ¿-идеалов А, В ¿-кольца R, если АВ С Р, то либо АСР, либо ВСР, где

п

АВ — {z = "¿TxiVi | Xi e А, у{ eB, ne N}.

¿=1

Определение 5. Правый l-идеал S l-кольца R называется l-полу-первичным, если для любого правого ¿-идеала А ¿-кольца R из

l8Bigard A., Keimel К., Wolfenstein S. Groups et anneaux reticules, Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer-Verlag, 1977

"Шаталова M.A. I а- и lj-кольца Ц Сибирский математический журнал, т.7, №6, стр.1383-1389, 1966

18Arnautov V.I. Properties of one-sided ideals of topologocal rings // Buletmul Academiei de §tiin{e a Republicii Moldova, Matematica, n.l(60), pp. 3-14, 2006

А2 С S следует, что ACS, где

п

A2 = {Z = ^Xiyi | xuyi eA,ne N}. ¿=i

Далее, мы показываем, что для двустороннего /-идеала эти определения совпадают с определениями М. А. Шаталовой I-первичного и ¿-полупервичного ¿-идеала. То есть мы доказываем, что для любого ¿-идеала Р ¿-кольца Я следующие условия эквивалентными. теоремы 2.1.1 и 2.2.1):

1) Для любых ¿-идеалов А, В ¿-кольца Я, если АВ С Р, то либо А С Р, либо В С Р (то есть Р — ¿-первичный ¿-идеал).

2) Для любых правых ¿-идеалов А, В ¿-кольца R, если АВ С Р, то либо А С Р, либо В С. Р.

Для любого ¿-идеала S ¿-кольца R следующие условия эквивалентны:

1) Факторкольцо R/S не содержит ненулевых нильпотентных ¿-идеалов (то есть S — ¿-полупервичный ¿-идеал).

2) Для любого правого ¿-идеала А I-кольца R, если А? С S, то ACS.

В третьей главе доказываются теоремы о представлении радикала ¿-кольца в виде пересечения односторонних ¿-идеалов.

Теорема 3.1.1. Пусть р — радикал в классе ¿-колец. Тогда для любого ¿-кольца R имеет место равенство

р(Я) = pi Q,

QeA

где А — множество всех правых ¿-идеалов Q ¿-кольца R, для которых факторкольцо по наибольшему ¿-идеалу, содержащемуся в данном правом ¿-идеале Q, является р-полупростым ¿-кольцом.

Теорема 3.1.2. Если р — наднильпотентный радикал в классе ¿-колец, то для любого ¿-кольца Я имеет место равенство

р(Я) = П Q,

QeA

где Л — множество всех ¿-полупервичных правых ¿-идеалов Q I-кольца R, для которых факторкольцо по наибольшему Z-идеалу, содержащемуся в данном правом ¿-идеале Q, является р-полупростым ¿-кольцом.

Далее мы изучаем специальный класс ¿-колец. Известно, что он задает радикал, называемый специальным, класс ¿-колец, не отображающихся гомоморфно на ¿-кольца из специального класса (под гомоморфизмом подразумевается ¿-гомоморфизм), является радикальным. Мы доказываем, что радикал, определяемый специальным классом является наследственным и радикал не радикального ¿-кольца R можно представить в виде пересечения всех ¿-первичных правых ¿-идеалов Q ¿-кольца R, для которых факторкольцо по наибольшему ¿-идеалу, содержащемуся в данном правом ¿-идеале Q, принадлежит специальному классу (теорема 3.3.4).

Для колец есть лемма Андерсона-Дивинского-Сулинского, которая говорит о том, что радикал идеала кольца является идеалом (см. 19 или 20 гл. 2 §4). К. Салавова21 доказала, что для колец с инволюцией эта лемма не верна. Мы показываем, что аналогичное утверждение верно для специального радикала ¿-кольца: специальный радикал ¿-идеала I ¿-кольца R является ¿-идеалом ¿-кольца Я, при этом выполняется равенство р(1) = 1Г)р(Н) (теорема 3.3.5).

В четвертой главе мы изучаем класс всех ¿-первичных ¿-колец и класс всех ¿-колец без положительных делителей нуля. В работе М. А. Шаталовой 22 вводится понятие ¿-первичного радикала p(R) ¿-кольца R, равного пересечению всех ¿-первичных ¿-идеалов ¿-кольца R. Доказывается, что класс ¿-колец без положительных делителей нуля является специальным. В работе А. В. Михалева,

19Anderson Т., Divinsky N., Sulmski A. Hereditary radicals in associative and alternative rings // Canadian Journal of Mathematics, Vol 17, pp. 594-603, 1965

гоАндрунакиевич B.A., Рябухин Ю.М. Радикалы алгебр и структурная теория, Москва, Наука, 1979

21 Салавова К. Радикалы колец с инволюцией 1 // Comment. Math. Univ. Carolinae, n.18, pp. 367-381, 1977

г2Шаталова M.A. К теории радикалов в структурно упорядоченных кольцах // Математические заметки, т.4, №6, стр.639-648,1968

М. А. Шаталовой 23 изучается ¿-первичный радикал ¿-кольца, вводится понятие строго ¿-нильпотентного элемента и доказывается, что ¿-первичный радикал ¿-кольца Я совпадает с множеством всех строго ¿-нильпотентных элементов ¿-кольца Я.

Мы доказываем, что ¿-первичный радикал ¿-кольца равен пересечению всех правых ¿-полупервичных ¿-идеалов ¿-кольца (теорема 4.1.2).

Мы называем правый ¿-идеал Т ¿-кольца Я вполне 1-первичным, если из аЬ Е Т, где а > О, Ъ > 0, а, Ъ Е Я, а £ Т следует, что Ъ Е Тд. Доказываем, что специальный радикал ¿-кольца Я, определяемый классом всех ¿-колец без положительных делителей нуля, равен пересечению всех вполне I-первичных правых ¿-идеалов ¿-кольца Я (теорема 4.2.1).

В пятой главе специальные радикалы представляются в виде пересечения ¿-аннуляторов решеточно упорядоченных модулей.

В работе В. А. Андрунакиевича, Ю. М. Рябухина 24 вводится определение специального класса модулей, показывается, что он задает радикал и что он связан со специальным классом колец. Если задан специальный класс колец, специальный радикал кольца Я представляется в виде пересечения аннуляторов Я-модулей из соответствующего специального класса модулей. Приводятся примеры специальных классов модулей, в том числе класс всех первичных модулей.

Мы показываем, что утверждения, аналогичные утверждениям из работы В. А. Андрунакиевича, Ю. М. Рябухина, можно доказать для ¿-колец и решеточно упорядочных модулей (¿-модулей). Специальный радикал ¿-кольца Я можно представить в виде пересечения ¿-аннуляторов ¿-модулей над Я из соответствующего специального класса. В том числе ¿-первичный радикал ¿-кольца Я можно представить в виде пересечиния ¿-анулляторов всех ¿-первичных

23 Михалев А.В., Шаталова М.А. Первичный радикал решеточно упорядоченных колец // Сборник работ по алгебре, Москва, Изд-во МГУ, стр.178-184, 1989

24Аидрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Специальные модули и специальные радикалы, ДАН СССР т. 147, стр. 1274-1277, 1962

/-модулей над Я.

Мы называем правый модуль Мд над /-кольцом Я правым /модулем, если М — /-группа и для любых г & Я, х, у Е М, таких что г > 0, х < у, выполняется неравенство хг < уг.

Мы называем 1-аннулятором правого /-модуля М над /-кольцом Я множество (0 : М)ц = {г е М\г\ = 0}.

Мы называем правый /-модуль Мд 1-точным, если его /-аннулятор равен нулю.

Мы называем правый /-модуль М над /-кольцом Я 1-первичным, если МЯ ^ 0 и для любых 0 < х € М и /-идеала В /-кольца Я из хВ = 0 следует, что В С (0 : М)д.

Мы называем класс правых /-модулей Е = и Ед специальным,

я

если он удовлетворяет следующим условиям:

(Б1) Если М е Ед , то М — /-первичный /-модуль.

(Э2) Если М £ Ед , где Я = Я/Л, Л — /-идеал в Я, то М € Ед.

Обратно, если М € £д и А — /-идеал в Я, А С (0 : М)д, то М е Ед,

(композиция жг = ах).

(БЗ) Если М е Ед, В — /-идеал в Я, МВ ф 0, то М е Ев-

(Э4) Если О Ф В — /-идеал в Я, где Я — /-первичное /-кольцо и существует /-точный Мв € Ев, то существует /-точный .Л/д € Ед.

Мы доказываем следующие результаты:

Теорема 5.2.1. 1) Пусть Е = У Ед — специальный класс (правых) /-модулей и Кт, — класс /-колец со свойством:

(К) Я € /Се тогда и только тогда, когда существует /-точный М € Ед. Тогда /Се — специальный класс /-колец.

2) Если К — специальный класс /-колец, то класс /-модулей == = и Ед со свойством:

(Э) М € Ед тогда и только тогда, когда Я/(0 : М)д Е /С и М — /-первичный Я-модуль, является специальным классом /-модулей.

С помощью теоремы 5.2.1 специальный радикал /-кольца представляем в виде пересечения /-аннуляторов /-модулей над ним:

Предложение 5.2.2. Если Е = и^я — специальный класс (правых) /-модулей и К. = /Се — специальный класс /-колец, определенный свойством (К) из теоремы 5.2.1, то соответствующий специальный радикал можно представить в виде

р{Я)К)= Г) {(0 : Ма)л}. мае£ц

Далее мы показываем, что класс всех /-первичных (правых) /-модулей является специальным классом /-модулей и для любого /-кольца Я /-первичный радикал р(Я) равен пересечению /-аннуляторов всех /-первичных /-модулей над Я (предложение 5.2.3).

Благодарности

Благодарю моего научного руководителя доктора физико-математических наук, профессора Александра Васильевича Михалева за постановку задачи, постоянное внимание к работе и многочисленные советы.

Выражаю глубокую благодарность сотрудникам кафедры высшей алгебры Механико-математического факультета за внимание и поддержку.

Публикации по теме диссертации

[1] Шавгулидзе Н.Е. Радикалы /-колец и односторонние /-идеалы // Фунд. и прикл. матем. 2008.14, вып. 8. 233-245.

[2] Шавгулидзе Н.Е. Специальные классы /-колец и лемма Андерсона-Дивинского-Сулинского // Вестник МГУ, 2010. N-2, 42-44.

[3] Шавгулидзе Н.Е. Специальные классы /-колец // Фунд. и прикл. матем. 2009. 15, вып. 1. 157-173.

Подписано в печать^.

Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. /,0

Тираж 400 экз. Заказ 22

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имениМ. В.Ломоносова

1 Предварительные сведения об /-кольцах

1.1 Определение и свойства решеточно упорядоченных колец.

1.2 ¿-гомоморфизм.

1.3 ¿-идеал.

1.4 Теоремы об изоморфизме.

1.5 Пересечение и сумма /-идеалов.

1.6 /-идеал, порожденный подмножеством.

2 /-первичный и /-полупервичный правые /-идеалы

2.1 Правый /-первичный /-идеал.

2.2 Правый /-полупервичный /-идеал.

3 Радикал /-кольца

3.1 Радикал /-кольца и односторонние /-идеалы.

3.2 /-Аннулятор.

3.3 Специальный класс /-колец.

4 Примеры специальных радикалов

4.1 Класс /-первичных /-колец

4.2 Класс /-колец без положительных делителей нуля.

5 Радикалы и /-модули

5.1 Специальный класс /-модулей.

5.2 Связь со специальным классом /-колец.

Начало общей теории радикалов колец было положено Курошем и Амицуром в 1953 году. В своей работе [8] А. Г. Курош ввел основные понятия теории радикалов, а также указал основные методы их построения; им были описаны характеристики радикальных и полупростых классов, построение нижнего и верхнего радикала, порожденного данным классом колец (алгебр). Монография В. А. Андрунакиевича и Ю. М. Рябухина [4] подвела итог общей теории радикалов в 80-х годах.

Теория радикалов помогает понять строение колец (алгебр) с помощью разбиения на полупростые и радикальные, которые уже проще описать. В XX веке было найдено большое число радикалов, которые нашли многочисленные применения в разных областях современной теории колец.

Важную роль в теории ассоциативных колец играет лемма Андерсона-Дивинского-Сулинского (см. [17]), которая говорит о том, что радикал идеала кольца Я является идеалом кольца Я.

В работе В. А. Андрунакиевича, А. В. Андрунакиевича (см. [5]) радикал кольца представляется в виде пересечения односторонних идеалов, для каждого из которых выполнено условие: факторкольцо по наибольшему идеалу, содержаще t муся в данном правом идеале, является полупростым. Там же наднильпотент-ный радикал кольца представляется в виде пересечения правых полупервичных идеалов с тем же условием.

В работе В. А. Андрунакиевича [1] из класса наднильпотентных радикалов выделен класс специальных радикалов, которому принадлежит значительная часть известных радикалов. В работе В. А. Андрунакиевича [2] появляется понятие первичного модуля для характеризации первичного радикала.

В. А. Андрунакиевич, Ю. М. Рябухин [3] показали, что с помощью первичных модулей можно охарактеризовать специальные радикалы. Они определяют специальный класс модулей и показывают, что он задает радикал и что он связан со специальным классом колец. Если задан специальный класс колец, то специальный радикал кольца Я представляется в виде пересечения ан нуля торов Д-модулей из соответствующего специального класса модулей. Приводятся примеры специальных классов модулей, в том числе класс всех первичных модулей.

Плодотворной оказалась идея распространить теорию радикалов на реше-точпо упорядоченные кольца (¿-кольца), что видно на примере исследований, проведенных в работах А. В. Михалева и М. А. Шаталовой.

М. А. Шаталова в работе [15] вводит понятия /-первичного и /-полупервичного /-идеала решеточно упорядоченного кольца (/-кольца) и определяет радикал в классе /-колец аналогично тому, как он был определен Курошем для колец. В этой работе М'. А. Шаталова изучает два радикала, определенные в классе решеточно упорядоченных колец: Л-радикал и /-радикал, и показывает их связь между собой.

В работе [16] М. А. Шаталова вводит поиятие специального класса решеточно упорядоченных колец, аналогичное определению В. А. Андрунакиевича для колец. М. А. Шаталова показывает, что специальными классами являются класс всех /-первичных /-колец, класс всех /-первичных /-колец без локально нильпотентных /-идеалов, класс /-колец, не содержащих строго положительных делителей нуля, класс подпрямо неразложимых/-колец с /-идемпотентной сердцевиной.

А. В. Михалев и М. А. Шаталова в работе [10] изучили первичный радикал в классе решеточно упорядоченных колец, определенный как пересечение всех /-первичных /-идеалов; доказали, что он совпадает с множеством элементов /кольца, модуль которых принадлежит первичному радикалу, определенному в классе всех колец (равному пересечению всех первичных идеалов). А также ими было доказано, что он совпадает с пересечением минимальных /-первичных /идеалов и со множеством всех строго /-нильпотентных элементов. В работах А. В. Михалева и М. А. Шаталовой [11] и [12] содержится целый ряд интересных результатов в области упорядоченных модулей.

Представляет интерес дальнейшее развитие теории радикалов в классе /колец, что приводит к необходимости решения следующих задач:

1) Получить характеризацию радикалов в классе /-колец с помощью односторонних /-идеалов. В связи с этим изучить свойства односторонних /-идеалов.

2) Охарактеризовать специальные радикалы с помощью односторонних /идеалов.

3) Изучить свойства решеточно упорядоченных модулей и получить характеризацию специальных радикалов с помощью аннуляторов решеточно упорядоченных модулей.

Диссертационная работа изложена на 74 страницах и состоит из введения и пяти частей. Библиография включает 22 наименования. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Андрунакиевич В.А. Первичные модули и радикал Бэра // Сиб. мат. журн., т.2, номер 6, стр.801-806, 1961

2. Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Специальные модули и специальные радикалы // ДАН СССР т. 147, стр.1274-1277, 1962

3. Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Радикалы алгебр и структурная теория, Москва, Наука, 1979

4. Андрунакиевич В.А., Андрунакиевич A.B. Односторонние идеалы и радикалы колец // ДАН СССР, т.259 стр.11-15, 1981

5. Биркгоф Г. Теория решеток, Москва, Мир, 1984

6. Копытов В.М. Решетонно упорядоченные группы, Москва, Наука, 1984

7. Курош А.Г. Радикалы колец и алгебр // Матем. сб., 33, номер 1, стр. 13-26, 1953

8. Ламбек И. Кольца и модули, Москва, Мир, 1971

9. Михалев A.B., Шаталова М.А. Первичный радикал решеточно упорядоченных колец // Сборник работ по алгебре, Москва, Изд-во МГУ, стр.178-184, 1989

10. Михалев A.B., Шаталова М.А. Проективные и свободные упорядоченные модули // Матем. заметки, 11, номер 1, стр. 41-52, 1972

11. Михалев A.B., Шаталова М.А. Свободные упорядоченные модули // Матем. заметки, 12, номер 4, стр. 477-487, 1972

12. Салавова К. Радикалы колец с инволюцией 1 // Comment. Math. Univ. Carolinae, п.18, pp. 367-381, 1977

13. Фукс Jl. Частично упорядоченные алгебраические системы, Москва, Наука, 1965

14. Шаталова М.А. и lj-колъца // Сибирский математический журнал, т.7, N°6, стр.13831389, 1966

15. Шаталова М.А. К теории радикалов в структурно упорядоченных кольцах // Математические заметки, т.4, N-Q, стр.639-648, 1968

16. Anderson Т., Divinsky N., Sulinski A. Hereditary radicals in associative and alternative rings // Canadian Journal of Mathematics, Vol 17, pp. 594-603, 1965

17. Arnautov V.l. Properties of one-sided ideals of topologocal rings // Buletinul Academiei de §tiin$e a Republicii Moldova, Matematica, n.l(60), pp. 3-14, 2006

18. Bigard A., Keimel K., Wolfenstein S. Groups et anneaux reticules, Berlin; Heidelberg; N.Y.: Springer-Verlag, 1977

19. Birkhoff G., Pierce R.S. Lattice-ordered rings // An. Acad. Brasil. Ci., 28, pp. 41-69, 1956

20. Johnson D.G. A structure theory for a class of lattice ordered rings // Acta Math, 104 n.2, pp.163-215, 1960

21. Steinberg S.A. Lattice-ordered rings and modules // Ph. D. Thesis, Urbana, Illinois, 1970Публикации по теме диссертации

22. Шавгулидзе Н.Е. Радикалы 1-колец и односторонние I-идеалы // Фунд. и прикл. матем. 2008. 14, вып. 8. 233-245.

23. Шавгулидзе Н.Е. Специальные классы 1-колец и лемма Андерсона-Дивинского-Сулинского // Вестник МГУ, 2010. №■2, 42-44.

24. Шавгулидзе Н.Е. Специальные классы 1-колец // Фунд. и прикл. матем. 2009. 15, вып. 1. 157-173.9