Кольца и модули, имеющие топологическую размерность Крулля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 512.556

Тензина Виктория Васильевна

Кольца и модули, имеющие топологическую размерность Крулля

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2005

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механинико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

доцент В. Т. Марков

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор И. Б. Кожухов

I

кандидат физико-математических наук, доцент С. Т. Главацкий

Ведущая организация: Тульский педагогический

государственный университет им. Л.Н. Толстого (ТПГУ).

Защита диссертации состоится 20 мая 2005 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском Государственном Университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 144)8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 20 апреля 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор

В. Н. Чубариков

M№zl VS9SV

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Теория размерности Крулля усилиями различных авторов (Ленаган, Ренчлер, Габриэль, Лемоньер, Гордон, Робсон и другие) получилась весьма содержательной. В своей работе [I]1 Ренчлер и Габриэль определили размерность Крулля для модуля как девиацию частично-упорядоченного множества всех подмодулей с упорядочением по включению. Все артиновы и нётеровы модули являются модулями с размерностью Крулля. Оказалось, что многие утверждения, справедливые для нётеровых модулей и колец, выполняются также и для модулей и колец с размерностью Крулля. Класс колец, имеющих размерность Крулля, строго больше, чем класс всех нётеровых колец даже в случае коммутативных колец. Методы, используемые при рассмотрении колец с размерность Крулля, аналогичны методам, используемым для получения результатов в теории артиновых колец. Обзор результатов по размерности Крулля можно найти, например, в работе Гордона и Робсон [2j2.

В данной диссертации автором предлагается обобщение понятия размерности Крулля на топологический случай. В теории кручений существует обобщение размерности Крулля на случай относительной размерности Крулля [3] 3. Но это частный случай, так как топология относительно кручения является линейной топологией.

Данная диссертация относится к теории топологических колец. Вазовым понятиям и конструкциям теории топологических колец посвящены, например, работы [4]4, [5]8, [б]6.

В диссертационной работе топологическая размерность Крулля топологического модуля определяется как девиация частично упорядоченного множества всех замкнутых подмодулей с упорядочением по включению. Аналогичным образом определяется правая и левая размерность Крулля тополо-

'R. Rentschier and P. Gabriel, Sur la dimension des anneaux et ensembles ordonnés, C. R. Acad. Sei. Paria. 265 (1967), 712-715.

3Robert Gordon and J.C. Robson, Krull dimension, Mem. Amer. Math. Soc., 1973, №133, p.1-78.

'Чернев, Относительная размерность Крулля, диссертация, Москва, МГУ, мех-мат ф-т, 1997, 67с.

4Arnautov V.l., Glavatsky S.T., Mikhalev A.V., Introduction to the Theory of Topological Rings and Modules, Marcel Dekker, inc. New York, Basel, hong kong 1996, p.502.

'Арнаутов В.И., Водинчар M.И., Главацкий С.Т., Михалёв A.B., Конструкции топологических колец, Кишинев: Штиинца, 1988, 168с.

" Арнаутов В.И., Водинчар М.И., Михалёв A.B., Введение в теорию топологических колец и модулей. Доклады Академии Наук Молдавской ССР, Кишенёв, Штиинца 1981,176с.

РОС НАЦИОНАЛЬНАЯ БИ БЛ ИОТГКА J С Петербург

20qfpK I

---— -■ ,,„umJ

¿¿¿>3 Ж ff-

гических колец.

Заметим, что многие теоремы в теории топологических колец получены как результат обобщения соответствующих теорем из теории колец на топологический случай. Если что-то казалось содержательным в дискретном случае, то делалось предположение, что это может быть интересным и в общем, топологическом случае. Например, уже разработана общая теория топологических радикалов, на основе общей теории радикалов (например,

и7).

В качестве проверки жизнеспособности построенной теории колец и модулей с топологической размерностью Крулля в данной работе исследуется топологический радикал Бэра колец либо с топологической размерностью Крулля, либо Р/-колец, обладающих модулями с топологической размерностью Крулля.

Для изучения топологических колец используются различные нильрадикалы. Топологическому локально-нильпотентному радикалу посвящены работы Махарадзе (см. [8]8, [9]9). Водинчар рассматривал максимальный наднильпотентный радикал [10]10. Арнаутов [II]11 и Урсул исследовали топологический радикал Бэра.

В данной работе рассматривается только один радикал, а именно, топологический радикал Бэра, а также различные свойства Е-нильпотентных идеалов.

Цель работы.

Целью настоящей работы является:

1. Построение теории топологических колец и модулей, имеющих топологическую размерность Крулля.

2. Применение этой теории для изучения топологического радикала Бэра некоторых классов топологических колец.

7 Арнаутов В.И., Общая теория ¡радикалов топологических колец, Изв. АН РМ. Мат 1996, т. 2 (21).

8 Махарадзе Л.М., Локально нилъпотентные идеалы в топологических кольцах, Мат. сборник, 1957, т.41(83), №3, 395-414с.

9 Махарадзе Л.М. Локально нильпотентный радикал в локально ограниченных топологических коль-Чах, Труды Выч. Центра АН Груз. ССР, 1962, т.2, 21-28с.

'"Водинчар М.И., О минимальном наднильпотентном радикале в топологических кольцах, Математические исследования, 1969, т.З, вып.4, 29-50с.

11 Арнаутов В.И, Топологический радикал Взра и разложение кольца, Сибирский математический журнал, Т5, №6, 1964, 1209-1227с.

Методы исследования.

В работе используются методы общей топологии, теории модулей и ассоциативных колец, теории радикалов, теории топологических колец и модулей.

Научная новизна.

Полученные результаты являются новыми. Основными из них являются следующие:

1. Предложен топологический аналог для нётеровости и размерности Крулля. Доказана топологическая нётеровость кольца коэффициентов, если соответствующее полиномиальное кольцо имеет топологическую размерность Крулля (теорема 2.9.). Доказан топологический аналог теоремы о конечности прямой суммы подмодулей модуля, имеющего размерность Крулля (утверждение 2.8.). Доказан топологический аналог леммы Ленагана (лемма 2.10.).

2. Исследован топологический радикал Бэра колец с топологической размерностью Крулля. Доказано, что топологический радикал Бэра кольца с правой топологической размерность Крулля не содержит правых топологически идемпотентных идеалов (теорема 3.15, следствие 3.16). Построен пример кольца, имеющего топологическую размерность Крулля и топологическую дуальную размерность Крулля, такого, что замыкание суммы всех £-нильпотентных идеалов является Е-нильпотентным идеалом, а пересечение всех степеней топологического радикала Бэра не равно нулю (пример 11).

3. Введено понятие топологически точного модуля. Обобщена на топологический случай теорема о том, что радикал Бэра Р1-кольца, обладающего точным нётеровым модулем, нильпотентен (теорема 3.9, теорема 3.11).

4. Рассмотрен топологический аналог теоремы о том, что радикал Бэра Р1-кольца, обладающего точным модулем с размерностью Крулля нильпотентен (теорема 3.23).

Теоретическая и практическая ценность-

Работа носит теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в различных задачах теории топологических колец и модулей.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на семинаре "Кольца и модули", на международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры(Москва, 2004 г.).

Публикации.

Результаты работы опубликованы в трёх работах [1-3], список которых приведён в конце реферата.

Структура и объём работы.

Работа состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Объём диссертации — 54 страницы, список литературы содержит 27 наименований.

Краткое содержание диссертации.

В первой главе строится теория топологической размерности Крулля колец и модулей.

Напомним определение девиации. Пусть L - частично упорядоченное множество. Введем следующее обозначение, если элементы а, Ь принадлежат L, то [а, Ь] = { х G L | а < х ^ b }. Девиация множества L, которая обозначается как devL, определяется по индукции следующим образом: 1) если L = 0, то devL = —1; 2) если devL ft а и для любой убывающей последовательности {xn}%Li элементов из L найдется натуральное число N такое, что для любого натурального п большего N выполняется dev[xn+i,xn] < а, то devL — а; 3) множество L не имеет девиации, если не существует порядкового числа а, для которого dev L = а.

Топологическая размерность Крулля для топологического модуля М, которую будем обозначать через top К dim М, определяется как девиация множества всех замкнутых подмодулей модуля М. Левой (правой) топологической размерностью Крулля топологического кольца R называется топологическая размерность Крулля левого (правого) Я-модуля R. Приводится пример, когда топологический модуль обладает топологической размерностью Крулля, но не имеет обычной размерности Крулля. Далее рассматривают-

ся некоторые свойства топологических модулей с топологической размерностью Крулля.

Приводится достаточное условие того, когда модуль не имеет топологической размерности Крулля: если в топологическом модуле М содержится убывающая цепочка замкнутых подмодулей М0 Э Mj Э Mi Э ,.., таких что фактор-модуль M,_i/M, топологически изоморфен самому модулю М, тогда модуль М не имеет топологической размерности Крулля.

Доказывается, что если М — топологический модуль, а N является его замкнутым подмодулем, и если N и M/N имеют топологическую размерность Крулля, то top К dim М = max{ top К dim M/N, top К dim N }. Показывается, что если кр - непрерывный гомоморфизм из кольца R, имеющего топологическую размерность Крулля, в топологическое кольцо R, то top KdimR < top KdimR.

В дискретном случае достаточно полезными являются такие понятия как критический подмодуль, дуальная топологическая размерность Крулля, или по другому называемая УУ-размерность.

Будем называть топологический модуль М топологически а-критическим, где а - некоторое порядковое число, если top К dim М = а, но для любого замкнутого ненулевого подмодуля N в М выполняется top К dim M/N < а Топологический модуль, являющийся топологически a-критическим для некоторого порядкового о, будем называть просто топологически критическим. Так же как в дискретном случае (например, см. [2],2.2) можно доказать, что топологический модуль, обладающий топологической размерностью Крулля, имеет топологически критический замкнутый подмодуль.

Напомним, что кодевиацией частично упорядоченного множества (L, <) называется девиация частично упорядоченного множества (L, ^ор), где а ^ор b Ъ < о, и обозначается codev(L, <), то есть codev{L, <) = dev{L, <ор).

По аналогии с дискретной ^-размерностью (дуальной размерностью Крулля), рассмотренной, например, в работе [12]12, определим топологическую N-размерность модуля М, и обозначим через top N dim М, как коде-виацию частично упорядоченного множества замкнутых подмодулей с упорядочением по включению.

Будем называть топологический модуль М топологически N-критическим, если для любого собственного замкнутого подмодуля М' в М выполняется top N dim М' < top N dim М. Так же как в дискретном

12 L. Chambless, fif-dimenaton and N-cntical modules. AplicaUon to artinian module». Comm. Algebra, 1980, V8, №18, p.1561-1592.

случае можно доказать следующее утверждение: если топологический модуль M имеет топологическую ЛГ-размерность, то существует замкнутый подмодуль К в M такой, что фактор-модуль М/К будет топологически ^-критическим.

Утверждение 1. Топологический модуль имеет топологическую размерность Крулля тогда и только тогда, когда он имеет также и топологическую N-размерность.

Назовем топологический модуль топологически нётеровым, если любая возрастающая цепочка из замкнутых подмодулей стабилизируется.

Следствие 1. Каждый топологически нётеров модуль M имеет топологическую размерность Крулля.

В дискретном случае модуль, имеющий размерность Крулля, не содержит никакую бесконечную прямую сумму подмодулей (см. работу Гордона и Робсон). Рассматривается аналог этого утверждения для топологических модулей. Существует топологический модуль, обладающий топологической размерностью Крулля, который содержит бесконечную прямую сумму замкнутых подмодулей. Но верно следующее похожее утверждение с дополнительным условием на бесконечную сумму

Теорема 1. Пусть топологический R - модуль M имеет топологическую

размерностью Крулля. Тогда не существует бесконечной прямой суммы

оо

замкнутых подмодулей фД е M таких, что Л, Л [А\ + ... + At-1-...] =

¿=i

о, t е N.

Определим в кольце полиномов R[x\ базис окрестностей нуля как семейство множеств вида Вщх] = {U{V,n)}v<iT(щ,пец, где U(V,n) = {/ €

п-1

Я[х] I Эи0, - • -, vn-i eV,ge хпД[:с] :/= £ vkxk + g}.

*=О

Теорема 2. Пусть R - топологическое кольцо. Если топологическое кольцо Д[х] с вышеопределенной топологией, имеет левую топологическую размерность Крулля, то кольцо R - топологически нётерово слева.

При изучении модулей с размерностью Крулля в дискретном случае очень большую роль играет лемма Ленагана (см. [13]13, [14]14).

13 Lenagan Т.Н. The nil radical of a ring with Krull dimension, Bull London Math. Soc., v.5, №3, p.307-311 (1972), p.289-303.

uLenagan Т.Н. Reduced rani in rings with Krull dimension, 123-129.

Лемма 1. (Лемма Ленагана) Пусть В\ С В% С ... и М\ 2 2 • • • -

00

цепочки подмодулей модуля М, имеющего размерность Крулля ц у В, =

»=1

М. Тогда найдутся такие натуральные числа г, з , что

М,- С М|+1 + В,

Доказывается топологический аналог этой леммы.

Лемма 2. Пусть В\ С В2 Я ■ ■ • « М\ Э Мч Э ... - цепочки замкнутых подмодулей топологического модуля М, имеющего топологическую

4 оо

' размерность Крулля и [_} Вг — М, причем для любых трех замкнутых

¿=1

1« подмодулей А, В, С : А Э В =>• А П [В + С\ = [В + А Л С]. Тогда найдутся

* такие натуральные числа г, что

М<С[М{+1 + ВД.

Вторая глава диссертации посвящена изучению топологического радикала Бэра либо колец с топологической размерностью Крулля, либо Р1-колец, обладающих модулем с топологической размерность Крулля.

Пусть Я — топологическое кольцо, тогда идеал I называется £-^ нильпотентным идеалом, если для любой окрестности нуля V кольца Я

' существует такое натуральное п, что Iй С V.

^ Напомним определение топологического радикала Бэра. Для каждого по-

ь рядкового 7 определим замкнутое множество И-,(Я). Положим Ио(Я) = 0.

Пусть уже определены все Иа{Я) для каждого порядкового а < 0. Тогда 71р(К) определим следующим образом: если (3 - предельное, то =

[и ^а(Л)], иначе существует порядковое ¡3 — 1, в этом случае Ир(Я)

а<0

представляет собой замыкание суммы всех идеалов ./V, таких что фактор N/110-1 (Д) является Е-нильпотентным. Существует такое порядковое г, что для любого порядкового числа 7 > 6 справедливо И-,(Я) = Ит(Щ- Идеал С(Щ — 7£т(/?) называется топологическим радикалом Бэра.

Для каждой окрестности нуля УУ топологического Д-модуля М введем следующее обозначение Апп(М, IV) = {х € Я : хМ С IV}. Назовем топологический Л-модуль М топологически точным, если для любой окрестности нуля V в Я существует такая окрестность нуля № ъ М, что V Э Апп(М, УУ). Доказывается, что в любой топологии топологически точный модуль является точным. Для топологического модуля над компактным

кольцом понятия точности и топологической точности совпадают. Также показывается, что в общем случае понятия точности и топологической точности различны.

Рассматривается топологический аналог теоремы из статьи В.Т. Маркова [15] 15, утверждающей, что радикал Бэра Р1-кольца, обладающего точным нётеровым модулем, нильпотентен.

Теорема 3. Если топологическое Р1 -кольцо Я обладает топологически нётеровым топологически точным Я-модулем М, то замыкание суммы всех И-нилъпотентных идеалов И(Я) будет Е-нилъпотентным идеалом.

Предложение 1. Если N - замкнутый топологически Е-нилъпотентный идеал ограниченного топологического кольца Я и фактор-кольцо Я/М является Т>-нильпотентым, то само кольцо К также Е-кильпотентно.

Показано, что Е-нильпотентный идеал не обязан быть ограниченным. Также на примере показано, что существует топологическое кольцо Я, а в нем идеал N и идеал I, содержащий такие, что N и фактор I/И Е-нильпотентны, а I не является Е-нильпотентным.

Теорема 4. Если топологическое ограниченное Р1-кольцо Я обладает топологически нётеровым и топологически точным Я-модулем М, то топологический радикал Бэра С{Я) будет топологически нилъпотентным.

Рассматриваются топологически идемпотентные идеалы в топологическом радикале Бэра.

Теорема 5. Пусть топологическое кольцо Я обладает топологическим левым модулем М с топологической размерностью Крулля. Тогда если левый идеал 3 — топологически идемпотентен, то есть = J, и содержится в топологическом радикале Бэра, то ЗМ = 0.

Теорема 6. Топологический радикал Бэра кольца, имеющего топологическую левую и правую размерность Крулля, не содержит односторонних ненулевых топологически идемпотентных идеалов.

Следствие 2. Топологический радикал Бэра топологического кольца с топологической размерностью Крулля не содержит единицу.

15 Марков В.Т., Тачные нётерови модули над Р1-хальцами, Абелевы группы и модули, выпуск 8,1989, 103-112с.

Заметим, что в общем случае топологический радикал Бэра даже может содержать единицу (см. (16]1в).

В заключении рассматривается топологический аналог теоремы из статьи Маркова В.Т. о том, что радикал Бэра PI-кольца, обладающего точным модулем с размерностью Крулля, нильпотентен.

Теорема 7. Пусть топологическое PI-кольцо R обладает топологически точным модулем М с не более чем счетной топологической N-размерностъю и для этого модуля выполняются следующие два условия:

(1) если Р — Е-нилъпотентный идеал кольца R, то для всякой окрестности нуля W в М найдется натуральное число т, такое что F^M С W;

(2) для любых трех замкнутых подмодулей А, В, С, таких что АЭ В, верно АП[В + С\ = [В + АПС].

Тогда замыкание суммы всех Т,-нильпотентных идеалов кольца R является также И-нильпотентным идеалом.

Поясняются ограничения в последней теореме. Приводятся примеры, когда условия (1) и (2) не выполняются.

Теорема 8. Пусть для ограниченного кольца R выполняются условия предыдущей теоремы. Тогда топологический радикал Бэра этого кольца Е-нильпотентен.

Существует пример, показывающий существенность дополнительного условия (ограниченности кольца) в последней теореме, так как существует кольцо, для которого верны все условия из предпоследней теоремы, но топологический радикал Бэра этого кольца не только не является нильпотентным, но и пересечение всех степеней этого радикала не равно нулю.

Автор выражает свою глубокую благодарность своему научному руководителю, к.ф.-м.н., доценту Маркову Виктору Тимофеевичу за постановку задачи, постоянное внимание и всестороннюю поддержку.

16 Арнаутов В.И., К теории топологических колец, Доклады Академии наук СССР, 1964, том 157, »1,12-15с.

Работы автора по теме диссертации

1. Тензина В.В., Некоторые свойства топологического радикала Бэра колец с топологической размерностью Крулля, Успехи математических наук, М., 2005, т.60, вып.2, стр. 175-176.

2. Тензина В.В., Свойства топологических колец и модулей с топологической размерностью Крулля, Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры, 2004, тезисы докладов, стр. 123-125.

3. Тензина В.В., Топологические кольца и модули с топологической размерностью Крулля, Фундаментальная и прикладная математика, М., 2004, том 10(3), стр. 215-230.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать {3.0*1.0$ Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 0,75

Тираж /Д0экз. Заказ ¿О

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20.02.2001г.

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

) !

i

i

I

i

i

}

1 <

i i

i i

I

!

i

i

!

i f

ОШ-Û/.ÛJ

РНБ Русский фонд

2005-4 41950

19 м;и 2006 $

У

1 Введение

2 Топологическая размерность Крулля

1 Необходимые определения и обозначения из теории топологических колец и модулей.

2 Определение топологической размерности Крулля и некоторые её свойства.

3 Топологическая //-размерность. Критические модули.

4 Бесконечная прямая сумма замкнутых подмодулей

5 Топологическое кольцо полиномов.

6 Топологический аналог леммы Леиагана

3 Топологический радикал Бэра и топологическая размерность Крулля

1 Определение топологического радикала Бэра.

2 Топологическая точность.

3 Сумма всех Е-нильпотентных идеалов топологического Р1-кольца, обладающего топологически точным топологически нетеровым модулем

4 Топологический радикал Бэра топологического Р/-кольца, обладающего топологически точным топологически нетеровым модулем.

5 Топологический радикал Бэра кольца с топологической размерностью Крулля.

6 Топологические Р/-кольца, обладающие топологически точными модулями с топологической размерностью Крулля.

Областью исследования диссертационной работы является "теория топологических колец и модулей". Теории топологических колец посвящены такие работы как [1], [12], [13].

Цель работы — построение теории топологических колец и модулей, имеющих топологическую размерность Крулля, а также применение этой теории для изучения топологического радикала Бэра некоторых классов топологических колец.

Актуальность темы диссертации. Многие теоремы в теории топологических колец получены как результат обобщения соответствующих теорем из теории колец на топологический случай. Если что-то казалось содержательным в дискретном случае, то делалось предположение, что это может быть интересным и в общем, топологическом случае. Например, уже разработана общая теория топологических радикалов, на основе общей теории радикалов.

В [11], Ренчлер и Габриэль определили размерность Крулля для модуля как девиацию частично-упорядоченного множества всех подмодулей с упорядочением по включению. Все артиновы и нетеровы модули являются модулями с размерностью Крулля. Оказалось, что многие утверждения, справедливые для нетеровых модулей и колец, выполняются также и для модулей и колец с размерностью Крулля. Класс колец, имеющих размерность Крулля, строго больше, чем класс всех нетеровых колец даже в случае коммутативных колец. Методы, используемые при рассмотрении колец с размерность Крулля, аналогичны методам, используемым для получения результатов в теории артиновых колец. Обзор результатов по размерности Крулля можно найти, например, в работе Гордона и Робсон [3].

Теория размерности Крулля усилиями различных авторов (Ленаган, Рен-члер, Габриэль, Лемоньер, Гордон, Робсон и другие) получилась весьма содержательной. В теории кручений существует обобщение размерности Крулля на случай относительной размерности Крулля, например в [27]. Но это частный случай, так как топология относительно кручения является линейной топологией.

В данной работе автором предлагается обобщение понятия размерности Крулля на топологический случай. Топологическая размерность Крулля топологического модуля определяется как девиация частично упорядоченного множества всех замкнутых подмодулей с упорядочением по включению. Аналогичным образом определяется правая и левая размерность Крулля топологических колец.

В предлагаемой работе построена теория топологической размерности Крулля. В качестве проверки жизнеспособности этой теории в данной работе исследуется топологический радикал Бэра колец либо с топологической размерностью Крулля, либо Р1-колец, обладающих модулями с топологической размерностью Крулля.

Для изучения топологических колец используются различные нильрадикалы. Топологическому локально-нильпотептному радикалу посвящены работы Махарадзе [20], [21]. Водинчар рассматривал максимальный над-нильпотентиый радикал ([17]). Арнаутов ([14]) и Урсул исследовали топологический радикал Бэра.

В данной работе рассматривается только один радикал, а именно, топологический радикал Бэра, а также различные свойства Е-нильпотентных идеалов.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. Среди них:

• Построение теории топологической размерности Крулля для топологических колец и модулей.

• Доказательство топологической нетеровости кольца коэффициентов, если соответствующее полиномиальное кольцо имеет топологическую размерность Крулля.

• Топологический аналог теоремы о конечности прямой суммы подмодулей модуля, имеющего размерность Крулля.

• Топологический аналог леммы Ленагана.

• Топологическая дуальная размерность Крулля.

• Определение топологически точного модуля. Исследование взаимосвязи между топологической точностью и обыкновенной точностью, а также свойств топологических модулей, являющихся топологически точными.

• Обобщение на топологический случай теоремы о том, что радикал Бэра Р1-кольца, обладающего точным нетеровым модулем, нильпотентен.

• Исследование топологического радикала Бэра колец с топологической размерностью Крулля.

• Обобщение на топологический случай теоремы о том, что радикал Бэра Р/-кольца, обладающего точным модулем с размерностью Крулля, нильпотентен.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных задачах теории топологических колец и модулей.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Кольца и модули", на международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры в Москве.

Список публикаций по теме диссертации из 3-х работ приведен в конце рукописи.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Нумерация лемм, предложений, утверждений и теорем привязана к своей главе, а нумерация примеров сквозная. Полный объем диссертации — 54 страницы, библиография включает 27 наименований.

1. Arnautov V.l., Glavatsky S.T., Mikhalev A.V., 1.troduction to the Theory of Topological Rings and Modules, Marcel Dekker, inc. New York, Basel, hong kong 1996, p.503.

2. L. Chambless, N-dimension and N-critical modules. Aplication to artinian modules, Comm. Algebra, 1980, V8, №16, p.1561-1592.

3. Robert Gordon and J.C. Robson, Krull dimension, Mem. Amer. Math. Soc., 1973, №133, p.1-78.

4. C.Hopkins, Nil-rings with minimal condition for admissable left ideals, Duke Math. J. 4(1938), 341-345.

5. G. Krause, On the Krull dimension of the left noetherian left Matlisrings, Math. Zeitschr. 118 (1970), 207-214.

6. B. Lemonnier, Déviation des ensembles et groupes abeliens totalement ordonnés, Bull. Sc. Math. 96, p.297-299.

7. Lenagan T.H. The nil radical of a ring with Krull dimension, Bull. London Math. Soc., v.5, №3, p.307-311. (1972), p.289-303.

8. Lenagan T.H. Reduced rank in rings with Krull dimension, 123-129.

9. J. Levitzki, Uber nilpotente Unterringe, Math. Annalen 105(1931), 620-627.

10. G. Michler, Primringe mit Krull-dimension eins, J. Reine Angew. Math. 239/240 (1970), 366-381.

11. R. Rentschier and R Gabriel, Sur la dimension des anneaux et ensembles ordonnés, С. R. Acad. Sei. Paris. 265 (1967), 712-715.

12. Арнаутов В.И., Водинчар М.И., Главацкий С.Т., Михалев A.B., Конструкции топологических колец, Кишинев: Штиинца, 1988, 168с.

13. Арнаутов В.И., Водинчар М.И., Михалев A.B., Введение в теорию топологических колец и модулей, Доклады Академии Наук Молдавской ССР, Кишенёв, Штиинца, 1981, 176с.

14. Арнаутов В.И, Топологический радикал Бэра и разложение кольца, Сибирский математический журнал, Т5, №6, 1964, 1209-1227с.

15. Арнаутов В.И, Топологический радикал Бэра и разложение кольца, Известия АН МССР, 1963, №11, 79-81с.

16. Арнаутов В.И., К теории топологических колец, Доклады Академии наук СССР, 1964, том 157, №1, 12-15с.

17. Водинчар М.И., О минимальном наднильпотентном радикале в топологических кольцах, Математические исследования, 1969, т.З, вып.4, 29-50с.

18. Марков В.Т., Точные нетеровы модули над PI-кольцами, Абелевы группы и модули, выпуск 8, 1989, 103-112с.

19. Марков В.Т., О PI-кольцах, имеющих точный модуль с размерностью Крулля, Фундаментальная и прикладная математика, М., 1995, т.1, №2, 557-559с.

20. Махарадзе Л.М., Локально нильпотентные идеалы в топологических кольцах, Мат. сборник, 1957, т.41(83), №3, 395-414с.

21. Махарадзе Л.М. Локально нильпотентный радикал в локально ограниченных топологических кольцах, Труды Выч. Центра АН Груз. ССР, 1962, т.2, 21-28с.

22. Ж. Дьедонне, Основы современного анализа, Мир, М., 1964, 430с.

23. Рудин, Уолтер Функциональный анализ, Пер. с англ. В.Я. Лина. Под ред. Е. А. Горина, М.,"Мир", 1975, 445с.

24. Тензина В.В., Некоторые свойства топологического радикала Бэра колец с топологической размерностью Крулля, Успехи математических наук, М., 2005, т. 60, вып. 2, стр. 175-176.

25. Тензина В.В., Свойства топологических колец и модулей с топологической размерностью Крулля, Международная алгебраическая конференция, посвященная 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры, 2004, тезисы докладов, стр. 123-125.

26. Тензина В.В., Топологические кольца и модули с топологической размерностью Крулля, Фундаментальная и прикладная математика, М., 2004, том 10(3), стр. 215-230.

27. Чернев, Относительная размерность Крулля, диссертация, Москва, мех-мат ф-т, 1997, 67с.