Прямые разложения артиновых модулей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

РГБ О Л

ПИМЕНОВ 2 8 Ипй т"

КОНСТАНТИН ИГОРЕВИЧ

ПРЯМЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ АРТИНОВЫХ МОДУЛЕЙ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 2000

Работа, выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор А. В. Яковлев.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук И. А. Панин,

кандидат физико-математических наук А. В. Степанов.

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.

Защита состоится "/З'^ц^ 2000 года в час. на заседании диссертационного совета К 063.57.45 по защите диссертаций на соискание учёной степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете (адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета).

Защита будет проводиться по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27, ауд. 311 (помещение ПОМИ РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. А. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

Автореферат разослан Ко .¿^2000 года.

Учёный секретарь

диссертационного совета, доцент Р. А. Шмидт

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Центральной темой диссертации является теорема Крулля-ТИмидта о единственности прямых разложений. Эта теорема в буквальном смысле лежит в основе теории представлений. Существуют разнообразные формулировки этой теоремы для различных алгебраических систем. А.Г.Курошу, например, принадлежит вариант этой теоремы дня групп. Нас будут интересовать разложения модулей в прямую сумму конечного числа слагаемых. Напомним классическую формулировку:

Теорема. Пусть М артинов и нетеров модуль над произвольным кольцом В и даны два разложения в прямую сумму неразложимых слагаемых:

М = М1 ф М2 © ... © Мк и М = Д?! © Л'2 ® • • ■ © Д'(.

Тогда к = 1 и существует такая перестановка а, что Д/( изоморфен при г = 1 ...к.

Кратко говорят, что разложение в прямую сумму неразложимых слагаемых единственно с точностью до изоморфизма. В этой ситуации будем говорить, что для модуля выполняется теорема Крулля-Шмидта. Позже было замечено, что в доказательстве этой теоремы определяющую роль играет локальность колец эндоморфизмов неразложимых модулей; она имеет место для артиновых и нетеровых модулей, но не только для них. Теорема о единственности прямых разложений для модуля, раскладывающегося в прямую сумму модулей с локальными кольцами эндоморфизмов, носит в литературе название теоремы Кру'лля-Шмидта-Рсмака-Адзумая [1, Глава 7]. Независимо от Г.Адзумая этот факт был использован З.И.Боревичем и Д.К.Фаддеевым при изучении р-адических представлений.

Большая часть понятий, связанных с. прямыми разложениями, может быть переформулирована на языке колец эндоморфизмов. При этом прямому слагаемому модуля соответствует идемпотепт кольца эндоморфизмов модуля. Этим объясняется интерес, проявляемый к изучению колеи, эндоморфизмов к, в рамках нашей проблематики, к изучению разложений единицы кольца в сумму ортогональных идемпотептов.

Диссертация появящепа вопросу о единственности разложения артииова модуля в прямую сумму неразложимых подмодулей. Впервые эта проблема была поднята Круллем в 1932 году; он задал следующий вопрос: имеет ли место единственность разложения в прямую сумму для артииова модуля над произвольным кольцом В, [2]? Иначе говоря, является ли условие нетеровости модуля в формулировке теоремы Крулля-Шмидта существенным?

Напомним, что ключепым моментом в доказательстве классического варианта теоремы Крулля-ТНмидта является лемма Фиттинта, которая утверждает, что для любого эндоморфизма / модуля конечной длины М существует натуральное п такое, что М = Кег ©1ш /". Из нее непосредственно следует, что кольцо эндоморфизмов неразложимою модуля конечной длины локально н его радикал состоит из нильпотентных эндоморфизмов. Поэтому попытки найти аналог леммы Фигтинга, который был бы справедлив не только для модулей конечной длины, представлялись весьма обоснованными.

Р.Уорфилд установил ¡10), что такой аналог имеет место для модулей, длина ряда Леви которых равна, ш. О частности, кольцо эндоморфизмов неразложимого артинова модуля длины и> локально. Артиновы модули над коммутативными и над нетеровыми слева кольцами всегда имеют длину, не превосходящую и). Таким образом, Уорфилд решил проблему Крулля для случая, когда кольцо, над которым рассматриваются модули, нетерово слева или коммутативно.

В работе |11] показано, что теорема Крулля-Шмидта справедлива для ар-тииовых модулей над так называемыми щ-кольцами, то есть кольцами, всякий сюръектлвный гомоморфизм конечно порожденных модулей над которыми является изоморфизмом. В этой же работе сформулировано некоторое, специальное условие на кольцо, при выполнении которого всякий неразложимый артинов модуль над ним будет иметь локальное кольцо эндоморфизмов. При этом рассматриваемые артиновы модули могут иметь уже сколь угодно большую длину.

Основополагающей работой, проливающей свет на свойства прямых разложений артиновых была работа [4], в которой было показано, что кольцо эндоморфизмов артинова модуля полулокально. Этот факт имеет три важнейших следствия. Во-иервых, артинов модуль обладает свойством сокращения. Во-вторых, он обладает свойством извлечения корня г(-ой степени, то есть если А артинов модуль и Л" = В", то А а В. В-третьих, существует лишь конечное число неизоморфных разложений артинова модуля в прямую сумму неразложимых слагаемых. Тем не менее, в полулокальном кольце единица раскладывается в сумму попарно ортогональных идемпотеитов, вообще говоря, не единственным образом. На этом пути и были найдены первые примеры, опровергающие гипотезу Крулля для произвольных артиновых модулей. В этом состоит основное содержание работы А.Факкини, Д.Херберы, П.Вамоша и Л.С.Лсви ¡5}. Ими была частично решена следующая задача: при каких условиях полулокальное кольцо реализуется как кольцо эндоморфизмов артинова модуля. Оказывается, таким образом реалязуются нетеровы коммутативные полулокальные кольца и алгебры конечного типа над ними. Приведенная в этой статье конструкция была неявной и не позволяла сколько-нибудь детально изучить природу возникающих аномалий прямых разложений. Вопрос, для каких

колец могут возникать аномалии прямых разложений артиновых модулей над ними, оставался невыясненным.

С другой стороны параллельно развивалась теория абелепых групп без кручения. Примеры аномалий прямых разложений абелевых групп без кручения конечною ранга хорошо известны около 50 лет [0|. В частности, ранговая природа, аномалия была полностью изучена I! цикле работ Яковлева и Благовещенской, который завершается работой [7]. Работа Яковлева 1997 года ¡8] показывает, как можно строить аномалии прямых разложений артиновых модулей, опираясь на примеры, известные из теории абелевых групп. При этом выяснилось, что распределение рангов прямых слагаемых артиновых модулей такое же, как и для абелевых групп. Так что в случаи артиновых модулей могут возникать аномалии такого же рангового типа, что и для абелевых групп.

Цель работы.

Найти условия, которым должно удовлетворять кольцо, чтобы для артиновых модулей над ним выполнялась теорема Крулли-Шмидта. Привести примеры, показывающие, что для артиновых модулей над локальным кольцом могут возникать аномалии прямых разложений.

Методы.

В работе используются классические методы теории колец и теории абелевых групп без кручения конечного ранга. Для изучения структуры артиновых модулей рассматривается ряд Лёви модуля. При доказательстве основной теоремы вводится обобщение классической леммы Фиттинга. При помощи функ-ториалыюго соответствия результаты, ранее полученные для абелевых групп, переносятся па более общий случай артиновых модулей над кольцами специального вида. Использовано матричное задание абелевых групп без кручения и аналогичных им модулей над областями главных идеалов.

Научная новизна. Все основные результаты работы являются новыми. Среди них особо отметим следующие:

• Установлена эквивалентность категории полулокальных абелевых групп без кручения конечного ранга и категории редуцированных артиновых модулей над некоторым матричным кольцом. На основании этой эквивалентности построены элементарные контрпримеры к теореме Крулля-Шмидта для артиновых модулей. Контрпримеры перенесены на случай модулей над областями главных идеалов.

• Построены контрпримеры к теореме Крулля-Шмндта для артиновых модулей над локальным кольцом. Тем самым решена задача 7 из списка нерешенных проблем в книге (9]. Процедура построения примеров функтори-альна и проводится в достаточно общей ситуации, что позволило попутно

доказать результат о реализуемости некоторых типов колец как колец эндоморфизмов артиновых модулей над локальным кольцом.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её методы и результаты могут быть полезны специалистам Санкт-Петербургского государственного университета, Московского государственного университета, Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук, Санкт-Петербургскою отделения Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Санкт-Петербургском алгебраическом семинаре им. Д. К. Фаддеева, на международной алгебраической конференции памяти А.Г.Куроша (Москва, 1998 год).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликовиы в работах автора [14, 15], а также в совместной работе ангора и А. В. Яковлева ¡13].

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 7 разделов и списка литературы из 14 наименований. Нумерация утверждений (теорем, предложений и лемм), а также заметаний а примеров ведётся совместно, отдельно для каждого раздела. Текст диссертации изложен на 51 странице .машинописного текста.

Одна из основных задач, решенных в этой работе — построить простой пример кольца, для артиновых модулей над которым не выполнена теорема Крулля-Шмидта. Из теоремы Уорфнлда слезет, что это кольцо должно быть ненетеровым слева и некоммутативным. Простейшее матричное кольцо, удовлетворяющее этим условиям - это кольцо

Оно хороню известно, как пример кольца, которое нетерово справа, но нене-терово слева. Категория Л-модулей и категория абелевых групп без кручения оказываются очень близки по строению.

Теорема 1 Категория редуцированных артиновых Я-модулей и категория пом/локальных абелевых групп канонически эквивалентны.

Содержание работы

Соответствие между Я-модулями и абелсвыми группами простое и прозрачное. Тот факт, что оно ни разу ранее не появилось в литературе, вызывает удивление. Примеры аномалий прямых разложений абелевых групп без кручения конечного ранга, приведенныые в монографии [6], переносятся на артиновы модули и том случае, если в конструкции задействовано конечное множество простых чисел. Например, аналогом теоремы 90.1 из |б] является утверждение: для любого натурального п > 1 существует артипов Я-модуль обладающий разложениями как в прямую сумму двух, так и в прямую сумму п неразложимых слагаемых.

Если назвать рангом артинова модуля М его дуальную размерность Голди, то есть максимальное п такое, что существует подмодуль N С М, фактор-модуль но которому раскладывается в прямую сумму п слагаемых, го можно будет задуматься о ранговой природе аномалий прямых разложений. Ранговые аномалии прямых разложений абелевых групп конечного ранга без кручения были полностью изучены в [7], где приведено необходимое и достаточное условие, которому должны удовлетворять ранги неразложимых слагаемых в двух разложениях в прямую сумму одной и той же группы конечного ранга. Сформулированное там условие автоматически переносится на случай артиновых й-модулей.

После того как выяснилось, что контрпримеры к теореме Крулля-Шмидта для артиновых модулей возникают уже в такой простой ситуации, как описанная выше, вопрос о характернзацпи колец, над которыми возникают аномалии, становится особенно интересным. Эта задача не была решена полностью и, мы полагаем, описание таких колец по может быть исчерпывающим. Даже вопрос о характеризации колец, над которыми существует циклический артинов модуль бесконечной длины, представляется весьма содержательным. Последнему вопросу в контексте свободных колец посвящена работа [3].

Мы решили сузить формулировку и задуматься на заданную тему применительно к кольцам без кручения конечного ранга н локальным кольцам. Вопрос о справедливости теоремы Крулля-Шмидта для артиновых модулей над локальными кольцами числится под номером 7 в списке открытых задач в книге А.Факкнни [9]. По нашему мнению, следствия теоремы 2 удовлетворительно описывают класс тех колец конечного ранга, для артиновых модулей модулей над которыми теорема Крулля-Шмидта выполнена.

Следствие 1 Пусть Я - кольцо, аддитивная группа которого является абе-левой группой конечного ранга. Тогда теорема Крулля-Шмидта справедлива для артиновых .модулей над ним в следующих случаях: 1) все простые Л-модул'а конечны; 2) Я — локальное кольцо.

. Это одно из применений основной теоремы, которая в общем случае форму-лпровуется так.

Теорема 2 Пусть R кольцо с центром Zr. Обозначим через R факгпорколъ-цо R/ Rad 11 и положим

+ Rad i?)/Rad R.

Предположим, что R - локально конечная алгебра над ZR. Тогда для любого артинова модуля над R выполнена обобщенная лемма Фиттита и категория артиновых модулей над R является категорией Крулля-Шмидта.

Она была открыта в процессе изучения артиновых модулей над локальными кольцами. В этом коптскстс теорема звучит следующим образом.

Следствие 2 Пусть к - поле, R - локальная k-алгебрп с максимальным идеалом J, такая, что тело вычетов В. — R/J является конечномерной алгеброй над к. Тогда для произвольного артинова R-модуля М и ело эндоморфизма f верна обобщенная лемма Фиттинга.

Какого сорта аномалии прямых разложений могут возникнуть для артиновых модулей над кольцами без кручения конечного ранга, было описано выше. Оказалось, что абсолютно аналогичная ситуация возникает при конструировании аномалий прямых разложении для артиновых модулей над локальным кольцом, с той разницей, что роль абелевых групп бел кручения начинают играть модули без кручения над кольцом многочленов к[х]. Для этого прежде всего требовалось найти пример локального кольца, не удовлетворяющего посылке теоремы 2 и обладающего циклическим артиновым модулем бесконечной длины. Кольцо, описываемое пшке, является локальной fc-алгсброй, папе вычетов которой есть

Пример 1 Пусть F = к(х), А-локалиаация fc[x] по идеалу, порожденному х, Л - локализация /'[i] по идеалу, порожденному t. Рассмотрим, к-алгебру R =< Л, а > с определяющими соотношениями

а\а = 0, at = 0, ¿о = ах.

Тогда существует цепной R-модулъ длины -f 1, который обладает необратимым и не локально нильпотентным эндоморфизмом,.

Придумать более простую конструкцию, которая приводила бы к непетерову некоммутативному локальному кольцу, не удовлетворяющему посылке теоремы 2, по нашему мнению, затруднительно. Выяснилось, что между Л-модулями конечного ранга и артиновыми Л-модулямн специального вида существует биективное соответствие, сохраняющее неразложимость и неизоморфность прямых слагаемых.

Примеры нарушения единственности разложения в прямую сумму для модулей конечного ранга над кольцом .4 = известны. Они полностью аналогичны примерам аномалий прямых разложений батлеровского типа для р-локальных абелевых групп конечного ранга [12, Глава 3]. Таким образом, мы даем отрицательный ответ на вопрос Факкиии.

Теорема 3 Для артиновых. модулы"! над локальным; кольцом II из примера 1 не выполняется теорема Крулля-Шмидта.

Завершающие два раздела этой работы посвящены вопросу обобщения только что изложенной конструкции. Сначала приведен общий взгляд на модули конечного ранга над полулокальной областью главных идеалов и на артино-вы модули над кольцом специального вида, и описано, как задавать структуру этих модулей матрицами. Для аду чая абелевых групп наш метод приводит к тому же результату, что и классическое задание абелевых группы без кручения .матрицами (см. [С]): но наш подход проливает на что задание свет благодаря взаимосвязи между абелевыми группами и модулями над матричным кольцом из теоремы 1.

Матричный способ задания группы без кручения, который мы перенесли на модули над областями главных идеалов, позволяет по-новому взглянуть и на классическую теорему Корнера. Напомним, что теорема Корнера гласит, что любое редуцированное счетное кольцо без кручения реализуется как кольцо эндоморфизмов некоторой абслсвой группы без кручения. Нам потребовался вариант этой теоремы для модулей без кручения над областями главных идеалов. В результате получено следующее утверждение.

Теорема 4 Любая алгебра конечного типа без кручения над полулокальной областью главных идеалов может быть реализована как кольцо эндоморфизмов некоторого артинова модуля над кольцом епециалъного вида. При этом, если рассматривать кольца с точностью до факторизации по нильпотент-ным идеалам., та это кольцо специального вида можно выбрать локальным. В случае, когда область главных идеалов — негензелево локальное кольцо, любую алгебру конечного типа над ней можно реализовать как кольцо эндоморфизмов модуля без кручения конечного ранга.

Список литературы

[1] Каш Ф. Модули и кольца. М. Мир. 1981. 368 с.

[2] Krtül IV. Matrizen, Moduln and verallgemeinerte Abeichen Gruppen in Bereich der Ganzen algebraischen Zahlen. Heidelberger Akademie der Wissenschaften. 2 (1932) 13-38.

[3] Cohn P.M. Cyclic artinian modules without a composition series // Rull, l.ond. Math. Soc. (2) 55 (1997), 231 235

[4] Camps R., Dicks W. Semilocal rings // Isr. Math. J. 81 (1993), no. 12, 203-211.

[5] Facchini A., Herbera D., Vamo.s P., Levy L.S. Krull-Schmidt fails for Artinian modules // Proc. Amer. Math. Soc. 123 (1995), no. 12, 3587 3592.

[6] Фукс Л. Бесконечные абелевы группы, том 2. М. Мир. 1977. 416 с.

[7] Благовещенская Е.А., Яковлев A.B., Абелевы группы конечного ранга без кручения и их прямые разложения. // Алгебра и Анализ 1 (1989), 111 128.

[8] Яковлев A.B., О прямых разложениях артиновых модулей. // Алгебра и Анализ, 10 (1998), вьш.2, 207-216.

[9| Facchini A. Module theory. Progress in mathematics 167. Basel: Birkhäuser. 1998.

[10] Warfield R.B. A Krull-Schmidt Theorem for infinite sums of modules //Proc. Amer. Math. Soc. 22 (1969), -460 465.

[11] Guerindori,). Modules de Loewy et modules artiniens // Journal of Algebra 79 (1982), 1 7.

[12] Arnold D.M., Finite rank torsion free abelian groups and rings. Lect. Not. Mat. 931. Springer-Verlag. 1982.

Публикации автора по теме диссертации

[13] Pimenov К. Т., Yakovlev A.V. Artinian modules over a matrix ving. In: Infinite length modules (Crause II., Ringel C.M., ed.), Trends in mathematics, Birkhäuser, 2000, 101-106.

[14] Пименов К.И., Теорема Крулля-Шмидта для артиновых модулей над локальными кольцами // Записки научных семинаров ПОМИ 265 (1999), 300-306.

[15] Пименов К.И., Теорема Крулля-Шмидта для артиновых модулей над локальными кольцами // Записки научных семинаров ПОМИ 263 (2000), 187-192.

ЛР X«040815 от 22.05.97.

Подписано к печати 01.11.2000г. Объем 1 п. л. Тираж 100экз. Заказ 1612. НИИХимии СПбГУ. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИХ СПбГУ. 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 2.

1 Введение

2 Лемма Фиттинга и ряд Леви

3 Теорема Крулля-Шмидга

4 Модули над матричным кольцом

5 Артиновы модули и абелевы группы без кручения

6 О кольце эндоморфизмов артинова модуля

7 Аномалии прямых разложений над локальным кольцом

8 Теорема Корнера-Цассенхауза 44 9. Литература

Центральной темой этой работы является теорема Крулля-Шмидта о единственности прямых разложений. Этот результат в буквальном смысле лежит в основе теории представлений. Существуют разнообразные формулировки этой теоремы для различных алгебраических систем. А.Г.Курошу, например, принадлежит вариант этой теоремы для групп. Нас будут интересовать разложения модулей в прямую сумму конечного числа слагаемых. Напомним классическую формулировку:

Теорема Крулля-Щмидта. Пусть М - артинов и нетеров модуль над произвольным кольцом Н и даны два разложения в прямую сумму неразложимых слагаемых;

М = М1@М2@---®Мк и М = N1 ф N2 © • • • © N1.

Тогда к = I и существует такая перестановка о, что М, изоморфен Ыаф при г = 1 .к.

Кратко говорят, что разложение в прямую сумму неразложимых слагаемых единственно с точностью до изоморфизма. В этой ситуации будем говорить, что для модуля выполняется теорема Крулля-Шмидта. Позже было замечено, что в доказательстве этой теоремы определяющую роль играет локальность колец эндоморфизмов неразложимых модулей; она имеет место для артиновых и нетеро-вых модулей, но не только для них. Теорема о единственности прямых разложений для модуля, раскладывающегося в прямую сумму модулей с локальными кольцами эндоморфизмов, носит в литературе название теоремы Крулля-Шмидта-Ремака-Адзумая [1, Глава 7]. Независимо от Г.Адзумая этот факт был использован З.И.Боревичем и Д.К.Фаддеевьщ при изучении р-адических представлений.

Обсудим вопрос об обращении Теоремы Адзумая. Для этого введем понятие замены. Говорят, что модуль М обладает свойством замены, если любых модулей А, X, Y таких, что М ® А = X © Y, найдутся подмодули Xi С X, Yi С Y такие, что М ф А = JTi ф ф А. Обращаем внимание, что имеется ввиду именно равенство, а не изоморфизм. Справедливо

Утверждение. Неразложимый модуль обладает свойством замены тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов локально.

Для модулей со свойством замены разложение в прямую сумму однозначно, точнее, любые два разложения одного и того же модуля в конечную прямую сумму имеют изоморфные уплотнения. Таким образом, из свойства замены вытекает теорема Крулля-Шмидта. Обратное, вообще говоря, неверно, примером чему являются вполне разложимые абелевы группы без кручения: теорема Крулля-Шмидта для них выполняется, но кольцо эндоморфизмов группы ранга 1 не обязано быть локальным [6, Глава 14].

Весьма любопытным является ослабление свойства замены -свойство сокращения. Говорят, что модуль М обладает свойством сокращения, если для любых модулей АиВжзАфМ = ВфМ следует А = В. Оказывается, модуль обладает свойством сокращения тогда и только тогда, когда стабильный ранг его кольца эндоморфизмов равен 1. В частности, это так, если кольцо эндоморфизмов полулокально.

Большая часть понятий, связанных с прямыми разложениями, может быть переформулирована на языке колец эндоморфизмов. Назовем идемпотенты ей/ кольца R изоморфными, если проективные Д-модули Re и Rf изоморфны. Если идемпотенты сопряжены внутри кольца й, то они изоморфны. Для полулокального кольца верно и обратное: изоморфные идемпотенты обязательно сопряжены.

Между разложениями модуля М = Mi ф М2 ф • • - Ф Mk в прямую сумму подмодулей и разложениями кольца Е = End (М) в прямую сумму левых идеалов Е = Ее\ ф Ее? Ф - • - © Ее^ имеется естественное соответствие. При этом слагаемому Мг- соответствует идемпотент ег-такой, что е8-(М) = М4-, е4(М?) = 0 при г ф 3- Очевидно, что изоморфным прямым слагаемым соответствуют изоморфные идемпотенты. Если прямое слагаемое неразложимо, то ему соответствует неразложимый идемпотент.

В настоящей работе исследуется, как обстоит дело с единственностью прямых разложений артиновых модулей. Впервые подобная проблема была поднята Круллем в 1932 году; он задал следующий вопрос: имеет ли место единственность разложения в прямую сумму для артинова модуля над произвольным кольцом Я [2]? Иначе говоря, является ли условие нетеровости существенным?

Опишем вкратце прогресс в этой области. Напомним, что ключевым моментом в доказательстве классического варианта теоремы Крулля-Шмидта является лемма Фиттинга, которая утверждает, что для любого эндоморфизма / модуля конечной длины М существует натуральное п такое, что М = Кег /"' ф 1т /та. Из нее непосредственно следует, что кольцо эндоморфизмов неразложимого модуля конечной длины локально и его радикал состоит из хшльпотептных эндоморфизмов. Поэтому попытки найти аналог леммы Фиттинга, который был бы справедлив не только для модулей конечной длины, представлялись весьма обоснованными.

Р.Уорфилд установил [10], что такой аналог имеет место для модулей, длина ряда Леви которых равна со. В частности, кольцо эндоморфизмов неразложимого артинова модуля длины со локально. Арти-новы модули над коммутативными и над нетеровыми слева кольцами всегда имеют длину, не превосходящую со. Таким образом, Уорфилд решил проблему Крулля для случая, когда кольцо, над которым рассматриваются модули, нетерово слева или коммутативно.

В работе [12] показано, что теорема Крулля-Шмидта справедлива для артиновых модулей над так называемыми 7гг кольцами, то есть кольцами, всякий сюръективный гомоморфизм конечно порожденных модулей над которыми является изоморфизмом. Там же сформулировано некоторое специальное условие на кольцо, при выполнении которого всякий неразложимый артинов модуль над ним будет иметь локальное кольцо эндоморфизмов. При этом рассматриваемые артиновы модули могут иметь уже сколь угодно большую длину.

Основная теорема раздела 3 данной работы имеет аналогичный характер.

Теорема 1.1. Пусть R - кольцо с центром Zr. Обозначим через R факторколъцо R/ Rad Ii и положим Zr — (Zu + Rad R)f Rad R. Предположим, что R ~ локально конечная алгебра над Zr. Тогда для любого артинова модуля над R выполнена обобщенная лемма Фит-тинга и категория артиновых модулей над R является категорией Крулля-Шмидта.

Вопрос о справедливости теоремы Крулля-Шмидта для артиновых модулей в общем случае оставался открытым до 1994 года.

Основополагающей работой, проливающей свет на свойства прямых разложений была работа [4], в которой было показано, что кольцо эндоморфизмов артинова модуля полулокально. Этот факт имеет три важнейших следствия. Во-первых, артинов модуль обладает свойством сокращения. Во-вторых, он обладает свойством извлечения корня n-ой степени, то есть если А - артинов модуль и Ап = Вп, то А = В. В-третьих, существует лишь конечное число неизоморфных разложений артинова модуля в прямую сумму неразложимых слагаемых.

В работе А.Факкини, Д.Херберы, П.Вамоша и Л.С.Леви [5] была частично решена обратная задача: при каких условиях полулокальное кольцо реализуется как кольцо эндоморфизмов артинова модуля. Оказывается, такими являются нетеровы коммутативные полулокальные кольца и алгебры конечного типа над ними. Приведенная в этой статье конструкция была неявной и не позволяла сколько-нибудь детально изучить природу возникающих аномалий прямых разложений. Вопрос, для артиновых модулей над какими кольцами могут возникать аномалии прямых разложений, оставался нисколько не проясненным.

Из теоремы Уорфилда следует, что это кольцо должно быть нене-теровым слева и некоммутативным. Простейшее матричное кольцо, удовлетворяющее этим условиям - это кольцо

Оно хорошо известно, как пример кольца, которое нетерово справа, но ненетерово слева. Категория Д-модулей и категория абелевых групп без кручения оказываются очень близки по строению.

Следствие 1.1. Категория редуцированных артиновых Н-модулей и категория полулокальных абелевых групп канонически эквивалентны.

Соответствие между Д-модулями и абелевыми группами - простое и прозрачное. Тот факт, что оно ни разу ранее не появилось в литературе, вызывает удивление. Примеры аномалий прямых разложений абелевых групп без кручения конечного ранга, приведенныые в монографии [6], переносятся на артиновы модули в том случае, если в конструкции задействовано конечное множество простых чисел. Например, аналогом теоремы 90.1 из [б] является утверждение: для любого натурального п > 2 существует артинов Д-модуль обладающий разложениями как в прямую сумму двух, так и в прямую сумму п неразложимых слагаемых.

Если назвать рангом артинова модуля М его дуальную размерность Голди - то есть максимальное п такое, что существует подмодуль N С М, фактормодуль по которому раскладывается в прямую сумму п слагаемых - то можно будет задуматься о ранговой природе аномалий прямых разложений. Ранговые аномалии прямых разложений абелевых групп конечного ранга без кручения были полностью изучены в [7], где приведено необходимое и достаточное условие, которому должны удовлетворять ранги неразложимых слагаемых в двух разложениях в прямую сумму одной и той же группы конечного ранга. Сформулированное там достаточное условие автоматически переносится на случай артиновых модулей.

После того как выяснилось, что контрпримеры к теореме Крулля-Шмидта для артиновых модулей возникают уже в такой простой ситуации, как описанная выше, вопрос о характеризации колец, над которыми возникают аномалии, становится особенно интересным. Эта задача не была решена полностью и, мы полагаем, в принципе не может быть исчерпана. Даже вопрос о характеризации колец, над которыми существует циклический артинов модуль бесконечной длины, представляется весьма содержательным. Этому вопросу в контексте свободных колец посвящена работа [3].

Мы решили сузить формулировку и задуматься на заданную тему применительно к кольцам без кручения конечного ранга и локальным кольцам. Вопрос о справедливости теоремы Крулля-Шмидта для артиновых модулей над локальными кольцами числится под номером 7 в списке открытых задач в книге А.Факкини [9]. По нашему мнению, следствия теоремы 1.1. удовлетворительно описывают класс тех колец конечного ранга, для артиновых модулей над которыми теорема Крулля-Шмидта выполнена.

Следствие 1.2. Пусть И - кольцо, аддитивная группа которого является абелевой группой конечного ранга. Тогда теорема Крулля

Шмидта справедлива для артиновых модулей над ним в следующих случаях: 1) все простые П-модули конечны; 2) К — локальное кольцо.

Сформулированная выше теорема 1.1. была открыта при изучении артиновых модулей над локальными кольцами. В этом контексте она звучит следующим образом.

Следствие 1.3. Пусть к - поле, й - локальная к-алгебра с максимальным идеалом J, такая, что тело вычетов К = К[3 является конечномерной алгеброй над к. Тогда для произвольного артинова К-модуля М и его эндоморфизма / верна обобщенная лемма Фит-тинга.

Какого сорта, аномалии прямых разложений могут возникнуть для артиновых модулей над кольцами без кручения конечного ранга, было описайо выше. Оказалось, что абсолютно аналогичная ситуация возникает при конструировании аномалий прямых разложений для артиновых модулей над локальным кольцом, с той разницей, что роль абелевых групп без кручения начинают играть модули без кручения над кольцом многочленов к[х]. Для этого прежде всего требовалось найти пример локального кольца, не удовлетворяющего посылке теоремы 1.1. и обладающего циклическим артиновым модулем бесконечной длины. Кольцо, описываемое ниже, является локальной ^-алгеброй, поле вычетов которой есть к(х).

Пример 1.1. Пусть F = к{х), А-локализация к\х] по идеалу, порожденному х, А - локализация РЩ по идеалу, порожденному I. Рассмотрим к-алгебру Я —< Л, а >, в которой выполнены соотношения аАа = 0, а1 = 0, ta = ах. 9

Тогда существует цепной Ш-модуль длины и; +1, который обладает необратимым и не локально нильпотентным эндоморфизмом.

Придумать более простую конструкцию, которая приводила бы к ненетерову некоммутативному локальному кольцу, не удовлетворяющему посылке теоремы 1.1., по нашему мнению, затруднительно. Выяснилось, что между А-модулями конечного ранга и артиновыми й-модулями специального вида существует биективное соответствие, сохраняющее неразложимость и неизоморфность прямых слагаемых.

Примеры нарушения единственности разложения в прямую сумму для модулей конечного ранга над к[х]^ известны. Они полностью аналогичны примерам аномалий прямых разложений батлеровского типа для />локальных абелевых групп конечного ранга [13, ГлаваЗ]. Таким образом, мы даем отрицательный ответ на вопрос Факкини.

Завершающие два раздела этой работы посвящены вопросу обобщения только что изложенной конструкции. В разделе 4 приведен общий взгляд на модули конечного ранга над полулокальной областью главных идеалов и на артиновы модули над кольцом специального вида, там же описано, как задавать структуру этих модулей матрицами. С матричным заданием абелевых группы без кручения можно ознакомиться по монографии [6]. Для случая абелевых групп наш метод приводит к тому же результату, что и классический, но проливает на него свет благодаря взаимосвязи между абелевыми группами и модулями над матричным кольцом из раздела 5. Матричный способ задания группы без кручения, который мы обобщили на модули над областями главных идеалов, позволяет по-новому взглянуть на классическую теорему Корнера, обобщение которой приводится в разделе 8.

Напомним, что исходная теорема гласит, что любое редуцированное счетное кольцо без кручения реализуется как кольцо эндоморфизмов некоторой абелевой группы без кручения. Нам потребовался вариант этой теоремы для модулей без кручения над областями главных идеалов. В результате получено следующее: любая алгебра конечного типа без кручения над полулокальной областью главных идеалов может быть реализована как кольцо эндоморфизмов некоторого артинова модуля над кольцом специального вида. Причем если рассматривать кольца с точностью до факторизации по нилыю-тентным идеалам, то это кольцо специального вида можно выбрать локальным. В частном случае, если область главных идеалов есть негензелево локальное кольцо, то алгебру конечного типа над ним можно реализовать как кольцо эндоморфизмов модуля без кручения конечного ранга.