Слабо регулярные модули и их прямые суммы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
|
Абызов, Адель Наилевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Казань
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2004
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Абызов Ад ель Наилевич
СЛАБО РЕГУЛЯРНЫЕ МОДУЛИ И ИХ ПРЯМЫЕ СУММЫ
01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук
Ульяновск - 2004 г.
Работа выполнена на кафедре алгебры механико-математического факультета государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования Казанского Государственного Университета им. В.И. Ульянова-Ленина.
Научный руководитель: доктор физико-математичских наук, профессор Сахаев Исхак Идрисович .
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Туганбаев Аскар Аканович
Ведущая организация: Самарский государственный университет
Защита диссертации состоится «_/_»^с»^ г. в 1 2.-00 часов на
заседании диссертационного совета № Д 212.278.02 при Ульяновском государственном университете по адресу: г. Ульяновск, ул. Набержная р. Свияги, 40, ауд. 703.
кандидат физико-математических наук, доцент Свиридова Ирина Юрьевна
Автореферат разослан « » ^ тл ^ 2004 г.
Ученый секретарь диссертационного совета
Веревкин А.Б.
гооб-4
/379
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Кольцо R называется слабо регулярным, если каждый его правый (левый) идеал, который не содержится в радикале Джекобсона кольца R, содержит в себе ненулевой идемпотент. Класс слабо регулярных колец включает в себя ряд хорошо известных и изученных классов колец. Например, слабо регулярными кольцами являются полусовершенные кольца, регулярные кольца, полурегулярные кольца, полуартиновы кольца и кольца со свойством замены. Слабо регулярные кольца, у которых радикал Джекобсона является ниль - идеалом, под названием I - колец изучались Левицким1. I - кольца также рассматриваются в книге Джекобсона2. Слабо регулярные кольца под названием левых I - подобных колец были введены в 1965 году И.И.Сахаевым3. В частности, И.И. Сахаевым полусовершенные кольца были охарактеризованы, как слабо регулярные кольца, у которых всякое множество попарно ортогональных ненулевых идемпотентов конечно. Никольсон4 в 1975 году ввел слабо регулярные кольца под названием 1ц -колец.
Слабо регулярные модули, как модульный аналог слабо регулярного кольца, были введены в начале 90 - ых годов XX века И.И. Сахаевым. X. Хакми^ изучал проективные слабо регулярные модули и их кольца эндоморфизмов. В частности, им были описаны кольца, над которыми каждый проективный модуль имеет слабо регулярное кольцо эндоморфизмов. Также X. Хакми установил, что над слабо регулярным кольцом каждый проективный модуль является слабо регулярным.
1 Leviuki ]., On the structure of algebraic algebras and related rings II Trans. Amer Math. Soc. - 1953 - V.74. - P. 384-409.
2 Джекобсон H. Строение колец - M ■ ИЛ, 1961.
' Сахаев И И. О проективности конечно - порожденных плоских модулей // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук - Казань 1965 - 90с 4 Nickolson W К. I-rings //Trans Amer. Math Soc. - 1975. - V.207. - P. 361-373. 1 Hamza H., Irrings and b-modules // Math. J Okayama Univ. 40(1998), 91-97.
рос - бальная
ь. 3 .ГЕКА
С.- -íipóypr
гообрк
Ipuypr
Слабо регулярными модулями являются регулярные, полурегулярные и модули со свойством поднятия. В последние десятилетия специальные случаи слабо регулярных модулей рассматривались различными авторами. Ваная и Пуров6 показали, что над кольцом Я все правые модули являются модулями со свойством поднятия тогда и только тогда, когда Я является артиновым полуцепным и 12(Я)=0. Кескин и Ломп7 установили, что у полусовершенного кольца Я квадрат радикала Джекобсона равен нулю тогда и только тогда, когда над ним каждая прямая сумма локального проективного модуля и простого модуля является модулем со свойством поднятия. Свойства полурегулярных модулей подробно изучил Никольсон8. Регулярные модули изучал Зельманович9.
Введение слабо регулярных модулей позволяет развить единообразный подход ко всем модуля упомянутых выше.
Цель работы. Установление условий, при которых имеет место замкнутость слабо регулярных модулей относительно прямой суммы. Систематическое описание колец, над которыми модули являются прямыми суммами слабо регулярных модулей.
Методы исследования. В работе используются методы теории колец и модулей.
Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановок задач и математических методов их решения.
Научная новизна. В диссертации получены новые результаты: 1) В случае полусовершенных колец описаны кольца, над которыми все правые модули слабо регулярны, и кольца, над которыми слабо регулярные правые модули замкнуты относительно прямой суммы.
6 N Vanaja, V. M. Purav, Characterization of generalized uniserial rings in terms of factor rings. Comra Algebra 20 (1992), 2253-2270.
7 D Keskin, C Lomp, On lifting LE-modules. Vietnam J Math. 30 (2002), no. 2, 167—176
" Nickolson W K Semiregular modules and Rings, Canadian Journal of Mathematics, 23, p. 1105-1120
' Zelmanowit J. Regular modules // Trans. Amer. Math. Soc. - 1972. - V.163. - p 341-355
2) Установлено, что кольца, над которыми слабо регулярные правые модули замкнуты относительно прямой суммы, являются правыми кольцами Басса.
3) Для слабо регулярного кольца Я установлено, что из условия замкнутости слабо регулярных правых модулей относительно прямой суммы следует полупростота модуля .)(11)я.
4) Дана новая характеристика артиновых полуцепных колец, как колец, над которыми каждый правый и левый модуль является прямой суммой конечного числа модулей со свойством поднятия.
5) Описаны 1 - строго слабо регулярные проективные модули.
6) Получены необходимые и достаточные условия на кольца, над которыми все модули являются 1 - строго слабо регулярными.
7) В совершенном и коммутативном случае описаны кольца, над которыми все модули являются прямыми суммами конечного числа 1 - строго слабо регулярных модулей.
Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации результаты могут найти применение в исследованиях по теории колец и модулей.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих конференциях :
• V Международная конференция «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения» (г. Тула 2003 г.)
• Международная конференция «Алгебра и Анализ 2004» (г. Казань 2004г.)
Исследования проводились при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 99 -01-00469, 1999-2002). Личный вклад. Все установленные в диссертации результаты, получены автором самостоятельно.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ, их список помещен в конце автореферата.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3-х глав. Указатель литературы, представленный 92 источниками. Текст изложен на 117 страницах.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.
Введение содержит обоснование актуальности темы и краткий обзор работ, близких к теме диссертации. Здесь же определяется цель, научная новизна и дается краткое содержание глав работы.
Первая глава состоит из пяти параграфов и посвящена изучению колец, над которыми все модули слабо регулярны, и условиям замкнутости слабо регулярных модулей относительно взятия прямых сумм. В параграфе 1.1 приводятся основные соглашения, определения и факты из теории колец и модулей, которые используются в работе. Параграф 1.2 посвящен обсуждению понятия слабо регулярного модуля.
Определение. Правый Л - модуль М называется слабо регулярным, если каждый его подмодуль, который не содержится в радикале Джекобсона модуля М, содержит в себе ненулевое прямое слагаемое модуля М. Рассматриваются случаи, когда слабо регулярные модули, замкнуты относительно взятия прямой суммы.
Теорема 1.2.14. Модуль, который является прямой суммой слабо регулярных проективных модулей, является слабо регулярным проективным модулем. В конце параграфа приводится пример, показывающий, что слабо регулярные модули, вообще говоря, не замкнуты относительно взятия прямой суммы.
Параграф 1.3 посвящен изучению колец, над которыми каждый модуль является слабо регулярным. В следующей теореме устанавливаются некоторые свойства таких колец.
Теорема 1.3.5. Если над кольцом II каждый правый модуль слабо регулярен, то имеют место следующие свойства:
1) ;2(Ю=0;
2) для каждого правого Я - модуля М имеет место равенство 1(1(М))=0;
3) каждый правый Я - модуль, радикал Джекобсона которого не равен нулю, содержит в себе ненулевой инъективный подмодуль;
4) каждый правый неразложимый модуль над кольцом II является либо простым, либо цепным длины два.
Применяя предыдущую теорему к случаю полусовершенного кольца, мы получаем следующий результат.
Теорема 1.3.7. Для полусовершенного кольца Я следующие условия равносильны:
1) над кольцом И. все правые модули слабо регулярны;
2) над кольцом Я все левые модули слабо регулярны;
3) кольцо Я является артиновым полу цепным, квадрат радикала которого равен нулю;
4) над кольцом Я каждый модуль является либо полупростым, либо содержит в себе ненулевой инъективный подмодуль;
5) каждый правый Я - модуль, радикал Джекобсона которого не равен нулю, содержит в себе ненулевой инъективный подмодуль.
В конце параграфа приводится пример неполусовершенного кольца, над которым каждый модуль является слабо регулярным. Также приводится пример кольца показывающий, что из слабо регулярности всех правых модулей, вообще говоря, не следует слабая регулярность всех левых модулей.
Параграф 1.4 посвящен изучению колец, над которыми слабо регулярные
модули замкнуты относительно взятия прямой суммы. Сначала
устанавливаются утверждения общего характера.
Теорема 1.4.3. Для кольца Я следующие условия равносильны:
1) Я - слабо регулярное кольцо и .1(Я) является полупростым правым Я -
модулем;
2) над кольцом Я каждый правый модуль представимый в виде прямой суммы проективного модуля и полупростого модуля, является слабо регулярным;
3) над кольцом К каждый правый модуль представимый в виде прямой суммы проективного модуля и простого модуля, является слабо регулярным. Следствие 1.4.4. Если над слабо регулярным кольцом Я правые слабо регулярные модули замкнуты относительно взятия прямой суммы, то .1(11) является полупростым правым Я - модулем.
Напомним, что кольцо называется правым кольцом Басса, если над ним каждый ненулевой правый модуль имеет максимальный подмодуль. Теорема 1.4.6. Если над кольцом Я каждый правый модуль, представимый в виде прямой суммы слабо регулярного модуля и простого модуля, является слабо регулярным модулем, то оно является правым кольцом Басса. Далее результаты, полученные в начале параграфа, применяются к случаю полусовершенного кольца.
Теорема 1.4.8. Пусть Я - полусовершенное кольцо. Тогда следующие условия равносильны:
1) ]2 (Я)=0;
2) над кольцом Я каждый правый модуль представимый в виде прямой суммы слабо регулярного и полупростого модуля, является слабо регулярным;
3) над кольцом Я каждый правый модуль, представимый в виде прямой суммы локального и полупростого модуля, является слабо регулярным;
4) над кольцом Я каждый правый модуль, представимый в виде прямой суммы локального и простого модуля, является слабо регулярным;
5) над кольцом Я каждый правый модуль, представимый в виде прямой суммы локального проективного и простого модуля, является слабо регулярным;
6) над кольцом Я каждый правый модуль, представимый в виде прямой суммы проективного и полупростого модуля, является слабо регулярным;
7) над кольцом И. каждый правый модуль, представимый в виде прямой суммы проективного и простого модуля, является слабо регулярным. Следствие 1.4.9. Пусть Я - полусовершенное кольцо. Тогда следующие условия равносильны:
1) Я - является либо полупростым, либо локальным, у которого I2 (Я)=0;
2) над кольцом Я каждый правый модуль, представимый в виде прямой суммы слабо регулярного и полупростого модуля, является 1- строго слабо регулярным.
Теорема 1.4.12. Для полусовершенного кольца Я следующие условия равносильны:
1) кольцо Я является полуцепным справа, у которого З2 (Я)=0;
2) над кольцом К прямая сумма двух правых локальных модулей является модулем со свойством поднятия;
3) над кольцом II прямая сумма двух правых локальных модулей является слабо регулярным модулем;
4) прямая сумма двух правых слабо регулярных модулей является слабо регулярным модулем.
Следствие 1.4.13. Пусть И - полусовершенное кольцо. Тогда следующие условия равносильны:
1) Я является артиновым полуцепным, у которого З2 (Ы)=0;
2) свойство слабо регулярности для модулей замкнуто относительно прямых сумм для правых и левых модулей;
3) свойство слабо регулярности для модулей замкнуто относительно прямых сумм для правых и левых локальных модулей;
4) над кольцом Я все правые модули слабо регулярны.
Следствие 1.4.14. Пусть Я - полусовершенное кольцо. Тогда следующие условия равносильны:
1) Я является либо полупростым, либо цепным справа, у которого З2 (Я)=0;
2) над кольцом Я прямая сумма двух правых 1-строго слабо регулярных модулей является 1-строго слабо регулярным модулем.
Коммутативные кольца Басса в свое время были описаны в работах К.Фейса10, P.M. Хамшера" и JI.A. Койфмана12. Используя результаты, полученные в этом параграфе, и описание коммутативных колец Басса, получаем следующие результаты.
Теорема 1.4.20. Для коммутативного кольца R следующие условия равносильны:
1) R/J(R) является регулярным кольцом и J(R) - полупростой R - модуль;
2) над кольцом R прямая сумма слабо регулярного модуля и полупростого модуля является слабо регулярным модулем.
Теорема 1.4.21. Для коммутативного кольца R следующие условия равносильны:
1 ) R является регулярным кольцом;
2) J(R)=0 и над кольцом R слабо регулярные модули замкнуты относительно прямой суммы.
Параграф 1.5 посвящен описанию коммутативных колец, над которыми каждый модуль является слабо регулярным. Основной здесь является следующая теорема.
Теорема 1.5.6. Для коммутативного кольца R следующие условия равносильны-
1 ) над кольцом R все модули слабо регулярны;
2) над кольцом R каждый модуль является либо полупростым, либо содержит в себе ненулевой инъективный подмодуль;
3) R/J(R) - полуартиново, J(R) является полупростым модулем конечной длины и для любого идеала S кольца R, который является дополнением по пересечению для J(R) в R, кольцо R/S является прямым произведение конечного числа цепных колец длины не больше двух.
"' С Faith, Locally perfect commutative rings are these whose modules have msxnaa! submodules, Comm Algebia 23 (1995), 4885 - 4886.
"RM Hamsher, Commutative rings over which every module has a maximal submodule, Proc Amer Math Soc 18 (1967), 1133 - 1137.
15 Койфман Л Л Кольца, над которыми каждый модуль имеет максимальный подмодуль // Матем Замегки 1970 Г 7 №3. С.232-238.
Вторая глава состоит из двух параграфов и посвящена изучению колец; над которыми каждый модуль является прямой суммой конечного число слабо регулярных модулей. В параграфе 2.1 рассматриваются совершенные кольца, над которыми каждый модуль является прямой суммой конечного числа слабо регулярных модулей.
Теорема 2.1.16. Пусть Я - совершенное справа кольцо и п-некоторое натуральное число. Тогда следующие условия равносильны:
1) кольцо Я - является артиновым полуцепным и степень нильпотентности радикала Джекобсона кольца Я равна либо 2п, либо 2п-1;
2) каждый модуль над кольцом Я является прямой суммой п слабо регулярных модулей и найдется модуль над этим кольцом, который не является прямой суммой п-1 слабо регулярных модулей.
Теорема 2.1.17. Пусть К - совершенное справа кольцо и п - некоторое натуральное число. Тогда следующие условия равносильны:
1) кольцо II является артиновым полуцепным и степень нильпотентности его радикала Джекобсона равна либо 2п, либо 2п+1;
2) над кольцом К всякий модуль является прямой суммой проективного модуля и п слабо регулярных модулей, причем над кольцом Я найдется правый модуль, который не представим в виде прямой суммы проективного и п-1 слабо регулярных модулей;
3) над кольцом Я всякий правый и левый модуль является прямой суммой полупростого модуля и п слабо регулярных модулей, причем над кольцом И найдется правый модуль, который не представим в виде прямой суммы полупростого и п-1 слабо регулярных модулей.
В конце параграфа приводится пример артинова кольца, над которым правые модули являются конечными прямыми суммами слабо регулярных модулей, а левые - нет.
Параграф 2.2 посвящен изучению колец, над которыми правые и левые модули являю 1ся прямыми суммами конечного числа модулей со свойством поднятия. Основными здесь являются следующие теоремы.
Теорема 2.2.4. Для кольца R следующие условия равносильны:
1) кольцо R - является артиновым полуцепным;
2) найдется такое целое число N, что каждый правый и левый R - модуль является прямой суммой N модулей со свойством подъема;
3) каждый правый и левый R - модуль является прямой суммой конечного числа модулей со свойством подъема.
Теорема 2.2.6. Для кольца R следующие условия равносильны:
1) кольцо R - является артиновым полуцепным и степень нильпотентности радикала Джекобсона кольца R равна либо 2а, либо 2n-1;
2) каждый модуль над кольцом R является прямой суммой п модулей со свойством подъема и найдется модуль над этим кольцом, который не является прямой суммой п-1 модулей со свойством подъема.
Теорема 2.2.7. Для кольца R следующие условия равносильны:
1) кольцо R является артиновым полуцепным и степень нильпотентности его радикала Джекобсона равна либо 2п, либо 2п+1;
2) над кольцом R всякий правый и левый модуль является прямой суммой полупростого модуля и п модулей со свойством подъема, причем над кольцом R найдется правый модуль, который не представим в виде прямой суммы полупростого и n-1 модулей со свойством подъема.
Отметим, что теоремы 2 2.7 и 2.2.6 позволяют описывать артиновы полуцепные кольца с точностью до степени нильпотентности радикала Джекобсона.
В конце параграфа приводится пример кольца, над которым правые модули являются конечными прямыми суммами модулей со свойством поднятия, а левые - нет.
Результаты этого параграфа уточняют и развивают ряд утверждений, полученных в работе Кескина и Смита13.
" Keskin D , Smith F , Xue W Rings Whose Modules Are © - Supplemented // Journal of Algebra 218, 470-487(1999).
Третья глава состоит из трех параграфов и посвящена изучению 1 - слабо регулярных модулей, и колец, над которыми каждый модуль является прямой суммой конечного числа 1- строго слабо регулярных модулей. Параграф 3.1 посвящен изучению проективных 1- строго слабо регулярных модулей.
Определение. Правый Я - модуль М называется 1- строго слабо регулярным, если каждый его циклический подмодуль, который не лежит в радикале Джекобсона модуля М, является прямым слагаемым в М. Следующие две теоремы описывают 1 - строго слабо регулярные проективные модули.
Теорема 3.1.1. Циклический проективный модуль хЯ является 1-строго слабо регулярным тогда и только тогда, когда он удовлетворяет одному и I следующих условий:
1) модуль хЯ является регулярным;
2) модуль хЯ является локальным;
3) модуль хЯ изоморфен циклическому модулю вида е,ЯФе2Я
где еь е2 - некоторые локальные попарно ортогональные идемпотенты кольца Я. Причем ДеД) - полупростой модуль, .1(е2Я)=0,
е,Ле,1 -еге2)-е11( 1 -е|-е2)=0 и каждый простой подмодуль модуля .)(е|Я) изоморфен е2Я;
4) модуль хЯ изоморфен циклическому модулю вида е,ЯФе2Я
где е1, е2 - некоторые локальные попарно ортогональные идемпотенты кольца Я. Причем Яе^) и 1(е2Я) полупростые модули, 1(е,Я)^0, Ле2Я)*0, е|Я-1 =е2^2=е2Я( 1 -е!-е2)=е,Я( 1 -еI-е2)^0 и каждый простой подмодуль 1(е)Я) изоморфен е2ЯЛ(е2Я), а каждый простой подмодуль .((е2Я) изоморфен е,ЯЛ(е,Я).
Теорема 3.1.2. Проективный модуль Р над кольцом R является 1-строго
слабо регулярным тогда и только тогда, когда он удовлетворяет одному из следующих условий: 1 ) Р является регулярным;,
2) Р является циклическим 1 - строго слабо регулярным;
3) Р изоморфен модулю вида где для некоторого идемпотента е
аеЛ
кольца R все модули eaR (a б А) изоморфны модулю eR, eR(l-e)=0 и eR является локальным модулем;
4) Р изоморфен модулю вида eR ф£феаЛ, где для некоторых
ut. л
взаимоортогональных идемпотентов е, и е2 модуль eR изоморфен локальному непростому модулю eiR, для каждого aeA модуль e„R изоморфен простому модулю e2R. Причем e2R(l-e2)=0, e|Jei=0 и eiJ(l-er е2)=0.
Далее, полученные результаты, применяются для описания 1 - строго слабо регулярных колец. Отметим, что 1- сторого слабо регулярные кольца под названием NJ - колец также описал Никольсон'4. Никольсон определял NJ -кольца, как кольца, у которых каждый элемент является либо регулярным, либо квазирегулярным.
Параграф 3.2 посвящен изучению колец, над которыми каждый правый модуль является 1 - строго слабо регулярным. Основной здесь является следующая теорема.
Теорема 3.2.3. Для кольца R следующие условия равносильны
1) над кольцом R все правые модули 1 - строго слабо регулярны;
2) кольцо R является либо полупростым, либо локальным цепным и J2(R) =0. Следствие 3.2.5. Над полусовершенным кольцом R следующие условия равносильны:
14 Nickolson W.K Rings whose elements are quasi-regular or regular // Trans Amer Math. Soc - V 9. -1973.-p. 64—70
1) кольцо Я является либо полупростым, либо артиновым цепным, у которого 52 (Я)=0;
2) над кольцом Я 1 - строго слабо регулярные модули (правые и левые) замкнуты относительно взятия прямой суммы;
3) над кольцом Я все правые модули 1- строго слабо регулярны.
В параграфе 3.3 рассматриваются кольца, над которыми модули являются прямыми суммами 1 - строго слабо регулярных модулей. Основными здесь являются следующие теоремы.
Теорема 3.3.6. Следующие условия для кольца Л равносильны:
1) Я является совершенным справа (слева) и найдется такое целое число N. что каждый правый Я - модуль является прямой суммой N 1 - строго слабо регулярных модулей;
2) Я является совершенным справа (слева) и каждый правый К - модуль является прямой суммой конечного числа 1 - строго слабо регулярных модулей;
3) кольцо Я - является прямым произведением полупростого кольца и конечного числа артиновых цепных колец.
Теорема 3.3.9. Для коммутативного кольца Я следующие условия равносильны:
1) кольцо Я является полусовершенным и над ним каждый модуль является прямой суммой конечного числа слабо регулярных модулей;
2) кольцо Я изоморфно прямому произведению конечного числа артиновых цепных колец;
3) над кольцом И. каждый модуль является прямой суммой конечного числа 1 - строго слабо регулярных модулей.
Выводы:
1. Результаты, полученные в работе, показывают, что кольца, над которыми правые слабо регулярные модули замкнуты относительно прямых сумм, являются правыми кольцами Басса и в случаи слабо
регулярных колец их радикал Джекобсона является суммой минимальных правых идеалов. В частности, если над кольцом R каждый правый модуль является слабо регулярным, то J(R)r -полупростой модуль.
2. В случаи полусовершенного кольца R было установлено, что равенство J3(R)=0 равносильно слабо регулярности каждого правого R - модуля, который является прямой суммой слабо регулярного модуля и полупростого модуля. В классе полусовершенных колец класс иолуцепных справа колец, у которых квадрат радикала равен нулю, совпадает с классом колец, над которыми правые слабо регулярные модули замкнуты относительно прямой суммы. Также было усыновлено, что для полусовершенного кольца R условие слабо регулярности всех правых R - модулей равносильно условию замкнутости правых и левых слабо регулярных модулей относительно прямой суммы.
3. Для коммутативного кольца R было установлено, что условие слабо регулярности каждого R - модуля, который является прямой суммой слабо регулярного модуля и полупростого модуля, равносильно регулярности факторкольца R/J(R) и полупростоте R - модуля J(R). Коммутативные регулярные кольца были охарактеризованы, как коммутативные кольца с нулевым радикалом Джекобсона, над которыми слабо регулярные модули замкнуты относительно прямых сумм Также было установлено, что над коммутативным кольцом R каждый модуль является слабо регулярным тогда и только тогда, когда R - является полуартиновым кольцом, J(R) - прямая сумма конечного числа минимальных идеалов и для каждого идеала М, который является максимальным со свойством MnJ(R)=0, факюркольцо R/M является прямым произведением конечного числа цепных колец длины не больше двух.
4 Артиновы полуцепные кольца были охарактеризованы как совершенные справа (слева) кольца, над которыми каждый модуль является прямой суммой конечного числа слабо регулярных модулей. 5. Кольца, которые являются прямым произведением полупростого кольца и артиновых цепных, были охарактеризованы как совершенные справа (слева) кольца, над которыми каждый правый модуль является прямой суммой конечного числа 1 - строго слабо регулярных модулей. Для коммутативного кольца Я было установлено, что оно является прямым произведением конечного числа цепных артиновых колец тогда и только тогда, когда каждый И - модуль является прямой суммой конечного числа 1- строго слабо регулярных модулей.
Автор приносит глубокую благодарность своему научному руководителю
профессору И.И. Сахаеву за постановку задачи и постоянное внимание к
работе.
Основное содержание данной работы опубликовано в следующих
работах:
1. Абызов А.Н. Замкнутость слабо регулярных модулей относительно прямых сумм // Изв. Вузов. Математика. - 2003 - №9 (496) - стр. - 3-5.
2. Абызов А.Н. 1- строго слабо регулярные кольца и модули // Изв. Вузов. Математика. -2003,- №7 (494) . - стр. -3-7.
3. Абызов А.Н. Слабо регулярные модули. // Изв. Вузов. Математика. -2004.- №3 (502). - стр. - 3-6.
4. Абызов А.Н. Слабо регулярные модули над полусовершенными кольцами.// Чебышевский сборник. - 2003. - том 4 выпуск 1. - 4-9.
5. Абызов А.Н. Прямые суммы слабо регулярных модулей. // Тезисы докладов V Международной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», Тула, 2003 г. стр. 4-5.
Абызов А.Н. Слабо регулярные модули и их прямые суммы. // Тезисы докладов Международной конференции «Алгебра и Анализ 2004» г. Казань, 2004г. стр. 43.
Лицензия на полиграфическую деятельное гь №0128 от 08 06 98г выдана Министерством информации и печати Республики Татарстан Подписано в печать 15.10 2004 г. Форм. бум. 60x84 1/16. Печ л.1 Тираж 100 Заказ 221
Минитипография института проблем информатики АН РТ 420012, Казань, ул.Чехова, 36
РНБ Русский фонд
2006-4 1379
Введение.
Глава I. Слабо регулярные кольца и модули.
§ 1.1. Предварительные сведения.
§ 1.2. Слабо регулярные модули
§ 1.3. Слабая регулярность категории модулей.
§ 1.4. Замкнутость слабо регулярных модулей относительно прямых сумм.
§ 1.5. Слабо регулярные модули над коммутативными кольцами.
Глава И. Прямые суммы слабо регулярных модулей.
§ 2.1. Прямые суммы слабо регулярных модулей над совершенными кольцами.
§ 2.2. Прямые суммы модулей со свойством поднятия.
Глава III. Прямые суммы 1 - строго слабо регулярных модулей.
§ 3.1. Проективные 1-строго слабо регулярные модули.
§ 3.2. 1-строго слабо регулярные модули.
§ 3.3. Прямые суммы 1 - строго слабо регулярных модулей.
Предмет исследования и актуальность темы. Кольцо R называется слабо регулярным, если каждый его правый (левый) идеал, который не содержится в радикале Джекобсона кольца R, содержит в себе ненулевой идемпотент. Класс слабо регулярных колец включает в себя ряд хорошо известных и изученных классов колец. Например, слабо регулярными кольцами являются полусовершенные кольца, регулярные кольца, полурегулярные кольца, полуартиновы кольца и кольца со свойством замены. Слабо регулярные кольца, у которых радикал Джекобсона является ниль — идеалом, под названием I — колец изучались Левицким в работе [66]. I — кольца также рассматриваются в книге Джекобсона [4]. Слабо регулярные кольца под названием лево - I — подобных колец были введены в 1965 году И.И. Сахаевым в работе [15]. В частности, И.И. Сахаевым полусовершенные кольца были охарактеризованы, как слабо регулярные кольца, у которых всякое множество попарно ортогональных ненулевых идемпотентов конечно. Никольсон в 1975 году в работе [69] ввел и изучил слабо регулярные кольца под названием 1о - колец.
Понятие слабо регулярного модуля, как модульного аналога понятия слабо регулярного кольца, было введено в начале 90 — ых годов XX века И.И. Сахаевым. X. Хакми изучал проективные слабо регулярные модули и их кольца эндоморфизмов. В частности, им были описаны кольца, над которыми каждый проективный модуль имеет слабое регулярное кольцо эндоморфизмов. Также X. Хакми установил, что над слабо регулярным кольцом каждый проективный модуль является слабо регулярным. В последние десятилетия специальные случаи слабо регулярных модулей рассматривались различными авторами. Слабо регулярными модулями являются регулярные модули, полурегулярные модули и модули со свойством поднятия. Модули со свойством поднятия изучали Визбаур [74], Оширо [72]-[74], Кескин [63]-[64], Ломп [63], Ваная и Пуров [84]. В частности, в работе [84] было установлено, что над кольцом R все правые модули являются модулями со свойством поднятия тогда и только тогда, когда R является артиновым полуцепным и J2(R)=0. В работе [63] Кескин и Ломп установили, что у полусовершенного кольца R квадрат радикала Джекобсона равен нулю тогда и только тогда, когда над ним каждая прямая сумма локального проективного модуля и простого модуля является модулем со свойством поднятия. Свойства полурегулярных модулей подробно изучил Никольсон в работе [69]. Регулярные модули изучал Зельманович в работе [86].
Введение и изучение слабо регулярных модулей позволяет развить единообразный подход ко всем модулям упомянутых выше.
Цель работы: установление условий, при которых имеет место замкнутость слабо регулярных модулей относительно прямой суммы. Систематическое описание колец, над которыми модули являются прямыми суммами слабо регулярных модулей.
Основные результаты работы.
1. В случае полусовершенных колец описаны кольца, над которыми все правые модули слабо регулярны, и кольца, над которыми правые слабо регулярные модули замкнуты относительно прямой суммы.
2. Установлено, что кольца, над которыми слабо регулярные правые модули замкнуты относительно прямой суммы, являются правыми кольцами Басса.
3. Для слабо регулярного кольца R установлено, что из условия замкнутости слабо регулярных правых R - модулей относительно прямой суммы следует полупростота правого R - модуля J(R)r.
4. Дана новая характеристика артиновых полуцепных колец, как колец, над которыми каждый правый и левый модуль является прямой суммой конечного числа модулей со свойством поднятия.
5. Описаны 1 - строго слабо регулярные проективные модули.
6. Получены необходимые и достаточные условия для колец, над которыми все модули являются 1- строго слабо регулярными.
7. В совершенном и коммутативном случае описаны кольца, над которыми все модули являются прямыми суммами 1 - строго слабо регулярных модулей.
Краткое содержание диссертации.
Первая глава диссертации посвящена изучению свойств колец, над которыми все модули слабо регулярны, и условиям замкнутости слабо регулярных модулей относительно прямых сумм. В случае полусовершенных колец описаны кольца, над которыми все правые модули слабо регулярны, и кольца, над которыми правые слабо регулярные модули замкнуты относительно прямой суммы. Было установлено, что если над кольцом R правые слабо регулярные модули замкнуты относительно прямой суммы, то оно является правым кольцом Басса. В случае, когда кольцо R является слабо регулярным, показано, что условие замкнутости правых слабо регулярных модулей относительно прямой суммы влечет полупростоту правого R -модуля J(R)r. В коммутативном случае описаны кольца, над которыми каждый модуль является слабо регулярным.
Вторая глава посвящена изучению колец, над которыми каждый модуль является прямой суммой конечного число слабо регулярных модулей. Получена новая характеристика артиновых полуцепных колец, как совершенных справа колец, над которыми каждый правый и левый модуль является прямой суммой конечного числа слабо регулярных модулей. С помощью этого результата доказывается, что кольцо R является артиновым полуцепным тогда и только тогда, когда над ним каждый правый и левый модуль является прямой суммой конечного числа модулей со свойством поднятия. Приводится также пример кольца, над которым правые модули являются прямыми суммами конечного числа слабо регулярных модулей, а левые - нет.
Третья глава посвящена изучению колец, над которыми каждый модуль является прямой суммой конечного числа 1- строго слабо регулярных модулей. Описаны проективные 1 - строго слабо регулярные модули.
Показано, что над кольцом R всякий правый модуль является 1 - строго слабо регулярным тогда и только тогда, когда оно либо классически л полупросто, либо является цепным, у которого J (R)=0. В ряде случаев описаны кольца, над которыми каждый модуль является прямой суммой 1 -строго слабо регулярных модулей.
Теперь перейдем к изложению работы с точными формулировками полученных результатов.
Первая глава состоит из пяти параграфов. В параграфе 1.1 приводятся основные соглашения, определения и факты из теории колец и модулей, которые используются в работе. Параграф 1.2 посвящен определению слабо регулярного модуля.
Определение 1.2.1. Правый R - модуль М называется слабо регулярным, если каждый его подмодуль, который не содержится в радикале Джекобсона модуля М, содержит в себе ненулевое прямое слагаемое модуля М. Рассматриваются случаи, когда слабо регулярные модули замкнуты относительно взятия прямых сумм.
Теорема 1.2.14. Модуль, который является прямой суммой слабо регулярных проективных модулей, является слабо регулярным проективным модулем. В конце параграфа приводится пример, показывающий, что слабо регулярные модули, вообще говоря, не замкнуты относительно прямой суммы.
Параграф 1.3 посвящен изучению колец, над которыми каждый модуль является слабо регулярным. В следующей теореме устанавливаются некоторые свойства таких колец.
Теорема 1.3.5. Если над кольцом R каждый правый модуль слабо регулярен, то имеют место следующие свойства:
1) J2(R)=0;
2) для каждого правого R - модуля имеет место равенство J(J(M))=0;
3) каждый правый R - модуль, радикал Джекобсона которого не равен нулю, содержит в себе ненулевой инъективный подмодуль;
4) каждый правый неразложимый модуль над кольцом R является либо простым, либо цепным длины два.
Применяя предыдущую теорему к случаю полусовершенного кольца, мы получаем следующий результат.
Теорема 1.3.7. Для полусовершенного кольца R следующие условия равносильны:
1) над кольцом R все правые модули слабо регулярны;
2) над кольцом R все левые модули слабо регулярны;
3) кольцо R является артиновым полуцепным, квадрат радикала которого равен нулю;
4) над кольцом R каждый модуль является либо полупростым, либо содержит в себе ненулевой инъективный подмодуль;
5) каждый правый R - модуль, радикал Джекобсона которого не равен нулю, содержит в себе не нулевой инъективный подмодуль.
В конце параграфа приводится пример неполусовершенного кольца, над которым каждый модуль является слабо регулярным. Также приводится пример кольца показывающий, что из слабо регулярности всех правых модулей, вообще говоря, не следует слабая регулярность всех левых модулей.
Параграф 1.4 посвящен изучению колец, над которыми слабо регулярные модули замкнуты относительно прямой суммы. Сначала устанавливаются утверждения общего характера.
Теорема 1.4.3. Для кольца R следующие условия равносильны:
1) R - слабо регулярное кольцо и J(R) является полупростым правым R -модулем;
2) над кольцом R каждый правый R-модуль представимый в виде прямой суммы проективного модуля и полупростого модуля является слабо регулярным;
3) над кольцом R каждый правый R-модуль представимый в виде прямой суммы проективного модуля и простого модуля является слабо регулярным.
Следствие 1.4.4. Если над слабо регулярным кольцом R правые слабо регулярные модули замкнуты относительно взятия прямой суммы, то J(R) является полупростым правым R - модулем.
Теорема 1.4.6. Если над кольцом R прямая сумма слабо регулярного модуля и простого модуля является слабо регулярным модулем, то оно является правым кольцом Басса.
Далее результаты, полученные в начале параграфа, применяются к случаю полусовершенного кольца.
Теорема 1.4.8. Пусть R - полусовершенное кольцо. Тогда следующие условия равносильны:
1) J2 (R)=0;
2) над кольцом R каждый правый R-модуль представимый в виде прямой суммы слабо регулярного и полупростого модуля, является слабо регулярным;
3) над кольцом R каждый правый R-модуль, представимый в виде прямой суммы локального и полупростого модуля, является слабо регулярным;
4) над кольцом R каждый правый R-модуль, представимый в виде прямой суммы локального и простого модуля, является слабо регулярным;
5) над кольцом R каждый правый R-модуль, представимый в виде прямой суммы локального проективного и простого модуля, является слабо регулярным;
6) над кольцом R каждый правый R-модуль, представимый в виде прямой суммы проективного и полупростого модуля, является слабо регулярным.
7) над кольцом R каждый правый R-модуль, представимый в виде прямой суммы проективного и простого модуля, является слабо регулярным. Следствие 1.4.9. Пусть R - полусовершенное кольцо. Тогда следующие условия равносильны:
1) R - является либо полупростым, либо локальным, у которого J (R)=0;
2) над кольцом R каждый правый R-модуль, представимый в виде прямой суммы слабо регулярного и полупростого модуля, является 1- строго слабо регулярным.
Теорема 1.4.12. Для полусовершенного кольца R следующие условия равносильны:
1) кольцо R является полуцепным справа, у которого J2 (R)=0;
2) над кольцом R прямая сумма двух правых локальных модулей является модулем со свойством поднятия;
3) над кольцом R прямая сумма двух правых локальных модулей является слабо регулярным модулем;
4) прямая сумма двух правых слабо регулярных модулей является слабо регулярным модулем.
Следствие 1.4.13. Пусть R - полусовершенное кольцо. Тогда следующие условия равносильны:
1) R является артиновым полуцепным, у которого J (R)=0;
2) свойство слабо регулярности для модулей замкнуто относительно взятия прямых сумм для правых и левых модулей;
3) свойство слабо регулярности для модулей замкнуто относительно взятия прямых сумм для правых и левых локальных модулей;
4) над кольцом R все правые модули слабо регулярны.
Следствие 1.4.14. Пусть R - полу совершенное кольцо. Тогда следующие условия равносильны: л
1) R является либо полупростым, либо цепным справа, у которого J (R)=0;
2) над кольцом R прямая сумма двух правых 1-строго слабо регулярных модулей является 1-строго слабо регулярным модулем.
Теорема 1.4.20. Для коммутативного кольца R следующие условия равносильны:
1) R/J(R) является регулярным кольцом и J(R) - полупростой R - модуль;
2) над кольцом R прямая сумма слабо регулярного модуля и полупростого является слабо регулярным модулем;
Теорема 1.4.21. Для коммутативного кольца R следующие условия равносильны:
1) R является регулярным кольцом;
2) J(R)=0 и над кольцом R слабо регулярные модули замкнуты относительно взятия прямой суммы.
Параграф 1.5 посвящен описанию коммутативных колец, над которыми каждый модуль является слабо регулярным. Основной здесь является следующая теорема.
Теорема 1.5.6. Для коммутативного кольца R следующие условия равносильны:
1) над кольцом R все модули слабо регулярны;
2) над кольцом R каждый модуль является либо полупростым, либо содержит в себе ненулевой инъективный подмодуль;
3) R/J(R) - полуартиново, J(R) является полупростым модулем конечной длины и для любого идеала S кольца R, который является дополнением по пересечению для J(R), кольцо R/S является прямым произведение конечного числа цепных колец длины не больше двух.
Вторая глава состоит из двух параграфов. В параграфе 2.1 рассматриваются совершенные кольца, над которыми каждый модуль является прямой суммой конечного числа слабо регулярных модулей. Теорема 2.1.14. Следующие условия равносильны:
1) кольцо R - является артиновым полуцепным;
2) R является совершенным справа и найдется такое целое число N, что каждый правый и левый R — модуль является прямой суммой N слабо регулярных модулей;
3) R - совершенное справа кольцо, над которым каждый правый и левый модуль является прямой суммой конечного числа слабо регулярных модулей;
4) R - совершенное справа кольцо, над которым каждый правый и левый конечно порожденный модуль является прямой суммой конечного числа слабо регулярных модулей.
Теорема 2.1.16. Пусть R - совершенное справа кольцо и п-некоторое натуральное число. Тогда следующие условия равносильны:
1) кольцо R - является артиновым полуцепным и степень нильпотентности радикала кольца R равна либо 2п, либо 2п-1;
2) каждый модуль над кольцом R является прямой суммой п слабо регулярных модулей и найдется модуль над этим кольцом, который не является прямой суммой п-1 слабо регулярных модулей.
Теорема 2.1.17. Пусть R - совершенное справа кольцо и п - некоторое натуральное число. Тогда следующие условия равносильны:
1) кольцо R является артиновым полуцепным и степень нильпотентности его радикала к равна либо 2п, либо 2п+1;
2) над кольцом R всякий модуль является прямой суммой проективного модуля и п слабо регулярных модулей, причем над кольцом R найдется правый R-модуль, который не представим в виде прямой суммы проективного и п-1 слабо регулярных модулей.
3) над кольцом R всякий правый и левый модуль является прямой суммой полупростого модуля и п слабо регулярных модулей, причем над кольцом R найдется правый R-модуль, который не представим в виде прямой суммы полупростого и п-1 слабо регулярных модулей;
В конце параграфа приводится пример кольца, над которым правые модули являются конечными прямыми суммами слабо регулярных модулей, а левые - нет.
Параграф 2.2 посвящен изучению колец, над которыми правые и левые модули являются прямыми суммами конечного числа модулей со свойством поднятия. Основными здесь являются следующие теоремы. Теорема 2.2.4. Для кольца R следующие условия равносильны:
1) кольцо R - является артиновым полуцепным;
2) найдется такое целое число N, что каждый правый и левый R - модуль является прямой суммой N модулей со свойством подъема;
3) каждый правый и левый модуль является прямой суммой конечного числа модулей со свойством подъема.
Теорема 2.2.6. Для кольца R следующие условия равносильны:
1) кольцо R - является артиновым полуцепным и степень нильпотентности радикала кольца R равна либо 2п, либо 2п-1;
2) каждый модуль над кольцом R является прямой суммой п модулей со свойством подъема и найдется модуль над этим кольцом, который не является прямой суммой п-1 модулей со свойством подъема.
Теорема 2.2.7. Для кольца R следующие условия равносильны:
1) Кольцо R является артиновым полуцепным и степень нильпотентности его радикала к равна либо 2п, либо 2п+1;
2) Над кольцом R всякий правый и левый модуль является прямой суммой полупростого модуля и п модулей со свойством подъема; над кольцом R найдется правый R-модуль, который не представим в виде прямой суммы полупростого и п-1 модулей со свойством подъема.
Отметим, что теоремы 2.2.7 и 2.2.6 позволяют описывать артиновы полуцепные кольца с точностью до степени нильпотентности радикала Джекобсона.
В конце параграфа приводится пример кольца, над которым правые модули являются конечными прямыми суммами модулей со свойством поднятия, а левые - нет.
Результаты этого параграфа уточняют и развивают ряд утверждений, полученных в работах [64] и [84].
Третья глава состоит из трех параграфов. Параграф 3.1 посвящен изучению проективных 1- строго слабо регулярных модулей. Следующие две теоремы описывают 1 - строго слабо регулярные проективные модули.
Теорема 3.1.1. Циклический проективный модуль xR является 1-строго слабо регулярным тогда и только тогда, когда он удовлетворяет одному из следующих условий:
1) модуль xR является регулярным;
2) модуль xR является локальным;
3) модуль xR изоморфен циклическому модулю вида eiR©e2R где еь е2 - некоторые примитивные взаимоортогональные идемпотенты кольца R. Причем J(eiR) - полупростой модуль, J(eiR)^0, J(e2R)=0, eiJei=e2R(l-ei-e2)=eiJ(l-ei-e2)=0 и каждый простой подмодуль модуля J(eiR) изоморфен e2R;
4) модуль xR изоморфен циклическому модулю вида eiR0e2R где ei, е2 - некоторые примитивные взаимоортогональные идемпотенты кольца R. Причем J(eiR) и J(e2R) полупростые модули, J(eiR)^0, J(e2R)^0, eiJei=e2Je2=e2R(l-ei-e2)=eiR(l-ei-e2)=0 и каждый простой подмодуль J(eiR) изоморфен e2R/J(e2R), а каждый простой подмодуль J(e2R) изоморфен eiR/J(eiR).
Теорема 3.1.2. Проективный модуль Р над кольцом R является 1-строго слабо регулярным тогда и только тогда, когда он удовлетворяет одному из следующих условий:
1) Р является регулярным;
2) Р является циклическим 1 — строго слабо регулярным;
3) Р изоморфен модулю вида ^Ф eaR, где для некоторого идемпотента е аеА кольца R все модули eaR (аеА) изоморфны модулю eR, eR(l-e)=0 и eR является локальным модулем;
4) Р изоморфен модулю вида eR Ф ^®eaR , где для некоторых аеА взаимоортогональных идемпотентов ei и е2 модуль eR изоморфен локальному непростому модулю eiR, для каждого аеА модуль eaR изоморфен простому модулю e2R. Причем e2R(l-e2)=0, eiJei=0 и eiJ(l-er е2)=0.
Параграф 3.2 посвящен изучению колец, над которыми каждый правый модуль является 1 - строго слабо регулярным. Основной здесь является следующая теорема.
Теорема 3.2.3. Для кольца R следующие условия равносильны
1) над кольцом R все правые R - модули 1-строго слабо регулярны; л
2) кольцо R является либо полупростым, либо локальным цепным и J (R) =0. Следствие 3.2.5. Над полусовершенным кольцом R следующие условия равносильны:
1) кольцо R является либо полупростым, либо артиновым цепным, у которого J2 (R)=0;
2) над кольцом R 1 - строго слабо регулярные модули (правые и левые) замкнуты относительно взятия прямой суммы;
3) над кольцом R все правые модули 1- строго слабо регулярны.
В параграфе 3.3 мы применяем результаты, полученные во второй главе, к кольцам, над которыми модули являются прямыми суммами 1 — строго слабо регулярных модулей. Основными здесь являются следующие теоремы. Теорема 3.3.6. Следующие условия для кольца R равносильны:
1) R является совершенным справа (слева) и найдется такое целое число N, что каждый правый R — модуль является прямой суммой N 1 - строго слабо регулярных модулей;
2) R является совершенным справа (слева) и каждый правый R - модуль является прямой суммой конечного числа 1 - строго слабо регулярных модулей;
3) кольцо R - является прямым произведением полупростого кольца и конечного числа артиновых цепных колец;
Теорема 3.3.9. Для коммутативного кольца R следующие условия равносильны:
1) кольцо R является полусовершенным и над ним каждый модуль является прямой суммой конечного числа слабо регулярных модулей;
2) кольцо R изоморфно прямому произведению конечного числа артиновых цепных колец;
3) над кольцом R каждый модуль является прямой суммой конечного числа 1 - строго слабо регулярных модулей.
16
1. Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Радикалы алгебр и структурная теория. - М.: Наука, 1979.-495с
2. Бурбаки Н. Алгебра, модули, кольца и формы // М.: Наука 1966.
3. Бокуть JI.A. Ассоциативные кольца. Новосибирск, 1977.
4. Джекобсон Н. Строение колец. М.: ИЛ, 1961.
5. Дрозд Ю.А. Об обобщенно однорядных кольцах // Математические заметки. 1975. Т. 18, вып. 5. с. 705 710.
6. Картан, Эйленберг. Гомологическая алгебра. Москва: И. JL, 1960.
7. Каш Ф. Модули и кольца. М.: Мир, 1981.
8. Койфман JI.A. Кольца, над которыми каждый модуль имеет максимальный подмодуль // Матем. Заметки. 1970. Т.7. №3. С.232 -238.
9. Кон П. Свободные кольца и их связи. М.: Мир, 1975.Ю.Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. Перев. с англ.-М.: Наука, 1969. 668 с.И.Кириченко В.В. Обобщенно однорядные кольца // Матем.сб., т.99, №4, 1976, с.
10. Ламбек И. Кольца и модули. М.: Мир, 1971.
11. Общая алгебра, т. 1. /Л.А.Скорняков, ред.М.: Наука, 1990.-591 с.
12. Пирс Р. Ассоциативные алгебры. — М.: Мир, 1988.
13. Сахаев И.И. О проективности конечно порожденных плоских модуле // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико — математических наук. — Казань 1965. - 90с.
14. Сахаев И.И., Хакми Х.И. О сильно регулярных модулях и кольцах. // Изв. вузов. Математика. 1998. - № 2(429). - 60 - 63.
15. Скорняков Л.А. Гомологическая классификация колец // Мат. Вестник. — 1967.-Т. 5, №1.-С. 71 113.
16. Скорняков JI.A. Когда все модули — полуцепные? // Математические заметки. 1969. Т. 5, вып. 2. С. 173 182.
17. Туганбаев А. А. Прямые суммы дистрибутивных модулей. // Математический сборник. 1996.- Том 187, №1. - 136 - 142.
18. Туганбаев А.А. Кольца, над которыми каждый модуль обладает максимальным подмодулем // Математические заметки. 1997. Т. 61, вып. 3. С. 407-418.
19. Туганбаев А.А. Максимальные подмодули и локально совершенные кольца. // Математические заметки. 1998. Т. 64, вып. 2. С. 173 182.
20. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. Т. 1. М.: Мир, 1977.
21. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории. Т. 2. М.: Мир, 1979.
22. Хакми X. О некоторых свойствах I подобных колец. Казань. Ун.-т. Казань. 1991. 28с. Деп. в ВИНИТИ 9.Х.91 №2920-В91.
23. Хакми X. I — подобные модули // // Изв. вузов. Математика. 1993. - №9 с. 60-63.
24. Хакми Х.И. Слабо регулярные кольца и модули // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико математических наук. -Казань 1994. 97с.
25. Херстейн И. Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972.
26. Anderson F. W., Fuller K.R., Rings and Categories of Modules, Spriger -Verlag, New York, 1991.
27. Azummaya Goro. F semi perfect modules // J. Algerbra.- 1991.- V. 136. - p. 73 - 85.
28. Bass H. Finistic dimension and a homological generalizations of semiprimary rings // Trans. Amer. Soc. 1960. V. 95. No. 3. P. 466-488.
29. Baccella G., On С semisimple rings. A study of the socle of a rings. Comm. Algebra 8 No. 10(1980), 889- 909.
30. Baccella G., Generalized V-rings and Von Neumann regular rings, Rend. Sem. Mat. Unit. Padova 72 (1984), 117 -133.
31. Baccella G., Weakly semiprime rings, Comm. Algebra 12 (1984) 489 -509.
32. Baccella G., Semiprime %-QF-3 rings, Pacific J. Math. 120, No 2 (1985), 269 -278.
33. Baccella G., The structure of QF-3 rings with zero singular ideal, Comm. Algebra 15 (1987) 1393 -1446.
34. Baccella G., Von Neumann regularity of V rings with Artinian primitive factor rings, Proc. Amer. Math. Soc. 103, No. 3 (1988), 747 - 749.
35. Baccella G., Di Campli, Semi Artinian rings whose Loewy factors are nonsingular, Comm. Algebra 25 (1997) 2743 - 2764.
36. Baccella G., Semi Artinian V - rings and semi - Artinian Von Neumann regular rings, // J. Algerbra.- 1995.- V. 173. - p. 587 - 612.
37. Bessenrodt К., H.H. Brungs, G. Torner, Right chain rings. Part 1, Schriftenreihe des Fachbereich Mathematik, Universitat Duisburg, 1990.
38. Bessenrodt K., H.H. Brungs, G. Torner, Right chain rings. Part 2a, Schriftenreihe des Fachbereich Mathematik, Universitat Duisburg, 1992.
39. Bessenrodt K., H.H. Brungs, G. Torner, Right chain rings. Part 2b, Schriftenreihe des Fachbereich Mathematik, Universitat Duisburg, 1992.
40. Dinh van Huynh, Phan Dan, Rings characterized by cyclic modules, Glasgow Math. J. 31 (1989)251 -256.
41. Dlab V. Ringel M. Balanced rings. In: Lectures on Rings and Modules. Springer LNM 246 (1972), 73-143.
42. Dlab V. Ringel M. Decomposition of modules over right uniserial rings. Math. Z. 129 (1972), 207-230.
43. Dlab V. Ringel M. A class of balanced non-uniserial rings. Math. Ann. 195 (1972), 279-291.
44. Dlab V. Ringel M. The structure of balanced rings. Proc. London Math. Soc. (3) 26(1973), 446-462.
45. Drozd Yu.A., Kirichenko V.V. Finite dimensional algebras, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New-York-London-Tokyo, 1994, 250 p.
46. Dung N.V., Smith P.F., On Semiartinian V modules, J. Pure Appl. Algebra 82, No. 1 (1992), 27-37.
47. Faith С. Lecture on injective modules and quotient rings. Lecture Notes in Mathematics, vol. 49, Springer, New York Heidelberg - Berlin, 1967.
48. Faith C., Locally perfect commutative rings are these whose modules have maximal submodules, Comm. Algebra 23 (1995), 4885-4886.
49. Faith C., Rings whose modules have maximal submodules, Publ. Mat. 39 (1995), 201-214.
50. Fucchini A., Module theory: endomorphism rings and direct sum decompositions in some classes of modules. Birchauser , Progress in Mathematics, 167 (1998).
51. Fuller K.R., On indecomposable injectives over artinian rings, Pacific J. Math., v. 29, 1969, p. 173- 182.
52. Gooderl K.R., Boyle A.K. Dimension theory for nonsingular injective modules. Memoirs Amer. Math. Soc. No. 177 (1976) vii+1-112.
53. Goodearl K.R., Warfield R.B., An introduction to noncommutative Noetherian rings. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989.-303 p.
54. Goodearl, K. R. Von Neumann Regular Rings, 2nd ed. Malabar, FL: Krieger, 1991.
55. Gubareni N.M., Kirichenko V.V. Rings and Modules. Czestochowa, 2001, 306 p.
56. Hamsher R.M., Commutative rings over which every module has a maximal submodule, Proc. Amer. Math. Soc. 18 (1967), 1133 1137.
57. Hamza H., I0-rings and I0-modules // Math. J. Okayama Univ. 40 (1998), 9197.
58. Hilton P. J., Stammbach U. A course in homological algebra.-N.-Y.: Springer-Verlag, 1971.-338 p.
59. Hirano Y., On rings over which each module has a maximal submodule, Comm. Algebra 26 (1998), 3435 3445.
60. Ivanov G., Decomposition of modules over serial rings, Comm. Algebra 3 (1975), 1031-1036.
61. Keskin D., Lomp C., On lifting LE-modules. Vietnam J. Math. 30 (2002), no. 2, 167—176.
62. Keskin D., Smith F., Xue W. Rings Whose Modules Are Ф Supplemented // Journal of Algebra 218,470 - 487 (1999).
63. Lam T.Y. Lectures on modules and rings. Springer Verlag, 1999.
64. Levitzki J., On the structure of algebraic algebras and related rings // Trans. Amer. Math. Soc. 1953. - V.74. - P. 384-409.
65. Nastasescu C., PopescuN., Anneaux semi-artiniens, Bull. Soc. Math. Franc. 96 (1968), 357-368.v) 68.Nickolson W.K. Rings whose elements are quasi-regular or regular // Trans.Amer. Math. Soc. 1973. - V. 9. - P. 64—70.
66. Nickolson W.K. I-rings // Trans. Amer. Math. Soc. 1975. - V.207. - P. 361373.
67. Nickolson W.K. Semiregular modules and Rings, Canadian Journal of Mathematics, 23, p. 1105-1120.
68. Oshiro K., Wisbauer R., Modules with every subgenerated module lifting, Osaka J. Math. 32 (1995), 513-519.
69. Osofsky B.L. Noninjective cyclic modules // Proc. Amer. Math. Soc. 19 (1968), 1383-1384.
70. Passman D. S. The Algebraic Structure of Group Rings, Wiley-Interscience, New York (1977).
71. Prest M. Model Theory and Modules// London Math. Soc., Lect. Note Ser. -1988.-V. 130.
72. Puninski G.E. Serial rings, Kluewer Academic Publishers, 2001.
73. Shanny R.F. Regular endomorphism rings of free modules // J. London Math. Soc. (2), 4 (1971), 553-354.
74. Stenstrom, Bo. Rings of Quotients: An Introduction to Methods of Ring Theory New York, NY: Springer-Verlag, 1975.
75. Tachicawa H. Quasi-Frobenius rings and generalizations QF-3 and QF-1 rings.-New York ; Heidelberg; Berlin: Springer, 1973. 172p. - (Lect. Notes Math. V. 351).
76. Tuganbaev A. Distributive modules and related topics .Amsterdam: Gorgon & Breach Sci. Publ., 1999. 258 p.
77. Tuganbaev A. Rings close to regular.-Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2002.350 p.-bibl.: 474.
78. Vanaja N., Purav V. M., Characterization of generalized uniserial rings in terms of factor rings. Comm. Algebra 20 (1992), 2253-2270.
79. Wisbauer R., Foundations of Module and Ring Theory, Gordon and Breach, Reading, 1991.
80. Zelmanowit J. Regular modules // Trans. Amer. Math. Soc. 1972. - V.163. -p. 341-355.Публикации автора по теме диссертации
81. Абызов А.Н. Замкнутость слабо регулярных модулей относительно прямых сумм // Изв. Вузов. Математика. — 2003.- №9 (496) . стр. - 3-5.
82. Абызов А.Н. 1- строго слабо регулярные кольца и модули // Изв. Вузов. Математика. 2003.- №7 (494) . - стр. - 3-7.
83. Абызов А.Н. Слабо регулярные модули. // Изв. Вузов. Математика. -2004.- №3 (502) . стр. - 3-6.
84. Абызов А.Н. Слабо регулярные модули над полусовершенными кольцами.// Чебышевский сборник. 2003. - том 4 выпуск 1. - 4-9.
85. Абызов А.Н. Прямые суммы слабо регулярных модулей// Тезисы докладов V Межднародной конференции «Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения», Тула, 2003 г. стр. 4-5.
86. Абызов А.Н Слабо регулярные модули и их прямые суммы. // Тезисы докладов Международной конференци «Алгебра и Анализ 2004» г. Казань, 2004г. стр. 43.
