Конечная порожденность проективных моделей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

Ол

? О О'"-' -

*""' . САХАЕВ Исхак Идрисович

КОНЕЧНАЯ ПОРОЖДЕННОСТЬ ПРОЕКТИВНЫХ МОДУЛЕЙ

01.01.06 - математическая логика, алгебра, теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ - 1994

Работа выполнена на кафедре алгебры Казанского университета

Официальные оппоненты:

БОКУТЬ Леонид Аркадьевич -

доктор физико-математических наук, профессор

БОШВИЧ Зенон Иванович -

доктор физико-математических наук, профессор

МИХАЛЕВ Александр Васильевич -

доктор физико-математических наук, профессор

Ведущая организация: Институт математики Академии наук

Республики Молдова

Защита состоится "1994 г. в 1! час, на заседании Специализированного совета Д 063.57.29 по занщте диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук при Санкт-Петербургском государственном университете.

Адрес совета: 198904 Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл.2, математико-механический факультет.

Защита будет проходить по адресу: 191011 Санкт-Петербург, Набережная реки Фонтанки д.27, 3-й этаж, зал 3117.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им.М.Горького Санкт-Петербургского университета: Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9

Автореферат разослан " <£ " 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета доцент

С.М.Ананьевский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Гомологическая алгебра как самостоя -тельный раздел алгебры оформилась в 50-ые годы. В монографии А.Картана и С.Эйленберга были намечены перспективные направления ее развития.

В 1955 г. Ж.Ж.-П.Серром [2^ была выдвинута гипотеза: Все ли проективные модули над кольцом многочленов от конечного числа коммутирующих переменных над полем являются свободными. Эта гипотеза и программа в области гомологической классификации колец, выдвинутая в 1961 г. Л.А.Скорняков™ [з], определили основные направления исследований в гомологической алгебре.

Основная цель этой программы - исследовать^каким образом свойства категорий модулей над кольцом отражаются на свойствах самого кольца. В этой классификации важнейшая роль -отводилась свободным, проективным, инъективным, плоским, конечно-связанным и полусвободным модулям.

За прошедший период усилиями ряда отечественных и зарубежных математиков гипотеза Ж.Ж.-П.Серра была полностью решена. Окончательное положительное решение гипотезы дали одновременно А.Суслин ["4^ и Д.Квиллен [V].

Проблему свободности проективных модулей над некоторыми классами колец изучали И.Капланский [б], Х.Басс [7] , У.Хиноха-ра рз],-Д.Лазар £э], В.А.Артамонов [ш]. Например, И.Каплан -ский [б] установил, что всякий проективный модуль является прямой суммой счетно порожденных модулей.

Все эти годы продолжались интенсивные исследования по программе Л.А.Скорнякова. Они продолжаются и в настоящее время.

Основополагающей в идейном аспекте для гомологической классификации колец является следующая теорема Х.Басса [п_1. Для кольца II следующие условия эквивалентны:

С а,). &-с □вершенное справа кольцо. ( ё XВсякий плоский правый й. -модуль является проективным. (С X Прямой предел проективных, правых & -модулей проективен. Кольцо /2 удовлетворяет условию минимальности для левых главных идеалов. Ж.Б.Бьёрк [12] дал характеристику совершенных справа колец в терминах условия минимальности для конечно порожденных подмодулей модуля, а Д.Джахан [гз] в терминах, условия максимальности циклических подмодулей модуля.

Квази^фробениусово кольцо исследовал К.Фейс и установил эквивалентность оледующих условий: ( &). й. является квази-фробениусовым кольцом. ( <3 ). Всякий иньективный правый Й. -модуль проективен. С С ). Всякий счётно порожденный проективный правый Й. -модуль иньективен.

Г.М.Бродский [15] охарактеризовал квазифробвииуоово кольцо /2 через кольцо эндоморфизмов вполне проективного (вполне иньективного) Я. -модуля.

Х.Йенсен |1б} установил, что если ядро эпиморфизма Р —■> —=» П—*0 , проективный модуль Р и плоский модуль П счётно порождены, то

проективен.

Целый ряд работ был посвящен вопросу проективности конечно порожденных плоских модулей. С.Монг [17] доказал, что над коммутативным кольцом проективность всех циклических плоских модулей влечёт проективность всех конечно порожденных плоских модулей. Этод- результат передоказал В.Васконселос Автор [19] установил, что проективность всех циклических плоских. правых /2 -модулей эквивалентна стабилизации всякой право-регулярной возрастающей цепи главных правых идеалов кольца /2..

С.Йондруп (^о]»[21З н Г.В.Чирков [22] показали, что проективность всех циклических плоских правых й. -модулей не влечёт проективность всех конечно порожденных, плоских правых й, -модулей.

Д.1азар £9] .изучая свойства проективных, модулей, выдвинул следующую гипотезу:

2А. Бели для проективного правого -модуля Р фактор модульконечно порожден, то -модуль Р конечно порожден. В случае коммутативного кольца справедливость этой гипотезы доказана им самим.

Х.Васс [II} установил, что если ^ и Р^ конечно порожденные проективные правые -модули и фактор модули Л^/^'ЦХ^^ и £¿1 Р-ьЗ'СО.) изоморфны, то модули ^ и изоморфны..

И.Бек [^23] усилил этот результат, предполагая конечную порожден-ность только одного из модулей ^ и Р^ ; с последним результатом перекликается утверждение Ф.Сандомирского [¿^ о конечной порожденности проективных правых идеалов кольца с нулевым сингулярным идеалом ?(72) . М.Валетт [25] и C.Йoндpyп^2бJ указали, что над 91 -кольцом гипотеза Д.Лззара решается юложительно.

Изучая вопрос о проективности конечно порожденных плоских 1одулей автор и Г.Чирков выдвинули гипотезу:

2Б. Всякий конечно порожденный плоский правый /? -модуль вд полулокальным кольцом проекгивен.

Справедливость этой гипотезы в случав полулокального кольца ! единственным примитивным идеалом доказана ими самими ,

, в случае коммутативного кольца В.Васконселом £2?] и С.Эндо

[зо].

Цель работы - решение сформулированных выше двух гипотез. Установление их взаимосвязи, разработка необходимых и достаточных условий для кольца , при которых эти две гипотезы (Д.Лазара и упомянутая гипотеза автора с Г.В.Чирковым) решаются положительно; конструкция классов колец, для которых они решаются отрицательно; исследование конечной, порожден-ности проективных модулей над некоторыми типами колец.

Основные методы. Для доказательства основных результатов используются методы; теории колец и крлец с ¡1 -членным слабым алгоритмом, локализации и универсальных расширений ассоциативных кодец. Во второй главе работы разработан способ редукции соотношений между элементами кольца, определенными исследуемыми проективными модулями.

В третьей главе развита техника исследования проективных модулей над РТ -кольцами, которая опирается на наличие стандартного тождества. Результаты четвертой главы опираются на конечность ранга группы Гротевдшса категории конечно порожденных проективных модулей над полулокальным кольцом, на метод локализации В.Н.Герасимова.

В исследованиях пятой главы используется слабое условие Гротендика.

Апробация. Результаты работы докладывались на научных семинарах кафедры алгебры и итоговых научных конференциях Казанского университета, кафедр алгебры Московского и Санкт-Петербургского университетов, отдела теории .колец Института математики СО РАН, отдела теории колец и модулей Института математики с ВЦ АН Молдовы, на Международной конференции по алгебре, посвященной памяти А.И.Мальцева, на Международной конференции по алгебре, посвященной памяти А.Л.Ширшова, на

Х.1У - Х.И Всесоюзны» алгебраически* конференциях:, на Всесоюзных коллоквиумах; и шкалах; по- алгебре.

Совместный, результат В.Н.Герасимова » автора [чч] вошел в "Шготи науки и техлики". Современные проблемы математики [40,1. Все основные- результаты диссертации опубликована б статьях [^и]-

-[53] •

йбъем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пятв глав, разбитых на 13 параграфов, с-писка литературы, насчитывающего- 117 наименований. Общий, объем работы - 226 страниц.

Содержание работы. Всюду кольца ассоциативные с единицей, модули над, ними унитарные, хГ(Я) -радикал Джекобе о на, «кольца всех. П. к П.— матриц, кольца Р , , Ип> -правый; й. -модуль,

порожденныйчП. алементами Ст. е. п. -порожденный

правый

Й. -модуль). Р и Р°(п) проективный правы» /2 -одуль У, для которого фактор, модуль соотзетствен-

ю конечно порожден и П -порожден.

В главе I §§ 1.1 - 1.3 носят подготовительный характер.

Пусть -свободный правый /? -модуль с

азой. т ) есть подмодуль правого

й —модуля Г , равны» Ц^Р(Лт) , Р(Л^) =" < иЛгпу ¿С<гт> и строка С^лт^/п/'^пт)—

,где Лт € О.п. = О**1** )

уальным образом определяется лааый аналог Р(/^т~-Лт--^т-ьх. ^ роективный правый Р -модуль Р , изоморфный Я. -модулю ) называется Р -модулем типа

Поладим Р(ЕАУР(4гЛгн,'4о1 .где г-Обратима'^-Ц-ё* (¡7)^-1,0,1;. У

Теорема 1.1.1. Правый й. -модуль Р(Ап--Лгг\+х;-4гп) является чистым и проективным подмодулем свободного правого ¿2 -модуля р.

Теорема 1.1.2. Правый -модуль Р) конечно порожден тогда и только тогда, когда >4^— ?*,

СУ 1Г)1Ш( ^^ ) для некоторого .

Теорема 1.1.4. Пусть П. -натуральное число, /£ -кольцо, тогда следующие условия эквивалентны:

С О, X Конечно порожден всякий проективный правый ^ -модуль типа Рйт^Аха^М.где (тя-з,^*.. )

С £ ), Всякий /г -порожденный плоский правый /£-модуль проек-тивен.

Следующая теорема характеризует"хорошее поведение" модулей типа п) относительно нильпотентного идеала,

Теорема 1.1.13. Пусть И- -натуральное число, (?[, -ниль-потентный идеал кольца £ , ¡ОЬ• Т°гда следующие усло-

вия эквивалентны:

С О. ), Конечно порожден всякий проективный правый й, -модуль' типа РСЛпГ-Ят-ч-Л») .где ^ €: СП-^Ьу А С 6 ), Конечно порожден всякий проективный правый -модуль

типа РСЯпГЛп+г^) 'ГД0 ).

В § 1.2 находится критерий конечной порсаденности проективных правых модулей типа РС-^^Лпп'Агл^ являющийся обобщением критерия совершенности справа кольца. Определение 1.2.1. Убывающая цепь

- 2 Мъ а-- - (1.2.1)

р, > _ (/т>) (гп) '(#} >

конечно порожденных подмодулей ¿/з)^)")^ >

/Г\ ^

правого Л_ -модуля М- называется цепью типа (1.2.3), если строка

и последовательность -матриц В/у, )

над кольцом ^ удовлетворяет условию: существует число к.' такое, что

Се»®,*,*,... ; <^><з ) J

Теорема 1.2.3. - Для кольца следующие условия эквивалентны :

( а, ). Всякий проективный левый /2. -модуль типа Р(4)?^ тгх) конечно порожден.

( £ ), Для любого правого -модуля ^ всякая убывающая цепь

типа (1.2.3) его конечно порожденных подмодулей стабилизируется. Применительно к области целостности справедлив более слабый "обобщенный критерий Басса".

Теорема 1.2.4. Для области целостности Р. следующие условия эквивалентны:

С й. )„Воякая убывающая цепь типа (1.2.3) • 2 ^ - -

конечно порожденных правых идеалов ) кольца /5

зтабилизируется.

£ «> ). Всякий проективный левый Р -модуль типа Р(Лггг-^^^ конечно порожден. В § 1.3

в качестве приложения модулей Р(-Лтц~-^щ-п^тп ) сказывается конечная порожденность проективных модулей этого

типа над некоторыми известными кольцами.

Теорема 1.3.2. Пусть /1 -натуральное число, /? -под-

ОС -

кольцо, ОЬ -идеал кольца Р , , -О Оь — О.

Если всякий проективный правый -модуль типа конечно порожден, где 6 (щ—^х./■■ . то

конечно порожден всякий проективный правый /2. -модуль типа РСЛт^Лт-^'-Лт ) .где )'.

В качестве иллюстрации этой теоремы с её помощью обобщаем

результаты В.Васконселос ¿¿З/ , С.Йондруп • ^

Теорема 1.3.3. Пусть П. -натуральное число, -кольцо, =. у > -кольцо многочленов над алфавитом с коэффициентами из кольца . Ве ли конечно порожден всякий проективный правый £

—модуль типа РС-^ту) +2^ »^Д® О^1)^'" ) »то конечно порожден всякий проективный правый -модуль типа Р) . где ^ &

Теорема 1.3.4. Пусть -алгебраическая алгебра над полем . Тогда следующие условия эквивалентны;

(1) Конечно порожден всякий проективный правый Р -модуль типа

• с?^ ,где ¿2», е О, , От - (*П ,Я/ )

(2) Конечно порожден всякий проективный правый -модуль типа

(I') - (2^) Левые аналоги условий (I) - (2).

Показывается, что при тензорном умножении колец модули типа веДУт себя "плохо". Строится кольцо над

которым все проективные правые К- -модули типа конечно порождены, однако над алгеброй 3=- Р®( (2. -поле рациональных чисел) существует не конечно.порожденный правый ^ -модуль типа , где £ 5 у

Теорема 1.4.1. Пусть -поле, /('-алгебра

О'

= > р -Х^-С^д), СУ$) , г = С^ >

- /1 х/2.-матрицы. Тогда полугруппа ненулевых элементов вло-жима в группу, а сама алгебра /2. не вложима в тело.

В доказательстве этой теоремы существенно используется правый -модуль РСе * -^О-

Отметим, алгебра Р, так же как и примеры Л^А.Бокутя [ЗХ^ , , А.йлейна [ЗХ} , А.Боутелла [33] и Р.Дконсона [З*/] отрицательно решает проблему А.И.Мальцева, вложимо ли кольцо без делителей нуля в тело, если его полугруппа ненулевых элементов вложи-ма в группу. [3£7

В § 2.1 устанавливается ряд свойств проективных правых -модулей типа Р .

Лемма 2.1.1. Всякий проективный правый /^-модуль типа-РС счётно порожден.

Заметим, что С.Йондруп [2бJ показал, что эти модули вкладываются в конечно- порожденный свободный модуль.

Теорема 2.1.3. Если [~[ конечно порожденный плоскийР -проективный правые -модули, фактормодули

П/ПТС/у И

Р/Ада) изоморфны, то К -модули п и р изоморфны. Из этой теоремы легко следует результат И.Бека ( £23^ .теорема 5). Для модулей типа Р имеет место редукционный критерий его конечной порождениости.

Теорема 2.1.8. Пусть Р -проективный правый Р. -модель типа . Тогда существует такой правый -модуль Р* типа Р(-4»=-&и+2 -Л») .где £ /2/г СП) = 3-, ^ < •• ),

что фактор модули

Р/РЖ)

и РУР^ХСй-^ изоморфны и к.пнеч*

ная порожденность одного из них влечёт конечную порожденность другого.

Теорема 2.1.9. Пусть Р -проективный правый -модуль

типа 9°. 9(Р)

-множество всех идеалов кольца R_ таких, что фактор модуль Р/ POV^ -конечно порожден. -модуль Р конечно порожден тогда и только тогда, когда пересечение PI Ot0^ — <Q

Из этой теоремы, как следствие, вытекают результаты -С.Йондрупа j^26j и Дж.Валетта ¡^25j о конечной порожденности проективных модулей типа Р°.

Пусть оСг -идеал кольца Р . Определим специальную трансфинитную степень ^^ идеала . Положим I. ^ .если ординал

,если ординал LO является предельным. Определение 2.1.1. Идеал Х- кольца назовём слабо ft—коммутативным, если для любых !Ъ элементов ¿(^, f^h. идеала Хт~ имеет место соотношение

где ^"-подстановка ой степени и ^ -i--

Т еорема 2.1.13. Если р* -проективный правый R, -модуль :

типа Р° и для некоторого слабо Г2_-коммутативного идеала фактор модуль Р/Р-%~ -конечно порожден, то -модуль Р конечно порожден.

Из этой теоремы вытекает результат Д.Лазара ( .предложение 5).

Теорема 2.1.16. Если JP -проективный правый ^,-модуль типа Р°, фактор модуль P[P-OL~ конечно порожден, где

OL-

идеал кольца R, и для некоторого ординала LO О ,*

то -модуль Р конечно порожден.

Обозначим через соответствен-

но категорию всех проективных правых R. -модулей типа Р°(/1) , всех П. -порожденных проективных правых R -модулей и всех плоских правых R. -модулей типа П°(ft.) , а через ко(Р°Р(П)) К0и K0(n°R(n)) группы Грогендика соответственно выше приведенных категорий.

Пусть = R/JCR.) jLÛi R -> R. естественный

гомоморфизм колец, тогда существует гомоморфизм

UV» Ко (А) —-* K0(PR. (п)), где А одна из категорий

P°R(n), PRCn.) и n°R(n), причём, со, (СМ])= ÇM&^R] (см.

[3*1 ) . М. м^уль из категории А-'. Положим TmWj*

Теперь мы приведём полную формулировку основной теоремы.

Теорема 2.2.5. Пусть П -натуральное число, R. -кольцо.

Тогда для кольца R' следующие условия эквивалентны:

С 1 ),Категории r R(tl) и

PRCn) совпадают. С Я ). Группы Ко (Р°Ш) и Ko(PR(n)) равны. С 3 ), Всякая стабилизирующаяся по модулю радикала вз-

растающая цепь правых главных идеалов кольца R п.

Яг-Rn^^Qrz s ••• ^ Лт-Rn. S .. . j

где элементы кольца Rtz удовлетворяют условию

~ ^стабилизируется.

С Ч ).Для любых элементов , £. кольца Rn таких, что

i— £. é- 3CRn.) и -А возрастающая цепь правых

главных идеалов кольца

Ji^-1.^^ E'U-R^^ ••■-Я,

стабилизируется.

С 5*).Для любых элементов Л , £ кольца таких, что

1-Ç. é SCRn) j Jl^-Ç'-A, имеет место равенство Л -Jf-E. . ( 5"'). Для любых элементов J/ , £ кольца Qn таких, что

, имеет место равенство

(6). Всякая стабилизирующаяся по модулю радикала убывающая цепь правых главных идеалов кольца

где элементы кольца Рп удовлетворяют условию

В/П-^т.-$т-Г2 (гп-^Х-.^' ■ ) , стабилизируется.

(7). Группы ¡^(ГГООг))* ЙЩ) равны.

(8). Категории П°(^Сп) и Р£ (П) совпадают. (2 ) - (£). Левые аналоги условий (-2 ) - ( В ).

В связи с теоремой 2.2.5 отметим, что при положительном редении гипотезы проективность конечно порожденных плоских

^ -модулей типа П анонсировал С.Йондруп /2б7 •

Из теоремы 2.2.5 вытекает, что критерии конечной порож-денности проективных /? -модулей типа Р лево-право симметричны.

Теорема 2.3.1. Пусть идеал кольца $ , 01^ 3~(0) к п.о идеалу можно поднимать идемпотентные элементы кольца . Тогда конечно порожден всякий проективный правый Р. -модуль Р , для которого фактор модуль Р/Р-01 - -породен.

Теорема 2.3Л. Пусть -кояьцо многочленов над кольцом от алфавита Л/-»т°гДа всякий проективный правый /5 -модуль типа Р° конечно порожден.

Теорема 2.3.6. Пусть К -поле, ]<? -алгебра Р алгебраичйа над полем . Тогда всякий проективный правый Р -модуль типа Р° конечно порожден.

В главе .3 изучается вопрос о конечной порожценности проективных модулей типа " типа г над

РГ

-кольцами.

Теорема 3.1.1. Пусть @ = ¿7 ¿«л, ^ = Яу - ■) 7 /ЯГ-кольцо, элементы С?^ удовлетворяют ^словили

Тогда существуют такие элементы с/кольца , что

с(/п~ с1гп (гп-^, Д^ • • ) э

РСат~С(т*1-ат')~ Р(о1т-с^п-^г^т ).

Теорема 3.1.2. Пусть - РТ - кольцо, /г. -натуральное число. Тогда следующие условия эквивалентны:

(1). Конечно порожден всякий проективный правый й. -модуль-типа Р(4пГЛп-п'4»') .где Лтп£ Рп. ¿/77=2; До'" ).

(2). Конечно порожден всякий проективный левый -модуль типа Р(Лтп = ).

Определение 3.1.1. Пусть »Ы. правый

/г —Модуль|

-последовательность -порожденных его подмодулей. Модуль»//:

Удовлетворяет условию ^CCSn «если стабилизируется всякая возрастающая цепь его подмодулей

М]_ £ - ^ ^/п £ • ' ,

для которых строка , . , . , .

Удовлетворяет условию

ЗесЯп

,ес,ш стабилизируется

всякая убывающая цепь его подмодулей

М^М^-- ^ ^ • • • >

для которых строка

(3.1.2)

Теорема 3.1.5. Если % - /.; ^7 РХ-кольцо, то всякий проективный правый -модуль типа

конечно порожден. Теорема 3.1.6. Пусть Р° -коммутативная область цедостнос-

^ | л 0

гл. ¿ели Ох. есть / - идеал кольца Р , <1 У> кольцо

многочленов от алфавита ^—^^ос^^Х наз кольцом /2—

5=1 О./01. -фактор кольцо, то всякий проективный правый -модуль типа конечно порожден.

Теорема 3.2.1. Пусть Р. - РТ - кольцо, /1 -натуральное число. 'Тогда следующие условия эквивалентны:

(1). Кольцо удовлетворяет условию ~ЛССГ^с дополнительным ограничением к условию (3.1.1), а именно -Д^-Лю )■

(2). Конечно порожден всякий проективный правый -модуль типа

РСЛо^Лп-ъ-Ят ) Ап^&п )

Далее, в § 3.2, рассматривая коммутативное кольцо Р. как РТ-кольцо, используя модули типа Р-Отп^ даётся новое доказательство теоремы СлДпнт о проективности конеч-

но порожденных плоских/? -модулей.

Теорема 3.2.5. Пусть П -натуральное число,

/г - Р1~

кольцо, /2 £ , У\_= /7 /У^-прямое произведение алгебраически замкнутых полей

Тогда следующие условия эквивалентны:

(1). Правый К. -модуль

Л«

удовлетворяет условию

(2).' Конечно порожден всякий проективный правый Р -модуль типа РСЯпгАп+гЦ,^ ~4гп£ /?п Л

(3). Правый -модуль

Ла

удовлетворяет условию

- 17 -

Теорема 3.2.6. Пусть О- -группа, И -поле, групповая алгебра К - 91 -алгебра. Тогда следующие условия эквивалентны: (Г) Конечно порожден всякий проективный правый -модуль типа РСЯт^йт-ьг-ат) ,где е «О- (т^,^-- } ^2) Конечно порожден всякий проективный правый К&-модуль типа РСЯъ^Лт^-Лгг,).

Теорема 3.2.7. Если ОЬ -идеал кольца , - Р_Г -сольцо и для проективного правого Р -модуля Р типа Р° рактор модуль Р/РЙ. конечно порожден, то 1-е -модуль г ко-*ечно порожден.

Утверждения Дж.Залетта [¿5] и С.Йондрупа [2бЗ 0 конечной юрожденности проективных модулей типа Р над РГ -кольцами являлся частным случаем теоремы 3.2.7.

В заключении § 3.2 строится РТ -алгебра К_ , над кото-юй конечно порождены все проективные правые /Р -модули типа

) ,где (т-з^з^- ) ; однако,

уществует не конечно порожденный проективный правый /2.-модуль типа Р(-4гггЛт+х-Лг,) ,т^ Л^ 6 /?„ ^ ).

В главе 4 изучается вопрос о конечной порожценности ¡роективных модулей над полулокальными кольцами.

Лемма 4.1.1. Над полулокальным кольцом всякий проективный [равый модуль типа Рявляется модулем типа

Р°.

Из следующей теоремы вытекает, что проективные модули типа Р° над полулокальным кольцом "жестко" связаны между собой.

Теорема 4.1.3. Пусть /2 -полулокальное кольцо. Тогда существуют число^/?"и такой правый Р -модуль типа »где

}£ > конечная порожденность которого влечёт

конечную гюрожденнпсть всех проективных правых Р_ -модулей типа

Р°. Успешно примененное П.Коном [3<Г] для изучения % кплвц понятие комаксимальных элементов оказалось полезным и для исследования конечной порожденности проективных модулей.

Теорема 4.1.3. Пусть -полулокальное кольцо. Тогда следующие условия эквивалентны;

(1).Конечно порожден всякий проективный правый Р, -модуль типа РСОт ) ,где с7те О. О £ >• • ■• ) '

(2).Для любых элементов 'г. , £ из Р. таких, что <£_ обратим, имеет место равенство . — (3) Если , из Р. , . а г'+О. то

существует такой элемент 'г. кольца ,что и

Обозначим через (~Ц »>, (т-^) V- ^ -кольцо, порожденное. множеством элементов и^ С171—1) ^-л'" Л

Теорема 4.1.5. Пусть ^ -полулокальное кольцо. Тогда проективный правый /2.-модуль типа конечно

порожден тогда и только тогда, когда кольцо является РТ-кольцш.

В качестве приложения теоремы 4.1.5 приводится новое доказательство утверждений С.Эвдо ([Зи] .теорема 2), В.ВаскОн-селос ([ЮЗ .теорема 2.1).

В § 4.2 построен контрпример к гипотезе $,А Д.Лазара, завершающий её решение.

Теорема 4.1.2. Существует проективно свободная универсальная алгебра

Т. для которой

Эта теорема обобщает результат совместной работы В.Н.Герасимова и автора .

В главе 5 изучаются модули и крльца со слабым условием Грогендика ¡3^ .

Определение 5.1.1. Правый Р -модуль М* удовлетворяет слабому-^* условию относительно подмодуля УК , если для любого направленного вниз множества подмодулей ^р

модуля М., удовлетворяющих условию. -Лр + (У^

выполнено равенство П УУр = ли.

- Теорема 5.Г.З. Пусть М. правый -модуль. Тогда (<2), Ее ли модуль м удовлетворяет слабому М5* условию относительно любого его подмодуля будет модулем с

дополнениями.

С 6). Если кроме того -модуль ,/Ц. проективен, то он будет п олу с ове ршенным. С С ).Бсли

,то /<, -полусоверлейное кольцо* 'Следствие 5.1.4. Если Р -проективный правый -модуль типа Р°и удовлетворяет слабому Л-%5* условию относительно подмодуля

РЖ)

,то к. -модуль г^ конечно порожден.

Определение 5.2.1. Кольцо Р удовлетворяет правому слабому П-Я&5*условию относительно правого идеала 01 кольца Р. .если для любого направленного вниз множества подмодулей Мр-Р(Хр ) свободного правого ^-модуля Я ранга /2- .где У^бб'п . СтогЛ01п.)

) , подмодуль ¿1 —Р-ОЪ удовлетворяет слабому условию относительно подмодуля Р-01.

Аналогично вводится левый аналог.

Если ОХ. идеал кольца Р , Р удовлетворяет правому и левому слабому П-Л-65 условию относительно идеала &1. , то Р называется кольцом со слабым условием относительно

идеала

Оь.

- 20 -

Теорема 5.2.1. Если кольцо Р удовлетворяет слабому Ц- ус л овив относительно его идеала 01-, то идемпотентные элементы по модулю идеала можно поднимать.

Теорема 5.2.2. Если кольцо Р, удовлетворяет правому •слабому Я-./?#^условию относительно радикала Р,^ ,то идемпотентные элементы по модулю идеала можно поднимать и всякий проективный правый. Р -модуль Р типа Р°(п) конечно порожден.

Наличие для кольца Р контекста двойственности согласно Б. Ософской |35}, выполнимость условия АВ5* согласно Г.М. Бродскому (152 и полного дуализма согласно Ф.Каш (32] влекут полусовершенность кольца .

Теорема 5.2.3. Если кольцо Р удовлетворяет слабому

условию относительно любого правого идеала <С7 , т0 ^ явля0ТСя полусоверлейным кольцом. Если кольцо является коммутативным, то верно и обратное.

Литература

1. Картан А.Эйленберг С. Гомологическая алгебра.-'М,-ИЛ.- 1961.

2. Sexte ¿¡-¿J-P* Feu sceaux dohvzervh //Jtnn. MaM.-135-5~- Ы.-p .1SÏ- ,

3. Скорняков i.A. Гомологическая классификация колец. //Труды Всесоюзн. матем. съезда.- 1962.

4. Суслин A.A. Проективные модули над кольцом многочленов свободны.// ДАН СССР.-1976.-Т.229.5.- СДибЗ-Юбб.

- 21 -

5. (QueWetx Э-. P

potynfrrrzc'ai xings. ft JUaMx. — <

rr. 36,-1Ш.

6. Кcipfansfy zf. Ptojea+cve tnoda-Ces.-

Ц Л nil. MaAh ■ -135&. — p. .

7. во-ss H. 8%g proje<thwe moc(t*&s -f ^e.

f/T№nois ¿f. МаЛ ■ -1S63.- гг. ?-лк/.- P-ЛЧ-31.

з. J-f-cnokaJtcu У. Ptojec-five m<f<? r uJzq-tefy rioz-Hiz^arb 'tings . Ma-Hi. Soxz. ^apan .

9. La^a>r.<U Udeh-te cits Gbofi JU&zlu-

ees ptoj&ctiT/e.f/^. ЧЗЧ-т

10. Артамонов В.А. Проективные модули над универсальной обвертывавшей алгеброй //Изв. АЮССР. Математика.- 1985.-Т.25. -Jfc 3.- C.I79-I9I.

11. 8<з. $s //, Ft'niHc homo fitdJm^n and kcrmoe&gjtzcil gjentszaO^-ftrn of semi-pht-mahg Jhmb. Matt. ?czr-1360r3S;-f>M~n

12. В (jot к flings. Scvhrftfttiff rnmimui-ru dcm<tlH(m cm fhJneipaJc /W<?q€s Qeme -Лп-gzuj. MM-19 61-- ¿36.-p.

13. ftohan. LOi-Ht ihe tmintrnwO} cUfioiz -fo'z p^'n^pctl bflhl s hade moxi fnvrn Zcm<&H<m fet fhin<tipo& Uea&JfUU-tt.

- 22 -

14. рай-Иг /с. QSngs (jüt-ffi asz.eheLtnfl tcmcLi-

-ЬСет cm c*n-rtc ЫСаАоъъ. Ц jYctgöfycL Ul&Hi-

15. Бродский Г. И. Аннудяторные условия в кольцах эндоморфизмов модулей //Матем. заметки.- I974.-T-I6.- № б.- С.933-942.

16. ¿Jensen. Cht. Ъ-етолк а}- outoL {Но^Ные. nocUiei.jf Canad.^.

17. JUgukA S. Seme. ъеталк* an Fi-btCngs mihi ^.an-Hj/Paeif^ MM

13. Vascerie-eks W-V. Ob -ftni-fe g-ene^adecL ^ZcJt mezLceg-es,/{7*ans, Jhm-eJ?^ See.—

-196S.-V. 13&.-p. ■

19. Сахаев И.Й. 0- проективности конечно порожденных плоских модулей //Сиб.матем.журн.- 1965.б.- С.569-573.

20. ¿crrxdhup S, OL -firüiefy -f/ал mcrda&s.// kotenko-tfes tini-jot^-tcd Ма~Ыт ah:s&. XnsHixc-f: PiefUni s&ttes.-1363,- is>3,- p.i-ii. •

21. ¿fcmcüzap S. Ön -fiixiie-C^. gen-Ote^ed.

mcnUlts. /fМаЛ. Scandrisw.-jrt-p.iOF-ilZ,

22. Чирков Г.В. Лево полусовераеиные кольца, не являищиеся лево совершенными /Дзв.вузов.Математика,- I97I.-№ 6.- С.102-109

23. Веек а. P^ojec-Hae and -fite тог/Си&е* JMaJh. 2-.— p.Z3l-Z34.

2k. Sondoi-n^sß-ty Р. /iern tfngz.

Ц P*<re. Jbi & . £vxz

25. VtlMie. Su/i. &S mocfu&S pXJD—

¿eciif.//.C.ß.Jh!ad. Sc. SeiteJ. Ш-ЬЯЪ.

26. ¿fcmdfrup Sr Pbojeai-Cire inoduitz, H

ScctncL- гГ.^З,-

27. Vastonaßos. W-V. On. movüu—

6-e.S. (П -ftnc-ie Ляпб:. ff P*l<rz, JhnrttSf , -¿Cü-tJi'i

Scrc.-~1.S69. — — Л'- • —

28. ¿}6tic(hup S- 6hl btngs UJi-lb. -fíníí-eZg

J-СаЛ mo-oUtJ-es. ^a^cfzve// Vas?. Рс<&, s&r. JLLaA-, Tnsi. Ji&^uz Qriir, -IS^o.

- 3 33-3S-

29. VcLScxmce&f W.V. P'-etna/zior> cks-

cепЛ ¡( <tcnoi. TT ticLiahL.

31. — р.

30. ¿rWo S. On rn cnf-a^ <?om-moL+A+iue /(£, McL-Ut. Sor:, ¿fcyan.

- 136Ss> ~ V. 14, -р. %lH—

31. Бокуть I.A. 0 вложении колец в тело // ДАН СССР. - 196-175. - I 4. - С. 755 - 758.

32. ¡ce-eZn J¡. dings попегъ С

- 24 -

-^СгЛЛч сис-Нт- гп иМ^рбСса^Ое.

33. вои?-Ь*М Огъ а ¿¡и-е.$±1Сгп СУ) М.сЛ~ с&г.//¿.Л-едебчаи-З.$&%-!-. 159,

34. ¿окп£<т Р. Ма^^ы сХстсч^ /( Ръос. Мсь&.3сс.-й$69г- Л13

33". Милнор Д. Введение в алгебраическую К-теоршо.- М.:. Мир.- 1974. .

36, Кон П.М. Свободные кольца и их связи.- М.: Мир.- 1975.

З^. Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры.- М.: М&-1961.

. Каш Модули и кольца,- М.: Мир.- 1981.

33. в.1.. дегг&т<1.е-1-г-си(г1<т

?го веп ш: Ъпс?*.)/6 36 ¿г //» Ч.-р. Ш-3&

Ий- Бокуть Л.А., Львов И.В., Харченко В.К. Некоммутативные кольца //Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Алгебра- 2.- Т.18.- М,- 1988.

Публикации автора по теме диссертации

#1. Сахаев И.И., Чирков Г.В. О проективности конечно порожденных плоских модулей //Изв.вузов.Математика,- 1972.-I,- С.85-93.

Сахаев И.И., Чирков Г.В. Проективность конечно порожденных плоских модулей над полулокальным кольцом с единственным примитивным идеалом //Изв.вузов.Математика,- 1970т^6л£1ОО.

ЧЪ. Сахаев И.И. О конечной порожденности проективных мо-

- 25 -

дулей //Изв. вузов.Математика.- 1977.-16 9.- С.69-79.

ЧЧ. Герасимов В.Н., Сахаев И.Я. Контрпример к дв;м гипотезам о проективных, и плоских модулях //Сиб.Матем.журн,- Х->34,-'Г.24.-й б.- С.31-35.

Сахаев И.И. О группе для. полулокальных колец

// Ма+к.ЛГасКь.-ШХЪ-иО.-с. 15Ч--115-. "

46. Сахаев И.И. £81 -кольца и гипотеза Лаэара

И МоА(\.

УГок'/п. - 1$&<). - 1ЧЧ.-с. 2Ч-ЗЯ.

ЧРЬ Сахаев И.И. Совершенные кольца Басса и их обобщение. //Абелевы группы и модули,- Томск.- 1991.-й 1и.- С.6-23.

43. Сахаев И.Л. О кольцах, над которыми всякий конечно порожденный плоский модуль проективен //Изв. вузов.Математика.-

- 1969.-№ 9.- С.65-73. -

43. Сахаев И.И; О конечной порожденности проективных модулей над полулокальными кольцами //Матем.заметки.- 1985,- Т.37,-2.- С.152-161.

5Ь. Сахаев й.И. О поднятии конечной порожденности проектив-? ного модуля по модулю его радикала //Матем.заметки.- 1991.- 49, -й 3.- С.97-107.

3!И. Сахаев Л.Й. О некоторых свойствах плоских модулей //Тезисы сообщ. ХУ Всесоюзн. конф.- Красноярск. 3-6 тля 1979.- С.134.

5Х. Сахаев И. И. О групповых кольцах с полиномиальным тождеством /Д'езисы сообщ. Международной конф. памяти А. Л.и1ирлова,-

- Барнаул. 20-25 августа 1991.- С.105.

53. Сахаев И.И. О конечной порожденности проективных модулей типа Р(Лп~-Лтп-*-1 -Лт) над РТ-кольцами.//Г-взисы сообщ. 1У Всесоюзн. школы "Алгебры Ли и их применение в математике и фи-зике'^ посвященной 80-лзгию со дня рождения проф. В.В.Морозова.

- Казань. 30 мая - 5 июня 1990,- С.41.

54. Сахаев И.И. Обобщение теоремы Басса // Тезисы сообщ. Сибирская школа по многообразиям алгебраических систем. - Барнаул. 1-5 июня 1988.- С.63-65.

55. Сахаев И.И. О конечной порожденности проективных модулей над кольцами с полиномиальными тождествами // Изв.вузов. Математика.- 1969.- № 8,- С.65-75..