Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними

Зиновьев, Егор Геннадьевич

Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Зиновьев, Егор Геннадьевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Томск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2009 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.06 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними»

Автореферат диссертации на тему "Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними"

На правах рукописи

□034В6420

ЗИНОВЬЕВ Егор Геннадьевич

КОЛЬЦА ПСЕВДОАЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ И МОДУЛИ НАД НИМИ

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

О 9 А П Р 2009

Москва - 2009

003466420

Работа выполнена на кафедре алгебры механико-математического факультета Томского государственного университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Крылов Петр Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Защита состоится 20 апреля 2009 г. в 18 часов на заседании диссертационного совета Д 212.154.32 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1, главный корпус МПГУ, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, ул. Малая Пироговская, д. 1.

доцент Кожухов Игорь Борисович

кандидат физико-математических наук, Царев Андрей Валерьевич

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный

политехнический университет

Автореферат разослан «_» марта 2009 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

О.В. Муравьева

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Теория абелевых групп не является замкнутой в том смысле, что важно изучать не только абелевы группы сами по себе, но также конструкции, с помощью которых они появляются или исследуются. Так, исключительно важным и полезным оказывается модульный подход. Например, каждая абелева группа является модулем над своим кольцом эндоморфизмов. Такая точка зрения отражена в книге П.А. Крылова, A.B. Михалева, A.A. Туганбаева [6].'

В последние годы появилось значительное число работ, посвященных сметанным абелевым группам. М по сей день данная тематика остается актуальной и интересной.

Одним важным классом смешанных абелевых групп является класс Q, введеный в работе [22]. Этот класс состоит из самомалых групп G таких, что G/t(G) — делимая группа конечного ранга [13]. Изучению класса Q посвящено большое число работ [1], [2], [13], [19], [20], [22]. В работе [19] A.A. Фомин для изучения групп из класса Q вводит кольцо псевдорациональных чисел. Оказалоссъ, что группы из класса Q — это конечно порожденные модули над таким кольцом. Обратное утверждение с некоторыми ограничениями также имеет место. Кольцом псевдорациональных чисел R называется подкольцо в

17Zp такое, что R = (1, ф2р)*, где р пробегает все простые числа [9]. р р

Для изучения sp-rpynn (от слов «сумма» и «произведение»), независимо

от A.A. Фомина, П.А. Крылов [4] вводит и использует, то же кольцо псевдорациональных чисел. Редуцированная смешанная абелева группа А называется sp-группой, если естественное вложение $ Ар —> А продолжается до

psp

сервантного вложения А J] Ар, где Ар — ¿^-компонента, т. е. наибольшая

реР

подгруппа в А, являющаяся р-группой. Автор показал, что каждая sp-rpynna является модулем над таким кольцом, и это обстоятельство оказалось полезным при их исследовании [1], [2].

Широкий класс смешанных абелевых групп, а именно, класс факторно делимых групп, определили A.A. Фомин и У. Уиклесс в работе [21] в 1998 г. Он содержит факторно делимые группы без кручения конечного ранга Р. Бью-монта и Р. Пирса [15] и класс Q. Группа G называется факторно делимой, если G не содержит ненулевых делимых периодических подгрупп, но содер-

жит свободную подгруппу F конечного ранга такую, что G/i7 — периодическая делимая группа. Авторы установили двойственность между категорией абелевых групп без кручения конечного ранга QTT и категорией факторно делимых смешанных групп QT>, где морфизмы — это квазигомоморфизмы. Это говорит о богатстве данного класса смешанных групп. Отметим, что каждая группа G € б есть прямая сумма факторно делимой и конечной группы [18]. Найдена тесная связь между факторно делимыми группами и конечно порожденными модулями над кольцом псевдорациональных чисел [10], [18].

A.A. Фомин [19] и П.А. Крылов [4] вместе с кольцом псевдорациональных чисел R (1999 г.) определили класс колец Rx. В данный класс, например, попадает кольцо R. Они рассмотрели основные свойства колец Нх и применили конечно порожденные Дх-модули для изучения смешанных абелевых групп. В своих более ранних работах A.A. Фомин, для изучения абелевых групп без кручения конечного ранга, использует кольцо универсальных чисел и кольца т-адических чисел [17]. Далее используя матрицы с т-адическими элементами, автор построил категорию 7IM, которая эквивалентна категории QV и двойственна категории QTF [11].

Изучение кольца псевдорациональных чисел и модулей над ним имеет и самостоятельный интерес. В статьях [4], [19] приведены основные свойства этого кольца. Описаны шгьективные, проективные, плоские и образующие модули над таким кольцом [12], [9]. Там же найдена полная и независимая система инвариантов проективного модуля.

В диссертации вводится понятие кольца псевдоалгебраических чисел. Такие кольца — это естественное обобщение класса колец Rx и, в частности, кольца псевдорациональных чисел. Идея такого обобщения принадлежит П.А. Крылову. Заметим, что согласно принятой точки зрения кольцо псевдорациональных чисел одно, а колец псевдоалгебраических чисел бесконечно много. Надо отметить, что в частных случаях кольца псевдоалгебраических чисел появились раньше, чем кольцо псевдорациональных чисел. В книге Фукса [8] с помощью колец Rx исследуется ^-регулярность колец, они также используется в статье [13].

Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними имеют много связей с классическими понятиями. Например, строение колец псевдоалгебраических чисел зависит от свойств полей алгебраических чисел. Всякий регу-

лярный модуль есть модуль над некоторым таким кольцом (пример 1.5.).

Диссертация посвящена изучению колец псевдоалгебраических чисел и модулей над ними. Изучение проводилось по следующей схеме, Сначала рассматриваются различные свойства колец псевдоалгебраических чисел. Затем изучаются модули над такими кольцами. Интересно, что, как и в теории абе-левых групп, произвольный модуль над таким кольцом раскладывается в прямую сумму инъективного модуля и в некотором смысле «редуцированного» модуля, а строение «редуцированной» части похоже на строение sp~ группы. A.A. Фомин установил справедливость подобного разложения для случая кольца псевдорациональных чисел [19].

Цель работы. Изучить основные свойства колец псевдоалгебраических чисел. Исследовать основные классы модулей над ними.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные результаты.

• Описаны инъективные и делимые модули, инъективная оболочка модуля, конечно порожденные проективные модули.

• Изучение конечно порожденных модулей сведено к изучению приведенных модулей (модулей со специальными системами образующих).

• Установлены связи конечной порожденности модуля с другими условиями типа конечности (малость, самомалость модуля, дискретность кольца эндоморфизмов в конечной топологии).

• Получены основные результаты о категории W (категория W введена подобно категории Уокера Walk).

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы для исследования абеле-вых групп.

Апробация результатов. По основным результатам диссертации были сделаны доклады на конференциях: «Международная конференция по математике и механике» (Томск, 2003 г.), «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2004 г.), «Ломоносов 2007» (Москва, 2007 г.), «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2007 г.), «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2007 г.), «Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша» (Москва, 2008 г.) и двух Всероссийских симпозиумах по абелевым группам (Бийск, 2005 г. и 2006 г.). Кроме того,

результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета. По теме диссертации опубликовано 9 работ [1]-[9].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, двух глав и списка литературы. Глава 1 состоит из двух параграфов, а глава 2 — из пяти параграфов. Работа изложена на 61 странице.

Содержание работы. Дадим определение кольца псевдоалгебраических

чисел — основного объекта диссертации.

Определение 1.1. Пусть Р — некоторое бесконечное множество простых

чисел. Для каждого простого р G Р пусть Яр = Zp*, где к £ N, или Rp — %v.

Положим К = J7 Rp, Т = ф Rp. Подкольцо R кольца К назовем кольцом реР реР

псевдоалгебраических чисел, если Т С R и R/T — некоторое поле алгебраических чисел Т.

Если Rp = Zp для всех простых р и R/T = Q, то R будет кольцом псевдорациональных чисел [4], [9], [19]. Кольцо псевдоалгебраических чисел R является коммутативным кольцом с единицей. Поле R/T всегда нулевой характеристики. Каждое поле алгебраических чисел реализуется в качестве поля R/T для некоторого кольца псевдоалгебраических чисел R.

Первая глава диссертации носит ознакомительный характер и необходима для общего знакомства с кольцом псевдоалгебраических чисел и модулями над ними.

Обозначим через ер идемпотент введенного кольца R, у которого р-я компонента равна 1, а все остальные компоненты равны 0. Положим

е = ePl + ... + еРк,

где pi,... ,рк — различные простые числа, к G N.

Теорема 1.7. Пусть I — идеал кольца R. Справедливы следующие утверждения:

1) если I С Т, то

/ = ®(/ПДр); реР

2) если I <£Т, то

/ = (1-е)Я©ф(/П/у,

Рб5

где 1-е — идемпотент кольца R, S — некоторое конечное множество простых чисел;

3) любой конечно порожденный идеал кольца R является главным и конечно представимым, то есть R — когерентное кольцо.

Теорема 2.1. Всякий R-модулъ М равен А ф D, где подмодуль А не содержит ненулевых Т-пространств, a D — наибольший подмодуль в М, являющийся J- -пространством.

Предложение 2.3. Пусть А — ' R-модулъ, не содержащий Т-пространств. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) существуют естественные вложения R-модулей

ф APCACJ[AP;

реР реР

2)ТА = $ Ар;

Рер

3) (J] Ар)/А и А/ ® Ар — J--пространства; реР реР

4) А — чистый подмодуль в fj Ар.

РеР

Данные утверждения обобщают соответствующие результаты из [4], [14]. Также в первой главе рассмотрены следующие свойства кольца R: строение фак-торколец, радикал Джекобсона J(R), группа обратимых элементов U(R), простые и циклические модули.

Глава 2 является основной содержательной частью диссертации. Описание инъективных модулей над кольцом псевдорациональных чисел получено в [12]. Оно допускает следующее обобщение.

Теорема 3.6. Произвольный R-модулъ, не содержащий Т-пространств,

итективен тогда и только тогда, когда он имеет вид fj Ар, где каждый

peí3

Ар — итективный Rp-модуль.

Здесь же рассматриваются делимые модули и инъективная оболочка модуля. Основной объект §4 — приведенные модули. Такие модули оказываются удобными для изучения конечно порожденных модулей за счет специально выбранной системы образующих элементов.

Определение 4.2. Конечно порожденный R-иодуль А называется приведенным, если он обладает такой системой образующих а\,... ап, что й\,...,ап — базис ^"-пространства А/ТА. В этом случае систему ai,... ап назовем стандартным базисом. Здесь a¡ = a¡ + ТА, i = 1,..., п.

Предложение 4.4. Пусть А — конечно порожденный 11-модулъ. Тогда А = N ф С, 2(?е N — приведенный Я-модулъ, а С — конечная прямая сумма циклических Яр-модулей.

Кольцо псевдорациональных чисел наследственно [9]. В случае кольца псевдоалгебраических чисел удалось получить ответ только для случая конечно порожденных проективных модулей.

Следствие 5.5.11-модулъ Р является конечно порожденным проективным Я-модулем тогда и только тогда, когда существуют проективные Я-модули А и В, являющиеся прямыми суммами конечного числа циклических Яр-модулей, такие, что для некоторого неотрицательного целого числа п

Я" (В А = Р (В В.

Основной результат §6 утверждает, что малость и конечно порожденность Я-модуля — это эквивалентные свойства. Другими словами, кольцо псевдоалгебраических чисел является устойчивым кольцом.

Теорема 6.2. Для вр-модуля А следующие условия эквивалентны:

1) А — конечно порожденный Я-модулъ;

2) А — N ф С, где N — приведенный Я-модулъ, а С — конечная прямая сумма циклических Яр-модулей;

3) А — малый Я-модулъ;

4) существует конечно порожденный подмодуль Р С А такой, что для канонического гомоморфизма пр : А —> Ар справедливо равенство тгрР — Ар для всех р 6 Р;

5) кольцо Еп(1дЛ дискретно в конечной топологии и существует конечно порожденный подмодуль Р С А такой, что жрР = Ар, если Яр = Ър;

6) А — самомалый Я-модулъ и существует конечно порожденный подмодуль Р С А такой, что ттрР = Ар, если Яр = Ър, а для остальных р, Ар — конечный Яр-модуль;

7) Ее Л = Е [А и существует конечно порожденный подмодуль Р С А такой, что прР = Ар, если Яр = Ър, а для остальных р, Ар — конечный Яр-моду ль.

Здесь ЕъА = Нотд(Д ТА), а Е[А = {ае Е1Л[ а А содержится в сумме конечного числа компонент Ар}.

Также рассмотрена взаимосвязь, упомянутых выше в теореме, условий типа конечности.

В §7 вводится одна приспособленная для изучения Л-модулей категория W. Эта категория подобна категории Уокера Walk. W — аддитивная категория с ядрами и бесконечными суммами, она удовлетворяет слабому условию Гротендика. Даются ответы на такие вопросы. Когда два объекта изоморфны в W1 Когда объект является малым? Рассмотрена также полная подкатегория Wj в W, в которую попадают самомалые Я-модул и, Д-модули с дискретным кольцом эндоморфизмов, конечно порожденные модули. В Wj справедлива теорема Крулля-Шмидта.

Автор искренне благодарит научного руководителя профессора Петра Андреевича Крылова за постановку задач, внимание к моей научной работе, помощь в оформлении статей и данной диссертации.

Список литературы

[1] Крылов П. А. Наследственные кольца эндоморфизмов смешанных абеле-вых групп // Сиб. матем. ж. - 2002. - Т. 43, - № 1. - С. 108-119.

[2] Крылов П.А. Смешанные абелевы группы как модули над своими кольцами эндоморфизмов // Фундам. и прикл. матем. — 2000. — Т. б, — № 3.

- С. 793-812.

[3] Крылов П.А. Абелевы группы и регулярные модули / П.А. Крылов, Е.Г. Пахомова // Матем. заметки. - 2001. - Т. 69, - № 3. - С. 402-411.

[4] Крылов П.А. Об одном классе смешанных абелевых групп / П.А. Крылов, Е.Г. Пахомова, Е.И. Подберезина // Вестник ТГУ. — Томск. — 2000.

- Т. 269. - С. 29-34.

[5] Крылов П.А. Модули над областями дискретного нормирования / П.А. Крылов, A.A. Туганбаев — М.: Факториал Пресс, 2007. — 384 с.

[6] Крылов П.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов / П.А. Крылов, A.B. Михалев, A.A. Туганбаев. — М.: Факториал Пресс, 2006. — 512 с.

[7] Фейс К. Алгебра : кольца, модули и категории. / К. Фейс. — Т. 1. М.: Мир. 1977. - 688 с.

[8] Фукс Л. Бесконечные абелевы группы : в 2 т. / Л. Фукс. — М.: Мир. — Т. 2 - 1977. -335 с.

[9] Царев А.В. Проективные и образующие модули над кольцом псевдораг циональных чисел // Матем. заметки. — 2006. — Т. 80. — № 3. — С. 437-448.

[10] Царев А.В. Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторно делимые группы // Алгебра и анализ. — 2006. — Т. 18. — № 4. — С. 198-214.

[11] Фомин А. А. Категория матриц, представляющая две категории абелевых групп // Фундам. и прикл. математика. — 2007. — Т. 13. — № 3. — С. 223-244.

[12] Чеглякова С.В. Инъективные модули над кольцом псевдорациональных чисел // Фундам. и прикл. математика. — 2001. — Т. 7. — Jft 2. — С. 627-629.

[13] Albrecht U.F. The flat dimension of mixed abelian groups as E-modules / U.F, Albrecht, H.P. Goeters, W. Wickless // Rocky Mountain J. Math. -1995. - V. 25. - P. 569-590.

[14] Arnold D.M. Abelian groups, A, such that Нот(Л, -) preserves direct sums of copies of A / D.M. Arnold, C.E. Murley // Pacific J. of Math. - 1975. -V. 56. № 1. - P. 7-20.

[15] Beaumont R. Torsion free rings / R. Beaumont, R. Pierce // 111. J. Math. — 1961. - V. 5. - P. 61-98.

[16] Files S. Direct sums of self-small mixed groups / S. Files, W. Wickless // J. Algebra. - 1999. - V. 222. - P. 1-16.

[17] Fomin A.A. Finiteli presented modules over the ring of universal numbers // Cont. Math. - 1994. - V. 171. - P. 109-120.

[18] Fomin A.A. Quotient divisible mixed groups // Cont. Math. — 2001. — V. 273. - P. 117-128.

[19] Fomin A.A. Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudorational numbers // Trends in Math. - 1999. - P. 87-100.

[20] Fomin A.A. Self-small mixed abelian groups С with G/T(G) finite rank divisible / A.A. Fomin, W. Wickless // Comm. in Algebra. — 1998. — V. 26. — № 11. — P. 3563-3580.

[21] Fomin A.A. Quotient divisible abelian groups / A.A. Fomin, W. Wickless // Proc. Amer. Math. Soc. - 1998. - V. 126. - P. 45-52.

[22] Glaz S. Regular and principal projective endomorphisrn rings of mixed abelian groups / S. Glaz, W. Wickless // Comm. in Algebra. — 1994. — V. 22. - № 4. - P. 1161-1176.

Основное содержание диссертации отражают

следующие опубликованные работы автора

[1] Зиновьев Е.Г. Об одном обобщении колец псевдорациональных чисел // Вестник Томского государственного университета. — 2006. — № 290. — С. 46-47.

[2] Зиновьев Е.Г. csp-кольца, как обобщение колец псевдорациональных чисел // Фундам. и пряхл. математика. — 2007. — Т. 13. — № 3. — С. 35-38.

[3] Зиновьев Е.Г. Инъективные и делимые модули над csp-кольцами // Вестник Томского государственного университета. — 2007. — № 299. — С. 96-97.

[4] Зиновьев Е.Г. Об одном обобщении колец псевдорациональных чисел // Международная конференция по математике и механике: Тезисы докладов. - Томск, 2003. - С. 46-47.

[5] Зиновьев Е.Г. Моногенные sp-кольца и модули над ними // Абеле-вы группы: Труды Всероссийского симпозиума (Вийск, 22-25 августа 2005). - Бийск, 2005. - С. 17-18.

[6] Зиновьев Е.Г. Строение делимых и инъективных модулей над csp-кольцами // Абелевы группы. Материалы Всероссийского симпозиума (Бийск, 19-25 августа 2006). - Бийск, 2006. - С. 21-23.

[7] Зиновьев Е.Г. Связи конечно порожденных модулей над свр-кольцами с некоторыми условиями конечности // Международная конференция "Алгебра и ее приложения", посвящена 75-летию В.П. Шункова: Тезисы докладов. — Красноярск, 2007. — С. 35-36.

[8] Зиновьев Е.Г. Кпнечно порожденные модули над кольцами псевдоалгебраических чисел // Международная алгебраическая конференция, по-священнная 100-летию со дня рождения А. Г. Куроша: Тезисы докладов. - Москва - МГУ, 2008. - С. 104-105.

[9] Зиновьев Е.Г. Некоторые результаты о конечно порожденных модулях над свр-кольцами // Научная конференция молодых ученых, аспирантов и студентов ММФ, посвященная трехсотлетию со дня рождения Л. Эйлера: Сб. материалов. — Томск — РИО Том. гос. ун-та, 2007. — С. 53-55.

Подп. к печ. 10.03.2009 Объем 0.75 п.л, Заказ №. 33 Тир 100 экз.

Типография Mill У

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Зиновьев, Егор Геннадьевич

Список обозначений

Введение

1 Основные свойства колец псевдоалгебраических чисел и модулей над ними

§1. Кольца псевдоалгебраических чисел.

§2. Общие результаты о модулях над кольцами псевдоалгебраических чисел.

2 Некоторые классы модулей над кольцами псевдоалгебраических чисел

§3. Делимые и инъективные Л-модули

§4. Приведенные Д-модули.

§5. Конечно порожденные проективные Д-модули.

§6. Связи конечно порожденных Д-модулей с некоторыми условиями типа конечности.

§7. Категория W.

Введение диссертация по математике, на тему "Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними"

Актуальность темы. Теория абелевых групп не является замкнутой в том смысле, что важно изучать не только абелевы группы сами по себе, но также конструкции, с помощью которых они появляются или исследуются. Так, исключительно важным и полезным оказывается модульный подход. Например, каждая абелева группа является модулем над своим кольцом эндоморфизмов. Такая точка зрения отражена в книге П.А. Крылова, А.В. Михалева, А.А. Туганбаева [6].

В последние годы появилось значительное число работ, посвященных смешанным абелевым группам. И по сей день данная тематика остается актуальной и интересной.

Одним важным классом смешанных абелевых групп является класс Q, введеный в работе [22]. Этот класс состоит из самомалых групп G таких, что G/t(G) — делимая группа конечного ранга [13]. Изучению класса Q посвящено большое число работ [1], [2], [13], [19], [20], [22]. В работе [19] А.А. Фомин для изучения групп из класса Q вводит кольцо псевдорациональных чисел. Оказалоссь, что группы из класса Q — это конечно порожденные модули над таким кольцом. Обратное утверждение с некоторыми ограничениями также имеет место. Кольцом псевдорациональных чисел R называется подкольцо в ]JZP такое, р что R — (1,0ZP)*, где р пробегает все простые числа [9]. р

Для изучения 5^-групп (от слов «сумма» и «произведение»), независимо от А.А. Фомина, П.А. Крылов [4] вводит и использует, то же кольцо псевдорациональных чисел. Редуцированная смешанная абе-лева группа А называется зр-группой, если естественное вложение ф Ар —> А продолжается до сервантного вложения А —> JJ Ар, где реР реР

Ар — р-компонента, т. е. наибольшая подгруппа в А, являющаяся ргруппой. Автор показал, что каждая sp-rpynna является модулем над таким кольцом, и это обстоятельство оказалось полезным при их исследовании [1], [2].

Широкий класс смешанных абелевых групп, а именно, класс факторно делимых групп, определили А.А. Фомин и У. Уиклесс в работе [21] в 1998 г. Он содержит факторно делимые группы без кручения конечного ранга Р. Бьюмонта и Р. Пирса [15] и класс Q. Группа G называется факторно делимой, если G не содержит ненулевых делимых периодических подгрупп, но содержит свободную подгруппу F конечного ранга такую, что G/F — периодическая делимая группа. Авторы установили двойственность между категорией абелевых групп без кручения конечного ранга QTT и категорией факторно делимых смешанных групп QV, где морфизмы — это квазигомоморфизмы. Это говорит о богатстве данного класса смешанных групп. Отметим, что каждая группа G G Q есть прямая сумма факторно делимой и конечной группы [18]. Найдена тесная связь между факторно делимыми группами и конечно порожденными модулями над кольцом псевдорациональных чисел [10], [18].

А.А. Фомин [19] и П.А. Крылов [4] вместе с кольцом псевдорациональных чисел R (1999 г.) определили класс колец Rx. В данный класс, например, попадает кольцо R. Они рассмотрели основные свойства колец Rx и применили конечно порожденные ^-модули для изучения смешанных абелевых групп. В своих более ранних работах А.А. Фомин, для изучения абелевых групп без кручения конечного ранга, использует кольцо универсальных чисел и кольца т-адических чисел [17]. Далее используя матрицы с т-адическими элементами, автор построил категорию 7ZM, которая эквивалентна категории QV и двойственна категории QTT [11].

Изучение кольца псевдорациональных чисел и модулей над ним имеет и самостоятельный интерес. В статьях [4], [19] приведены основные свойства этого кольца. Описаны инъективные, проективные, плоские и образующие модули над таким кольцом [12], [9]. Там же найдена полная и независимая система инвариантов проективного модуля.

Диссертация посвящена изучению колец псевдоалгебраических чисел и модулей над ними. Изучение проводилось по следующей схеме. Сначала рассматриваются различные свойства колец псевдоалгебраических чисел. Затем изучаются модули над такими кольцами. Интересно, что, как и в теории абелевых групп, произвольный модуль над таким кольцом раскладывается в прямую сумму инъективного модуля и в некотором смысле «редуцированного» модуля, а строение «редуцированной» части похоже на строение sp-группы. А.А. Фомин установил справедливость подобного разложения для случая кольца псевдорациональных чисел [19].

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные результаты.

• Получены основные результаты о категории W (категория W введена подобно категории Уокера Walk).

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы для исследования абелевых групп.

Апробация результатов. По основным результатам диссертации были сделаны доклады на конференциях: «Международная конференция по математике и механике» (Томск, 2003 г.), «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2004 г.), «Ломоносов 2007» (Москва, 2007 г.), «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2007 г.), «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2007 г.), «Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша» (Москва, 2008 г.) и двух Всероссийских симпозиумах по абелевым группам (Вийск, 2005 г. и 2006 г.). Кроме того, результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета. По теме диссертации опубликовано 9 работ ([23]-[31]).

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Зиновьев, Егор Геннадьевич, Томск

1. Крылов П.А. Наследственные кольца эндоморфизмов смешанных абелевых групп // Сиб. матем. ж. — 2002. — Т. 43, — № 1. — С. 108-119.

2. Крылов П.А. Смешанные абелевы группы как модули над своими кольцами эндоморфизмов // Фундам. и прикл. матем. — 2000. — Т. 6, № 3. - С. 793-812.

3. Крылов П.А. Абелевы группы и регулярные модули / П.А. Крылов, Е.Г. Пахомова // Матем. заметки. — 2001. — Т. 69, № 3. — С. 402-411.

4. Крылов П.А. Об одном классе смешанных абелевых групп / П.А. Крылов, Е.Г. Пахомова, Е.И. Подберезина // Вестник ТГУ. — Томск. 2000. - Т. 269. - С. 29-34.

5. Крылов П.А. Модули над областями дискретного нормирования / П.А. Крылов, А.А. Туганбаев — М.: Факториал Пресс, 2007. — 384 с.

6. Крылов П.А. Абелевы группы и их кольца эндоморфизмов / П.А. Крылов, А.В. Михалев, А.А. Туганбаев. — М.: Факториал Пресс, 2006. 512 с.

7. Фейс К. Алгебра : кольца, модули и категории. / К. Фейс. — Т. 1. М.: Мир. 1977. 688 с.

8. Фукс J1. Бесконечные абелевы группы : в 2 т. / JI. Фукс. — М.: Мир.- Т. 2 1977. -335 с.

9. Царев А.В. Проективные и образующие модули над кольцом псевдорациональных чисел // Матем. заметки. — 2006. — Т. 80. — № 3.- С. 437-448.

10. Царев А.В. Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторно делимые группы // Алгебра и анализ. — 2006. — Т. 18. — № 4.- С. 198-214.

11. Фомин А.А. Категория матриц, представляющая две категории абелевых групп // Фундам. и прикл. математика. — 2007. — Т. 13. — № 3. — С. 223-244.

12. Чеглякова С.В. Ипъективные модули над кольцом псевдорациональных чисел // Фуидам. и прикл. математика. — 2001. — Т. 7. — № 2.- С. 627-629.

13. Albrecht U.F. The flat dimension of mixed abelian groups as E-modules / U.F. Albrecht, H.P. Goeters, W. Wickless // Rocky Mountain J. Math.- 1995. V. 25. - P. 569-590.

14. Arnold D.M. Abelian groups, A, such that Hom(A, —) preserves direct sums of copies of A / D.M. Arnold, C.E. Murley // Pacific J. of Math.- 1975. V. 56. № 1. - P. 7-20.

15. Beaumont R. Torsion free rings / R. Beaumont, R. Pierce // 111. J. Math. 1961. - V. 5. - P. 61-98.

16. Files S. Direct sums of self-small mixed groups / S. Files, W. Wickless // J. Algebra. 1999. - V. 222. - P. 1-16.

17. Fomin A. A. Finiteli presented modules over the ring of universal numbers // Cont. Math. 1994. - V. 171. - P. 109-120.

18. Fomin A.A. Quotient divisible mixed groups // Cont. Math. — 2001. — V. 273. P. 117-128.

19. Fomin A.A. Some mixed abelian groups as modules over the ring of pseudo-rational numbers // Trends in Math. — 1999. — P. 87-100.

20. Fomin A.A. Self-small mixed abelian groups G with G/T(G) finite rank divisible / A.A. Fomin, W. Wickless // Comm. in Algebra. — 1998. — V. 26. 11. P. 3563-3580.

21. Fomin A.A. Quotient divisible abelian groups / A.A. Fomin, W. Wickless // Proc. Amer. Math. Soc. 1998. - V. 126. - P. 45-52.

22. Glaz S. Regular and principal projective endomorphism rings of mixed abelian groups / S. Glaz, W. Wickless // Comm. in Algebra. — 1994. — V. 22. № 4. - P. 1161-1176.

23. Зиновьев Е.Г. Об одном обобщении колец псевдорациональных чисел // Вестник Томского государственного университета. — 2006. — № 290. С. 46-47.

24. Зиновьев Е.Г. csp-кольца, как обобщение колец псевдорациональных чисел // Фундам. и прикл. математика. — 2007. — Т. 13. № 3. -С. 35-38.

25. Зиновьев Е.Г. Инъективные и делимые модули над csp-кольцами // Вестник Томского государственного университета. — 2007. — № 299.- С. 96-97.

26. Зиновьев Е.Г. Об одном обобщении колец псевдорациональных чисел // тезисы докладов Международная конференция по математике и механике. Томск, 2003. — С. 46-47.

27. Зиновьев Е.Г. Моногенные sp-кольца и модули над ними // Абелевы группы : труды Всероссийского симпозиума. — Бийск : РИО БПГУ им. В.М. Шукшина, 2005. С. 17-18.

28. Зиновьев Е.Г. Строение делимых и инъективных модулей над csp-кольцами // Абелевы группы : труды Всероссийского симпозиума.- Бийск : РИО БПГУ им. В.М. Шукшина, 2006. С. 21-23.

29. Зиновьев Е.Г. Конечно порожденные модули над кольцами псевдоалгебраических чисел // Материалы Международной алгебраической конференции, посвященнная 100-летию со дня рождения А.Г. Куро-ша. — Москва : Изд-во Московского гос. ун-та, 2008. — С. 104-105.