Согласованные разложения модулей над дедекиндовыми первичными кольцами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Сапкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

ЖЕЛУДЕВ Михаил Валерьевич

СОГЛАСОВАННЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ МОДУЛЕЙ НАД ДЕДЕКИНДОВЫМИ ПЕРВИЧНЫМИ КОЛЬЦАМИ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург 1997

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ — доктор физико- математических наук, профессор ГЕНЕРАЛОВ Александр Иванович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ: доктор физико-математических наук ПАНИН Иван Александрович,

кандидат физико-математических наук БЛАЖЕНОВ Алексей Викторович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ -- Санкт-Петербургский технический университет

Защита состоится "1 " С Н 1998 г. в /¿часов на заседании Диссертационного совета К 063.57.45 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Санкт-Петербургском государственном университете (адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., д.2, математико-механический факультет Санкт-Петербургского государственного университета).

Защита будет проводиться по адресу: 191011, Санкт-Петербург, Набережная реки Фонтанки 27, 3-й этаж, зал заседаний 311 (помещение ПОМИ РАН).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке им.А.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан ФУр 199 3 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета

кандидат физико-математических наук Р.А.Шмидт

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Вопросы согласованных разложений конечно порожденных модулей исследуются еще с начала века. Известная теорема Фробениуса-Штикельбергера (см.[4], а также [5]) о разложении конечно порожденной абелевой группы в прямую сумму циклических подгрупп выводится в известной монографии А.Г.Куроша [6] из так называемой теоремы о согласованных базисах. Если U — конечно порожденная свободная абелева группа и V С U, то существует базис {е,}"=1 группы U такой, что U = и V = ®"=1e,-n,-Z , где т,- делит i (см.[7, стр.

122]). Э.Штейницем в 1912 году аналог этой теоремы был получен для модулей над дедекиндовым кольцом R (см.[8], а также [6]). Если G — конечно порожденный проективный Л-модуль, и Я — его подмодуль, то существует разложение G = <©"= i (?i, где G, — неразложимые модули, и существует цепочка идеалов кольца R

Ji D -h Э ■ ■ О Jn

таких, что Я = Ф"=1 JiGi.

Новая версия этого результата была получена М.Кнэбушем [9, Satz 1], для классических максимальных порядков. Д.Айзен-буд и Л.Робсон получили аналогичный результат для дедекиндо-вых первичных колец [10]. Совсем недавно Л.Клинглер и Л.Леви [11] распространили этот результат на модули над произвольным HNP-кольцом. Однако ситуация бесконечно порожденных модулей исследовалась значительно реже.

В работе И.Коэна и X.Глюка [12] был получен следующий результат. Если Я С G — свободные абелевы группы, то существует разложение G — (Big/Ze,-, е,- £ G, такое, что Я = ф,-e/Zn,-e,-для некоторых целых чисел П{, тогда и только тогда, когда группа G/H является прямой суммой циклических групп.

Недавно П.Хилл и Ч.Меджиббен [13] вывели теорему о согласованных базисах из так называемой "обобщенной теоремы о согласованных базисах", поскольку она дала решение проблемы . тридцатилетней давности, сформулированной в книге Фукса [5, с.203]. Обобщенная теорема о согласованных базисах утвер-

ждает, что две проективные резольвенты абелевой группы А

О -► Я -► в —Р—> А -► О

I (1)

О--> Н' -► С ) А -► О,

где группы С и С' бесконечно порожденные, изоморфны над А тогда и только тогда, когда для любого простого р

{н + Ср\ (Н' + С'р\

Гр ^-ёГ") = Гр ) ■

В настоящей работе исследуются вопросы согласованных разложений бесконечно порожденных модулей над ограниченными дедекиндовыми первичными кольцами.

Цель работы. Целью диссертации является получение аналогов теорем о согласованных базисах и "обобщенной теоремы о согласованных базисах" для модулей над ограниченными дедекиндовыми первичными кольцами.

Общая методика исследований. В работе использованы методы теории колец и модулей, а также линейной алгебры.

Научная новизна. Получены следующие новые результаты:

1) найдены необходимые и достаточные условия нахождения изоморфизмов, дополняющих диаграмму (1) до коммутативной, где все модули рассматриваются над ограниченным дедекиндо-вым первичным кольцом Л;

2) найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы существовали согласованные разложения проективного Я-модуля и его подмодуля.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методика ее исследований применимы в общей теории колец, а также в гомологической алгебре.

Апробация работы. Результаты докладывались на Международной алгебраической конференции памяти Д.К.Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997 г.) и алгебраическом семинаре имени

Д.К.Фаддеева в Санкт-Петербургском отделении Математического института им.В.А.Стеклова Российской Академии Наук.

Публикации. По теме диссертации автором опубликованы три работы ([1-3]).

Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разделенных на 5 параграфов и списка литературы, содержащего 22 наименования. Диссертация содержит 48 страниц компьютерного текста.

Во введении к диссертации дается краткий обзор ее результатов и сделаны некоторые пояснения.

Первая глава состоит из трех параграфов. В первом параграфе приводятся основные сведения об ограниченных дедекин-довых первичных кольцах и категории модулей над ними, содержащиеся в работах [10],[12],[14],[15],[16]. Кроме того, для модуля А над ограниченным дедекиндовым первичным кольцом Я, такого что АР = 0, где Р — максимальный идеал кольца Я, вводится параметр £р(А), равный мощности числа прямых слагаемых, входящих в разложение А, рассматриваемого как модуль над простым кольцом Л = II/Р = Мп(Т>) для некоторого тела V. Этот параметр позволяет сформулировать обобщенную теорему о согласованных разложениях, доказанную в §3.

ТЕОРЕМА 1. Пусть в диаграмме (1) //, Н', <7, С — бесконечно порожденные проективные /{-модули. Тогда равносильны условия:

(1) Существуют изоморфизмы а : Н —+ Н', ¡3 : (7 —»• С, дополняющую диаграмму (1) до коммутативной;

(2) Для любого максимального идеала Р кольца Я имеет место равенство (возможно, бесконечных кардинальных чисел)

Во втором параграфе исследуются свойства проективных модулей над ограниченным дедекиндовым первичным кольцом Я. Особенно важным оказывается нахождение необходимых и достаточных условий выделяемости подмодуля проективного правого

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Я-модуля в качестве прямого слагаемого. Кроме того, доказаны следующие технические результаты, имеющие самостоятельный интерес.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Пусть п — натуральное число, а Р -максимальный идеал в Я. Тогда Р~1/Я существенен в Р~"/Я.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Пусть В — проективный Я-модуль, Р — максимальный идеал в Ли А-— подмодуль такой, что ВР С А С В. Тогда

В/А ~ ВР/АР ~ ВР~1/АР-1.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 4. Пусть х' е Я, J — существенный правый идеал в Я. Тогда существует регулярный элемент х Е х' + J.

В третьем параграфе доказывается обобщенная теорема о согласованных разложениях. Наиболее существенным моментом доказательства является следующее

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Пусть в диаграмме (1) Я, Я', С, С — бесконечно порожденные свободные правые Я-модули, гк С — гкС, С - М ф Си С = М' Ф С;, где М и М' - свободные модули, и задан изоморфизм п : М -> М', где для любого т Е М' р'(т) = рж(т) и, кроме того, гк М < гк Н, гк М' < гкН'. Пусть для любого максимального идеала Р кольца Я выполняется равенство

Я П (M + GP)) г \Н' П (M' + G'P)

Тогда для любых конечных подмножеств S и S' в G и G', соответственно, существует изоморфизм т : N N', где N и N' — свободные прямые слагаемые в G и G', соответственно, M U S С N, M' U S' С N', т\м, - 7г, N/M, N'/M' — конечно порожденные модули и, кроме того, выполняются условия:

(i) для любого n £ N' р'(п) — рт(п);

(ii) гк N < гк M, гк N' < гк М';

(iii) для любого максимального идеала Р кольца Я

Hn(N + GP)J r \H'n{N' + G'P)

Затем из этого предложения выводится обобщенная теорема о согласованных разложениях путем "наращивания" прямых слагаемых М и М'. Оказывается весьма интересным, что параметр

9{М>Р) = (нпЩ + GP)) = £Р (Н>П(М> + С>Р))

ведет себя так, что он либо равен нулю, либо больше мощности числа образующих модуля М.

В четвертом параграфе диссертации рассматриваются некоторые свойства Я-примарных модулей и, наконец, в пятом параграфе из обобщеной теоремы о согласованных разложениях выводится теорема, обобщающая результат Коэна-Глюка:

ТЕОРЕМА 6. Пусть в категории правых Я-модулей дана короткая точная последовательность

в которой А периодический модуль, a G — свободный модуль бесконечного ранга. Равносильны следующие утверждения:

(1) Существует базис {e¿}¿g/ модуля G такой, что Я = (Bie/e,- J¿, где Ji — существенные правые идеалы кольца Я.

(2) А — прямая сумма конечно порожденных модулей. Кроме того, результат Клинглора-Леви [11, теорема 4.11] позволяет получить некоторое усиление этой теоремы.

ТЕОРЕМА 7. Пусть Яд С Gr — проективные Я-модули. Для того, чтобы существовало разложение G = ®¿e/G¿, где G,— неразложимые проективные модули, такое, что Я = ©¿£/(Я П Gi), необходимо и достаточно, чтобы модуль G/H был прямой суммой конечно порожденных модулей.

Цитированная литература

4. Frobenius G., Stichelbeiger L. Uber Gruppen von vertauschbaren Elementen, J.reine andew. Math., 86(1878), 217-262

5. Fuchs L. Abelian groups, Publishing House of the Hungariun Acad. Sei. Budapest, 1958

6. Курош А.Г. Теория групп. М., Наука, 1967

7. Кэртис Г.,Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М., Наука, 1969

8. Steinitz Е. Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern. I, II, Math. Ann. 71(1912), 328-354, 72(1912), 297-345.

9. Knebusch M. Elementarteilertheorie über Maximalordnungen, J.reine angew. Math. 226(1967), 175-183

10. Eisenbud D.,Robson J. Modules over Dedekind prime rings. J.Algebra, 16(1970), N 1, 67-85

11. Klingler L.,Levy L. Wild torsion modules over HNP, J.Algebra, 177(1995), N 2, 273-300

12. Cohen J., Gluck H. Stacked bases for modules over principal ideal domains. J.Algebra, 14(1970), N 4, 493-505

13. Hill P., Megibben C. Generalizations of the stacked bases theorem. Trans. Amer. Math. Soc. 312(1989), N 1, 377-402

14. Gwynne I.,Robson J. Completions of Dedekind prime rings, J.London Math. Soc. 4(1971), N 2, 346-352

15. Marubayashi H. Modules over Dedekind Prime Rings, Osaka J.Math. 9(1972), 95-110

16. Robson J. Non-commutative Dedekind rings. J.Algebra, 9(1967), N 3, 249-265

Работы автора по теме диссертации

1. Генералов А.И., Желудев М.В. Теорема о согласованных базисах в модулях над дедекиндовыми кольцами. Алгебра и анализ, 7(1995), вып.4, 157-175

2. Генералов А.И., Желудев М.В. Согласованные разложения модулей над дедекиндовыми первичными кольцами. Алгебра и анализ, 9(1997), вып.4, с.47-62

3. Generalov А.1., Zheludev M.V. Simultaneous decompositions of projective modules over bounded Dedekind prime rings. Международная алгебраическая конференция памяти Д.К.Фаддеева, Тезисы докладов. Санкт-Петербург, 1997, с.48

ЛР№ 040815 от 22.05.97. Подписано к печати 29.01.98 г Уел.-печ. л. 0,5. Тираж 100 экз. Заказ 197. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии НИИ химии СПбГУ 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр. 2.