Модули над кольцами с условиями конечности теоретико-модельного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение

1 Сильно минимальные модули

1.1 Теория моделей для модулей.

1.1.1 Позитивно-примитивные формулы.

1.1.2 Чисто-инъективные модули

1.1.3 Теория стабильности.

1.1.4 Кольца и модули.

1.2 Базисные свойства сильно минимальных модулей.

1.3 Сильно минимальные модули над коммутативными кольцами

1.3.1 Теория моделей для делимых модулей над областью

1.3.2 Кольцо рр-определимых эндоморфизмов.

1.3.3 Классификация сильно минимальных модулей над коммутативным кольцом.

1.3.4 Сильно минимальные модули над коммутативными прюферовыми кольцами.

1.3.5 Инъективные сильно минимальные модули над коммутативными кольцами.

1.4 Сильно минимальные модули над произвольными кольцами

1.4.1 Сильно минимальные модули над областями Ope

1.4.2 Сильно минимальные модули над кольцами с бесконечным центром

1.4.3 Сильно минимальные модули над дистрибутивными справа кольцами.

1.4.4 Дистрибутивные справа левые области Ope.

Гипотеза Воота для модулей

2.1 Определения и вспомогательные результаты.

2.2 Гипотеза Воота для модулей над наследственными нетеровыми первичными кольцами.

2.2.1 Кольца, имеющие классическое правое кольцо частных

2.2.2 Наследственные нетеровы первичные кольца.

2.2.3 Ручные наследственные конечномерные алгебры

2.3 Гипотеза Воота для модулей над полуцепными кольцами

2.3.1 Локализующие наборы для модулей с малым числом типов

В работе Лося [42] высказана гипотеза: "если полная теория Т первого порядка имеет ровно одну (с точностью до изоморфизма) модель мощности А > |Т|, то для любой мощности ¡1 > \Т\ теория Т имеет ровно одну модель мощности //'. Эта гипотеза для счетных теорий была подтверждена Морли [54], а для несчетных ■—• Шелахом [78]. Счетная теория, обладающая таким свойством, называется несчетно категоричной, или и>1-категоричной. Однако методы Морли являются слишком общими, чтобы получить достаточно тонкие результаты о структуре моделей несчетно категоричных теорий. Основные структурные результаты здесь получены методом сильно минимальных множеств, впервые примененным в данной ситуации Маршем в 1966 году. Марш ввел также понятие сильно минимальных формул. Болдуин и Лахлан [14] продемонстрировали важную роль сильно минимальных формул при изучении несчетной категоричности. В этой же работе было введено понятие сильно минимальной теории. Понятие сильно минимальной алгебраической системы сыграло решающую роль в решении Б. И. Зильбером проблемы конечной аксиоматизируемости для тотально категоричных теорий.

Бесконечная алгебраическая система А называется сильно минимальной, если любая формула с параметрами из элементарного расширения системы А определяет в ней конечное или коконечное подмножество. Бесконечная алгебраическая система А называется минимальной, если любая 4 формула с параметрами из А определяет в ней конечное или коконечное подмножество.

Понятие сильно минимальной алгебраической системы (или сильно минимального множества) в последнее время стало особенно актуальным в связи с бурным развитием геометрической теории стабильности — области теории моделей, созданной Б. И. Зильбером и блестяще развитой в серии современных работ Хрушовски. Методы, созданные в рамках этой теории, привели к решению известных проблем из различных областей математики, внешне довольно далеких от теории моделей (упомянем, например, недавнее решение Хрушовски проблемы Морделла).

Основная идея геометрической теории стабильности — изучение геометрии сильно минимального множества, порожденной оператором алгебраического замыкания на нем, а затем восстановление всей структуры модели теории из геометрий ее сильно минимальных множеств. Б. И. Зильбер предположил, что существует только три типа геометрий сильно минимальных множеств: 1) проективная (геометрия подпространств векторного пространства над телом); 2) геометрия алгебраически замкнутого поля (с оператором алгебраического замыкания) и 3) вырожденная. Но недавно Хрушовским были найдены принципиально новые классы сильно минимальных множеств, требующие дальнейшего изучения.

Так как сильно минимальные множества и сильно минимальные теории органически связаны, то задача описания сильно минимальных теорий фиксированной сигнатуры является актуальной.

Минимальные кольца изучались Подевски [61]. Он доказал: если К — минимальное кольцо, то Я —1 алгебраически почти замкнутое поле. Заметим, что если Я — сильно минимальное кольцо, то К — алгебраически замкнутое поле. 5

Для модулей над кольцом понятия минимальности и сильной минимальности совпадают. Сильно минимальные группы изучались Райнеке [70]. Он дал полное описание сильно минимальных групп. В частности, любая сильно минимальная группа абелева.

Из классификации Е. А. Палютина [7] категоричных квазимногообразий, в частности, вытекает описание сильно минимальных квазимногообразий произвольной сигнатуры. Заметим, что на большинстве категоричных квазимногообразий можно формульно определить структуру векторного пространства над телом. Кроме того, как показал Пилэй [60], модули естественно возникают при изучении групп, определимых в 1-базируемых теориях (понятие более общее, чем сильная минимальность). Поэтому изучение сильно минимальных теорий модулей представляется естественной и важной задачей.

В конце 60-х годов Шелах инициировал новую далеко идущую программу, которую он назвал "теория классификаций". Целью этой программы было для произвольной теории первого порядка Т либо "классифицировать" , с точностью до изоморфизма, модели теории Т, либо показать, что такая классификация невозможна. "Классифицировать" модели теории Т означало сгруппировать их в подклассы, обладающие "хорошими" свойствами, и затем доказать, что каждая модель этой теории действительно принадлежит в точности одному подклассу. Невозможность классификации в программе Шелаха обычно означала, что теория Т имеет 2 А неизоморфных моделей мощности А для всех больших А . Шелах доказал, что таким свойством обладает всякая нестабильная теория. Теория классификаций изложена в книге Шелаха [79].

Работа Морли [54] явилась исходной точкой теории классификаций. В ней была поставлена важная проблема: какое число неизоморфных счетных моделей может иметь счетная (¿^-категоричная теория. Морли показал позднее, что число таких моделей не более чем счетно. Болдуин и 6

Лахлан [14] уточнили, что число таких моделей равно 1 или •

Программа Шелаха породила интерес к вопросу о числе неизоморфных моделей данной теории, имеющих фиксированную мощность. Так как широко распространена точка зрения, что среди всех моделей весьма существенную роль играют счетные модели, то вопрос о числе неизоморфных счетных моделей данной теории представляет особый интерес. Кроме того, существует уверенность в том, что счетная теория с малым (то есть меньшим чем континуум) числом неизоморфных счетных моделей допускает хорошую структурную теорию. Отметим, что для проверки гипотезы Воота, о которой мы будем подробно говорить ниже, всегда можно ограничиться счетными теориями с малым числом моделей.

Валериот [85] описал локально конечные разрешимые сильно абелевы многообразия с малым числом моделей. Харт и Валериот дали полное описание сильно абелевых многообразий с малым числом моделей [33, теор. 2.22, стр. 849].

Многие свойства теорий с малым числом моделей следуют из более слабого ограничения на теорию — ограничения на число типов теории. Например, для проверки гипотезы Воота достаточно ограничиться теориями с малым числом типов, то есть такими полными теориями первого порядка Т, что для любого натурального п теория Т имеет только счетное число п-типов. Мы будем подробно рассматривать здесь полные теории модулей с малым числом типов и с малым числом моделей.

Полные теории модулей с малым числом типов изучались Херцо-гом [34]. Он дал полезную характеризацию таких теорий [34, теор. 1.2, стр. 360], используя свойства множества типов изоморфизма чисто-инъективных неразложимых модулей, являющихся прямыми слагаемыми моделей теории Т. Кроме того, он доказал, что полная теория модулей Т имеет малое число типов тогда и только тогда, когда Тш имеет малое число типов [34, следст. 1.3, стр. 361]. 7

В 1961 году Boot [86, стр. 320] поставил вопрос, можно ли доказать, не используя континуум-гипотезу, что существует счетная полная теория, число неизоморфных счетных моделей которой есть (первый несчетный кардинал). Следующее утверждение известно как гипотеза Воота:

Гипотеза 0.0.1 (Гипотеза Воота) Пусть Т — счетная полная теория первого порядка. Если число неизоморфных счетных моделей теории Т несчетно, то Т имеет 2W неизоморфных счетных моделей.

В дальнейшем через I(Т, N0) будем обозначать число неизоморфных счетных моделей теории Т.

Boot доказал [86, теор. 6.1, стр. 320], что для любого натурального п, кроме п = 0 и п = 2, существует такал счетная полная теория Т, что I(Т, Н0) = п. Следующий результат в этом направлении был получен в 1970 году Морли. Он доказал [55], что если 1(Т, К0) > , то I(Т, К0) = 2Ш, где Т — счетная полная теория. Таким образом, для подтверждения гипотезы Воота достаточно элиминировать случай и>i. Тем не менее ее справедливость установлена только в очень частных случаях и не видно общих подходов к ее проверке даже для конкретной сигнатуры. Следует отметить, что Шелах [80] доказал, что гипотеза Воота верна для (¿-стабильных теорий.

Близкой по содержанию к гипотезе Воота является следующая гипотеза А. Мартина.

Гипотеза 0.0.2 (Гипотеза Мартина) Если Т — счетная полная теория первого порядка, число неизоморфных счетных моделей которой менее чем 2Ш , то любые две неизоморфные счетные модели теории Т различаются типами, которые они реализуют. 8

Известно, что из гипотезы Мартина следует гипотеза Воота [88, стр. 48]. Для ш-стабильных теорий гипотезу Мартина проверила Бус-карен [18].

Отметим, что все доказательства, связанные с проверкой гипотез Воота и Мартина, чрезвычайно трудны, требуют создания новых методов и использования специальной техники. Эти гипотезы были проверены в нескольких частных случаях. Так, Рабин [76, теор. 6.7, стр. 423] показал, что если А — бесконечный линейный порядок с конечным или счетным числом унарных предикатов, то число неизоморфных счетных моделей теории ТЬ(Л) либо конечно, либо 2Ш. Кроме того, он доказал, что если число унарных предикатов конечно, то либо ЦТ, Ко) = 1, либо 1(Г,К0) = 2" [76, теор. 6.12, стр. 425]. Маркус [47, теор. 1, стр. 171] и Миллер [52] доказали, что гипотеза Воота справедлива для любой теории Т первого порядка в языке, содержащем одну унарную операцию: 1(Т, Но) = 1 > ^о) = и> или I(Г, Ко) = 2Ш . Заметим, что случай счетных полных теорий в языке, содержащем две унарные операции, эквивалентен гипотезе Воота в общем случае [15]. Стил [82, теор. 2.1.1, стр. 200] доказал, что гипотеза Воота верна для теории деревьев. Было бы естественно обобщить доказательство Стила на теорию произвольных частичных порядков. Однако Миллер [82, стр. 206] показал, что гипотеза Воота для теории частичных порядков эквивалентна гипотезе Воота в общем случае, и его доказательство продемонстрировало, что теория частичных порядков в этом контексте не проще, чем теория произвольных бинарных отношений. Гипотеза Воота для конгруэнц модулярных многообразий и для "большинства" универсальных хорновых теорий была проверена Болдуином и Маккензи [15]. Харт, Старченко и Валериот доказали, что гипотеза Воота справедлива для многообразий [32, следст. 0.13, стр. 176]. Это является обобщением только что упомянутого результата Болдуина и Маккензи о конгруэнц-модулярных многообразиях. Вагнер [87] доказала, что для теории деревьев со счетным числом унарных предика9 тов верна гипотеза Мартина. Мейер [50, теор. 5.1, стр. 157, теор. 6.1, стр. 158] проверила гипотезы Воота и Мартина для О-минимальных теорий. Биклер проверил гипотезу Воота для счетных слабо минимальных теорий [20]. Пилэй [59] и Невельский [56] проверили справедливость гипотезы Воота для некоторых классов суперстабильных регулярных групп. Jloy и Пилэй [46] доказали гипотезу Воота для суперстабильных теорий, в которых нельзя определить бесконечную группу. Кроме того, Пилэй [58] проверил эту гипотезу для тривиальных 1-базируемых теорий. Он доказал, что 1(Т, К0) = 2Ш для такой теории Т. Этот результат Пилэя был обобщен Ловейсом и Тановичем [45] для стабильных "конечно базируемых" теорий, в которых нельзя определить бесконечную группу. Здесь также выполняется равенство I (Г, = 2Ш .

Можно надеяться, что в случае модулей над (счетным) кольцом гипотетическая структурная теория будет носить алгебраический характер, то есть содержать естественные конструкции типа разложений в прямые суммы. Так, Каравалья [31] при проверке гипотезы Воота для ш-стабильных теорий модулей на завершающем этапе использует разложение в прямую сумму модулей, для которого верна теорема Крулля-Шмидта. Болдуин и Маккензи доказали, что если многообразие всех модулей над счетным кольцом имеет менее чем континуум неизоморфных счетных моделей, то каждый модуль над этим кольцом oi-стабилен [15, теор. 8.7, стр. 376]. Кольца с этим свойством должны быть чисто полупростыми справа [32, стр. 175].

Несколько особняком стоит работа Биклера [21], где он проверил гипотезу Воота для модулей U-ранга 1. Его доказательство основано на идеях геометрической теории стабильности, и до сих пор не существует чисто кольцевого изложения этого результата. Так^Херцог [34] и Ротма-лер [73], используя только теоретико-модульные аргументы, доказали, что каждый модуль U-ранга 1 над односторонним нетеровым кольцом, имеющий малое число типов, ш-стабилен. Эти результаты Херцога и

10

Ротмалера показывают, что гипотезы Воота и Мартина справедливы для произвольной полной теории модулей 11-ранга 1 над односторонним нете-ровым кольцом, поскольку они верны для а>-стабильных теорий. Кроме того, Биклер показал, что гипотеза Воота для произвольных алгебраических структур конечного и-ранга может быть в значительной мере сведена к случаю модулей.

Проверяя гипотезу Воота для модулей, естественно фиксировать некоторый хороший класс колец, в предположении, что модули над ним могут быть произвольными. Так, Циглер [93, теор. 10.3, стр. 205] показал, что если Я — (счетная) коммутативная дедекиндова область и М не является о;-стабильным, то 1(ТЬ(М),Ко) = 2Ш. Таким образом, гипотеза Воота верна для любой полной теории модулей над (счетной) коммутативной дедекиндовой областью.

Настоящая работа посвящена изучению строения модулей над кольцами с условиями конечности теоретико-модельного типа. В качестве таких условий рассматриваются: а) сильная минимальность модуля; б) малое число моделей у теории модуля; в) малое число типов у теории модуля; г) Е-чисто-инъективность модуля.

В сравнение с предшествующими работами, посвященными этой тематике, предложенная в диссертации техника позволяет существенно задействовать аппарат теории колец и модулей для алгебраического описания сильно минимальных модулей и для проверки гипотез Воота и Мартина для полных теорий модулей над широкими классами колец. С другой стороны, предложенный в работе аппарат привносит теоретико-модельную интуицию в стандартные методы теории колец и модулей.

11

При этом некоторые достаточно сложные теоретико-кольцевые вопросы получают прозрачные формулировки на языке теории моделей, что открывает возможность их эффективного исследования.

Основные результаты диссертации следующие:

1) Получено полное алгебраическое описание сильно минимальных модулей над коммутативными кольцами. Показано, что основным модельным примером сильно минимального модуля над коммутативным кольцом является артинов делимый модуль над локальной 1-мерной не-теровой областью (теорема 1.3.34).

2) Получено полное алгебраическое описание сильно минимальных модулей над дистрибутивными справа кольцами (теорема 1.4.27).

3) Установлено, что гипотезы Воота и Мартина верны для модулей над счетными наследственными нетеровыми первичными кольцами. Доказано, что теория любого модуля М над счетным наследственным не-теровым первичным кольцом имеет малое число типов тогда и только тогда, когда М является Е-чисто-инъективным (теорема 2.2.17, следствия 2.2.20 и 2.2.21).

4) Установлено, что гипотезы Воота и Мартина справедливы для модулей над ручными наследственными конечномерными алгебрами над счетным бесконечным полем (теорема 2.2.22, следствия 2.2.23 и 2.2.24).

5) Установлено, что гипотезы Воота и Мартина верны для модулей над счетными полуцепными кольцами. Доказано, что теория любого модуля М над счетным полуцепным кольцом имеет малое число моделей тогда и только тогда, когда она имеет малое число типов и это эквивалентно Е-чисто-инъективности модуля М. Отсюда следует полное описание модулей с малым числом моделей над полуцепными кольцами (теорема 2.3.23, следствия 2.3.24 и 2.3.25).

12

6) Установлено, что гипотезы Воота и Мартина верны для модулей над счетными коммутативными прюферовыми кольцами. Доказано, что теория любого модуля М над счетным коммутативным прюферовым кольцом имеет малое число типов тогда и только тогда, когда М является Е-чисто-инъективным. Отсюда следует полное описание модулей с малым числом типов над коммутативными прюферовыми кольцами (теорема 2.4.3, следствия 2.4.10 и 2.4.11). Показано, что для модулей над коммутативным прюферовым кольцом и над наследственным нетеровым первичным кольцом, в отличие от модулей над полуцепным кольцом, импликация "мало типов =>• мало моделей" не выполняется (пример 2.4.12).

Результаты работы докладывались на международных конференциях по алгебре (Новосибирск, 1989 [108], Барнаул, 1991 [109], Красноярск, 1993 [113]), на вторых математических чтениях памяти М.Я. Сус-лина (Саратов, 1991 [110]) и на конференциях по математической логике (Казань, 1992 [112] и 1994 [114], Новосибирск, 1999 [121]), на математических чтениях МГСУ (Москва, 1995-2000 [115], [116], [117], [119], [123]), на семинаре института логики (Киль, Германия, июнь 1994), на Логическом Коллоквиуме (Лидс, Великобритания, июль 1997 [118]), на семинарах университета г. Манчестер (Великобритания, июнь-июль 1997, июнь-июль 2000), колледжа Марии и Вестфилд (Лондон, Великобритания, июнь 1997) и университета г. Оксфорд (Великобритания, июль 1997, июль 2000), а также на второй международной конференции по полугруппам (Санкт-Петербург, 1999 [120]), на международном семинаре по универсальной алгебре и ее приложениям (Волгоград, 1999 [122]), на международной конференции "Логика и приложения" (Новосибирск, 2000 [124]), на 12-й международной конференции "Формальные степенные ряды и алгебраическая комбинаторика" (Москва, 2000 [126]) и на международном алгебраическом семинаре (Москва, 2000 [127]). Кроме того, автор неоднократно выступала с сообщениями по теме диссертации на семинарах "Алгебра и логика" (Институт математики СО РАН, Новосибирск),

13

Кольца и модули" (МГУ), а также на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры МГУ и на научно-исследовательском семинаре кафедры математической логики МГУ.

Результаты по теме диссертации опубликованы в работах автора [96]—[127], при этом основные результаты опубликованы в работах [96]-[106] (работа [98] выполнена совместно с И. Херцогом и работа [101] выполнена совместно с М. Престом).

Приведем теперь краткое содержание диссертации.

1. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.

2. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра.— М.: Мир, 1971. — 707 с.

3. Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. М.: Наука, 1980. — 415 с.

4. Каш Ф. Модули и кольца. — М.: Мир, 1981. — 368 с.

5. Кон П. Свободные кольца и их связи. — М.: Мир, 1975. — 422 с.

6. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука. — 1970. — 392 с.

7. Палютин Е. А. Описание категоричных квазимногообразий // Алгебра и логика. — 1975. — 14, N 2. — С. 145-185.

8. Пунинский Г. Е., Туганбаев A.A. Кольца и модули. — М.: Союз, 1998. — 420 с.

9. Скорняков Л. А. (под общей редакцией) Общая алгебра, т. 1. — М.: Наука, 1990. — 591 с.

10. Справочная книга по математической логике, ч. 1. Теория моделей. — М.: Наука, 1982. — 392 с.173

11. Туганбаев A.A. Наследственные кольца // Матем. заметки. — 1987. — 41, N 3. — С. 303-312.

12. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, т. 1. — М.: Мир, 1977. — 688 с.

13. Фейс К. Алгебра: кольца, модули и категории, т. 2. — М.: Мир, 1979. — 464 с.

14. Baldwin J. Т., Lachlan А.Н. On strongly minimal sets //J. Symb. Logic. — 1971. — 36. — P. 79-96.

15. Baldwin J.Т., McKenzie R.N. Counting models in universal Horn classes // Algebra Universalis. — 1982. — 15. — P. 359-384.

16. Baur W. Elimination of quantifiers for modules // Israel J. Math. — 1976. — 25, N 1-2. — P. 64-70.

17. Bessenrodt K., Brungs H.H., Törner G. Right chain rings. Part 1, Schriftenreihe des Fachbereichs Math. Universität Duisburg. — 1990. — 181.

18. Bouscaren E. Martin's conjecture for ш-stable theories // Israel J. Math.1984. — 49, N 1-3. — P. 15-25.

19. Brenner S. Decomposition properties of some small diagrams of modules // Symp. Math. — 1974. — 13. — P. 127-141.

20. Buechler S. The classification of small weakly minimal sets I. // In: Classification Theory, Proceedings. — J.T. Baldwin, Chicago, 1985.P. 32-71.

21. Buechler S. The classification of small weakly minimal sets III. Modules //J. Symb. Logic. — 1988. — 53, N 3. — P. 975-979.174

22. Camps R., Facchini A. The Prüfer rings that are endomorphism rings of artinian modules // Commun. Algebra. — 1994. — 22. — P. 31333157.

23. Crawley-Bouvey W.W. On tame algebras and bocses // Proc. Lond. Math. Soc., Part 3. — 1988. — 56. — P. 451-483.

24. Crawley-Bouvey W. W. Modules of finite length over their endomorphism rings // London Math. Soc. Lect. Notes Ser. — 1992. — 168. — P. 127-184.

25. Eklof P., Herzog I. Model theory of modules over a serial ring // Ann. Pure Appl. Logic. — 1995. — 72. — P. 145-176.

26. Eklof P., Sabbagh G. Model completions and modules // Ann. Math. Logic. — 1971. — 2, N 3. — P. 251-295.

27. Facchini A. Relative injectivity and pure-injective modules over Prüfer rings // J. Algebra. — 1987. — 110. — P. 380-406.

28. Facchini A. Divisible Modules and Space of Divisibility of an Integral Domain // Annali di Matematica pure ed applicata, IV. — 1989. — CLV. — P. 389-399.

29. Facchini A., Puninski G.E. S-pure-injective modules over serial rings // "Abelian groups and modules". — A. Facchini, C. Menini eds., Kluwer Acad. Publishers, Dodrecht, 1995. — P. 145-162.

30. Fuchs L., Salce L. Modules over valuation domains. Lect. Notes Pure Appl. Math. — 1985. — 97.

31. Garavaglia S. Decomposition of totally transcendental modules // J. Symb. Logic. — 1980. — 45, N 1. — P. 155-164.

32. Hart B., Starchenko S., Valeriote M. Vaught's conjecture for varieties // Trans. Amer. Math. Soc. — 1994. — 342, N 1. — P. 173-196.175

33. Newelski L. Vaught's conjecture for some meager groups // Israel J. Math. — 1999. — 112. — P. 271-299.

34. Pillay A. An Introduction to Stability Theory (Oxford Logic Guides, v. 8). — Oxford: Clarendon Press, 1983.

35. Pillay A. Countable models of l-based theories // Archive for Math. Logic. — 1992. — 31. — P. 163-169.

36. Pillay A. On certain locally modular regular superstable groups. — Preprint. — 1992.

37. Pillay A. Geometric Stability Theory (Oxford Logic Guides, v. 32). — Oxford: Clarendon Press, 1996.

38. Podewski K. P. Minimale Ringe // Math.-Phys. Semesterberichte. — 1975. — 22, N 2. — P. 193-197.

39. Point F. Problèmes de décidabilité pour les théories de modules // Bull. Belg. Math. Soc. Ser. B. — 1986. — 38. — P. 58-74.

40. Prest M. Model theory and modules (London Math. Soc. Lect. Note Ser., v. 130). — Cambridge: Cambridge University Press, 1988.

41. Prest M. Remarks on elementary duality // Ann. Pure Appl. Logic. — 1993. — 62. — P. 183-205.

42. Prest M. Ziegler spectra of tame hereditary algebras //J. Algebra. — 1998. — 207. — P. 146-164.

43. Prest M., Puninski G. E. £-pure-injective modules over a commutative Prufer ring // Commun. Algebra. — 1999. — 27. — P. 961-971.

44. Prest M., Rothmaler Ph., Ziegler M. Absolutely pure and flat modules and "indiscrete" rings // J. Algebra. — 1995. — 174. — P. 349-372.178

45. Puninski G., Prest M., Rothmaler Ph. Rings described by various purities 11 Commun. Algebra. — 1999. — 27, N5. — P. 2127-2162.

46. Puninski G., Wisbauer R. H-injective modules over left duo and left distributive rings // J. Pure Appl. Algebra. — 1996. — 113. — P. 5566.

47. Reineke J. Minimale Gruppen // Zeitschr. Math. Logik Gründl. Math.1975. — 21. — P. 357-359.

48. Ringel C. M. The representation type of local algebras, in: Representations of Algebras (Lecture Notes in Mathematics, v. 488). — Berlin: Springer-Verlag, 1975. — P. 282-305.

49. Rothmaler Ph. Some model theory of modules. II. On stability and categoricity of flat modules // J. Symb. Logic. — 1983. — 48, N 4. — P. 970-985.

50. Rothmaler Ph. Independence in U-rk 1 modules with few types. — Preprint. — Christian -Albrechts-Universität, Kiel, 1987.

51. Rothmaler Ph. A trivial remark on purity. Proceedings of the Ninth Easter Conference on Model Theory, Gosen, Seminarbericht Nr. 112.Berlin: Humboldt-Universität zu Berlin, 1991. — P. 127.

52. Rowen L. H. Ring Theory. — London: Academic Press, 1991.

53. Rubin M. Theories of linear order // Israel J. Math. — 1974. — 17.P. 392-443.

54. Sabbagh G. Aspects logiques de la pureté dans les modules // C.R. Acad. Sei. Paris. — 1970. — 271. — P. 909-912.

55. Shelah S. Categoricity of uncountable theories // In: Proceedings of Tarski's Symposium, Symp. Pure Math. — 1974. — 25. — P. 187-204.179

56. Shelah S. Classification theory and the number of non-isomorphic models. — Amsterdam, 1978.

57. Shelah S, Harrington L. A., Makkai M. A proof of Vaught's conjecture for u-stable theories // Israel J. Math. — 1984. — 49, N 1-3. — P. 259280.

58. Stafford J. T., Warfield R. B. Constructions of hereditary Noetherian rings and simple rings // Proc. Lond. Math. Soc. — 1985. — 51. — P. 1-20.

59. Steel J. On Vaught's conjecture. In: Cabal Seminar 76-77, ed. A.S. Kechris, Y.N. Moschovakis, Lecture Notes in Math., 1978, 689.Berlin: Springer. — P. 193-208.

60. Stenstrôm B. Rings of Quotients. — Berlin: Springer, 1975.

61. Stephenson W. Modules whose lattice of submodules is distributive // Proc. Lond. Math. Soc., Ser. 3. — 1974. — 28, N 2. — P. 291-310.

62. Valeriote M. On decidable locally finite varieties. — Ph. D. thesis. — University of California, Berkeley, California, 1986.

63. Vaught R. L. Denumerable models of complete theories. // In: Proceedings of the symposium in foundations of Mathematics, infinitistic methods. — New York: Pergamon Press, 1961. — P. 303321.

64. Wagner C.M. Martin's conjecture for trees // Abstracts of Papers Presented to the Amer. Math. Soc. — 1981. — 2. — P. 528.

65. Wagner C.M. On Martin's conjecture // Ann. Math. Logic. — 1982.22. — P. 47-67.

66. Warfield R. B. Purity and algebraic compactness for modules // Pacif. J. Math. — 1969. — 28. — P. 699-719.180Работы автора по теме диссертации 1. Основные публикации

67. Кузичева В. А. Минимальные модули //В кн.: Абелевы группы и модули. — Томск: изд-во Томск, унив., 1984. — С. 65-79.

68. Пунинская В. А. Инъективные минимальные модули // Алгебра и логика. — 1994. — 33, N2. — С. 211-226.

69. Пунинская В. А. Сильно минимальные модули над дистрибутивными справа кольцами // Алгебра и логика. — 1996. — 35, N 3. — С. 345-358.

70. Puninskaya V. Vaught's conjecture for modules over a Dedekind prime ring // Bull. London Math. Soc. — 1999. — 31, N 149. — C. 129-135.

71. Пунинская В. А. Гипотеза Воота для модулей над наследственными нетеровыми первичными кольцами // Успехи матем. наук.1999. — 54, N6. — С. 171-172.182

72. Puninskaya V. Vaught's conjecture for modules over a serial ring // J. Symb. Logic. — 2000. — 65, N 1. — C. 155-163.

73. Puninskaya V. Modules with few types over a commutative valuation ring //J. Math. Sei. — 2000. — 102, N6. — С. 4652-4661.

74. Пунинская В. А. Модули с малым числом типов над полуцепными кольцами, // Успехи матем. наук. — 2001. — 56, N 2. — С. 209-3. 10

75. Puninskaya V. Modules with few types over a hereditary noetherian prime ring // J. Symb. Logic. — 2001. — 66, N 1. — C. 271-280.

76. Публикации, примыкающие к основным

77. Пунинская В. А. Об одном классе минимальных модулей //В кн.: Труды Международной конференции по алгебре. Тезисы докладов по теории колец, алгебр и модулей. — Новосибирск, ИМ СО АН СССР, 1989. — С. 111.

78. Пунинская В. А. О некоторых свойствах неразложимых минимальных модулей // В кн.: Труды Международной конференции по алгебре. Тезисы докладов по теории колец, алгебр и модулей. — Барнаул, ИМ СО АН СССР, 1991. — С. 97.

79. Пунинская В. А. Построение минимальных модулей по неразложимым минимальным модулям //В кн.: Вторые математические чтения памяти М.Я.Суслина. Тезисы докладов. — Саратов, Сарат. пед. ин-т, 1991. — С. 92.

80. Пунинская В. А., Пунинский Г.Е. Минимальные модули над прю-феровыми кольцами // Алгебра и логика. — 1991. — 30, N 5. — С. 557-567.183

81. Пунинская В. А. Об одной характеризации полноты теории модулей //В кн.: Труды XI-й Межреспубликанской конференции по математической логике. — Казань, Казан, гос. ун-т, 1992. — С. 118.

82. Пунинская В. А. Минимальные модули над кольцами с бесконечным центром //В кн.: Труды Ш-й Международной конференции по алгебре. — Красноярск, ИМ СО РАН, 1993. — С. 277-278.

83. Puninskaya V. A. On divisible modules over a domain // В кн.: Труды Международной научной конференции. Алгебра и анализ, ч. 1. — Казань, Казан, гос. ун-т, 1994. — С. 141-142.

84. Пунинская В. А. Об одном классе псевдо сильно минимальных модулей над коммутативным локальным кольцом //В кн.: Труды третьих математических чтений МГСУ. — Москва: Союз, 1995. — С. 65-68.

85. Пунинская В. А. Модули с малым числом типов над простой нете-ровой ÄD-областью //В кн.: Труды четвертых математических чтений МГСУ. — Москва: Союз, 1996. — С. 76-78.

86. Пунинская В. А. Сильно минимальные модули над полуцепными кольцами //В кн.: Труды пятых математических чтений МГСУ.Москва: Союз, 1997. — С. 74-77.

87. Puninskaya V. Vaught's conjecture for modules over a serial ring // Bulletin Symb. Logic. — 1998. — 4, N 1. — C. 102.

88. Пунинская В. А. Некоторые замечания о сильно минимальных модулях над некоммутативными кольцами //В кн.: Труды шестых математических чтений МГСУ. — Москва: Союз, 1999. — С. 72-79.

89. Преет М., Пунинская В. А. Модули с малым числом, типов над коммутативным прюферовым кольцом // Успехи матем. наук. — 1999.54, N 3. — С. 149-150.184

90. Puninskaya V. A. Modules with few models over a hereditary noetherian prime ring // В кн.: Труды 2-й международной конференции: "Полугруппы: теория и приложения". — Санкт-Петербург, РГПУ им. Герцена, 1999. — С. 39.

91. Пунинская В. А. Дополнения к критерию сильной минимальности для модулей //В кн.: Труды седьмых математических чтений МГСУ. — Москва: Союз, 2000. — С. 47-50.

92. Puninskaya V. A. Modules with few models over a commutative valuation ring // В кн.: Труды международной конференции: "Логика и приложения". — Новосибирск: ИДМИ, 2000. — С. 137.

93. Puninskaya V. A. On injectivity properties for modules over a domain // "Lie Algebras, Rings and Related Topics". — Fong Yuen, A. A Mikhalev, E. Zelmanov eds., Springer, 2000. — C. 164-170.