Условия конечности в регулярных кольцах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ



i 1 московский государственный университет имени м. в. ломоносова

Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 512

ТЮКАВКИН Дмитрий Викторович

УСЛОВИЯ КОНЕЧНОСТИ В РЕГУЛЯРНЫХ КОЛЬЦАХ

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических юук

Москва - 1993

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Научный консультант д.ф.м.н., профессор А.В.Михалев

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор З.И.Еоревич,

- доктор физико-математических наук, профессор А.А-.Туганбаев,

- доктор физико-математических наук, профессор С.В.ПЧелинцев

Ведущая организация: Институт Математики Сибирского Отделения Российской Академии Наук, Новосибирск.

Защита диссертации состоится (^-{¿Лд^Ь.9с 1993 года в 16 часов 10 минут на заседании специализированного Совета Щ по математике (Д.053.05.05) при Московском Государственном Университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119899 Москва, Ленинские Горы, МГУ им. М.В.Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан."^?" 1993 года.

Ученый секретарь специализированного совета Д.053.05.05 при Г/ТУ, доктор физико-математических,наук

.В.Н.Чубариков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Регулярные кольца были рведе'ны в рассмотрение Джоном фон Нойманом в середине тридцатых годов для координатизации структур подпространств проективных геометрий, а также для изучения структур.проекций определенных алгебр операторов гильбертовых пространств.. Позже выяснилось, " что ' регулярные кольца связаны с очень многими кольцами операторов; Более того , когда были введены другие алгебраические 'обобщения колец операторов, такие как »-Бэровскйе кольца и риккартовы алгебры, обнаружились связи регулярных колец с этими понятиями. В' соответствии с этим первый втап развития теории регулярных ко-.лец тесно связан с функциональным анализом, с различными • кольцами операторов и'с теорией структур с .дополнениями. Это ' направление в.теории регулярных колец перспективно и сегодня, хотя уже и не является главным и определяющим. . '

В'основном íb 'этот-первый период развития рассматривались' .регулярные кольца ограниченного индекса нильпотентности,' в' частности,, строго регулярные кольца и коммутативные регулярные ■ кольца; В то' же время с самого' "рождения" регулярных'колец было 'замечено, чт.о очень многие теоремы могут быть.доказаны в - большей общности, для всех- регулярных -колец. Постепенно общекольцевой подход к регулярным кольцам приобретал'все большую популярность й, хотя в'вышедших около 19Ь0 года монографиях ' Д.НоЗмана' (изданной по еле его смерти),. И.Капланского' и Л.А.Скорнякова подход к регулярным'кольцам как к кольцам операторов преобла- . дал, -в них фактически были подведены.итоги первого этапа разви-. тия в теории регулярных колец и намечены пути•дальнейших исследований.' Особенно сказанное-относится к-'книге Льва Анатольевича Скорняков'а,'¿.которой приведен'обширный спиОок 'открытых проб-.

лем, связанных прежде всего с внутренним строением регулярных колец. Можно сказать, что'этот список явился также программой дальнейших исследований.

В следующий период развития, который можно условно назвать теоретико-кольцевым, было введено множество условий конечности, такие как.прямая конечность, обратимая регулярность, конечность индекса нильпотентности и другие. Для расчленения регулярных колец на "хорошие" подклассы такие условия необходимы, так как многие другие условия- конечности слишком сильны здесь: так, например, регулярное кольцо с конечной размерностью Голди являет- ' ся классически полупростым.' '

Кроме того, было найдено множество важных характеризаций регулярных колец. Чудесным образом регулярные кольца оцисывают--ся, например, как кольца, над которыми кавдый (правый) .модуль-.является .плоским. Было написано множество, работ, ставших' уже классическими', по поводу регулярности колец частных-. Таким образом - как полные правые кольца частных антисингулярных полупервичных' колец возникают регулярные, самоинъективные кольца. Этот подкласс регулярных колец вызывает особый интерес. Он был' достаточно хорошо исследован, в частности, разбит на подклассы самоинъективных регулярных колец типов I, II и III, на прямо конечные"и чисто бесконечные кольца, подобно тому,.как это было ранее сделано для АИ*-алгебр.

Приблизительно к концу семидесятых годов был накоплен бо- ' гатый теоретико-кольцеЕой материал по регулярным кольцам й решены многие из открытых .проблем,, сформулированных-в .монографии • Льва Анатольевича -Скорнякоба, упоминавшейся выше. В 1979 году Гудерлом была написана новая, последняя на настоящий момент мо- ' нография по регулярным, кольцам (если не-считэть'ее переиздания ь 1991 году): В ней фактически подведены, итоги второго периода

развития теории регулярных колец и сформулирован новый список открытых проблем. Разумеется, не только вопросы, затронутые в этом списке, являются предметом исследований в регулярных кольцах. Верно и то, что для большинства из упомянутых проблем в настоящее время может быть предложена новая редакция, более общая и точная. Тем не менее, не будет преувеличением сказать, что эти открытые вопросы явились удачной программой развития и в настоящий момент именио они определяют основные направления развития -теории регулярных колец. На настоящий момент примерно половина - около 25 - этих проблем решено. Автору приятно отметить, что семь из них решены им (некоторые из этих результатов независимо и приблизительно одновременно решены другими исследователями) и опубликованные разными авторами решения еще, как минимум, шести вопросов использует его исследования или конструкции. Эти результаты и составляют содержание настоящей диссертации.

Целью работы является изучение различных условий конечности в регулярных кольцах. Как уже отмечалось, для структуризации теории регулярных колец были введены и исследованы в разные годы разными авторами такие понятия, как прямая конечность, обратимая регулярность, конечность индекса нильпотентности кольца или всех его примитивных гомоморфных образов, резидуально' арти-новы кольца. Все перечисленные условия можно трактовать как определенные условия конечности на регулярных кольцах. Большинство результатов диссертации касается проблем, связанных с такими условиями. Это не означает, что изучались только конечные в каком-либо смысле кольца: вернее будет сказать, что не столько сами исследования, сколько постановка вопросов, затронутых в диссертации, связана непосредственно с условиями конечности в регулярных кольцах.

Структура И объем диссертации. Диссертация состоит из введения, нулевого параграфа, содержащего базовые результаты, по регулярным кольцам, и пяти глав, разбитых каждая соответственно на 3,2,3,2,3 параграфов, и списка литературы. Полный объем диссертации 244 страницы. Библиография включает 81 наименование.

Основные методы исследования« В диссертации применяются как стандартные методы исследований в теории колец, так и оригинальные методы, изобретенные автором и изложенные тексте работы. К числу последних относятся применение резидуально арти-нова накрытия, построению которого посвящена, в основном, первая глава, а также вводимая в пятой главе техника изучения спёктра элемента регулярного кольца, являющегося алгеброй над шлем.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Основные результаты работы следующие.

1). Доказана сюръективность естественного отображения центра регулярного самоинъективного справа кольца в центр любого его фактор-кольца.

2). Описаны са'моинъективные справа регулярные У-кольца ограниченной мощности.

■3). Построен пример регулярного кольца, вкладывающегося в любой свой правый идеал, но не изоморфного одному из своих главных правых идеалов (как модуле над собой).

4). Доказана обратимая регулярность простого стабильно конечного регулярного кольца с несчётным центром.

5). Построен пример стабильно конечного регулярного кольца с единственным нетривиальным идеалом, фактор-кольцо по которому является прямо бесконечным.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в теории колец, алгебр, модулей.

Апробация результатов работы. Результаты диссертации докладывались на всесоюзных алгебраических конференциях и симпозиумах, на международных алгебраических конференциях в Новосибирске и в Барнауле, на научно-исследовательских семинарах по Теории колец и по общей алгебре в МГУ, ЛГУ, ИМ СО . АН СССР,- в ' Автономном Университете Барселоны и в. др. .

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 18.работах автора, список которых приведен в конце автореферата.

' . С0ДЕР1АНИЕ РАБОТЫ

В нулевом параграфе собраны важнейшие теоремы о регулярных кольцах, используемые в дальнейшем. В этот параграф включено- и небольшое- количество теорем, нигде ранее не доказанных, но носящих фольклорный характер, либо являющихся расширенными редакциями известных теорем. Эти утверждения приведены с доказательствами, остальным теоремы даны со ссылками на источник. Далее в тексте диссертации все .ссылки приводятся нд этот, нулевой' пара. граф. Здесь же приведены .все определения устоявшихся понятий в регулярных кольцах. В конце параграфа-дан список-открытых проблем, касающихся теш диссертации.

Первая глава посвящена изучению прямых произведений счетного числа простых- артиновых-колец. Основной результат • первого параграфа - '

Теорема 1.1.2. Пусть Ц - регулярное подкольцо кольца ко-нечнострочныхм конечностолбцовых счетных матриц над телом 5 .

00

Тогда найдется регулярное подкольцо Д кольца | Ц_(1)) такое,

П = 1

что существует гомоморфное наложение колец %—.

, Эта теорема имеет значение как новый метод исследования регулярных колец. Она была использована как важный, а-иногда и •основной инструмент исследований во многих статьях- диссертанта, а также в статьях других авторов. - • •

Во втором параграфе получено описание, максимальных идеалов-в прямых произведениях простых артиновых (и в немного более об-.щей ситуацйй) колец.

Теорема- 1.2.2. Пусть Т=| | ^ - прямое произведение простых регулярных самоинъективных справа колец с функциями ранга —>10,1] и пусть У - фильтр на множестве Л. Будем обозначать

через и(а,6) множество {а£Л | а через • Цу множество

(а€Т I уе>0 и(а.е)€и>- тогда множество Цу является идеалом

кольца Щ. Если У - ультрафильтр,'то этот идеал максимален и для любого максимального идеала ОД кольца I найдется ультрафильтр на множестве Л такой, что Ыц=М-

Основным результатом третьего параграфа является

Теорема 1.3.6. Пусть Ц - 'любое регулярное простое подкольцо .кольца конечнострочных и конечностолбцовых счетных матриц над'телом, для каждой из которых можно указать" две прямые., между которями находятся их .ненулевые элементы. Тогда существует.регулярное кольцо $ такое, что

(1) 5 вкладывается в простое обратимо регулярное самоинъективное кольцо.

(2) Б имеет единственный нетривиальный идеал ОД и кольцо изоморфно кольцу .

(3) Существует единственная функция ранга на кольце

Во второй главе исследуются самоинъективные регулярные кольца. Ниже приведены ее основные результаты.

Теорема 2.1.5. Пусть К - самоинъективное справа регулярное кольцо и J - его идеал. Тогда естественное отображение центра

кольца Р, в центр фактор-кольца т при каноническом гомоморфизме кольца Я на фактор-кольцо ^ сюръективно.

Теорема 2.2.4. Пусть Р, - регулярное самоинъективное справа У-кольцо и пусть размерность каждого простого модуля кольца ^

над своим телом эндоморфизмов меньше 2 • Тогда кольцо К имеет ограниченный индекс нильпотентности.

В третьей главе построены два контрпримера к известным открытым проблемам и найден широкий класс регулярных колец, • названный автором локально'сравнимыми кольцами, в котором из изоморфизма колец матриц следует изоморфизм самих.колец.

Пример 3.1.4. Существует регулярное кольцо вкладывающееся в любой свой ненулевой правый идеал как правый ^-модуль, но не изоморфное одному из своих главных правых вдеалов.

Регулярное кольцо р, назовем локально сравнимым, если для любых его элементов ^»•••»Гц» X и У найдется идемпотент е€Л

такой, что еГ±=Г1е Для всех 1=1.....П, ехК вкладывается в еуЯ

и (1-е)УЛ вкладывается в (|-б)Х11 (как правые ^-модули).

Теорема 3.2.9. Пусть Ц и 5 - регулярные локально сравнимые прямо конечные кольца такие, что кольца матриц МП(Ю и МП(Б) изоморфны для некоторого п>2. Тогда изоморфны и кольца

циб-

Пример 3.3.1. Существует регулярное кольцо ^ такое, что

(1) Кольцо {{, является 2-сравнимым кольцом.

(2) Кольцо Я не является обратимо регулярным.

(3) Кольцо Я прямо конечно.

(4) На кольце Р, имеется единственная функция псевдоранга.

Четвертая глава содержит два параграфа. Приведем ее основные результаты.

Теорема 4.1.7. Пусть ^ - регулярное кольцо, каждый примитивный гомоморфный образ которого имеет ограниченный индекс нильпотентности, Д ~ левый конечнопорожденный модуль над кольцом К и 5 - кольцо эндоморфизмов модуля Д. Тогда $ ~ строго Я-регулярное кольцо, каждый примитивный гомоморфный образ которого имеет ограниченный индекс нильпотентности.

Пример 4.2.4. Существует нерегулярное кольцо ^ такое, что каждый односторонний идеал ^ порождается идемпотентами.

В пятой главе предлагается новый метод исследования регулярных колец - изучение спектра и резольвенты элемента кольца по аналогии с функциональным анализом. Следующая теорема является результатом применения этого метода.

Теорема 5.1.4. Пусть р, - алгебра над несчетным- полем р, являющаяся регулярным кольцом и пусть выполнено хотя бы одно из следующих условий:

1. Правая и левая размерность Голди кольца ^ не больше мощности поля р. '

2. Кольцо Я прямо конечно и правая размерность Голди кольца Д не больше мощности поля р.

3. Кольцо Я обладает инволюцией и правая размерность Голди кольца К не больше мощности поля р. ■ ■

Тогда любая подалгебра алгебры Ц, являющаяся регулярным кольцом, обратимо регулярна.

Приведем основные результаты -каждого.параграфа пятой главы. , "

Следствие 5.1.6. Пусть Я - регулярное простое кольцо с несчетным центром и кольцо (пхп)-матриц -над кольцом ^ • прямо конечно для любого П. Тогда любое подкольцо кольца содержащее его центр, обратимо регулярно. .

Следствие 5.2.9. Пусть Р, - »-регулярное кольцо, е> I» б'и |1 - его проекции и и Тогда '

Теорема 5.3.13. Пусть Я - регулярное кольцо с инволюцией Тогда если на кольце Ц, существует функщы псевдоранга, то' существует и функция псевдоранга }| такая, . что Л(Х )=И(Х) Для любого элемента х кольца Д.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах автора

1. Тюкавкин.Д.В. О регулярных кольцах с инволюцией, 5 . Всесоюзный симпозиум по теории колец, алгебр и модулей, Новосибирск, 1982, тезисы сообщ. с. 134-135. .

2. Тюк&вкин Д;В. Пирсовские пучки для колец с инволюцией, Деп. в ВИНИТИ 1982, & 1446-82- дел., 64' е.. 3. Тюкавкин Д.В. Регулярные кольца с положительной или

. нормальной в нуле инволюциями,-17 Всесоюзная-алгебраическая конференция,-Минск, 1983, тезисы, сообщ..,' ч.2, с.193-194-

4.- Тюкавкин-Д.В. .Аналог пирсовских пучков для колец с

инволюцией, "Успехи мат.наук", 1983, т.336 вып.5, 209-210.

.5. Тюкавкин Д.В. Регулярные кольца с инволюцией,. "Вестник МГУ, Сер. 1, Мат.Мех.",'1984, №3, 29-32. ' '

6. Тюкавкин Д.В. "Регулярные, кольца с инволюцией",-Кандидатская диссертация, МГУ, 1984.

7. Тюкавкин Д.В". Регулярные кольца ограниченного индекса'и регулярные алгебры над несчетными полями, 18 Всесоюзная алгебраическая конференция, Кишинев, 1985, тезисы'сообщ.-',

' с.221; . - .''"'■'.'•

8. Тюкавкин Д.В. Кольцо, каждый односторонний идеал которого ■ порождается идемпотентэми, Деп. в ВИНИТИ 1987', № 2214^87

' Деп., .6 с. •

9. Тюкавкин Д.В. О,регулярных кольцах, Международная конф. ' то алгебре памяти А.И.Мальцева, Новосибирск,.1989, Тезисы докл., е.. 136.

10. Тюкавкин Д.В. Спектр элемента регулярного, кольца,.

"Алгебраические системы", межвузовский сборник научных работ, • Волгоград, 1989, 71-80.

11. Тюкавкин Д.В. Локально сравнимые регулярные кольца, 6 Всесоюзный симпозиум по, теории колец, алгебр и модулей,

. .Львов, 1990, тезисы сообщ., с. 128.

12. Тюкавкин Д.В. Регулярное кольцо, вкладывающееся в любой свой правый идеал, "Сиб.мат.ж.", 1991, № 1, 21-31.

13. Тюкавкин-Д.В.- -Конечное регулярное■ кольцо может иметь бесконечный простой фактор, Международная конф. по .алгебре памяти А.И.Ширшова, Барнаул, 1991, с. 118.

14. .Тюкавкин Д.В'. Псевдофункции ранга на регулярном кольце с инволюцией, "Математика. Известия вузов", 1991, Й9, 60-67.

.15. Тюкавкин Д.В.. О конечности в регулярных кольцах, "Алгебра и-логика", 1992, том 31, Ш, 189-197.

16. Тюкавкин Д.В. Кольцо эндоморфизмов коне.чопорождеиного модуля над регулярным кольцом ограниченного индекса, • ' "Мат. заметки", 1993, т. 53, Ш. .

'17. Tyukavkin D.V. 'On regular rings,- "Contemporary Mathematics", 1992,'v.131 (Part 2), 403-411 .

18". Tyukavkin D.V-, ■ Rings'all of whose one-sided ideals are -generated by idempotents, "Comm.Algebra", 1989, v.17, N5, ■ 1193-1198."

ЦБНТИ речного транспорта Тираж 120 Заказ 138