Кольца рядов Лорана и псевдодифференциальных операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
|
Туганбаев, Диар Аскарович
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2003
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова Механико-математический факультет
На правах рукописи УДК 512.55
Туганбаев Диар Аскарович
КОЛЬЦА РЯДОВ ЛОРАНА И ПСЕВДОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ
01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Научные руководители:
Официальные оппоненты:
Ведущая организация:
доктор физико-математических наук,
профессор А. В. Михалев
кандидат физико-математических наук,
доцент В. Т. Марков
доктор физико-математических наук, *
доцент И. Б. Кожухов
кандидат физико-математических наук|
доцент С. Т. Главацкий '
Московский педагогический
государственный университет ,
Защита диссертации состоится
2003 г. в 16 ч. 15 мин.
на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московской Государственном Университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).
Автореферат разослан Л еи/маьы 2003 г.
Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук, профессор
В. Н. Чубариков
Seo?-А
Общая характеристика работы
Актуальность темы диссертации. Данная работа тм-оящена исследованию теоретико-кольцевых свойств колец (косых формальных) рядов Лорана и колец (формальных) псевдодиффсрснциальных операторов. Начало использования колец косых рядов Лорана восходит к работам Шура, Диксона и Гильбс|>-та начала XX века. Например, при изучении независимости аксиом в геометрии Гильберт использовал кольцо косых рядов Лорана для построения тела, бесконечномерного над своим центром. Изучение колец рядов Лорана с произвольным кольцом коэффициентов было начато в конце 70-х - начале 80-х годов Лоренцем1, Рисманом3 и Смитсом3. Техника использования холец рядов Лорана является удобным инструментом в теории колец. Например, Макар-Лиманов4 с помощью колец косых рядов Лорана от двух переменных показал, что кольцо частных алгебры Вейля содержит свободную некоммутативную подалгебру. В работе Гудёрла ■ Смолла9 кольца рядов Лорана используются для оценивания размерности Крулля ж глобальной размерности нётеровых P.I.-колец. Сонин выяснил, когда кольца косых рядов Лорана обладают размерностью Крулля6, би-регулярны и строго регулярны7, а также (в предположении конечности порядка скручивающего автоморфизма) регулярны8.
Кольца рядов Лорана тесно связаны с кольцами рядов Мальцева-Неймана и кольцами обобщённых степенных рядов, интенсивно изучаемыми в последнее время. Напомним, что кольца рядов Мальцева-Неймана были определены в 1948 году Мальцевым для доказательства вложимост* групповой алгебры над полем в тело (независимо в 1949 году эта конструкция была определена Б.Нейманом). Среди многочисленных работ в этом направлен» мы отметим работы Бергмана9,
*М.Lorens. Division algebras generated by finitely generated nilpotent groups // J. Algebra. -19*3. - SB. - P. 368-381.
'L.IUssnan. Twisted rational functions and series. // J. Pure and Applied Algebra. - 1978. - 12. - P.181-199.
*T.H.Smits. Skew-Laurent series over semisimple rings // Delft. Prvjr. Report. - 1977. - 2. -' P.131-136.
4 L.M&kar-Limanov. The skew field of fractions of the first Weyl nlgebra contains a free noncommutative subalgebra // Commun. Algebra. - 1983. - 11, No.17. - P.2003-2006.
*K.R.Goodearl, L.W.Small. Krull versus global dimension in Noetherian Pi-rings // Proc. Amer. Math. Soe. - 1984. - »3, No.2. - P.175-17S.
*C.Sonin. Krull dimension of Malcev-Neumann rings // Comm. Algebra. - 1998. - 36, no. 9. -^2915-2931.
тК.И.Сонкн. Бнрегуляриые кольца радов Лораиа // Вестшш МГУ. - 1997. - No.4. - С. 22-24.
'К.И.Соиии. Регулярные кольца косых радов Лораиа // Фундамент, и прмкладм. математика. - 199S. - 1. - No.2. - С. 565-568.
*G.M.B*rgman. Conjugates and nth Roots in Hahn-Laurents group rings. // Bull. Malaysian. Math. Soc. - 1978. - 1, No.2. - P.29-41; Historical addendum - 1979. - 2, No.2. - P.41-42.
Лоренца10, Рисмана11, Смитса12 и Массона и Стаффорда13.
Алгебра псевдодифференциальных операторов ,A((í-1,ó")) была, по-видимому, введена Шуром14 в 1905 году и с тех пор неоднократно исполыовалась в различных разделах математики. Поскольку в диссертации исследуются лишь теоретико-кольцевые свойства колец псевдодифферснциальных операторов, мы не излагаем здесь историю применения псевдодифферснциальных операторов в математике и не приводим соответствующие работы, не относящиеся к структурной теории колец. Выделим только работы Гельфанда и Дикого15 и Паршина16.
В упомянутой работе Паршин развил алгебраическую теорию колец формаль- [ ных псевдодифференциальных операторов от нескольких переменных. В этой же работе используются итерированные кольца косых рядов Лорана. В структурной теории колец кольца псевдодифференциальных операторов используются для ¡ конструктивизации вычислений в алгебрах дифференциальных операторов (см. работу Гудёрла17), а также как источник многочисленных примеров (см., например, книгу Гудёрла и Уорфилда18). Бели кольцо псевдодифференциальных операторов обладает правой размерностью Крулля, то оно является нётеровым справа кольцом19.
Цель работы. Изучение теоретико-кольцевых свойств колец рядов Лорана н колец псевдодифференциальных операторов.
Методы исследований. В диссертации используются методы структурной и комбинаторной теории колец. Для изучения свойств лорановских колец автором развита техника работы с бесконечными формальными суммами элементов этих колец.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и приведены ниже.
1) Получено описание колец косых рядов Лорана и колец псевдодифферен-
"M.Lorenx. Division algebras generated by finitely generated nilpotent groups // J. Algebra. -1983. - 85. - P.368-381.
"L.Risman. Twisted rational functions and «eries. //J. Pure and Applied Algebra. - 1978. - 12. - P.181-100.
"T.H.Smits. Skew-Laurent series over semisimple rings // Delft. Progr. Report. - 1977. - 2. -P.131-1M.
"I.Musson, K.Stafford. Mulcer-Neumann group rings // Comm. Algebra. - 1993. - 31, No.6. -P.2065-2075. (<
141.Schur. Über vertauschbare lineare Differentialausdriicke // Sitsungsber. Berliner Math. Ges. -1905. - 4. - S.2-8.
"И.М.Гельфанд, Л.АЛмквй. Дробные степени операторов п гамильтоиовы системы // Фуик. Ч«ви. iMuw • eco пуил. - 1976. - 10. - С.13-39.
"А.Н.Паршяи. О кольце формальных псеадсщифференннальиых операторов // Труды Ма-тем. института им. В.Л.Стеклоеа. - 1999. - 224. - С.291-305.
,TK.R.Goodearl. Centraliters in difTerentialj'pseudo-diflerential, and fractional differential operator rings // Rocky Mountain J. Math. - 1983. - 13, No.4. - P.573-618.
"K.R.Goodearl, R.B.Warfield. An Introduction to Noncommutatiue Noetkerian Ringt. -Cambridge: Cambridge University Press. - 1989.
'*C.Sonin. Krull dimension of Malcev-Neumann rings // Comm. Algebra. - 1998. - 28, no. 9. -2915-2931.
циальных операторов, являющихся областями главных правых идеалов (теоремы 9.4 и 9.5).
2) Описаны простые и полупростыс кольца косых рядов Лорана и кольца псевдодифференциальных операторов (теоремы 10.8, 10.9, 10.10 и 10.11).
3) Выяснено, когда кольца косых рядов Лорана и кольца псевдодиффсрсн-циальных операторов являются полуцепными артиновыми или цепными кольцами (теоремы 11.5, 11.6, 11.8 и 11.9).
4) Получено описание дистрибутивных полулокальных колец косых рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов (теоремы 12.7 и 12.8).
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях в структурной теории колец и теории модулей.
Апробация результатов. Результаты диссертации отражены в десяти работах автора, список которых приведён в конце автореферата. Они также докладывались на международном семинаре "Универсальная алгебра и ее приложения" , посвященном памяти Л.А.Скорнякова (Волгоград, 6-11 сентября 1999 г.), на международной конференции "Formal Power Series and Algebraic Combinatorics" (Москва, 2000), на международном алгебраическом семинаре, посвященном 70-летию научно-исследовательского семинара МГУ по алгебре (Москва, 13-16 сентября 2000 г.), на девятых и десятых математических чтениях МГСУ "Математические методы и приложения" (Руза, 2002, 2003 г.г.) и на алгебраических семинарах в МГУ.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих 12 параграфов, и списков литературы и используемых обозначений. Она изложена на 98 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 66 наименований.
Краткое содержание работы.
Диссертация посвящена исследованию кольцевых свойств колец косых рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов (все кольца предполагаются ассоциативным^ и с ненулевой единицей). В связи с тем, что эти кольцевые свойства оказываются весьма близки друг к другу, оказывается удобно ввести понятие лорановских колец, включающее в себя как кольца косых рядов Лорана так и кольца псевдодифференциальных операторов и доказывать заметную часть результатов в такой общности. Строятся и другие примеры лорановских колец, для которых также верны многие результаты диссертации.
Диссертация состоит из введения и 2 глав (12 параграфов). Все основные результаты (теоремы, предложения, примеры и т. п.) имеют двойной индекс: первое число указывает на номер параграфа (в сквозной нумерации), второе — на номер утверждения в параграфе.
Первая глава состоит из шести параграфов. В первом параграфе даются определения основных изучаемых объектов: кольца косых рядов Лорана А((х, tp)) и кольца псевдодифференциальных операторов Л((<-1,<5)). Проверено, в каких слу-
чаях кольцо косых рядов Лорана изоморфно (достаточно хорошим образом) кольцу обыкновенных рядов Лорана, а именно, доказано:
Предложение 1.1. Пусть А --■ кольцо, а <р — его автоморфизм. Тогда следующие условия равносильны:
(1) автоморфизм <р является внутренним;
(2) существует изоморфизм п кольца обычных рядов Лорана А((х)) на кольцо косых рядов Лорана А((у, у>)), тождественно действующий на элементах кольца коэффициентов А и сохраняющий младшую степень рядов.
Далее кратко исследуется вопрос о переходе к кольцам рядов Лорана от нескольких переменных. В работе Паршина20 исследуются итерированные кольца j рядов Лорана от нескольких переменных, которые строятся путём многократного перехода от кольца коэффициентов к кольцу рядов Лорана от одной переменной. При таком подходе переменные неравноправны. Кроме того, с точки зрения структурной теории колец и исследуемых теоретико-кольцевых свойств, для изучения итерированных колец рядов Лорана достаточно исследовать свойства кольца рядов Лорана от сдвой переменной.
Поэтому в данной диссертации выбран другой подход, при котором в кольцах рядов Лорана от нескольких переменных переменные равноправны. Однако при тахом подходе кольцевые свойства колец рядов Лорана от нескольких переменных отличаются от свойств колец рядов Лорана от одной переменной, что продемонстрировано в диссертации на примере кольца рядов Лорана от двух переменных. Так, в предложениях 1.2 и 1.3 доказано, что кольцо рядов Лорана от двух переменных никогда не бывает ян артиновым справа ни локальным (в частности, не бывает телом). Доказано также следующее утверждение:
Теорема 1.4. Пусть А — произвольное кольцо. Тогда равносильны следующие условия:
(1) А((х,у)) — полупримитивная область, не являющаяся телом;
(2) кольцо рядов Лорана от двух переменных А((х,у)) — область;
(3) А — область.
Во втором параграфе вводятся лорановские кольца: даются два различных определения и доказывается их эквивалентность. В первом определении отражается комбинаторный подход и требуется, чтобы кольцо как аддитивная группа " состояло их обычных рядов Лорана с естественными ограничениями иа умножение (запись коэффициентов в одночленах слева должна быть корректной, а ( формальная сумма в рядах — дистрибутивной) и с (основным) ограничением, состоящим в том, чтобы младшая степень произведения рядов была не меньше суммы их младших степеней.
Второе определение отражает структурный подход: требуется, чтобы в кольце была Z-фильтрация {(/,}, удовлетворяющая определённым свойствам (в случае кольца рядов Лорана это фильтрация, задаваемая младшей степенью ряда),
20 А.Н.Ппршяи. О кольце формальных псеадовифферекииальиых операторов // Tfуды Ma-тем. института tui. В.А.Стеклова. - 1990. - 224. - С.291-305.
требуется в частности, чтобы существовали в определённом смысле "бесконечные суммы" некоторых элементов (это составляет специфику рядов в отличие от многочленов). Одно из условий на фильтрацию требует, чтобы кольцо коэффициентов вкладывалось в само лорановское кольцо, расщепляя канонический гомоморфизм на С/о/СЛ, как это имеет место в случаях колец рядов и многочленов. В случае, если это условие не выполнено, кольцо называется обобщённым лорановским кольцом и для него остаются верны многие утверждения для ло-рановских колец. Ниже строится пример обобщённого лорановского кольца, не являющегося лорановским кольцом.
Третий параграф посвящен исследованию простых свойств обобщённых лора-новских колец. Так, доказывается, что "бесконечная сумма", введённая в определении такого кольца, удовлетворяет естественным свойствам дистрибутивности, коммутативности и т.п. (если рассмотреть на обобщённом лорановском кольце топологию, задаваемую фильтрацией, то "бесконечная сумма" становится просто суммой сходящегося ряда, однако в данной диссертации все её необходимые свойства доказываются чисто алгебраическими средствами).
Вводится отображение Л, сопоставляющее каждому идеалу (правому или левому) обобщённого лорановского кольца идеал (правый или левый) его свободных членов. Отображение Л переводит решётку идеалов обобщённого лорановского кольца в решётку идеалов кольца коэффициентов и сохраняет отношение включения, что устанавливает существенную связь между этими решётками и условиями на цепи в них. Кроме того, доказана ключевая лемма об отображении Л, из которой следует, что если Л(Р) = А(5) и идеал (правый или левый) Х(Р) конечнопорождён, то Р = 5. Таким образом при некоторых ограничениях Л сохраняет не только отношение включения, но и отношение строгого включения, что усиливает связь между двумя решётками идеалов.
Доказывается, что "ряд" (элемент обобщённого лорановского кольца) с обратимым свободным членом всегдф обратим. Отсюда выводится, что если кольцо коэффициентов является телом, то я обобщённое лорановское кольцо — тело. Обратное утверждение верно только для лорановских колец (соответствующий контрпример строится ниже).
В качестве иллюстративного соображения показывается, что в обобщённом лорановском кольце можно ввести норму, согласованную с топологией, задаваемой фильтрацией. За счёт существования "бесконечной суммы" полученное нормированное кольцо получается полным метрическим пространством. При этом кольцо многочленов Лорана получается всюду плотным подмножеством кольца рядов Лорана, так что кольцо рядов Лорана является просто расширением кольца многочленов Лорана до полного метрического пространства. При таком подходе то, что всякий "ряд" с обратимым свободным членом обратим, является следствием того факта, что сумма единицы с любым элементом, по норме меньшим единицы, всегда обратима в полном нормированном кольце.
В четвёртом параграфе рассматриваются уже только лорановские кольца (не
обобщённые), вводятся обозначения и доказываются элементарные свойства. Так, вводится отображение р, с одной стороны обратное введённому ранее отображению Л, которое сопоставляет каждому правому идеалу D кольца коэффициентов правый идеал всех тех "рядов", у которых все левые коэффициенты лежат в В. При этом А(ц(В)) — В. Отображение ц осуществляет вложение решётки идеалов кольца коэффициентов в решётку идеалов лорановского кольца.
Доказывается, что отображение у. переводит максимальные правые идеалы в максимальные правые идеалы и, как следствие, радикал Джекобсона лорановского кольца лежит в fi(J), где J — радикал Джекобсона кольца коэффициентов. Ниже будет доказано, что в некоторых случаях радикал Джекобсона в точности равен /i(J).
Пятый параграф посвящён явным вычислениям и выяснению условий на соотношение ха = £6,®', необходимых и достаточных для того, чтобы оно задавало на множестве рядов Лорана умножение и при этом получалось лораиовское кольцо. Конечным результатом является предложение 5.5:
Предложение 5.5. Пусть А — кольцо и R — множество с бинарными операцижми сложения и умножения. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) кольцо R является лорановским кольцом с кольцом коэффициентов А;
(2) существует автоморфизм <р кольца А, гомоморфизм абелевых групп А : А*—►А+[[х]] и биективное отображение -к из -А((х)) на Л такое, что сложение в R задается формулой *(/) + *(ff) = *(/ + g),
а умножение — формулой ic(f)ir(g) = ir{u(f,g)), где ы — функция, построенная по лемме 5.4 на основе <р и Д, при этом <р и Д таковы, что для всех а и b из А выполнено соотношение Д(аЬ)=ы(Д(а),Ь) + у>_1(а)Д(Ь).
Шестой параграф состоит в построении конкретных примеров лорановских колец с помощью результатов предыдущего параграфа. В частном случае, когда Д(А)СА, предложение 5.5 позволяет полностью описать лораиовские кольца.
А именно, этот случаи полностью описывается перестановочным соотношением х~1а = ¡р~х(а)х~1 +S(a), где <р — произвольный автоморфизм кольца коэффициентов, а 6 — <р~ ^дифференцирование, то есть эндоморфизм кольца коэффициентов как абелевой группы по сложению, удовлетворяющий соотношению
6(аЪ)=6(а)Ъ + <р-х{а)6{Ъ).
Кольцо, состоящее из рядов Лорана, в котором умножение задаётся этим соотношением, называется в диссертации кольцом косых рядов Лорана с косым дифференцированием. В случае, когда ¿=0, получаем обычное кольцо косых рядов Лорана. В случае, когда <р — тождественный автоморфизм кольца коэффициентов, получаем, с точностью до замены t — x~x, кольцо псевдодифференциальных операторов. Таким образом в диссертации доказывается, что кольцо псевдодифференциальных операторов действительно удовлетворяет всем аксиомам кольца. Для получения примера кольца косых рядов Лорана с косым дифференцированием, не совпадающего ни с одним из названных выше, можно взять любой не-
тождественный автоморфизм у? и ¿(а) = с(а — уз-1 (а)), где с — фиксированный элемент из центра кольца коэффициентов.
Выбранный в диссертации метод задания умножения и л(>овсрки аксиом кольца в кольце псевдодифференциальных операторов позволяет не строить это умножение в явном виде, а построить его с помощью итеративной процедуры и аналогичным образом проверить его ассоциативность (другие аксиомы кольца проверяются тривиально). Такой способ построения позволяет доказать результат в общем виде и воспользоваться им не только в построении кольца псевдодифференциальных операторов, но и в построении кольца косых рядов Лорана с косым дифференцированием. Однако же этот способ не позволяет записать формулу умножения двух рядов в явном виде, в отличие от явной и трудоёмкой вычислительной проверки, которую проделал, например, Гудёрл21. Чтобы компенсировать этот недостаток, явная формула умножения двух рядов выводится в отдельном утверждении.
Кроме того, в шестом параграфе полностью аналогично хорошо известному полю р-адических чисел строится кольцо дробных n-адических чисел и доказывается, что оно является обобщённым лорановским кольцом с кольцом коэффициентов Z/nZ, но не является лорановским кольцом, поскольку его кольцо коэффициентов в него не вкладывается. Кольцо дробных р*-адическнх чисел при Jfc > 1 является примером обобщённого лорановского кольца, которое является телом в то время как его кольцо коэффициентов не является областью.
Вторая глава состоит из шести параграфов. В ней, на базе развитой ранее техники, доказываются конкретные утверждения о тех или иных теоретико-кольцевых свойствах лоравовеккх колец (а также колец косых рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов как частных случаях).
В седьмом параграфе доказано, что лорановское кольцо (и, соответственно, кольцо косых рядов Лорана и кольцо псевдодифференциальных операторов) является телом тогда и только тогда, когда его кольцо коэффициентов является телом. В восьмом параграфе доказано аналогичное утверждение про нётеровы справа и артиновы справа кольца. Эти утверждения были ранее известны для колец косых рядов Лорана и псевдодифференциальных операторов (см., например, статью Гудерла33 и книги Гудерда и Уорфилда33 я Кона34).
В девятом параграфе получены определённые результаты об областях (доказано, что лорановское кольцо является областью тогда и только тогда, когда его кольцо коэффициентов является областью, что было хорошо известно в случае кольца косых рядов Лорана и кольца псевдодифференциальных операторов) и
11 K.R.Goodearl. Centralise г« in differentia], paeudo-differential, and fractional differential operator rings // Rocky Mountain J. Math. - 1983. - IS, No.4. - P.573-в 18.
"K.R.Goodearl. Centralisers in differential, paeudo-differential, and fractional differential operator rings // Rocky Mountain J. Math. - 1983. - IS, No.4. - Р.573-в18.
"K.R.Goodearl, R.B.Warfield. An Introduction to Noneommntatne Nocihrrian Ringi. -Cambridge: Cambridge University Pren. - 1989.
"P.M.Cohn. Skew fielit. - Cambridge: Cambridge Univenity Pre». - 1905.
кольцлх главных правых идеалов:
Предложение 9.1. Пусть А — кольцо. Тогда:
(1) если Я — лорановское кольцо, н А совпадает с его кольцом коэффициентов, то кольцо Л является областью тогда и только тогда, когда кольцо А является областью.
(2) если <р — автоморфизм кольца А, то кольцо А([х,<р)) косых рядов Лорана является областью тогда и только тогда, когда его кольцо коэффициентов А является областью.
(3) если 6 — дифференцирование кольца А, то кольцо псевдодифференциальных операторов ¿)) является областью тогда и только тогда, когда его кольцо коэффициентов А является областью.
Для обобщённых лорановских колец утверждение предложения 9.1 остаётся в силе только в одну сторону. Кольцо дробных р"-адическнх чисел является телом, а его кольцо коэффициентов (при п больших единицы) не является областью.
Предложение 9.2. Пусть А — кольцо главных правых идеалов. Тогда:
(1) если Л — обобщённое лоранов ское кольцо и А — его кольцо коэффициентов, то Л — кольцо главных правых идеалов;
(2) если <р — автоморфизм кольца А, то кольцо А((х, <р)) косых рядов Лорана — кольцо главных правых идеалов;
(3) если & — дифференцирование кольца А, то кольцо псевдодифференциальных операторов ¿)) — кольцо главных правых идеалов.
Теорема 9.3. Пусть Л — лоранов ское кольцо, А — его кольцо коэффициентов. Тогда эквивалентны следующие условия:
(1) Л — область главных правых идеалов;
(2) Л — кольцо главных правых идеалов и А — область;
(3) А — область главных правых идеалов.
Утверждение 9.3, естественно, верно и в случае колец косых рядов Лорана н колец псевдодифференциальных операторов. Из теоремы 9.4 вытекает, что кольцо рядов Лорана 2((х)) над кольцом целых чисел 2 является кольцом главных идеалов. В связи с этим заметим, что кольцо многочленов £[х] и кольцо формальных степенных рядов 2[[х]] не являются кольцами главных идеалов, поскольку идеал, порождённый 2 и х не является главным. Это показывает, что случай колец рядов Лорана отличается от случаев колец многочленов и колец формальных степенных рядов.
Кроме того, строится пример, показывающий, что аналоги предложения 9.2 и теоремы 9.3 для колец Беэу неверны.
В десятом параграфе получены результаты о простых и полупростых кольцах. Здесь большую роль играют необходимые и достаточные условия на двусторонний идеал В кольца коэффициентов, при которых правый идеал ц(В) ло-рановского кольца также является двусторонним. В случае кольца косых рядов Лорана и кольца псевдодифференциальных операторов эти условия состоят в инвариантности идеала В относительно скручивающего автоморфизма (<р(В) = В)
или относительно дифференцирования (8{В)С.В). С учетом этого получены следующие утверждения:
Теорема 10.8. Пусть А — кольцо, а уз — автоморфплм в нём. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) А((х,у>)) — простое кольцо;
(2) кольцо А не имеет таких нетривиальных двусторонних идеалов В, что <р{В) = В.
Теорема 10.9. Пусть А — кольцо и 6 — его дифференцирование. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) — простое кольцо;
(2) кольцо А не имеет таких нетривиальных двусторонних идеалов В, что ¿(В)СВ.
Теорема 10.10. Пусть А — кольцо, а <р — автоморфизм в нём. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) А((х, <р)) — полупростое артиново кольцо;
(2) А — полупростое артиново кольцо.
Теорема 10.11. Пусть А — кольцо, а 6 — дифференцирование в нём. Тогда следующие условия эквивалентны:
(1) — полупростое артиново кольцо;
(2) А — артиново справа кольцо, причём для любого ненулевого элемента ] радикала существует натуральное число п, такое что элемент ¿"(у) не лежит в J{A).
В связи с теоремой 10.11 строится пример не полупростого кольца, кольцо псевдодифференциальных операторов над которым является полупростым за счёт выбора подходящего дифференцирования. Этот же пример предоставляет пример цепного артиново го кольца, кольцо псевдоднфференциальных операторов над которым не является цепным (этот пример интересен в свете описанной ниже теоремы 11.6).
В одиннадцатом параграфе получены точные критерии для цепных колец, в которых также важную роЪь играют упомянутые выше условия того, что идеал ц{В) является двусторонним:
Теорема 11.4. Пусть Я — лорановское кольцо, а А — его кольцо коэффициентов. Тогда равносильны следующие условия:
(1) Я — цепное справа кольцо;
(2) Я — цепкое справа артиново справа кольцо;
(3) А — цепное справа артиново справа кольцо и /¿(./(А)) — двусторонний идеал кольца Я, где J[A) — радикал Джекобсона кольца А.
Теорема 11.5. Пусть А — кольцо, а <р — автоморфизм в нём. Тогда равносильны следующие условия:
(1) i4((z,y?)) - цепное справа кольцо;
(2) A((x,ifi)) — цепное справа артиново справа кольцо;
(3) А — цепное справа артиново справа кольцо.
Теорема 11.6. Пусть А — кольцо и 6 — его дифференцирование. Тогда равносильны следующие условия:
(1) A((t~l,S)) — цепное справа кольцо;
(2) Л((*-1,<5)) — цепное справа артиново справа кольцо;
(3) А — цепное справа артиново справа кольцо и S(J(A))CJ(A), где J {А) — радикал Джекобсона кольца А.
Также получены определённые частичные результаты о полуцепных аргоновых кольцах:
Теорема 11.7. Пусть R — лорановское кольцо, а А — его кольцо коэффициентов. Пусть правый идеал ft(J(A)) является двусторонним идеалом кольца R, где J[A) — радикал Джекобсона кольца А. Тогда равносильны следующие условия:
(1) кольцо R является полуцепным справа артиновым справа;
(2) кольцо А является полуцепным справа артиновым сйрава.
Теорема 11.8. Пусть А — кольцо, а <р — его автоморфизм. Тогда равносильны следующие условия:
(1) кольцо А((х, <р)) является полуцепным справа артиновым справа;
(2) кольцо А является полуцепным справа артиновым справа.
Теорема 11.9. Пусть А — кольцо, а 6 — дифференцирование в нём, причём для радикала Джекобсона J (А) кольца А выполнено включение S(J(A))CJ(A). Тогда равносильны следующие условия:
(1) кольцо псевдодифференциальных операторов A((t_1,i)) является полуцепным справа артиновым справа';
(2) кольцо А является полуцепным справа артиновым справа.
В двенадцатом параграфе получены односторонние результаты о дистрибутивных кольцах и о полулокальных кольцах:
Предложение 12.2. Пусть А — кольцо. Тогда:
(1) если R — лорановское кольцо и А — его кольцо коэффициентов, и кольцо R полулокально, то кольцо А полулокально;
(2) если <р — автоморфизм кольца А, и кольцо А([х, <р)) косых рядов Лорана полулокально, то кольцо А полулокально;
(3) если S — дифференцирование кольца А, и кольцо псевдодифференциальных операторов 6)) полулокально, то кольцо А полулокально.
Предложение 12.3. Пусть А — кольцо. Тогда:
(1) если Я — лорановское кольцо и А — его кольцо коэффициентов, и кольцо П дистрибутивно справа, то и кольцо А дистрибутив но справа;
(2) если <р — автоморфизм кольца А, и кольцо А([х, <р)) косых рядов Лорана дистрибутивно справа, то и кольцо коэффициентов А дистрибутивно справа.
(3) если 6 — дифференцирование кольца А, и кольцо псевдодифференциальных операторов А((<-1,<5)) дистрибутивно справа, то и кольцо коэффициентов А дхктрибутивно справа.
Кроме того, получено полное описание дистрибутивных полулокальных лора-новских колец:
Теорема 12.6. Пусть Я — лорановское кольцо, а А — его кольцо коэффициентов. Тогда равносильны следующие условия:
(1) кольцо Я дистрибутивно справа и полулокально;
(2) Я — прямое произведение конечного числа цепных справа колец;
(3) Я — прямое произведение конечного числа цепных справа артиновых справа колец;
(4) А — прямое произведение конечного числа цепных справа артиновых справа колец А;, причем правый идеал ц{А;) является двусторонним для всех г.
Теорема 12.7. Пусть А — кольцо, а <р — его автоморфизм. Тогда равносильны следующие условия:
(1) кольцо А((х,<р)) дистрибутивно справа и полулокально;
(2) кольцо А((х, <р)) является прямым произведением конечного числа цепных справа колец; ...
(3) кольцо А((х, <р)) является прямым произведением конечного числа цепных справа артиновых справа колец;
(4) кольцо А является прямым произведением конечного числа цепных справа артиновых справа колец А,-, причем у>(А,-) = А, для всех ».
В связи с теоремой 12.7 заметим, что ситуация в случае колец рядов Лорана отличается от случая колец формальных степенных рядов, поскольку можно проверить, что кольцо формальных степенных рядов от одной переменной является прямым произведением конечного числа цепных справа колец тогда и только тогда, когда кольцо коэффициентов является конечным прямым произведением тел.
Теорема 12.8. Пусть А — кольцо, аб — дифференцирование а нём. Тогда равносильны следующие условия:
(1) кольцо i4((t_l, <$)) дистрибутивно справа и полулокально;
(2) кольцо A((t~1,6)) является прямым произведением конечного числа цепных справа колец;
(3) кольцо 1,&)) является прямым произведением конечного числа цепных справа артиновых справа колец;
(4) кольцо А является прямым произведением конечного числа цепных справа артиновых справа колец А{, причем ¿(Л;)СЛ; для всех ».
Автор выражает благодарность своим научным руководителям профессору А.В.Михалёву и доценту В.Т.Маркову за постановку задач и постоянное внимание к работе.
Публикации автора по теме диссертации
1) Д.А.Туганбаев. Цепные кольца рядов Лорана // Фундаментальная и прикладная математика. - 1997. - 3, No.3. - С.947-951.
2) Д.А.Туганбаев. Дистрибутивные полулокальные кольца рядов Лорана // Универсальная алгебра и ее приложения: тезисы докладов международного семинара, посвященного памяти Д.А.Скорнякова, Волгоград, 6-11 сентября 1999 г.. - Волгоград: Перемена. - 1999. - С.66-67.
3) Д.А.Туганбаев. Цепные кольца косых рядов Лорана // Вестник Моск. унта. Матем. Механ. - 2000. - No.l. - С.52-55.
4) Д.А.Туганбаев. Кольца косых рядов Лорана и кольца главных идеалов // Вестник Моск. ун~та. Матем. Механ. - 2000. - No.5. - С.55-57.
5) Д.А.Туганбаев. Полулокальные дистрибутивные кольца косых рядов Лорана // Фундаментальная и прикладная математика. - 2000. - в, No.3. - С.913-921.
6) D.A.Tuganbaev. Some ring and module properties of skew Laurent series // Formal Power Series and Algebraic Combinatorics, D.Krob, A.A.Mikhalev, and A.V.Mikhalev (Eds.), Berlin: Springer. - 2000. - P.613-622.
7) Д.А.Туганбаев. Дистрибутивные полулокальные кольца рядов Лорана // Тезисы докладов международного алгебраического семинара, посвященного 70-летию научно-исследовательского семинара МГУ по алгебре, Москва, 1316 сентября 2000 г.. - М: МГУ. - 2000. - С.55-56.
8) Д.А.Туганбаев. Полуцепные артиновы кольца псевдодифференциальных операторов // Математические методы и приложения. Труды девятых математических чтений МГСУ. - М.: МГСУ. - 2002. - С.111-115.
9) Д.А.Туганбаев. Кольца псевдодифференциальных операторов и условия на цепи // Вестник Моск. ун-та. Матем. Механ.. - 2002. - No.4. - С.26-32.
10) Д.А.Туганбаев. Кольца рядов Лорана от нескольких переменных // Математические методы и приложения. Труды десятых математических чтений МГСУ. - М.: МГСУ. - 2003. - С.125-127.
i I
I
2<ъо
» 134 7 1
Введение
Условные обозначения
Глава 1. Определения и примеры колец рядов Лорана и их обобщений
1 Кольца псевдодифференциальных операторов, кольца рядов Лорана и их обобщения.
2 Определения лорановского кольца.
3 Обобщённые лорановские кольца
4 Лорановские кольца: обозначения и общие свойства.
5 Задание лорановских колец явными соотношениями.
6 Примеры лорановских колец.
Глава 2. Кольцевые свойства колец рядов Лорана и их щений
7 Тела.
8 Нётеровы и артиновы кольца.
9 Области, кольца главных идеалов и кольца Безу.
10 Простые и полупростые кольца.
11 Цепные и полуцепные кольца.
12 Дистрибутивные полулокальные кольца.
Данная работа посвящена исследованию теоретико-кольцевых свойств колец (косых формальных) рядов Лорана и колец (формальных) псевдодифференциальных операторов. Начало использования колец косых рядов Лорана восходит к работам Шура, Диксона и Гильберта начала XX века. Например, при изучении независимости аксиом в геометрии Гильберт использовал кольцо косых рядов Лорана для построения тела, бесконечномерного над своим центром. Изучение колец рядов Лорана с произвольным кольцом коэффициентов было начато в конце 70-х - начале 80-х годов Лоренцем [31], Рисманом [46] и Смитсом [49]. Техника использования колец рядов Лорана является удобным инструментом в теории колец. Например, в [32] Макар-Лиманов с помощью колец косых рядов Лорана от двух переменных показал, что кольцо частных алгебры Вейля содержит свободную некоммутативную подалгебру. В работе Гудёрла и Смолла [21] кольца рядов Лорана используются для оценивания размерности Крулля и глобальной размерности нётеровых Р.1. колец.
В работах Сонина [8]-[11] и [50] систематически исследуктся теоретико-кольцевые свойства колец рядов Лорана. В частности, выяснено, когда кольца рядов Лорана обладают размерностью Крулля, бирегулярны, строго регулярны и (в предположении конечности порядка скручивающего автоморфизма) регулярны.
Кольца рядов Лорана тесно связаны с кольцами рядов Мальцева-Неймана и кольцами обобщённых степенных рядов, интенсивно изучаемыми в последнее время. Напомним, что кольца рядов Мальцева-Неймана были определены в 1948 году <. '.Мальцевым для доказательства вложимости групповой алгебры над полем в тело (независимо в 1949 году эта конструкция была определена Б.Нейманом). Среди многочисленных работ в этом направлении мы отметим работы Бергмана [14], Лоренца [31], Рисмана [46], Смитса [49] и Массона и Стаффорда [35]. Кольца обобщённых степенных рядов с показателями степени в упорядоченном моноиде в последние годы изучались в работах многих авторов (можно выделить работы Ри-бенбойма [37]-[45], а также работы [17] и [27]-[30]).
Алгебра псевдодифференциальных операторов А((5-1)) была, по-видимому, введена Шуром в 1905 году в работе [48] и с тех пор неоднократно использовалась в различных разделах математики (см., например, [1], [47], [6], [34]). Поскольку в диссертации исследуются лишь теоретико-кольцевые свойства колец псевдодифференциальных операторов, мы не излагаем здесь историю применения псевдодифференциальных операторов в математике и не приводим соответствующие работы, не относящиеся к структурной теории колец. Выделим только работы Гельфанда и Дикого [1] и Паршина [7].
В работе Паршина [7] автор развил алгебраическую теорию колец формальных псевдодифференциальных операторов от нескольких переменных и отмечает, что "другие подходы к построению колец псевдодифференциальных операторов см. в [24], [25], [2]". В этой же работе используются итерированные кольца косых рядов Лорана. В структурной теории колец ¡/0] кольца псевдодифференциальных операторов используются для кон-структивизации вычислений в алгебрах дифференциальных операторов (см. работу Гудёрла [20]), а также как источник многочисленных примеров (см., например, книгу Гудёрла и Уорфилда [22]). Если кольцо псевдодифференциальных операторов обладает правой размерностью Крулля, то оно является нётеровым справа кольцом [50].
Диссертация посвящена исследованию кольцевых свойств колец косых рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов. В связи с тем, что эти кольцевые свойства оказываются весьма близки друг к другу, оказывается удобно ввести понятие лорановских колец, включающее в себя как кольца косых рядов Лорана так и кольца псевдодифференциальных операторов и доказывать заметную часть результатов в такой общности. Строятся и другие примеры лорановских колец, для которых также верны многие результаты диссертации.
Все кольца предполагаются ассоциативными и с ненулевой единицей, но не обязательно коммутативными. В диссертации используются базовые сведения из теории колец, которые можно найти, например, в [4] и [12].
Первая глава диссертации посвящена определениям, обозначениям и развитию необходимой техники для проведения вычислений в лорановских кольцах. В ней также строятся различные примеры лорановских колец.
Кольцо косых рядов Лорана А((х, <р)) и кольцо псевдодифференциальных операторов Л((£-1,<£)) над одним и тем же кольцом А изоморфны как абелевы группы и умножение в них задаётся похожим образом. Переменная в этих кольцах не коммутирует с коэффициентами и различие между кольцами состоит лишь в том, какое именно соотношение выступает в качестве замены коммутативности: ха = (р(а)х или ¿а = а£ + ¿(а). В случае тождественного автоморфизма <р и нулевого дифференцирования 5, эти кольца изоморфны кольцу обычных рядов Лорана.
Многие теоремы переносятся с колец косых рядов Лорана на кольца псевдодифференциальных операторов и обратно практически без изменений, поэтому возникает закономерный вопрос о том, какого рода должно быть умножение (или задающее его соотношение вида ха = .) на абеле-вой группе формальных рядов, для того, чтобы сохранялись те же самые кольцевые свойства.
Оказывается, что единственное необходимое свойство (если не считать естественных требований, вытекающих из дистрибутивности умножения по отношению к формальной бесконечной сумме, и из отождествления единицы кольца коэффициентов с единицей циклической группы по умножению, порождённой переменной) состоит в том, что младшая степень произведения двух рядов должна быть не меньше суммы младших степеней этих рядов (в случае кольца псевдодифференциальных операторов, где степень переменной в формальном ряде убывает, а не возрастает, вместо младших степеней используются старшие). Кольца, состоящие из формальных степенных рядов с отрицательными степенями, удовлетворяющие этому условию, называются в данной диссертации лорановскими кольцами.
Из этого требования, с учётом обратимости х, возникает необходимое условие на соотношение перестановки переменной с коэффициентом ха = ., состоящее в том, что младшая степень правой части должна быть равна младшей степени левой. Обратимость х требует, чтобы соотношение имело вид ха = <р(а)х + .где <р — автоморфизм кольца коэффициентов. Требование ассоциативности умножения накладывает на соотношение последнее условие, которое, однако, нам будет удобнее сформулировать после того, как будет развита особая вычислительная техника. Проверка этого условия в общем случае также требует значительных .усилий, однако в отдельных частных случаях его удаётся легко проверить. Так, строится кольцо косых рядов Лорана с косым дифференцированием (оно изучалось в [16] в случае, когда кольцо коэффициентов является телом), которое также оказывается частным случаем лорановского кольца.
Существует определённая взаимосвязь между решёткой [правых (левых) идеалов лорановского кольца и решёткоиПравых (левых) идеалов его кольца коэффициентов: решётка идеалов кольца коэффициентов с помощью отображения ц вкладывается (с сохранением решёточных операций) в решётку идеалов лорановского кольца и существует отображение А в обратную сторону, сохраняющее отношение включения, сопоставляющее каждому идеалу кольца рядов идеал кольца коэффициентов. При этом в конечнопорождённом случае отображение А сохраняет и строгое включение, благодаря чему решётка идеалов лорановского ^ольча не может быть значительно богаче решётки идеалов его кольца коэффициентов.
Вторая глава диссертации посвящена изучению конкретных кольцевых свойств лорановских колец (все эти результаты, естественно, распространяются на кольца косых рядов Лорана и кольца псевдодифференциальных операторов). Так, доказано, что лорановское кольцо является телом тогда и только тогда, когда его кольцо коэффициентов является телом (для частных случаев колец косых рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов это хорошо известно (см., например, [16, с. 66] и [20]). Аналогично, лорановское кольцо является нётеровым (артиновым) тогда и только тогда, когда кольцо коэффициентов является нётеровым (артиновым); это утверждение известно для колец косых рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов (см., например, [22, с. 19], [50]). Также проверено, что лорановское кольцо является областью тогда и только тогда, когда кольцо коэффициентов является областью. Доказано, что лорановское кольцо является областью главных правых идеалов тогда и только тогда, когда его кольцо коэффициентов является областью главных правых идеалов.
Получен также критерий того, что лорановское кольцо является цепным кольцом и критерий того, что оно является дистрибутивным и полулокальным кольцом. В этих случаях дополнительным необходимым условием оказывается артиновосГь (и кольца коэффициентов и лорановского кольца). Получено также описание полуцепных артиновых колец косых рядов Лорана. Для того, чтобы лорановское кольцо было простым или полупростым, должны быть, помимо такого же условия на кольцо коэффициентов, выполнены особые дополнительные условия (в случае кольца косых рядов Лорана это условие на скручивающий автоморфизм, а в случае кольцА псевдодифференциальных операторов — условие на дифференцирование).
Помимо точных критериев получены некоторые частичные результаты о дистрибутивных кольщос рядов, о полулокальных кольцах рядов и о кольцах главных правых идеалов. Для многих утверждений приведены примеры колец, иллюстрирующие необходимость каждого отдельного условия.
Перейдём к более подробному изложению. Диссертация состоит из .введения и 2 глав (12 параграфов). Все основные результаты (теоремы, предложения, примеры и т. п.) имеют двойной индекс: первое число указывает на номер параграфа (в сквозной нумерации), второе — на номер утверждения в параграфе.
Первая глава состоит из шести параграфов. В первом параграфе даются определения основных изучаемых объектов: кольца косых рядов Лорана А((х, <р)) и кольца псевдодифференциальных операторов Л((£-1, ¿)). Проверено, в каких случаях кольцо косых рядов Лорана изоморфно (достаточно хорошим образом) кольцу обыкновенных рядов Лорана, а именно, доказано:
Предложение 1.1. Пусть А — кольцо, а <р — его автоморфизм. Тогда следующие условия равносильны:
1) автоморфизм (р является внутренним;
2) существует изоморфизм п кольца обычных рядов Лорана А((ж)) на кольцо косых рядов Лорана А[(у, <р)), тождественно действующий на элементах кольца коэффициентов А и сохраняющий младшую степень рядов.
Далее кратко исследуется вопрос о переходе к кольцам рядов Лорана от нескольких переменных. В работе [7] исследуются итерированные кольца рядов Лорана от нескольких переменных, которые строятся путём многократного перехода от кольца коэффициентов к кольцу рядов Лорана от одной переменной. При таком подходе переменные получаются неравноправны. Кроме того, с точки зрения структурной теории колец и исследуемых теоретико-кольцевых свойств, для изучения итерированных колец рядов Лорана достаточно исследовать свойства кольца рядов Лорана от одной переменной.
Поэтому в данной диссертации выбран другой естественный подход, при котором в кольцах рядов Лорана от нескольких переменных переменные равноправны. Однако при таком подходе кольцевые свойства колец рядов Лорана от нескольких переменных оказываются резко отличны от свойств колец рядов Лорана от одной переменной, что продемонстрировано в диссертации на примере кольца рядов Лорана от двух переменных. Так, в предложениях 1.2 и 1.3 доказано, что кольцо рядов Лорана от двух переменных никогда не бывает ни артиновым справа ни локальным (в частности, не бывает телом). Доказано также следующее утверждение:
Теорема 1.4. Пусть А — произвольное кольцо. Тогда -равносильны следующие условия:
1) А((х,у)) — полупримитивная область, не являющаяся телом;
2) кольцо рядов Лорана от двух переменных А((х,у)) — область;
3) А — область.
Во втором параграфе вводятся лорановские кольца: даются два различных определения и доказывается их эквивалентность. Первое определение отражает комбинаторный подход и фактически требует, чтобы кольцо как аддитивная группа состояло их обычных рядов Лорана с естественными ограничениями на умножение (чтобы запись коэффициентов в одночленах слева была корректной, и чтобы формальная сумма в рядах была дистрибутивной), а также с главным ограничением, состоящим в том, чтобы младшая степень произведения рядов была не меньше суммы их младших степеней.
Второе определение отражает структурный подход: требуется, чтобы в кольце была ^-фильтрация, удовлетворяющая определённым свойствам (в случае кольца рядов Лорана это фильтрация, задаваемая младшей степенью ряда). А именно, в множествах фильтрации и1 и 11-1 должна всегда находиться пара взаимно обратных элементов (в кольце рядов Лорана это х и ж-1), это условие ограничивает рассмотрение именно рядами с отрицательными степенями (кольцо формальных степенных рядов удовлетворяет всем условиям определения, кроме этого). Кроме того, должно быть возможно "бесконечное суммирование" элементов со строго монотонно возрастающей младшей степенью, это ограничивает рассмотрение кольцами рядов, а не многочленов (в кольце многочленов Лорана выполнены все условия кроме этого). Кольцом коэффициентов в ^-фильтрованном кольце в рамках такого подхода естественно называть кольцо £7о/£Л- Последнее условие требует, чтобы кольцо коэффициентов вкладывалось в само лорановское кольцо, расщепляя канонический гомоморфизм на С/о/^ъ как это имеет место в случаях колец рядов и многочленов. В случае, если это условие не выполнено, кольцо называется обобщённым лорановским кольцом и для него остаются верны многие утверждения. Ниже строится пример обобщённого лорановского кольца, не являющегося лорановским кольцом.
Кроме того, во втором параграфе показано, что понятие "бесконечной суммы", введённое в определении лорановского кольца, согласовано с формальной бесконечной суммой в кольце рядов Лорана.
Третий параграф посвящён исследованию простых свойств обобщённых лорановских колец. Так, доказывается, что "бесконечная сумма", введённая в определении такого кольца, удовлетворяет естественным свойствам дистрибутивности, коммутативности и т.п. (если рассмотреть на обобщённом лорановском кольце топологию, задаваемую фильтрацией, то "бесконечная сумма" становится просто суммой сходящегося ряда, однако в данной диссертации все её необходимые свойства доказываются чисто алгебраическими средствами).
Вводится отображение Л, сопоставляющее каждому идеалу (правому или левому) обобщённого лорановского кольца идеал (правый или левый) его свободных членов. Отображение А переводит решётку идеалов обобщённого лорановского кольца в решётку идеалов кольца коэффициентов и сохраняет отношение включения, что устанавливает существенную связь между этими решётками и условиями на цепи в них. Кроме того, доказана ключевая лемма об отображении А, из которой следует, что если А(Р) = А(5) и идеал (правый или левый) А(Р) конечнопорождён, то Р = 5". Таким образом при некоторых ограничениях А сохраняет не только отношение включения, но и отношение строгого включения, что усиливает связь между двумя решётками идеалов.
Как простое следствие этой леммы доказывается, что "ряд" (элемент обобщённого лорановского кольца) с обратимым свободным членом всегда обратим. Отсюда выводится следствие, что если кольцо коэффициентов является телом, то и обобщённое лорановское кольцо — тело. Обратное утверждение верно только для лорановских колец (соответствующий контрпример, кольцо дробных р"-адических чисел, строится ниже).
В качестве иллюстративного соображения показывается, что в обобщённом лорановском кольце можно ввести норму, согласованную с топологией, задаваемой фильтрацией. За счёт существования "бесконечной суммы" полученное нормированное кольцо получается полным метрическим пространством. При этом кольцо многочленов Лорана получается всюду плотным подмножеством кольца рядов Лорана, так что кольцо рядов Лорана является просто расширением кольца многочленов Лорана до полного метрического пространства. При таком подходе то, что всякий "ряд" с обратимым свободным членом обратим, является следствием того факта, что сумма единицы с любым элементом, по норме меньшим единицы, всегда обратима в полном нормированном кольце.
В четвёртом параграфе рассматриваются уже только лорановские кольца (не обобщённые), вводятся обозначения и доказываются элементарные свойства. Так, вводится отображение ц, с одной стороны обратное введённому ранее отображению А, которое сопоставляет каждому правому идеалу В кольца коэффициентов правый идеал всех тех "рядов", у которых все левые коэффициенты лежат в В. При этом А(ц(В)) = В. Отображение ¡1 осуществляет вложение решётки идеалов кольца коэффициентов в решётку идеалов лорановского кольца.
Доказывается, что отображение ц переводит максимальные правые идеалы в максимальные правые идеалы и, как следствие, радикал Джекобсона лорановского кольца лежит в /*(•/), где J — радикал Джекобсона кольца коэффициентов. Ниже будет доказано, что в некоторых случаях радикал Джекобсона в точности равен //(«/).
Пятый параграф посвящён явным вычислениям, выяснению необходимых и достаточных условий на коммутирующее соотношение ха = ., чтобы оно задавало на множестве рядов Лорана умножение так, чтобы получалось лорановское кольцо. Конечным результатом является предложение 5.5 и предваряющие его леммы:
Лемма 5.2. Пусть А — кольцо, п — целое число, а / : А+—уУп — гомоморфизм абелевых групп, который каждому элементу а£А сопоставляет ряд из кольца рядов Лорана Л((ж)) младшая степень которого не ниже п. Тогда отображение / можно единственным образом расширить до эндоморфизма /' абелевой группы Л+((ж)), так, что ограничение /' на А будет совпадать с /, для всех рядов г и всех целых к будет выполнено равенство /'(гхк) = /'(г)хк и при этом для любого ряда г младшая степень ряда /'(г) будет больше или равна п + т, где т — младшая степень ряда г.
Если же для всякого элемента а из А младшая степень ряда /(а) равна п, то для любого ряда г младшая степень ряда /'(г) будет равна п + т, где т — младшая степень ряда г.
Лемма 5.2, если подойти с топологической точки зрения, является следствием того, что равномерно непрерывную функцию можно единственным образом продолжить со всюду плотного подмножества А[х,х~г] на всё кольцо Л((ж)) с сохранением равномерной непрерывности.
Лемма 5.4. Пусть А — кольцо, a tp — автоморфизм в нём. Пусть А : А+—>Л+[[ж]] — произвольный гомоморфизм абелевых групп, который каждому элементу кольца А сопоставляет ряд без отрицательных степеней переменной с коэффициентами из А. Тогда существует и единственна функция и>(-, •), которая каждой паре рядов из А((ж)) сопоставляет ряд из А((ж)), удовлетворяющая условиям (f,guhe соотношениях обозначают произвольные ряды из А{(х)), пит — произвольные целые числа, а а иЬ — произвольные элементы кольца А):
1) u{f + g,h)=io{f,h)+u{g,h) и w(f,g + h)=u{f,g) + w(f, h);
2) младшая степень рядаш(/,д) больше или равна сумме младших степеней рядов fug, при этом младшая степень ряда ш(х, /) всегда ровно на единицу больше младшей степени ряда f, а младшая степень ряда ш(х-1,/) — ровно на единицу меньше;
3) «(1 ,/)=/;
4) u>(af,gx»)=ab>(f,g)zn;
5) ш(хп,g)=u(x, w(xn~l,g)) при п > 0 и о}(хп,д)=ш(х~1,ш(хп+1^д)) при п < 0;
6) ш(хуш{х~11а))=а;
7) а/(ж-1, а) = <р-1(а)х~1 + А (а).
Если обозначить за Тр продолжение отображения ip до эндоморфизма Л+((х)), которое существует по лемме 5.2 и аналогично за <ри А такие же продолжения tp и А, а за 7(-) обозначить эндоморфизм —Д(у>1(-)), то для функции OJ будет выполнено соотношение оо о где знак Y1 обозначает введённую ранее "обобщённую бесконечную сумму" в кольце Л ((ж)).
Предложение 5.5. Пусть А — кольцо и R — множество с бинарными операциями сложения и умножения. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) кольцо R является лорановским кольцом с кольцом коэффициентов
А;
2) существует автоморфизм ср кольца А, гомоморфизм абелевых групп А : А+—>-А+[[ж]] и биективное отображение я- из А((ж)) на R такое, что сложение в R задаётся формулой 7Г(/) + п(д) = 7г(/ + д), а умножение — формулой тг(/)я"(<7) = 7т(ш(Уг,¿г)), где ш — функция, построенная по лемме 5.4 на основе ср и А, при этом <р и А таковы, что для всех а и Ь из А выполнено соотношение A(ab)=u>(A(a),b) + <р~На) А(Ь).
Шестой параграф состоит в построении конкретных примеров лоранов-ских колец с помощью результатов предыдущего параграфа. В частном случае, когда Д(А)СА, предложение 5.5 позволяет полностью описать ло-рановские кольца.
А именно, этот случай полностью описывается перестановочным соотношением х-1 а = (р~1(а)х~1 + 6(а), где <р — произвольный автоморфизм кольца коэффициентов, а 8 — ^-1-дифференцирование, то есть эндоморфизм кольца коэффициентов как абелевой группы по сложению, удовлетворяющий соотношению
Кольцо, состоящее из рядов Лорана, в котором умножение задаётся этим соотношением, называется в диссертации кольцом косых рядов Лорана с косым дифференцированием. В случае, когда <£=0, получаем обычное кольцо косых рядов Лорана. В случае, когда (р — тождественный автоморфизм кольца коэффициентов, получаем, с точностью до замены Ь = х-1 кольцо псевдодифференциальных операторов. Таким образом в диссертации доказывается, что кольцо псевдодифференциальных операторов действительно удовлетворяет всем аксиомам кольца. Для получения примера кольца косых рядов Лорана с косым дифференцированием, не совпадающего ни с одним из названных выше, можно взять любой нетождественный автоморфизм и 5(а) = с(а — <р~1(а)), где с — фиксированный элемент из центра кольца коэффициентов.
Выбранный в диссертации метод задания умножения и проверки аксиом кольца в кольце псевдодифференциальных операторов позволяет не строить это умножение в явном виде, а построить его с помощью итеративной процедуры и аналогичным образом проверить его ассоциативность (другие аксиомы кольца проверяются тривиально). Такой способ построения позволяет доказать результат в общем виде и воспользоваться им не только в построении кольца псевдодифференциальных операторов, но и в построении кольца косых рядов Лорана с косым дифференцированием. Однако же этот способ не позволяет записать формулу умножения двух рядов в явном виде, в отличие от явной и трудоёмкой вычислительной проверки, которая проделана, например, в [20]. Чтобы компенсировать этот недостаток, явная формула умножения двух рядов выводится в отдельном утверждении:
Предложение 6.4. Пусть А — кольцо, 6 — дифференцирование в нём, и — кольцо псевдодифференциальных операторов. Тогда для любых двух элементов £ 0еА((г\5)) оо и т
9= £ <**'€Л((Г\*)) оо выполнено равенство п+т ( п т / • \ \
9= Е Е Е г+К
Кроме того, в шестом параграфе полностью аналогично хорошо известному полю р-адических чисел строится кольцо дробных га-адических чисел и доказывается, что оно является обобщённым лорановским кольцом с кольцом коэффициентов Z|nZ, но не является лорановским кольцом, поскольку его кольцо коэффициентов в него не вкладывается. Кольцо дробных п-адических чисел является телом только при п = рк (а при других п не является даже областью), а его кольцо коэффициентов Z|nZ является телом только при п = р (а при других п не является областью). Поэтому кольцо дробных р*-адических чисел при к > 1 является , примером обобщённого лорановского кольца, которое является телом в то время как его кольцо коэффициентов не является областью.
Вторая глава состоит из шести параграфов. В ней, на базе развитой ранее техники, доказываются конкретные утверждения о тех или иных теоретико-кольцевых свойствах лорановских колец (а также колец косых рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов как частных случаях).
В седьмом параграфе доказано, что лорановское кольцо (и, соответственно, кольцо косых рядов Лорана и кольцо псевдодифференциальных операторов) является телом тогда и только тогда, когда его кольцо коэффициентов является телом. В восьмом параграфе доказано аналогичное утверждение про нётеровы справа и артиновы справа кольца. Эти утверждения были ранее известны для колец косых рядов Лорана и псевдодифференциальных операторов (см., например, [16, с. 66], [20], [22, с. 19]).
В девятом параграфе получены определённые результаты об областях (доказано, что лорановское кольцо является областью тогда и только тогда, когда его кольцо коэффициентов является областью, что было хорошо известно в случае кольца косых рядов Лорана и кольца псевдодифференциальных операторов) и кольцах главных правых идеалов:
Предложение 9.1. Пусть А — кольцо. Тогда:
1) если Я — лорановское кольцо, и А совпадает с его кольцом коэффициентов, то кольцо Я является областью тогда и только тогда, когда кольцо А является областью.
2) если (р — автоморфизм кольца А, то кольцо А((х,<р)) косых рядов Лорана является областью тогда и только тогда, когда его кольцо коэффициентов А является областью.
3) если 6 — дифференцирование кольца А, то кольцо псевдодифференциальных операторов £)) является областью тогда и только тогда, когда его кольцо коэффициентов А является областью.
Для обобщённых лорановских колец утверждение предложения 9.1 остаётся в силе только в одну сторону. Кольцо дробных рп-адических чисел является телом, а его кольцо коэффициентов (при п больших единицы) не является областью.
Предложение 9.2. Пусть А — кольцо главных правых идеалов. Тогда:
1) если Я — обобщённое лорановское кольцо и А — его кольцо коэффициентов, то Я — кольцо главных правых идеалов;
2) если (р — автоморфизм кольца А, то кольцо А((х,(р)) косых рядов Лорана — кольцо главных правых идеалов;
3) если 5 — дифференцирование кольца А, то кольцо псевдодифференциальных операторов -А((£-1,^)) — кольцо главных правых идеалов.
Теорема 9.3. Пусть Я — лорановское кольцо, А — его кольцо коэффициентов. Тогда эквивалентны следующие условия:
1) Я — область главных правых идеалов;
2) Я — кольцо главных правых идеалов и А — область;
3) А — область главных правых идеалов.
Утверждение 9.3, естественно, верно и в случае колец косых рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов. Из теоремы 9.4 вытекает, что кольцо рядов Лорана Z((x)) над кольцом целых чисел Z является кольцом главных идеалов. В связи с этим заметим, что кольцо многочленов Z[x\ и кольцо формальных степенных рядов Я [[ж]] не являются кольцами главных идеалов, поскольку идеал, порождённый 2 и ж не является главным. Это показывает, что случай колец рядов Лорана отличается от случаев колец многочленов и колец формальных степенных рядов.
Кроме того, строится пример, показывающий, что аналоги теоремы 9.3 и предложения 9.2 для колец Безу неверны:
Предложение 9.9. Пусть А — дистрибутивная справа правая область Безу, не являющаяся телом (например, кольцо целых чисел), В = Л(1)хЛ(2)хА(3)х. — прямое произведение счётного числа экземпляров А(ъ) области А. Тогда:
1) В — риккартово справа и слева дистрибутивное справа редуцированное правое кольцо Безу;
2) В((х)) — риккартово справа и слева редуцированное кольцо, которое не является ни правым кольцом Безу, ни дистрибутивным справа кольцом.
В десятом параграфе получены результаты о простых и полупростых кольцах. Здесь большую роль играют необходимые и достаточные условия на двусторонний идеал В кольца коэффициентов, при которых правый идеал (л(В) лорановского кольца также является двусторонним. В случае кольца косых рядов Лорана и кольца псевдодифференциальных операторов эти условия состоят в инвариантности идеала В относительно скручивающего автоморфизма (<р{В) = В) или относительно дифференцирования (8(В)СВ). С учётом этого получены следующие утверждения:
Теорема 10.8. Пусть А — кольцо, а<р — автоморфизм в нём. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) Л((ж,у>)) — простое кольцо;
2) кольцо А не имеет таких нетривиальных двусторонних идеалов В, что <р(В) = В.
Теорема 10.9. Пусть А — кольцо и 8 — его дифференцирование. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) -А((£-1,<£)) — простое кольцо;
2) кольцо А не имеет таких нетривиальных двусторонних идеалов В, что 8(В)СВ.
Теорема 10.10. Пусть А — кольцо, а(р — автоморфизм в нём. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) А({х,<р)) — полупростое артиново кольцо;
2) А — полупростое артиново кольцо.
Теорема 10.11. Пусть А — кольцо, а 6 — дифференцирование в нём. Тогда следующие условия эквивалентны:
1) -4((£-1,<У)) — полупростое артиново кольцо;
2) А — артиново справа кольцо, причём для любого ненулевого элемента ^ радикала «7(Л) существует натуральное число п, такое что элемент ¿"(У) не лежит в ./(А).
В связи с теоремой 10.11 строится пример не полупростого кольца, кольцо псевдодифференциальных операторов над которым является полупростым за счёт выбора подходящего дифференцирования. Этот же пример предоставляет пример цепного артинового кольца, кольцо псевдодифференциальных операторов над которым не является цепным (этот пример интересен в свете описанной ниже теоремы 11.6):
Предложение 10.12. Пусть ^ — поле ненулевой характеристики р, К = Р[х] — кольцо многочленов. Тогда коммутативное кольцо А = К/хрК является цепным артиновым, но не является полем. В кольце А можно ввести дифференцирование 6 с учетом правил 6(хп) = пхп~1 и ¿(а) = 0 для каждого элемента а из поля F. При этом кольцо А((£-1, £)) изоморфно кольцу всех рхр-матриц над полем /^((¿-р)), состоящим из т рядов вида / = 2 где все коэффициенты /,• лежат в Р. В частоо ности, — простое артиново кольцо, не являющееся цепным кольцом.
В одиннадцатом параграфе получены точные критерии для цепных колец, в которых также важную роль играют упомянутые выше условия того, что идеал ц(В) является двусторонним:
Теорема 11.4. Пусть Я — лорановское кольцо, а А — его кольцо коэффициентов. Тогда равносильны следующие условия:
1) Я — цепное справа кольцо;
2) Я — цепное справа артиново справа кольцо;
3) А — цепное справа артиново справа кольцо и ц(3(А)) — двусторонний идеал кольца Я, где 3(А) ■— радикал Джекобсона кольца А.
Теорема 11.5. Пусть А — кольцо, а<р — автоморфизм в нём. Тогда равносильны следующие условия:
1) А((х,<р)) — цепное справа кольцо;
2) Л((ж,уз)) — цепное справа артиново справа кольцо;
3) А — цепное справа артиново справа кольцо.
Теорема 11.6. Пусть А — кольцо и S — его дифференцирование. Тогда равносильны следующие условия:
1) A((i1,<£)) — цепное справа кольцо;
2) A((i-1,£)) — цепное справа артиново справа кольцо;
3) А — цепное справа артиново справа кольцо и 5(J(A))ÇJ(A), где J(A) — радикал Джекобсона кольца А.
Также получены определённые частичные результаты о полуцепных артиновых кольцах:
Теорема 11.7. Пусть R — лорановское кольцо, а А — его кольцо коэффициентов. Пусть правый идеал fi(J(A)) является двусторонним идеалом кольца R, где J(A) — радикал Джекобсона кольца А. Тогда равносильны следующие условия:
1) кольцо R является полуцепным справа артиновьгм справа;
2) кольцо А является полуцепным справа артиновым справа.
Теорема 11.8. Пусть А — кольцо, a ip — его автоморфизм. Тогда равносильны следующие условия:
1) кольцо А((х,<р)) является полуцепным справа артиновым справа;
2) кольцо А является полуцепным справа артиновым справа.
Теорема 11.9. Пусть А — кольцо, а 8 — дифференцирование в нём, причём для радикала Джекобсона J(A) кольца А выполнено включение S(J(A))ÇJ(A).Tozda равносильны следующие условия:
1) кольцо псевдодифференциальных операторов A((t~ljS)) является полуцепным справа артиновым справа;
2) кольцо А является полуцепным справа артиновым справа.
В двенадцатом параграфе получены односторонние результаты о дистрибутивных кольцах и о полулокальных кольцах:
Предложение 12.2. Пусть А — кольцо. Тогда:
1) если R — лорановское кольцо и А — его кольцо коэффициентов, и кольцо R полулокально, то кольцо А полулокально;
2) если <р — автоморфизм кольца А, и кольцо A{(x,ip)) косых рядов Лорана полулокально, то кольцо А полулокально;
3) если S — дифференцирование кольца А, и кольцо псевдодифференциальных операторов полулокально, то кольцо А полулокально.
Предложение 12.3. Пусть А — кольцо. Тогда:
1) если Я — лорановское кольцо и А — его кольцо коэффициентов, и кольцо Я дистрибутивно справа, то и кольцо А дистрибутивно справа;
2) если — автоморфизм кольца А, и кольцо А{{х, <р)) косых рядов Лорана дистрибутивно справа, то и кольцо коэффициентов А дистрибутивно справа.
3) если 6 — дифференцирование кольца А, и кольцо псевдодифференциальных операторов дистрибутивно справа, то и кольцо коэффициентов А дистрибутивно справа.
Кроме того, получено полное описание дистрибутивных полулокальных лорановских колец:
Теорема 12.6. Пусть Я — лорановское кольцо, а А — его кольцо коэффициентов. Тогда равносильны следующие условия:
1) кольцо Я дистрибутивно справа и полулокально;
2) Я — прямое произведение конечного числа цепных справа колец;
3) Я — прямое произведение конечного числа цепных справа артиновых справа колец;
4) А — прямое произведение конечного числа цепных справа артиновых справа колец А{, причем правый идеал ц{А{) является двусторонним для всех г.
Теорема 12.7. Пусть А — кольцо, а <р — его автоморфизм. Тогда равносильны следующие условия:
1) кольцо А((х,(р)) дистрибутивно справа и полулокально;
2) кольцо А((х,<р)) является прямым произведением конечного числа цепных справа колец;
3) кольцо А((х,<р)) является прямым произведением конечного числа цепных справа артиновых справа колец;
4) кольцо А является прямым произведением конечного числа цепных справа артиновых справа колец А\, причем ^(А,-) = А{ для всех г.
В связи с теоремой 12.7 заметим, что ситуация в случае колец рядов Лорана отличается от случая колец формальных степенных рядов, поскольку можно проверить, что кольцо формальных степенных рядов от одной переменной является прямым произведением конечного числа цепных справа колец тогда и только тогда, когда кольцо коэффициентов является конечным прямым произведением тел.
Теорема 12.8. Пусть А — кольцо, a S — дифференцирование в нём. Тогда равносильны следующие условия:
1) кольцо Л((£-1,<£)) дистрибутивно справа и полулокально;
2) кольцо j4((i-1,i)) является прямым произведением конечного числа цепных справа колец;
3) кольцо j4((i-1, <£)) является прямым произведением конечного числа цепных справа артиновых справа колец;
4) кольцо А является прямым прдизведением конечного числа цепных справа артиновых справа колец Ai, причем 5(А{)СА{ для всех i.
Цель работы. Изучение кольцевых свойств колец рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов.
Методы исследований. В диссертации используются методы структурной и комбинаторной теории колец. Для изучения свойств лорановских колец автором развита особая техника работы с бесконечными формальными суммами элементов этих колец.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и приведены ниже.
1) Получено описание колец косых рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов, являющихся областями главных правых идеалов.
2) Описаны простые и полупростые кольца косых рядов Лорана и кольца псевдодифференциальных операторов.
3) Выяснено, когда кольца косых рядов Лорана и кольца псевдодифференциальных операторов являются полуцепными артиновыми или цепными кольцами.
4) Получено описание дистрибутивных полулокальных колец косых рядов Лорана и колец псевдодифференциальных операторов.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в дальнейших исследованиях в структурной теории колец и теории модулей.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, включающих 12 параграфов, и списков литературы и используемых обозначений. Она изложена на 98 страницах машинописного текста. Список литературы содержит 66 наименований.
1. И.М.Гельфанд, Л.А.Дикий. Дробные степени операторов и гамиль-тоновы системы // Функцион. анализ и его прил. - 1976. - 10. -С. 13-39.
2. А.С.Джумадильдаев. Дифференцирования и центральные расширения алгебры Ли формальных псевдодифференциальных операторов // Алгебра и анализ. 1994. - 6, No.l. - С.140-158.
3. Ф.Каш. Модули и кольца. М.: Мир, 1981.
4. И.Ламбек. Кольца и модули. М.: Мир, 1971.
5. А.И.Мальцев. О вложении групповых алгебр в тела. // ДАН СССР. 1948. - 60. - С. 1499-1501.
6. Д.Мамфорд. Лекции о тэта-функциях. М.: Мир, 1988.
7. А.Н.Паршин. О кольце формальных псевдодифференциальных операторов // Труды Матем. института им. В.А.Стеклова. 1999. -224. - С.291-305.
8. К.И.Сонин. Регулярные кольца рядов Лорана // Фундамент, и при-кладн. математика. 1995. - 1. - No.l. - С. 315-317.
9. К.И.Сонин. Регулярные кольца косых рядов Лорана // Фундамент, и прикладн. математика. 1995. - 1. - No.2. - С. 565-568.
10. К.И.Сонин. Полупримитивные и полусовершенные кольца лоранов-ских рядов. // Мат. заметки 1996. - 60. - No.2. - С. 300-303.
11. К.И.Сонин. Бирегулярные кольца рядов Лорана // Вестник МГУ. -1997. No.4. - С. 22-24.
12. К.Фейс. Алгебра: кольца, модули и категории. М.: Мир, 1979.
13. A.Berarducci. Factorization in generalized power series // Trans. Amer. Math. Soc. 2000. - 352, No. 2. - P.553-577.
14. G.M.Bergman. Conjugates and nth Roots in Hahn-Laurents group rings. // Bull. Malaysian. Math. Soc. 1978. - 1, No.2. - P.29-41; Historical addendum - 1979. - 2, No.2. - P.41-42.
15. J.W.Brewer. Power Series over Commutative Rings. (Lecture notes in pure and applied mathematics; 64) New York: Marcel Dekker. - 1981.
16. P.M.Cohn. Skew fields. Cambridge: Cambridge University Press. -1995.
17. G.A.Elliott, P.Ribenboim. Fields of generalized power series. // Arch. Math. 1990. - 54, No.4. - P.365-371.
18. D.R.Farkas, A.H.Schofield, R.L.Snider, J.T.Stafford. The isomorphism question for division rings of group rings // Proc. Amer. Math. Soc. -1982. 85, No.3. - P.327-330.
19. K.R.Goodearl. Von Neumann Regular Rings. London: Pitman, 1979.
20. K.R.Goodearl. Centralizers in differential, pseudo-differential, and fractional differential operator rings // Rocky Mountain J. Math. 1983. - 13, No.4. - P.573-618.
21. K.R.Goodearl, L.W.Small. Krull versus global dimension in Noetherian Pi-rings // Proc. Amer. Math. Soc. 1984. - 92, No.2. - P.175-178.
22. K.R.Goodearl, R.B.Warfield. An Introduction to Noncommutative Noetherian Rings. Cambridge: Cambridge University Press. - 1989.
23. R.Gordon, J.C.Robson. Krull dimension. — Mem. Amer. Math. Soc. -133. Providence, RI, 1973.
24. V.Guillemin, D.Quillen, S.Sternberg. The integrability of characteristics // Commun. Pure Appl. Math. 1970. - 23. - P.39-77.
25. V.Guillemin, S.Sternberg. Symplectic techniques in physics. Cambridge: Cambridge University Press. - 1984.
26. J.W.Kerr. The power series ring over an Ore domain need not be Ore // J. Algebra. 1982. - 75. - P.175-177.
27. Z.Liu. On n-root closedness of generalized power series rings over pairs of rings // J. Pure Appl. Algebra. 1999. - 144, No.3. - P.303-312.
28. Risman. Twisted rational functions and series. //J. Pure and Applied Algebra. 1978. - 12. - P.181-199.M.Sato, Y.Sato. Soliton equations as dynamical systems on infinite dimensional Grassman manifold // Lect. Notes Num. Appl. Anal. 1982.- 5. P.259-271.
29. Д.А.Туганбаев. Цепные кольца рядов Лорана// Фундаментальная и прикладная математика. 1997. - 3, No.3. - С.947-951.
30. Д.А.Туганбаев. Цепные кольца косых рядов Лорана // Вестник Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. - No.l. - С.52-55.
31. Д.А.Туганбаев. Кольца косых рядов Лорана и кольца главных идеалов // Вестник Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. - No.5. - С.55-57.
32. Д.А.Туганбаев. Полулокальные дистрибутивные кольца косых рядов Лорана // Фундаментальная и прикладная математика. 2000. -6, No.3. - С.913-921.
33. D.A.Tuganbaev. Some ring and module properties of skew Laurent series // Formal Power Series and Algebraic Combinatorics, D.Krob, A.A.Mikhalev, A.V.Mikhalev (Eds.), Berlin: Springer. 2000. - P.613-622.
34. Д.А.Туганбаев. Полуцепные артиновы кольца псевдодифференциальных операторов // Математические методы и приложения. Труды девятых математических чтений МГСУ. М.: МГСУ. -2002. - С.111-115.
35. Д.А.Туганбаев. Кольца псевдодифференциальных операторов и условия на цепи // Вестник Моск. ун-та. Матем. Механ. 2002. - No.4. - С .26-32.
