Локальные тела тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

1 Строение двумерных локальных тел.

1.1 Введение.

1.2 Расщепимые тела.

1.3 Классификация расгцешшых тел характеристики 0.

1.4 Расщепимые тела характеристики р> О.

1.5 Классы сопряженных элементов.

2 Классификация автоморфизмов двумерного локального поля.

2.1 Основные результаты.

2.2 Доказательство теорем 1 и 2.

2.3 Доказательство теоремы 3.

Настоящая работа посвящена изучению локальных тел — объектов, являющихся непосредственным обобщением многомерных локальных полей, а также их применениям в теории тел над гензелевыми полями.

Локальные поля естетственно возникают в алгебраической геометрии и алгебраической теории чисел при установлении различных связей между локальными и глобальными свойствами полей алгебраических чисел, арифметических схем и алгебраических многообразий.

Первоначально примеры одномерных локальных полей возникли в прошлом веке в комплексном анализе и алгебраической теории чисел. Это поле рядов Лорана C((z)), элементы которого возникают при разложении мероморфных функций на Ри-мановой поверхности в ряд по локальному параметру г в аналитической окрестности точки, и поле р-адических чисел Qp, возникающее как естественное пополнение поля рациональных чисел Q по неархимедову р-адическому нормированию.

Сейчас мы говорим, что 1-мерное локальное поле — это поле частных полного кольца дискретного нормирования.

Несколько позже, уже в тридцатых годах нашего века, появились уже и первые примеры локальных тел. Это были конечномерные тела над классическими локальными полями, которые были полностью исследованы Хассе, Брауэром, Нетер и Ал-бертом. К этому же периоду относятся работы Витта ([36]) о телах над полными дискретно нормированными полями, положившие начало исследованиям по телам над гензелевыми полями, основные результаты о структуре которых были получены сравнительно недавно Джекобом-Уодствортом ([18]). Витту же принадлежит идея естественного сопоставления телам алгеброгеометрических объектов.

В середине 70-х А. Н. Паршиным было предложено понятие многомерного локального поля, обобщающее понятие обычного локального поля ([7],[27], [16]). u-мерным локальным полем называется полное поле дискретного нормирования, полем вычетов которого является п — 1-мерное локальное поле.

Один из типичных примеров такого поля — это поле итерированных рядов Лорана k((zi))((z2)). {(zn)). Элементы ., zn называются локальными параметрами этого поля.

Такие поля служат естественным обобщением локальных объектов на 1-мерных схемах на случай многомерных схем. В качестве примера приведем здесь типичную конструкцию такого обобщения.

Рассмотрим алгебраическую схему X размерности п. Пусть Y0 D ■ ■ ■ D Yn — флаг замкнутых подсхем на X, так что Y0 = X, Yn = х — замкнутая точка на ж, Yi — коразмерности 1 в Yi\ (1 < г < п), х — гладкая точка на всех Yi (0 < г < те). Тогда существует конструкция, являющаяся композицией пополнений и локализаций, сопоставляющая такому флагу каноническим способом n-мерное локальное поле. Более того, если X — алгебраическое многообразие над полем к, х — рациональная точка над полем к. и мы зафиксируем локальные параметры zi,z2,., zn 6 к(Х), так что £nvf-i =0 — уравнение многообразия Yi на многообразии в окрестности точки х (1 < % < та), то полученное тл-мерное локальное поле можно отождествить с

МЫЖ*)) •■■((*»))• ([27], [16]).

При помощи n-мерных локальных полей, ассоциированных с полными флагами на многообразиях, были обобщены со случая кривых на случай высших размерностей классическая формула о равенстве нулю суммы вычетов рациональной дифференциальной формы, классический закон взаимности Вейля на кривой. (В многомерной ситуации известный сейчас как закон взаимности Паршина-Ломадзе [7], [5], [8], [16]).

В последние 25 лет развитие и применение методов локальных полей происходило еще в одном направлении. Это применение в алгебраической геометрии и теории интегрируемых систем, связанные с соответствием Кричевера-Сато-Вилсона на кривой (более подробно о соответствии Кричевера, решении иерархии КП, а также задаче нахождения коммутативных подколец в кольце дифференциальных операторов см. [3], [12], [26], [33]).

Недавно появились работы [29], [30], [10], развивающие идеи, заложенные в соответствии Кричевера-Сато-Вилсона для кривых, на случай многообразий высшей размерности в духе теории многомерных локальных полей. В них, в частности, было обобщено понятие многомерного локального поля и предложено классифицировать такие объекты. Там же были сделаны первые шаги в этом направлении. Обобщение понятия локального поля выглядит вполне естественно: re-мерным локальным телом называется полное тело дискретного нормирования, телом вычетов которого является та — 1-мерное локальное тело.

В качестве основополагающего примера в этих работах было кольцо псевдодифференциальных операторов, играющее важную роль при решении иерархии КП. В работе [10] в качестве первых примеров многомерных локальных тел были рассмотрены тела псевдодифференциальных операторов от нескольких переменных и получены некоторые теоремы сопряженности для этих тел.

В настоящей работе сделана попытка систематического изучения многомерных локальных тел, принимая во внимание лишь определение. К сожалению, уже на первых шагах на этом пути возникают большие трудности, поэтому мы изучаем в основном лишь двумерные локальные тела, у которых первое тело вычетов коммутативно. Хотя ряд результатов относится к произвольным локальным телам, и в этом ряду прежде всего стоят предложение 1.7 и следствие 1.

Неожиданно общее исследование локальных тел привело к ряду результатов, относящихся не только к обобщению соответствия Кричевера-Сато-Вильсона и иерархии КП. Прежде всего, это результаты, относящиеся к строению группы Брауэра над многомерными локальными полями, которые являются важными примерами гензе-левых тел, а также примерами С;-полей. Используя общие явные формулы для рас-щепимых локальных тел, т.е. для тел, чье первое тело вычетов вложимо в кольцо номирования всего тела, удалось получить явное описание группы Брауэра двумерного локального поля характеристики р > 0 с алгебраически замкнутым последним полем вычетов, следствием чего явилось доказательство гипотезы о равенстве экспоненты и индекса произвольного тела из этой группы. Следует отметить, что те же методы применимы в случае группы Брауэра над двумерным локальным полем с конечным последним полем вычетов, что дает явное описание этой группы, которая непосредственно связана с многомерной теорией полей классов (см. [31]).

С другой стороны, попытка классифицировать локальные тела привела к необходимости изучения классов сопряженности в группе автоморфизмов многомерного равнохарактеристического локального поля. Эта задача также решается в данной работе. В случае одномерного локального поля она была известна еще в топологии — она возникала при описании группы диффеоморфизмов окружности (см. [1]). Ясно, что описание группы автоморфизмов многомерного локального поля должно иметь отношение к группе диффеоморфизмов многообразий высшей размерности.

В случае локального поля характеристики р изучение группы автоморфизмов имеет важное значение в алгебраической теории чисел при описании группы Галуа арифметически проконечных расширений. Более того, в последнее время группа автоморфизмов одномерного локального поля Fq((t)), известная теперь как "Ноттингемов-ская группа", является объектом пристального изучения в теории групп. Вопросам изучения группы автоморфизмов одномерного локального поля посвящены недавние работы [15], [13], [21], [17], [22], [23], [19], [20], [38]. Есть надежда, что полученные в настоящей работе результаты о группе автоморфизмов приведут в будущем к содержательным результатам о строении групп Галуа арифметически проконечных расширений.

Перейдем теперь к структуре диссертации. Данная работа состоит из двух глав. Опишем краткое содержание и основные результаты каждой из глав.

Первая глава имеет пять частей. В первой части мы вводим общее определение многомерного локального тела, понятие расщепимости и изомофизма локальных тел, а также изучаем некоторые общие свойства расщепимых локальных тел, в частности, это уже упомянутые предложение 1.7 и следствие 1.

Начиная со второй части мы изучаем преимущественно двумерные локальные тела. Во второй части мы исследуем вопрос о том, когда двумерное локальное тело, у которого первое тело вычетов коммутативно, является расщепимым, т.е. существует сечение естественного отображения вычета. Мы приводим достаточное условие расщепимости и в случае, когда оно не выполняется, приводим контрпример. Оказывается, этим условием является условие, что канонический автоморфизм тела, который определяется как ограничение внутреннего автоморфизма ad(z). где 2 — локальный параметр, на первое тело вычетов, имеет бесконечный порядок.

Отметим, что полученное условие и контрпример остаются верными и в более общей ситуации, когда тело не является двумерным или даже первое тело вычетов не является коммутативным. Для двумерных локальных тел, у которых выполняется достаточное условие, мы приводим теорему класификации таких тел с точночтью до изоморфизма. Отметим также, что результаты второй части не зависят от характеристики тела.

В третьей части мы классифицируем расщепимые двумерные локальные тела характеристики 0, у которых первое тело вычетов коммутативно, а последнее тело вычетов лежит в центре, и канонический автоморфизм имеет конечный порядок.

В четвертой части мы исследуем расщепимые двумерные локальные тела характеристики р > 0, у которых первое тело вычетов коммутативно, а последнее тело вычетов лежит в центре, и канонический автоморфизм имеет конечный порядок. В частности, мы приводим критерий конечномерности таких тел. В случае, когда тело конечномерно, мы приводим результат о явном строении такого тела, тем самым получая явное описание группы Брауэра двумерного локального поля. А именно, оказывается, что всякое такое тело изоморфно тензорному произведению циклического тела и тела индекса р, которое может быть явно описано в терминах образующих и их соотношений. Как следствие мы получаем доказательство гипотезы о равенстве экспоненты и индекса произвольного тела из группы Брауэра над Сг-полем (см. [11], 3.4.5.) в случае 2-мерного локального поля.

В пятой части мы приводим общие теоремы сопряжения для тел из части 3, а также исследуем некоторые их общие свойства. Теоремы сопряжения являются сильным обощением аналогичных теорем из [10]. Среди прочих общих свойств мы доказываем, что почти все такие локальные тела являются бесконечномерными над своим центром, а также что теорема Сколема-Нетер, одна из фундаментальных теорем в теории конечномерных тел, верна в случае бесконечномерных локальных тел только в случае классического формального кольца псевдодифференциальных операторов.

Во второй главе мы даем полную теорему классификации классов сопряженности в группе непрерывных автоморфизмов одномерного и двумерного равнохарактерис-тического локального поля характеристики 0. Случай характеристики р > 0 затрагивается в лемме 2.3. В этой же главе показано, как можно обобщить полученную классификацию на случай локального поля произвольной размерности.

Результаты настоящей работы докладывались на семинаре А. Н. Паршина "Арифметическая алгебраическая геометрия" в МГУ (март 1999г.), на семинаре отдела алгебры МИ РАН (май 1999 г.), на международной конференции "Теория Галуа локальных и глобальных полей" (Санкт-Петербург, октябрь 1996), на конференции "Высшая теория полей классов" (Мюнстер, Германия, август-сентябрь 1999), на семинаре Г.Коха-И.Крамера-Е.Цинка "Теория чисел и арифметическая геометрия" в Берлине (университет им. Гумбольдта) (октябрь 1999, июль 2000).

Результаты диссертации опубликованы в работах [39], [40], [42], [41].

Пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту РАН Алексею Николаевичу Паршину за постановку многих задач, стимулирующие обсуждения, помощь в оформлении работ, профессорам Е.В.Цинку и И.Б.Фесенко за внимание к работе, профессорам В.И. Янчевскому и Н.И.Дубровину за ценные консультации.

1. В.И.Арнольд, Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, Москва, Наука, 1978

2. Н. Бурбаки, Коммутативная алгебра, Москва, Мир, 1971

3. Е. Е. Демидов, Иерархия Кадомцева-Петвиашвили и проблема Шотки, Независимый Московский Университет, Математический колледж, Москва, изд-во МК НМУД995.

4. И. М. Кричевер, Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравненийУМН, 32 (1977), стр. 185-214.

5. В. Г. Ломадзе, О вычетах в алгебраической геометрии, Изв. АН СССР. Сер. матем., 1981, т. 45(6), стр. 1258-1287.

6. А. Н. Паршин, Поля классов и алгебраическая К-теория, Успехи Матем. Наук, т.30 (1975), стр. 253-254.

7. А. Н Паршин, К арифметике двумерных схем. I. Распределения и вычеты. Изв. АН СССР. Сер. матем., 1976, т. 40(4), стр. 736-773.

8. А. Н. Паршин, Абелевы накрывающие арифметических схем, ДАН СССР, т.243 (1978), стр. 855-858.

9. А. Н. Паршин, Локальная теория полей классов, Труды Матем. Инст. АН СССР, 165 (1984), стр. 143-170.

10. А. Н. Паршин, О кольце формальных псевдодифференциальных операторов, Труды МИР АН, т. 224, 1999, стр. 266-280; e-print math.AG/9911098.

11. Платонов В.П., Янчевский В.И., Конечномерные тела, ВИНИТИ, 77(1991), 144262

12. Г. Сигал, Дж. Вилсон, Группа петель и уравнения типа КдФ, дополнение к кн. Э. Прессли, Г. Сигал "Группы петель", Москва, Мир, 1990, стр. 379-442, (первоначально Publ. Math. IHES, 80 (1985), p. 301-342).

13. R.Camina, Subgroups of the Nottingham group, J.Algebra, 196, (1997), 101-113.

14. Cohn P.M., Skew-fields, Cambridge University Press, 1997

15. M. de Sautoy, I.Fesenko, Where the wild things are: ramification groups and the Nottingham group, preprint.

16. T. Fimmel, A. N. Parshin, An introduction to the higher adelic theory, book in preparation.

17. Gurevich A., Description of Galois groups of local fields with the aid of power series, Dissertation Berlin 1998.

18. B.Jacob, A.Wadsworth, Division algebras over Henselian fields, J. Algebra, 128(1990), 126-179

19. S.A.Jennings, Substitution groups of formal power series, Canad. J. Math., 41 (1954), 325-340

20. D.L.Johnson, The group of formal power series under substitution, J.Austral. Math. Soc. (Series A), 45, 1988, 298-302

21. B.Klopsch, Normal subgroups and automorphisms of substitution groups of formal power series, Dissertation Oxford 1997.

22. F.Laubie, Extensions de Lie, et groups d'automorphismes de corps locaux, Сотр. Math., 67, 1988, 165-189

23. F.Laubie and M.Saine, Ramification of automorphisms of k((t)), J.Number theory, 63, 1997, 143-145

24. H.Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge univ. press, 1992

25. P. Morandi, Henselesation of a valued division algebra, J. Algebra, 122, 1989, 232-243

26. M. Mulase,Cate<7on/ of vector bundles on algebraic curves and infinite dimensional grassmanians, Intern. J. of Math. 1990, v. 1, n. 3, p. 293-342.

27. A. N. Parshin, Chern classes, adeles and L-functions, Journ. fur die reine und angewandte Mathematik, Band 341, 1983.