Оптимальные пространственные тела и особенности их движения в рамках модели локального взаимодействия среды и тела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

□030568Т2

с ? .

Я £ С

Я-

На правах рукописи

ЯКУНИНА ГАЛИНА ЕВГЕНЬЕВНА

ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЛА И ОСОБЕННОСТИ ИХ ДВИЖЕНИЯ В РАМКАХ МОДЕЛИ ЛОКАЛЬНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СРЕДЫ И ТЕЛА

01.02.05 — Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2007

003056872

Работа выполнена в Центральном институте авиационного моторостроения им. П.И. Баранова и Научно-исследовательском институте механики МГУ им. М.В. Ломоносова.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук, профессор Крайко А.Н.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, академик РАН Левин В.А., доктор физико-математических наук, профессор Лунев В.В., доктор физико-математических наук Зубов В.И.

Ведущая организация:

Институт теоретической и прикладной механики им. С.А. Христиановича СО РАН

Защита состоится « 18 » мая 2007 г. в 16 ч. 20 мин. на заседании диссертационного совета Д501.001.89 при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва ГСП-2, Ленинские горы, главное здание МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан « 9 » апреля 2007 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д501.001.89 доктор физ.- мат. наук ' (, / Осипцов А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность проблемы

Построение тела, оптимального по одной из интегральных характеристик движения (сопротивлению или длине траектории инерционного движения), и исследование устойчивости его движения, являются актуальными проблемами механики. Интерес к этой области науки обусловлен, прежде всего, нуждами авиационно-космической промышленности и связан с необходимостью совершенствования ракетной и авиационной техники.

Решения задач оптимизации формы тела по интегральным характеристикам движения возможны лишь при наличии соотношений, явно связывающих силы, действующие на поверхности контакта среды и тела, с формой его поверхности. Параметры среды при обтекании тела находятся из решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных, которая на основе выбранной модели среды дополнена уравнениями состояния и соотношениями на сильных разрывах. Задача оптимизации формы тела в постановке, базирующейся на точных уравнениях такого рода, для большинства сред практически неразрешима. В этих случаях естественно искать упрощения, позволяющие найти приближенное решение. В первую очередь они делаются для сил, действующих на поверхности тела, для которых используются формулы, полученные из приближенных моделей.

Для оценочных расчетов сил, действующих на тело при его высокоскоростном движении в газе и плотных средах, широкое распространение получили формулы, найденные из локальных моделей. В основе этих моделей лежит предположение, что каждый элемент поверхности тела взаимодействует со средой независимо от других участков тела и сила, действующая на него, зависит лишь от ориентации элемента относительно направления движения. Эта зависимость может включать в себя скорость движения и характеристики среды, которые считаются постоянными. Примером такой зависимости является формула Ньютона, широко

используемая в гиперзвуковой аэродинамике для оценочных расчетов распределения давления на поверхности тела. При расчете напряжений на поверхности тела при его движении в плотных средах, таких как грунт и металл, хорошо зарекомендовали себя двучленные формулы, квадратичные по скорости, с постоянным слагаемым, характеризующим прочность среды. Использование таких формул позволяет записать силы, действующие на тело, в виде интегралов по его поверхности, которые дают связь сил с формой тела и методами вариационного исчисления могут быть исследованы на экстремум.

В предположении о локальном характере взаимодействия среды с элементом поверхности тела задача оптимизации пространственной формы тела по одной из интегральных характеристик движения была предметом многочисленных исследований. Однако даже в рамках конкретных законов сопротивления решение этой задачи непрямыми методами вариационного исчисления было найдено лишь при упрощающих предположениях, относительно геометрии тела. Так, в большинстве случаев рассматривались тонкие, конические или гомотетичные'тела, когда, сужая класс допустимых поверхностей, удавалось свести уравнения Эйлера к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Задача об оптимальной пространственной форме тела без ограничений на его геометрию и без ограничений на вид функции, задающей модель локального взаимодействия среды с поверхностью тела, до сих пор остается актуальной.

Оптимальные формы строятся при прямолинейном движении тела. Движение тела в реальной среде может быть возмущенным, и тогда, как показывают результаты теоретических и экспериментальных исследований, скорость центра масс тела может сильно отклоняться от своего начального направления, а траектория движения тела иметь изогнутый вид. Рост возмущений может привести к опрокидыванию тела, и тогда достижение теоретически предсказываемых характеристик движения невозможно. Лишь в случае, когда прямолинейное движение оптимального тела устойчиво к малым

возмущениям начальных значений параметров движения, возможно эффективное использование тела для получения оптимальных характеристик. Исследование влияния возмущений на характеристики движения тела и поиск критерия его устойчивости - важные этапы изучения свойств оптимальных тел, результаты которых должны учитываться при построении их формы.

Решению актуальной проблемы - построению пространственных тел минимального сопротивления и тел с максимальной длиной траектории инерционного движения в средах, когда взаимодействие среды с элементом поверхности тела можно записать в рамках локальной модели, посвящена настоящая диссертация, в которой впервые задачи поиска оптимальных форм решались без упрощающих ограничений на геометрию тела и исследовались вопросы устойчивости движения оптимальных тел.

Работа выполнялась в соответствии с темами научной школы, руководимой профессором, д.ф.-м.н. А.Н. Крайко (проекты НШ-2124.2003.1 и НШ-9902.2006.1 Государственной программы поддержки ведущих научных школ), и проектов, поддержанных Российским фондом фундаментальных исследований (проекты 01-01-00193 и 04-01-00771), руководимых автором.

Цель и задачи работы

Цель работы - при известном законе сопротивления, записанном в рамках модели локального взаимодействия (МЛВ) элемента поверхности тела со средой, и заданных начальных и изопериметрических условиях найти оптимальные пространственные формы тела и определить условия, при которых их прямолинейное движение в среде будет устойчивым.

Конкретные задачи состояли в следующем:

- постановка и решение вариационных задач построения пространственных форм, которые для конкретных законов сопротивления, записанных в рамках МЛВ, и заданных начальных и изопериметрических условиях обеспечивают

экстремум одной из интегральных характеристик движения (сопротивлению или длине траектории инерционного движения);

сравнительный анализ эффективности использования оптимальных пространственных форм и тел, найденных ранее при упрощающих предположениях, для различных интегральных характеристик движения и разных законов сопротивления;

- исследование особенностей движения оптимальных тел, поиск критерия устойчивости их прямолинейного движения и разработка рекомендаций по увеличению запаса устойчивости их движения,

- численное моделирование трехмерного движения пространственного тела в среде при разных начальных условиях движения и различных модификациях закона сопротивления, записанного в рамках МЛВ;

- численная апробация аналитических результатов и исследование влияния модификаций модели взаимодействия среды и тела на характер его движения.

Научная новизна работы

Автором впервые получены и выносятся на защиту следующие основные теоретические результаты:

1. Найдены принципиально новые решения задачи о пространственной форме тела минимального сопротивления. Задача решена для произвольного закона сопротивления, записанного в рамках МЛВ, при заданных площади основания и ограничениях на длину и поперечные размеры тела без упрощающих предположений на его геометрию. Показано, что задача имеет бесконечное множество решений, а формы оптимальных тел образуются из участков поверхностей, нормаль к которым составляет с направлением движения некоторый постоянный оптимальный угол.

2. Создан новый метод построения оптимальных тел, позволяющий строить пространственные конфигурации, удовлетворяющие самым разным

требованиям практики. Он основан на непрерывном сопряжении участков поверхности кругового конуса, имеющего оптимальный угол раствора, и касающихся его плоскостей. Используя метод, можно строить оптимальные самолетоподобные тела, тела заданной длины с оперением и тела с формой основания в виде круга.

3. Впервые без упрощающих предположений на геометрию тела в рамках двучленной МЛВ, когда напряжения на поверхности тела описываются двучленными квадратичными по скорости формулами, найдено новое решение задачи о пространственной форме тел с максимальной длиной траектории инерционного движения. Показано, что структура поверхности этих тел та же, что и у тел минимального сопротивления, найденных на начальном этапе движения, но оптимальных угол, используемый при их построении, в общем случае другой.

4. При безотрывном обтекании тел в рамках двучленной МЛВ построена асимптотическая теория динамики тонких конических и пирамидальных тел и найдены критерии устойчивости их прямолинейного движения. Показано, что форма тела существенно влияет на устойчивость его движения, а при одинаковой форме тел и равных условиях погружения в среду более устойчивым будет движение тела с меньшей массой.

5. Впервые, используя результаты асимптотической теории динамики тонких тел, в рамках двучленной МЛВ исследованы проблемы устойчивости движения оптимальных конических и пирамидальных тел и определены области параметров, при которых прямолинейное движение этих тел устойчиво. Проведена классификация конических и пирамидальных оптимальных форм по устойчивости движения и определены области параметров, при которых при построении оптимального тела отдавать предпочтение следует той или иной его форме.

6. Впервые проведено исследование пространственного движения оптимальных пирамидальных и конических тел и выявлены характерные особенности их трехмерного движения. Показано, что критерий устойчивости, найденный для плоского движения тонких пирамидальных и конических тел, позволяет и в случае произвольного задания малых возмущений параметров прямолинейного движения определить характер их развития. При этом для устойчивого движения тела при пространственном развитии возмущений необходимо, чтобы критерий устойчивости выполнялся для него по всем плоскостям симметрии.

7. Впервые исследована проблема увеличения запаса устойчивости прямолинейного движения оптимальных пространственных тел и найдены способы ее решения. Показано, что формирование оперения у оптимальных тел позволяет увеличивать запас устойчивости тел и улучшать характеристики движения, приближая их к оптимальным значениям, найденным для тел при прямолинейном движении.

Достоверность результатов

Научные положения и выводы, содержащиеся в диссертации, обоснованы результатами теоретических и численных исследований, проведенных в работе, не противоречат известным положениям механики и газовой динамики и согласуются с имеющимися экспериментальными данными.

Научно-практическое значение работы

Созданный и развитый автором метод построения оптимальных пространственных тел дает возможность конструировать бесконечное множество тел, удовлетворяющих самым разнообразным требованиям практики. Используя метод, можно строить оптимальные самолетоподобные тела и тела с формой основания в виде круга. Оптимальные формы с круговым

основанием можно непрерывно сопрягать с цилиндрическим корпусом летательного аппарата и использовать при построении головных частей ракет. Полученные в работе теоретические результаты по исследованию характеристик движения оптимальных тел позволяют понять и дать оценку многим явлениям, наблюдаемым в экспериментах по динамике тел. В частности, из экспериментальных данных известно, что звездообразные тела, обладая меньшим сопротивлением, движутся в среде менее устойчиво, чем эквивалентные им по изопериметрическим условиям осесимметричные тела. Построенная теория динамики тел объясняет этот факт: запас устойчивости звездообразного тела всегда меньше запаса устойчивости эквивалентного ему конуса. На основе полученных результатов составлена классификация оптимальных конических и пирамидальных форм по типам движений и определены области параметров, в которых по устойчивости движения отдавать предпочтение следует той или иной форме тела. Такие сведения необходимы и могут служить ориентирами при планировании и проведении экспериментов по изучению характеристик движения оптимальных тел в разных средах.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы неоднократно представлялись и докладывались на всероссийских и международных конференциях. Так, они представлялись на XXV Академических чтениях по космонавтике, посвященных памяти академика С.П. Королева (Москва, 2001); 10th International Space Planes and Hypersonic Systems and Technologies Conference (Kyoto, Japan, 2001); IX, X, XI и XIII школах-семинарах «Современные проблемы аэрогидродинамики» (Сочи, 2001, 2002, 2003, 2005); Всероссийской конференции, посвященной 80-летию академика Г.Г. Черного, «Аэродинамика и газовая динамика в XXI веке» (Москва, 2003); III, IV, V и VI Международных школах-семинарах «Модели и методы аэродинамики» (Евпатория, 2003, 2004,

2005, 2006); X Всероссийской школе-семинаре «Аналитические методы и оптимизация процессов в механике жидкости и газа» (САМГОП - 2004), (Новороссийск, 2004); VIII и IX Всероссийских съездах по теоретической и прикладной механике (Пермь, 2001; Нижний Новгород, 2006).

Результаты работы обсуждались в процессе их получения на многих научных семинарах, руководимых ведущими учеными России. Они обсуждались и были одобрены на семинаре ЦИАМ (Москва), руководимом академиком РАЕН А.Н. Крайко; семинаре Института механики МГУ (Москва) под руководством академика РАН Г.Г. Черного; семинаре Института проблем механики (Москва), руководимом академиком РАН Ф.Л. Черноусько; и семинаре Института механики МГУ (Москва) под руководством академика РАН С.С. Григоряна.

Всем коллегам, принимавшим участие в дискуссиях, автор выражает искреннюю признательность.

Публикации и личный вклад автора

Все результаты, представленные в работе, получены лично автором либо при ее непосредственном участии. По теме диссертации опубликовано 20 печатных работ (11 из них без соавторов) и 1 монография в соавторстве с А Н. Крайко и Д Е. Пудовиковым. Научные работы автора были дважды отмечены редколлегией журнала «Прикладная математика и механика» премиями как лучшие работы года (за 2000 и 2003 гг.). Качество проведенного исследования соответствует мировому уровню, и это подтверждается публикациями автора в иностранных журналах.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. В каждой главе перед изложением собственных результатов дается краткий литературный обзор и формулируются задачи исследования. В конце каждой

главы приводится перечень основных выводов и результатов, полученных в ней. Работа изложена на 275 страницах и включает в себя 53 рисунка. Список цитируемой литературы содержит 144 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение.

Во введении показана актуальность темы диссертационной работы, сформулированы основные задачи исследования, описана структура работы и приведены темы исследований, рассмотренные в каждой главе.

Глава 1 имеет обзорный характер, в ней исследуется проблема выбора и обоснования моделей силового взаимодействия среды и тела, при которых сила, действующая на тело со стороны среды, может быть представлена в явной зависимости от формы тела.

Глава 2 посвящена решению задачи построения пространственных тел минимального сопротивления в рамках модели локального взаимодействия (МЛВ) среды и тела без упрощающих ограничений на геометрию тела и вид функций, задающих закон распределения напряжений по поверхности тела.

В главе 3 в рамках двучленной МЛВ решается проблема построения пространственных форм, имеющих при прямолинейном инерционном движении в среде максимальную длину траектории.

В главе 4 в рамках двучленной МЛВ, учитывая особенности построения оптимальных пространственных конфигураций, исследуются характеристики плоского и пространственного движения оптимальных конических и пирамидальных тел и ищется критерий устойчивости их прямолинейного движения.

Глава 1. Модель взаимодействия среды и тела.

Глава 1 состоит из двух параграфов и выводов, данных в ее конце.

Первый параграф посвящен обзору исследований, где проводился выбор и обоснование моделей силового взаимодействия тела со средой при его движении в газе различной разреженности. Рассмотрен весь диапазон высот полета тела в атмосфере Земли от гиперзвукового движения тела в «плотном» газе до движения тела в разреженном свободномолекулярном потоке газа. Показано, что в основе моделей, при которых сила, действующая на тело со стороны среды, может быть представлена в явной зависимости от формы его поверхности, лежат предположения о локальном характере взаимодействия каждого элемента поверхности тела со средой и независимости такого взаимодействия от других участков тела. Выписаны общие свойства таких моделей, которые позволяют выделить их в отдельный класс моделей, названных ранее моделями локального взаимодействия (МЛВ). Кратко эти свойства можно сформулировать в следующем виде.

Свойство 1 Тело взаимодействует со средой только своей освещенной частью поверхности, на которой выполнено условие

а = (п-х) > 0 (1)

где п и х - единичные векторы внутренней нормали к элементу поверхности тела и скорости потока соответственно.

Свойство 2 Каждый элемент освещенной поверхности тела взаимодействует со средой независимо от других участков тела.

Свойство 3 Вектор силы действующей на элемент поверхности тела со стороны среды, лежит в плоскости векторов п и х, а количественная характеристика этой силы определяется только углом между векторами п и х и глобальными параметрами, характеризующими общие свойства среды и поверхности тела.

В рамках МЛВ нормальные и касательные напряжения и /, на поверхности тела представляются в виде

/„=/„(«, ?)>0, /т =/т(сс, <?) > 0 (2)

где д - скоростной напор.

В общем случае в выражения (2) могут входить параметры потока, которые считаются постоянными. Примером записи нормальных напряжений /„ в виде (2) служит формула Ньютона: /„ = 2да2, широко используемая в гиперзвуковой аэродинамике для оценочных расчетов распределения давления на поверхности тела при его движении в «плотном» газе.

В рамках МЛВ направление касательного вектора т для каждого элемента поверхности выбирается по направлению скорости движения частиц среды после столкновения их с поверхностью тела, что с учетом перечисленных выше свойств позволяет представить силу, действующую на тело со стороны потока, в явной зависимости от формы тела.

При прямолинейном движении тела силу Р\, действующую на тело со стороны среды, используя выражения (2), можно записать в виде

Конкретная модель записи напряжений (2) определяет вид функции (4) и закон сопротивления (3). Интегрирование в выражении (3) ведется по части поверхности тела на которой выполнено условие (1). В результате, в рамках МЛВ при известном законе сопротивления (3) появляется возможность при изменении формы тела анализировать значения функционала сопротивления и искать его экстремумы.

Во втором параграфе проведен обзор моделей силового воздействия среды на тело, наиболее часто используемых при исследовании высокоскоростного движения тела в плотных средах типа грунтов, бетона и металла. Показано, что в этом случае, как и при движении тела в газе, модели, основанные на локальном характере взаимодействия элемента поверхности тела со средой, могут быть использованы для описания действующих на тело сил. Учитывая результаты многочисленных теоретических и

(3)

5

Да, д) =/я(а, д) +Да, - а2)ш/а

(4)

экспериментальных исследований, показано, что наиболее часто для оценочных расчетов сил используются двучленные формулы записи напряжений:

/п = А,и2а2 + Съ /т = А2и2а2 + С2 (5)

где и - скорость движения тела, а параметры А, и С, (г = 1,2)- постоянные коэффициенты, определяемые характеристиками среды. Для конкретных сред значения коэффициентов находятся либо из решения модельных задач, либо определяются экспериментально. Модель (5) является частным случаем записи напряжений в рамках общей модели (2), что позволяет, как и при движении тела в газе, представить силу сопротивления, действующую на тело со стороны среды, в виде интеграла (3)

В конце главы 1 подводится итог проведенного исследования и формулируются его выводы. Важнейшим результатом исследования является вывод о том, что для определенных режимов взаимодействия тела со средой имеются теоретические и экспериментачъные обоснования того, что напряжения на поверхности тела могут быть представлены в рамках МЛВ Такие представления напряжений допустимы для оценочных расчетов сил, действующих на тело при его гиперзвуковом движении в газе различной разреженности и при его высокоскоростном движении в плотных средах типа грунтов и металлов.

Глава 2. Пространственные тела минимального сопротивления.

Глава 2 посвящена решению задачи о пространственных формах тела минимального сопротивления и разработке методике построения оптимальных форм. Глава состоит из введения, четырех параграфов и перечня основных результатов исследования, приведенных в конце.

В первом параграфе дана постановка задачи. Предполагается, что тело движется в среде прямолинейно и напряжения на его поверхности можно записать в рамках МЛВ. Задача решается без упрощающих ограничений на геометрию тела и вид функций /„ к (2), задающих закон распределения

напряжений по поверхности тела. Считается, что площадь основания тела Б/, задана, на основании выполнено условие а = -1, а вся боковая поверхность тела 5 контактирует со средой. Такие поверхности тела 5 названы допустимыми, и они связаны с площадью основания соотношением

Второй параграф посвящен решению задачи о теле минимального сопротивления и в нем доказаны два утверждения.

Утверждение 1 Для значений функционала сопротивления (3) в классе допустимых поверхностей 5' есть оценка: > /м*, где /V - некоторая неотрицательная величина, зависящая от скорости движения, глобальных параметров модели, входящих в выражения (2), и заданной площади основания тела Бь.

Утверждение 2 Среди допустимых поверхностей Б есть поверхности, на которых функционал достигает значения р', которое является его абсолютным минимумом.

Поверхности 5, на которых функционал Р\ достигает минимума являются искомыми и их построение дает решение задачи о теле минимального сопротивления. При доказательстве утверждений показано, что величина /V определяется выражением

(6)

5

(7)

где / * - это глобальный минимум функции / (а, д) (4), который ищется при постоянном <7 и значениях а е [0, 1].

Значение / функцией / всегда достигается и всегда есть величина а* б [О, 1] такая, что при а = а* значение /*=/(«,£/). Следовательно, минимум

сопротивления F* (7) также всегда достигается, и его имеют тела на поверхности которых выполнено условие

а = а* = const (8)

Согласно условию (8) поверхность оптимального тела формируется из участков поверхностей, нормаль к которым составляет с направлением движения постоянный угол, величина которого определяется конкретным видом записи функции (4).

Простейшим телом, поверхность которого удовлетворяет условию (8), является круговой конус с углом раствора 20 , где р*= arcsin(a'). Поверхность конуса длины /*:

f = Rb!t, Rh = №/тг)ш, t = a/(1 - a*2)1'2 принадлежит классу допустимых, и при движении в среде такой конус будет иметь минимальное сопротивление F*. Однако конус неединственное тело минимального сопротивления.

Доказывается, что можно построить бесконечное множество пространственных тел, поверхность которых удовлетворяет условиям (1), (6) и условию оптимальности (8). Все эти тела также имеют сопротивление F\ , меньше которого при заданной площади основания Sb получить нельзя. Класс таких тел назван классом абсолютно-оптимальных тел (АОТ).

Третий параграф главы 2 посвящен разработке методики построения АОТ при задании дополнительных ограничений на длину и поперечные размеры тела, которая основана на непрерывном сопряжении участков поверхности кругового конуса, имеющего оптимальный угол раствора, и касающихся его плоскостей.

Используя методику, можно строить оптимальные конические конфигурации, имеющие заданную длину / и удовлетворяющие заданным ограничениям на поперечные размеры Поперечный контур этих тел может иметь звездообразную форму, и способ построения таких тел дан на рис. 1.

Рис. 1. Способы построения конических АОТ.

Можно увидеть, что звездообразное АОТ строится из N симметричных циклов, каждый из которых (см. рис. 1, о) состоит из участков двух плоскостей ОАВ и ОСВ, касательных к оптимальному конусу, и части поверхности ОАБС, . принадлежащей конусу. Очевидно, что, увеличивая количество циклов N (см. рис. 1, б), при заданных длине и площади основания тела можно уменьшать максимальный радиус тела Л/ и получать значения Л/, удовлетворяющие любым ограничениям.

Используя предложенный метод, можно строить и неконические АОТ. Примеры таких тел и способы их построения даны на рис. 2. Они формируются из участков поверхностей двух конических АОТ (см. формы 1 и 2 на рис. 2), вершины которых сдвинуты относительно друг друга на расстояние х0- Эти тела могут иметь самолетоподобную форму (см. рис. 2, а) и форму тела с круговым основанием (см. рис. 2, б). На практике АОТ с круговым основанием

могут быть головной частью заданной длины некоторого тела вращения. Пример сопряжения такого АОТ с цилиндрическим телом дан на рис. 2, в).

Ак/М У \ / / / \\ /

р- (Ха >

С ^ , V А х •сЯ |)\ . \ \

<-

Рис. 2. Примеры и способы построения неконических АОТ.

Возможно и более сложное построение неконических форм АОТ. Одна из таких форм в проекциях на три взаимно перпендикулярные плоскости Оху, Охг и Оуг, показана на рис. 3.

Форма строится из участков поверхностей оптимальных конусов 1 - 5 и плоскостей, касающихся конусов 2-5. Такое АОТ имеет лишь одну плоскость - симметрии Охг.

Пространственные АОТ строятся при прямолинейном движении тела. Сила сопротивления на таких формах достигает абсолютного минимума . В третьем параграфе главы 2 показано, что при прямолинейном движении тела, построенного при условии (8), даже при отсутствии у него симметрии сила, действующая на тело со стороны среды, не имеет составляющих в плоскости, перпендикулярной направлению движения'.

В четвертом параграфе главы 2 проводится сравнение сопротивлений АОТ с сопротивлениями эквивалентных им по геометрическим характеристикам оптимальных осесимметричных и пространственных тел, найденных ранее для конкретных моделей записи напряжений (2) при

упрощающих предположениях. Сравнения проводятся для модели Ньютона с постоянным коэффициентом трения на поверхности тела, для модели свободномолекулярного потока и двучленной модели записи.напряжений (5). Показано, что в рамках этих моделей при построении пространственных тел минимального сопротивления учет трения необходим, так как в противном случае оптимальное значение а* = 0 и тела, построенные при условии (8), не имеют практического интереса.

Схематично формц оптимального конуса и поперечные контуры звездообразных АОТ при а*-» 0 приведены на рис. 4.

а) Г—> со

б) /?/—> оо в) оо

Рис. 4. Изменения форм оптимального конуса и поперечных контуров звездообразных АОТ при а* -» 0.

Можно увидеть, что, так как в этом случае угол раствора оптимального конуса стремится к нулю (2(3* 0), то при заданной площади основания тела длина конуса /* —> со (см. рис. 4, а). Задание ограничения на длину тела ведет к тому, что поперечные контуры звездообразных тел начинают стремиться к своей предельной форме, такой, что при заданном количестве циклов N значение Л/ —> со (см. рис. 4, б), а при заданном ограничении на Я/ величина N —> оо (см. рис. 4, в). В рамках модели Ньютона при нулевом трении предельная форма ЛОТ имеет нулевое сопротивление. Перечисленные обстоятельства являлись причиной того, что при поиске форм минимального сопротивления в этом случае вводились дополнительные ограничения на форму тел, при которых можно было получать тела, имеющие практический интерес. В классе звездообразных тел эти ограничения необходимо делать как на количество циклов Ы, так и на поперечные размеры тела.

При учете трения значение а > 0 и, например, в рамках модели Ньютона с постоянным коэффициентом трения Сх, С, = /т/д, в предположении, что тело тонкое (а2« 1) величина сс*= (Ст/4)ш. При значениях С, ~ 10"3...10"2, которые часто используются для оценочных расчетов сил трения, действующих на поверхности тел при их гиперзвуковом движении в газе, величина а »0.1. Оптимальный конус в этом случае имеет угол раствора 2(3* я 10°, и это позволяет строить пространственные АОТ, имеющие практический интерес.

Наиболее интересны с практической точки зрения АОТ с круговым основанием. Проведена оценка эффективности их использования для снижения сопротивления тел в сравнении с другими формами, имеющими круговое основание. Так, для модели Ньютона с постоянным коэффициентом трения на поверхности тела это можно сделать, если рассмотреть взаимное расположение кривых, изображенных на рис. 5, которые в зависимости от параметра трения К/, = С,/(4/3), I - относительная толщина тела, для тонких тел (Г 2 « 1) представляют значения С,, СХ = Р¡/(дБ^2).

Рис. 5. Значения Сх для тел с круговым основанием.

На рис. 5 значения Сх даны для оптимальных линейчатых тел (кривая 1), оптимальных тел вращения (кривая 2), конусов (кривая 3) и АОТ (кривая 4). Примеры линейчатых поверхностей и АОТ с круговым основанием даны на рис. 5 в левом верхнем и правом нижнем углах соответственно.

При расчете напряжений, действующих на поверхности тел при их движении в плотных средах типа грунтов и металлов, наиболее часто используется двучленная МЛВ (5). Для записи касательных напряжений в этом случае используется одна из трех моделей:

- модель трения Кулона: =

- модель постоянного трения: /х —

- смешанная модель трения-.

( Цо/„ если цо/„ < т^

ЛИ

I т„ если Цо/, > т,

Здесь цо - постоянный коэффициент, а т, - предел текучести материала среды при сдвиге.

В последнем параграфе главы 2 для этих моделей выписываются соотношения, связывающие оптимальные значения а = а\ доставляющие на отрезке [0, 1] глобальный минимум функции/(4), со скоростью движения тела и параметрами среды.

Глобальный минимум функции / ищется среди ее локальных и краевых экстремумов. Показано, что краевой минимум достигается лишь при а*= 1 и он становится глобальным тогда, когда параметр трения превышает некоторую предельную величину, зависящую от скорости движения тела и характеристик среды. В этом случае оптимальная форма тела становится вырожденой, и АОТ - это торец (пластина) заданной площади. При меньших параметрах трения значения а* < 1/-У2 , и АОТ имеет регулярную форму (см. формы на рис. 1 - 3), при построении которой используется круговой конус с полууглом раствора р* <45°. Для указанных моделей трения проведено сравнение сопротивлений АОТ с сопротивлениями тел вращения, имеющими с оптимальным телом одинаковые длину и площадь основания. Показано, что в общем случае АОТ имеют меньшее сопротивление, чём тела вращения, и с ростом скорости движения эффективность использования АОТ для снижения сопротивления растет.

Глава 3. Пространственные тела с максимальной длиной траекторией инерционного движения.

Глава 3 посвящена решению задачи построения пространственных тел, имеющих при прямолинейном движении в среде максимальную длину траектории инерционного движения.

Глава состоит из введения, трех параграфов и перечня результатов. В первом параграфе главы дается постановка задачи. Задача решается в рамках двучленной МЛВ (5) при условии, что масса тела и площадь его основания (6) заданы и нет упрощающих предположений на геометрию тела.

Во втором параграфе приводится решение задачи. Доказано, что поверхность искомых тел удовлетворяет условию (8) и формируется из участков поверхностей, нормаль к которым составляет с направлением движения постоянный угол. Задача имеет бесконечное множество решений, и структура поверхности оптимальных тел та же, что и у тел минимального сопротивления, найденных на начальном этапе движения (см. рис. 1 - 3). Следовательно, при построении тел с максимальной длиной траектории можно использовать методику построения, разработанную в главе 2 для тел минимального сопротивления, но в общем случае оптимальный угол, используемый при их построении, другой

В третьем параграфе для трех моделей трения (модели трения Кулона, модели постоянного трения и смешанной модели трения) найдены соотношения, связывающие оптимальные значения а с начальной скоростью движения тела и параметрами среды. Проведено сравнение длин траекторий построенных тел и длин траекторий тел вращения, наиболее часто используемых в экспериментах. Показано, что в общем случае построенные тела имеют большую длину траектории, чем эквивалентные им по массе, длине и площади основания круговые конуса и тела оживальной формы. Определены условия, при которых преимущества оптимальных тел в сравнении с телами вращения по достижению большей длины траектории становятся значительными.

Глава 4. Особенности движения оптимальных тел.

Глава 4 посвящена изучению влияний возмущений на характеристики движения оптимальных конических и пирамидальных тел и поиску критерия

устойчивости их прямолинейного движения. Исследование проводится в предположении, что напряжения на поверхности тела можно записать в рамках двучленной МЛВ (5), когда для записи касательных напряжений выбирается одна из трех описанных выше моделей трения. Глава состоит из введения, четырех параграфов и перечня основных результатов, данных в конце.

В первом параграфе приводится постановка задачи, выписываются уравнения пространственного и плоского движения тела и определяется класс исследуемых конфигураций. В этот класс входят пирамидальные тела (звездообразные и ромбовидные), а также конические тела, составленные из двух и четырех циклов (см. рис. 1, а), часть поверхности которых полностью принадлежит конусу. Среди конических конфигураций есть и круговой конус, эквивалентный пространственным телам по массе, длине и площади основания. На поверхности тел выполнено условие а = const и они принадлежат классу АОТ, если а = а*.

Во втором параграфе в рамках двучленной МЛВ для безотрывного обтекания тела средой в предположении, что для записи касательных напряжений на поверхности тела используется модель трения Кулона или модель постоянного трения, строится аналитическое решение задачи плоского , . движения тонких конических и пирамидальных тел. Считается, что в начальный момент времени отношение прочностного слагаемого к динамическому члену в формуле для f„ (5) меньше или порядка единицы, а возмущения параметров движения тела вокруг центра масс малы. Тогда система уравнений, записанная для этих параметров, становится автономной, и ее решение получается независимо от решения задачи движения центра масс. Устойчивость движения тела определяется асимптотической устойчивостью нулевого решения этой системы. Следовательно, условие, полученное для нее, является критерием устойчивости движения тела.

Критерий устойчивости движения тела часто записывают через запас статической устойчивости тела zj, Zf = С(; - С„„ где С„, - расстояние от вершины

тела до положения центра масс, а С</ - расстояние от вершины тела до центра давления действующей на него силы, рассчитанной в квазистатическом приближении. Значение 2} зависит от формы тела, расположения центра масс и выбранной модели взаимодействия тела со средой. В рассматриваемом случае для можно записать выражение

zf = 2/3 - С„, + 2а2£,/(ЗРД ¿1=1 + к\х0/а (9)

Здесь к = 1 для модели трения Кулона, к = 0 для модели постоянного трения, а Р/- параметр формы тела, причем для звездообразных тел и конусов Ру = 1, а для ромбовидных тел значение Р/е (0, 2).

Используя полученное решение задачи динамики тела, критерий устойчивости движения тела можно представить в виде

г/>-^тР//18, Ат = ЗА1/рт (10)

где рт - отношение массы тела к его объему. Значение Ат зависит от рт и коэффициента Ль который имеет порядок плотности среды р0. Следовательно, всегда Ат > 0 и для плотных сред типа грунтов и металлов значение /!„, ~ (9(1). Тогда, в согласии с условием (10) получаем, что в плотной среде движение тела с отрицательным запасом статической устойчивости 2/ может быть устойчивым.

Апробация аналитических результатов проведена в третьем параграфе главы на основе численного решения задачи Коши системы уравнений движения, полученного без упрощающих предположений. При сравнении результатов численного и аналитического решений задачи динамики тела показано, что аналитическое решение, построенное для тонких пирамидальных и конических тел при упрощающих предположениях, дает хорошее приближение к точному решению задачи. Это можно увидеть, сравнивая результаты, приведенные на рис. 6, где сплошными и штриховыми линиями даны траектории движения однородных тел, построенные в соответствии с численным и аналитическим решениями задачи динамики. Расчет траекторий

проводился в рамках модели постоянного трения при т, = 1 МПа для среды с р0 = 1500 кг/м3 при начальной скорости движения тел Г/о = 600 м/сек. Значения коэффициентов, входящих в выражения (5), брались в согласии с решением модельной задачи движения тела в несжимаемой упругопластической среде, моделирующей грунты малой и средней прочности. В результате, было получено А\ = Зро/2 и С\ = 5г,(. На поверхности пространственных тел выполнялось условие (8), в котором а искалось при указанных параметрах среды и начальной скорости движения для тел с максимальной длиной траектории инерционного движения. Траектории даны для однородных тел, для которых С„ = 3А, причем кривые 1 на рис. 6 представляют траектории звездообразных тел, а кривые 2 и 3 траектории ромбовидных тел. Эти тела составлены из участков поверхностей оптимального конуса (Р = 6.5°) и плоскостей его касающихся. Траектории эквивалентного им по массе, длине и площади основания конуса представлены на рис. 6 кривыми 4. Траектории 1 - 4 даны на рис. 6, а для тел, изготовленных из титана (А„ = 1.5), с относительной толщиной I = 0.18, а на рис. 6, б для тел, изготовленных из стали (Ат = 0.85), с / = 0.22. Углы растворов эквивалентных конусов были равны 20° (Р = 10°) и 26° ((3 = 13°) соответственно. Считалось, что в начальный момент времени " " возмущения есть лишь по углу атаки Г: у = Г/р = 0.3.

Все тела имели значение Zf< 0, но согласно критерию устойчивости (10) при (= 0.18 (см. рис. 6, а) движение звездообразного тела (кривая 1), одной из ромбовидных форм (кривая 2) и конуса (кривая 4) было устойчивым, и полученные ими в начальный момент времени возмущения параметров движения затухали со временем. Движение одной из ромбовидных форм происходило в плоскости, где лежит максимальный радиус основания тела, и согласно критерию (10) было неустойчивым. Однако можно увидеть (см. кривую 3 на рис. 6, а), что и для нее рост возмущений не привел к сильному отклонению траектории от начального направления движения.

1\ 2

б) 1 4 ,

3

О 10 20 у

Рис. 6. Траектории движения однородных тел.

Наибольшее отклонение траектории от начального направления движения получено для оптимального звездообразного тела (см. кривую 1 на рис. 6, а), и оно больше чем отклонение траектории эквивалентного ему кругового конуса (см. кривую 4). Для звездообразного тела и кругового конуса

Р/ = 1, но значения а, которые использовались при их построении, были разными. Для конуса а и (3 = 10°, а для звездообразного тела а в р* = 6.5°. Значение г/- (9) для конуса больше чем у звездообразного тела, и поэтому возмущения, полученные им в начальный момент времени, затухали быстрее.

Известно, что при прямолинейном движении тела увеличение массы тела при сохранении его формы и начальной скорости движения ведет к увеличению длины траектории его инерционного движения. Однако согласно критерию (10) в этом случае уменьшается значение Ат, что при г/ < 0 может привести нарушению условия (10), и достижение телом большей длины траектории при наличии возмущений параметров движения может оказаться невозможным. Этот вывод подтверждается результатами исследований. При параметрах движения тел, рассмотренных выше, примеры траекторий движения стальной (Ат = 0.85) и вольфрамовой (А„, = 0.36) оптимальных звездообразных форм даны на рис. 6, а кривыми 5 и 6 соответственно. Движение этих тел неустойчиво, траектории имеют сильно изогнутый вид, причем вольфрамовая форма схематично показана на рис. 6, а в момент опрокидывания. Данный результат подтверждает теоретический вывод о том, что простым увеличением массы тела можно не достичь большей длины траектории.

Преимущества оптимальных тел по достижению большей длины траектории растут с увеличением относительной толщины тела если при этом их движение устойчиво. Это можно увидеть на рис. 6, б при сравнении длин траекторий стальных однородных тел, имеющих / = 0.22. Движение оптимальных ромбовидных тел (см. кривые 2 и 3) в этом случае устойчиво, а длины траекторий этих тел больше длины траектории конуса (см. кривую 4) почти на 30%. Движение оптимального звездообразного тела неустойчиво, его траектория имеет изогнутый вид (см. кривую 1), и ее длина меньше, чем длины траекторий ромбовидных тел. Это подтверждает теоретический вывод о том, что при неустойчивом движении оптимальные формы не дают тех преимуществ, которые получены для них при прямолинейном движении.

Интегральные кривые в фазовой плоскости у и со (со = Ш/(ис(3), П - угловая скорость вращения тела вокруг центра масс, ис - скорость движения центра масс) для тел в той же последовательности, что и на рис. 6, б, даны на рис. 7. Можно увидеть, что аналитическое решение задачи динамики тела (см штриховые линии) дает хорошую апроксимацию точного решения задачи (см. сплошные линии). При построении аналитического решения предсказана бифуркация решения, что подтверждается численными расчетами и на рис. 7 показано стрелками. Однако в этом случае бифуркация почти не повлияла на решение задачи движения центра масс.

Ю 0,2

0,1

0,0

-0,1

Рис. 7. Интегральные кривые в фазовой плоскости у и со.

При пространственном развитии возмущений исследование характеристик движения оптимальных пирамидальных и конических тел проведено в четвертом параграфе. Выявлены характерные особенности их трехмерного движения, и показано, что они существенно зависят от особенностей формы тела. Критерий устойчивости (10), найденный для плоского движения тонких пирамидальных и конических тел, позволяет и в

случае произвольного задания малых возмущений параметров прямолинейного движения определить характер их развития, однако для устойчивого движения тела при пространственном развитии возмущений необходимо, чтобы критерий (10) выполнялся для тела по всем плоскостям симметрии. Найдены способы увеличения запаса устойчивости прямолинейного движения оптимальных тел. Показано, что формирование у оптимальных тел оперения позволяет увеличивать у тел запас устойчивости движения и улучшать характеристики движения тела, приближая их к оптимальным значениям, найденным для тел при прямолинейном движении.

Заключение.

В заключении к диссертационной работе подводится итог всего исследования и формулируются его результаты, в основе которых лежат следующие положения.

1. Для произвольного закона сопротивления, записанного в рамках МЛВ, найдены новые решения задачи о пространственных формах тела минимального сопротивления. Показано, что при заданных площади основания и ограничениях на габариты тела можно построить бесконечное множество форм минимального сопротивления, которые образуются из участков поверхностей, нормаль к которым составляет с направлением движения постоянный оптимальный угол.

2. Создан метод построения оптимальных форм, который позволяет строить пространственные тела, удовлетворяющие самым разным требованиям практики. В частности, используя метод, можно строить оптимальные самолетоподобные тела и тела с формой основания в виде круга.

3. Без упрощающих предположений на геометрию тела в рамках двучленной МЛВ найдены решения задачи о пространственной форме тел с максимальной длиной траектории инерционного движения. Показано, что

структура поверхности этих тел та же, что и у тел минимального сопротивления, найденных на начальном этапе движения, но оптимальных угол, используемый при их построении, в общем случае другой.

4. В рамках двучленной МЛВ при безотрывном обтекании тел построена асимптотическая теория динамики тонких конических и пирамидальных тел и найдены критерии устойчивости их прямолинейного движения. Показано, что форма тела существенно влияет на устойчивость его движения, а при одинаковой форме тел и равных условиях погружения в среду более устойчивым будет движение тела с меньшей массой.

5. Используя результаты асимптотической теории динамики тонких тел, в рамках двучленной МЛВ исследованы проблемы устойчивости движения оптимальных конических и пирамидальных тел и определены области параметров, при которых прямолинейное движение этих тел устойчиво.

6. Проведено исследование пространственного движения оптимальных конических и пирамидальных тел и выявлены характерные особенности их трехмерного движения. Показано, что критерий устойчивости, найденный для плоского движения тонких конических и пирамидальных тел, позволяет и в случае произвольного задания малых возмущений параметров прямолинейного движения определить характер их развития.

7. Показано, что при неустойчивом движении оптимальные формы не дают тех преимуществ, которые получены для них при прямолинейном движении, тогда как при устойчивом движении характеристики этих тел близки к своим оптимальным значениям

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Бунимович А.И., Якунина Г.Е. Исследование формы поперечного контура конического пространственного тела минимального

сопротивления, движущегося в разреженном газе // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. №5. С. 112- 117.

2. Бунимович А И, Якунина ГЕ О форме тел вращения минимального сопротивления, движущихся в пластически сжимаемой и упругопластической средах//ПММ. 1987. Т. 51. Вып. 3. С. 496-503.

3. Бунимович А.И, Якунина ГЕ. О форме пространственных тел минимального сопротивления, движущихся в пластически сжимаемой и упругопластической средах // Вестник МГУ. 1987. Сер. 1. Математика, механика. № 3. С. 105 - 107.

4. Бунимович А.И., Якунина Г.Е. О форме тел вращения минимального сопротивления при безотрывном проникании в пластически сжимаемые среды // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 5. С. 860 - 863.

5. Остапенко H.A., Якунина Г.Е. О телах наименьшего сопротивления, двигающихся в средах при наличии закона локальности II Изв. РАН. МЖГ. 1992. № 1.С. 95- 106.

6. Остапенко НА., Романченко В.И, Якунина Г.Е. Оптимальные формы пространственных тел с максимальной глубиной проникания в плотные среды // ПМТФ. 1994. № 4. С. 32 - 40.

7. Остапенко НА., Якунина Г.Е Об особенностях движения тонкого тела в плотных средах // Доклады РАН. 1996. Т. 351. № 2. С. 192 - 195.

8. Остапенко НА., Якунина Г.Е Динамика тонких тел в плотных средах в условиях локальной модели взаимодействия//ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 6. С. 1008- 1022.

9. Остапенко НА, Якунина Г.Е. О форме тонких пространственных тел с максимальной глубиной проникания в плотные среды // ПММ. 1999. Т. 63. Вып. 6. С. 1018 - 1034.

Ю.Якунина Г.Е К построению оптимальных пространственных форм в рамках модели локального взаимодействия // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 2. С. 299-310.

11 .Якунина Г Е. О пространственных формах минимального сопротивления // Веетн. молодых ученых. 2000. Серия прикладная математика и механика. № 3. С. 77-85.

12.Якунина Г.Е Об оптимальных неконических и несимметричных пространственных конфигурациях // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 4. С. 605 -614.

ХЪ.Крайко А.Н, Пудовиков ДЕ., Якунина Г.Е. Теория аэродинамических форм, близких к оптимальным // М.: Янус-К, 2001. - 132 с.

14.Якунина Г.Е. О пространственных формах тела с максимальной глубиной проникания в плотные среды // Доклады РАН. 2001. Т. 376. № 6. С. 768 -771.

\5.Yakunina G. Ye. Optimum three-dimensional hypersonic bodies within the framework of a local interaction model // AIAA Paper. 2001. No. 2001-1797. lip.

\6.Yakunma G. Ye. Three-dimensional bodies of minimum total drag in hypersonic flow // J. Optimiz. Theory and Appl. 2002. V. 115. No. 2. P. 241 - 265.

17.Якунина Г.Е Динамика пирамидальных тел в рамках модели локального взаимодействия // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 1. С. 15 - 29.

lS-Якунина Г.Е О пространственном движении оптимальных пирамидальных тел // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 2. С. 258 - 268.

19.Yakunina G Ye. Effects of sliding friction on the optimal 3D- nose geometry of rigid rods penetrating media I I J. Optimiz. and Engng. 2005. V. 6. No. 3. P. 315 -338.

Ю.Якунина Г.Е Об оптимальных формах тел, движущихся в плотных средах // Доклады РАН. 2005. Т. 405. № 4. С. 484 - 488.

21 .Якунина Г.Е Оптимальные формы движущихся в среде тел при учете трения // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 5. С. 759 - 773.

Заказ №415_Объем 2 п.л._Тираж 100 экз.

Типография ЦИАМ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Модель взаимодействия среды и тела.

Введение.

§ 1.1. Модели силового воздействия газа на обтекаемое тело.

§ 1.2. Модели силового воздействия среды на тело при его высокоскоростном проникании в плотные среды.

Выводы.

ГЛАВА 2. Пространственные тела минимального сопротивления.

Введение.

§2.1. Постановка задачи о теле минимального сопротивления.

§2.2. Решение задачи о теле минимального сопротивления.

§2.3. Построение абсолютно-оптимальных тел (АОТ).

§2.4. Эффективность использования АОТ в рамках конкретных законов сопротивления.

Основные результаты.

ГЛАВА 3. Пространственные тела с максимальной длиной траектории инерционного движения.

Введение.

§3.1. Постановка задачи о теле с максимальной длиной траектории инерционного движения.

§3.2. Решение задачи о теле с максимальной длиной траектории инерционного движения.

§3.3. Тела с максимальной длиной траектории инерционного движения в рамках конкретных законов сопротивления.

Основные результаты.

ГЛАВА 4. Особенности движения оптимальных тел.

Введение.

§4.1. Постановка задачи динамики тела.

§4.2. Построение решения задачи плоского движения тела.

§4.3. Особенности пространственного движения оптимальных тел.

§4.4. Способы увеличения запаса устойчивости оптимальных тел.

Основные результаты.

Построение тела, оптимального по одной из интегральных характеристик движения (сопротивлению или длине траектории инерционного движения), является актуальной проблемой механики. Интерес к этой области науки обусловлен, прежде всего, нуждами авиационно-космической промышленности и связан с необходимостью совершенствования ракетной и авиационной техники, которое возможно лишь при наличии подробных сведений об оптимальных формах головных частей ракет, крыльев и других элементов летательных аппаратов.

Сведения об оптимальных формах тел требуются и в других отраслях промышленности. Например, они нужны в горном и строительном деле при планировании и выполнении работ по получению проб грунта и пород, лежащих на разной глубине от земной поверхности, когда выбор формы пробойника, при которой он может, не разрушаясь, достичь нужной глубины, позволяет сделать эти работы более эффективными. Такие пробойники будут полезными и при установке нефтяных платформ, и при разработке месторождений, и знание их свойств даст возможность достичь желаемого результата с наименьшими энергетическими затратами.

Учитывая сложившуюся в последние годы тенденцию интенсивного развития космической техники^ можно предположить, что в ближайшее время важным приложением знаний об оптимальных формах может стать их использование при решении проблемы защиты космических объектов от столкновений с метеоритами или другими телами, траектория движения которых может пересечься с орбитой Земли. Известно, что кинетический удар по телу, при котором ударник на высокой скорости внедряется в тело с целью его разрушения или изменения траектории движения, является реальной альтернативой ядерно-водородному удару при защите Земли от столкновений с астероидами и кометами. При создании таких ударников сведения о характеристиках и особенностях движения оптимальных форм, предназначенных для высокоскоростного полета и последующего внедрения в плотные среды на заданную или максимально возможную глубину, могут оказаться крайне полезными.

Наибольший прогресс в области изучения свойств оптимальных форм достигнут в последние десятилетия благодаря бурному развитию вычислительной техники, когда стремительно возросшие вычислительные мощности стали позволять решать весьма сложные и громоздкие многопараметрические задачи. Однако заметим, что до сих пор число вариационных задач поиска оптимальных форм, которые удается решить точно, невелико. Это обусловлено тем, что решение задачи оптимизации формы тела по интегральным характеристикам движения возможно лишь при наличии соотношений, явно связывающих силы, действующие на поверхности контакта среды и тела, с формой его поверхности. Параметры среды при обтекании тела находятся из решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных, которая на основе выбранной модели среды дополняется уравнениями состояния и соотношениями на сильных разрывах. Задача оптимизации формы тела в постановке, базирующейся на точных уравнениях такого рода, для большинства сред практически неразрешима. Даже при обтекании двумерных (плоских и осесимметричных) тел идеальным газом ее точное решение, а чаще сведение к краевой задаче, решаемой с гарантированной точностью методом характеристик, удается получить (см. [1]) лишь в исключительных случаях. Для большинства сред при сложном нагружении нет замкнутой системы уравнений, и это исключает для них даже возможность точной постановки задачи оптимизации формы тела. В этих случаях естественно искать упрощения, позволяющие найти приближенное решение. В первую очередь они делаются для сил, действующих на поверхности тела, для которых используются формулы, полученные из приближенных моделей.

Для оценочных расчетов сил, действующих на тело при его высокоскоростном движении в газе и плотных средах, широкое распространение получили формулы, найденные из локальных моделей. В основе этих моделей лежит предположение, что каждый элемент поверхности тела взаимодействует со средой независимо от других участков тела, и сила, действующая на него, зависит лишь от ориентации элемента относительно направления движения. Эта зависимость может включать в себя скорость движения и характеристики среды, которые считаются постоянными. Примером такой зависимости является формула Ньютона, широко используемая в гиперзвуковой аэродинамике для оценочных расчетов распределения давления на поверхности тела. При расчете напряжений на поверхности тела при его движении в плотных средах, таких как грунт и металл, хорошо зарекомендовали себя двучленные формулы, квадратичные по скорости, с постоянным слагаемым, характеризующим прочность среды. Использование таких формул позволяет записать силы, действующие на тело, в виде интегралов по его поверхности, которые дают связь сил с формой тела и методами вариационного исчисления могут быть исследованы на экстремум.

В предположении о локальном характере взаимодействия среды с элементом поверхности тела задача оптимизации пространственной формы тела по одной из интегральных характеристик движения была предметом многочисленных исследований. Однако даже в рамках конкретных законов сопротивления решение этой задачи непрямыми методами вариационного исчисления было найдено лишь при упрощающих предположениях относительно геометрии тела. Так, например, при поиске тел минимального сопротивления в газе, используя для записи нормальных напряжений на поверхности тела формулу Ньютона, в большинстве случаев рассматривались (см. [2]) тонкие, конические или гомотетичные тела, когда, сужая класс допустимых поверхностей, удавалось свести уравнения Эйлера к обыкновенным дифференциальным уравнениям. Задача об оптимальной пространственной форме тела без ограничений на его геометрию и без ограничений на вид функции, задающей модель локального взаимодействия среды с поверхностью тела, до сих пор остается актуальной.

Касаясь вопроса применимости локальных моделей при оптимизации формы тела, заметим, что проведенное [3] для газа сравнение большого числа оптимальных двумерных профилей, найденных с использованием формулы Ньютона и в рамках приближенного, хотя и весьма точного нелокального подхода, показало уникальную работоспособность формулы Ньютона при построении оптимальных образующих. Установлено [3], что эта формула позволяет строить образующие, весьма близкие к оптимальным, причем даже для таких чисел Маха и толщин тел, для которых эта формула дает заведомо неверные распределения давления на теле. Результаты многочисленных теоретических и экспериментальных исследований аэродинамических характеристик пространственных тел по структуре близких к оптимальным, найденным в рамках локальных моделей, также полностью согласуются с основными выводами, полученными в рамках этих моделей, и это дает дополнительные аргументы в пользу использования их при решении задач построения оптимальных форм.

Оптимальные формы строятся при прямолинейном движении тела. Однако движение тела в реальной среде может быть возмущенным, и тогда, как показывают результаты теоретических и экспериментальных исследований, скорость центра масс тела может сильно отклоняться от своего начального направления, а траектория движения тела иметь изогнутый вид. Рост возмущений может привести к опрокидыванию тела, и тогда достижение теоретически предсказываемых характеристик движения невозможно. Лишь в случае, когда прямолинейное движение оптимального тела устойчиво к малым возмущениям начальных значений параметров движения, возможно эффективное использование тела для получения оптимальных характеристик. Исследование влияния возмущений на характеристики движения тела и поиск критерия его устойчивости - важные этапы изучения свойств оптимальных тел, результаты которых должны учитываться при построении их формы.

Настоящая диссертация посвящена решению актуальной проблемы -построению пространственных тел минимального сопротивления и тел с максимальной длиной траектории инерционного движения в средах, когда взаимодействие среды с элементом поверхности тела можно записать в рамках локальной модели. В работе задачи поиска оптимальных форм решаются без упрощающих ограничений на геометрию тела, причем построение тел минимального сопротивления проводится без ограничений на вид функции, задающей закон сопротивления. Формы тел с максимальной длиной траектории строятся в рамках двучленной модели локального взаимодействия, когда нормальные и касательные напряжения на поверхности тела представляются в виде двучленных формул, содержащих квадратичный по скорости член и постоянное слагаемое, характеризующее прочность среды. Для конкретных сред и конкретных законов сопротивления проводятся сравнения характеристик построенных тел и тел, найденных ранее из решений вариационных задач при упрощающих предположениях. Определяются области параметров, в которых построенные пространственные тела обладают по оптимизируемым характеристикам значительными преимуществами в сравнении с телами вращения. Исследуются характеристики плоского и пространственного движения оптимальных конических и пирамидальных тел, и ищется критерий устойчивости их прямолинейного движения. Проводится классификация оптимальных форм по устойчивости движения, и определяются области параметров, в которых по устойчивости движения отдавать предпочтение следует той или иной оптимальной форме тела. Апробация аналитических результатов выполняется на основе численного решения полной системы уравнений пространственного движения тела, построенного без упрощающих предположений на режим движения тела.

Работа состоит из введения, четырех глав и заключения. Общий объем работы составляет 275 страниц и содержит 53 фигуры. В списке литературы находится 144 наименования.

Во введении показана актуальность темы диссертационной работы, сформулированы основные задачи исследования и описана структура работы.

Каждая глава содержит введение, в котором дается обзор литературы, посвященной рассматриваемой проблеме, формулируются задачи исследования, и описывается структура главы. В конце каждой главы приводится перечень основных выводов и результатов, полученных в ней.

Темы исследований, рассмотренные в главах, даны ниже.

Основные результаты

Глава 4 посвящена решению задачи динамики конических и пирамидальных тел, построенных из участков поверхности кругового конуса и плоскостей, касательных к нему. В случае если угол раствора конуса оптимален, то рассматриваемые тела будут относиться к классу оптимальных конфигураций, имеющих при прямолинейном движении в среде максимальную длину траектории. Решение задачи найдено в рамках двучленной MJIB, когда нормальные напряжения на поверхности тела представляются двучленной формулой (1.2.2), а касательные напряжения описываются моделью трения Кулона (1.2.6) или моделью постоянного трения (1.2.7). Аналитическое и численное решения задачи построены соответственно для плоского и пространственного движения тела. Основные результаты исследования, полученные на их основе, можно сформулировать следующим образом.

1). При безотрывном обтекании тел и малых возмущениях, наложенных в начальный момент времени на параметры прямолинейного движения, построено аналитическое решение задачи плоского движения тонких конических и пирамидальных тел, сформированных из участков поверхности кругового конуса и плоскостей, касательных к нему. Показано, что на основе решения можно выполнить полный параметрический анализ динамики тела и рассчитать силы и момент, действующие на тело вдоль его траектории.

2). Найден критерий устойчивости плоского движения тела, позволяющий при известных форме, массе и положении центра тяжести тела определить характер возмущенного движения тела. Показано, что форма тела является одним из важнейших факторов, влияющих на устойчивость движения, и что при одинаковой форме и одинаковом положении центра масс большим запасом устойчивости обладают тела с меньшей массой.

3). На основе численного решения задачи Коши системы уравнений движения, полученного без упрощающих предположений, проведена апробация аналитических результатов. При сравнении результатов численного и аналитического решений задачи динамики тела показано, что аналитическое решение, построенное для тонких пирамидальных и конических тел при упрощающих предположениях (4.2.9) и (4.2.18), дает хорошее приближение к точному решению задачи. Показано, что аналитическое решение можно использовать для определения характеристик движения тела и в случае неустойчивого типа движения, но лишь до появления зон отрыва среды на поверхности тела.

4). Проведено исследование пространственного движения оптимальных пирамидальных и конических тел и выявлены характерные особенности их трехмерного движения. Показано, что они существенно зависят от особенностей формы тела, и их следует учитывать при выборе оптимальной конфигурации тела.

5). Показано, что критерий устойчивости, найденный для плоского движения тонких пирамидальных и конических тел, позволяет и в случае произвольного задания малых возмущений параметров прямолинейного движения определить характер их развития. При этом для устойчивого движения тела при пространственном развитии возмущений необходимо, чтобы критерий устойчивости выполнялся для него по всем плоскостям симметрии.

6). В соответствии с критерием устойчивости определены области параметров, в которых при выборе конфигурации оптимального тела следует отдавать предпочтение звездообразной или ромбовидной форме. Показано, что, если прямолинейное движение тела устойчиво, то возмущения по крену не оказывают существенного влияния на характеристики движения тела, и его возмущенное пространственное движение можно представить в виде суперпозиции плоских движений, каждое из которых описывается найденным аналитическим решением плоской задачи.

7). Подтверждено, что при неустойчивом движении использование оптимальных тел в сравнении с другими телами не дает тех преимуществ по оптимизируемым характеристикам, которые получены для них при прямолинейном движении. Однако для оптимальных тел с параметрами из области устойчивого движения эти преимущества близки к величинам, найденным для них при оптимизации их формы.

8). Даны рекомендации по определению типа движения тела в рамках смешанной модели трения (1.2.8). Для устойчивого движения тела в этом случае достаточно, чтобы критерий устойчивости выполнялся для него в рамках модели постоянного трения. В то же время, показано, что при нарушении критерия устойчивости, записанного для модели трения Кулона, движение тела в рамках смешанной модели трения будет неустойчивым. Если же критерий устойчивости для модели трения Кулона выполняется, а для модели постоянного трения нет, то в этом случае устойчивость движения тела определяется по его начальной скорости в согласии с условием (4.3.2), выполнение которого предсказывает для тела устойчивый тип движения.

9). Найдены способы увеличения запаса устойчивости прямолинейного движения оптимальных тел. Показано, что формирование у оптимальных тел оперения является эффективным способом увеличения у них запаса устойчивости движения, что улучшает характеристики движения тел, приближая их к оптимальным значениям, найденным для тел при прямолинейном движении.

255

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе при условии, что силовое воздействие среды на тело можно описать в рамках МЛВ (см. главу 1), развита новая методика построения пространственных форм минимального сопротивления (см. главу 2) и форм, которые при прямолинейном инерционном движении в среде обеспечивают телу максимальную длину траектории (см. главу 3). При определенных допущениях моделями класса МЛВ описываются напряжения на поверхности тела при его высокоскоростном движении в газе и плотных средах типа грунтов и металлов. В работе проведено комплексное исследование свойств оптимальных тел и особенностей их движения (см. главу 4), в процессе выполнения которого получены следующие результаты.

1. Для произвольного закона сопротивления, записанного в рамках МЛВ, при заданных площади основания и ограничениях на длину и поперечные размеры тела найдены принципиально новые решения задачи о форме тела минимального сопротивления. Задача решена без упрощающих предположений на геометрию тела, и показано, что она имеет бесконечное множество решений, а формы оптимальных тел, названные абсолютно оптимальными телами (АОТ), образуются из участков поверхностей, нормаль к которым составляет с направлением движения некоторый оптимальный угол. Этот угол определяется скоростью движения и характеристиками среды через постоянные, входящие в закон сопротивления.

2. Создан новый метод построения пространственных АОТ, позволяющий строить оптимальные тела разных конфигураций, удовлетворяющих самым разным требованиям практики. Он основан на непрерывном сопряжении участков поверхностей кругового конуса, имеющего оптимальный угол раствора, и касающихся его плоскостей. В частности, используя метод, можно строить оптимальные звездообразные тела, самолетоподобные тела, тела заданной длины с оперением и тела с формой основания в виде круга.

3. Проведено сравнение сопротивлений АОТ с сопротивлениями эквивалентных им по геометрическим характеристикам оптимальных осесимметричных и пространственных тел, найденных ранее для конкретных моделей записи напряжений в рамках MJIB при упрощающих предположениях на геометрию тела. Показано, что в общем случае АОТ являются более эффективными телами, построенными для снижения сопротивления, чем тела, найденные ранее из решений вариационных задач при упрощающих предположениях.

4. В приближении тонкого тела для конкретных моделей записи напряжений получены соотношения, дающие в явном виде связь параметров среды и скорости движения тела с оптимальным углом. Показано, что при параметрах из области значений, наиболее часто используемой в практических расчетах, это приближение позволяет строить тела, сопротивление которых отличается от минимального сопротивления не более чем на 3%.

5. Впервые без упрощающих предположений на геометрию тела в рамках двучленной модели локального взаимодействия, найдено решение задачи о пространственной форме тел с максимальной длиной траектории инерционного движения. Показано, что структура поверхности этих тел та же, что и у тел минимального сопротивления, но оптимальный угол, используемый при их построении, в общем случае другой.

6. Для конкретных моделей записи напряжений, которые наиболее часто используются при расчете сил, действующих на тело при его высокоскоростном проникании в плотные среды, проведено сравнение глубин проникания построенных оптимальных тел и тел, эквивалентных им по заданным изопериметрическим условиям. Сравнения проведены для трех моделей записи касательных напряжений в рамках двучленной MJIB: модели трения Кулона, модели постоянного трения и смешанной модели трения. Показано, что в рамках этих моделей оптимальные пространственные тела, построенные в общем случае задания геометрических параметров, являются более эффективными телами, предназначенными для достижения большей глубины проникания, чем такие наиболее часто используемые в экспериментах конфигурации, как конические и оживальные тела вращения.

7. В рамках двучленной МЯВ в приближении тонкого тела для модели трения Кулона, модели постоянного трения и смешанной модели трения получены соотношения, дающие в явном виде связь параметров среды и скорости движения тела, имеющего максимальную длину траектории, с оптимальным углом. Показано, что это приближение позволяет строить тела, глубина проникания которых при параметрах из области значений, наиболее часто используемой в практических расчетах, отличается от максимальной глубины не более чем на 2%.

8. Для модели трения Кулона и модели постоянного трения проведено сравнение глубин проникания оптимальных тел и тел минимального сопротивления, найденных на начальном этапе движения. Показано, что для параметров из области значений, наиболее часто используемой в практических расчетах, глубины проникания таких тел отличаются друг от друга не более чем на 3%.

9. На основе экспериментальных результатов исследований процесса высокоскоростного внедрения твердого тела в плотные среды, полученных авторами разных стран, определены условия эффективного использования свойств оптимальных тел на практике, при которых построенные тела по достигаемой ими глубине проникания будут иметь значительные преимущества в сравнении с другими телами.

10. В рамках двучленной MJIB при безотрывном обтекании тел построена асимптотическая теория динамики тонких конических и пирамидальных тел и найдены критерии устойчивости их прямолинейного движения. Показано, что тела с отрицательным запасом статической устойчивости, движение которых в газе неустойчиво, в плотной среде могут двигаться устойчиво. При этом форма тела существенно влияет на устойчивость его движения, но при одинаковой форме тел и равных условиях погружения в среду более устойчивым является движение тела с меньшей массой.

11 .На основе численного решения задачи Коши системы уравнений движения, полученного без упрощающих предположений, проведена апробация аналитических результатов. При сравнении результатов численного и аналитического решений задачи динамики тела показано, что аналитическое решение, построенное для устойчивого движения тонких пирамидальных и конических тел при упрощающих предположениях, дает хорошее приближение к точному решению задачи. Найденное аналитическое решение можно использовать для определения характеристик движения тела и в случае неустойчивого типа движения, но лишь до появления зон отрыва среды на поверхности тела.

12.Проведено исследование пространственного движения оптимальных пирамидальных и конических тел и выявлены характерные особенности их трехмерного движения. Показано, что критерий устойчивости, найденный для плоского движения тонких пирамидальных и конических тел, позволяет и в случае произвольного задания малых возмущений параметров прямолинейного движения определить характер их развития. При этом для устойчивого движения тела при пространственном развитии возмущений необходимо, чтобы критерий устойчивости выполнялся для него по всем плоскостям симметрии.

13.Подтверждено, что при неустойчивом движении использование оптимальных тел в сравнении с другими телами не дает тех преимуществ по оптимизируемым характеристикам, которые получены для них при прямолинейном движении. Однако для оптимальных тел с параметрами из области устойчивого движения эти преимущества близки к величинам, найденным для них при оптимизации их формы.

14.5 рамках двучленной MJIB, используя результаты асимптотической теории динамики тонких тел, проведена классификация конических и пирамидальных оптимальных форм по устойчивости пространственного движения и определены области параметров, в которых при построении оптимального тела отдавать предпочтение следует той или иной его форме.

15.Показано, что, если прямолинейное движение тела устойчиво, то возмущения по крену не оказывают существенного влияния на характеристики движения тела, и его возмущенное пространственное движение можно представить в виде суперпозиции плоских движений, каждое из которых описывается найденным аналитическим решением плоской задачи.

16.Найдены способы увеличения запаса устойчивости прямолинейного движения оптимальных тел. Показано, что формирование у оптимальных тел оперения является эффективным способом увеличения у них запаса устойчивости, что улучшает характеристики движения тел, приближая их к оптимальным значениям, найденным для тел при прямолинейном движении.

Совокупность результатов, полученных в работе, позволяет говорить о создании научного направления в области построения оптимальных пространственных тел, движущихся в средах, когда взаимодействие среды с элементом поверхности тела можно записать в рамках локальной модели.

Созданный и развитый автором метод построения оптимальных тел дает возможность конструировать бесконечное множество тел, удовлетворяющих самым разным требованиям практики. Используя метод, можно строить оптимальные самолетоподобные тела и тела с формой основания в виде круга. Оптимальные формы с круговым основанием можно непрерывно сопрягать с цилиндрическим корпусом летательного аппарата и использовать при построении головных частей ракет. Такие формы позволят не только увеличить дальность полета ракеты, но и снизят риск их разрушения при попадании в плотную среду.

Полученные в работе теоретические результаты по исследованию характеристик движения оптимальных тел позволяют понять и дать оценку многим явлениям, наблюдаемым в экспериментах по динамике тел. В частности, из экспериментальных данных известно, что звездообразные тела, обладая меньшим сопротивлением, движутся в среде менее устойчиво, чем эквивалентные им по изопериметрическим условиям осесимметричные тела. Построенная теория динамики тел дает ответ на этот вопрос: запас устойчивости движения звездообразного тела всегда меньше запаса устойчивости эквивалентного ему конуса. Апробация аналитических результатов проведена в работе на основе численного решения задачи Коши полной системы уравнений движения тела, подтвердившей их достоверность. Все типы движений, наблюдаемые в экспериментах по высокоскоростному прониканию твердых тел в плотные среды, были получены в результате расчетов.

На основе результатов аналитических и численных исследований, выполненных в работе, проведена классификация оптимальных конических и пирамидальных тел по устойчивости движения и определены области параметров, в которых для них реализуется тот или иной тип движения. Указаны способы увеличения запаса устойчивости оптимального тела и показано, что формирование оперения у тела дает возможность улучшить его характеристики движения, максимально приблизив их к значениям, полученным для тела при оптимизации его формы. Подобные сведения необходимы и могут служить ориентирами при планировании и проведении экспериментов по изучению свойств и характеристик движения оптимальных тел в разных средах.

В заключение отметим, что предложенный в работе способ исследования свойств оптимальных тел может быть полезным не только при построении тел минимального сопротивления или тел с максимальной длиной траектории, но и при поиске тел, оптимальных по другим интегральным характеристикам движения, если последние могут быть представлены в рамках MJIB. Примером служит рассмотренный в работе случай построения формы тела с минимальным притоком тепла к поверхности, обтекаемой свободномолекулярным потоком газа.

1. Крайко А.Н. Вариационные задачи газовой динамики. М.: Наука, 1979. 447 с.

2. Теория оптимальных аэродинамических форм. Под ред. Миеле А. М.: Мир, 1969. 507 с.

3. Крайко А.Н., Пудовиков Д.Е., Якунина Г.Е. Теория аэродинамических форм, близких к оптимальным. М.: Янус-К, 2001. 132 с.

4. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. 424 с.

5. Абрамович Т.Н. Прикладная газовая динамика. М.: Наука, 1969. 824 с.

6. Паттерсон Г.Е. Молекулярное течение газов. М.: Физматгиз, 1960. 272 с.

7. Берд Г. Молекулярная газовая динамика. М.: Мир, 1981. 320 с.

8. Maxwell J.C. On the condition to be satisfied by a gas at the surface of a solid body. Scientific Papers 2, 704, 1879.

9. Баранцев Р.Г. Взаимодействие разреженных газов с обтекаемыми поверхностями. М.: Наука, 1975. 343 с.

10. Ю.Алексеева Е.В., Баранцев Р.Г. Локальный метод аэродинамического расчета в разреженном газе. Л.: Изд-во ЛГУ, 1976. 210 с.

11. И.Мирошин Р.Н., Халидов И.А. Теория локального взаимодействия. Л.: Изд-во ЛГУ, 1991.274 с.

12. Бунимович А.И., Дубинский А.В. Развитие, современное состояние и приложения теории локального взаимодействия // Изв. АН СССР, МЖГ, 1996, №3, С. 3-18.

13. Баранцев Р.Г., Васильев JI.A., Иванов Е.В., Козачек В.В., Минайчев АД., Михайлов JJ.B., Мурзов Н.В. Аэродинамический расчет в разреженном газе на основе гипотезы локальности // Аэродинамика разреженных газов. Л.: Изд-во ЛГУ. 1969. Вып. 4. С. 170-184.

14. Бунимович А.И. Соотношения между силами, действующими на тела, движущиеся в разреженном газе, в потоке света и в гиперзвуковом ньютоновском потоке // Изв. АН СССР. МЖГ. 1973. № 4. С. 89-95.

15. Деев А.А., Левин В.А., Пилюгин Н.Н. О форме тела с минимальным полным потоком лучистой энергии к его поверхности // Изв. АН СССР. МЖГ. 1976. №4. С. 84-89.

16. Баранцев Р.Г. Локальная теория передачи импульса и энергии на поверхности тел в разреженном газе // Математическое моделирование,аналитические и численные методы в теории переносов. Минск, 1982. С. 90-98.

17. Monaco R., Orsi А.Р. Molecular Gas-Flow over convex bodies: a physico-mathematical model for heat transfer calculation // Appl. Math. Model. 1980. V. 4. No. 5. P. 325-330.

18. Сагомонян А.Я. Проникание. M.: Изд. Моск. ун-та, 1974. 300 с.

19. Zukas J. A., Nicholas Т., Swift Н. F. and others. Impact Dynamics. A Wiley-Interscience Publication, N. Y., 1982. = ЗукасД. А., Николас Т., Свифт X. Ф. и др. Динамика удара. М.: Мир, 1985. 296 с.

20. Ведерников Ю.А., Щепановский В.А. Оптимизация реогазодинамических систем. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995. 238 с.

21. Фомин В.М., Гулидов А.И., Сапожников Г.А. и др. Высокоскоростное взаимодействие тел. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. 600 с.

22. Рахматулин X.A., Сагомонян А.Я., Алексеев H.A. Вопросы динамики грунтов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1964. 238 с.

23. Цытович Н.А. Механика грунтов. М.: Высшая школа, 1983. 289 с.

24. ЗА.Григорян С.С. Приближенное решение задачи о проникании тела в грунт // МЖГ. 1993. №4. с. 18-24.

25. Гердюков Н.Н., Иолев А.Г., Ковтун А.Д., Макаров Ю.М., Новиков С.А. Исследование сжимаемости песчаного грунта при ударно-волновом нагружении // ПМТФ. 1993. Т.34. №4. С. 55-58.

26. АА.Флитман Л.М. Дозвуковое осесимметричное обтекание тонких заостренных тел вращения упругопластическим потоком // МТТ. 1991. №4. С. 155-164.

27. А5.Сагомонян А.Я. Пробивание плиты тонким твердым снарядом // Вестн. Моск. ун-та, Математ. Механ. 1975. № 5. С. 104-110.

28. Forrestal M.J., Tzou D.Y., Askari Е., Longcope B.D. Penetration into ductile metal targets with rigid spherical-nose steel rods // Int. J. Impact. Engng. 1995. V. 16. P. 699-710.

29. Витман Ф.Ф., Степанов В.А. Влияние скорости деформирования на2 3сопротивление деформированию металлов при скоростях удара 10' -г 10J м/с // Некоторые проблемы прочности твердого тела. M.-JL: Изд-во АН СССР, 1959. С. 207-221.

30. Витман Ф.Ф., Златин Н.А. О процессе соударения деформируемых тел и его моделирования // Журн. Техн. Физики. 1963. Т. 33. Вып. 8. С. 982-989.

31. Бивин Ю.К., Викторов В.В., Коваленко Б.Я. Определение динамических характеристик грунтов методом пенетрации// Изв. АН СССР. МТТ. 1980. №3. С. 105-110.

32. Keer L.M., Xu Y.L., Luk V.K. Boundary effects in penetration and perforation // Trans. ASME J. Appl. Mech. 1998. V. 65. no. 2. P. 489-496.

33. Piekutowsky A. J., Forrestal M.J., Poormon K.L., Warren T.L. Penetration of 6364-T681 aluminum targets by ogival-nose projectiles with striking velocities between 0.5 and 3.0 km/s // Int. J. Impact Engng. 1999. V. 23. P. 723-734.

34. Chen E.P. Penetration into porous rock: a numerical study on sliding friction simulation. Theor. Appl. Frac. Mech. 11. 1989. P. 135-141.

35. Chen E.P. Finite simulation of perforation and penetration of aluminum targets by conical nosed steel rods // Mech. Mater. 1990. V. 10. P. 107-115.

36. Коханенко И.К., Маклаков С.Ф., Прищепа B.A. Определение предела прочности грунта на сдвиг при динамическом нагружении // Изв. АН СССР. МТТ. Т.36. 1990. №4. С. 182-184.

37. Гердюков Н.Н., Иолев А.Г., Новиков С.А. Определение динамического коэффициента трения песчаного грунта о жесткую стенку// ПМТФ. 1995. Т.37. №4. С. 185-187.

38. Chen X.W., Li Q.M. Deep penetration of a non-deformable projectile with different geometrical characteristics // Int. J. Impact Engng. 2002. V. 27. P. 619-637.

39. Григорян C.C. Новый закон трения и механизм крупномасштабных горных обвалов и оползней// ДАН СССР. 1979. Т.24. №4. С. 846-849.

40. Майкапар Г.И. О волновом сопротивлении неосесимметричных тел при сверхзвуковых скоростях. ПММ. 1959. т. 23. Вып. 2. С. 376-383.

41. Гонор A.JI. О пространственных телах наименьшего сопротивления при больших сверхзвуковых скоростях // ПММ. 1963. т. 27. вып. 1. С. 185-189.

42. Miele A., Saaris G.R. On the optimum transversal contour of a body at hypersonic speeds // Astronautica Acta. 1963. V. 9. № 3. P. 184-198.

43. Остапенко Н. А. Теория тонких тел вращения минимального сопротивления, двигающихся в плотных средах при смешанном законе трения на поверхности контакта // Проблемы современной механики / Под ред. С.С. Григоряна. М.: Изд-во МГУ, 1998. С. 168-178.

44. Остапенко Н.А., Якунина Г.Е. О телах наименьшего сопротивления, двигающихся в средах при наличии закона локальности // Изв. РАН. МЖГ. 1992. № 1.С. 95-106.

45. Гонор A.JI., Казаков М.Н., Швец A.M., Шеин В.И. Аэродинамические характеристики звездообразных тел при сверхзвуковых скоростях // Изв. АН СССР. МЖГ. 1971. № 1. С. 97-102.

46. Ш.Зубил М.А., Лапыгин В.И., Остапенко Н.А. Теоретическое и экспериментальное исследование структуры сверхзвукового обтекания тел звездообразной формы и их аэродинамических характеристик // Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. № 3. С. 34-40.

47. Зубин М.А., Остапенко Н.А. Аэродинамические характеристики и запас статической устойчивости конических звездообразных тел при сверхзвуковых скоростях//Изв. РАН. МЖГ. 1992. № 6. С. 142-150.

48. Остапенко Н.А. Аэродинамическое сопротивление пространственных тел со звездообразным поперечным сечением при сверхзвуковых скоростях и проблемы его расчета // Изв. РАН . МЖГ. 1993. № 1. С. 57-69.

49. Foster N., Dulikravich G. Aerodynamic characteristics of star-shaped bodies at Mach numbers M= 3-5 // Journal of Spacecraft and Rockets. V. 34. № 1.1997. P. 36-42.

50. Sabean J., Lewis M., Mee D., Paull A. Performance study of a power law starbody // Journal of Spacecraft and Rockets. V. 36. № 5. 1999. P. 646-652.

51. Аргучищева M.A., Пилюгин H.H. Пространственные формы тел с минимальным нагревом поверхности при гиперзвуковом движении в атмосфере // Космические исследования. 1992. Т. 30. № 5. С. 615-628.

52. Аргучинцева М.А., Пилюгин Н.Н. Экстремальные задачи радиационной газовой динамики. М.: Изд-во МГУ, 1997. 197 с.

53. Аргучинцева М.А., Пилюгин Н.Н. Оптимальные формы пространственных тел с минимальным полным радиационным потоком к поверхности // ПМТФ. 2002. Т. 43. № 5. С. 55-68.

54. Черноусъко Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления. М.: Наука, 1973. 238 с.

55. Бердичевский В.Л. О форме тела минимального сопротивления в гиперзвуковом потоке газа // Вестник МГУ. Серия математика, механика. 1975. № 3. С. 90-96.

56. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983.448 с.

57. Дубинский А. В. Некоторые классы оптимальных пространственных тел при обтекании в условиях гипотезы локального взаимодействия // В сб. Динамика разреженного газа и пограничного слоя. Препринт ВИНИТИ-4218-80. 1980. С. 50-68.

58. Bunimovich A.I., Dubinsky A. Mathematical models and methods of localized interaction theory. World Scientific, Singapore, 1995.

59. Гусаров А.А., Дворецкий B.M., Иванов М.Я., Левин B.A., Черный Г.Г. Теоретическое и экспериментальное исследование аэродинамических характеристик пространственных тел // Изв. АН СССР. МЖГ. 1979. № 3. С. 97-102.

60. Кравец В.В., ШвецА.И. О некоторых режимах сверхзвукового обтекания поликлиновых тел // ПМТФ. 1974. № 3.

61. Казаков М.Н., Кравец В.В., Швец А.И. Аэродинамические коэффициенты неконических тел со звездообразным поперечным сечением // Изв. АН СССР. МЖГ. 1974. № 6.

62. Гусаров А.А., Левин В.А. Пространственная форма тела минимального аэродинамического сопротивления в гиперзвуковом потоке газа // Изв. АН СССР. МЖГ. 1981. № 6. С. 98-103.

63. Якунина Г.Е. К построению оптимальных пространственных форм в рамках модели локального взаимодействия // ПММ. 2000. т. 64. Вып. 2. С. 299-310.

64. Якунина Г.Е. О пространственных формах минимального сопротивления Вестн. молодых ученых. 2000. Серия прикладная математика и механика. № 3. с. 77-85.

65. Якунина Г.Е. Об оптимальных неконических и несимметричных пространственных конфигурациях // ПММ. 2000. т. 64. Вып. 4. С. 605-614.

66. Yakunina G. Ye. Optimum three-dimensional hypersonic bodies within the framework of a local interaction model // AIAA Paper. No. 2001-1797. 11 p.

67. Yakunina G. Ye. Three-dimensional bodies of minimum total drag in hypersonic flow // J. Optimiz. Theory and Appl. 2002. V. 115. No. 2. P. 241265.

68. Yakunina G.Ye. Effects of sliding friction on the optimal 3D- nose geometry of rigid rods penetrating media // J. Optimiz. and Engng. 2005. V.6. No. 3. P. 315338.

69. Якунина Г.Е. Об оптимальных формах тел, движущихся в плотных средах // Доклады РАН. 2005. т. 405. № 4. С. 484-488.

70. Якунина Г.Е. Оптимальные формы движущихся в среде тел при учете трения // ПММ. 2005. т. 69. Вып. 5. С. 759-773.

71. Бунимович А.И., Дубинский А.В. Оптимальные тупоносые тела вращения в газе различной разреженности // Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. № 3. С. 158-161.

72. Бунимович А.К, Кузъменко В.И. Аэродинамические и тепловые характеристики пространственных звездчатых тел в разреженном газе // Изв. АН СССР. МЖГ. 1983. №4. С. 181-183.

73. Конева К.А., Остапенко Н.А. Пространственные тела наименьшего сопротивления при движении в плотных средах в условиях смешанной модели трения // Вестник МГУ. 2004. Сер. 1. Математика, механика. № 3. С. 34-39.

74. Остапенко Н.А., Романченко В.И., Якунина Г.Е. Оптимальные формы пространственных тел с максимальной глубиной проникания в плотные среды // ПМТФ. 1994. № 4. С. 32-40.

75. Остапенко Н.А., Якунина Г.Е. О форме тонких пространственных тел с максимальной глубиной проникания в плотные среды // ПММ. 1999. т. 63. Вып. 6. С. 1018-1034.

76. Jones S.E., Rule W.K. On the optimal nose geometry for a rigid penetrator, including the effects of pressure-dependent friction // Int. J. Impact Engng. 2000, V. 24, P. 403-415.

77. Якунина Г.Е. О пространственных формах тела с максимальной глубиной проникания в плотные среды // Доклады РАН. 2001. т. 376. № 6. С. 768-771.

78. Иоффе А.Д., Тихомиров В.М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974. 479 с.

79. Окунев Ю.М., Остапенко Н.А. О демпфировании колебаний летящего тела около центра масс в условиях квазистационарной модели аэродинамики // Математическое моделирование нестационарных задач в механике сплошных сред. М.: 1985. С. 67 78.

80. Фоллэ М.И. Сохранение вектора равнодействующей силы в плоскости угла атаки при сверхзвуковом обтекании тонких звездообразных тел // Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. № 6. С. 135 141.

81. Окунев Ю.М., Садовничий В.А., Самсонов В.А., Черный Г.Г. Комплекс моделирования задач динамики полета // Математическое моделирование. М.: МГУ. 1996. С. 66-69.

82. Остапенко Н.А., Якунина Г.Е. Об особенностях движения тонкого тела в плотных средах//Доклады РАН. 1996. Т. 351. № 2. С. 192 195.

83. Окунев Ю.М., Садовничий В. А. Об особенностях решений одной динамической системы // Фундаментальная и прикладная математика. 1999. Т. 5. №2. С. 319-361.

84. Симонов И. В. Об устойчивости движения удлиненного тела вращения в упругопластической среде при отрыве потока // ПММ. 2000. Т. 64. Вып. 2. С. 311 -320.

85. Симонов И.В. О классификации траекторий плоскопараллельного движения тела вращения в прочной среде при отрыве потока // Доклады РАН. 2002. Т. 386. № 2. С. 198 202.

86. Якунина Г.Е. Динамика пирамидальных тел в рамках модели локального взаимодействия // ПММ. 2003. Т. 67. Вып. 1. С. 15 29.

87. Осипенко К.Ю., Симонов И.В. Модель пространственной динамики тела вращения при взаимодействии с малопрочной средой и несимметричной кавитацией // Изв. РАН. МТТ. 2002. № 1. С. 143 153.

88. А\. Якунина Г.Е. О пространственном движении оптимальных пирамидальных тел // ПММ. 2005. Т. 69. Вып. 2. С. 258 268.142Ландау ДД, Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. 1. Механика. М.: Наука, 1988.215 с.

89. Аэродинамика, устойчивость и управляемость сверхзвуковых самолетов / Под ред. Г.С. Бюшгенса. М.: Наука. Физматлит, 1998. 811 с.

90. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. 128 с.